易错10 统计与概率（易错专练，7大易错剖析+避错秘籍+易错闯关）（上海专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

**基本信息** 以7大易错点为核心，构建“错因诊断-避错秘籍-变式迁移”三阶方法体系，系统梳理统计量、统计图、概率的概念辨析与实际应用逻辑，培养数据观念与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |易错点1-7|每点1例题+2-3变式|统计量选择口诀、中位数四步法、方差四步法、概率放回判定法|从概念辨析（如平均数vs加权平均）到计算方法（排序、公式应用），再到实际决策（进货、成绩分析），形成“概念-计算-应用”递进链条|

专题12 统计与概率 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 实际问题中数据决策选择错误 易错点 2 求中位数、众数不对数据进行排列 易错点 3 平均数与加权平均数的计算 易错点 4 方差的公式及其计算 易错点 5 未按要求补全统计图 易错点 6 求概率时忽略放不放回的问题 易错点 7 混淆频率和概率的概念 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 实际问题中数据决策选择错误 错因剖析 概念混淆：分不清平均数、中位数、众数各自的适用场景，只会硬算不会选用。 认知偏差：默认一律用平均数决策，忽略极端数据、多数水平、集中趋势的实际需求。 基础薄弱：不会结合实际问题背景（进货、招聘、评优、成绩分析、稳定性判断）匹配对应统计量。 【例1】（2025·上海松江·二模）某商店在一周内卖出某品牌运动鞋的尺寸记录如：39，36，38，39，37，41，39，37，41，39，40．如果商店老板要再购进一批同样品牌的运动鞋，他应该关注这组数据的（    ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】B 【分析】本题主要考查统计量的选择，主要包括平均数、中位数、众数以及方差．根据题意，商店老板最应关注的销售数据是众数． 【详解】解：如果商店老板要再购进一批同样品牌的运动鞋，他应该关注这组数据的众数． 故选：B． 避错秘籍 【防错指南】 看一般平均水平→选平均数 看出现次数最多、进货销量、最常见标准→选众数 看中等水平、排名中间、避免极端值影响→选中位数 看波动大小、稳定性、整齐程度→选方差 口诀：普通平均用平均，最多销量找众数，中等排名看中位，稳定波动看方差 【知识链接】 平均数：反映整体平均水平，无极端值时用； 中位数：反映中等水平，受极端值影响小，适合工资、房价、成绩排名； 众数：反映大多数水平，适合进货、选尺码、销量决策； 方差：反映波动、稳定程度，方差越小越稳定。 变式迁移 【变式1-1】（2025·上海·模拟预测）不能反映一组数据的平均水平的统计量是（    ） A．加权平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】D 【分析】本题考查了加权平均数，中位数和众数，根据算术平均数、中位数和众数的定义解答即可． 【详解】解：在数据的整理过程中，我们可以用加权平均数、中位数和众数反映一组数据的“平均水平”． 故选：D． 【变式1-2】（2026·上海普陀·二模）某校举办校园歌手大奖赛，在评委评定的十个分数中，去掉一个最高分，去掉一个最低分，剩余的八个分数与原来的十个分数相比，一定不会变化的统计量是（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】C 【详解】解：将10个分数从小到大排序，原中位数是排序后第5个和第6个数据的平均数， ∵去掉一个最高分和一个最低分后，剩余8个数据排序后，中间的两个数仍是原数据的第5个和第6个， ∴中位数一定不变，故C正确． 对选项A：∵去掉最高分和最低分后，数据总和发生改变， ∴平均数可能变化，A错误． 对选项B：若原数据的众数是最高分或最低分，去掉后众数会发生改变， 因此众数可能变化，B错误． 对选项D：方差反映数据的波动程度，去掉两端数据后数据的波动程度通常改变， 因此方差可能变化，D错误． 易错点2 求中位数、众数不对数据进行排列 错因剖析 概念混淆：误以为中位数随便找中间一个数就行，不懂中位数定义必须先排序再取中间。 认知偏差：凭直觉看原数据找中间数、找出现次数最多的数，忽略无序数据不能直接判断。 基础薄弱：没养成 “先排序、再统计” 的固定解题步骤，数据一多就漏数、重数。 【例2】（2025·上海·模拟预测）数据33，34，36，39，38，37，33的中位数和众数是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查众数，中位数．众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据；中位数就是将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；根据众数和中位数的定义求解即可． 【详解】解：将33，34，36，39，38，37，33按从小到大的顺序排列如下：33，33，34，36，37，38，39， 最中间的数是36，出现次数最多的数是33， ∴数据33，34，36，39，38，37，33的中位数是36，众数是33． 故选：B． 避错秘籍 【防错指南】求中位数先排序，奇数取中偶平均；求众数数次数，最多全写不遗漏。 【知识链接】 1. 求中位数步骤（必按顺序） ① 把所有数据从小到大依次排列； ② 数据个数为奇数：取正中间那一个数； ③ 数据个数为偶数：取中间两个数的平均数。 2. 求众数注意 可以先排序再统计每个数出现次数，出现次数最多的数就是众数； 若多个数次数一样且都是最多，都是众数。 变式迁移 【变式2-1】（2026·上海虹口·二模）为助力“校园读书月”活动，某班20名同学积极分享自己的课外读物，他们分享的书籍数量（单位：本）如下表．根据表中的信息，这20个数据的中位数是______． 书籍数量/本 人数/人 【答案】8 【分析】根据中位数的定义，先确定20个数据从小到大排列后中位数的位置，再找到对应位置的数据计算即可得到结果． 【详解】解：一共有20个数据，将数据从小到大排列后，中位数为第10个和第11个数据的平均数． 分享4本的累计人数为， 分享6本的累计人数为， 分享8本的累计人数为， 因此第10个和第11个数据都为， 则中位数为． 【变式2-2】（2025·上海·二模）一次探究性作业共有道题目，某小组位学生做对题目数的情况如下表： 做对题目数 人数 那么这位学生做对题目数的众数是___________． 【答案】 【分析】本题考查了众数，解题的关键是理解众数的概念，即在一组数据中出现次数最多的数值． 【详解】解：由题意可知，在所有做对题目数中， 当做对题目数为时，对应的人数最多，即众数为9． 故答案为：． 易错点3 平均数与加权平均数的计算 错因剖析 概念混淆：把带权重的评分、占比问题，直接当成普通算术平均数计算。 认知偏差：不会把比例、百分比、频数统一转化为标准权重，建模转化能力弱。 基础薄弱：不会套用加权平均数公式，权重是百分比、人数、比例时不会换算。 【例3】（2025·上海普陀·二模）某班有男生20人，女生18人．在一次测验中，男生的平均分为分，女生的平均分为分，那么这个班级全体学生这次测验的平均分为（   ） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】D 【分析】本题考查了平均数的定义，属于基础题型，熟练掌握平均数的计算方法是解题关键． 根据加权平均数的定义解答即可． 【详解】解：由题意得：这个班的全体同学的平均分． 故选：D． 避错秘籍 【防错指南】 无比例、无重复、同等地位 → 用算术平均； 有比例、有计分权重、有频数表格 → 必用加权平均； 分组统计表求平均：必须用组中值代表本组； 权重求和一定要算总分母，不能只加数据不加权。 【知识链接】 1、算术平均数 适用：每个数据地位相同、权重一样。 2、加权平均数 适用：有比例、分值、频数、占比，地位不一样。 变式迁移 【变式3-1】某校开展“向海图强，我是先锋”红领巾讲解员大赛，评分设置“主题内容”“语言表达”“仪态台风”三项，依次按的比例计算综合得分，某选手三项得分（百分制）依次为分，分，分，则该选手综合得分为（   ） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】B 【分析】根据给定的比例确定权重，代入加权平均数公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵三项评分的比例为，总权重和为， ∴该选手综合得分为． 【变式3-2】某学校餐饮中心在课后服务时段，为学生提供三种简餐（每人限定一份），价格分别为10元，15元，20元．如图是该中心某日三种简餐销售情况统计图，则当日学生购买简餐费用的平均数为____元． 【答案】 【分析】利用扇形统计图中各简餐价格对应的销售占比作为权重，代入加权平均数公式求解即可． 【详解】解：根据加权平均数的计算公式： 平均数． 【变式3-3】某企业在一次招聘中，分笔试和面试两部分，笔试和面试成绩按计算最终成绩．小李的笔试成绩为90分，面试成绩为88分，则小李的最终成绩为___________分． 【答案】 【分析】按照加权平均数的计算公式计算即可． 【详解】解：由题意得小李的最终成绩为： （分）． 易错点4 方差的公式及其计算 错因剖析 概念混淆：误以为方差是各数据与平均数和的平均，忽略先求差、再平方。 认知偏差：偏差 正负不影响，不会利用平方消去 “正负”。 基础薄弱：负数平方算错、运算粗心，不会分步列式，一步算完极易出错。 【例4】（2026·上海松江·二模）已知数据：，，，的平均数是，方差是，那么数据，，，的平均数和方差分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据方差和平均数的计算公式求解即可． 【详解】解∵，，，的平均数是，方差是， ∴，即，， 那么数据，，，的平均数为：； 方差为： ． 避错秘籍 【防错指南】求方差固定四步法 1、先算这组数据的平均数 2、每个数据分别减去平均数 3、差值全部平方 4、平方和除以数据总个数 【知识链接】方差标准公式 设有数据：，平均数 标准差： 变式迁移 【变式4-1】（2026·上海浦东新·二模）第67届国际奥林匹克数学竞赛（）将于2026年7月在上海举行．在上届比赛中，中国队发挥出色，获得团体总分第一名，也是当届比赛中唯一一支所有队员都获得金牌的队伍．中国队参赛队员比赛成绩的方差可用以下公式来计算：． 根据以上信息，下列叙述中不正确的是（    ） A．中国队共有6名同学参赛 B．众数是36 C．中位数是38 D．平均数是38.5 【答案】B 【分析】本题考查方差公式的意义，以及众数、中位数、平均数的计算，根据方差公式确定所有数据后，依次根据定义判断各选项即可。 【详解】解：A、∵方差公式中共有6个数据项，∴中国队共有6名同学参赛，A选项正确，不符合题意； B、∵36和42都出现2次，均为出现次数最多的数，∴众数是36和42，B选项错误，符合题意； C、∵6个数据的中位数是第3个和第4个数据的平均数，即 ，∴中位数是38，C选项正确，不符合题意； D、∵平均数 ，∴平均数是38.5，D选项正确，不符合题意． 【变式4-2】（2026·上海闵行·二模）在投掷实心球的比赛中，甲、乙两人各投掷了次，球的落地位置如图所示．已知两人次投掷所得的平均成绩相同，对于甲、乙两人这次成绩的方差的描述正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据方差来衡量数据波动大小、离散程度，进行判断即可． 【详解】解：∵一组数据中，方差越小，数据越稳定、波动越小，方差越大，数据越分散、波动越大， ∴观察图片可知，甲的成绩比乙的成绩更加分散， ∴． 【变式4-3】（2025·上海·模拟预测）定义：一组数据，，…，的平均数为，那么称这个数据与平均数的差的平方和叫做这个数据的离差平方和，记作．那么， ，，，的离差平方和是_____． 【答案】 【分析】本题考查了平均数，离差平方和，先求出，然后通过离差平方和公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， ∴离差平方和是， 故答案为：． 易错点5 未按要求补全统计图 错因剖析 概念混淆：分不清条形图、扇形图各自能提供什么信息，不会互相借力求总量、求部分量。 认知偏差：只补画图形不算数据、不标数字，以为画上线就可以，忽略答题规范要求。 基础薄弱：不会用「部分 ÷ 对应百分比 = 总数」，扇形圆心角度数计算公式记不住。 【例5】（2026·上海宝山·二模）某校开展校园才艺大赛，根据同学们的报名意向分为“A唱歌、B舞蹈、C器乐、D戏剧、E其他”几个表演类别．图1、图2是每类表演报名人数的不完整统计图． (1)扇形统计图中“B舞蹈”所在扇形的圆心角度数为______°； (2)本次大赛总共报名______人，请补全条形统计图； (3)才艺大赛当天由7名学生代表作为评审进行打分（满分10分），甲、乙两位同学在“A唱歌”项目的得分及其部分统计结果如下： 甲 8 6 7 6 7 9 6 乙 8 4 8 9 8 9 3 平均数 中位数 方差 甲 a 7 乙 7 b c ①表中的数据： ______， ______， ______； ②结合平均数、中位数、方差等统计数据，谈谈你对甲、乙两位同学成绩的看法． 【答案】(1)90 (2)160，补全条形统计图见解析 (3)①7，8，；②见解析 【分析】（1）用乘以占比即可； （2）先由C的人数除以占比求解总人数，然后计算出B、E的人数，即可补全条形统计图； （3）①根据平均数，中位数，方差的定义求解即可； ②根据平均数，中位数，方差的意义分析即可． 【详解】（1）解：， ∴扇形统计图中“B舞蹈”所在扇形的圆心角度数为； （2）解：总人数：（人）， B的人数：（人）， 则E的人数为：（人）， 补全条形统计图： （3）解：①； 乙的数据排列为：3，4，8，8，8，9，9，则； ； ②甲、乙的平均数一样，说明甲、乙的平均水平接近，乙的中位数高于甲，说明乙的高分多，甲的方差小，说明成绩更加稳定． 避错秘籍 【防错指南】 典型易错陷阱 算出数据但不画图、不标注； 扇形图随便估角度，不用公式精确计算； 百分比加和不等于 100%，不检查验算； 条形图高度画错，和计算数值不匹配。 【知识链接】 1. 解题固定步骤 先用已知部分量 ÷ 对应百分比，求出总数； 求出缺失的部分数量和所占百分比； 补画条形图：高度对应数量，上方必须标数据； 补全扇形图：算出对应圆心角度数，标注类别 + 百分比。 2. 必记公式 总数 = 部分数量 ÷ 该部分所占百分比 部分数量 = 总数 × 所占百分比 扇形圆心角：360°× 该部分所占百分比 变式迁移 【变式5-1】（2025·上海普陀·三模）电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房，成为中国电影票房榜冠军．为了解大家对电影的评价情况，小舟同学从某电影院观影后的观众中，随机抽取部分观众对电影进行评价，并对评分（十分制）进行统计整理，所有观众的评分均高于8分（电影评分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： C组的数据是：9.1，9.2，9.3，9.3，9.3，9.3，9.4，9.4． (1)求出C组数据的中位数和众数； (2)补全条形统计图； (3)若共有800名观众参加了此次评分调查，估计此次评分调查认为电影特别优秀（）的观众人数是多少？ 【答案】(1)9.3分，9.3分 (2)见解析 (3)估计此次评分调查认为电影特别优秀（）的观众人数是560人． 