精品解析：广东省东莞市东华中学一二阶班2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷

2025-2026学年广东省东莞市东华中学一二阶班八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A．，被开方数含分母，不是最简二次根式； B．是最简二次根式； C．，被开方数含分母，不是最简二次根式； D．，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式． 故选：B． 2. 在二次根式中，a的取值可以是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数必须为非负数，进行判定即可． 【详解】解：∵二次根式中，， ∴的取值可以是， 而选项A、B、C均为负数，不满足条件． 故选：D． 3. 下列各式运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算性质，逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】解：A．，故错误； B．，符合二次根式乘法法则，正确； C．，故错误； D．，故错误． 故选：B． 4. 某校规定学生体育学期成绩由三部分组成：课堂表现占，学科素养占，运动技能占．小明以上三项成绩分别为：80分，90分，94分，则小明的体育学期成绩为（ ） A. 88分 B. 89分 C. 90分 D. 91分 【答案】C 【解析】 【详解】解：（分）. 5. 将下列长度的三条线段首尾顺次连接，不能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 1，， C. 1，1， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】先确定每组线段的最长边，计算最长边的平方，再计算两条较短边的平方和，比较两者是否相等，不相等则不能组成直角三角形． 【详解】根据勾股定理的逆定理，若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则能组成直角三角形，否则不能，逐一判断： A 项：最长边为，∵，， ∴，能组成直角三角形，不符合题意； B项：最长边为，∵，， ∴，能组成直角三角形，不符合题意； C项：最长边为，∵，， ∴，能组成直角三角形，不符合题意； D项：最长边为，∵，，， ∴ 不满足勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，符合题意． 6. 如图，在平行四边形中，．则的周长是（ ） A. 16 B. 8 C. 11 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质：对边相等，对角线互相平分，分别求出 、、 的长，即可求出的周长． 【详解】解： ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴的周长． 7. 如图，点，，分别是各边上的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行线的性质，首先得到，是的中位线，得到，，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】∵点，，分别是各边上的中点， ∴，是的中位线 ∴， ∴ ∵ ∴． 故选：C． 8. 有一组被墨水污染的数据：4，17，7，14，★，★，★，16，10，4，4，11．其箱线图如图，下列说法错误的是（   ） A. 这组数据的第一四分位数是4 B. 这组数据的中位数是10 C. 这组数据的第三四分位数是15 D. 被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查箱线图的概念应用，关键是理解箱线图中最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值的意义，结合已知数据逐一分析选项． 【详解】解：由箱线图可知，这组数据的第一四分位数为4，中位数为，第三四分位数为，故选项A说法正确；选项B说法错误；选项C说法正确； 由箱线图可知，这组数据的最小值为3，最大值为，而已知的数据中没有这两个数，所以被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是，选项D说法正确； 故选：B． 9. “低空经济”是以各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态．某无人机从物流集散地A到收货点C的路线受阻而采用备用路线，先垂直起飞300米至B处，再水平飞行400米到达收货点C．若路线未受阻，此次无人机的最短飞行距离是（ ） A. 400米 B. 450米 C. 500米 D. 600米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．由勾股定理可得出答案． 【详解】解：由题意知米，米， ∴（米）， 故选：C． 10. 如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ） A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是 C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是 【答案】A 【解析】 【分析】甲方案：利用对角线互相平分得证； 乙方案：由，可得,即可得， 再利用对角线互相平分得证； 丙方案:方法同乙方案． 【详解】连接交于点 甲方案：四边形是平行四边形 四边形为平行四边形． 乙方案： 四边形是平行四边形 ，， 又 (AAS) 四边形为平行四边形． 丙方案: 四边形是平行四边形 ，，， 又分别平分 ， 即 （ASA） 四边形为平行四边形． 所以甲、乙、丙三种方案都可以． 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边的性质与判定，三角形全等的性质和判定，角平分线的概念等知识，能正确的利用全等三角的证明得到线段相等，结合平行四边形的判定是解题关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如果一个正多边形的每个外角都等于，那么它是正______边形． 【答案】5 【解析】 【分析】正多边形的外角和是，这个正多边形的每个外角相等，因而用除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数． 本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键． 【详解】解：这个正多边形的边数： 故答案为：5 12. 已知是整数，则正整数n的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质化简，将能开方的因数开出来后，根据为整数，可得化简后剩余的被开方数需为完全平方数，据此求解正整数的最小值． 【详解】解：是整数， 是整数，即是完全平方数， 正整数的最小值为． 13. 甲乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲乙两地这10天日平均气温的方差大小关系为___（填或）． 【答案】 【解析】 【分析】根据气温统计图可知：乙地的平均气温比较稳定，波动小，由方差的意义知，波动小者方差小，即可求解． 【详解】解：观察平均气温统计图得：乙地的平均气温比较稳定，波动较小； ∴乙地的日平均气温的方差小， ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查方差，熟练掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好是解题的关键． 14. 如图，以原点O为圆心，为半径画弧交数轴于点A，则点A所表示的数是______. 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理求得的长，然后根据可求得点A表示的数．本题主要考查了勾股定理的应用、数轴的认识，利用勾股定理求得OB的长是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得：， ∵， ∴点表示的数是． 故答案为：． 15. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据勾股定理得出，得出，根据正方形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意得，由勾股定理得，即， ， ， ， 根据正方形的性质得，， ∴阴影部分的面积为． 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程， 请认真阅读，完成相应的任务： 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ．……第四步 任务： （1）上述解答过程中，第一步依据的乘法公式为________________（用字母表示）． （2）上述解答过程，从第________步开始出错，具体的错误是________________________． （3）请写出正确的计算过程． 【答案】（1） （2）三，计算错误 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式解得； （2）根据平方差公式进行判断即可； （3）根据平方差公式以及完全平方公式进行解答即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：上述解答过程，从第三步开始出错，具体的错误是计算错误； 【小问3详解】 解： ． 17. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，在给定的网格中，按下列要求以为边画． （1）在图①中画一个锐角三角形，且面积为4； （2）在图②中画一个等腰直角三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用网格画出一个底边为，高为的锐角三角形即可； （2）利用网格画出一个两条边相等，且有一个角是直角的三角形即可． 【小问1详解】 解：如图：即为所求； 由图可得：，边上的高为， ∴； 【小问2详解】 解：如图：即为所求； 由勾股定理可得，， ∴， ∴为等腰直角三角形． 18. 如图，在中，E,F分别是边的中点，连接对角线 （1）求证：； （2）从下列条件中任选一个作为已知条件，判断四边形的形状，并证明你的结论． ①；②． 我选择的条件： ，（填写序号）．（注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】（1）见解析 （2）①②，证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质得到，由中线的定义得到 ，得出，再利用平行四边形的性质与判定即可证明； （2）先由（1）的结论和，可得与平行且相等，因此先判定四边形是平行四边形，再结合所选的附加条件，利用特殊平行四边形的判定定理判断最终形状：如果选条件①，那么结合等腰三角形三线合一的性质得到邻边相等，进而判定为菱形；如果选条件②，那么得到平行四边形有一个内角为直角，进而判定为矩形。 【小问1详解】 证明：∵， ∴ ， ∵分别是和的中线， ∴，， ∴ ， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ 【小问2详解】 解：若选择条件①，则四边形是矩形．理由如下： ∵，是的中线， ∴， ∴， 由（1）得，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形； 若选择条件②，则四边形是菱形．理由如下： ∵，是的中线， ∴, 由（1）得，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形. 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 国旗是一个国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大，心中充满了自豪和敬仰．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，测量结果如表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高度 成员 组长：×××组员：×××，×××，××× 工具 皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点B，如图1，并多出了一段，用皮尺测出的长度，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点D处 测量数据 测量项目 数值 图1中的长度 2米 图2中的长度 6米 … … … （1）根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度； （2）该校礼仪队要求旗手在不少于45秒且不超过50秒的时间内将五星红旗从旗杆底部B处升至顶部A处，已知五星红旗沿着旗杆滑动的这一边长度为96厘米，求五星红旗升起的平均速度取值范围（计算结果精确到）． 【答案】（1）学校旗杆的高度为 （2）五星红旗升起的平均速度不小于，且不大于 【解析】 【分析】（1）设学校旗杆的高度为，则绳子的长度为，再结合勾股定理计算即可得出结果； （2）根据速度路程时间，计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：设学校旗杆的高度为，则绳子的长度为， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴学校旗杆的高度为； 【小问2详解】 解：96厘米米， 米， ， ， 故五星红旗升起的平均速度不小于，且不大于． 20. 2026年2月17日（大年初一），《惊蛰无声》在各大影院同时上映．这不只是一部电影，更是一堂生动的国家安全教育课、一次对无名英雄的致敬．为了解七、八年级学生对“国家安全知识”的了解程度，并从七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为4组：A：，B：，C：；D：） 七年级20名学生的成绩是：63，64，66，71，72，72，75，78，81，82，84，85，85，85，89，96，97，98，98，99． 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：82，83，85，85，85， 七八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 83 a 众数 b 85 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生国家安全知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若竞赛成绩不低于90分为优秀，已知该校七年级有学生480名，八年级有学生520名，请你估计该校七、八年级成绩为优秀的学生共有多少名？ 【答案】（1），， （2）八年级学生国家安全知识竞赛的成绩较好，理由见解析 （3）估计该校七、八年级成绩为优秀的学生共有名 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数的定义计算即可得出结果； （2）根据中位数分析即可得出结果； （3）用乘以七年级成绩为优秀的学生人数所占的比例，用乘以八年级成绩为优秀的学生所占的比例，再求和即可． 【小问1详解】 解：∵七年级20名学生的成绩是：63，64，66，71，72，72，75，78，81，82，84，85，85，85，89，96，97，98，98，99，其中85出现的次数最多，有次， ∴； 八年级20名学生的成绩在A组的人数为（人）， 八年级20名学生的成绩在B组的人数为（人）， 八年级20名学生的成绩在C组的人数为人， 故八年级20名学生的成绩在第10位和第11位分别为83，85，即； ，即； 【小问2详解】 解：八年级学生国家安全知识竞赛的成绩较好，理由如下： 八年级的中位数高于七年级的中位数，说明八年级有一半以上的学生成绩在分以上，整体水平略高； 【小问3详解】 解：（名）， 故估计该校七、八年级成绩为优秀的学生共有名． 21. 如图，在菱形中，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）求证：； （3）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质可得，则，由题意可得，再利用即可证明； （2）由菱形的性质并结合全等三角形的性质即可得证； （3）根据菱形的性质和直角三角形的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 证明：∵四边形为菱形， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 五、解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 我们规定用表示有序数对．给出如下定义：记，，其中，，将与称为有序数对的一对“对称数对”．例如；的一对“对称数对”为和． （1）有序数对的一对“对称数对”是＿＿＿； （2）若有序数对的一对“对称数对”相同，则y的值为＿＿＿； （3）若有序数对的一个“对称数对”是，则x的值为＿＿＿； （4）若有序数对的一个“对称数对”是，求的值． 【答案】（1）和 （2） （3） （4）6或 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，解方程，二次根式的性质，理解和应用新定义是解本题的关键． （1）根据新定义即可得出结论； （2）根据新定义，列等式，解方程进而得出结论； （3）根据新定义，列等式，解方程进而得出结论； （4）根据新定义，列方程或，解方程进而得出结论． 【小问1详解】 解：， 有序数对的一对“对称数对”是和， 故答案为：和； 【小问2详解】 解：有序数对的一对“对称数对”相同， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：有序数对的一个“对称数对”是， ， ， 故答案为：； 【小问4详解】 解：有序数对的一个“对称数对”是， 或， 或， 或． 即的值为6或． 23. 【阅读理解】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题． 【初步探究】 如图1，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，．若，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到．易证：． （1）根据以上信息，填空： ① ； ②线段、、之间满足的数量关系为 ； 【迁移探究】 （2）如图2，在正方形中，若点E在射线上，，猜想线段、、之间的数量关系； 【拓展探索】 （3）如图3，已知正方形的边长为，，连接分别交、于点、，若点M恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 【答案】（1）①；② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①由正方形的性质可得，，由旋转的性质可得，，，，求出，再由计算即可得出结果；②先证明点、、在同一直线上，再证明，得出，即可得出结果； （2）由正方形的性质可得，，将绕点A逆时针旋转，点与点重合，得到，由旋转的性质可得，，，再证明，得出，即可得出结果； （3）由正方形的性质可得，，，由勾股定理可得，求出，，将绕点逆时针旋转，点与点重合，得到，连接，，由旋转的性质可得，，，，证明，得出，求出，再由勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：①∵四边形为正方形， ∴，， ∵将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴点、、在同一直线上， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 如图：将绕点A逆时针旋转，点与点重合，得到， 由旋转的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∵点M恰好为线段的三等分点， ∴， ∴， 如图，将绕点逆时针旋转，点与点重合，得到，连接，， 由旋转的性质可得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴, 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广东省东莞市东华中学一二阶班八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 在二次根式中，a的取值可以是（ ） A. B. C. D. 2 3. 下列各式运算正确的是（） A. B. C. D. 4. 某校规定学生体育学期成绩由三部分组成：课堂表现占，学科素养占，运动技能占．小明以上三项成绩分别为：80分，90分，94分，则小明的体育学期成绩为（ ） A. 88分 B. 89分 C. 90分 D. 91分 5. 将下列长度的三条线段首尾顺次连接，不能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 1，， C. 1，1， D. ，， 6. 如图，在平行四边形中，．则的周长是（ ） A. 16 B. 8 C. 11 D. 21 7. 如图，点，，分别是各边上的中点，，则（ ） A. B. C. D. 8. 有一组被墨水污染的数据：4，17，7，14，★，★，★，16，10，4，4，11．其箱线图如图，下列说法错误的是（   ） A. 这组数据的第一四分位数是4 B. 这组数据的中位数是10 C. 这组数据的第三四分位数是15 D. 被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18 9. “低空经济”是以各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态．某无人机从物流集散地A到收货点C的路线受阻而采用备用路线，先垂直起飞300米至B处，再水平飞行400米到达收货点C．若路线未受阻，此次无人机的最短飞行距离是（ ） A. 400米 B. 450米 C. 500米 D. 600米 10. 如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ） A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是 C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如果一个正多边形的每个外角都等于，那么它是正______边形． 12. 已知是整数，则正整数n的最小值为______． 13. 甲乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲乙两地这10天日平均气温的方差大小关系为___（填或）． 14. 如图，以原点O为圆心，为半径画弧交数轴于点A，则点A所表示的数是______. 15. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为_________． 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程， 请认真阅读，完成相应的任务： 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ．……第四步 任务： （1）上述解答过程中，第一步依据的乘法公式为________________（用字母表示）． （2）上述解答过程，从第________步开始出错，具体的错误是________________________． （3）请写出正确的计算过程． 17. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，在给定的网格中，按下列要求以为边画． （1）在图①中画一个锐角三角形，且面积为4； （2）在图②中画一个等腰直角三角形． 18. 如图，在中，E,F分别是边的中点，连接对角线 （1）求证：； （2）从下列条件中任选一个作为已知条件，判断四边形的形状，并证明你的结论． ①；②． 我选择的条件： ，（填写序号）．（注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分） 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 国旗是一个国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大，心中充满了自豪和敬仰．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，测量结果如表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高度 成员 组长：×××组员：×××，×××，××× 工具 皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点B，如图1，并多出了一段，用皮尺测出的长度，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点D处 测量数据 测量项目 数值 图1中的长度 2米 图2中的长度 6米 … … … （1）根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度； （2）该校礼仪队要求旗手在不少于45秒且不超过50秒的时间内将五星红旗从旗杆底部B处升至顶部A处，已知五星红旗沿着旗杆滑动的这一边长度为96厘米，求五星红旗升起的平均速度取值范围（计算结果精确到）． 20. 2026年2月17日（大年初一），《惊蛰无声》在各大影院同时上映．这不只是一部电影，更是一堂生动的国家安全教育课、一次对无名英雄的致敬．为了解七、八年级学生对“国家安全知识”的了解程度，并从七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为4组：A：，B：，C：；D：） 七年级20名学生的成绩是：63，64，66，71，72，72，75，78，81，82，84，85，85，85，89，96，97，98，98，99． 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：82，83，85，85，85， 七八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 83 a 众数 b 85 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生国家安全知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若竞赛成绩不低于90分为优秀，已知该校七年级有学生480名，八年级有学生520名，请你估计该校七、八年级成绩为优秀的学生共有多少名？ 21. 如图，在菱形中，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）求证：； （3）连接，若，，求的长． 五、解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 我们规定用表示有序数对．给出如下定义：记，，其中，，将与称为有序数对的一对“对称数对”．例如；的一对“对称数对”为和． （1）有序数对的一对“对称数对”是＿＿＿； （2）若有序数对的一对“对称数对”相同，则y的值为＿＿＿； （3）若有序数对的一个“对称数对”是，则x的值为＿＿＿； （4）若有序数对的一个“对称数对”是，求的值． 23. 【阅读理解】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题． 【初步探究】 如图1，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，．若，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到．易证：． （1）根据以上信息，填空： ① ； ②线段、、之间满足的数量关系为 ； 【迁移探究】 （2）如图2，在正方形中，若点E在射线上，，猜想线段、、之间的数量关系； 【拓展探索】 （3）如图3，已知正方形的边长为，，连接分别交、于点、，若点M恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $