广西高一数学下学期阶段测试2025-2026学年人教A版必修第二册第六章-第九章

**基本信息** 高一数学下学期阶段测试（第六章-第九章），以复数、统计、立体几何、向量为核心，通过分层抽样调查、正四棱台防腐处理等真实情境，考查数学抽象、空间观念与数据意识，实现基础巩固与能力提升的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数运算、分层抽样、斜二测画法|第2题结合“天宫课堂”兴趣调查，体现数学眼光观察现实| |多选题|3/18|复数性质、向量关系、正方体动态问题|第11题以正方体动点探究，考查空间观念与推理能力| |填空题|3/15|向量共线、数据方差、解三角形|第14题地震位置测算，强化数学语言表达实际问题| |解答题|5/77|向量坐标运算、立体几何证明与体积、频率分布直方图、翻折问题|第19题翻折情境下二面角与线线角探究，突出空间想象与创新思维，契合高考命题趋势|

高一数学下学期阶段测试 第六章-第九章 答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C B A D A B A AB ABD AD 1．C【详解】由题意得，，则. 2．C【详解】该校高一年级学生有300人，高二年级学生有400人，高三年级学生有500人， 则高一年级，高二年级与高三年级的学生人数比为，则抽取的学生中，高一年级有. 3．B【详解】由题意，分别取上下底面的中心为，分别取的中点为，连接，如下图：    则，，，易知， 根据题意可得正四棱台的斜高为，所以正四棱台的表面积为， 所以该零部件的防腐处理费用是元.故选：B. 4．A【详解】由题意知，， 如图，将直观图复原为四边形，则四边形为平行四边形， 因为，是的中点，所以，且，故，故，所以四边形的周长为. 5．D【详解】一共11个月的产量数据，中位数是将产量从小到大排序后的第个数据， 对乙车间产量排序后，第6个数据是月份的产量，不是6月份，A错误； 甲车间产量极差约为，乙车间产量极差约为，甲的极差小于乙的极差，B错误； 观察折线图，除9月、10月外，其余月份甲车间产量均高于乙车间，整体估算可得甲产量平均值大于乙的平均值，C错误；第80百分位数为，根据百分位数计算可知第80百分位数是排序后的第9个数据，从小到大排序后，甲的第9个数据约为3.85，乙的第9个数据约为3.6，甲的第80百分位数大于乙，D正确. 6．A【详解】对于A，若，，，则，由线面平行的性质定理可知A正确； 对于B，若，，则可能，故B错误；对于C，若，，则可能，故C错误；对于D，若，，且，则可能，故D错误.故选：A. 7．B【详解】 因，，则，故 又三点共线，则，故，又因为是边长为1的正三角形 所以，. 8．A【详解】设球的半径为，圆柱的高为，底面半径为，可得：， 圆柱的侧面积为：， 当且仅当时取等，此时圆柱的侧面积最大，所以， 所以，所以圆柱的高和球的半径之比为. 9．AB【详解】由，对于A，所以的虚部为，故A正确； 对于B，所以 ，故B正确；对于C，所以的共轭复数，故C错误； 对于D，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限，故D错误． 10．ABD【详解】解：选项A，， ，又，，，解得，A正确；选项B，，，，解得，B正确；选项C，在上的投影向量为，则，所以， 代入坐标得，化简得，易知方程无解，C错误；选项D，与夹角为锐角，，解得，若与共线，则，解得， 而当时，取不到，因此与夹角为锐角时，，正确. 11．AD【详解】 对于A，取的中点，的中点，的中点， 连接、、、、，由于均为所在边的中点， 所以，，， 所以过、、三点的平面截正方体所得截面为正六边形，其边长， 故其面积为，故A正确； 对于B，设中点为，连接，则易得平面， 则异面直线与所成的角可用表示， 在中，，当为的中点时，，此时取最小值， 此时有，因异面直线与所成的角， 由余弦函数的单调性，可得，故B不正确；对于C，若为中点，由B项易得平面，因平面，则，由于，，由，可得，又平面，所以平面，又平面，故，即C不正确；对于D，由图知，点到平面的距离为，而，故，即三棱锥的体积为定值，故D正确． 12．【详解】因为，，，所以， 因为三点共线，所以，所以，解得. 13．27【详解】数据平均数为10，所以数据，，，的平均数为，即a=19；数据的方差为2，所以数据的方差为，即b=8， 所以19+8=27.故答案为：27. 14．【详解】由题意可得，，，，则，根据正弦定理可得，又，所以，所以地震的位置C在A地正东处. 15．【详解】（1）设，则 （3）由已知， 则向量与的夹角的余弦值为 ． 16【详解】（1）连接，交于，连接. 直三棱柱中，侧面为矩形，所以点为中点.（1分） 因为点是的中点，所以.（2分） 又平面，平面，所以平面.（4分） （2）直三棱柱中，平面，因为平面，所以.（5分） 在中，，，，则，所以.（6分） 因为，平面，， 所以平面.（8分） （3）过点作.（9分） 在中，，即.（10分） 直三棱柱中，平面，因为，平面，所以，， 因为，平面，，所以平面，（12分） 则即为点到平面，也即平面的距离. 又，（13分） . 故三棱锥的体积为8.（15分） 17.【详解】（1），（1分） 变形为，（2分） 整理得 （4分） 由正弦定理得：，（5分） 由余弦定理得：，（6分） 因为，所以.（7分） （2）由，，得.（9分） 由余弦定理得，（10分） 则 ，（12分） 所以，则，（14分） 即的周长为.（15分） 18．【详解】（1）由题意知，，解得．（2分） 由题意知，团战支援评分在的频率为，（3分） 团战支援评分在的频率为，（3分） 故第75百分位数在，则，（5分） 解得，故第75百分位数为84．（6分） （2）因为，（9分） 所以估计该游戏玩家团战支援评分的平均分为74． （3）样本数据在区间上的个数为（10分）， 在区间上的个数为，（11分） 所以平均数，（14分） 方差．（17分） 19．【详解】（1）在直角梯形中，，，则， 在中，，，（1分） 则，即，由，点是的中点，得，（2分） 由点是的中点，得，则，（3分） 而，平面， 所以平面.（4分） （2）由平面平面，平面平面，，平面， 得平面，而平面，则（6分） 取的中点，连结，（7分） 由，得，而，（8分） 则，又平面， 因此平面，又平面， 则，为二面角的平面角，（10分） 在中，，，， 所以二面角的正弦值为.（12分） （3）在线段上取点，使得， 则，，，，（13分） 由平面，平面，得，因此，（14分） 于是，（15分） 则， 所以的取值范围是.（17分） 高一数学试题第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 高一数学试题第1页 （共4页） ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 高一数学试题答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 复数的模 0.85 2 单选题 5 分层抽样 0.8 3 单选题 5 几何体的表面积 0.75 4 单选题 5 斜二测画法、几何体的周长 0.75 5 单选题 5 统计图表、极差、平均数、中位数、百分位数 0.65 6 单选题 5 空间中点线面的位置关系 0.6 7 单选题 5 平面向量基本定理、三点共线定理的推论及应用 0.5 8 单选题 5 几何体外接球、最值问题计算 0.45 9 多选题 6 复数的运算 0.65 10 多选题 6 向量的夹角坐标运算、夹角、投影向量、垂直 0.55 11 多选题 6 正方体截面、异面直线所成角、垂直、锥体体积 0.35 12 填空题 5 向量共线定理及三点共线的向量表示 0.75 13 填空题 5 平均数、方差的计算 0.75 14 填空题 5 正余弦定理的实际应用 0.5 15 解答题 13 向量的坐标运算、向量夹角 0.7 16 解答题 15 立体几何平行、垂直证明、锥体体积 0.65 17 解答题 15 正余弦定理、三角形的边角互换、面积公式 0.55 18 解答题 17 频率分布直方图、百分位数、均值、方差 0.55 19 解答题 17 线线垂直、二面角、异面直线的范围 0.35 $ 应用场景：周测/单元测/月考/期中/期末/（如以上均不符合则自行添加） 高一数学下学期阶段测试 第六章-第九章 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 2．实验中学为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取80人进行调查.已知该校高一年级学生有300人，高二年级学生有400人，高三年级学生有500人，则抽取的学生中，高一年级有（   ） A．32人 B．24人 C．20人 D．18人 3．如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（    ）    A．160元 B．128元 C．97.5元 D．86.875元 4．如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为矩形，已知，是的中点，则四边形的周长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．18 5．