【分析】本题考查了求中位数，众数，用样本估计总体等知识，解题的关键是： （1）根据中位数、众数的定义求解即可； （2）用B组人数除以其所占百分比求出被调查的总人数，然后求出A组和D组人数，最后补图即可； （3）利用800乘以的人数所占百分比即可． 【详解】（1）解：∵C组的数据是：9.1，9.2，9.3，9.3，9.3，9.3，9.4，9.4． 最中间的数是9.3，9.3； 出现次数最多的数是9.3， ∴C组中位数：分； 众数：9.3分； （2）解∶总人数为人， A组的人数为人， D组人数为人， 补图如下∶ ； （3）解：， 即估计此次评分调查认为电影特别优秀（）的观众人数是560人． 【变式5-2】某市中考体育实行必考加选考制度，为了解九年级学生的选考倾向，某区对本区各校九年级学生的体育选考科目进行抽样调查．本次选考科目分为四项（项目：跳绳；项目：足球；项目：立定跳远；项目：篮球），要求每名学生必须选择且只能选择其中一项．调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息回答下列问题： (1)在这次抽样调查中，一共调查了 名学生，请将条形统计图补充完整； (2)扇形统计图中 ，所对的圆心角为 度； (3)请用画树状图法或列表法，求小明和小红选择同一个项目的概率． 【答案】(1)，图见解析 (2)， (3)小明和小红选择同一个项目的概率为 【分析】（1）根据项目的人数除以百分比求出学生的总人数，进而求出项目的人数，即可解答； （2）根据项目的人数除以学生的总人数，即可求出的值，进而求出项目所对的圆心角即可； （3）列表求出所有结果总数和符合条件的结果数，再用概率公式可得答案． 【详解】（1）解：（名）， 故一共调查了名学生． 样本中选考科目是“足球”的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： （2）解：， 即； ， 即D所对的圆心角为度． （3）解：用列表法表示所有可能出现的结果如下： 小明小红 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由表格可知共有种等可能结果，其中小明，小红选择同一个项目共有种结果， 因此他们选择同一个项目的概率为． 易错点6 求概率时忽略放不放回的问题 错因剖析 概念混淆：分不清有放回和无放回的本质区别，以为每次可选数量都一样。 认知偏差：习惯性统一按有放回计算，审题不看 “不放回、依次抽取、一次性取两个” 这类关键词。 基础薄弱：画树状图、列表时，无放回场景没剔除重复元素，没减少总个数。 【例6】（2025·上海·中考真题）小明与小杰在玩卡牌游戏，已知小明手里有1，2，3，4四张牌，小杰手里有2，4，6，8四张牌，小明从小杰手里抽出一张牌，如果抽到小杰手中四张卡牌中的任意一张概率都相等，那么小明抽出的这张卡牌中，和自己手中某一张卡牌的数字一样的概率为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，直接用小杰手中卡牌上的数字与小明手中卡牌上的数字相同的卡牌数除以小杰的卡牌总数即可得到答案． 【详解】解：∵小杰一共有4种卡牌，其中有2张卡牌上的数字与小明手中卡片的数字相同， ∴小明抽出的这张卡牌中，和自己手中某一张卡牌的数字一样的概率为， 故答案为：． 避错秘籍 【防错指南】关键词快速判定 1、有放回：摸出一个放回摇匀再摸第二次；每次总数不变。 2、无放回：依次抽取、一次性取两个、拿出不放回；后面总数变少、不能重复选取。 【知识链接】解题步骤 1、先圈题中关键词：放回 / 不放回； 2、画树状图或列表： 有放回：每行每列元素全部保留； 无放回：去掉自身组合、不重复选取； 3、数清：总等可能结果数、符合条件结果数； 4、概率公式： 变式迁移 【变式6-1】（2025·上海浦东新·模拟预测）有三张分别标有数字3，4，5的卡片，它们的背面都相同．现将它们背面朝上，从中任意抽出一张卡片记录数字，放回，再从中任意抽出一张卡片记录数字，则两张卡片的数字之和大于7的概率为_______ 【答案】 【分析】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率，先列树状图得出所有等可能的结果数以及两张卡片的数字之和大于7的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意画出树状图如下： 由树状图可知：共有9种等可能的结果数，两张卡片的数字之和大于7的结果数为6， 则两张卡片的数字之和大于7的概率为： ． 故答案为：． 【变式6-2】（2025·上海嘉定·二模）在一个不透明的口袋中装有个球，分别标记为，，，，它们除数字外无其他差别，小明从口袋中随机摸出一个球后不放回，再由小红从剩余的球中随机摸出一个球，则摸到的数字小红比小明大的概率是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先列表得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 共有种等可能的结果，其中摸到的数字小红比小明大的结果有：，，，，，，共种， 摸到的数字小红比小明大的概率为． 故答案为：． 【变式6-3】一只不透明袋子中装有四只大小、质地都相同的小球，球面上分别标有数字：、、、，搅匀后先从中任意摸出一个小球（不放回），记下数字作为点A的横坐标，再从余下的3个小球中任意摸出一个小球，记下数字作为点A的纵坐标，则点A落在第四象限的概率为______ ． 【答案】 【分析】根据列表法求得所有情况，找出点A落在第四象限的有，，，，根据概率公式即可求解． 【详解】解：列表如下， 共有12种等可能结果，点A落在第四象限的有，，，，共4种， ∴点A落在第四象限的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法求概率，掌握列表法是解题的关键． 易错点7 混淆频率和概率的概念 错因剖析 概念混淆：把频率和概率当成同一个概念，用频率直接等同于概率；不理解大量重复试验下频率才会稳定在概率附近，填空、判断、选择题极易丢分。 认知偏差：做几次试验的频率，就直接当作概率使用。 基础薄弱：不理解大数定律：次数越多，频率越靠近概率；次数少，波动很大。 【例7】（2025·上海杨浦·二模）小王为了统计某一试验结果出现的频率，利用计算机进行模拟试验，并绘制出如图所示的统计图，那么符合这一试验结果的可能是（） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的概率 B．掷一枚质地均匀的骰子，出现奇数点朝上的概率 C．掷一枚质地均匀的骰子，出现素数点朝上的概率 D．掷一枚质地均匀的骰子，出现合数点朝上的概率 【答案】D 【分析】本题考查频率的计算，根据频数、频率的定义，确定各选项中，符合条件的对象的频率，作出判断． 【详解】解：图中，符合该结果的频率在和之间 A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率约为，不合题意； B．掷一枚质地均匀的骰子，出现奇数点朝上的概率为，不合题意； C．掷一枚质地均匀的骰子，出现素数点（2，3，5）朝上的概率为，不符合题意； D．掷一枚质地均匀的骰子，出现合数点（4，6）朝上的概率约为； 故选：D． 避错秘籍 【防错指南】 频数是次数，频率比值算，概率是定值；少量试验频不稳，大量逼近概率边；频率只能去估计。 【知识链接】 1、定义 频数：事件实际出现的次数。 频率：频率 = ，是变化值，每次试验可能不一样。 概率：事件本身固有的理论固定值，不变，与试验次数无关。 2、二者关系 单次、少量试验：频率≠概率； 大量重复试验：频率会逐渐稳定在概率附近，可以用频率估计概率； 概率是真理定值，频率是试验波动值。 变式迁移 【变式7-1】（2026·上海宝山·二模）在一个不透明的袋子里装有5个绿球、2个黄球和若干个红球，这些球除颜色不同外无其他差别．每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过大量的重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.3，则袋中红球的个数是______． 【答案】3 【分析】根据大量重复试验中频率的稳定值为概率，结合概率公式设未知数列方程求解即可． 【详解】解：设袋中红球有个，根据题意得 整理得 解得 经检验是原分式方程的解，符合题意， 所以袋中红球的个数是． 【变式7-2】（2025·上海杨浦·模拟预测）数学活动小组的小杨和小浦在研究“两件事关联的数学运算”这一数学课题时，了解到了以下内容： ①卡方检验（也叫检验）是一种统计方法，用来判断两件事是否存在关联． ②如何判断事件A与事件B存在关联呢？小杨和小浦的老师告诉他们： （）假设事件A与事件B无关联 （）列表（如表1） （）根据公式计算卡方值 （）根据得到的，得出无关性假设可靠的概率p（当时，） （）若事件A与事件B无关性假设不可靠的概率大于0.95，即有95%的把握，则否定原假设③卡方值越大，无关性假设可靠的概率p越小 事件A发生 事件A不发生 总计 事件B发生 a b 事件B不发生 c d 总计 n 其中 表1 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 121 b 283 患慢性气管炎者 c d 总计 134 339 表2 (1)小杨的爸爸是一位疾控中心的医护人员，他随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎的关系，测得数据如表所示（表2） ①估算样本中患有慢性支气管炎的频率 ②是否有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？ (2)小浦是一位勤奋学习的人，也是一位游戏迷，他八年级开始玩游戏，也开始努力学习，他利用平时测验，经过计算（计算完全无误），得出有的把握认为事件“玩游戏”与事件“数学考试年级第一”有关联，于是他将这件事告诉小杨，并声称可以提升数学成绩．假如你是小杨，你认为小浦的观点对吗？若不对，说明小浦导致出错的步骤，并写出计算卡方值时需注意的要点． 【答案】(1)①；②有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关 (2)错误，理由见解析 【分析】本题考查了求某事件的频率，由频率估计概率，用频率估计概率的综合应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）①根据表2，列出关于b，c，d的方程组求解，再估算样本中患有慢性支气管炎的频率； ②先求出卡方，再通过比较后得出结论； （2）根据卡方检验是判断关联性的重要工具，但应用时需谨慎区分“相关”与“因果”，并结合实际背景分析可能存在的偏差，由此作答即可． 【详解】（1）①解：由表2可知，， 解得：， 所以患病人数为56，总人数为339， 因此频率为：； ②， 所以， 所以有的把握认为吸烟与慢性气管炎有关； （2）解：小浦的错误在于： 卡方检验仅表明“玩游戏”与“数学考试年级第一”在统计上有关联，但无法证明因果关系． 可能存在的第三变量（如个人学习能力、时间管理、学习动机等）同时影响玩游戏频率与数学成绩，导致虚假相关． 即使有关联，也可能是“数学成绩好的人更爱玩游戏”（反向因果）或纯属巧合． 计算卡方值时需注意的要点：卡方检验需注意样本代表性、变量定义清晰、避免混淆因果． 1. （2026·上海黄浦·二模）下列信息中，适合用折线统计图，而不适合用条形统计图表示是（    ） A．上海市16个区的人口数 B．张爷爷连续7天定时测得的体温 C．九（3）班36个学生的体重 D．向阳菜市场15种蔬菜的价格 【答案】B 【分析】条形统计图适合表示不同类别的具体数量，折线统计图适合反映数据的变化趋势，根据二者用途判断选项即可． 【详解】解：对于A选项：统计上海市16个区的人口数，只需比较不同区的人口数量，适合用条形统计图； 对于B选项：统计张爷爷连续7天的体温，需要观察体温随时间的变化趋势，适合用折线统计图，不适合条形统计图； 对于C选项：统计36名学生的体重，只需得到不同学生的体重数量，适合用条形统计图； 对于D选项：统计15种蔬菜的价格，只需比较不同蔬菜的价格，适合用条形统计图． 2. （2025·上海·二模）下列是一组数据：2，2，2，3，4，7，9，9，114514，可以较好反映这组数据平均水平的关于此数据的值是（    ） A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 【答案】D 【分析】本题考查利用中位数作决策，掌握中位数的意义是解决本题的关键． 根据平均数，众数，中位数和方差表示的意义和影响因素进行判断即可． 【详解】解：2，2，2，3，4，7，9，9，114514， 众数为2，数值过小，不能很好地反映这组数据平均水平， 方差表示波动情况，它和平均数一样受极端值的影响大，不能很好地表示平均水平， ∴中位数不受极端值影响，能较好地代表中间位置， 故选D． 3. （2025·上海·模拟预测）下列有关统计的说法中，正确的是（   ） A．平均数越大，不一定代表样本内各个个体的水平越高 B．方差越大，则代表整个样本内个体的差异越小 C．在一个群体内进行抽样调查，得到的所有数据都可以类推至整个群体 D．当样本内的个体差异极大时，平均数也可以真实反映整个群体的情况 【答案】A 【分析】本题考查了平均数，方差，抽样调查等知识点，熟练掌握基本知识点是解题关键； 根据平均数，方差，抽样调查的概念逐一进行判断即可． 【详解】解：A、平均数反映了一组数据的平均水平，并非平均数大就是各个个体的水平高；故说法正确，符合题意； B、方差越大，则代表整个样本内个体的差异越小；故说法不正确，不符合题意； C、抽样调查需保证样本代表性，若抽样方法不当（如非随机抽样），结论无法推广至群体；故说法不正确，不符合题意； D、个体差异极大时，平均数易受极端值影响，可能无法真实反映群体情况；故说法不正确，不符合题意； 故选：A． 4. （2025·上海崇明·二模）学了概率的相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如表： 累计抛掷次数 100 1000 2000 3000 4000 5000 6000 针尖朝上频率 0.500 0.610 0.600 0.594 0.625 0.614 0.618 随着试验次数的增大，估计“针尖朝上”的概率接近于（   ）（精确到0.01） A．0.50 B．0.59 C．0.62 D．0.63 【答案】C 【详解】解：∵随着累计抛掷次数增大，针尖朝上的频率在附近波动（精确到）， ∴估计“针尖朝上”的概率接近于，故C选项符合． 5. （2026·上海浦东新·二模）一个不透明的袋子里装有4个红球、3个白球和2个蓝球，这些球只有颜色不同，随机从中摸出一个球，要使摸到红球的概率为，以下方法不可行的是（    ） A．往袋中放入一个红球 B．往袋中放入一个绿球 C．从袋中取出一个蓝球 D．从袋中取出一个白球 【答案】B 【分析】先计算原有红球数和总球数，再根据概率公式，分别计算各选项操作后摸到红球的概率，判断是否等于，即可得到答案． 【详解】解：原有红球个，总球数为，摸到红球概率为，即，对各选项逐一验证： A、∵放入1个红球后，红球数为，总球数为，∴，方法可行； B、∵放入1个绿球后，红球数为，总球数为，∴，方法不可行； C、∵取出1个蓝球后，红球数为，总球数为，∴，方法可行； D、∵取出1个白球后，红球数为，总球数为，∴，方法可行； 因此方法不可行的是B． 6. （2026·上海静安·二模）为提高学生身体素质，体育课开设了“引体向上”项目．现从某年级随机抽取了部分男生进行测试，绘制出不完整的统计图（如图所示），在本次调查获取的样本数据中，“引体向上”完成次数最少为6次，最多为10次，且次数在10次的学生数占总人数的，那么本次调查样本的中位数为______次． 【答案】8 【分析】先得出本次调查的总人数，然后根据中位数的定义进行求解即可． 【详解】解：由条形统计图可知：本次调查抽取的总人数为（人）， ∴完成“引体向上”的次数为7的有（人）， 根据中位数的定义可知：本次调查样本中中位数为第20和第21个数据之和的平均数，由可知中位数落在8次． 7. （2026·上海松江·二模）为了解某年级学生每周课外阅读时长，随机抽取部分学生进行调查，并绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值）．如果该年级有600名学生，估计该年级平均每周阅读时长不少于6小时的学生约有______名． 【答案】 【分析】先求出样本中平均每周阅读时长不少于小时的学生的频率，再用年级总人数乘以对应频率得到估计结果． 【详解】解：由频数分布直方图可得，抽取的样本容量为： 样本中平均每周阅读时长不少于小时的学生频数为：（人） 样本中对应频率为： 因此估计该年级符合条件的学生人数为：（人）． 8. （2026·上海黄浦·二模）社区食堂推出一种老年套餐，为了能更精准地备餐，食堂对社区内800名老人作调研，从中随机抽取了50名，就星期一到星期五的需求量进行了问卷调查，汇总整理得到下列统计表．根据调研结果，食堂在星期一到星期五总共大约需要备这种老年套餐_____份． 套餐需求量统计表 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 数量 12 10 10 12 10 【答案】864 【分析】先计算抽取的样本中五天的总需求量，再根据样本容量与总体容量的比例，估算出总体五天的总需求量． 【详解】解：由题意可得，抽取的名老人五天的总需求量为：； 总体容量为，样本容量为，因此总需求量约为 ． 9. （2026·上海奉贤·二模）某公园有、、三个入口，甲、乙两名游客各自随机选择一个入口进入，如果选择每一个入口的可能性都相同，那么甲、乙两人恰好都从入口进入的概率是___________ 【答案】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率、概率公式，先确定所有等可能的结果总数，再找出满足条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：列表如下： 由表可知，甲选择入口共有3种等可能结果，乙选择入口也有3种等可能结果，因此所有等可能的结果总数为种，其中甲、乙两人恰好都从入口进入的结果只有种，根据概率公式可得，所求概率为． 10. （2026·上海崇明·二模）在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示），现从质量为，，的三件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为__________． 【答案】 【分析】通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解即可． 【详解】解：要使天平恢复平衡，选取的两件物品质量为， 列表如下： / / / 共有6种可能的结果，使天平恢复平衡的有2种， 天平恢复平衡的概率为： 11. （2026·上海闵行·二模）从，，这三个数中随机抽取其中的两个数，分别记作和．如果点的坐标为，那么点在第二象限内的概率是____． 【答案】 【分析】本题考查概率的计算，先列举出所有等可能的结果，再根据第二象限内点的坐标特征找出符合条件的结果，最后利用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意，列举所有等可能的点，共有种等可能的结果， 分别为：，，，，，， 第二象限内点的坐标特征为横坐标小于，纵坐标大于， 符合该特征的点有个，分别为，， 根据概率公式可得点在第二象限内的概率为． 12. （2026·上海杨浦·二模）有盲盒甲和盲盒乙，甲每次抽中的概率恒为，乙第一次抽中的概率为，随着次数的增加每次增加，则抽五次后恰好抽中一次概率更大的是___________．（选填“甲”或“乙”或“概率相同”）． 【答案】甲 【分析】分别计算甲五次内恰好抽中一次的概率与乙五次内恰好抽中一次的概率，比较两者大小即可得到结果． 【详解】解∶甲每次抽中概率为，每次抽不中概率为，根据独立重复试验概率公式得， 甲五次内恰好抽中一次的概率为； 乙五次抽中概率依次为，恰好抽中一次的概率为仅一次抽中其余四次不中的概率和， 乙五次内恰好抽中一次的概率为 ， ∴， 抽五次后抽中一次概率更大的是甲． 13. （2026·上海金山·二模）班学生参加环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数，把参赛学生的成绩整理后分成个小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图，如图所示．回答下列问题： (1)班共有多少名学生参加知识竞赛？ (2)分布在分这一组的频率是多少？ (3)成绩的中位数落在哪个小组数据范围内？ (4)求成绩不低于分的学生占全部学生人数的百分率． 【答案】(1)名 (2) (3) (4) 【分析】（）把各组人数相加即可求解； （）用分布在分这一组的频数除以总人数即可求解； （）根据中位数的定义解答即可求解； （）用成绩高于分的学生人数除以总人数即可求解； 本题考查了频数分布直方图，频率和中位数，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴班共有名学生参加知识竞赛； （2）解：由频数分布直方图可得，分布在分这一组的频数为， ∴分布在分这一组的频率是； （3）将个学生的成绩由低到高排列，第个的成绩是中位数，由各小组的人数可知，第个成绩落在小组里， ∴成绩的中位数落在范围内； （4）解： ， 答：成绩不低于分的学生人数占全班参赛学生人数的． 14. （2026·上海杨浦·二模）小明正在进行“关于生物遗传概率的探究”： 他从互联网上收集到了这些信息： 1．相对性状：同种生物同一性状的不同表现形式（如卷发、直发、双眼皮、单眼皮）； 2．显隐性：题目中标注“显性”的性状，只要有1个显性基因就会表现（如 表现卷发）；“隐性”性状必须有2个隐性基因才会表现（如表现直发）； 3．基因型：用字母表示基因组成，显性基因用大写（D、A、B），隐性基因用小写（d、a、b）； 显性性状基因型：2种可能（纯合子：如，2个显性基因；杂合子：如，1显1隐）； 隐性性状基因型：只有1种（纯合子：如，2个隐性基因）； 4．遗传规律：亲代会将一对基因（例如：）中的1个（例如：D）传给子代，子代的一对基因来自父亲和母亲； 5．独立遗传：本题三对性状的基因互不影响》 已知性状显隐性（均为常染色体遗传） ①毛发直卷：卷发（D）对直发（d）为显性（表现卷发，表现直发）； ②眼睑形状：双眼皮（A）对单眼皮（a）为显性（表现双眼皮，表现单眼皮）； ③拇指形态：直拇指（B）对弯拇指（b）为显性（表现直拇指，表现弯拇指）． 小明的数学老师提出了下列问题： (1)一对卷发夫妇，丈夫基因型为，妻子基因型为，求二人生育一个直发孩子的概率． (2)一对双眼皮夫妇，生育了1个单眼皮孩子，据此先判断夫妇的基因型，再求二人再生育一个双眼皮纯合子孩子的概率． (3)已知男性基因型为（卷发、直拇指），女性基因型为（直发、直拇指），求二人生育一个卷发、弯拇指孩子的概率． (4)一对卷发夫妇，男方父母均为“卷发、单眼皮”（且男方父亲为卷发纯合子，男方母亲为卷发杂合子），女方母亲为“直发、单眼皮”、女方父亲为“卷发、双眼皮（纯合子）”．求这对夫妇生育一个直发、单眼皮孩子的概率． 【答案】(1) (2)夫妇基因型均为，概率为 (3) (4) 【分析】（1）根据题意，两人无法生出基因为的孩子，即可得出结果； （2）根据单眼皮为隐性，双眼皮为显性，进而得到夫妇的基因为，列表法求出概率即可； （3）根据题意，列出表格，利用概率公式进行求解即可； （4）根据题意，得到男方的基因型为或，概率均为，女方的基因型为，再求出男方的基因型为时，生出一个直发、单眼皮孩子的概率，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵卷发（D）对直发（d）为显性，丈夫基因型为，妻子基因型为， ∴无法得到基因型为的孩子，即二人不可能生育一个直发孩子， ∴； （2）解：∵双眼皮（A）对单眼皮（a）为显性，且一对双眼皮夫妇，生育了1个单眼皮孩子， ∴孩子的基因型为， ∴夫妇的基因型均为， 列表如下： A a A a 共有4种等可能的结果，其中二人再生育一个双眼皮纯合子孩子的结果有1种， ∴； （3）解：由题意，列表如下： 共有8种等可能的结果，其中二人生育一个卷发、弯拇指孩子的结果只有1种， ∴； （4）解：由题意，男方父亲的基因型为，母亲的基因型为，女方父亲的基因型为，母亲的基因型为， ∴男方的基因型为或，概率均为，女方的基因型为， 当男方的基因型为时，孩子的头发不能是直发， 当男方的基因型为时，列表如下： 共有8种等可能的结果，其中生育一个直发、单眼皮孩子的结果只有1种， ∴， 又∵男方的基因型为的概率为， ∴该对夫妇生育一个直发、单眼皮孩子的概率为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 统计与概率 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 实际问题中数据决策选择错误 易错点 2 求中位数、众数不对数据进行排列 易错点 3 平均数与加权平均数的计算 易错点 4 方差的公式及其计算 易错点 5 未按要求补全统计图 易错点 6 求概率时忽略放不放回的问题 易错点 7 混淆频率和概率的概念 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 实际问题中数据决策选择错误 错因剖析 概念混淆：分不清平均数、中位数、众数各自的适用场景，只会硬算不会选用。 认知偏差：默认一律用平均数决策，忽略极端数据、多数水平、集中趋势的实际需求。 基础薄弱：不会结合实际问题背景（进货、招聘、评优、成绩分析、稳定性判断）匹配对应统计量。 【例1】（2025·上海松江·二模）某商店在一周内卖出某品牌运动鞋的尺寸记录如：39，36，38，39，37，41，39，37，41，39，40．如果商店老板要再购进一批同样品牌的运动鞋，他应该关注这组数据的（    ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 避错秘籍 【防错指南】 看一般平均水平→选平均数 看出现次数最多、进货销量、最常见标准→选众数 看中等水平、排名中间、避免极端值影响→选中位数 看波动大小、稳定性、整齐程度→选方差 口诀：普通平均用平均，最多销量找众数，中等排名看中位，稳定波动看方差 【知识链接】 平均数：反映整体平均水平，无极端值时用； 中位数：反映中等水平，受极端值影响小，适合工资、房价、成绩排名； 众数：反映大多数水平，适合进货、选尺码、销量决策； 方差：反映波动、稳定程度，方差越小越稳定。 变式迁移 【变式1-1】（2025·上海·模拟预测）不能反映一组数据的平均水平的统计量是（    ） A．加权平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【变式1-2】（2026·上海普陀·二模）某校举办校园歌手大奖赛，在评委评定的十个分数中，去掉一个最高分，去掉一个最低分，剩余的八个分数与原来的十个分数相比，一定不会变化的统计量是（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 易错点2 求中位数、众数不对数据进行排列 错因剖析 概念混淆：误以为中位数随便找中间一个数就行，不懂中位数定义必须先排序再取中间。 认知偏差：凭直觉看原数据找中间数、找出现次数最多的数，忽略无序数据不能直接判断。 基础薄弱：没养成 “先排序、再统计” 的固定解题步骤，数据一多就漏数、重数。 【例2】（2025·上海·模拟预测）数据33，34，36，39，38，37，33的中位数和众数是（    ） A．， B．， C．， D．， 避错秘籍 【防错指南】求中位数先排序，奇数取中偶平均；求众数数次数，最多全写不遗漏。 【知识链接】 1. 求中位数步骤（必按顺序） ① 把所有数据从小到大依次排列； ② 数据个数为奇数：取正中间那一个数； ③ 数据个数为偶数：取中间两个数的平均数。 2. 求众数注意 可以先排序再统计每个数出现次数，出现次数最多的数就是众数； 若多个数次数一样且都是最多，都是众数。 变式迁移 【变式2-1】（2026·上海虹口·二模）为助力“校园读书月”活动，某班20名同学积极分享自己的课外读物，他们分享的书籍数量（单位：本）如下表．根据表中的信息，这20个数据的中位数是______． 书籍数量/本 人数/人 【变式2-2】（2025·上海·二模）一次探究性作业共有道题目，某小组位学生做对题目数的情况如下表： 做对题目数 人数 那么这位学生做对题目数的众数是___________． 易错点3 平均数与加权平均数的计算 错因剖析 概念混淆：把带权重的评分、占比问题，直接当成普通算术平均数计算。 认知偏差：不会把比例、百分比、频数统一转化为标准权重，建模转化能力弱。 基础薄弱：不会套用加权平均数公式，权重是百分比、人数、比例时不会换算。 【例3】（2025·上海普陀·二模）某班有男生20人，女生18人．在一次测验中，男生的平均分为分，女生的平均分为分，那么这个班级全体学生这次测验的平均分为（   ） A．分 B．分 C．分 D．分 避错秘籍 【防错指南】 无比例、无重复、同等地位 → 用算术平均； 有比例、有计分权重、有频数表格 → 必用加权平均； 分组统计表求平均：必须用组中值代表本组； 权重求和一定要算总分母，不能只加数据不加权。 【知识链接】 1、算术平均数 适用：每个数据地位相同、权重一样。 2、加权平均数 适用：有比例、分值、频数、占比，地位不一样。 变式迁移 【变式3-1】某校开展“向海图强，我是先锋”红领巾讲解员大赛，评分设置“主题内容”“语言表达”“仪态台风”三项，依次按的比例计算综合得分，某选手三项得分（百分制）依次为分，分，分，则该选手综合得分为（   ） A．分 B．分 C．分 D．分 【变式3-2】某学校餐饮中心在课后服务时段，为学生提供三种简餐（每人限定一份），价格分别为10元，15元，20元．如图是该中心某日三种简餐销售情况统计图，则当日学生购买简餐费用的平均数为____元． 【变式3-3】某企业在一次招聘中，分笔试和面试两部分，笔试和面试成绩按计算最终成绩．小李的笔试成绩为90分，面试成绩为88分，则小李的最终成绩为___________分． 易错点4 方差的公式及其计算 错因剖析 概念混淆：误以为方差是各数据与平均数和的平均，忽略先求差、再平方。 认知偏差：偏差 正负不影响，不会利用平方消去 “正负”。 基础薄弱：负数平方算错、运算粗心，不会分步列式，一步算完极易出错。 【例4】（2026·上海松江·二模）已知数据：，，，的平均数是，方差是，那么数据，，，的平均数和方差分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 避错秘籍 【防错指南】求方差固定四步法 1、先算这组数据的平均数 2、每个数据分别减去平均数 3、差值全部平方 4、平方和除以数据总个数 【知识链接】方差标准公式 设有数据：，平均数 标准差： 变式迁移 【变式4-1】（2026·上海浦东新·二模）第67届国际奥林匹克数学竞赛（）将于2026年7月在上海举行．在上届比赛中，中国队发挥出色，获得团体总分第一名，也是当届比赛中唯一一支所有队员都获得金牌的队伍．中国队参赛队员比赛成绩的方差可用以下公式来计算：． 根据以上信息，下列叙述中不正确的是（    ） A．中国队共有6名同学参赛 B．众数是36 C．中位数是38 D．平均数是38.5 【变式4-2】（2026·上海闵行·二模）在投掷实心球的比赛中，甲、乙两人各投掷了次，球的落地位置如图所示．已知两人次投掷所得的平均成绩相同，对于甲、乙两人这次成绩的方差的描述正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式4-3】（2025·上海·模拟预测）定义：一组数据，，…，的平均数为，那么称这个数据与平均数的差的平方和叫做这个数据的离差平方和，记作．那么， ，，，的离差平方和是_____． 易错点5 未按要求补全统计图 错因剖析 概念混淆：分不清条形图、扇形图各自能提供什么信息，不会互相借力求总量、求部分量。 认知偏差：只补画图形不算数据、不标数字，以为画上线就可以，忽略答题规范要求。 基础薄弱：不会用「部分 ÷ 对应百分比 = 总数」，扇形圆心角度数计算公式记不住。 【例5】（2026·上海宝山·二模）某校开展校园才艺大赛，根据同学们的报名意向分为“A唱歌、B舞蹈、C器乐、D戏剧、E其他”几个表演类别．图1、图2是每类表演报名人数的不完整统计图． (1)扇形统计图中“B舞蹈”所在扇形的圆心角度数为______°； (2)本次大赛总共报名______人，请补全条形统计图； (3)才艺大赛当天由7名学生代表作为评审进行打分（满分10分），甲、乙两位同学在“A唱歌”项目的得分及其部分统计结果如下： 甲 8 6 7 6 7 9 6 乙 8 4 8 9 8 9 3 平均数 中位数 方差 甲 a 7 乙 7 b c ①表中的数据： ______， ______， ______； ②结合平均数、中位数、方差等统计数据，谈谈你对甲、乙两位同学成绩的看法． 避错秘籍 【防错指南】 典型易错陷阱 算出数据但不画图、不标注； 扇形图随便估角度，不用公式精确计算； 百分比加和不等于 100%，不检查验算； 条形图高度画错，和计算数值不匹配。 【知识链接】 1. 解题固定步骤 先用已知部分量 ÷ 对应百分比，求出总数； 求出缺失的部分数量和所占百分比； 补画条形图：高度对应数量，上方必须标数据； 补全扇形图：算出对应圆心角度数，标注类别 + 百分比。 2. 必记公式 总数 = 部分数量 ÷ 该部分所占百分比 部分数量 = 总数 × 所占百分比 扇形圆心角：360°× 该部分所占百分比 变式迁移 【变式5-1】（2025·上海普陀·三模）电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房，成为中国电影票房榜冠军．为了解大家对电影的评价情况，小舟同学从某电影院观影后的观众中，随机抽取部分观众对电影进行评价，并对评分（十分制）进行统计整理，所有观众的评分均高于8分（电影评分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： C组的数据是：9.1，9.2，9.3，9.3，9.3，9.3，9.4，9.4． (1)求出C组数据的中位数和众数； (2)补全条形统计图； (3)若共有800名观众参加了此次评分调查，估计此次评分调查认为电影特别优秀（）的观众人数是多少？ 【变式5-2】某市中考体育实行必考加选考制度，为了解九年级学生的选考倾向，某区对本区各校九年级学生的体育选考科目进行抽样调查．本次选考科目分为四项（项目：跳绳；项目：足球；项目：立定跳远；项目：篮球），要求每名学生必须选择且只能选择其中一项．调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息回答下列问题： (1)在这次抽样调查中，一共调查了 名学生，请将条形统计图补充完整； (2)扇形统计图中 ，所对的圆心角为 度； (3)请用画树状图法或列表法，求小明和小红选择同一个项目的概率． 易错点6 求概率时忽略放不放回的问题 错因剖析 概念混淆：分不清有放回和无放回的本质区别，以为每次可选数量都一样。 认知偏差：习惯性统一按有放回计算，审题不看 “不放回、依次抽取、一次性取两个” 这类关键词。 基础薄弱：画树状图、列表时，无放回场景没剔除重复元素，没减少总个数。 【例6】（2025·上海·中考真题）小明与小杰在玩卡牌游戏，已知小明手里有1，2，3，4四张牌，小杰手里有2，4，6，8四张牌，小明从小杰手里抽出一张牌，如果抽到小杰手中四张卡牌中的任意一张概率都相等，那么小明抽出的这张卡牌中，和自己手中某一张卡牌的数字一样的概率为_____． 避错秘籍 【防错指南】关键词快速判定 1、有放回：摸出一个放回摇匀再摸第二次；每次总数不变。 2、无放回：依次抽取、一次性取两个、拿出不放回；后面总数变少、不能重复选取。 【知识链接】解题步骤 1、先圈题中关键词：放回 / 不放回； 2、画树状图或列表： 有放回：每行每列元素全部保留； 无放回：去掉自身组合、不重复选取； 3、数清：总等可能结果数、符合条件结果数； 4、概率公式： 变式迁移 【变式6-1】（2025·上海浦东新·模拟预测）有三张分别标有数字3，4，5的卡片，它们的背面都相同．现将它们背面朝上，从中任意抽出一张卡片记录数字，放回，再从中任意抽出一张卡片记录数字，则两张卡片的数字之和大于7的概率为_______ 【变式6-2】（2025·上海嘉定·二模）在一个不透明的口袋中装有个球，分别标记为，，，，它们除数字外无其他差别，小明从口袋中随机摸出一个球后不放回，再由小红从剩余的球中随机摸出一个球，则摸到的数字小红比小明大的概率是______． 【变式6-3】一只不透明袋子中装有四只大小、质地都相同的小球，球面上分别标有数字：、、、，搅匀后先从中任意摸出一个小球（不放回），记下数字作为点A的横坐标，再从余下的3个小球中任意摸出一个小球，记下数字作为点A的纵坐标，则点A落在第四象限的概率为______ ． 易错点7 混淆频率和概率的概念 错因剖析 概念混淆：把频率和概率当成同一个概念，用频率直接等同于概率；不理解大量重复试验下频率才会稳定在概率附近，填空、判断、选择题极易丢分。 认知偏差：做几次试验的频率，就直接当作概率使用。 基础薄弱：不理解大数定律：次数越多，频率越靠近概率；次数少，波动很大。 【例7】（2025·上海杨浦·二模）小王为了统计某一试验结果出现的频率，利用计算机进行模拟试验，并绘制出如图所示的统计图，那么符合这一试验结果的可能是（） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的概率 B．掷一枚质地均匀的骰子，出现奇数点朝上的概率 C．掷一枚质地均匀的骰子，出现素数点朝上的概率 D．掷一枚质地均匀的骰子，出现合数点朝上的概率 避错秘籍 【防错指南】 频数是次数，频率比值算，概率是定值；少量试验频不稳，大量逼近概率边；频率只能去估计。 【知识链接】 1、定义 频数：事件实际出现的次数。 频率：频率 = ，是变化值，每次试验可能不一样。 概率：事件本身固有的理论固定值，不变，与试验次数无关。 2、二者关系 单次、少量试验：频率≠概率； 大量重复试验：频率会逐渐稳定在概率附近，可以用频率估计概率； 概率是真理定值，频率是试验波动值。 变式迁移 【变式7-1】（2026·上海宝山·二模）在一个不透明的袋子里装有5个绿球、2个黄球和若干个红球，这些球除颜色不同外无其他差别．每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过大量的重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.3，则袋中红球的个数是______． 【变式7-2】（2025·上海杨浦·模拟预测）数学活动小组的小杨和小浦在研究“两件事关联的数学运算”这一数学课题时，了解到了以下内容： ①卡方检验（也叫检验）是一种统计方法，用来判断两件事是否存在关联． ②如何判断事件A与事件B存在关联呢？小杨和小浦的老师告诉他们： （）假设事件A与事件B无关联 （）列表（如表1） （）根据公式计算卡方值 （）根据得到的，得出无关性假设可靠的概率p（当时，） （）若事件A与事件B无关性假设不可靠的概率大于0.95，即有95%的把握，则否定原假设③卡方值越大，无关性假设可靠的概率p越小 事件A发生 事件A不发生 总计 事件B发生 a b 事件B不发生 c d 总计 n 其中 表1 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 121 b 283 患慢性气管炎者 c d 总计 134 339 表2 (1)小杨的爸爸是一位疾控中心的医护人员，他随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎的关系，测得数据如表所示（表2） ①估算样本中患有慢性支气管炎的频率 ②是否有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？ (2)小浦是一位勤奋学习的人，也是一位游戏迷，他八年级开始玩游戏，也开始努力学习，他利用平时测验，经过计算（计算完全无误），得出有的把握认为事件“玩游戏”与事件“数学考试年级第一”有关联，于是他将这件事告诉小杨，并声称可以提升数学成绩．假如你是小杨，你认为小浦的观点对吗？若不对，说明小浦导致出错的步骤，并写出计算卡方值时需注意的要点． 1. （2026·上海黄浦·二模）下列信息中，适合用折线统计图，而不适合用条形统计图表示是（    ） A．上海市16个区的人口数 B．张爷爷连续7天定时测得的体温 C．九（3）班36个学生的体重 D．向阳菜市场15种蔬菜的价格 2. （2025·上海·二模）下列是一组数据：2，2，2，3，4，7，9，9，114514，可以较好反映这组数据平均水平的关于此数据的值是（    ） A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 3. （2025·上海·模拟预测）下列有关统计的说法中，正确的是（   ） A．平均数越大，不一定代表样本内各个个体的水平越高 B．方差越大，则代表整个样本内个体的差异越小 C．在一个群体内进行抽样调查，得到的所有数据都可以类推至整个群体 D．当样本内的个体差异极大时，平均数也可以真实反映整个群体的情况 4. （2025·上海崇明·二模）学了概率的相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如表： 累计抛掷次数 100 1000 2000 3000 4000 5000 6000 针尖朝上频率 0.500 0.610 0.600 0.594 0.625 0.614 0.618 随着试验次数的增大，估计“针尖朝上”的概率接近于（   ）（精确到0.01） A．0.50 B．0.59 C．0.62 D．0.63 5. （2026·上海浦东新·二模）一个不透明的袋子里装有4个红球、3个白球和2个蓝球，这些球只有颜色不同，随机从中摸出一个球，要使摸到红球的概率为，以下方法不可行的是（    ） A．往袋中放入一个红球 B．往袋中放入一个绿球 C．从袋中取出一个蓝球 D．从袋中取出一个白球 6. （2026·上海静安·二模）为提高学生身体素质，体育课开设了“引体向上”项目．现从某年级随机抽取了部分男生进行测试，绘制出不完整的统计图（如图所示），在本次调查获取的样本数据中，“引体向上”完成次数最少为6次，最多为10次，且次数在10次的学生数占总人数的，那么本次调查样本的中位数为______次． 7. （2026·上海松江·二模）为了解某年级学生每周课外阅读时长，随机抽取部分学生进行调查，并绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值）．如果该年级有600名学生，估计该年级平均每周阅读时长不少于6小时的学生约有______名． 8. （2026·上海黄浦·二模）社区食堂推出一种老年套餐，为了能更精准地备餐，食堂对社区内800名老人作调研，从中随机抽取了50名，就星期一到星期五的需求量进行了问卷调查，汇总整理得到下列统计表．根据调研结果，食堂在星期一到星期五总共大约需要备这种老年套餐_____份． 套餐需求量统计表 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 数量 12 10 10 12 10 9. （2026·上海奉贤·二模）某公园有、、三个入口，甲、乙两名游客各自随机选择一个入口进入，如果选择每一个入口的可能性都相同，那么甲、乙两人恰好都从入口进入的概率是___________ 10. （2026·上海崇明·二模）在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示），现从质量为，，的三件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为__________． 11. （2026·上海闵行·二模）从，，这三个数中随机抽取其中的两个数，分别记作和．如果点的坐标为，那么点在第二象限内的概率是____． 12. （2026·上海杨浦·二模）有盲盒甲和盲盒乙，甲每次抽中的概率恒为，乙第一次抽中的概率为，随着次数的增加每次增加，则抽五次后恰好抽中一次概率更大的是___________．（选填“甲”或“乙”或“概率相同”）． 13. （2026·上海金山·二模）班学生参加环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数，把参赛学生的成绩整理后分成个小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图，如图所示．回答下列问题： (1)班共有多少名学生参加知识竞赛？ (2)分布在分这一组的频率是多少？ (3)成绩的中位数落在哪个小组数据范围内？ (4)求成绩不低于分的学生占全部学生人数的百分率． 14. （2026·上海杨浦·二模）小明正在进行“关于生物遗传概率的探究”： 他从互联网上收集到了这些信息： 1．相对性状：同种生物同一性状的不同表现形式（如卷发、直发、双眼皮、单眼皮）； 2．显隐性：题目中标注“显性”的性状，只要有1个显性基因就会表现（如 表现卷发）；“隐性”性状必须有2个隐性基因才会表现（如表现直发）； 3．基因型：用字母表示基因组成，显性基因用大写（D、A、B），隐性基因用小写（d、a、b）； 显性性状基因型：2种可能（纯合子：如，2个显性基因；杂合子：如，1显1隐）； 隐性性状基因型：只有1种（纯合子：如，2个隐性基因）； 4．遗传规律：亲代会将一对基因（例如：）中的1个（例如：D）传给子代，子代的一对基因来自父亲和母亲； 5．独立遗传：本题三对性状的基因互不影响》 已知性状显隐性（均为常染色体遗传） ①毛发直卷：卷发（D）对直发（d）为显性（表现卷发，表现直发）； ②眼睑形状：双眼皮（A）对单眼皮（a）为显性（表现双眼皮，表现单眼皮）； ③拇指形态：直拇指（B）对弯拇指（b）为显性（表现直拇指，表现弯拇指）． 小明的数学老师提出了下列问题： (1)一对卷发夫妇，丈夫基因型为，妻子基因型为，求二人生育一个直发孩子的概率． (2)一对双眼皮夫妇，生育了1个单眼皮孩子，据此先判断夫妇的基因型，再求二人再生育一个双眼皮纯合子孩子的概率． (3)已知男性基因型为（卷发、直拇指），女性基因型为（直发、直拇指），求二人生育一个卷发、弯拇指孩子的概率． (4)一对卷发夫妇，男方父母均为“卷发、单眼皮”（且男方父亲为卷发纯合子，男方母亲为卷发杂合子），女方母亲为“直发、单眼皮”、女方父亲为“卷发、双眼皮（纯合子）”．求这对夫妇生育一个直发、单眼皮孩子的概率． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $