高二数学核心高频考点速查（含二级结论）（知识清单，空间向量与立体几何+平面解析几何+数列+导数+计数原理+概率与统计）高二数学下学期人教A版

高二数学高频考点速查 （含二级结论） 速查 01 空间向量与立体几何(10个核心考点) 1. 空间向量共线的充要条件：若空间向量与（）共线，则存在唯一实数λ，使得，坐标形式为对应坐标成比例. 2. 空间向量共面的充要条件：三个空间向量共面，等价于存在实数λ、μ，使得；若三个向量不共线，则它们共面的充要条件是其混合积为0. 3. 空间向量的数量积：设向量与的夹角为θ（θ∈[0°,180°]），则=cosθ，结果为实数，可用于求夹角、判断垂直. 4. 空间向量垂直的充要条件：两个空间向量与垂直，等价于，坐标形式为对应坐标乘积之和为0. 5. 空间向量的模：若向量=(x,y,z)，则|，可用于求空间中两点间的距离. 6. 空间向量夹角公式： ，θ为两向量的夹角. 7．向量法证明平行、垂直 (1)直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，． 若∥，即，则； 若，即，则． (2)直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且． 若∥，即，则； 若，即，则． (3)平面与平面的位置关系 平面的法向量为，平面的法向量为,若∥，即，则；若⊥，即，则⊥． 8.空间角与空间距离的求法： （1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则． （2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则． （3）二面角公式：设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中． （4）点到平面的距离:为平面外一点，为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线,则. 9.异面直线间的距离（拓展） 两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算． 如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． 10.最小角定理cos θ＝cos θ1cos θ2 如图，若OA为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，OC为平面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cos θ＝cos θ1cos θ2. 速查06 直线与圆（24个核心考点） 一、直线方程 1. 直线的定义：平面内不重合的两点确定一条直线，是构成平面图形的基本元素. 2. 直线的倾斜角：直线与x轴正方向所成的最小正角，范围为[0°,180°)，倾斜角为90°时直线垂直于x轴. 3. 直线的斜率：倾斜角为α（α≠90°）时，斜率k=tanα；倾斜角为90°时，斜率不存在. 4. 直线的斜率公式：过两点P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂)（x₁≠x₂）的直线斜率k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁). 5. 直线的五种方程形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式，各形式适用场景不同，可相互转化. 6. 直线的一般式方程：Ax+By+C=0（A、B不同时为0），可快速判断直线的斜率和截距. 7. 两条直线平行的充要条件：斜率都存在时，k₁=k₂且截距不相等；斜率都不存在时，两直线均垂直于x轴. 8. 两条直线垂直的充要条件：斜率都存在时，k₁·k₂=-1；一条斜率为0，另一条斜率不存在（垂直于x轴）. 9. 两条直线的交点：联立两条直线的方程，求解方程组，有唯一解则相交，无解则平行，无数解则重合. 10. 点到直线的距离公式：点P(x₀,y₀)到直线Ax+By+C=0的距离 11. 两条平行直线间的距离：两条平行直线Ax+By+C₁=0与Ax+By+C₂=0（C₁≠C₂）的距离. 12. 一组直线系方程： （1）过定点的直线系方程：，还可以表示为和． (2)平行于直线的直线系方程：． (3)垂直于直线的直线系方程：． (4)过两条已知直线交点的直线系方程：（不包括直线）和． 13.关于对称的二级结论： (1)点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为． (2)点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． (3)点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． (4)点关于点的对称点为． (5)点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 二、圆的核心考点（11个） 14. 圆的标准方程：(x-a)²+(y-b)²=r²（r>0），其中(a,b)为圆心坐标，r为半径. 15. 圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F>0），圆心为 ，半径 16. 点与圆的位置关系：设点到圆心距离为d，d<r则点在圆内，d=r则点在圆上，d>r则点在圆外. 17. 直线与圆的位置关系：设圆心到直线距离为d，d<r则相交，d=r则相切，d>r则相离. 18. 直线与圆相切的性质：切线垂直于过切点的半径；过圆外一点作圆的切线，两条切线长相等. 19. 直线与圆相交的弦长公式：弦长=（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）. 20. 圆与圆的位置关系：设两圆半径为r₁、r₂，圆心距为d，内含（d<|r₁-r₂|）、内切（d=|r₁-r₂|）、相交（|r₁-r₂|<d<r₁+r₂）、外切（d=r₁+r₂）、外离（d>r₁+r₂）. 21. 圆的切线方程常用结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为． （3）过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为． 22．圆系方程 （1）同心圆系方程：，其中是定值，是参数； （2）过直线与圆交点的圆系方程：； （3）过圆和圆交点的圆系方程：（该圆系不含圆，解题时，注意检验圆是否满足题意，以防漏解）． 23. 二级结论：若两圆相交，其公共弦所在直线方程为两圆一般方程相减（消去x²、y²项）. 24. 圆的对称性：圆关于圆心对称、关于过圆心的任意直线对称，是中心对称和轴对称图形. 速查 03圆锥曲线（38个核心考点） 一、椭圆 1. 椭圆的定义：平面内与两个定点F₁、F₂（焦点）的距离之和等于常数（2a，2a>|F₁F₂|）的点的轨迹，|F₁F₂|=2c（c<a）. 2. 椭圆的标准方程：焦点在x轴上：；焦点在y轴上：（a>b>0），其中b²=a²-c². 3.判断椭圆焦点位置时，需看标准方程中x²、y²项的分母大小，分母大的对应长轴所在轴. 4. 椭圆的离心率：，范围为(0,1)，e越接近1，椭圆越扁；e越接近0，椭圆越接近圆. 5. 椭圆的顶点：长轴端点（±a,0）或（0,±a），短轴端点（0,±b）或（±b,0），长轴长2a，短轴长2b. 6. 椭圆的焦点坐标：焦点在x轴上为(±c,0)，焦点在y轴上为(0,±c)，满足c²=a²-b². 7.椭圆的焦半径公式：椭圆上的点与左（下）焦点与右（上）焦点之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作． （1）； （2）； 8.椭圆的焦点三角形：椭圆上的点与两焦点构成的叫做焦点三角形，的面积为，则在椭圆中 （1）当为短轴端点时，最大． （2）， 当时，即点为短轴端点时，取最大值，最大值为． （3）焦点三角形的周长为． 9．椭圆的焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦中以通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长． 10．椭圆的弦长问题：为椭圆的弦，，弦中点，则 （1）弦长； （2）直线的斜率． 11.椭圆的通径（过焦点且垂直于长轴的弦）长度为2b²/a，是椭圆的最短弦. 12.椭圆上任意一点到焦点的距离最大值为a+c，最小值为a-c. 13.椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线必经过另一个焦点（聚光性）. 14. 若在椭圆上，则 （1）以为切点的切线斜率为； （2）过的椭圆的切线方程是. 15.若在椭圆外 ，则过作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是. 二、双曲线的核心考点 16. 双曲线的定义：平面内与两个定点F₁、F₂（焦点）的距离之差的绝对值等于常数（2a，0<2a<|F₁F₂|）的点的轨迹，|F₁F₂|=2c（c>a）. 17. 双曲线的标准方程：焦点在x轴上：（a>0,b>0）；焦点在y轴上：（a>0,b>0），其中b²=c²-a². 18. 双曲线的离心率：e=，范围为(1,+∞)，e越接近1，双曲线开口越窄；e越大，开口越宽. 19. 双曲线的顶点：实轴端点（±a,0）或（0,±a），虚轴端点（0,±b）或（±b,0），实轴长2a，虚轴长2b. 20. 双曲线的焦点坐标：焦点在x轴上为(±c,0)，焦点在y轴上为(0,±c)，满足c²=a²+b². 21. 双曲线的渐近线方程：焦点在x轴上：y=±x；焦点在y轴上：y=±x，渐近线是双曲线的重要特征. 22.双曲线光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线必经过另一个焦点（发散性）. 23.双曲线的通径（过焦点且垂直于实轴的弦）长度为. 24.双曲线的渐近线与实轴、虚轴围成的三角形面积为ab. 25. （1）与共轭的双曲线方程为，①它们有公共的渐近线；②四个焦点都在以原点为圆心，C为半径的圆上；③. （2）与有相同焦点的双曲线方程为 （3）与有相同焦点的椭圆方程为： （4）与有相同焦点的双曲线方程为： （5）与有相同离心率的双曲线方程为： ①焦点在轴上时： ②焦点在轴上时： 26.设P点是双曲线上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则 (1). (2)焦点三角形的面积 . 27. 若在双曲线上，则 （1）以为切点的切线斜率为 （2）过的双曲线的切线方程是. 28.若在双曲线外 ，则过P作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是. 三、抛物线的核心考点 29. 抛物线的定义：平面内与一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）的距离相等的点的轨迹，焦点到准线的距离为p（p>0）. 30. 抛物线的标准方程：四种形式，焦点在x轴正半轴：y²=2px；x轴负半轴：y²=-2px；y轴正半轴：x²=2py；y轴负半轴：x²=-2py（p>0）. 31. 抛物线的离心率：e=1，是抛物线区别于椭圆、双曲线的核心特征. 32. 抛物线的顶点：坐标原点(0,0)，是抛物线的最低点（或最高点）. 33. 抛物线的焦点与准线：焦点到顶点的距离为，顶点到准线的距离为，焦点到准线的距离为p. 34.抛物线光学性质：从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于对称轴的光线经反射后必过焦点. 35.抛物线y²=2px（p>0）上一点P(x₀,y₀)的切线方程为y₀y=p(x+x₀). 36.过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦必过焦点. 37.设是过抛物线焦点的弦，若，则 （1）； （2），，弦长（为弦的倾斜角）； （3）； （4）以弦为直径的圆与准线相切； （5）以或为直径的圆与轴相切； （6）过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上． 速查04 导数（24个核心考点） 1．导数的概念：一般地，函数在处的瞬时变化率为函数在处的导数，记作或即．称函数为的导函数． 2．导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义是在曲线上点处的切线的斜率．相应地，切线方程为． 3. 导数的物理意义：若s=s(t)表示位移函数，则s’(t)表示瞬时速度，s''(t)表示瞬时加速度. 4.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 5．导数的运算法则 （1）； （2）； （3）． 6. 复合函数的求导法则：设y=f(u)，u=g(x)，则y’ₓ=y’ᵤ·u’ₓ，即链式法则. 7. 隐函数的求导方法：对等式两边同时求导，注意y是x的函数，需用链式法则. 8. 导数与函数单调性的关系：f’(x)>0时，函数单调递增；f’(x)<0时，函数单调递减；f’(x)=0时，函数可能为极值点. 9. 函数极值点的定义：函数在该点附近，左侧与右侧单调性相反，则该点为极值点. 10. 极值点的判定方法：先求导数，找到f’(x)=0或f’(x)不存在的点，再判断该点两侧导数符号是否改变. 11. 函数的极大值与极小值：左侧增、右侧减为极大值点，左侧减、右侧增为极小值点. 12. 函数最值的求解方法：先求定义域内的极值点，再计算极值点和区间端点的函数值，比较得出最值. 13. 利用导数解决恒成立问题：转化为求函数的最值，使最值满足恒成立条件. 14. 利用导数解决存在性问题：转化为求函数的最值，使最值满足存在性条件. 15. 导数在切线方程中的应用：已知切点求切线方程，或已知切线斜率求切点坐标. 16. 导数在不等式证明中的应用：构造函数，利用导数判断函数单调性，进而证明不等式. 17. 函数的极值与最值的区别：极值是局部性质，最值是定义域内的整体性质. 18. 求导后需注意定义域：忽略定义域会导致误判极值点和单调区间. 19. 二阶导数的意义：f''(x)可判断函数的凹凸性，f''(x)>0为凹函数，f''(x)<0为凸函数. 20. 导数的实际应用：解决利润最大、用料最省、效率最高等优化问题. 21. 可导函数的连续性：可导函数一定连续，但连续函数不一定可导. 22. 导数为0的点不一定是极值点：需检验该点两侧导数符号是否改变. 23. 利用导数判断函数的零点个数：结合函数单调性和极值，判断函数与x轴的交点个数. 24. 导数在含参数问题中的应用：对参数进行分类讨论，分析导数的符号的变化，进而判断函数性质. 速查05 数列（57个核心考点） 一、数列 1. 数列的定义：按一定顺序排列的一列数，记作{aₙ}，n∈N*，n为项数. 2. 数列的项与项数：aₙ表示数列的第n项，n为项数，项是具体数值，项数是项的个数. 3. 数列的通项公式：如果数列{aₙ}的第n项与项数n之间的关系可以用一个式子表示，这个式子叫做数列的通项公式. 4. 数列的递推公式：如果已知数列{aₙ}的首项（或前几项），且任意一项aₙ与它的前一项aₙ₋₁（或前几项）间的关系可以用一个式子表示，这个式子叫做数列的递推公式. 5. 数列的前n项和：Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + … + aₙ，记为Sₙ，S₀=0. 6. 通项公式与前n项和的关系：aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁（n≥2），a₁ = S₁，需检验a₁是否满足n≥2时的通项. 7. 数列的分类：按项数分有穷数列、无穷数列；按单调性分递增数列、递减数列、常数列、摆动数列. 8. 常数列的定义：各项都相等的数列，通项公式为aₙ = C（C为常数），前n项和Sₙ = nC. 9. 摆动数列的特征：各项正负交替或数值起伏，无固定单调性. 10. 数列的单调性判断：比较aₙ₊₁与aₙ的大小，可通过作差、作商等方法判断. 11. 数列的最值：结合数列单调性，求数列的最大项、最小项. 12. 数列的周期性：若存在非零常数T，使得对任意n∈N*，都有aₙ₊ₜ = aₙ，则T为数列的周期. 二、等差数列 13. 等差数列的定义：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个常数叫做等差数列的公差，记为d. 14. 等差数列的通项公式：aₙ = a₁+(n - 1)d（a₁为首项，d为公差）. 15. 等差数列通项公式变形：aₙ = aₘ + (n - m)d（m、n∈N*）. 16. 等差数列的判定方法：定义法（aₙ₊₁ - aₙ = d，常数）、中项法（2aₙ₊₁ = aₙ + aₙ₊₂）. 17. 等差数列的前n项和公式： 18. 等差数列的常用性质 （1在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． （2），…仍是等差数列，公差为． （3），…也成等差数列，公差为． （4）若，是等差数列，则也是等差数列． （5）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． （6）若项数为偶数，则；；． （7）若项数为奇数，则；；． （8）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． （9）．数列是等差数列⇔（为常数）． 19. 等差数列的公差与单调性：d > 0时，数列递增；d < 0时，数列递减；d = 0时，数列为常数列. 三、等比数列 20. 等比数列的定义：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这个常数叫做等比数列的公比，记为q（q≠0）. 21. 等比数列的通项公式：aₙ = a₁qⁿ⁻¹（a₁为首项，q为公比，a₁≠0，q≠0）. 22. 等比数列通项公式变形：aₙ = aₘqⁿ⁻ᵐ（m、n∈N*，aₘ≠0，q≠0）. 23. 等比数列的判定方法：定义法（，q为常数，q≠0）、中项法（aₙ₊₁² = aₙ·aₙ₊₂，aₙ≠0）. 24. 等比数列的前n项和公式： 25. 等比数列的性质 （1）等比中项的推广． 若时，则，特别地，当时，． （2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列． ②设与为等比数列，则也为等比数列． （3）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． （4）其他衍生等比数列． 若已知等比数列，公比为，前项和为，则： ①等间距抽取 为等比数列，公比为． ②等长度截取 为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 26. 等比数列的最值：当q > 1，a₁ > 0时，数列递增，无最大值，有最小值a₁；当0 < q < 1，a₁ > 0时，数列递减，无最小值，有最大值a₁. 四、数列求和与递推数列 27. 数列求和的常用方法：公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法. 52. 裂项相消法核心（二级结论）：常见裂项形式， (1)＝－. (2)＝. (3)＝. (4)＝－. (5)＝. 53. 错位相减法适用范围：适用于等差数列与等比数列对应项相乘形成的新数列求和（即{aₙbₙ}，{aₙ}为等差，{bₙ}为等比）. 54. 倒序相加法适用范围：适用于首尾对称项之和为定值的数列求和（如等差数列前n项和推导）. 55. 分组求和法思路：将数列拆分为两个或多个可直接求和的数列（如等差+等比、等差+常数列），分别求和后相加. 56. 递推数列求通项的常用方法：累加法（适用于aₙ₊₁ = aₙ + f(n)）、累乘法（适用于aₙ₊₁ = aₙ·f(n)）、构造法. 57. 构造法二级结论： 形式 构造方法 an＋1＝pan＋q 引入参数c，构造新的等比数列{an－c}，其中c＝(p≠1) an＋1＝pan＋qn＋c 引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y} an＋1＝pan＋qn 两边同除以，构造新的数列 速查06 计数原理、概率（20个核心考点） 一、计数原理 1．完成一件事可以有类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法……在第类方案中有种不同的方法．那么，完成这件事共有种不同的方法． 2．完成一件事需要经过个步骤，缺一不可，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法．．．．．．做第步有种不同的方法．那么，完成这件事共有种不同的方法． 3.排列数公式： 4.组合数公式： 5.排列数、组合数性质： (1);(2). 6.二项式定理：（1）； （2）通项公式：，它表示第项； （3）二项式系数：二项展开式中各项的系数为，，，，． 7．二项式系数的性质 二、概率 8．概率的几个基本性质 （1）概率的取值范围：． （2）必然事件的概率：． （3）不可能事件的概率：． 9．概率的加法公式： （1）如果事件与事件互斥，则． （2）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则为必然事件，． （3） 10．古典概型的概率公式,m为该事件包含的样本点个数，n为该试验的样本点总个数. 11．条件概率及其性质 （1）条件概率的定义：对于任何两个事件和，在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件概率，用符号来表示，其公式为． （2）条件概率的性质 ①非负性：； ②可加性：如果和是两个互斥事件，则． 12．全概率公式 （1）； （2）定理若样本空间中的事件，，…，满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意事件，都有，且 ． 13．贝叶斯公式 （1）一般地，当且时，有 （2）定理若样本空间中的事件满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意概率非零的事件，都有，且 14．相互独立事件 （1）对于事件，若事件的发生与事件的发生互不影响，则称事件是相互独立事件 （2）若，则与相互独立． （3）若与相互独立，则与与与也都相互独立． （4）若与相互独立，则， （5）一般地，如果事件相互独立，那么这个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即． 三、概率分布 15．随机变量的有关概念 （1）随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母表示 （2）离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 16．离散型随机变量分布列的概念及性质 （1）概念：若离散型随机变量可能取的不同值为取每一个值的概率，以表格的形式表示如下： ．．． ．．． ．．． ．．． 此表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时也用等式，表示的分布列． （2）分布列的性质：①②． 17．常见的离散型随机变量的分布列 （1）两点分布列 0 1 若随机变量的分布列具有上表的形式，则称服从两点分布，并称为成功概率 （2）超几何分布：在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则，，其中，且． 0 1 ．．． m ．．． 若随机变量的分布列具有上表的形式，则称服从超几何分布， 18.独立重复试验与二项分布 （1）独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验． 独立重复试验的条件：①每次试验在相同条件下可重复进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． （2）二项分布：一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，则事件恰好发生次的概率为，则称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率． 19．正态分布 （1）正态曲线的特点 ①曲线位于轴上方，与轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线对称； ③曲线在处达到峰值； ④曲线与轴之间的面积为1； ⑤当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移； ⑥当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． （2）正态分布的三个常用数据 ①； ②； ③． 20.离散型随机变量的均值与方差 (1)均值: (2)方差:pi，其算术平方根为随机变量的标准差． (3)两个特殊分布的期望与方差: 两点分布：，； 二项分布：；. (4)常用结论:若，其中是常数，是随机变量，则 （i），其中为常数； （ii）； （iii）； （iV）； （V）若相互独立，则． 速查 07统计案例（5个核心考点） 1．变量间的相关关系 （1）常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系． （2）从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关． 2．两个变量的线性相关 （1）从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． （2）回归方程为，其中． （3）通过求的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法． （4）相关系数： 当时，表明两个变量正相关；当时，表明两个变量负相关． 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常大于0．75时，认为两个变量有很强的线性相关性． 3．独立性检验 （1）分类变量和列联表 分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量． 列联表： ①定义：列出的两个分类变量的频数表称为列联表． ②2×2列联表． 一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{，}和{，}，其样本频数列联表（称为2×2列联表）为： 总计 总计 从列表中，依据与的值可直观得出结论：两个变量是否有关系． （2）等高条形图 ①等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图表示列联表数据的频率特征． ②观察等高条形图发现与相差很大，就判断两个分类变量之间有关系． （3）独立性检验 计算随机变量利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验． 0．10 0．05 0．010 0．005 0．001 2．706 3．841 6．635 7．879 10．828 4.一元线性回归方程过样本中心点(，). 5.独立性检验的三个步骤 第一步：根据样本数据制成2×2列联表； 第二步：根据公式χ2＝，计算χ2的值； 第三步：查表比较χ2与临界值的大小关系，作出统计判断. 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 高二数学高频考点速查 （含二级结论) 速查01空间向量与立体几何10个核心考点) 1.空间向量共线的充要条件：若空间向量1与b(b≠0)共线，则存在唯一实数，使得a=入b,坐标形 式为对应坐标成比例： 2.空间向量共面的充要条件：三个空间向量4，b,c共面，等价于存在实数2、u,使得c=2a+b;若三个 向量不共线，则它们共面的充要条件是其混合积为0. 3.空间向量的数量积：设向量M与b的夹角为0(0e[0°，180])，则ab=|ab|cos0,结果为实数，可用 于求夹角、判断垂直 4.空间向量垂直的充要条件：两个空间向量M与b垂直，等价于·b=0,坐标形式为对应坐标乘积之和为 0. 5.空间向量的模：若向量a=(&,y,2),则|a=√x2+y2+z2,可用于求空间中两点间的距离. a-b 6空间向量夹角公式：cos0=cos(a列 日为两向量的夹角， 7.向量法证明平行、垂直 (1)直线与直线的位置关系：不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a,b. 若alb,即a=b,则a∥b: 若a⊥b,即a.b=0,则a⊥b. (2)直线与平面的位置关系：直线l的方向向量为a,平面a的法向量为n,且lLa. 若ali,即a=n,则lLa; 若a山n,即an=0,则a∥a. (3)平面与平面的位置关系 平面x的法向量为方，平面B的法向量为乃，若方‖元，即i=i,,则α川B；若元1乃，即乃·乃，=0， 则1B. 8空间角与空间距离的求法： (1)异面直线所成角公式：设a,b分别为异面直线，12上的方向向量，6为异面直线所成角的大小，则 1/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a. (2)线面角公式：设l为平面的斜线，a为l的方向向量，n为平面c的法向量，B为 1与a所成角的大小，则sm0-kos(a- a.n (3)二面角公式：设，乃分别为平面α，B的法向量，二面角的大小为6，则6=(4，)或元-(，乃》 4 (需要根据具体情况判断相等或互补)，其中cos= 网 (4)点到平面的距离：A为平面o外一点，为平面o的法向量，过A作平面u的斜线AB及垂线AH,则 d=AB.n n 9.异面直线间的距离（拓展） 两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算. 如图，设两条异面直线a,b的公垂线的方向向量为，这时分别在a,b上任取A,B两点，则向量在 n上的正射影长就是两条异面直线a,b的距离.则d=AB n =ABm即两异面直线间的距离，等于丙 n 异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值. 10.最小角定理cos0=cos01cos 如图，若OA为平面a的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面a内的射影，OC为平面a内的一条 直线，其中0为OA与OC所成的角，01为OA与OB所成的角，即线面角，02为OB与OC所成的角，那 么cos0=cos01cos02. 速查06直线与圆(24个核心考点) 2/21 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、直线方程 1.直线的定义：平面内不重合的两点确定一条直线，是构成平面图形的基本元素. 2.直线的倾斜角：直线与x轴正方向所成的最小正角，范围为[0°，180)，倾斜角为90°时直线垂直于x轴， 3.直线的斜率：倾斜角为au(c≠90°)时，斜率ktan;倾斜角为90时，斜率不存在. 4.直线的斜率公式：过两点P(&1,y1)、Pz(,y2)(x≠x)的直线斜率k=y2-y1)/k2-x1). 5.直线的五种方程形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式，各形式适用场景不同，可相互转化. 6.直线的一般式方程：Ax+By+CO(A、B不同时为O),可快速判断直线的斜率和截距！ 7.两条直线平行的充要条件：斜率都存在时，k2且截距不相等；斜率都不存在时，两直线均垂直于x轴。 8.两条直线垂直的充要条件：斜率都存在时，kk2=-1；一条斜率为0，另一条斜率不存在（垂直于x轴). 9.两条直线的交点：联立两条直线的方程，求解方程组，有唯一解则相交，无解则平行，无数解则重合 10.点到直线的距离公式：点P(&o,yo)到直线Ax+By+C=0的距离 11.两条平行直线间的距离：两条平行直线Ax+By+C:=0与Ax+By+C2=0(C≠C2)的距离d= lq-cl JA+B 12.一组直线系方程： (1)过定点P(,)的直线系方程：A(x-x)+B(y-0)=0(A+B≠0)，还可以表示为 y-y=k(x-x)和x=x· (2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程：Ax+By+元=0(2≠C). (3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程：Bx-Ay+入=0. (4)过两条已知直线Ax+By+C=0,Ax+By+C,=0交点的直线系方程： Ax+By+C,+2(Ax+By+C,)=0(不包括直线Ax+B2y+C2=0)和Ax+B2y+C2=0. 13.关于对称的二级结论： (1)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-xy). (2)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-，-x). 3/21 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-xy),关于直线y=b的对称点为. (4)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y). (⑤)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k). 二、圆的核心考点(11个) 14.圆的标准方程：&-a)+y-b)与2(>0)，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径 15.圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D+E2-4F>0),圆心为 D 2, 半径rD+-4D 16.点与圆的位置关系：设点到圆心距离为d,dkr则点在圆内，d与则点在圆上，d>r则点在圆外 17.直线与圆的位置关系：设圆心到直线距离为d,d<r则相交，与则相切，d>r则相离， 18.直线与圆相切的性质：切线垂直于过切点的半径；过圆外一点作圆的切线，两条切线长相等. 19.直线与圆相交的弦长公式：弦长=2√F2-dP(d为圆心到直线的距离，r为圆的半径). 20.圆与圆的位置关系：设两圆半径为i、2,圆心距为d,内含(kl)、内切（d-)、相交(r- <d长+2)、外切（d+r2)、外离(（d心r+2). 21.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2+y2=r2上一点P(x,y)的圆的切线方程为xx+y=r2. (2)过圆(x-a)}+(y-b)=r2上一点P(x)的圆的切线方程为 (x-a(x-a)+(h-b)(y-b)=r2. (3)过圆x2+y=r外一点M(x,)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为xx+yy=r2. 22.圆系方程 (1)同心圆系方程：(x-a)+(y-b)=r2(r>0),其中a,b是定值，r是参数： 4/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)过直线Ax+By+C=0与圆x+y+Dx+y+F=0交点的圆系方程： x2+y+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0(AER); (3)过圆C1:x2+y2+Dx+Ey+E=0和圆C,:x+y2+Dx+E2y+F=0交点的圆系方程： x2+y2+Dx+Ey+耳+(x2+y2+Dx+E2y+F2)=0(2≠-1)（该圆系不含圆C2,解题时，注意检 验圆C,是否满足题意，以防漏解)· 23.二级结论：若两圆相交，其公共弦所在直线方程为两圆一般方程相减（消去x2、y项）· 24.圆的对称性：圆关于圆心对称、关于过圆心的任意直线对称，是中心对称和轴对称图形 速查03圆锥曲线(38个核心考点) 一、椭圆 1.椭圆的定义：平面内与两个定点F、F2(焦点)的距离之和等于常数(2a,2a>FF)的点的轨迹，FF=2c (c<a). 2能圈的标准方程：焦点企x梅上：苦+茶=1ab>0:作友在y轴：上+上 a+方=1(a>b>0) (a>b>0),其中b2=a2-c2. 3判断椭圆焦点位置时，需看标准方程中x2、y项的分母大小，分母大的对应长轴所在轴。 4.椭圆的离心率：e=C，范围为0,1)，e越接近1，椭圆越扁：e越接近0，椭圆越接近圆 a 5.椭圆的顶点：长轴端点（±a,0)或(0，±a),短轴端点(0，地)或(b,0),长轴长2a,短轴长2b 6.椭圆的焦点坐标：焦点在x轴上为（±c,0),焦点在y轴上为(0，±c),满足c2=a2-b2. 7椭圆的焦半径公式：椭圆上的点P(,)与左（下）焦点耳与右（上）焦点F之间的线段的长度叫做椭 圆的焦半径，分别记作5=P,5=PF. 若+云-10a>05=a+匙=a-: 5/21 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2) a+方-=1(a>b>0),5=a+e,5-a-gy: 8.椭圆的焦点三角形：椭圆上的点P(x,)与两焦点构成的△PFF叫做焦点三角形， P乃=8，△PEE的面积为S，则在椭圆+21(a>b>0)中 (1)当P为短轴端点时，日最大 <2)S-PRIP-sme-brmng-clyl. 当=b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc· (3)焦点三角形的周长为2(a+c). 9树国的焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦中以通径（垂直于长拍的焦点弦）最短，弦长乙2 a 0,椭圆的弦长问：AB为稀图于+ +方=1(a>b>0)的弦，A(,y),B(3,y),弦中点M(), (2)直线AB的斜率kAB=- b'xo a-vo 11.椭圆的通径（过焦点且垂直于长轴的弦）长度为2ba,是椭圆的最短弦. 12.椭圆上任意一点到焦点的距离最大值为a+c,最小值为a-c. 13椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线必经过另一个焦点（聚光 性). 14若c0在椭圆之+7上，则 6/21 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)以(，)为切点的切线斜率为k= bxo a'yo (2)过B,的椭圆的切线方程是+h=1. a b2 若(CG,)在椭国二+与外，则过区)作椭圆的两条切线切点为P、P,则切点弦P卫 直线方程是等+学-1 二、双曲线的核心考点 16.双曲线的定义：平面内与两个定点F、F2(焦点)的距离之差的绝对值等于常数（2a,0<2a<FF)的 点的轨迹，FF=2c(c>a). 17.双曲线的标准方程：焦点在x轴上： 云方京-1(a0b>0):焦点在y轴上：上-x a6=1(a>0b>0), 其中b2=c2a2. 13双曲线的离心率：c=S,范围为(，+∞)，e越接近1，双曲线开口越窄：e越大，开口越宽. a 19.双曲线的顶点：实轴端点（±a,0)或(0，±a),虚轴端点(0，b)或(b,0),实轴长2a,虚轴长2b. 20.双曲线的焦点坐标：焦点在x轴上为（仕c,0),焦点在y轴上为(0，±c),满足c2=a+b2. 21.双曲线的渐近线方程：焦点在x轴上：y±2x:焦点在y轴上：y± b x,渐近线是双曲线的重要特征 a 22.双曲线光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线必经过 另一个焦点（发散性）· 2b2 23.双曲线的通径（过焦点且垂直于实轴的弦）长度为 a 24.双曲线的渐近线与实轴、虚轴围成的三角形面积为b. 21)与 a b2 -1共起的双曲线方程为等片-1，①它们有公共的篇近线：®测个结点布在以 原点为圆心，C为半径的圆上：®二+上1 方-1省同在点的效线方医为。夏女以0心-A0A+620 (2)与xy r? 3)与 a2 B2 =1有相同焦点的椭圆方程为： x+ a+元+元-=l(1≠0，x+>2-b>0) 7/21 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 八4>气十◆ =1有相同焦点的双曲线方程为：a一月万=1(1≠0，a-2>0,元-b>0) .x2y2 (5)与 a? 63 =1有相同离心率的双曲线方程为： ①焦点在x轴上时： x y a b =九，（元>0，元≠1） ②焦点在y轴上时： y2 x 示6京=元(>0) 26.设P点是双曲线上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点记∠FPF=日，则 2b2 a1 PEPF,卡1-cos日 (2)焦点三角形的面积SP码=cy,-bcot号 27.若Bxy)在双曲线元一后=1上，则 (1)以(，片)为切点的切线斜率为k= b'xo a'yo 、2过乃的双曲线的切线方程是2公=1.一 28.若(x,)在双曲线 京方=1外，则过P作双曲线的两条切线切点为P、P,则切点弦PP,的直 线方程是x-=1 a b2 三、抛物线的核心考点 29.抛物线的定义：平面内与一个定点F(焦点)和一条定直线1（准线）的距离相等的点的轨迹，焦点到准 线的距离为p(p>0)· 30.抛物线的标准方程：四种形式，焦点在x轴正半轴：y2=2px:x轴负半轴：y=-2px;y轴正半轴：=2py: y轴负半轴：x2=-2py(p>0) 31.抛物线的离心率：e=1,是抛物线区别于椭圆、双曲线的核心特征. 32.抛物线的顶点：坐标原点(0,0)，是抛物线的最低点（或最高点）· 3。抛物线的焦点与准线：焦点到顶点的距离为号，顶点到准线的距离为巳 焦点到准线的距离为p 34抛物线光学性质：从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴： 反之，平行于对称轴的光线经反射后必过焦点. 8/21 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 35.抛物线y=2px(p>0)上一点P(ko,y)的切线方程为yoyp(k+xo). 36.过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦必过焦点， 37.设AB是过抛物线y=2Px(卫>0)焦点F的弦，若A(x,y),B(x,y),则 1)两= 4=-p; &C张ABE++P2a为B的器 sin'a 1.12 (3) FA FB P (4)以弦AB为直径的圆与准线相切： (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切： (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上. 速查04导数(24个核心考点) △y 1.导数的概念：一般地，函数y=f(x)在x=x处的瞬时变化率1m2之=1 f(+△x)-f（为 △x-→0x△x→0 △x 函数y=f(x)在x=x,处的导数，记作f'(x)或yx=x即 re)x f+△)=f6】.秀 △x 五酸了)-如为f的导话 △x 数. 2.导数的几何意义：函数f(x)在点x处的导数f'(x)的几何意义是在曲线y=f(x)上点 P(,f(x)月处的切线的斜率.相应地，切线方程为y-f(x)=()(x-) 3.导数的物理意义：若s=s()表示位移函数，则s'化)表示瞬时速度，s"()表示瞬时加速度 4.基本初等函数的导数公式 9/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 基本初等函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f'(x)=0 f(x)=simx f(x)=cosx f(x)=e* f(x)=e" f(x)=Inx f()=I f(x)=xa(aee) f(x)=ax1 f(x)=cosx f(x)=-sinx f(x)=a'(a>0,a≠1) f(x)=a'lna f(x)=logx(a>0,a≠1) f()= 1 xlnx 5.导数的运算法则 (1)「f(x)±g(x)了=f(x)±g(x): (2)f(x).g(x)T=f(x)g(x)+f(x)g'(x): (3) f(xgg(g因(gx)≠0) [g(x)] 6.复合函数的求导法则：设yu),u=g(x),则y’y'.u'x,即链式法则. 7.隐函数的求导方法：对等式两边同时求导，注意y是x的函数，需用链式法则。 8.导数与函数单调性的关系：f(x)>0时，函数单调递增；f'(x)<0时，函数单调递减：f'(x)=0时，函数 可能为极值点. 9.函数极值点的定义：函数在该点附近，左侧与右侧单调性相反，则该点为极值点 10.极值点的判定方法：先求导数，找到f'(x=0或f'(x)不存在的点，再判断该点两侧导数符号是否改 变 11.函数的极大值与极小值：左侧增、右侧减为极大值点，左侧减、右侧增为极小值点， 12.函数最值的求解方法：先求定义域内的极值点，再计算极值点和区间端点的函数值，比较得出最值 13.利用导数解决恒成立问题：转化为求函数的最值，使最值满足恒成立条件」 14.利用导数解决存在性问题：转化为求函数的最值，使最值满足存在性条件 15.导数在切线方程中的应用：已知切点求切线方程，或己知切线斜率求切点坐标， 16.导数在不等式证明中的应用：构造函数，利用导数判断函数单调性，进而证明不等式. 10/21 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.函数的极值与最值的区别：极值是局部性质，最值是定义域内的整体性质 18.求导后需注意定义域：忽略定义域会导致误判极值点和单调区间 19.二阶导数的意义：f'(x)可判断函数的凹凸性，f"(x>0为凹函数，f(x)<0为凸函数， 20.导数的实际应用：解决利润最大、用料最省、效率最高等优化问题 21.可导函数的连续性：可导函数一定连续，但连续函数不一定可导 22.导数为0的点不一定是极值点：需检验该点两侧导数符号是否改变 23.利用导数判断函数的零点个数：结合函数单调性和极值，判断函数与x轴的交点个数 24.导数在含参数问题中的应用：对参数进行分类讨论，分析导数的符号的变化，进而判断函数性质」 速查05数列(57个核心考点) 一、数列 1.数列的定义：按一定顺序排列的一列数，记作{am},n∈N*,n为项数 2.数列的项与项数：a表示数列的第n项，n为项数，项是具体数值，项数是项的个数 3.数列的通项公式：如果数列{a}的第n项与项数n之间的关系可以用一个式子表示，这个式子叫做数列 的通项公式 4.数列的递推公式：如果已知数列{am}的首项（或前几项），且任意一项an与它的前一项aa-1(或前几项) 间的关系可以用一个式子表示，这个式子叫做数列的递推公式： 5.数列的前n项和：Sn=a1+a2+as+.+am,记为Sa,S=0. 6.通项公式与前n项和的关系：am=Sm-S-1(n心2)，a1=S,需检验a是否满足n≥2时的通项. 7.数列的分类：按项数分有穷数列、无穷数列：按单调性分递增数列、递减数列、常数列、摆动数列 8.常数列的定义：各项都相等的数列，通项公式为a=C(c为常数)，前n项和S。=nC 9.摆动数列的特征：各项正负交替或数值起伏，无固定单调性 l0.数列的单调性判断：比较at与an的大小，可通过作差、作商等方法判断. 11.数列的最值：结合数列单调性，求数列的最大项、最小项 l2.数列的周期性：若存在非零常数T,使得对任意ne*,都有at=am,则T为数列的周期 二、等差数列 13.等差数列的定义：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个常数叫做等差数列的 公差，记为d 14.等差数列的通项公式：an=a+(-1)d(a为首项，d为公差). 15.等差数列通项公式变形：an=am+-m)d(m、nN*). l6.等差数列的判定方法：定义法（at1-an=d,常数)、中项法(2at1=an+an+2). 11/21 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.等差数列的前n项和公式：3=m+0-Dd=4+a) 2 2 18.等差数列的常用性质 (1在等差数列{g}中，当m+n=p+q时，am+an=ap+a,(m,n,p,q∈W) 特别地，若m+n=2t,则am+a=2a(,ht∈N). (2)a,ax+ma+2m’.仍是等差数列，公差为dk,m∈N). (3)S,Sm一S,Sm一S,也成等差数列，公差为nd. (4)若{a},{b}是等差数列，则{g+qb}也是等差数列， (5)若a}是等差数列，则}也成等差数列，其首项与a}首项相同，公差是{a,}公差的 2 (6)若项数为偶数21，则Sn=q+凸n)=1(a,+a+):S一S奇=d； S福a+1 (7)若项数为奇数2n-1,则S。1=(21-Da:550:n S造=n (8)在等差数列a,}中，若4>0，d<0,则满足.≥0 的项数m使得S取得最大值Sm:若4<0，d>0, am+1≤0 则满足a≤0 的项数m使得S,取得最小值S· am+1≥0 d、 ⑨》34土C,m,数列a)是等差数列台S三r+BC小B为常数） 2 19.等差数列的公差与单调性：d>0时，数列递增；d<0时，数列递减；d=0时，数列为常数列. 三、等比数列 20.等比数列的定义：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这个常数叫做等比数列的 公比，记为q(q≠0). 21.等比数列的通项公式：an=aqm-1(a为首项，q为公比，a0,q≠0). 22.等比数列通项公式变形：an=amq-m(m、n∈N*,am0,q≠0). 23.等比数列的判定方法：定义法（出=q,q为常数，q0)、中项法(a+2=aa2,a0), a na (q=1) 24.等比数列的前n项和公式：S=40-)-a-a9g≠1) 1-q1-9 25.等比数列的性质 (1)等比中项的推广. 12/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若l+n=p+q时，则am2n=a,g,特别地，当m+n=2p时，amam=a, (2)①设(a,)为等比数列，则{7a)（1为非零常数)，a,(a}仍为等比数列. ②设a}与b}为等比数列，则{ab}也为等比数列. (3)等比数列{a的单调性（等比数列的单调性由首项a1与公比！决定）· a>0.∫a<0 当 >1或0<g<1 ，{an}为递增数列： 41>0 a<0 当 或 0<q<1 q>1 时，{an)为递减数列. (4)其他衍生等比数列. 若已知等比数列an},公比为9，前n项和为Sn,则： ①等间距抽取 0p,0p+,02+2…02-r,…为等比数列，公比为q. ②等长度截取 Sn,Sm-Sm,Sm-Sm…为等比数列，公比为g（当q=-1时，m不为偶数). 26.等比数列的最值：当q>1,a1>0时，数列递增，无最大值，有最小值a;当0<q<1,a1>0时，数 列递减，无最小值，有最大值a. 四、数列求和与递推数列 27.数列求和的常用方法：公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法 52.裂项相消法核心（二级结论）：常见裂项形式， a点 10 1 (4)++ =Vn +1-Vn. 1 1「1 1 (5)n(n+1)(n+2 2lnm+五- m+1)n+2] 53.错位相减法适用范围：适用于等差数列与等比数列对应项相乘形成的新数列求和（即{abm},{a}为等差， {b}为等比) 54.倒序相加法适用范围：适用于首尾对称项之和为定值的数列求和（如等差数列前项和推导）， 55.分组求和法思路：将数列拆分为两个或多个可直接求和的数列（如等差+等比、等差+常数列），分别求 13/21 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)通项公式：T1=C所a”-*b*，它表示第k+1项： (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C,C,，,C 7.二项式系数的性质 对称性 与首末等距的两个二项式系数相等，即C=C 当k<时，二项式系数是递增的 性 增减性 当k>中时，二项式系数是递减的 与最大值 当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大 当为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大 二项式 Cg+Ct+C+…+Ct=2 系数的和 Cg+C2+Cg+…=C+C2+C+…=2"-1 二、概率 8.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率：P(E)=1. (3)不可能事件的概率：P(F)=0. 9.概率的加法公式： (1)如果事件A与事件B互斥，则P(AUB)=P(A+P(B) (2)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A(UB为必然事件， P(AUB)=1,P(A)=1-P(B) (3)P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A0B) 10.古典概型的概率公式P(4)=”m为该事件包合的样本点个数，n为该试验的样本点总个数 n 11.条件概率及其性质 15/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)条件概率的定义：对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫 做条件概率，用符号P(814来表示，其公式为P(14)=P4B(PA>0). P(A) (2)条件概率的性质 ①非负性：0≤P(B|A≤1： ②可加性：如果B和C是两个互斥事件，则P(BUCA)=P(BA)+P(CA). 12.全概率公式 (1)P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A): (2)定理1若样本空间2中的事件A,A,,A满足： ①任意两个事件均互斥，即AA=0,i,j=1,2,…,n,i≠j: ②A+A++A=2: ③P(A)>0,i=1,2,,n. 则对2中的任意事件B,都有B=B4+BA++BA,且 P(B)=P(B4)=P(A)P(BIA). i-1 i-1 13.贝叶斯公式 (1)一般地，当0<P(④<1且P(B)>0时，有P(AB)=P(④PB P(A)P(BA) P(B) P(A)P(B A)+P(A)P(B A) （2)定理2若样本空间2中的事件A,A,…,A满足： ①任意两个事件均互斥，即AA=0,i,j=1,2,…,n,i≠j: ②A+4+…+A=2: ③0<P(4)<1,i=1,2,…,n. 则对2中的任意概率非零的事件B,都有B=B4+BA++BA,且 (A B)=P(A)P(B14)P(d)P(B14) P(B) 空PA)PBA) 14.相互独立事件 (1)对于事件A,B,若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A,B是相互独立事件 16/21 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若P(AB)=P(A)P(B),则A与B相互独立. (3)若A与B相互独立，则A与B,A与B,A与B也都相互独立. (4)若A与B相互独立，则P(BA)=P(B), P(AB)=P(BI A)P(4)=P(4)P(B). (5)一般地，如果事件A,A,…,A,（n>2,n∈N）相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每 个事件发生的概率的积，即P(AA…A)=P(A)P(A)…P(A): 三、概率分布 15.随机变量的有关概念 (1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X,Y,5,刀，…表示 (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量. 16.离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x,x3,…,x,…,x,X取每一个值x(i=1,2,,n) 的概率P(X=x)=P,以表格的形式表示如下： X x2 n p P P Pa 此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.有时也用等式 P(X=x)=p,i=1,2,…,n表示X的分布列. (2)分布列的性质：①P,≥0，i=1,2,3,,%②∑P=1. i=1 17.常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布列 17/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 1 P 1-p 若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p=P(X=1)为成功概率 (2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取件，其中恰有X件次品，则 P(X=k) CCk=0,L2,m,其中n=minM,内，且n≤N,M≤NM,NeV CN X 0 1 CHCN C.C CC%w CN CN CN 若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从超几何分布， 18.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验， 独立重复试验的条件：①每次试验在相同条件下可重复进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验 都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生， (2)二项分布：一般地，在次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发 生的概率为P,则事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=Cp(1-P),k=0,12,,n,则称随机 变量X服从二项分布，记作X~B(n,p),并称卫为成功概率. 19.正态分布 (1)正态曲线的特点 ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交： ②曲线是单峰的，它关于直线x=!对称： 回曲线在x=山处达到峰值一】 σ√2元 18/21 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时，曲线的位置由u确定，曲线随着u的变化而沿x轴平移： ⑥当山一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高'，表示总体的分布越集中；σ越大，曲 线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。 (2)正态分布的三个常用数据 ①P(u-o<X≤u+σ)≈0.6826： ②P(u-2o<X≤u+2o)≈0.9544： ③P(u-3o<X≤u+3σ）≈0.9974. 20.离散型随机变量的均值与方差 (1)均值：E(X)=x卫1+x3P3++xP,++xPm 2)方差：D(X)=∑(x-E(X)pi,其算术平方根√D(X)为随机变量X的标准差. (3)两个特殊分布的期望与方差： 两点分布：E(X)=p,D(X)=p1-p): 二项分布：E(X)=p:D(X)=p(1-P) (4)常用结论：若Y=X+b,其中a,b是常数，X是随机变量，则 (i)E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数： (ii)E(ax+b)=aE(X)+b,D(ax+b)=a'D(X); (i)E(X+X)=E(X)+E(X2): (iV)D(X)=E(X）-(E(x): 19/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (V)若X,X,相互独立，则E(X1X)=E(X)E(X). 速查07统计案例（⑤个核心考点） 1.变量间的相关关系 (1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关 关系是一种非确定性关系. (2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点 散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关。 2.两个变量的线性相关 (1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量 之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。 2%-0g- 、 b= (2)回归方程为)=bx+a,其中 24-可 2x2- la=y-Bx (3)通过求Q= ∑(y-bx一α)'的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的 距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法. (4)相关系数： 当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关， r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间 几乎不存在线性相关关系.通常大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性. 3.独立性检验 (1)分类变量和列联表 分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量. 列联表： 20/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①定义：列出的两个分类变量的频数表称为列联表， ②2×2列联表. 一般地，假设有两个分类变量X和Y,它们的取值分别为{x1,x2}和{乃，y2},其样本频数列联表 (称为2×2列联表)为： 1 y2 总计 X1 a b atb X2 d c+d 总计 a+c b+d n=a+b+c+d 从22列表中，依指。6与。 的值可直观得出结论：两个变量是否有关系 c+d (2)等高条形图 ①等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图表示列 联表数据的频率特征， ②观察等高条形图发现a,与。，相差很大，就判断两个分类变量之间有关系。 a+b c+d (3)独立性检验 计算随机变量X= n(ad-be)? 利用x2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 独立性检验. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 Xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 4.一元线性回归方程过样本中心点，) 5.独立性检验的三个步骤 第一步：根据样本数据制成2×2列联表： n(ad-be) 第二步根据公式大a+0+计算X的值： 第三步：查表比较x与临界值的大小关系，作出统计判断. 21/21