某小商品生产企业对2025年1月到11月甲，乙两个车间的产量（单位：百万件）进行了统计，得到如图所示的折线图，则（   ） A．乙车间产量的中位数为6月份的产量 B．甲车间产量的极差大于乙车间产量的极差 C．甲车间产量的平均值小于乙车间产量的平均值 D．甲车间产量的第80百分位数大于乙车间产量的第80百分位数 6．设m，n是不同的直线，，β是不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，且，则 7．已知是边长为1的正三角形，，是上一点且，则（   ） A． B． C． D． 8．半径为定值的球中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，圆柱的高和球的半径之比为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题的选项中，有多项符合题目要求．（答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分）. 9．已知复数 （为虚数单位），则下列说法正确的是（　　） A．的虚部为 B． C．的共轭复数 D．复数在复平面内对应的点位于第四象限 10．已知平面向量，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 11．如图，在棱长为的正方体中，M，N分别是，的中点，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论中正确的是（    ） A．当点为中点时，过三点的平面截正方体所得截面面积为 B．异面直线与所成的最大角为 C．不存在点使得 D．三棱锥的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，，若A，B，D三点共线，则______. 13．已知数据的平均数为10，方差为2，则数据的平均数为a，方差为b，则___________． 14．如图，要在相距200 km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的北偏东30°方向.若A地正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置C在A地正东________km. 4、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（原创）已知向量，满足 (1)求的坐标； (2)求向量与的夹角的余弦值． 16．如图，已知在直三棱柱中，，，，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积. 17．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长. 18. 某MOBA游戏统计了100名玩家的团战支援评分（百分制，分数越高支援效率越高），并按分数作出如图所示的频率分布直方图． (1)求的值及样本评分的第75百分位数； (2)以每组数据区间中点作代表，估计该游戏玩家团战支援评分的平均分； (3)在频率分布直方图中，若玩家的团战支援评分在的平均值为52，方差为6，在的平均值为64，方差为3，求两组样本评分合并后的平均数和方差 19．在直角梯形中，，，，（如图1），把沿BD翻折，使得平面BCD，连接AC，M，N分别是BD和BC的中点（如图2），请用几何法求解下列问题： (1)证明：； (2)当平面平面时，求二面角的正弦值； (3)若P，Q分别在线段AB，DN上，且（如图3），令PQ与BD所成的角为，PQ与AN所成的角为，求的取值范围． 高一数学试题第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 高一数学试题第1页 （共4页） ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 2026年春季期6月考高一数学 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C B A D A B A AB ABD AD 1．C【详解】由题意得，，则. 2．C【详解】该校高一年级学生有300人，高二年级学生有400人，高三年级学生有500人， 则高一年级，高二年级与高三年级的学生人数比为，则抽取的学生中，高一年级有. 3．B【详解】由题意，分别取上下底面的中心为，分别取的中点为，连接，如下图：    则，，，易知， 根据题意可得正四棱台的斜高为，所以正四棱台的表面积为， 所以该零部件的防腐处理费用是元.故选：B. 4．A【详解】由题意知，， 如图，将直观图复原为四边形，则四边形为平行四边形， 因为，是的中点，所以，且，故，故，所以四边形的周长为. 5．D【详解】一共11个月的产量数据，中位数是将产量从小到大排序后的第个数据， 对乙车间产量排序后，第6个数据是月份的产量，不是6月份，A错误； 甲车间产量极差约为，乙车间产量极差约为，甲的极差小于乙的极差，B错误； 观察折线图，除9月、10月外，其余月份甲车间产量均高于乙车间，整体估算可得甲产量平均值大于乙的平均值，C错误；第80百分位数为，根据百分位数计算可知第80百分位数是排序后的第9个数据，从小到大排序后，甲的第9个数据约为3.85，乙的第9个数据约为3.6，甲的第80百分位数大于乙，D正确. 6．A【详解】对于A，若，，，则，由线面平行的性质定理可知A正确； 对于B，若，，则可能，故B错误；对于C，若，，则可能，故C错误；对于D，若，，且，则可能，故D错误.故选：A. 7．B【详解】 因，，则，故 又三点共线，则，故，又因为是边长为1的正三角形 所以，. 8．A【详解】设球的半径为，圆柱的高为，底面半径为，可得：， 圆柱的侧面积为：， 当且仅当时取等，此时圆柱的侧面积最大，所以， 所以，所以圆柱的高和球的半径之比为. 9．AB【详解】由，对于A，所以的虚部为，故A正确； 对于B，所以 ，故B正确；对于C，所以的共轭复数，故C错误； 对于D，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限，故D错误． 10．ABD【详解】解：选项A，， ，又，，，解得，A正确；选项B，，，，解得，B正确；选项C，在上的投影向量为，则，所以， 代入坐标得，化简得，易知方程无解，C错误；选项D，与夹角为锐角，，解得，若与共线，则，解得， 而当时，取不到，因此与夹角为锐角时，，正确. 11．AD【详解】 对于A，取的中点，的中点，的中点， 连接、、、、，由于均为所在边的中点， 所以，，， 所以过、、三点的平面截正方体所得截面为正六边形，其边长， 故其面积为，故A正确； 对于B，设中点为，连接，则易得平面， 则异面直线与所成的角可用表示， 在中，，当为的中点时，，此时取最小值， 此时有，因异面直线与所成的角， 由余弦函数的单调性，可得，故B不正确；对于C，若为中点，由B项易得平面，因平面，则，由于，，由，可得，又平面，所以平面，又平面，故，即C不正确；对于D，由图知，点到平面的距离为，而，故，即三棱锥的体积为定值，故D正确． 12．【详解】因为，，，所以， 因为三点共线，所以，所以，解得. 13．27【详解】数据平均数为10，所以数据，，，的平均数为，即a=19；数据的方差为2，所以数据的方差为，即b=8， 所以19+8=27.故答案为：27. 14．【详解】由题意可得，，，，则，根据正弦定理可得，又，所以，所以地震的位置C在A地正东处. 15．【详解】（1）设，则 （3）由已知， 则向量与的夹角的余弦值为 ． 16【详解】（1）连接，交于，连接. 直三棱柱中，侧面为矩形，所以点为中点. 因为点是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）直三棱柱中，平面，因为平面，所以. 在中，，，，则，所以. 因为，平面，， 所以平面. （3）过点作. 在中，，即. 直三棱柱中，平面，因为，平面，所以，， 因为，平面，，所以平面， 则即为点到平面，也即平面的距离. 又， . 故三棱锥的体积为8. 17.【详解】（1）， 变形为， 整理得 由正弦定理得：， 由余弦定理得：， 因为，所以. （2）由，，得. 由余弦定理得， 则 ， 所以，则， 即的周长为. 18．【详解】（1）由题意知，，解得． 由题意知，团战支援评分在的频率为， 团战支援评分在的频率为， 故第75百分位数在，则， 解得，故第75百分位数为84． （2）因为， 所以估计该游戏玩家团战支援评分的平均分为74． （3）样本数据在区间上的个数为， 在区间上的个数为， 所以平均数， 方差． 19．【详解】（1）在直角梯形中，，，则， 在中，，， 则，即，由，点是的中点，得， 由点是的中点，得，则，而，平面， 所以平面. （2）由平面平面，平面平面，，平面， 得平面，而平面，则，取的中点，连结， 由，得，而， 则，又平面， 因此平面，又平面， 则，为二面角的平面角， 在中，，，， 所以二面角的正弦值为. （3）在线段上取点，使得， 则，，，， 由平面，平面，得，因此， 于是， 则， 所以的取值范围是. 答案第1页，共2页 高一数学试题答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $