第32讲　基本立体图形及几何体的表面积与体积课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦立体几何核心考点，覆盖基本立体图形结构特征、表面积与体积计算等高考必考点，对接高考评价体系，通过2024新高考Ⅰ卷、全国甲卷等真题分析，明确结构特征辨析、体积公式应用等高频考点权重，归纳直观图还原、最短路径展开等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题溯源+素养导向”的复习策略，如以2024全国甲卷圆台体积题为例，运用数学思维推导体积公式，结合空间观念突破球与几何体切接问题，培养学生抽象能力与推理意识。特设易错点警示（如斜二测画法比例混淆）和答题模板，助力学生掌握得分技巧，教师可据此系统规划复习，提升备考效率。

第七章 第32讲　基本立体图形及几何体的表面积与体积 立体几何 1 1．(教材经典题改编)如图，若长方体ABCD－A′B′C′D′中截去体积较小的一部分，其中EH∥A′D′∥FG，则剩下的几何体是 (　　) A．棱台　 B．四棱柱 C．五棱柱　 D．简单组合体 C 2．(教材经典题改编)已知圆锥的表面积为12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为 (　　) A．1 cm　 B．2 cm 【解析】 　　　　设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，因为侧面展开图是一个半圆，所以πl＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2(cm)． B 3．如图，一个水平放置的△ABO的斜二测画法的直观图是等腰直角三角形A′B′O′．若B′A′＝B′O′＝1，则原三角形ABO的面积为______． 【解析】 4．(教材经典题)已知一个六棱锥的高为10 cm，底面是边长为6 cm的正六边形，则这个六棱锥的体积为______________． 【解析】 5．(教材经典题改编)如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝16．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，则当底面ABC水平放置时，液面高为______． 【解析】 12 1．直观图的斜二测画法 (1) 原图形中，x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为_________________，z′轴与x′轴、y′轴所在平面________． (2) 原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的________． (3) 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图面积与原图形面积的关系： 45° (或135°) 垂直 一半 2．多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形       说明：多面体的表面积是各个面的面积的和． 名称 棱柱 棱锥 棱台 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 ______________ __________ ________ 体积公式 V＝________ V＝__________ V＝_________________ 平行四边形 三角形 梯形 Sh 3．旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点   轴截面 ________ ______________ ____________ 圆面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 侧面展开图     侧面积公式 S圆柱侧＝________ S圆锥侧＝_____ S圆台侧＝___________ S球＝______ 体积 公式 V圆柱＝________ V圆锥＝______ V圆台＝_______________ V球＝______ 2πrl πrl π(r1＋r2)l 4πR2 Sh 4．重要结论 (1) 四棱柱、四面体的结构特征及关系 (2) 几个与球有关的切、接常用结论： ①设正方体的棱长为a，球的半径为R． 目标 1 基本立体图形 视角1　结构特征 　　　　　下列命题中正确的是 (　　) A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线 B．直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥 C．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等 D．棱台各侧棱的延长线交于一点 D 1－1 识别空间几何体的两种方法 (1) 定义法：紧扣定义，由已知条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定． (2) 反例法：通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只要举出一个反例即可． 变式1－1　(多选)下面关于空间几何体的叙述正确的是 (　 　) A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形 C．长方体是直平行六面体 D．存在每个面都是直角三角形的四面体 CD 视角2　直观图 　　　　　已知水平放置的四边形OABC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中O′A′∥B′C′，∠O′A′B′＝90°，O′A′＝1，B′C′＝2，则原四边形OABC的面积为 (　　) 1－2 【解析】 【答案】B 在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半． 视角3　最短路径 　　　　　如图，在正三棱锥S－ABC中，∠BSC＝40°，BS＝2，一质点自点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为 (　　) 【解析】 1－3 C 立体图形的展开是指将空间图形沿某一条棱展开为平面图形，研究其面积或者距离的最小值，把几何体中的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离问题． 变式1－3　如图，圆台的母线AB的长为20 cm，上、下底面半径分别为5 cm和10 cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点B，则这条绳长的最小值为______cm． 【解析】 图(1) 图(2) 【答案】50 目标 2 空间图形的表面积 　　　(1) 如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，D，E分别是CC1，BC的中点，AE＝DE，则此正三棱柱的侧棱长为_______；表面积为_____________． 2 【解析】 　　　(2) 已知在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周形成的几何体的表面积为___________． 2 【解析】 　　　(3)(2025·秦皇岛三模)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的各顶点都在球O的表面 上，若球O的表面积为12π，则平面C1BD截球O所得的截面面积为______． 2 【解析】 【解析】 【答案】B 目标 3 空间图形的体积 3 【解析】 【答案】C 　　　(2) 如图，已知五面体ABC－DEF中，AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1．已知AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为 (　　) 3 【解析】 【答案】C　 【解析】 微探究 祖暅原理 内容：幂势既同，则积不容异． 含义：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等． 应用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等． 　　　有一个球形瓷碗，它可以看成半球的一部分，若瓷碗的碗口直径为8，高为2，利用祖暅原理可求得该球形瓷碗的体积为______． 【解析】 4 图(1)　　　　　　图(2) 如图(2)，在以过球心的截面圆为底面圆，以R＝5为高的圆柱中挖去一个等底等高的圆锥，其中圆O1与圆O4在同一平面上，圆O3所在平面截圆柱所得截面的圆心为O5，易知O5M＝3＋h，故圆环的面积也为π[52－(3＋h)2]，即在求瓷碗体积时，符合祖暅原理(备注：瓷碗是图(3)中上方倒扣的部分)． 图(3)　　　　　　　图(4) 【解析】 图(1) 由祖暅原理知，卧足杯的体积等于图(2)中高为h＝3 cm的圆柱的体积减去一个圆台的体积． 图(2) 【答案】5　54π 【解析】 B 2．(多选)在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，AA1＝2，则关于该正四棱台，下列说法正确的是 (　 　) 【解析】 【答案】BC 3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，E为棱AB的中点．一个点从E出发在正方体的表面上依次经过棱BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA上的点，又回到E，则整个线路的最短长度为_______． 【解析】 【解析】 配套练习题 A组　夯基精练 一、单项选择题 【解析】 B 2．(2025·厦门四模)以边长为1的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的体积为 (　　) 【解析】 D 3．(2025·南通一调)已知某正四棱锥的底面边长为2，侧棱与底面的夹角为60°，则该正四棱锥的体积为 (　　) 【解析】 A 【解析】 【答案】C 5．(2025·济南一模)已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上、下底面面积之差的绝对值为 (　　) A．π　 B．2π C．4π　 D．8π 【解析】 B 【解析】 C 二、多项选择题 7．(2025·晋城二模)已知圆锥的顶点为S，AB为底面直径，△SAB是面积为1的直角三角形，则 (　　　) 【解析】 【答案】ABD 8．(2022·新高考Ⅱ卷)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ ED，AB＝ED＝2FB．记三棱锥E－ACD，F－ABC，F－ACE的体积分别为V1，V2，V3，则 (　 　) A．V3＝2V2 B．V3＝V1 C．V3＝V1＋V2 D．2V3＝3V1 【解析】 【答案】CD 三、填空题 9．(教材经典题)如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5 m，公共面ABCD是边长为1 m的正方形，那么这个漏斗的容积是________m3．(结果精确到0.01) 【解析】 0.67 【解析】 　　　　DP，PC1分别在平面A1B1CD与平面CB1C1内移动，如图，将平面CB1C1以CB1为轴旋转至平面A1B1CD所在平面，得到B1CC′1，则C′1D即为DP＋PC1的最小值． 11．汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱．若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为65 mm，325 mm，325 mm，且斛量器的高为230 mm，则斗量器的高为______mm，升量器的高为______mm． 【解析】 23 【解析】 13．已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝3，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，底面ABCD为平行四边形，侧棱AA1⊥底面ABCD，以D1为球心，半径为2的球面与侧面BCC1B1的交线的长度为______． 【解析】 　　　　如图，连接D1B1，由直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，所以C1D1＝2，C1B1＝1，∠B1C1D1＝60°． B组　创新题体验 【解析】 【答案】32π 图(1) 图(2) 【解析】 变式3　(2024·九省联考)若轴截面为正三角形的圆锥MM′的高与球O的直径相 等，则圆锥MM′的体积与球O的体积的比值是______，圆锥MM′的表面积与球O的表面积的比值是_____． 　　　　设圆锥母线长为l，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则＝＝2，所以r1＝2r2． 6．(2025·驻马店期末)在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝2A1B1＝6，该正四棱台的体积为168，则AA1＝ (　　) A．3　 B．4 C．5　 D．6 14．祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个求体积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体图形，如在等高处截面积相等，则体积相等．由双曲线－＝1，y＝±x，y＝±4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V，则V＝________． $