空间几何体的外接球与内切球课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“空间几何体的外接球与内切球”核心考点，依据高考评价体系梳理补形法、底面外心定球心法等五大解题策略，通过近三年高考真题及模拟题分析，明确墙角模型、对棱相等型等高频题型占比，构建“模型识别-方法选择-计算验证”的完整解题体系。 课件亮点在于“真题情境+素养导向”的备考设计，如以2022新高考II卷正三棱台外接球题为例，运用补形法结合正弦定理突破，培养学生空间观念与推理能力。特设“易错陷阱警示”和“变式训练”，帮助学生掌握“构造模型+方程求解”技巧，教师可依托分层例题精准指导，提升复习效率。

第七章 空间几何体的外接球与内切球 立体几何 1 策略 1 外接球补形法 1 【解析】 B 　　　(2)(鳖臑模型)(2025·黄山一模)在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．在鳖臑P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝4，AC＝6，则三棱锥P－ABC外接球的表面积为 (　　) A．12π　 B．24π C．32π　 D．52π 【解析】 1 D 【解析】 1 8 补形法适用的三种常见三棱锥 (1) 墙角模型——三条棱两两垂直，如图(1)； (2) 鳖臑模型——四个面都是直角三角形，如图(2)； (3) 对棱相等模型——三组对棱分别相等，如图(3)． 图(1) 　 　 　 　　　　　图(2) 　 　 　 　　　　　　图(3) 策略 2 外接球底面外心定球心法 2 【解析】 A 【解析】 2 【答案】A　 图(1) 图(2) 变式2　(2025·蚌埠一模)已知在三棱锥P－ABC中，△PAC是边长为3的正三角形，AB⊥BC，平面PAC⊥平面ABC，则该三棱锥的外接球体积为 (　　) 【解析】 C 策略 3 外接球解析法定球心法 3 【解答】 图(1) 图(2) 方法二：因为P，B，C，D在同一个球面上，所以球心到四个点的距离相等．在△BCD中，到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心，作出BC和CD的垂直平分线，如图(3)所示． 图(3) 图(4) 策略 4 内切球等体积法 4 【解析】 变式4　在正四棱锥P－ABCD中，PA＝5，AB＝6，则该正四棱锥内切球的表面积是 (　　) 【解析】 【答案】C 策略 5 内切球截面法 4 【解析】 【答案】D 　　　(2)(2025·太原一模)已知圆台的上、下底面的半径分别为1和3，球O与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球O的表面积为________． 5 【解析】 　　　　设圆台的高为h，球O的半径为R．作出圆台的轴截面，如图所示．已知圆台的上、下底面半径分别为r＝1，R0＝3，设圆台母线长为l，圆台的轴截面(等腰梯形)的高h等于球O的直径2R． 因为球与圆台侧面相切，所以OE⊥AD，则△DOE≌△DOO2，△AOE≌△AOO1，所以ED＝O2D，AE＝AO1，所以l＝AE＋ED＝AO1＋DO2＝r＋R0＝3＋1＝4，同时h＝2R． 由勾股定理可得h2＋(R0－r)2＝l2，即(2R)2＋22＝42，可得R2＝3．故球O的表面积S＝4π×3＝12π． 12π 内切球独立截面法 (1) 画出过球心和切点的大圆的截面图； (2) 在截面中，找到和球半径相关的直角三角形； (3) 利用相似、全等、勾股定理等平面几何知识求出内切球半径． 微探究 多球内置问题 　　　(1)(2025·新高考Ⅱ卷)如图，一个底面半径为4 cm，高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为_______cm． 6 【解析】 　　　　已知圆柱的底面半径为4 cm，设铁球的半径为r cm，且r＜4，当铁球半径最大时，由圆柱与球的性质知AB2＝(2r)2＝(8－2r)2＋(9－2r)2，即4r2－68r＋145＝(2r－5)(2r－29)＝0，因为r＜4，所以r＝2.5． 2.5 6 【解析】 【答案】A 配套练习题 一、单项选择题 【解析】 D A．20π　 B．25π C．26π　 D．34π 【解析】 C A．9π　 B．27π C．18π　 D．48π 【解析】 B A．100π　 B．128π C．144π　 D．192π 【解析】 A 5．(2025·芜湖期末)在封闭的圆锥内有一个表面积为S的球，若圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，则该球表面积S的最大值为 (　　) 【解析】 B 6．(2025·苏锡常镇一模)已知一圆柱内接于半径为1的球，当该圆柱的体积最大时，其高为 (　　) 【解析】 C A．12π　 B．24π C．40π　 D．52π 【解析】 D 8．(2025·安庆三模)已知正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2．若一个球的球心到正四棱台各个面的距离均等于该球的半径，则正四棱台与该球的体积之比为 (　　) 【解析】 【答案】 B 【解析】 【答案】D 二、填空题 10．(2025·吕梁期末)若圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且r1r2＝2，则该圆台内切球的表面积为_______． 【解析】 　　　　如图，AB为圆台的母线长，D，C分别为上、下底面的圆心，O为内切球的球心，E为球O与圆台侧面相切的一个切点． 8π 11．(2025·南京二模)已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为2，它的顶点均 在球O的表面上，则球O的表面积为______． 【解析】 　　　　设正三棱柱ABC－A1B1C1的上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，如图，连接O1O2，则O为O1O2的中点，连接OB，则OB为球O的半径R． 【解析】 　　　　设球O的半径为R．由题意，球O的表面积S＝4πR2＝100π，所以R＝5．设圆台的上底面圆的半径为3r，则下底面圆的半径为4r，圆台的高为h． 图(1) 图(2) 13．(2025·晋城一模)如图，现有一个半球形容器(有盖)，其表面积为300π dm2，忽略容器的厚度，若在该容器内放入两个半径均为r dm的球，则r的最大值为_______．(结果精确到0.1) 【解析】 　　　　设半球形容器对应的半球的半径为R dm，则该容器的表面积为2π×R2＋π×R2＝300π dm2，解得R＝10． 4.1 【解析】 $