重庆市巴蜀中学校2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

**基本信息** 高一数学期中试卷立足基础，融合校园文化（如勖艾亭组合体）与实际情境（班级文化展区设计），通过新定义“互助函数”等创新题型，考查数学眼光（空间观念）、思维（推理能力）及语言（模型应用），适配高一学段能力发展需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5/77|向量夹角与参数范围、立体几何面面垂直证明及体积分割、解三角形实际应用、新定义“互助函数”综合题|分层设计，基础题（向量运算）、提升题（立体几何探究）、创新题（新定义函数与几何综合）梯度清晰，突出数学思维的逻辑性与创新意识|

高2028届高一（下）半期考试 数学参考答案 一、 单项选择题 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 A 0 D B B A B 二、多项选择题： 题号 9 10 11 答案 AD ACD ABD 三、填空题： 12.【答案】√2 【详解】因为1+3+3=0,1-2i+(2=5,所以原式+3别-而-5故答案为：万. 11-2i1√5 13.【答案】 别 【详解】由已知可得，l=-VP+2=5.因为a1(a+),所以a(a+)=+a-6 =川+可s2受-可-5a=0,解特同-5-0合去，所以，a6=5s智-所以， 2 向量ā在向量6方向上的投影向量为 坐标为}》 14.【答案】-」 4 【详解】设平面与PA交于E,而AB=2DC,DC/1AB, DC丈面PAB,ABc面PAB, ·DCII面PAB,又DCc面DCFE,面DCFEO面PAB=EF,DCIIEF, PBA0<<,则PE 元，若四棱锥P-ABCD的体积为V,又AB=2DC, PA 82m,即-背6号，而会-g,有a号 3’mVp-DRC PB 3 '-E匹=PEPF 而，PAPB ,有e=21 3 +w华2行年得店 四、解答题： 15.【解析】(1)因为向量a=(3,2),万=(1，-2)，c=(2,1), 所以a-c=(1,1),2i+c=(4,-3),1a-c=V2,125+c=5,(a-c)·(25+)=月 所以co0=侣2器=高=号 (2)因为向量d=(3,2),6=(1,-2),c=(2,1), 所以a+2C=(7,4)，万-ka=(1-3k,-2-2k) 因为a+2与b-ka的夹角为锐角，所以(a+2)·(b-ka)>0且两向量不同向， 7×(1-30+4×(-2-2k)>0,解得k<-5 又因为当（ā+2）/(6-ka)时，7×(-2-2k)-4×(1-3k)=0,解得k=-9需排除， 所以实数k的取值范围是(-∞，-9)U(-9,一为)》 16.【解析】(1)~四边形ABCD是直角梯形，CD1AD,AD=DC=2,AB=4, .AC=BC=2V2,∴AC2+BC2=AB2,·AC⊥BC 又PC⊥平面ABCD,ACc平面ABCD, .PC⊥AC,且PCOBC=C,PC,BCc平面PBC,.AC⊥平面PBC, 又AC∈平面ACE,.平面ACE⊥平面PBC (2)连接BD交AC于O,过O作OF/∥PD交PB于F,连接AF,CF 由oFc面40r,PDe平面4c,得P01面4F4BD,8器瓷-2. 又0F1PD,8-=-2,直角△PCB中，PB=26,所以8F=P8=9 17.【解析】(1)在△ADC中，CD=DA=20,∠ACD=号，∴AC=2DC·cos∠ACD=2×20×cOs号= 203在△C中，由正弦定理得：=益六s如∠BAC=是-=誉-月 AC :BC<AC,0<LBAC<行cos∠BAC=V1-m2ZBAC=1-月=号 (2)在△ADC,△ABC中，由余弦定理得， AC2=CD2+AD2-2CD·AD·c0sD=202+202-2×20×20×c0sD=800-800cosD, AC2=CB2+AB2-2CB·AB.cosB=302+102-2×30×10×cosB=1000-600cosB, 从而4cosD-3cosB=-1①，由SADc+SABc=×20×20×sinD+三×30×10×sinB=100,得到 4sinD+3sinB=2②，①2+②2得，16(sin2D+cos2D)+9(sin2B+cos2B)-24(cos B cos D- sin B sin D)=5...cos(B+D)= 18.