第16讲　导数与函数的极值、最值课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“导数与函数的极值、最值”专题，依据高考评价体系梳理了极值定义、判断方法、最值求解及参数问题四大考查维度，通过近五年真题分析明确极值点判断、闭区间最值等高频考点占比超60%，归纳选择、填空、解答等典型题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题精讲+方法提炼+素养落地”，如以2023新高考Ⅰ卷极值参数题为例，详解“导数符号分析+分类讨论”突破法，培养数学思维与运算能力。特设“易错警示”如极值点需验证左右导数符号，通过变式训练强化得分技巧，助力学生高效冲刺，为教师提供精准复习教学指导。

第三章 第16讲　导数与函数的极值、最值 一元函数的导数及其应用 1 1．(多选)下列四个函数在x＝0处取得极值的是 (　 　) A．y＝x3　 B．y＝x2＋1 C．y＝|x|　 D．y＝2x BC 【解析】 22 3．(教材经典题)已知函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的极大值点是______，极小值点是______． 【解析】 　　　　因为x2，x4处的导数都为零，且这两点左右两侧的导数值异号，所以x2，x4是函数的极值点．因为当x∈(x1，x2)时，f′(x)＞0，当x∈(x2，x3)时，f′(x)＜0，所以x2是极大值点．因为当x∈(x3，x4)时，f′(x)＜0，当x∈(x4，x5)时，f′(x)＞0，所以x4是极小值点． x2 x4 4．(教材经典题)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则c的值为_____． 【解析】 　　　　因为f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝3x2－4cx＋c2，函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，所以f′(2)＝0，即c2－8c＋12＝0，解得c＝6或2．经检验，c＝2时，函数f(x)在x＝2处取得极小值，不符合题意，应舍去．故c＝6． 6 5．(教材经典题)用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边的长比另一边的长多0.5 m，那么高为________m时，容器的容积最大，最大容积为________m3． 【解析】 【答案】1.2　1.8 1．极值 (1) 设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)______f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)，x0为f(x)的____________；如果对x0附近的所有的点，都有f(x)______f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)，x0为f(x)的____________．极小值点与极大值点统称为__________，极大值与极小值统称为极值． (2) 当函数f(x)在x0处连续时，判断f(x0)是极大(小)值的方法： 如果x＜x0有f′(x)______0，x＞x0有f′(x)______0，那么f(x0)是极大值． 如果x＜x0有f′(x)______0，x＞x0有f′(x)______0，那么f(x0)是极小值． ≤ 极大值点 ≥ 极小值点 极值点 ＞ ＜ ＜ ＞ 2．最值 在闭区间[a，b]上的____________一定存在最大值和最小值，最大值是区间端点值和区间内的极大值中的最大者，最小值是区间端点值和区间内的极小值中的最小者． 3．常用结论 (1) 在函数的定义区间[a，b]内，极大(小)值可能有多个，可能没有，但最大(小)值有一个或者没有； (2) 给出函数极大(小)值的条件，一定既要考虑f′(x0)＝0，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，二者缺一不可，这点要切记！ 连续函数 目标 1 求函数的极值 视角1　极值点的判断(识图) 　　　　　(多选)若函数f(x)的定义域为(－4，3)，其导函数f′(x)的图象如图所示，则 (　 　) A．f(x)有两个极大值点 B．f(x)有一个极小值点 C．f(0)＞f(1) D．f(－2)＞f(－3) 1－1 【解析】 　　　　由题图可知当x∈(－4，－3)∪(－2，2)时，f′(x)≥0，当x∈(－3，－2)∪(2，3)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－4，－3)，(－2，2)内单调递增，在(－3，－2)，(2，3)内单调递减，可知f(0)＜f(1)，f(－2)＜f(－3)，且f(x)的极大值点为－3，2，极小值点为－2． 【答案】AB　 导函数图象从左往右，导函数值由正变负，表示函数单调性由增变减，此时导函数的零点即为函数的极大值点；同理，导函数值由负变正，函数单调性由减变增，此时导函数的零点即为函数的极小值点．判断函数的极值需从定义入手． 变式 1－1　(多选)已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则 (　　　) A．f(x)在(a，b)内一定不存在最小值 B．f(x)在(a，b)内只有一个极小值点 C．函数f(x)在(a，b)内有两个极大值点 D．函数f(x)在(a，b)内可能没有零点 【解析】 　　　　如图，函数的单调性是先增，后减，再增，再减，即x＝c，x＝e时，f(x)取得极大值，在x＝d时f(x)取得极小值，所以B，C正确； 当f(d)≤f(a)，且f(d)≤f(b)时，f(d)为f(x)在(a，b)内的最小值，所以A不正确； 若f(a)≥0，f(d)＞0，f(b)≥0，则f(x)在(a，b)内没有零点，所以D正确． 【答案】BCD 视角2　求极值 【解答】 1－2 x (1，4a2) 4a2 (4a2，4) f′(x) － 0 ＋ f(x) ↘ 极小值 ↗ 因此，f(x)的单调递减区间为(1，4a2)，单调递增区间为(4a2，4)．所以当x＝4a2时，f(x)有极小值为2a－2aln(2a)，无极大值． 利用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1) 确定函数f(x)的定义域； (2) 求导数f′(x)； (3) 在定义域内解方程f′(x)＝0； (4) 列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号； (5) 求出极值． 【解析】 目标 2 根据极值求参数 (1) 设a＝1，b＝－2，求曲线y＝f(x)的斜率为2的切线方程； 2 【解答】 (2) 若x＝1是f(x)的极小值点，求b的取值范围． 2 【解答】 (1) 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，可根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2) 导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验． A．[1，＋∞)　 B．(1，＋∞) C．(0，1]　 D．(0，1) 【解析】 B 目标 3 求函数的最值 视角1　不含参函数的最值 【解答】 　　　　由f(x)＝ex(x2＋a)得f′(x)＝ex(x2＋2x＋a)，所以f′(0)＝a，又f(0)＝a，所以f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)(x－0)，即y＝ax＋a． 3－1 (1) 求a的值； 【解答】 　　　　由(1)得f(x)＝ex(x2－3)，f′(x)＝ex(x2＋2x－3)＝ex(x＋3)(x－1)．由f′(x)＝0得x＝－3或x＝1． 当－4≤x＜－3时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当－3＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当1＜x≤2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 3－1 (2) 求f(x)在区间[－4，2]上的最大值和最小值． 求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值． 视角2　含参函数的最值 　　　　　(1)(2025·南京二模节选)求函数f(x)＝x2－2aln x＋1，a＞0，x∈[1，e]的最小值． 【解答】 3－2 综上，若0＜a≤1，则f(x)的最小值为2；若a≥e2，则f(x)的最小值为e2－2a＋1；若1＜a＜e2，则f(x)的最小值为a－aln a＋1． 【解答】 3－2 (1) 求函数f(x)的极值． 【解答】 【解答】 配套练习题 　　　　　　　　　A组　夯基精练 一、单项选择题 1．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是 (　　) A．f(b)＞f(a)＞f(c) B．函数f(x)在x＝c处取得最大值，在x＝e处取得最小值 C．函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值 D．函数f(x)的最小值为f(d) 【解析】 　　　　由题图可知，当x≤c时，f′(x)≥0，所以函数f(x)在(－∞，c]上单调递增，又a＜b＜c，则f(a)＜f(b)＜f(c)，故A不正确． 因为f′(c)＝0，f′(e)＝0，且当x＜c时，f′(x)＞0；当c＜x＜e时，f′(x)＜0．当x＞e时，f′(x)＞0．所以函数f(x)在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确． 由题图可知，当d≤x≤e时，f′(x)≤0，所以函数f(x)在[d，e]上单调递减，从而f(d)＞f(e)，所以D不正确． 【答案】C　 【解析】 B 3．(2025·安阳三模)已知函数f(x)＝x3－3x＋a的极小值为6，则实数a的值为(　　) A．8　 B．6 C．4　 D．2 【解析】 　　　　f′(x)＝3x3－3＝3(x＋1)(x－1)，当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0，故f(x)的极小值点为x＝1，故极小值为f(1)＝a－2．结合题设可得a－2＝6，即a＝8． A A．[1，＋∞)　 B．(1，＋∞) C．(0，1)　 D．(0，1] 【解析】 C 5．(2025·邯郸一模)已知函数f(x)＝(x－3)ex＋ax恰有一个极值点，则实数a的取值范围是 (　　) A．(－∞，0]∪{e}　 B．[0，＋∞)∪{－e} C．(－∞，0]　 D．[0，＋∞) 【解析】 　　　　由题得f′(x)＝(x－2)ex＋a，令f′(x)＝(x－2)ex＋a＝0，得－a＝(x－2)ex，设g(x)＝(x－2)ex，则g′(x)＝(x－1)ex． 由g′(x)＞0，得x＞1，则g(x)在(1，＋∞)上单调递增；由g′(x)＜0，得x＜1，则g(x)在(－∞，1)上单调递减，故g(x)min＝g(1)＝－e． 因为f(x)恰有一个极值点，所以f′(x)＝0有唯一零点x0，且f(x)在x0两侧的单调性不同．当x＜2时，g(x)＜0，则－a≥0，解得a≤0． C 二、多项选择题 A．bc＞0　 B．ab＞0 C．b2＋8ac＞0　 D．ac＜0 【解析】 【答案】BCD 7．(2025·新高考Ⅱ卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝(x2－3) ex＋2，则 (　　) A．f(0)＝0 B．当x＜0时，f(x)＝－(x2－3)e－x－2 C．f(x)≥2当且仅当x≥ D．x＝－1是f(x)的极大值点 【解析】 　　　　对于A，因为f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝0，故A正确． 对于B，当x＜0时，－x＞0，则f(x)＝－f(－x)＝－{[(－x)2－3]e－x＋2}＝－(x2－3)e－x－2，故B正确． 对于C，f(－1)＝－(1－3)e－2＝2(e－1)＞2，故C错误． 对于D，当x＜0时，f(x)＝(3－x2)e－x－2，则f′(x)＝－(3－x2)e－x－2xe－x＝(x2－2x－3)e－x，令f′(x)＝0，解得x＝－1或3(舍去)，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0，此时f(x)单调递增；当x∈(－1，0)时，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减，则x＝－1是f(x)的极大值点，故D正确． 【答案】ABD 8．(2025·杭州质检)设函数f(x)＝(x3－x)ln x，则 (　 　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)≥0 C．f(x)在区间(0，1)上单调递增 D．x＝1为f(x)的极小值点 【解析】 　　　　f(x)的定义域为(0，＋∞)，故f(x)为非奇非偶函数，故A错误． 由f(x)＝(x3－x)ln x＝x(x＋1)·(x－1)ln x，且x＞0，故x＋1＞0，当x＞1时，ln x＞0，x－1＞0，此时f(x)＞0；当0＜x＜1时，ln x＜0，x－1＜0，此时 f(x)＞0；当x＝1时，f(x)＝0，因此f(x)≥0，故B正确． 【答案】BD 三、填空题 9．(2025·新高考Ⅱ卷)若x＝2是函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f(0)＝ _______． 【解析】 －4 【解析】 【解析】 【答案】(－4，－1] 四、解答题 12．(2025·湘潭调研)已知函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋1，其中a∈R． (1) 当a＝3时，求函数f(x)在(0，3)内的极值； 【解答】 当a＝3时，f(x)＝2x3－12x2＋18x＋1，则f′(x)＝6x2－24x＋18＝6(x－1)(x－3)．令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3，f′(x)，f(x)在(0，3)内随x变化而变化的情况如下表所示： x (0，1) 1 (1，3) f′(x) ＋ 0 － f(x) ↗ 极大值9 ↘ 故f(x)在(0，3)内的极大值为9，无极小值． 12．(2025·湘潭调研)已知函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋1，其中a∈R． (2) 若函数f(x)在[1，2]上的最小值为5，求实数a的取值范围． 【解答】 ②当a≥2时，∀x∈[1，2]，f′(x)≤0且不恒为0，所以函数f(x)在区间[1，2]上单调递减，所以在[1，2]上，f(x)min＝f(2)＝2×23－3(a＋1)×22＋6a×2＋1＝5，符合题意． ③当1＜a＜2时，当x∈[1，a)时，f′(x)≤0，函数f(x)在区间[1，a)上单调递减，当x∈(a，2]时，f′(x)＞0，函数f(x)在区间(a，2]上单调递增，所以在[1，2]上，f(x)min＝f(a)＝2a3－3(a＋1)a2＋6a2＋1＝－a3＋3a2＋1，由题意，－a3＋3a2＋1＝5，即a3－3a2＋4＝0，即a3－2a2－(a2－4)＝0，即(a－2)2(a＋1)＝0，解得a＝－1或a＝2，与1＜a＜2矛盾． 综上，实数a的取值范围为[2，＋∞)． 13．(2026·唐山期初)已知函数f(x)＝x(x－2)(x－a)． (1) 若函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，求实数a的值； 【解答】 　　　　由曲线f(x)的图象关于点(2，0)对称，得y＝f(x＋2)是奇函数，因为f(x＋2)＝x(x＋2)(x＋2－a)，所以2－a＝－2，解得a＝4． 13．(2026·唐山期初)已知函数f(x)＝x(x－2)(x－a)． (2) 若x＝a是f(x)的极大值点，求实数a的值； 【解答】 　　　　f′(x)＝3x2－(4＋2a)x＋2a．因为x＝a是f(x)的极大值点，所以f′(a)＝0，解得a＝0或2． 13．(2026·唐山期初)已知函数f(x)＝x(x－2)(x－a)． (3) 设x1，x2是f(x)的极值点，且满足f(x1)＋f(x2)＞0，求实数a的取值范围． 【解答】 B组　能力提升练 【解析】 【解析】 3 2．(教材经典题改编)已知函数f(x)＝6＋12x－x3，x∈，则f(x)的最大值为 ______，最小值为______． $