23.4 实际问题与一次函数 第2课时 利用一次函数解决方案选择问题 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦“利用一次函数解决方案选择问题”，通过“如果是你，会怎么选？”的生活情境导入，先回顾一次函数定义与性质，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接知识脉络。 其亮点是以上网套餐、印刷费用等实例为载体，用“数法”列方程不等式和“形法”画图象分析交点，培养数学眼光与思维。课堂小结归纳方法，当堂小练对接中考，助学生提升建模能力，也为教师提供系统教学案例。

第二十二章 一次函数 23.4 实际问题与一次函数 第2课时 利用一次函数解决方案选择问题 目 录 1. 学习目标 4. 知识点 利用一次函数解决方案选择问题 5. 课堂小结 2. 知识回顾 6. 当堂小练 CONTENTS 8. 拓展与延伸 3. 新课导入 7. 对接中考 能根据实际问题中的条件建立相应函数解析式，能通过分析函数图象，解决决策问题. 学习目标 知识回顾 一次函数的定义 一般地，形如(k，b是常数，)的函数，叫作一次函数，其中x是自变量. 一次函数的性质 1. 当k＞0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐上升，y随x的增大而增大. ① b>0时，直线经过第一、二、三象限； ② b<0时，直线经过第一、三、四象限. 2. 当k＜0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐下降，y随x的增大而减小. ① b>0时，直线经过第 一、二、四象限； ② b<0时，直线经过第二、三、四象限. 新课导入 如果是你，会怎么选？ 今天我们就来用函数的方法，一起算一算、比一比，看看哪种套餐最划算！ 新课讲解 知识点 利用一次函数解决方案选择问题 探究 哪种方式上网费是会变化的？哪种不变？ A、B会变化，C不变. 在A、B两种方式中，上网费由哪些部分组成？ 上网费=月使用费+超时费. 问题1 问题2 问题3 影响超时费的变量是什么？ 上网时间. 这三种方式中有固定最优惠的方式吗？ 没有，与上网的时间有关. 问题4 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/时 超时费/(元/分) A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 C 120 不限时 怎样选取上网收费方式？ 下表给出A，B，C三种宽带上网的收费方式. 新课讲解 设上网时间为 x h，则 A、B、C三种方式的上网费用分别为 y1、y2 、y3，其中y1、y2都是关于 x 的函数，比较以上三种方式哪种方式更优惠应该怎么比较？ 解：从表中可以看出：当 0≤x≤25 时， y1=30. 当 x>25 时， y1=30+0.0560(x-25)=3x-45. ∴A 方式的函数解析式为： y1= 问题5 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/时 超时费/(元/分) A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 C 120 不限时 从表中可以看出：当 0≤x≤50 时， y2=50. 当 x>50 时， y2=50+0.0560(x-50)=3x-100. ∴B 方式的函数解析式为： y2= 从表中可以看出：C方式无论上网时间多久，每月只用交一次费用即可. ∴C 方式的函数解析式为： y3= 120 (x≥0) 新课讲解 在同一坐标系中分别画出A、B、C三种方式的函数图象，并进行比较： 从图中可以看出：在直线 l1的左侧，A 方式最省钱. A 方式和 B 方式在直线 l1上有交点，此时有 3x-45=50，解得 x=31. 从图中可以看出：在直线 l1和直线 l2 之间，B 方式最省钱. B 方式和 C 方式在直线 l2 上有交点，此时有 3x-100=120，解得 x=73. 从图中可以看出：在直线 l2的右侧，C 方式最省钱. （1）当上网时间为 0≤ x ≤ 31 时，选择A方式最省钱； （2）当上网时间为 31< x ≤ 73时，选择B方式最省钱； （3）当上网时间 x >73 时，选择C方式最省钱. 新课讲解 解决通过比较多个函数的函数值选择最佳方案问题的方法 方法一（数法）：通过讨论多个函数的函数值的大小列方程和不等式求出自变量的取值范围，进而得最佳方案. 方法二（形法）：画出多个函数的图象并求出交点坐标，通过分析交点的左右两侧两个函数图象的相应位置，求出自变量的取值范围，进而得最佳方案. 归纳 新课讲解 例 1. 某公司要印制产品宣传材料，甲印刷厂的收费方案是：收1500元制版费，每份材料再收1元印制费；乙印刷厂的收费方案是：不收制版费，每份材料收2.5元印制费. (1)分别写出两家印刷厂的收费y(单位：元)关于印制宣传材料数量 x(单位：份) 的函数解析式； (2)选择哪家印刷厂比较合算？ 解：(1) (x≥0，且x为整数). (x≥0，且x为整数). (2)当> 时，1 500+x>2.5x，解得x<1000； 当= 时，1 500+x=2.5x，解得x=1000； 当< 时，1 500+x<2.5x，解得x>1000. 故当0<x<1 000时，选择乙印刷厂合算； 当x=1000时，选择甲、乙印刷厂一样合算；当x>1000时，选择甲印刷厂合算. 新课讲解 例 2. 某游泳馆夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费15元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费20元．设小明计划今年夏季游泳次数为x次(x为正整数)． (1)根据题意，将表格填写完整； 游泳次数 10 15 20 … 方式一的总费用/元 250 325   … 方式二的总费用/元 200   400 … 400 300 解：由题意，得y1＝100＋15x，y2＝20x. (2)设方式一的总费用为y1元，方式二的总费用为y2元，用x表示y1和y2； 解：当x＝19时，y1＝100＋15×19＝385，y2＝20×19＝380，∴y1>y2，∴选择方式二较合算； 当x＝21时，y1＝100＋15×21＝415，y2＝20×21＝420，∴y1<y2，∴选择方式一较合算． 综上所述，当x＝19时，选择方式二较合算，当x＝21时，选择方式一较合算． (3)通过计算说明，当x＝19和x＝21时，分别选择哪种付费方式较合算． 新课讲解 练一练 1. 某学校欲购置一批标价为4 000元的某种型号电脑，需求数量在6至15台之间．经与两家专卖店商谈，优惠方法如下： 甲店：购买电脑打八折； 乙店：先赠送一台电脑，其余电脑打九折． (1)分别写出两家专卖店的收费y(元)关于所购电脑数量x(台)的函数解析式； (2)对x的取值情况进行分析，说明该学校购买哪家专卖店电脑更合算？ 解：(1) 由题意可得y甲＝4 000×0.8x＝3 200x(6≤x≤15)． y乙＝4 000×0.9(x－1)＝3 600x－3 600(6≤x≤15)． (2) 当3 200x＝3 600x－3 600时，解得x＝9，即当购买9台电脑时，在两家专卖店的购买费用相同； 当3 200x<3 600x－3 600时，解得x>9，即当10≤x≤15时，买甲店电脑更合算； 当3 200x>3 600x－3 600时，解得x<9，即当6≤x≤8时，买乙店电脑更合算． 新课讲解 练一练 2. 李老师准备购买某款硬皮笔记本．经市场调研发现，这款笔记本各商店定价均为10元．李老师选定了甲、乙两家学习用品商店，准备选择其中一家购买笔记本，这两家商店均有优惠活动，如下： 甲店：购买数量超过30本，超过部分打九折出售； 乙店：购买数量超过50本，超过部分打八折出售． 设李老师购买x(x>0)本笔记本，在甲店购买所花费用为 y1元，在乙店购买所花费用为y2元，其函数图象如图所示． (1)求图中点M的坐标； (2)当x>50时，根据图象直接写出李老师应选择哪家商店购买笔记本． 解：(1) 当x>30时， y1＝10×30＋10×0.9(x－30)＝9x＋30， 当x>50时，y2＝10×50＋10×0.8(x－50)＝8x＋100， 令9x＋30＝8x＋100，解得x＝70，此时y1＝y2＝660， ∴点M的坐标为(70，660)． (2) 当50<x<70时，应选择甲店购买； 当x＝70时，在两家商店购买所花费用相同， 任选一家购买即可；当x>70时，应选择乙店购买． 新课讲解 练一练 3. 我国是一个严重缺水的国家，为了加强公民的节水意 识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6 吨时，水价为每吨2 元，超过6 吨时，超过的部分按每吨3 元收费，该市某户居民5 月份用水x 吨，应交水费y 元. (1)请写出y 关于x 的函数解析式. (2)如果该户居民这个月交水费27 元，那么这个月该户居民用了多少吨水？ 解：(1) 由题意可知需分2种情况讨论： ①当0≤x≤6时，y＝2x； ②当x>6时，y＝6×2＋3(x－6)＝3x－6， 所以y关于x的函数解析式为y＝ (2) 因为27>2×6，所以该户居民用水超过了6吨． 当y＝27时，27＝3x－6.解得x＝11. 所以这个月该户居民用了11吨水． 课堂小结 解决方案决策问题的方法 数法 通过讨论多个函数的函数值的大小列方程和不等式求出自变量的取值范围，进而得最佳方案. 形法 画出多个函数的图象并求出交点坐标，通过分析交点的左右两侧两个函数图象的相应位置，求出自变量的取值范围，进而得最佳方案. 当堂小练 1. 已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按0.5元/km收费；B方案直接按1元/km收费．已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是(　　) A．600 km B．700 km C．800 D．900 km 解：设小明的行驶里程是x km，需要花费y元， A方案：y＝0.5x＋500；B方案：y＝x. 若选择A方案，则0.5x＋500＝800，解得x＝600； 若选择B方案，则x＝800. ∵600<800， ∴选择B方案是最优租车方案，行驶里程为800 km. C 当堂小练 2. 如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y(元)与通话时间x(min)之间的关系，若通话时间超过200 min，则B方案比A方案便宜____元． 12 当堂小练 3. 某学校欲购置一批标价为4000元的某种型号电脑，需求数量在6至15台间．经与两个专卖店商谈，优惠方法如下： 甲店：购买电脑打八折；乙店：先赠一台电脑，其余电脑打九折优惠． 设学校欲购置x台电脑，甲店购买费用为y甲(元)，乙店购买费用为y乙(元)． (1)分别写出购买费用y甲、y乙与所购电脑x(台)之间的函数关系式； (2)对x的取值情况进行分析，说明这所学校购买哪家电脑更合算？ 解：(1) 由题意可得y甲＝4 000×0.8x＝3 200x(6≤x≤15)． y乙＝4 000×0.9(x－1)＝3 600x－3 600(6≤x≤15)． (2) 当3 200x＝3 600x－3 600时，解得x＝9， 即当购买9台电脑时，在两家专卖店的购买费用相同； 当3 200x<3 600x－3 600时，解得x>9，即当10≤x≤15时，买甲店电脑更合算； 当3 200x>3 600x－3 600时，解得x<9，即当6≤x≤8时，买乙店电脑更合算． 当堂小练 4．某游泳池普通票价30元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡： ①金卡售价500元/张，每次凭卡不再收费； ②银卡售价200元/张，每次凭卡另收15元． 暑假普通票正常销售，两种优惠卡仅限暑假使用，每人一次一张票． (1) 分别写出选择普通票、银卡消费时，所需费用y1，y2与次数x之间的函数解析式． (2) 小明打算暑假游泳30次，则选择哪种消费方式更合算？说明理由． 解：(1) 普通票所需费用y1与次数x之间的函数解析式为 y1＝30x； 银卡所需费用y2与次数x之间的函数解析式为y2＝15x＋200. (2) 选择金卡更合算．理由如下： 当x＝30时，y1＝30×30＝900，y2＝15×30＋200＝650. ∵900>650>500， ∴选择金卡更合算． 当堂小练 5. 某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表： A、B、C三种方案每月所需的费用y(元)与每月使用 的流量x(兆)之间的函数关系如图所示. (1)请直接写出m，n的值. (2)在A方案中，当每月使用的流量不少于1 024兆时， 求每月所需的费用y(元)与每月使用的流量x(兆)之 间的函数解析式，并写出自变量的取值范围. A 方案 B 方案 C 方案 每月基本费用/元 20 56 266 每月免费使用流量/兆 1 024 无限 超出后每兆收费/元 解：(1)由图象可得m=3 072，由题意得， 20+(11441024)n=56，解得n=0.3. 