第47讲　用样本估计总体课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“用样本估计总体”专题，依据高考评价体系梳理了百分位数、平均数、方差、频率分布直方图数字特征等核心考点，通过近五年真题统计明确“方差计算”“百分位数估计”等高频考点占比，归纳选择、填空、解答题三大常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题溯源+技巧提炼+素养培养”，如以2023全国乙卷方差计算题为范例，详解“数据变换法”突破方差性质应用，培养数学思维。设置“易错警示”如百分位数计算步骤，通过分层抽样均值方差公式建模，提升数学语言表达能力，助力学生掌握答题技巧，教师可精准指导复习。

第47讲　用样本估计总体 第九章 统　计 1 1．(教材经典题改编)某射击运动员7次训练的成绩分别为86，88，90，89，88，87，85，则这7次成绩的第80百分位数为 (　　) A．88.5　 B．89 C．91　 D．89.5 【解析】 　　　　因为7次训练的成绩从小到大排列为85，86，87，88，88，89，90，且7×80%＝5.6，所以第80百分位数为从小到大排列的数据中的第6个数据，即89． B 2．(教材经典题)甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为： 甲　0　1　0　2　2　0　3　1　2　4 乙　2　3　1　1　0　2　1　1　0　1 分别计算这两组数据的平均数和标准差，从计算结果看，______机床的性能更好． 【解析】 乙 3．(多选)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次成绩(单位：环)，得到如下数据： 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 则 (　 　) A．甲成绩的样本极差小于乙成绩的样本极差 B．甲成绩的样本平均值等于乙成绩的样本平均值 C．甲成绩的样本中位数等于乙成绩的样本中位数 D．甲成绩的样本标准差小于乙成绩的样本标准差 【解析】 　　　　甲成绩的极差为93－87＝6，乙成绩的极差为92－88＝4，故A错误； 甲成绩的中位数为90，乙成绩的中位数为90，故C正确； 【答案】BC 4．若一组数据4x1，4x2，…，4x12的中位数为16，方差为64，则另一组数据x1－1，x2－1，…，x12－1的中位数为_____，方差为_____． 【解析】 3 4 1．总体平均数与样本平均数 总体均值 样本均值 2．百分位数 一般地，一组数据的第k百分位数是这样一个值pk，它使得这组数据中至少有______的数据小于或等于pk，且至少有_____________的数据大于或等于pk．如果将样本数据从小到大排列成一行，那么第k百分位数pk所处位置如图所示． k% (100－k)% 3．平均数、中位数和众数 (2) 中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最________的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的__________(当数据个数是偶数时)叫做这组数据的中位数． (3) 众数：一组数据中出现次数________的数据(即频数最大值所对应的样本数据)． 中间 平均数 最多 5．常用结论 平均数、方差的公式推广 (2) 若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则： ①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差为______； ②数据ax1，ax2，…，axn的方差为________． s2 a2s2 目标 1 百分位数的估计 　　　(1)(2025·萍乡二模)已知一组数据为123，117，117，121，122，120，116，114，120，119，则这组数据的75%分位数是 (　　) A．114　 B．115 C．120.5　 D．121 1 【解析】 　　　　将10个数据按顺序排列为114，116，117，117，119，120，120，121，122，123，10×0.75＝7.5，则75%分位数是第8个数据121． D 　　　(2)(2026·南昌期初)(多选)某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，从某地区随机抽取了500名用户进行问卷评分调查，将评分数据按[40，50)，[50，60)，…，[90，100]分组整理得频率分布直方图如图所示．记该样本的平均数为μ，三个四分位数分别为a，b，c(a＜b＜c)，则下列判断正确的是 (　 　) A．a－40＜b－a　 B．c－b＜100－c C．a，b，c成等差数列　 D．μ＜b 1 【解析】 　　　　μ＝(45×0.005＋55×0.015＋65×0.025＋75×0.035＋85×0.015＋95× 0.005)×10＝70.5．设第一四分位数为x，则有0.005×10＋0.015×10＋(x－60)×0.025＝0.25⇒x＝62； 【答案】BD 计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第一步：按从小到大的顺序排列原始数据； 第二步：计算i＝n×p%； 第三步：若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 注：在频率分布直方图中求百分位数，见例2(2)． 变式1　(2025·秦皇岛三模)数据16，22，13，14，25，17，18，19，21，10的第70百分位数是 (　　) A．18　 B．19 C．20　 D．21 【解析】 C 目标 2 总体集中趋势的估计 　　　(1)(2024·新高考Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表： 2 亩产量 [900，950) [950， 1 000) [1 000， 1 050) [1 050， 1 100) [1 100， 1 150) [1 150， 1 200] 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是 (　　) A．100块稻田亩产量中位数小于1 050 kg B．100块稻田中的亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间 【解析】 　　　　对于A，根据频数分布表知，6＋12＋18＝36＜50，所以100块稻田亩产量中位数不小于1 050 kg，故A错误； 对于C，100块稻田亩产量的极差最大值为1 200－900＝300，最小值为1 150－950＝200，所以极差介于200 kg至300 kg之间，故C正确； 【答案】C 　　　(2)(2025·郑州三模)某中学共有3 000名学生，为了了解学生书籍阅读量(单位：本)情况，该校从全校学生中随机抽取200名，统计他们2024年阅读的书籍数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是(注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表) (　　) A．阅读量的众数估值为8 B．阅读量的中位数估值为6.5 C．阅读量的平均数估值为6.76 D．阅读量的第70百分位数估值为8.86 2 【解析】 【答案】D 频率分布直方图中的数字特征 (1) 众数估计值：最高矩形的底边中点的横坐标． (2) 中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等． (3) 平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和． (4) 百分位数：与中位数类似，如70%分位数，则左侧矩形的面积之和为0.7． 变式2　(2025·保定期末)(多选)平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关．在如图所示的频率分布直方图的三种分布形态中，下列关于平均数和中位数的大小关系的说法正确的有 (　 　) A．丙图中平均数大于中位数 B．乙图中平均数大于中位数 C．甲图中平均数和中位数应 该大体上差不多 D．乙图中平均数小于中位数 甲 乙 丙 【解析】 　　　　对于甲图，频率分布直方图的形状是对称的，那么平均数和中位数大体上差不多，因此C正确； 对于乙图，频率分布直方图右侧拖尾，那么平均数大于中位数，因此B正确，D错误； 对于丙图，频率分布直方图左侧拖尾，那么平均数小于中位数，因此A错误． 【答案】BC 目标 3 总体离散程度的估计 　　　(2023·全国乙卷理)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10)，试验结果如下： 3 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 【解答】 　　　(2023·全国乙卷理)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10)，试验结果如下： 3 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 【解答】 标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小． 变式3　(1)(2025·南昌一模)(多选)现从甲、乙两名射击运动员中选择一人参加大型选拔赛，甲、乙各进行了10次射击，射击成绩(单位：环)如下表所示： 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 7 7 8 9 8 9 10 9 9 9 乙 8 9 7 8 10 7 10 10 7 10 依据该次选拔赛成绩，下列说法中正确的是 (　 　) A．甲的平均成绩高于乙的平均成绩 B．预计对手平均成绩较差，稳定发挥水平就能获得冠军，则选择乙参加比赛 C．预计对手平均成绩9.2环，则选择乙参加比赛 D．预计对手平均成绩8.8环，则选择甲参加比赛 【解析】 【答案】CD 【解析】 C 目标 4 分层随机抽样的均值与方差 4 【解析】 BD 变式4　(2026·邯郸一调)已知A组数据x1，x2，…，xm和B组数据y1，y2，…，yn(m，n∈N*，m，n∈[5，＋∞))的平均数分别为80，90，方差分别为15，20，若m＝4n，则由A，B这两组数据构成的所有数据的总体方差为 (　　) A．15　 B．32 C．35　 D．42 【解析】 B 1．(2025·苏北七市二调)已知4个不全相等的正整数的平均数与中位数都是2，则这组数据的极差为 (　　) A．4　 B．3 C．2　 D．1 【解析】 由于x1，x4是正整数，所以x1＝1，x4＝3(若x1＝x4＝2，则x2＝x3＝2，与已知4个数不全相等矛盾)，所以极差为3－1＝2． C 2．(2025·芜湖二模)已知一组数11，13，15，26，29，30，32，33，36，若去掉11和36，则该组数以下哪个数字特征不变 (　　) A．平均数　 B．中位数 C．方差　 D．极差 【解析】 对于D，去掉前的极差为36－11＝25，去掉后的极差为33－13＝20，故D错误． 【答案】B 3．(2025·武汉4月调研)随着DeepSeek的流行，各种AI大模型层出不穷，现有甲、乙两个AI大模型，在对甲、乙两个大模型进行深度体验后，6位评委分别对甲、乙进行打分(满分10分)，得到如下表所示的统计表格，则下列结论不正确的是 (　　) 　　评委编号 模型名称 1 2 3 4 5 6 甲 7.0 9.3 8.3 9.2 8.9 8.9 乙 8.1 9.1 8.5 8.6 8.7 8.6 A．甲得分的平均数大于乙得分的平均数 B．甲得分的众数大于乙得分的众数 C．甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D．甲得分的方差大于乙得分的方差 【解析】 　　　　甲、乙的得分从小到大排列如下：甲：7.0，8.3，8.9，8.9，9.2，9.3，乙：8.1，8.5，8.6，8.6，8.7，9.1，甲得分的中位数为8.9，乙得分的中位数为8.6，甲得分的中位数大于乙得分的中位数，故C正确； 甲得分的众数为8.9，乙得分的众数为8.6，甲得分的众数大于乙得分的众数，故B正确； 【答案】A 4．(2025·潍坊3月模拟)若一组样本数据x1，x2，x3，x4的平均数为2，方差为4，则数据x1，x2，x3，x4，2x1＋2，2x2＋2，2x3＋2，2x4＋2的平均数和方差分别为(　　) A．4，14　 B．4，6 C．3，14　 D．3，6 【解析】 【答案】A　 配套练习题 一、单项选择题 1．(2025·赣州期末)某普通高中高二年级学生参加体育学业水平考试立定跳远项目模拟测试，甲、乙同学连续5次的测试数据如下表(单位：cm)： 甲 210 220 216 220 230 乙 215 212 216 223 249 下列说法错误的是 (　　) A．甲同学测试数据的众数为220 B．乙同学测试数据的极差为37 C．甲同学测试数据的80%分位数为220 D．乙同学测试数据的平均数为223 【解析】 　　　　对于A，220出现的次数最多，所以为众数，故A正确．对于B，因为249－212＝37，所以极差为37，故B正确． 【答案】C 2．(2025·杭州质检)已知数据x1，x2，…，xn的方差s2＝0，则 (　　) 【解析】 D 3．(2025·湛江一模)若一组数据1，3，7，9，m(m＞0)的中位数不小于平均数，则m的取值范围为 (　　) A．[5，7]　 B．[5，15] C．[7，15]　 D．[5，20] 【解析】 B 4．(2025·青岛一模)若样本数据1，x1，x2，…，x9的平均数为1，方差为2，则数据x1，x2，…，x9相对于原数据 (　　) A．平均数变小　 B．平均数变大 C．方差变小　 D．方差变大 【解析】 【解析】 　　　　对于A，因为样本数据x1，x2，…，x5的平均数为3，所以由平均数性质得数据2x1＋1，2x2＋1，…，2x5＋1的平均数为2×3＋1＝7，故A正确． 对于B，因为样本数据y1，y2，…，y10的方差为6，所以数据2y1－1，2y2－1，…，2y10－1的方差为22×6＝24，故B错误． 【答案】D　 二、多项选择题 5．(2025·太原一模)已知样本数据x1，x2，…，x5的平均数为3，方差为3，样本数据y1，y2，…，y10的平均数为3，方差为6，则下列结论正确的是 (　　　) A．数据2x1＋1，2x2＋1，…，2x5＋1的平均数为7 B．数据2y1－1，2y2－1，…，2y10－1的方差为11 C．数据x1，x2，…，x5，y1，y2，…，y10的平均数为3 D．数据x1，x2，…，x5，y1，y2，…，y10的方差为5 【解析】 　　　　对于A，因为样本数据x1，x2，…，x5的平均数为3，所以由平均数性质得数据2x1＋1，2x2＋1，…，2x5＋1的平均数为2×3＋1＝7，故A正确． 对于B，因为样本数据y1，y2，…，y10的方差为6，所以数据2y1－1，2y2－1，…，2y10－1的方差为22×6＝24，故B错误． 【答案】ACD 6．(2025·泉州一检)某校在开展“弘扬中华传统文化，深植文化自信之根”主题教育的系列活动中，举办了“诵读国学经典，传承中华文明”知识竞赛．赛前为了解学生的备赛情况，组织对高一年级和高二年级的学生进行抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是 (　　　) A．高一年级抽测成绩的众数为75 B．高二年级抽测成绩低于60分的比率为2.5% C．估计高一年级学生成绩的平均数低于高二年级学生成绩的平均数 D．估计高一年级学生成绩的中位数低于高二年级学生成绩的中位数 高一年级学生成绩 高二年级学生成绩 【解析】 　　　　对于A，高一年级学生抽测成绩的众数为区间[70，80)的中点横坐标75，故A正确． 对于B，高二年级学生抽测成绩得分在区间[40，60)的学生人数的频率为0.002 5×2×10＝0.05，所以低于60分的比率为5%，故B错误． 对于C，高一年级学生成绩的平均数约为45×0.04＋55×0.11＋65×0.18＋75×0.35＋85×0.22＋95×0.1＝74；高二年级学生成绩的平均数约为45×0.025＋55×0.025＋65×0.1＋75×0.25＋85×0.4＋95×0.2＝80.75．因为74＜80.75，所以C正确． 对于D，高一年级学生成绩的中位数位于[70，80)，高二年级学生成绩的中位数位于[80，90)，故D正确． 【答案】ACD 7．(2026·潍坊期初)如图是某市2025年1月至7月全社会用电量(单位：亿千瓦时)的折线图，则 (　 　) A．1月至7月全社会用电量逐月增加 B．1月至7月全社会用电量的极差是20.7 C．1月至7月全社会用电量的第75百分位数是64.3 D．1月至3月全社会用电量的方差比4月至6月的方差大 【解析】 　　　　对于A，由图知，3月到4月用电量减少，故A错误； 对于B，用电量的极差为79.9－59.2＝20.7，故B正确； 对于C，数据从小到大排列为59.2，60.1，61.6，61.9，64.3，66.4，79.9，又7×75%＝5.25，所以第75百分位数是第6个数据66.4，故C错误； 对于D，由图知，1月至3月用电量与4月至6月用电量相比，波动更大，则对应1月至3月全社会用电量的方差比4月至6月的方差大，故D正确． 【答案】BD 8．(2025·清远二模)某同学掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据该同学记录的结果，判断可能出现点数6的是 (　　　) A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2 C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8 【解析】 　　　　对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A正确； 对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B正确； 【答案】ABD 三、填空题 9．(2025·晋城一模)已知一组数据1，1，2，3，m，2m，1的第60百分位数为2，其中m∈N*，则这组数据的极差为________． 【解析】 　　　　因为7×60%＝4.2，所以第60百分位数为第5个数．当m＝1时，将数据从小到大排列为1，1，1，1，2，2，3，满足题意，此时极差为3－1＝2； 当m＝2时，将数据从小到大排列为1，1，1，2，2，3，4，满足题意，此时极差为4－1＝3； 当m≥3，m∈N*时，将数据从小到大排列为1，1，1，2，3，m，2m，第5个数为3，不满足题意．故这组数据的极差为2或3． 2或3 【解析】 5 11．(2025·大同期初)中国跳水队素有“梦之队”称号．单人跳水比赛的计分规则为：运动员做完一套入水动作后，由7位专业裁判进行打分，从打出的分数中按照高低去掉前两个和后两个，剩余3个分数的总和再乘以这套动作的难度系数即为该运动员的最终得分．若某位运动员在一轮比赛中入水动作的难度系数为3.2，7位裁判给他打出的分数分别为9.5，9.5，9，8，9，9.5，8.5，则这7个数据的方差为______，该运动员本轮比赛的得分为______． 【解析】 从打出的分数中按照高低去掉前两个和后两个，则剩下的3个分数为9，9，9.5，则该运动员本轮比赛的得分为(9＋9＋9.5)×3.2＝88． 四、解答题 12．(2025·景德镇5月适应性考试)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理如下表． 亩产量 [900， 950) [950， 1 000) [1 000， 1 050) [1 050， 1 100) [1 100， 1 150) [1 150， 1 200) 频数 10 11 22 30 20 7 【解答】 12．(2025·景德镇5月适应性考试)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理如下表． 亩产量 [900， 950) [950， 1 000) [1 000， 1 050) [1 050， 1 100) [1 100， 1 150) [1 150， 1 200) 频数 10 11 22 30 20 7 【解答】 13．随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变，消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注．某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在[60，80)的老年人的年收入按年龄[60，70)，[70，80)分成两组进行分层随机抽样调查，已知抽取了年龄在[60，70)的老年人500人，年龄在[70，80)的老年人300人．现作出年龄在[60，70)的老年人年收入的频率分布直方图如图所示． (1) 根据频率分布直方图，估计该地年龄在[60，70)的老年人年收入的平均数及第95百分位数； 【解答】 　　　　根据频率分布直方图，估计该地年龄在[60，70)的老年人年收入的平均数约为0.04×2＋0.08×3＋0.18×4＋0.26×5＋0.20×6＋0.15×7＋0.05×8＋0.04×9＝5.35． 13．随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变，消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注．某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在[60，80)的老年人的年收入按年龄[60，70)，[70，80)分成两组进行分层随机抽样调查，已知抽取了年龄在[60，70)的老年人500人，年龄在[70，80)的老年人300人．现作出年龄在[60，70)的老年人年收入的频率分布直方图如图所示． (2) 已知年龄在[60，70)的老年人年收入的方差为3，年龄在[70，80)的老年人年收入的平均数和方差分别为3.75和1.4，试估计年龄在[60，80)的老年人年收入的方差． 【解答】 名称 定义 总体均值 (总体平均数) 一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称＝＝Yi为____________，又称总体平均数 若总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式＝fiYi 名称 定义 样本均值 (样本平均数) 若从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称＝＝yi为____________，又称样本平均数 说明：(1) 在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数； (2) 总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性(因为样本具有随机性)； (3) 一般情况下，样本量越大，估计越准确 方差为s′2＝＝＝[(xi－2－2)2＋(2xi－4＋2)2]＝(xi－2)2＋(xi－2)＋4＝×16＋×(8－2×4)＋4＝14． $