10.7二项分布、超几何分布与正态分布 课件-2027届高三数学一轮复习

第7节　二项分布、超几何分布 与正态分布 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 1.理解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题. 2. 了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题. 3.借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用. 课标要求 1.n重伯努利试验 将一个伯努利试验(___________________________的试验)独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. 2.二项分布 (1)概念:在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，n，称随机变量X服从二项分布，记作___________________. (2)期望与方差:E(X)＝______，D(X)＝_________________. 只包含两个可能结果 pk(1-p)n-k X~B(n,p) np np(1-p) 3 3.超几何分布 (1)概念:假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不 放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝ max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，称随机变量X服从超几何分布. (2)特点:从含有M个特殊元素的N个元素中抽取n个元素，X表示其中的特殊元素的个数. (3)期望:E(X)＝＝np(其中p＝为次品率). 4 4.正态分布 (1)正态曲线:f(x)＝·，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，称f(x)为正态密度函数，函数f(x)的图象为__________________，简称正态曲线. (2)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线_____________对称. ②曲线在____________处达到峰值. ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴. ④曲线与x轴围成的面积总为___. 正态密度曲线 x=μ x=μ 1 5 ⑤在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图1所示.σ决定正态曲线的“胖瘦”:σ越大，曲线越“胖”;σ越小，曲线越“瘦”，如图2所示. 6 (3)正态分布的概念及表示 ①概念:若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝·，x∈R，其中，μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为_______________.特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布. ②正态分布的均值与方差:若X~N(μ，σ2)，则E(X)＝___，D(X)＝___. ③3σ原则:如果X~N(μ，σ2)，那么 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7; P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5; P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. X~N(μ,σ2) μ σ2 7 常用结论与微点提醒 1.两点分布是当n＝1时的二项分布，二项分布中的每次试验的结果都服从两点分布. 2.当X~B(n，p)时，P(X＝k)的最大值: 若(n＋1)p是正整数，则k＝(n＋1)p或k＝(n＋1)p－1时，P(X＝k)取得最大值. 若(n＋1)p非正整数，则k＝[(n＋1)p](不大于(n＋1)p的最大整数)时，P(X＝k)取得最大值. 注:若均值为正整数，则当随机变量k＝np时，概率最大. 3.若X~N(μ，σ2)，则P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a). 8 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)服从超几何分布的随机变量的取值概率可用古典概型计算.(　　) (2)如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么n重伯努利试验中这个事件恰好发生k次的概率P(X＝k)＝pn－k(1－p)k，k＝0，1，2，…，n.(　　) (2)中易与二项展开式通项混淆，应为P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. 诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编 √ × 9 (3)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的.(　　) (4)服从二项分布、超几何分布及正态分布的随机变量是离散型随机变量.(　　) (3)中面积即为频率之和，是定值1;(4)中正态分布的随机变量是连续型的. × × 10 2.(北师大选修一P224T2原题)若随机变量ξ~N(μ，σ2)，其分布密度函数为φ(x)＝·(x∈R)，则σ的值为(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 B 与f(x)＝中对比可知σ＝2. 11 3.(人教A选修三P78例5改编)在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P(X＝2)＝(　　) A. B. C. D. C 由题意，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝4，故P(X＝2)＝. 12 4.(湘教选修二P144T2改编)甲、乙比赛时，甲每局赢的概率是0.51，乙每局赢的概率是0.49，甲、乙一共进行了10局比赛，已知各局比赛相互独立，则甲平均赢的局数为____________.  5.1 由题意，用X表示10局中甲赢的次数，则X~B(10，0.51)，所以E(X)＝10×0.51＝5.1(局). 13 例1 (2026·济南模拟)某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为.每次回答是否被采纳相互独立. (1)求智能客服的回答被采纳的概率; 考点一　二项分布 设事件A＝“智能客服的回答被采纳”，事件B＝“输入问题表达不清晰”. 由题意可知，P(B)＝，P()＝1－，P(A|B)＝，P(A|)＝， 则P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|) ＝××， 即智能客服的回答被采纳的概率为. (2)在某次测试中输入了3个问题，设X表示智能客服的回答被采纳的次数，求X的分布列、期望及方差. 由题意得，X的可能取值为0，1，2，3，X~B， 所以P(X＝0)＝， P(X＝1)＝， P(X＝2)＝， P(X＝3)＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 法一　所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×， D(X)＝××× ×. 法二　E(X)＝3×，D(X)＝3××. 感悟提升 二项分布问题的解题关键 (1)定型:①在每一次试验中，事件发生的概率相同. ②各次试验中的事件是相互独立的. ③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. (2)定参:确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率. 训练1 (1)(2026·湖南教研联盟联考)甲、乙、丙、丁四人同时对一目标进行射击，四人击中目标的概率都为，目标被一人击中不会摧毁，目标被两人击中而摧毁的概率为，目标被三人击中而摧毁的概率为，若四人都击中目标肯定被摧毁，则目标被摧毁的概率为(　　) A. B. C. D. C 设目标被击中次数为X，则由题意知X服从二项分布，则X~B， 所以P(X＝2)＝×，P(X＝3)＝×， P(X＝4)＝×， 则目标被摧毁的概率P＝×××1＝，故选C. (2)(2025·天津卷)小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，跑6圈的概率为0.6.若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，跑6圈的概率为0.4，小桐一周跑11圈的概率为____________;若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记达标周数为X，则期望E(X)＝____________.  0.6 3.2 小桐一周跑11圈的概率p＝0.5×0.6＋0.5×0.6＝0.6. 小桐一周运动量达标的概率p＝1－0.5×0.4＝0.8，显然X服从二项分布B(4，0.8)， 故E(X)＝4×0.8＝3.2. 例2 (2026·郑州模拟)随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其A，B两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查(满分100分)，评分结果如下: 分公司A:66，80，72，79，80，78，87，86，91，91. 分公司B:62，77，82，70，73，86，85，94，92，89. (1)求抽取的这20位客户评分的第一四分位数; 考点二　超几何分布 将抽取的这20位客户的评分从小到大排列为62，66，70，72，73，77，78，79，80，80，82，85，86，86，87，89，91，91，92，94. 因为20×25%＝5， 所以抽取的这20位客户评分的第一四分位数为＝75. (2)规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司B的客户人数为X，求X的分布列和数学期望. 由已知得分公司A中75分以下的有66分，72分; 分公司B中75分以下的有62分，70分，73分， 所以上述不满意的客户共5人，其中分公司A中2人，分公司B中3人. 由题意可知随机变量X服从超几何分布，其N＝5，M＝3，n＝3，且X的可能取值为1，2，3. P(X＝1)＝， P(X＝2)＝， P(X＝3)＝， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×. 感悟提升 1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，超几何分布的特征是:①考察对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列. 2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型. 训练2 (2026·宿州模拟)宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市.为了统计智算中心的算力，现从全市n个大型机房和6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为. (1)求n的值; 由题知，共有n＋6个机房，抽取2个机房有种方法，其中全是小机房有种方法，因此全是小机房的概率为p＝， 解得n＝4.即n的值为4. (2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X，求X的分布列和数学期望. 由题意知随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝6，N＝3，且X的可能取值为0，1，2，3. P(X＝0)＝， P(X＝1)＝， P(X＝2)＝， P(X＝3)＝. 则随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 则X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×. 例3 (1)(多选)(2026·重庆诊断)已知随机变量X服从正态分布N，且P＝m，P(1<X<3)＝n，则以下选项正确的是(　　 ) A.D(X)＝ B.若Y＝3X＋1，则E(Y)＝7 C.若Y＝2X＋1，则D(Y)＝ D.P ABD 考点三　正态分布 由题意知E(X)＝2，D(X)＝，故A正确; 对于B，E(Y)＝E(3X＋1)＝3E(X)＋1＝7，故B正确; 对于C，D(Y)＝D(2X＋1)＝4D(X)＝1，故C错误; 由题意得变量X的正态曲线关于直线x＝2对称， 则P＝P， P(2≤X<3)＝P(1<X≤2)＝， 所以P，故D正确. (2)(2026·海口调研)随机变量X~N(0，1)，Y~N(0，4)，则下列关系正确的是(　　) A.P(X≥1)>P(Y≥2) B.P(X≥1)<P(Y≥2) C.P(|X|≤1)>P(|Y|≤1) D.P(|X|≤1)<P(|Y|≤1) C 因为随机变量X~N(0，1)， 所以μ1＝0，σ1＝1，又随机变量Y~N(0，4)，所以μ2＝0，σ2＝2. 则P(X≥1)＝P(X≥μ1＋σ1)，P(Y≥2)＝P(Y≥μ2＋σ2). 所以P(X≥1)＝P(Y≥2). 所以A，B均错误. P(|X|≤1)＝P(μ1－σ1≤X≤μ1＋σ1)＝P(|Y|≤2)＝P(μ2－σ2≤Y≤μ2＋σ2)， 又P(|Y|≤1)<P(|Y|≤2); 所以P(|X|≤1)>P(|Y|≤1)， 所以C正确，D错误.故选C. 感悟提升 解决正态分布问题的三个关键点 (1)对称轴为x＝μ.(2)标准差为σ.(3)分布区间. 由μ，σ利用对称性可求指定范围内的概率值，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率. 训练3 (1)(多选)(2024·新高考Ⅰ卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(　　) (若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(Z<μ＋σ)≈0.841 3) A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 BC 由题意可知，X~N(1.8，0.12)， 所以P(X>2)<P(X>1.8)＝0.5，P(X<1.9)≈0.841 3， 所以P(X>2)<P(X≥1.9)＝1－P(X<1.9)≈1－0.841 3＝0.158 7<0.2，所以A错误，B正确; 因为Y~N(2.1，0.12)，P(Y<2.2)≈0.841 3，P(Y>2)>P(Y>2.1)＝0.5， 所以P(2<Y<2.1)＝P(2.1<Y<2.2)＝P(Y<2.2)－P(Y≤2.1)≈0.841 3－0.5＝0.341 3， 所以P(Y>2)＝P(2<Y<2.1)＋P(Y≥2.1)≈0.341 3＋0.5＝0.841 3>0.8， 所以C正确，D错误. (2)某企业生产一种零部件，其质量指标介于(49.6，50.4)的为优品，技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布N(50，0.16);技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布N(50，0.04).那么，该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差约为_________.(若X~N(μ，σ2)，则P(|X－μ|<σ)≈0.682 7，P(|X－μ|<2σ)≈0.954 5，P(|X－μ|<3σ)≈0.997 3)  0.271 8 记技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标的均值为μ1，标准差为σ1;技术改造后，该企业生产的该种零部件质量指标的均值为μ2，标准差为σ2， 由题知μ1＝μ2＝50，σ1＝0.4，σ2＝0.2，(49.6，50.4)＝(μ1－σ1，μ1＋σ1)＝(μ2－2σ2，μ2＋2σ2)， 所以技术改造前的优品率约为0.682 7， 技术改造后的优品率约为0.954 5， 优品率之差约为0.954 5－0.682 7＝0.271 8. 1.教材和考题中常涉及二项分布与超几何分布，有时候对这两种模型的定义不能很好地理解，一遇到“取”或“摸”的题型，就认为是超几何分布，事实上，超几何分布和二项分布确实有着密切的联系，但也有明显的区别. 2.超几何分布的抽取是不放回抽取，各次抽取不独立;二项分布的抽取是有放回抽取，各次抽取相互独立.当超几何分布所对应的总体数量很大时可以近似地看作二项分布. 二项分布与超几何分布的区别与联系 微点突破 一、以总体个数有限与无限区分两种分布 例1 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位:克)，质量的分组区间为[490，495]，(495，500]，…，(510，515].由此得到样本的频率分布直方图(如图). (1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量; 质量超过505克的产品的频率为 5×0.05＋5×0.01＝0.3， 所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件). (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列; 质量超过505克的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28件， 由题意知，随机变量X服从超几何分布，其中N＝40，M＝12，n＝2， X的取值为0，1，2，P(X＝0)＝，P(X＝1)＝， P(X＝2)＝，所以X的分布列为 X 0 1 2 P (3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列. 根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为. 从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成二项分布，质量超过505克的件数Y的可能取值为0，1，2，且Y~B， P(Y＝k)＝，k＝0，1，2. 所以P(Y＝0)＝·， P(Y＝1)＝··， P(Y＝2)＝·， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 P 二、以放回与不放回抽样区分两种分布 例2 根据城市魅力排行榜，一线城市有4个，分别为上海、北京、深圳、广州;新一线城市有15个，分别为成都、杭州、重庆、苏州、武汉、西安、南京、长沙、天津、郑州、东莞、无锡、宁波、青岛、合肥.其中城区常住人口超过一千万的超大城市有10个，分别为上海、北京、深圳、重庆、广州、成都、天津、东莞、武汉、杭州. (1)从10个超大城市中随机抽取一个城市，求该城市是一线城市的概率; 10个超大城市中包含4个一线城市，所以从10个超大城市中随机抽取一个城市，该城市是一线城市的概率为. (2)从10个超大城市中按不可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量X表示新一线城市的数量，求随机变量X的分布列和期望; 10个超大城市中包含6个新一线城市， 由题意知随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝6，n＝3， 且X的可能取值为0，1，2，3. P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×. (3)从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量Y表示新一线城市的数量，比较E(X)与E(Y)的大小关系. E(X)＝E(Y).理由如下: 从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市， 则随机变量Y服从二项分布，且随机变量Y~B，则E(Y)＝3×， 所以E(X)＝E(Y). 训练 为庆祝建军节的到来，某校举行“强国强军”知识竞赛.该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在A，B两名学生中产生，该班委设计了一个选拔方案:A，B两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生A能正确回答其中的4个问题，而学生B能正确回答每个问题的概率均为.A，B两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的. (1)分别求A，B两名学生恰好答对2个问题的概率; 由题意，知A恰好答对2个问题的概率为p1＝， B恰好答对2个问题的概率为p2＝. (2)设A答对的题数为X，B答对的题数为Y，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生?请说明理由. 我会选择学生A，理由如下: X的可能取值为1，2，3， 则P(X＝1)＝， P(X＝2)＝， P(X＝3)＝， 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝2， D(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×.易知Y~B， 所以E(Y)＝3×＝2，D(Y)＝3××. 因为E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)， 所以A与B答题的平均水平相当，但A比B更稳定，所以选择学生A. 一、单选题 1.下列事件是n重伯努利试验的是(　　) A.运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B.甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C.甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标” D.在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标 D 选项A，C为互斥事件，不符合n重伯努利试验的定义; 选项B虽然是相互独立的两个事件，但是“甲射中10环”与“乙射中9环”的概率不一定相同，因此不是n重伯努利试验; 选项D中，甲射击10次，每次击中与否是相互独立的，且在相同条件下，符合n重伯努利试验. 2.若随机变量X~B，则P(X＝3)等于(　　) A. B. C. D. B 随机变量X~B， 则P(X＝3)＝. 3.(2026·广州六校联考)已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X<0)＋P(X<3)＝，则P(2<X<3)＝(　　) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 A 由题意得P(X<0)＝P(X>2)， 所以P(X<0)＋P(X<3)＝P(X>2)＋P(X≤2)＋P(2<X<3)＝1＋P(2<X<3)＝， 得P(2<X<3)＝＝0.1，故选A. 4.(2025·天津卷)已知r为相关系数，则下列说法中错误的是(　　) A.若X~N(μ，σ2)，则P(X≤μ－σ)＝P(X≥μ＋σ) B.若X~N(1，22)，Y~N(2，22)，则P(X<1)<P(Y<2) C.|r|越接近1，线性相关性越强 D.|r|越接近0，线性相关性越弱 B 由正态曲线的对称性可知P(X≤μ－σ)＝P(X≥μ＋σ)，A正确; 若X~N(1，22)，Y~N(2，22)， 则P(X<1)＝P(Y<2)＝，B错误，C，D正确. 5.有20个零件，其中一等品有16个，二等品有4个，若从这些零件中不放回地任取3个，那么其中最多有1个二等品的概率是(　　) A. B. C.1－ D. D 抽取的3个零件中只有1个二等品的概率为， 抽取的3个零件均为一等品的概率为， 故其中最多有1个二等品的概率为. 6.已知随机变量X服从二项分布B(4，p)，其期望E(X)＝3，随机变量Y服从正态分布N(1，2)，若P(Y>0)＝p，则P(0<Y<2)＝(　　) A. B. C. D. D 由E(X)＝4p＝3，得p＝， 则P(Y>0)＝， 则P(0<Y<1)＝， 则P(0<Y<2)＝2P(0<Y<1)＝. 7.数轴上一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1秒向左或向右移动一个单位，已知向右移动的概率为，向左移动的概率为，共移动8次，则质点位于－2的位置的概率是(　　) D A. B. C. D. 依题意此试验满足8重伯努利试验，设向左移动次数为X，则X~B，从原点O出发，共移动8次，最后质点位于－2，则需向右移动3次，向左移动5次，所以质点位于－2的位置的概率为P(X＝5)＝. 二、多选题 8.袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则(　 　) A.X~B B.P(X＝2)＝ C.E(X)＝ D.D(X)＝ ACD 从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到黑球的概率相等，又取到黑球记1分，取到白球记0分，4次取球的总分数，即为取到黑球的个数，所以随机变量X服从二项分布，即X~B，故A正确; P(X=2)==,故B错误; 因为X~B, 所以E(X)=4×=, 故C正确; D(X)=4××=,故D正确. 9.袋中有6个大小相同的黑球，编号分别为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号分别为7，8，9，10.现从中任取4个球，则下列结论中正确的是(　　) A.取出的最大号码X服从超几何分布 B.取出的黑球个数Y服从超几何分布 C.取出2个白球的概率为 D.若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 BD 对于A，根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取， 由此可知取出的最大号码X不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故A错误; 对于B，取出的黑球个数Y符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第二类，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故B正确; 对于C，取出2个白球的概率为，故C错误; 对于D，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，总得分最大的概率为，故D正确. 三、填空题 10.(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝____________.  0.14 因为X~N(2，σ2)， 所以P(X<2)＝P(X>2)＝0.5， 所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14. 11.数学教师从6道习题中随机抽3道让学生自我检测，规定至少要解答正确2道 题才能及格.某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是____________.  设X表示解答正确的习题的个数，由题意知X服从超几何分布，由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝. 12.(2026·石家庄调研)如图是一块高尔顿板示意图:在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2， 3，4，5，用X表示小球落入格子的号码，则P(X＝5)＝_____;E(X)＝______.  小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都有两种选择:向左或向右，且每种选择的概率相等，均为.因此，小球落入第i个格子的概率可以看作是一个二项分布问题， 即X~B. 求P(X＝5)时，小球每次都向右落，共需经过5次向右的选择，概率为， E(X)＝np＝5×. 四、解答题 13.某中学准备发布健康饮食的倡议，提前收集了学生的体重和饮食习惯等信息，其中学生饮用含糖饮料的统计结果如下:学校有的学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为;而每天饮用含糖饮料低于500毫升的学生肥胖率为. (1)若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该生肥胖的概率; 设“学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升”为事件A，则P(A)＝，P()＝， 设“学生肥胖”为事件B，则P(B|A)＝， P(B|)＝， 由全概率公式可得P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|)P()＝××， 所以从该中学的学生中任意抽取一名学生，该生肥胖的概率为. (2)现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记X表示这三名学生中肥胖的人数，求X的分布列和数学期望. 由题意可知:X~B，且X的可能取值为0，1，2，3， 则有:P(X＝0)＝， P(X＝1)＝××， P(X＝2)＝××， P(X＝3)＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P X的期望E(X)=3×=. 14.(2026·宝鸡模拟)某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产，其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值:[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95].根据长期检测结果，发现芯片的质量指标值X服从正态分布N(μ，σ2).现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据检测结果，样本中芯片质量指标值的标准差s的近似值为11，用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，可得到X服从的正态分布N(μ，σ2).求a和μ的值; 由题可知(0.010＋a＋0.040＋0.015＋0.010)×10＝1， 解得a＝0.025. 所以估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件芯片的质量指标值的平均数＝10×(0.010×50＋0.025×60＋0.040×70＋0.015×80＋0.010×90)＝69， 即μ≈＝69. (2)从样本中质量指标值在[45，55)和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望; 因为(0.010＋0.010)×10×100＝20， 所以所取样本件数为20. 质量指标值在[85，95]的芯片件数为10， 故η可能取的值为0，1，2，3， 则P(η＝0)＝， P(η＝1)＝， P(η＝2)＝， P(η＝3)＝， 随机变量η的分布列为 η 0 1 2 3 P 所以η的数学期望E(η)＝0×＋1×＋2×＋3×. (3)将质量指标值不低于K的芯片称为A等品.通过对芯片长期检测发现，在生产线任意抽取一件芯片，它为A等品的概率为0.16，用第(1)问的结果估计K的值. (附:①同一组中的数据用该组区间的中点值代表;②参考数据:若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)≈0.997 3) 由(1)题干可知σ≈s≈11，所以X~N(69，112). 由题可知P(69－11<X<69＋11)≈0.682 7. 所以P(X≥80)＝≈0.16， 即K≈80. $