0.3 0.3 3 072 (2)设函数解析式为y=0.3x+b(x≥1024). ∵函数图象过点(1144，56)， ∴1144×0.3+b=56，解得b=-287.2， ∴y关于x的函数解析式为 y=0.3x-287.2(x≥1 024). 当堂小练 (3) 在这三种方案中，当每月使用的流量在什么范围内，选择B方案最划算？ 解：∵B方案超过3 072兆后，超出后每兆收费0.3元， ∴当3 072时，可设B方案每月所需的费用(元)与每月使用的流量(兆)之间的函数关系式为y=0.3x+e， 把(3 072，56)代入得，56=921.6+e，解得e=-865.6， ∴y=0.3x-865.6 (x≥3 072). 即B方案每月所需的费用y(元)与每月使用的流量x(兆)之间的函数关系式为：y= 当y=266时，0.3x-865.6=266，解得x=3 772. ∴结合函数图象可知，当1144<x<3 772时，选择B方案最划算. 对接中考 某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品在两家超市的标价均为10 元/件，甲超市规定一次性购买金额不超过400 元的不优惠，超过400 元的部分按标价的六折售卖；乙超市全部按标价的八折售卖. (1) 若该单位需要购买30 件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为______元；在乙超市的购物金额为_____元. (2) 假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？ 300 240 解：设购买x件这种文化用品，在甲超市的购物金额为 y甲元，在乙超市的购物金额为y乙元． 当0<x≤40时，y甲＝10x，y乙＝0.8×10x＝8x. 因为10x>8x，所以选择乙超市支付的费用较少． 当x>40时，y甲＝400＋0.6(10x－400)＝6x＋160，y乙＝0.8×10x＝8x. 若y甲>y乙，则x<80；若y甲＝y乙，则x＝80；若y甲<y乙，则x>80. 综上，当购买数量不足80件时，选择乙超市支付的费用较少；当购买数量为80件时，选择两家超市支付的费用相 同；当购买数量超过80件时，选择甲超市支付的费用较少. 拓展与延伸 2025年3月23日，歼－10首飞成功27年，近年来，歼－10家族不断突破、不断壮大．小明和小亮到一家科技体验馆购买航模，已知该体验馆有两种优惠方案可以选择，且两种方案只能参加其中一种． 方案一：科技体验馆推出70元抵100元的代金券，付费时可以抵扣100元． 方案二：购买航模的费用一律打八折． (1)若小明选中的航模的价格为m(200<m<300)元，选方案一需付费y1元，选方案二需付费y2元． ①请写出y1，y2关于x的函数解析式； ②通过计算，小明发现参加两种方案所需费用相差8元，求m的值． 解：①根据题意得y1＝m－2×(100－70)＝m－60，即y1＝m－60. y2＝0.8m. ②令m－60＝0.8m＋8，解得m＝340(不合题意，舍去)； 令m－60＝0.8m－8，解得m＝260(符合题意)．故m的值为260. 拓展与延伸 2025年3月23日，歼－10首飞成功27年，近年来，歼－10家族不断突破、不断壮大．小明和小亮到一家科技体验馆购买航模，已知该体验馆有两种优惠方案可以选择，且两种方案只能参加其中一种． 方案一：科技体验馆推出70元抵100元的代金券，付费时可以抵扣100元． 方案二：购买航模的费用一律打八折． (2)小亮也选中了一个航模，价格为n(n<400)元，发现选择方案一更划算，求n的取值范围． 解：当0<n<100时，方案一购买需n元，方案二购买需0.8n元，0.8n<n，不符合题意． 当100≤n<200时，令n－(100－70)<0.8n，解得n<150，∴100≤n<150. 当200≤n<300时，方案一购买优惠的价格为(100－70)×2＝60(元)， 方案二购买优惠的价格小于300×(1－0.8)＝60(元)，符合题意． 当300≤n<400时，方案一购买优惠的价格为(100－70)×3＝90(元)， 方案二购买优惠的价格不超过400×(1－0.8)＝80(元)，符合题意． 综上，n的取值范围为100≤n<150或200≤n<400. $