【解析】I)取ED的中点为G,连接GB,FB/∥ED,2BF=ED,四边形BFEG是平行四边形，EF/GB, 又：ED⊥平面ABCD,所以∠GBD就是直线EF与底面ABCD所成角。又：底面ABCD为矩形BC=3,AB=4, BD=5,~GD=2,在直角△GBD中，GB=V2丙，sL6BD=忌=受直线EF与底面ABCD所 成角的正弦值为受 (2)设二面角BAC-F的大小为a,二面角EAC-D的大小为B,二面角EAC-F的大小为0 所以a+B+0=π，因为ED⊥平面ABCD,FB/ED,所以FB⊥平面ABCD 过B作BMLAC,垂足为M,连接FM,所以∠FMB就是二面角B-AC-F的平面角， 即LFMB=a在直角△ABC冲，AB=4,BC=8,所以AC=6,所以BW=号ama=熙-号 同理可得a明=青所以m0=-tna+f)=一品=号 所以二面角E-4C-F的正切值为三 (3)把多面体补成如图长方体 则V,-ACE=V长方体-VE-GAFH-VE-HFCI-VE-ACD--AcB Vk方体=4×3×4=48，%-H=×2×3=12,Vg-c1=×4x4=12 VE-Acn=号×(×4×3)×4=8，VF-AB=××4×3)×2=4. 所以VE-4cE=48-12-12-8-4=12 l9.【解析】(1)因为函数fx)=sin(x+0)=cos0sinx+sin0cosx,所以其“互助向量O=(cos8,sin8), 显然101=Vcos28+sim2百=1,001=2V2,所以P01=100-0P1≤001+10P1=2V2+1. (2)f(x)=-3sinx+7cosx=-4sin(x-), 所以AB=4,设内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c 由三角形的面积公式可得S△ABc=:absinC=子×4×tanC, 所以c0sC=六由余弦定理得a2+2-c2=8,所以a2+2=24, 设AB,AC边上的中点分别为E,F,在AB上取一点M,在AC上取一点N,由两点间线段最短可得MN≤ME+ EF+FN=子(a+b+c),当且仅当M,N,E,F四点共线时，等号成立，所以距离的最大值d=(a+b+c),又 a=a+b+0≤2+，受=2+2点，当且仅当a=b=2时，等号成立所以两点间距离的最大值 为2+2W3. (3)g(a),g(B),sin(a+B)能作为△4BC三边长，证明如下： 因为函数g(x)为向量O丽=(1,1)的互助函数”，所以g(x)=sinx+cosx, a=g(a)=sina+cosa,b=g(B)=sing +cosB.c=sin(a+B)=sin a cosB+sin B cos a 因为a,Be(0,)所以sina,cosa,sinB,cosB∈(0,1)， a +b sina cosa sinB cosB sina cosa>sina cosB+sinB cosa=sin(a+B)=c: 告-gsa业>0tc-tea2@-Sc十 sinB+cosB sing+cosp sinB+cosB cosa=v2sin(a+):<a+年<华，V2sin(a+到>1，所以>l,即a+c>b 同理可证得：b+c>a, 即任意两边之和大于第三边，所以g(a),g(B),sin(a+)能作为△ABC三边长. 高一数学试题 注意事项: 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚。 2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试卷上作答无效。 3. 考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存。满分150分，考试用时120分钟。 一、单项选择题: (本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的选项中, 只有一项是符合题目 要求的) 1. 已知复数 满足 ，则 ( ) A. B. C. D. 2. 下列关于棱台的性质, 不正确的是( ) A. 两底面相似 B. 侧棱延长后交于一点 C. 侧棱长都相等 D. 侧面都是梯形 3. 已知向量 ，若 ，则 ( ) A. -2 B. 1 C. 2 D. -3 4. 下列说法中正确的是( ) A. 分别在两个平面内的直线是平行直线或异面直线 B. 一条直线和两条平行直线中的一条相交, 则它和另一条也相交 C. 过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行 D. 和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线 5. 如图,梯形 中, ,现将该梯形沿 旋转一周, 则旋转形成的几何体的表面积为( ) A. B. C. D. 6. 在 中, 分别是内角 的对边,若 ,且 ,则 的形状是( ) A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 有一个角是 的直角三角形 D. 有一个角是 的等腰三角形 7. 图 1 勖艾亭是巴蜀中学校园内的标志性建筑，勖艾亭中的“勖”取自首任校长周勖成之名，“艾”则取自首任教务主任孙伯才(字未艾)之字，合称 “勖艾”，寓意纪念两位创校元勋. 它的主体部分可以看作是一个正六棱柱和一个正六棱锥拼接而成的组合体, 如图 2 所示. 已知正六棱柱和正六棱锥的底面边长为 2, 高之比为3:1,且该几何体的所有顶点都在球 的表面上,则球 的体积为( ) A. B. C. D. 8. 如图，在 中， ， 为 中点， ，若 ，则 的最小值是( ) A. 4 B. 2 C. D. 二、多项选择题(本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分) 9. 已知 为虚数单位, 为复数,则下列命题中正确的是( ) A. B. 若 ，则 是 为纯虚数的充要条件 C. D. 若 ，则 的最大值为 3 10. 如图所示，在正方体 中， 为棱 中点，点 是棱 上的一个动点 (不包括端点), 平面 交棱 于点 ，则下列说法正确的是( ) A. 直线 与 是异面直线 B. 存在点 ，使得 为直角 C. 若点 是棱 上的中点,则直线 与 所成的角为 D. 平面 平面 11. 在锐角 中,角 所对的边分别为 ,若 ,则下列说法正确的是 ( ) A. B. 若 ,则满足条件的 有且仅有 1 个 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 三、填空题: (本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分) 12. _____ 13. 已知 是非零向量, ,且 与 的夹角为 ,若 ,则 在 方向上的投影向量的坐标为_____. 14. 在四棱锥 中, ,过 的平面去截原四棱锥得到体积相等的两个部分,且该平面交 于点 ，则 _____. 四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 13 分) 已知向量 是同一平面内的三个向量,向量 , (1)求向量 与 的夹角 的余弦值； (2)若向量 与 的夹角为锐角，求实数 的取值范围. 16. (本小题满分 15 分) 在四棱锥 中，底面 是直角梯形， ， ， 底面 ， ， ,点 在直线 上. (1)求证:平面 平面 ； (2)在直线 上找一点 ,使得 平面 ,并求 的长. 17. (本小题满分 15 分) 巴蜀中学高 2028 届班级文化展示活动中, 几位志愿者设计了一个凸四边形 ABCD 的展区 (如图), 已知 米, 米. (1)若 ，求 的值； (2)若 米，四边形 的面积为100平方米，求 的值. 18. (本小题满分 17 分) 在多面体 中,底面 为矩形, 平面 , (1)求直线 与底面 所成角的正弦值； (2)求二面角 的正切值； (3)求三棱锥 的体积. 19. (本小题满分 17 分) 定义:对于非零向量 ，若函数 ，则称 为向量 的“互助函数”，向量 为函数 的“互助向量”. (1)已知 ，若函数 的“互助向量”为 ，求 的最大值. (2) 向量 为函数 的“互助向量”, 的一条边 长度等于 的最大值， 边上的高等于 ，以 的各边为直径向 外分别作三个半圆，求这三个半圆围成的平面区域上任意两点间距离的最大值. (3)若函数 为向量 的“互助函数”， ， . 判断 ， ， 能否作为 三边长? 若能，给出证明；若不能，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $