解析几何考前专项练习-2026届高三数学二轮专题复习

**基本信息** 聚焦解析几何核心模块，以题构建直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线知识网络，强化概念生成与综合应用逻辑。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-5、填空12-13|考查倾斜角、离心率等定义|从几何量计算到位置关系判断，形成概念-性质-应用链条| |综合应用|单选6-8、多选9-11、解答15-19|涉及切线长、轨迹方程、面积最值|融合代数运算与几何直观，体现方程思想与转化思维|

2026届高三数学解析几何模块考前专练 一、单选题 1．直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线的倾斜角为，所以 直线的斜率； 又直线经过、两点，可得，且， 整理得， 解得，经检验符合题意. 2．设复数，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】已知，则对应复平面上的单位圆， ，表示圆上点到定点的距离， 圆心到定点的距离为：，单位圆半径， 最小值为． 3．已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（   ） A．的周长为12 B． C．点到轴的距离为 D． 【答案】C 【详解】对于A，根据椭圆标准方程得，，，由椭圆定义知， 所以的周长为，A错误. 对于B，在中，由余弦定理可得，， 由，代入， 化简得， 所以， 在中，，所以为锐角， 且， 故，B选项错误. 对于C，由B选项知，在中，设点到的距离为， 由，得，即， 因为到的距离,就是到轴的距离，C选项正确. 对于D，根据数量积公式，，D选项错误. 4．设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】由求导得， 则曲线在处的切线斜率为， 又， 则切线方程为，即， 当时，，当时，， 所以该切线与坐标轴的交点分别为点与点， 故切线与两坐标轴围成的三角形的面积为. 5．设点 ,，若直线与线段AB没有交点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为直线过定点，直线与线段没有交点，转化为过定点的直线与线段无公共点，画出图像，结合图像，即可求得答案. 【详解】 直线与线段没有交点， 即直线与线段没有交点， 对于直线， 令，则，则直线恒过点 . 根据题意，作出如下图像： ，， 根据两点求斜率公式可得：直线的斜率为 ， ， 根据两点求斜率公式可得：直线的斜率为 ， 直线的斜率为， 若直线与线段没有交点， 则. 6．已知圆：，直线：，则直线被圆截得的弦长的最小值为（   ） A． B． C． D．10 【答案】B 【分析】先确定直线所过的定点，然后根据圆的性质，当直线与圆心和定点的连线垂直时，直线被圆C截得的弦长最短，最后利用垂径定理求出弦长的最小值即可. 【详解】 由 整理为： ， 所以联立方程组得， 解得 ，即直线 恒过定点 ， 因为，所以圆心 ，半径 ， 所以圆心到定点的距离为：， 所以点 在圆内，直线 与圆始终相交， 当 最大时，弦长 最小；当直线 时，， 所以弦长最小值为：. 7．已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C．7 D．9 【答案】B 【分析】求出圆心和半径，设出切点，利用距离公式求出的表达式，利用勾股定理得出切线的表达式，借助二次函数即可求出切线长的最小值. 【详解】由题意， 在圆中，， 圆心，半径， 在抛物线中，点为抛物线上一点， ∴，连接， 设切点为，，分别与点连接，则切线, 由几何知识，，， ∵， ∴由勾股定理得，， 在中，对称轴，函数开口向上, ∴函数在上单调递增， ∴切线在处取最小值， .    8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线在第一象限内的一点，为轴上的点，垂直于轴，，且为平面直角坐标系内一点，满足，，则双曲线的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先利用和垂直轴得出点的坐标，再由得出点的坐标，最后利用两垂直向量的数量积为列出方程即可求解. 【详解】由题知，，， ，，将其代入双曲线的方程，得， 设，则，， 设，，， 解得，，即， ，， 即，得，即， 即，整理可得， ，整理可得，解得或， ，，即. 二、多选题 9．已知抛物线的焦点为为坐标原点，过点的直线交抛物线于两点，分别过两点作准线的垂线，垂足为是的中点，则（    ） A．的最小值为4 B． C． D．若，则直线的斜率为2 【答案】ACD 【详解】 抛物线的焦点为，准线为， 设过点的直线的方程为，联立抛物线方程得： ，由韦达定理得：， 由抛物线定义，则， ， ， 当时，取最小值，最小值为4，故A正确； ，故B错误； 已知是过两点作准线的垂线的垂足，是中点， ，，， ， 故，C正确； ，则，故， 又， ，解得， 直线的方程为，即，斜率为2，故D正确． 10．双曲线的左、右焦点分别为，．且在抛物线的准线上，离心率是．则下列结论成立的是（    ） A．双曲线与抛物线的两个交点间的距离是 B．双曲线的渐近线为 C．双曲线的标准方程为 D．若P为渐近线上一点，满足，则的面积是 【答案】AD 【分析】先根据抛物线准线确定双曲线的半焦距c，再结合离心率求出a，b，得到双曲线的标准方程和渐近线方程，最后逐一判断各个选项. 【详解】抛物线的准线为，因此双曲线的左焦点，可得， 由离心率，解得，则， 故双曲线标准方程为，其渐近线方程为. 对于A，联立双曲线和抛物线方程，整理得， 解得或，结合抛物线，双曲线的范围，取正根， 代入中可得，则两交点坐标为， 所以双曲线与抛物线的两个交点间的距离是，选项A正确. 对于B，双曲线的渐近线方程为，而不是，选项B错误. 对于C，双曲线标准方程为，而不是，选项C错误. 对于D，因为，所以，设在渐近线上，则， 结合，即，可得 则的面积是，选项D正确. 11．已知点是曲线上一点，圆，下列说法正确的是（    ） A．若曲线表示圆，则实数的取值范围是 B．若，则的最大值为 C．若点在圆上，则点到直线的距离的最小值为 D．若，过点作圆的切线，切点分别为、，则、的最小值为 【答案】BC 【分析】对于A，根据一般方程表示圆的条件即可判断；对于B，时，可知圆心，半径，结合设，即，再根据点到直线的距离求解；对于C，求出圆心到直线的距离，最小值用即可；对于D，设点到圆心的距离为，，得到，结合两圆位置关系求出的范围，再由单调性求最值即可． 【详解】解：对于A，因为曲线表示圆，所以，解得，故A不正确； 对于B，当时，，即，， 其圆心，半径， 设，即，所以点在直线上， 所以直线和圆有公共点， 所以圆心到直线的距离， 化简得，解得，故B正确； 对于C，因为圆心到直线的距离， 所以点到直线的距离的最小值， 等于圆心到的距离减去其半径，所以最小值为，故C正确； 对于D，设点到圆心的距离为，圆的半径为，，则，    所以，则， 所以， 因为， 所以，即，所以， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 因为，所以最小值取不到， 又因为在上单调递增，所以当时，取最小值为，故D不正确． 三、填空题 12．若直线平分圆的周长，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】∵直线平分的周长， ∴圆心在直线上， 可得0，解得． ，当且仅当时等号成立， 因此的取值范围为． 13．已知是抛物线上的一个动点，，点到轴的距离为，且的最小值为4，则_______. 【答案】2 【分析】利用抛物线的定义把到轴的距离转化为到焦点的距离，然后利用三角不等式可得答案. 【详解】由抛物线定义，点到焦点的距离等于到准线的距离， 即，因此， 于是 根据三角形不等式，， 当且仅当 三点共线时取等号. 故， ， 两边平方： 整理得 14．已知圆，从圆上任意一点向轴作垂线，为垂足，点满足，此时的轨迹为椭圆，则椭圆的标准方程为________；若椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的面积为________． 【答案】 / 【分析】设点，点，根据向量的坐标运算，结合，可得，利用点在圆上，代入化简，即可求得第一空答案；设，利用正弦定理可表示出，再结合，即可求出，从而求出，利用三角形面积公式即可求得第二空答案. 【详解】设点，点，因为是P向x轴作垂线的垂足，所以， 已知，， 可得，即， 因为点在圆上，所以将代入圆的方程可得：， 化简得，即椭圆的标准方程为；    由椭圆，可得，则， 所以椭圆的左右焦点，那么， 设，则， 在中，根据三角形内角和为π，可得， 由正弦定理得， 所以， 又，故，即， 而 ， 则，由于， 故，即， 得，结合，解得， 则，故， ， 故， 故的面积为， 故答案为：； 四、解答题 15．已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当为何值时，直线与圆相切； (3)当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【详解】（1）由直线，整理成， 由，解得，则直线恒过定点 （2）根据题意，圆. 则圆的标准方程，圆心为，半径. 若直线与圆相切，则有，解得， 即当时，直线与圆相切． （3）设圆心到直线的距离为， 依题意，有，即，解得， 又由，解得或. 直线的方程为或. 16．已知椭圆，为坐标原点． (1)求椭圆的焦点坐标和离心率； (2)设直线与椭圆交于两点，记弦的中点为，求点的轨迹方程； (3)求面积的最大值． 【答案】(1)焦点坐标为，，离心率为 (2) (3) 【分析】（1）直接套用椭圆的标准方程和基本性质公式即可求出焦点和离心率； （2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理表示出中点坐标，再消去参数即可得到中点的轨迹方程，注意对特殊情况的讨论； （3）利用弦长公式及点到直线的距离公式，将三角形面积表示成斜率的式子，转化为函数求最值即可求出面积最大值. 【详解】（1）由题意知，，则， 由，，则，， 所以，椭圆的焦点坐标为，， 离心率. （2）设，，， 联立，消去得， 整理得，则，， 点为中点，所以由中点坐标公式可得， 又点在直线上，所以，则当，， 代入，化简整理得， 当时，直线为，此时中点为， 代入方程成立，满足方程， 因此，点的轨迹方程为. （3）由（2）知，， 所以， 化简得. 设点到直线的距离为，则， 所以. 令，则， 所以， 易知函数在时单调递增，因为， 所以当时，取最小值，为， 此时取最大值，为. 因此，面积的最大值为. 17．已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为1． (1)求双曲线的标准方程； (2)点为坐标原点，过点的直线与双曲线交于两点． （ⅰ）若的面积为，求直线l的方程； （ⅱ）双曲线E的左右顶点分别为A，B，直线AM与直线BN交于点P，记直线AM，BN，PF的斜率分别为、、，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值请说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ）或（ⅱ）是定值2 【分析】（1）利用点到直线的距离公式结合条件求出的值，即得双曲线方程； （2）（ⅰ）【法一】考虑直线的斜率不存在时，检验直线符合题意；当斜率存在时，设，与双曲线方程联立，写出韦达定理，求出弦长与点到直线的距离，利用列方程求解即得；【法二】基本步骤同法一，利用列方程求解；【法三】设直线的方程为，与法一同法列方程求解；【法四】设直线的方程为，与法二利用列方程求解；（ⅱ）设，与双曲线方程联立，消去，写出韦达定理，分别写出直线，的方程，联立推得,利用斜率公式化简计算即得. 【详解】（1）由已知得渐近线方程为，右焦点，知． 且，则得，又， 故双曲线的标准方程为； （2） （ⅰ）【法一】当直线的斜率不存在时，直线方程为，代入双曲线方程， 求得，不妨设，，则，又， 故的面积,即直线符合题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为， 将其与双曲线方程联立：，消元可得 则，设，， 则，， 故， 而点到直线的距离， 故的面积为： ， 整理得，化简得 解得， 所以直线方程为． 综上当时，直线的方程为或． 【法二】当直线的斜率不存在时，与上同法得到直线符合题意； 当直线的斜率存在时，与上同法得到：， 因， 故的面积， 即， 整理得，解得，则得直线方程为． 综上当时，直线的方程为或． 【法三】由题意设直线的方程为， 直线与双曲线交于两点，所以， 另设， 则，． 故 点到直线的距离， 故的面积， 即， 解得或， 所以当时，直线的方程为或． 【法四】由题意设直线的方程为， 直线与双曲线交于两点，所以， 另设，， 则，． 故的面积， 即， 解得或， 所以当时，直线的方程为或． （ⅱ） 由题意知，，故可设，直线与双曲线方程联立得， 又因为直线与双曲线交于两点，则，， 设，， 则，， 所以直线，的方程分别为，， 联立得 得， 则可设点，故可得，， 所以， 所以为定值2． 18．已知抛物线上一点到焦点的距离为2. (1)求抛物线的方程； (2)过的直线交于，两点，直线，的斜率分别为和，证明：为定值； (3)在直线上任取一点，过点分别作曲线的两条切线，切点分别为和，设的面积为，求的最小值. 【答案】(1) (2) 由（1）得，设，，过的直线为， 与联立消去得， 则， 又，同理， 故. (3)4 【分析】（1）根据点在抛物线上和焦半径公式联立求出的值，即得抛物线方程； （2）设过的直线为，与抛物线方程联立，写出韦达定理，由直线的斜率公式求出的表达式，化简计算即可得证； （3）设，，写出抛物线分别在点处的切线方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式与点到直线的距离公式求出三角形面积的表达式，结合函数的性质即可求得最小值. 【详解】（1）由题意得抛物线的方程为，焦点为，准线方程为， 点在抛物线上，故，解得， 点到焦点的距离为2，则有，即，解得， 因此抛物线的方程为. （2）略 （3） 设，，由，求导得， 则抛物线在点处切线方程为：， 在点处的切线方程为：， 整理得，和， 依题意，将代入上述方程，得，， 因此直线的方程为， 由，整理得， 易知，，， ， 点到直线的距离为， ， 当且仅当时，取得最小值4. 19．【信息1】已知椭圆的方程还可以由椭圆的第二定义得到，即椭圆上的动点满足到一个定点的距离与到不经过这个定点的一条定直线的距离之比是一个常数，其中. 【信息2】由椭圆的光学性质得到：从焦点处发出的一束光线，射向椭圆上的点，经椭圆反射后经过焦点；继续传播，射向椭圆上的点，经椭圆反射后经过焦点；如此反复.设第次入射点为，规定：当为奇数时，；当为偶数时，. 已知椭圆的焦点为和，点在椭圆上，且的面积的最大值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)探究是否为定值？请说明理由； (3)若，求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式. 【答案】(1) (2)为定值，理由见解析 (3)证明见解析， 【分析】（1）通过对焦点三角形面积的最值进行分析，得到，而，再利用，求出,进而求得椭圆的方程； （2）通过【信息2】由椭圆的光学性质得到:从焦点处发出的一束光线，射向椭圆上的点，经椭圆反射后经过焦点；继续传播，射向椭圆上的点，经椭圆反射后经过焦点；那么射向椭圆上的点，经椭圆反射后经过焦点，继续传播，射向椭圆上的点，故三点共线，再结合椭圆第二定义可知， 设所在直线方程为，联立椭圆方程，通过韦达定理，化简转换，最终得到； （3）由（2）可知，，即. 由椭圆的对称性可知，， 所以，则. 由椭圆的定义可得，， 所以，对数列前项与后项进行相比，最终得到数列是等比数列，从而求到数列的通项公式. 【详解】（1）由题意可知，椭圆的焦点在轴上，设椭圆的方程为. 因为椭圆的焦点为和的面积的最大值为， 所以 解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）设. 因为当为奇数时，， 所以由于三点共线， 设所在直线方程为. 联立得， 所以. 由椭圆的第二定义可得， ， 所以. 因为 ， 所以 . 故为定值. （3）由（2）可知，，即. 由椭圆的对称性可知，， 所以，则. 由椭圆的定义可得，， 所以. 令， 则. 又， 所以数列是首项为-1，公比为的等比数列， 所以，整理得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三数学解析几何模块考前专练 一、单选题 1．直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 2．设复数，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（   ） A．的周长为12 B． C．点到轴的距离为 D． 4．设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．设点 ,，若直线与线段AB没有交点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知圆：，直线：，则直线被圆截得的弦长的最小值为（   ） A． B． C． D．10 7．已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C．7 D．9 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线在第一象限内的一点，为轴上的点，垂直于轴，，且为平面直角坐标系内一点，满足，，则双曲线的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 二、多选题 9．已知抛物线的焦点为为坐标原点，过点的直线交抛物线于两点，分别过两点作准线的垂线，垂足为是的中点，则（    ） A．的最小值为4 B． C． D．若，则直线的斜率为2 10．双曲线的左、右焦点分别为，．且在抛物线的准线上，离心率是．则下列结论成立的是（    ） A．双曲线与抛物线的两个交点间的距离是 B．双曲线的渐近线为 C．双曲线的标准方程为 D．若P为渐近线上一点，满足，则的面积是 11．已知点是曲线上一点，圆，下列说法正确的是（    ） A．若曲线表示圆，则实数的取值范围是 B．若，则的最大值为 C．若点在圆上，则点到直线的距离的最小值为 D．若，过点作圆的切线，切点分别为、，则、的最小值为 三、填空题 12．若直线平分圆的周长，则的取值范围是________． 13．已知是抛物线上的一个动点，，点到轴的距离为，且的最小值为4，则_______. 14．已知圆，从圆上任意一点向轴作垂线，为垂足，点满足，此时的轨迹为椭圆，则椭圆的标准方程为________；若椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的面积为________． 四、解答题 15．已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当为何值时，直线与圆相切； (3)当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程． 16．已知椭圆，为坐标原点． (1)求椭圆的焦点坐标和离心率； (2)设直线与椭圆交于两点，记弦的中点为，求点的轨迹方程； (3)求面积的最大值． 17．已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为1． (1)求双曲线的标准方程； (2)点为坐标原点，过点的直线与双曲线交于两点． （ⅰ）若的面积为，求直线l的方程； （ⅱ）双曲线E的左右顶点分别为A，B，直线AM与直线BN交于点P，记直线AM，BN，PF的斜率分别为、、，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值请说明理由. 18．已知抛物线上一点到焦点的距离为2. (1)求抛物线的方程； (2)过的直线交于，两点，直线，的斜率分别为和，证明：为定值； (3)在直线上任取一点，过点分别作曲线的两条切线，切点分别为和，设的面积为，求的最小值. 19．【信息1】已知椭圆的方程还可以由椭圆的第二定义得到，即椭圆上的动点满足到一个定点的距离与到不经过这个定点的一条定直线的距离之比是一个常数，其中. 【信息2】由椭圆的光学性质得到：从焦点处发出的一束光线，射向椭圆上的点，经椭圆反射后经过焦点；继续传播，射向椭圆上的点，经椭圆反射后经过焦点；如此反复.设第次入射点为，规定：当为奇数时，；当为偶数时，. 已知椭圆的焦点为和，点在椭圆上，且的面积的最大值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)探究是否为定值？请说明理由； (3)若，求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式. 学科网（北京）股份有限公司 $