福建省南安市华侨中学2025-2026学年高二下学期第一次阶段考试数学试题

**基本信息** 以四大名著插空（文化传承）、AI模型调研（科技前沿）为情境，通过函数零点、立体几何等综合题，构建基础巩固到创新应用的能力梯度，体现数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|等比数列、椭圆离心率等|第6题结合四大名著考查排列组合，渗透文化传承| |多选|3/18|导数计算、等差数列性质|第11题函数零点综合，考查逻辑推理能力| |填空|3/15|导数几何意义、二项式系数|第14题算盘分珠计数，创新应用计数原理| |解答|5/77|数列求和、立体几何、导数证明|第16题AI模型调研情境，第19题导数与不等式证明，体现应用意识与理性精神|

南安华侨中学2026年春高二年阶段考数学科 姓名：___________班级：___________考场号：___________座位号___________ 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知为等比数列，若，则的公比（    ） A． B．2 C． D． 2．已知椭圆和双曲线焦点相同，则（    ） A．2 B．1 C． D． 3．的展开式中的常数项为（    ） A．60 B．120 C．160 D．240 4．函数在处取最大值，则（    ） A． B． C．3 D．4 5．若四点共面，其中，则（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 6．《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名著.书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有（    ） A．120种 B．240种 C．480种 D．600种 7．已知是椭圆上一点，是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列导数计算正确的有（     ） A． B． C． D． 10．已知数列为等差数列，为其前n项和，，，则（    ） A． B．为单调递增数列 C．使的n的最小值为18 D．当且仅当时，最小 11．已知函数，使得有三个零点，且，则下列说法正确的是（   ） A．a的取值范围为 B． C．若，则 D．函数在三个零点处的切线斜率的倒数之和为0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数满足在处导数为__________. 13．已知，则_____． 14．如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左、右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为a，b，c.例如，图中上档的数字和a=9.如果a，b，c成等差数列，则有________种不同的分珠计数法. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知数列的前项和为，，且. (1)求的通项公式. (2)设，记数列的前项和为. 求； 16．人工智能社团有6位同学，计划对ChatGPT、Sora、GPT-4、Claude这4种人工智能语言模型展开学习调研，要求每类模型至少有一人负责，每人只能选择一种模型． (1)若从社团中选出5人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？ (2)若6位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型，共有多少种不同的安排方案？ 17．已知函数，其中． (1)若，求函数的极值点和极值； (2)求函数在区间上的最小值． 18．如图，已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，侧面MAD是等边三角形，，N为侧棱MC上一点． (1)证明：平面平面ABCD； (2)求MC与平面BMD所成角的正弦值； (3)过A，N两点的平面分别交线段MD，MB于E，F两点，且平面AENF，是否存在点N，使得平面AENF与平面ABCD夹角为？若存在，求的值：若不存在，说明理由． 19．函数，. (1)若在上单调递减，求a的取值范围； (2)若曲线与在处有相同的切线， （i）求a的值； （ⅱ）若，证明： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《南安华侨中学2026年春高二年阶段考数学科》参考答案 题号 1 2 3 4 6 7 8 10 答案 D A D D D A B BC 1．D 【分析】利用等比数列通项公式列方程即可解得公比. 【详解】根据等比数列定义由可得， 显然，所以， 解得. 故选：D 2．A 【详解】因为椭圆和双曲线焦点相同， 所以，解得. 3．D 【详解】共有个因式，从个因式中选择，在剩下的个因式中选择， 则的展开式中的常数项为. 4．D 【详解】由，得， 因为函数在处取最大值，所以， 解得，所以. 5．A 【分析】根据空间共面向量基本定理即可求解. 【详解】因为四点共面， 所以存在实数使得，且. 设，则由，得， 故， 又，解得． 故选：A 6．D 【分析】利用计数原理以及相邻问题捆绑法可得答案. 【详解】四大名著恰有3本相邻共有种插法； 4本相邻时共有种插法， 所以不同的插法共有600种， 故选：D. 7．A 【分析】设，，由题意得出是等腰直角三角形，列方程组得到含的齐次方程求解离心率即可. 【详解】如图，设，，延长交于， 由题意知，为的中点，故为中点， 又，即，则， 又点在的平分线上,则，故是等腰直角三角形， 因此， 则， 可得，， 又，则， 因此可得， 又在中，，则， 将， 代入得， 即，由所以， 所以，. 故选：A. 8．B 【分析】本题可通过将函数在区间上有三个零点转化为与在上有三个交点，再分区间讨论并结合导数研究函数单调性来求解a的取值范围. 【详解】函数在区间上有三个零点等价于函数与在上有三个交点， 当时，在上单调递减，是过原点的直线，要使两函数图象有交点，需； 当时，，令，得， 令，， 令，解得， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取得最大值， 又，. 要使函数与在上有三个交点，则与在上需有一个交点、在上需有两个交点， 则需满足，所以. 综上，实数a的取值范围为. 故选：B 9．ACD 【分析】根据求导公式逐项求导即可求解. 【详解】对于A选项，由，故A选项正确； 对于B选项，，故B选项错误； 对于C选项，，故C选项正确； 对于D选项，由，故D选项正确. 故选：ACD. 10．BC 【分析】根据数列为等差数列，由，求得首项和公差，然后再逐项判断. 【详解】对于A：在等差数列中，，， 所以，解得 ， 则 ，故A错误； 对于B：，则 ， 所以为单调递增数列，故B正确； 对于C：，由 ，即 ， 解得，所以 的n的最小值为18，故C正确； 对于D：的对称轴为，开口方向向上， 因为为正整数，所以当或9时，取得最小值，故D错误. 故选：BC 11．ACD 【分析】由有三个零点，得函数至少有两个极值点.因为，所以有两个不相等的实数根.根据，可得a的取值范围，判断A；通过判断的零点与方程的根的关系，判断B；化简，可得关系，判断C；分别求出函数在三个零点处的切线斜率，从而求得其倒数之和，判断D. 【详解】对于A，因为有三个零点，得函数至少有两个极值点. 因为，所以有两个不相等的实数根. 所以，解得，所以A正确. 对于B，的两个不相等的实数根为. 由，且关于对称. ∴，与的大小关系不能判断，无法比较大小，所以B错误. 对于C， ，所以，所以，所以C正确. 对于D，由题得，其简图如下： ， 所以， 同理， 故 ．所以D正确. 故选：ACD. 12．# 【分析】根据题意先求出的导数，然后将代入导函数，求出的值. 【详解】, ， ， . 故答案为：. 13． 【分析】应用赋值法结合二项式展开式及组合数计算求解. 【详解】令， 令． 所以． 故答案为： 14．32 根据题意知，a，b，c的取值范围都是区间[7，14]中的8个整数，故公差d的范围是区间[-3，3]中的整数.①当公差d=0时，有=8（种）；②当公差d=±1时，b不取7和14，有2×=12（种）；③当公差d=±2时，b不取7，8，13，14，有2×=8（种）；④当公差d=±3时，b只能取10或11，有2×=4（种）.综上，共有8+12+8+4=32（种）不同的分珠计数法. 15．(1)； (2) 【详解】（1）由可得， ， 所以数列是常数列，又因为，所以， 即的通项公式为； （2）（ⅰ）由， 则， 两边乘以可得：， 上两式相减得：， ， 即； 16．(1)1440 (2)240 【分析】（1）从6位同学中选5人，分为：2人，1人，1人，1人四组，再进行全排列即可； （2）将甲、乙两位同学视为一个整体（一个元素），将5个元素分成“2，1，1，1”四组，再进行全排列即可. 【详解】（1）首先，从6位同学中选5人，有种选法， 接下来将5人分配到4种模型，且每类模型至少1人负责， 则5人分为：2人，1人，1人，1人四组，有种方法， 再将这四组对应4种模型进行全排列， 不同的调研安排方案有种. （2）首先将甲、乙两位同学视为一个整体（一个元素）， 此时相当于5个元素分配到4种模型,每类模型至少有一人， 即分成元素个数分别为“2，1，1，1”四组，则有种方法， 再将这四组对应4种模型进行全排列，有种方法， 所以，若6位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型， 共有种不同的安排方案. 17．(1)函数的极大值点为0，极小值点为2，极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调性，结合单调性分析函数的极值点和极值； （2）分和两种情况讨论，利用导数判断函数的单调性，即可得最小值. 【详解】（1）若，则的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的极大值点为0，极小值点为2，极大值为，极小值为. （2）因为函数的定义域为，且，， 令，解得或， 若，则， 可知函数在内单调递增，所以函数在内的最小值为； 若，则， 当时，；当时，； 可知函数在内单调递减，在内单调递增， 所以函数在内的最小值为； 且当时，，符合上式，所以函数在区间上的最小值为. 18．(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）通过计算边长利用勾股定理逆定理证明，进而由面面垂直的判定即可求证； （2）建立空间直角坐标系，通过向量法求平面的法向量，进而计算MC与平面BMD所成角的正弦值； （3）引入参数​，利用向量法表示相关点坐标，结合 平面得到法向量满足的条件，再由平面夹角为列出方程解得. 【详解】（1）连接BD，因，所以， 侧面MAD是等边三角形，所以，又，故， 由题意得平面MAD，平面MAD，可得平面MAD， 又因平面ABCD，所以平面平面ABCD. （2）取AD的中点O，的中点，连接PO，OM，因为侧面MAD是等边三角形，所以， 由（1）知平面平面ABCD，平面平面，则平面ABCD， 在平面ABCD内，由，易得， 以AD中点O为坐标原点，分别以OA，OP，OM所在直线为x轴，y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面BMD的一个法向量为， 则，令，则， 所以为平面BMD的一个法向量， 又，设MC与平面BMD所成角为， 则， 所以MC与平面BMD所成角的正弦值为. （3）因为平面AENF，平面平面，平面MBD， 所以，假设存在点N，使得平面AENF与平面ABCD夹角为， 设，则， 设平面AENF的一个法向量为，由， 则， 令，则，所以为平面AENF的一个法向量， 因为z轴⊥平面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量， 设平面AENF与平面ABCD夹角为 可得， 化简得：，又因解得， 所以存在点N，使得平面AENF与平面ABCD夹角为，此时． 19．(1)； (2)（i）；（ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）求出的导数，由给定区间及单调性建立不等式求解. （2）（i）利用与在处的导数值相等求出；（ⅱ）按分段讨论，结合极值点的偏移方法推理得证. 【详解】（1）函数在上单调递减，则，， 即，，而，当且仅当时取等号，因此， 所以a的取值范围是. （2）（i）由，求导得， 由曲线与在处有相同的切线，得，即， 解得，此时曲线与在处的切线都为，符合题意， 所以. （ⅱ）由（1）及（i）知，函数在上单调递减，且， ，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，且， 当时，，而，不符合题意； 当时，，则，，因此，符合题意； 当，的取值集合为，而在的取值集合为， 在的取值集合为，因此能成立， 当时，； 当时，，， 令，求导得， 函数在上单调递增，，即， 因此，而，则，又函数在上单调递增， 于是，即， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $