第17讲　第2课时　导数与不等式恒成立(能成立)问题课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“导数的综合应用”专题，核心覆盖导数与不等式恒成立（能成立）问题，对接高考评价体系中逻辑推理与数学建模素养要求，梳理f(x)≤g(x)型、双变量比较型等高频题型，结合2025 - 2026年太原期初、滁州二模等真题实例，明确单调区间分析、参数范围求解等核心考点权重。 课件亮点在于“真题解析 + 方法提炼 + 素养培养”策略，如例4通过洛必达法则突破极限计算，培养数学思维的严谨性，配套选择、填空、解答题分层训练，归纳“构造函数求最值”“分类讨论参数”等解题技巧，助力学生高效掌握得分要点，为教师提供系统复习框架与精准学情诊断依据。

第三章 第17讲　导数的综合应用 一元函数的导数及其应用 第2课时　导数与不等式恒成立(能成立)问题 1 目标 1 f(x)＜g(x)型 　　　(2026·太原期初)已知函数f(x)＝xln(2－x)－x2＋3x－1． (1) 求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； 1 【解答】 　　　(2026·太原期初)已知函数f(x)＝xln(2－x)－x2＋3x－1． (2) 求f(x)的单调区间； 1 【解答】 　　　(2026·太原期初)已知函数f(x)＝xln(2－x)－x2＋3x－1． (3) 若f(x)＜ax－x2，求实数a的取值范围． 1 【解答】 (1) 若a＞f(x)对∀x∈D恒成立，则只需a＞f(x)max； (2) 若a＜f(x)对∀x∈D恒成立，则只需a＜f(x)min； (3) ∃x∈D，使得a＞f(x)能成立⇔a＞f(x)min； (4)∃x∈D，使得a＜f(x)能成立⇔a＜f(x)max． 目标 2 f(x1)＜g(x2)型 (1) 讨论f(x)的单调性； 2 【解答】 若a＝0，当x＜0时，f′(x)＞0，当x＞0时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减． (2) 若对任意x1∈(0，＋∞)和任意x2∈(0，＋∞)，都有x2f(x1)－ln(ax2)≥0，求实数a的取值范围． 2 【解答】 目标 3 f(x1，x2)＜g(x1，x2)型 3 【解答】 微探究 洛必达法则 在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达法则． (2) 在点a处函数f(x)和g(x)的图象是连续的，即函数f(x)和g(x)在点a处存在导数，且g(x)≠0； 　　　若函数f(x)＝x(ex－1)－ax2，当x≥0时，f(x)≥0，则实数a的取值范围为____． 4 【解析】 【答案】(－∞，1] 变式4　若∀x∈(0，＋∞)，ex－1－x－ax2≥0恒成立，则实数a的取值范围为________. 【解析】 配套练习题 一、单项选择题 1．若对任意正实数x，不等式x－ln x＋1＞a恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1)　 B．(－∞，2) C．(1，＋∞)　 D．(2，＋∞) 【解析】 B 2．已知函数f(x)＝ln x－mx＋1，若存在x∈(0，＋∞)，使f(x)≥0有解，则实数m的取值范围为 (　　) A．(－∞，1]　 B．(－∞，2] C．[1，＋∞)　 D．[2，＋∞) 【解析】 令g′(x)＝0，解得x＝1，当x∈(0，1)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，所以g(x)max＝g(1)＝1．故实数m的取值范围为(－∞，1]． A 【解析】 【答案】C A．(0，2)　 B．(2，＋∞) C．(0，2]　 D．[2，＋∞) 【解析】 【答案】C 【解析】 【答案】[3－3ln 3，＋∞) 6．已知函数f(x)＝x3－12x＋3，g(x)＝3x－m，若∀x1∈[－1，5]，∃x2∈[0，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是______________． 【解析】 　　　　由f(x)＝x3－12x＋3，所以f′(x)＝3x2－12．令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2．又x∈[－1，5]，当－1≤x＜2时，f′(x)＜0；当2＜x≤5时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在[－1，2)上单调递减，在(2，5]上单调递增，所以f(x)min＝f(2)＝－13． 又g(x)＝3x－m在x∈[0，2]上单调递增，所以g(x)min＝g(0)＝1－m． 根据题意，f(x)min≥g(x)min，所以－13≥1－m⇒m≥14，即m的取值范围为[14，＋∞)． [14，＋∞) 7．(2026·邯郸期初节选)设函数f(x)＝2x－ln(x－a)，a∈R．若f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围为__________． 【解析】 8．已知函数f(x)＝x2ln x－a(x2－1)，a∈R．若当x≥1时，f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围为______． 【解析】 三、解答题 【解答】 (1) 若曲线y＝f(x)在点P(1，0)处的切线与曲线y＝g(x)也相切，求a的值； 【解答】 (2) 若f(x)图象恒在g(x)图象的上方，求a的取值范围． 设y＝x－xln x，y′＝－ln x，当0＜x＜1时，y′＞0，y＝x－xln x在(0，1)上单调递增；当x＞1时，y′＜0，y＝x－xln x在(1，＋∞)上单调递减，所以ymax＝1－1×ln 1＝1，故a＞1，即a的取值范围为(1，＋∞)． 10．(2026·新乡期初)已知函数f(x)＝xln x． 【解答】 (1) 若关于x的方程f(x)＝λx3－x2(λ＞0)有唯一实数根，求实数λ的值； 令m(x)＝1－2ln x－x，则m(x)在(0，＋∞)上单调递减，又m(1)＝1－2ln 1－1＝0，故当0＜x＜1时，m(x)＞0，即h′(x)＞0，所以h(x)在(0，1)上单调递增；当x＞1时，m(x)＜0，即h′(x)＜0，所以h(x)在(1，＋∞)上单调递减，故h(x)max＝h(1)＝1，且当 x→0时， h(x)→－∞，当x→＋∞时，h(x)＞0且h(x)→0，作出h(x)的大致图象如图所示．由于λ＞0，且h(x)＝λ有唯一的实数根，所以λ＝1． 10．(2026·新乡期初)已知函数f(x)＝xln x． 【解答】 当a＞0时，令y＝－ax2＋2x－a，x≥1，则Δ＝4－4a2， 当Δ≤0，即a≥1时，－ax2＋2x－a≤0，则当x∈[1，＋∞)时，g′(x)≤0，g(x)在[1，＋∞)上单调递减，因此g(x)≤g(1)＝0，满足条件． 综上，实数a的取值范围为[1，＋∞)． (1) 求函数f(x)的单调区间； 【解答】 【解答】 $