精品解析：2026年河南平顶山市鲁山县第五教研区二模数学试题

2026年中考学科第二次调研考试 数学 本试卷满分为120分，考试时间为100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如：粮库把运进20吨粮食记为“”，则“”表示（ ） A. 亏损20吨粮食 B. 吃掉20吨粮食 C. 卖掉20吨粮食 D. 运出20吨粮食 2. 若从①②③④中选择某个方向作为主视方向看图（1）中的几何体，得到的三视图如图（2）所示，则选择的方向是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 3. 病毒是一种个体微小，结构简单，必须在活细胞内寄生并以复制方式增殖的非细胞型生物．绝大多数的病毒必须借助电子显微镜才能观察．乐乐用电子显微镜观察到一种病毒的直径约为，即为______，横线上的数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点．若要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，直线(m为常数)与轴交于点，将该直线沿轴向下平移4个单位长度后，与轴交于点．若点与关于原点对称，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. -4 6. 一副三角尺按如图方式放置，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可能的值是（ ） A. 0 B. C. D. 8. 如图，张卡片的正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同．现将所有卡片背面朝上洗匀后从中随机抽取两张，这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是（） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，把以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到边的延长线上点处，则边扫过的图形（图中阴影部分）的面积为（ ） A. 3π B. 9π C. 12π D. 16π 10. 布洛芬是一种解热镇痛抗炎药，该药在人体内发挥药效的最低血药浓度为．某研究部门将一批相同症状的患者分为两组，甲组服用布洛芬片剂，乙组服用等效的布洛芬缓释胶囊，两组均于上午服药并定时静脉抽血测验，测得平均血药浓度随时间推移的关系图象如图所示．下列结论错误的是（ ） A. 甲组服药后，血药浓度最高 B. 布洛芬缓释胶囊起效更快 C. 服药的前，两组患者体内的血药浓度均随时间的推移而增大 D. 布洛芬缓释胶囊的药效持续时间更长 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 对代数式“”，我们可以这样来解释：某人以3米/秒的速度走了x秒，他一共走的路程是米．请你对“”再给出另一个实际生活方面的解释：____________． 12. 不等式组的整数解是_____． 13. 如图，是的直径，点在的延长线上，是的切线，为切点，连结，，若，则的度数为______． 14. 如图，在正方形中，，为上的动点，点在的延长线上，且，相交于点E．当点P从点A运动到点B时，点E运动的路线长度为______． 15. 在等边中，点E在直线上，点D在直线上，且，若的边长为6，，则的面积为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 某社区为提高居民对防诈骗的认识，举办了防诈骗的知识比赛．现从该社区甲、乙两个参赛代表队中各随机抽取 10名队员的比赛成绩（满分 100 分），并进行整理、描述和分析（成绩用x表示， 共分为四组: A．， B．， C．， ．，下面给出了部分信息：甲队10名队员的比赛成绩: 69 ，79 ，88 ，90 ，92，94 ， 94 ，96 ，98 ，100．乙队10名队员的比赛成绩在D组中的所有数据为: 92，92，97，99 ，99，99．根据以上信息，解答下列问题： 甲、乙代表队中抽取的队员比赛成绩统计表 代表队 平均数 中位数 众数 “C”组所占百分比 甲 90 a 94 乙 90 92 b （1）填空： （2）该社区甲代表队有100名队员、乙代表队有130名队员参加了此次比赛，估计此次比赛成绩在A组的队员共有多少名； （3）根据以上数据，你认为甲、乙哪个代表队的比赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 18. 如图，在中，． （1）尺规作图：作的角平分线，交线段于点．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）作出的图中，若，，求的长度． 19. 如图，已知，，，将线段水平向右平移10个单位长度得到线段(点A对应点D)，连接，．反比例函数的图象经过点D． （1）证明：四边形为菱形； （2）求此反比例函数的解析式； （3）已知在反比例函数的图象上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形是平行四边形，求点M的坐标． 20. 数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，请根据表格内容完成任务． 课题 探究非机动车道遮阳棚相关问题 素材背景 非机动车道上的遮阳棚采用高级玻璃丝纤维材料，能够抵抗雨淋和日晒 抽象测量 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图，如图，立柱与地面垂直，的长为，，经过点的太阳光线照射在点处 （结果精确到．参考数据：，，，，，） （1）任务1：求出遮阳棚前端到地面的距离； （2）任务2：当太阳光线与地面夹角．时，求非机动车道上的遮阳棚的有效遮阳宽度的长． 21. 2025年初，国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房创历史新高．某生产商推出了哪吒手办（类）和敖丙手办（类）盲盒，已知生产商每天生产类手办比生产类手办多200个，若单独生产12000个类手办所需时间和单独生产8000个类手办所用时间相同． （1）求生产商每天单独生产两类手办的个数； （2）两种手办某商家的购进价和售价如下表： 进价 售价 类/个 80 100 类/个 100 150 根据网上预约的情况，该商家计划用不超过17000元的资金购进两种手办共200个，若这200个手办全部售完，请你设计购进方案，使商家获利最大，并求最大利润； （3）商家为寻求合适的销售价格，对进价为100元的类手办，进行了4天的试销，试销情况如下表： 第一天 第二天 第三天 第四天 日销售单件利润（元） 20 30 40 50 日销售量（个） 300 200 150 120 根据试销情况，请你猜测并求与之间的函数关系式，若该手办每天的销售量不高于600个，求该手办的最低销售单价． 22. 为了提高运动员成绩，大赛前训练中心配备了一架如图1所示的高度可调的羽毛球发球机器人．如图2，发球机器人固定站在地面的点O处，其弹射出口记为点A，所发出的羽毛球的运动路径呈抛物线状．设飞行过程中羽毛球与发球机器人之间的水平距离为x（单位：米），羽毛球到地面的高度为y（单位：米），y与x的部分对应数据如表所示． x/米 … 1.8 2 2.2 2.4 2.6 … y/米 … 2.24 2.25 2.24 2.21 2.16 … （1）求y与x的函数解析式． （2）调整弹射出口A的高度可以改变球的落地点．为了训练运动员的后场能力，需要使羽毛球的落地点到点O的水平距离增加1米．若此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，则发球机的弹射出口高度应调整为多少米？ 23. 在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作推断 如图1，点P是正方形纸片的边的中点，沿折叠，使点A落在点M处，延长交于点 F，连接． 则 ． （2）迁移探究 小华在（1）的条件下，继续探究：如图2，延长交于点E，连接． ① ； ②小华用大小不同的正方形纸片重复几次以上操作，总发现，请判断该发现是否正确？并说明理由． （3）拓展应用 将边长为1的两个相同正方形拼成矩形，如图3，点P是上一动点，沿折叠，使点A落在点M处，射线交射线于点 F．当时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考学科第二次调研考试 数学 本试卷满分为120分，考试时间为100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如：粮库把运进20吨粮食记为“”，则“”表示（ ） A. 亏损20吨粮食 B. 吃掉20吨粮食 C. 卖掉20吨粮食 D. 运出20吨粮食 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反意义的量，正负数的应用．熟练掌握相反意义的量，正负数的应用是解题的关键．根据运进吨粮食记为“”，可知“”表示运出吨粮食，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，运进吨粮食记为“”， ∴“”表示运出吨粮食， 故选：D． 2. 若从①②③④中选择某个方向作为主视方向看图（1）中的几何体，得到的三视图如图（2）所示，则选择的方向是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【详解】解：观察题图可知：选择方向②观察几何体可以得到题图（2）所示的三视图． 3. 病毒是一种个体微小，结构简单，必须在活细胞内寄生并以复制方式增殖的非细胞型生物．绝大多数的病毒必须借助电子显微镜才能观察．乐乐用电子显微镜观察到一种病毒的直径约为，即为______，横线上的数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 4. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点．若要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，涉及到平行四边形的性质、菱形的判定、等腰三角形的判定等知识，熟知矩形的判定是解答的关键．根据矩形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴平行四边形是矩形，符合题意； C、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意， 故选：B． 5. 在平面直角坐标系中，直线(m为常数)与轴交于点，将该直线沿轴向下平移4个单位长度后，与轴交于点．若点与关于原点对称，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. -4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征： 先求出，，根据点与关于原点对称，建立方程求解即可． 【详解】解：令， ∴， ∵将该直线沿轴向下平移4个单位长度后， ∴平移后解析式为：， 同理可求， ∵点与关于原点对称， ∴， 解得：, 故选：A． 6. 一副三角尺按如图方式放置，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角的和差，平行线的性质，由角的和差得，由平行线的性质得，即可求解；能熟练利用平行线的性质进行求解是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， 故选：B． 7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可能的值是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有2个不相等的实数根，得到，列出不等式求出的范围，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴或， ∴可能的值是； 故选B． 8. 如图，张卡片的正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同．现将所有卡片背面朝上洗匀后从中随机抽取两张，这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画树状图得出所有可能的结果数以及两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的结果数，再利用概率公式即可解答． 【详解】解：按图上顺序将张卡片分别记为，，，，则属于化学变化的有和，画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的结果有种， 故这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率为． 9. 如图，在中，，，，把以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到边的延长线上点处，则边扫过的图形（图中阴影部分）的面积为（ ） A. 3π B. 9π C. 12π D. 16π 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不规则图形面积的计算，将不规则图形转化为可求图形面积的和差，并牢记三角形面积公式和扇形面积公式是解题关键．首先求出，，然后根据结合三角形面积公式和扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，，， ，， ， 故选：B． 10. 布洛芬是一种解热镇痛抗炎药，该药在人体内发挥药效的最低血药浓度为．某研究部门将一批相同症状的患者分为两组，甲组服用布洛芬片剂，乙组服用等效的布洛芬缓释胶囊，两组均于上午服药并定时静脉抽血测验，测得平均血药浓度随时间推移的关系图象如图所示．下列结论错误的是（ ） A. 甲组服药后，血药浓度最高 B. 布洛芬缓释胶囊起效更快 C. 服药的前，两组患者体内的血药浓度均随时间的推移而增大 D. 布洛芬缓释胶囊的药效持续时间更长 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，读懂函数图象是解题的关键． 根据函数图象分析各选项即可． 【详解】解：A、由函数图象可得甲组上午服药，血药浓度最高，甲组服药后，血药浓度最高，正确，故本选项不符合题意； B、从图象可知，甲组（服用布洛芬片剂）在较短时间内血药浓度就达到较高值，而乙组（服用布洛芬缓释胶囊）上升相对较慢，所以布洛芬片剂起效更快，该选项说法错误，故本选项符合题意； C、观察图象，在服药的前4小时，即这段时间，甲组和乙组患者体内的血药浓度均随时间的推移而增大，所以该选项说法正确，故本选项不符合题意； D、从图象可以看出，乙组（布洛芬缓释胶囊）的血药浓度在较长时间内都保持在一定水平，相比甲组，其药效持续时间更长，所以该选项说法正确，故本选项不符合题意， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 对代数式“”，我们可以这样来解释：某人以3米/秒的速度走了x秒，他一共走的路程是米．请你对“”再给出另一个实际生活方面的解释：____________． 【答案】香蕉每千克3元，某人买了x千克，共付款元（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】结合常见的数量关系构造实际场景，只要符合的倍数关系即可，答案不唯一． 【详解】解：香蕉每千克3元，某人买了x千克，共付款元． 12. 不等式组的整数解是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了求不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先求出各不等式的解集，求出它们的公共部分得到不等式组的解集，即可求出不等式组的整数解． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解是2． 故答案为：2． 13. 如图，是的直径，点在的延长线上，是的切线，为切点，连结，，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，等边对等角，三角形的外角性质，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 由是的切线，则有，根据等边对等角得，所以，最后通过三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，，为上的动点，点在的延长线上，且，相交于点E．当点P从点A运动到点B时，点E运动的路线长度为______． 【答案】15 【解析】 【分析】先画出点E运动的路线，过E作，交于点F，根据，可得，设，则，，再根据，可求得，利用勾股定理可得． 【详解】解：当点P在点A处时，如图， ， ， 当点P运动到点B时，如图， ∴点E运动的路线，如图， 过E作，交于点F，即， ∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ，即， 解得：， ，， 在中，  ． 15. 在等边中，点E在直线上，点D在直线上，且，若的边长为6，，则的面积为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分E在线段的延长线上和线段的延长线上两种情况，过E点作于F，根据等边三角形的性质求出长和，求出，即可求出答案． 【详解】解：点E在直线上，，点E位置有两种情况： ①点E在线段的延长线上时， 过E点作于F， ∵是等边三角形，的边长为6，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为； ②如图2，当E在线段的延长线上时，过E点作于F， ∵是等边三角形，边长为6，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为； 即的面积为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 17. 某社区为提高居民对防诈骗的认识，举办了防诈骗的知识比赛．现从该社区甲、乙两个参赛代表队中各随机抽取 10名队员的比赛成绩（满分 100 分），并进行整理、描述和分析（成绩用x表示， 共分为四组: A．， B．， C．， ．，下面给出了部分信息：甲队10名队员的比赛成绩: 69 ，79 ，88 ，90 ，92，94 ， 94 ，96 ，98 ，100．乙队10名队员的比赛成绩在D组中的所有数据为: 92，92，97，99 ，99，99．根据以上信息，解答下列问题： 甲、乙代表队中抽取的队员比赛成绩统计表 代表队 平均数 中位数 众数 “C”组所占百分比 甲 90 a 94 乙 90 92 b （1）填空： （2）该社区甲代表队有100名队员、乙代表队有130名队员参加了此次比赛，估计此次比赛成绩在A组的队员共有多少名； （3）根据以上数据，你认为甲、乙哪个代表队的比赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1）93，99，10； （2）23名 （3）乙 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的意义是正确解答的关键． （1）根据中位数、众数的定义可求出a、b的值；D组的人数为6，根据B组和C组的百分比求出人数即可解答； （2）用样本比赛成绩在A组的情况估计总体； （3）从中位数、众数的比较得出答案． 【小问1详解】 解：甲队10名队员的比赛成绩为：69，79，88，90，92，94，94，96，98，100， ∴中位数， 乙组10队员的比赛成绩：B组的人数为，C组的人数为， D组的人数为6人：92，92，97，99，99，99， ∵99出现的次数最多，为3次， ∴众数， A组的人数为：， ， ∴， 故答案为：93，99，10； 【小问2详解】 解：（名）， 估计此次比赛成绩在A组的队员共有23名； 【小问3详解】 解：乙队成绩好． 因为乙对的众数远远高于甲队． 18. 如图，在中，． （1）尺规作图：作的角平分线，交线段于点．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）作出的图中，若，，求的长度． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）过点D作于点E，由角平分线的性质可得，进而可得．根据，可得．证明，可得，即，即可得的长． 【小问1详解】 解：如图，射线即为所求． 【小问2详解】 解：过点D作于点E， ∵为的平分线，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴． 19. 如图，已知，，，将线段水平向右平移10个单位长度得到线段(点A对应点D)，连接，．反比例函数的图象经过点D． （1）证明：四边形为菱形； （2）求此反比例函数的解析式； （3）已知在反比例函数的图象上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形是平行四边形，求点M的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】此题主要考查平行四边形的性质，菱形的性质与判定、待定系数法求函数的解析式，注意掌握坐标与图形的关系是关键． （1）由平移可得，，，，四边形为平行四边形，利用勾股定理可求得，即可得到四边形的四条边相等，即可得证结论； （2）由四边形为菱形，可求得点的坐标，然后利用待定系数法，即可求得此反比例函数的解析式； （3）由四边形是平行四边形，根据平移的性质，可求得点的横坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点的坐标，继而求得点的坐标． 【小问1详解】 证明：∵，，线段水平向右平移10个单位长度得到线段(点A对应点D)， ∴，，，，，， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴，，　 ∴， ∴四边形为菱形． 【小问2详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 【小问3详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴是经过平移得到的， ∴根据，可得，首先向右平移了6个单位长度， ∴点N的横坐标为6，代入得，　 ∴点M的纵坐标为， ∴点M的坐标为． 20. 数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，请根据表格内容完成任务． 课题 探究非机动车道遮阳棚相关问题 素材背景 非机动车道上的遮阳棚采用高级玻璃丝纤维材料，能够抵抗雨淋和日晒 抽象测量 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图，如图，立柱与地面垂直，的长为，，经过点的太阳光线照射在点处 （结果精确到．参考数据：，，，，，） （1）任务1：求出遮阳棚前端到地面的距离； （2）任务2：当太阳光线与地面夹角．时，求非机动车道上的遮阳棚的有效遮阳宽度的长． 【答案】（1）遮阳棚前端到地面的距离约为 （2）非机动车道上的遮阳棚的有效遮阳宽度的长约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的方法是解题的关键．任务1：作，，由等腰三角形的性质可得，在Rt中，，结合图形即可求解；任务2：在Rt中，，，可知，在Rt中，，，再结合，即可求解． 【小问1详解】 解：任务1：如图，作于点，则， ∵m，， ∴ ∴， ∵， ∴． 作于点，则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 答：遮阳棚前端到地面的距离约为． 【小问2详解】 解：任务2：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 答：非机动车道上的遮阳棚的有效遮阳宽度的长约为． 21. 2025年初，国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房创历史新高．某生产商推出了哪吒手办（类）和敖丙手办（类）盲盒，已知生产商每天生产类手办比生产类手办多200个，若单独生产12000个类手办所需时间和单独生产8000个类手办所用时间相同． （1）求生产商每天单独生产两类手办的个数； （2）两种手办某商家的购进价和售价如下表： 进价 售价 类/个 80 100 类/个 100 150 根据网上预约的情况，该商家计划用不超过17000元的资金购进两种手办共200个，若这200个手办全部售完，请你设计购进方案，使商家获利最大，并求最大利润； （3）商家为寻求合适的销售价格，对进价为100元的类手办，进行了4天的试销，试销情况如下表： 第一天 第二天 第三天 第四天 日销售单件利润（元） 20 30 40 50 日销售量（个） 300 200 150 120 根据试销情况，请你猜测并求与之间的函数关系式，若该手办每天的销售量不高于600个，求该手办的最低销售单价． 【答案】（1）生产商每天生产类手办600个，类手办400个 （2）当购进150个种手办，50个种手办时，商家获利最大，最大利润是5500元 （3）110元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，不等式，函数解析式是解题的关键． （1）设生产商每天生产类手办个，则每天生产类手办个，根据时间相同列出方程求解即可； （2）设购进个种手办，则购进个种手办，根据不超过17000元的资金列出不等式求解，设这200个手办全部售完获得的总利润为元，列出一次函数并分析一次函数自变量的取值即可得出结果； （3）根据表格信息列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设生产商每天生产类手办个，则每天生产类手办个， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的根，并符合题意， 所以，生产商每天生产类手办600个，类手办400个； 【小问2详解】 解：设购进个种手办，则购进个种手办， 根据题意得：， 解得：． 设这200个手办全部售完获得的总利润为元， 则，即， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时（个）． 所以，当购进150个种手办，50个种手办时，商家获利最大，最大利润是5500元； 【小问3详解】 解：由表中数据得：， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴利润至少为10元 ∴单价至少为元． 22. 为了提高运动员成绩，大赛前训练中心配备了一架如图1所示的高度可调的羽毛球发球机器人．如图2，发球机器人固定站在地面的点O处，其弹射出口记为点A，所发出的羽毛球的运动路径呈抛物线状．设飞行过程中羽毛球与发球机器人之间的水平距离为x（单位：米），羽毛球到地面的高度为y（单位：米），y与x的部分对应数据如表所示． x/米 … 1.8 2 2.2 2.4 2.6 … y/米 … 2.24 2.25 2.24 2.21 2.16 … （1）求y与x的函数解析式． （2）调整弹射出口A的高度可以改变球的落地点．为了训练运动员的后场能力，需要使羽毛球的落地点到点O的水平距离增加1米．若此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，则发球机的弹射出口高度应调整为多少米？ 【答案】（1） ； （2）3米． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键． （1）依据题意，由y与x的部分对应数据中的表格信息，利用待定系数法即可求出y关于x的函数表达式； （2）依据题意，先由求出的解析式令，求出x的值即可得到羽毛球的落地点B到发球机0点的水平距离，然后设新抛物线的解析式，再令，米，列方程求出函数解析式，再令，求出y值即可求出发球机的弹射口高度应调整为多少米，进而可以得解． 【小问1详解】 解∶由表格信息可知，抛物线过，． 对称轴是直线， 抛物线的顶点为， 可设抛物线的解析式为∶， 又其图象过点， ， ， 关于x的函数表达式为∶ ； 【小问2详解】 解：由题意，当时，， ， (舍去)． 羽毛球的落地点到发球机点的水平距离为5米， 又抛物线的形状和对称轴位置都不变， 可设抛物线的解析式为∶， 要使发射出的羽毛球落地点到点的水平距离增加1米， 当时，， ， ． ． 当时，． 发球机的弹射口高度应调整为3米． 23. 在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作推断 如图1，点P是正方形纸片的边的中点，沿折叠，使点A落在点M处，延长交于点 F，连接． 则 ． （2）迁移探究 小华在（1）的条件下，继续探究：如图2，延长交于点E，连接． ① ； ②小华用大小不同的正方形纸片重复几次以上操作，总发现，请判断该发现是否正确？并说明理由． （3）拓展应用 将边长为1的两个相同正方形拼成矩形，如图3，点P是上一动点，沿折叠，使点A落在点M处，射线交射线于点 F．当时，直接写出的长． 【答案】（1）90 （2）①45；②正确，理由见解析 （3）AP长为或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，根据折叠的性质得到，根据全等三角形的性质即可解答； （2）①根据正方形的性质得到，进而得到，根据折叠的性质得到，根据全等三角形的性质得到，进而完成解答；②根据相似三角形的判定和性质定理即可解答； （3）根据矩形的性质得到，再分点F在的延长线上和上两种情况，分别运用正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质定理解答即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点P是正方形纸片的边的中点， ∴， ∵沿折叠，使点A落在点M处， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：90． 【小问2详解】 解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵点P是正方形纸片的边的中点， ∴， ∵沿折叠，使点A落在点M处， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：45； ②判断正确，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【小问3详解】 解：∵将边长为1的两个相同正方形拼成矩形， ∴， ∴， ∵沿折叠，使点A落在点M处， ∵, ①当点F在的延长线上时， ∴， 设与交于E， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得： ， ∴． ②当点F在上时， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴, ∴ ∵， ∴， ∴， ∵沿折叠，使点A落在点M处， ∵, ∴，解得：． ∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质、矩形的性质、勾股定理、折叠的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握正方形的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $