专题01 整式乘法（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材湘教版

专题01 整式的乘法（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 幂的乘法运算 题型02 幂运算公式逆用 题型03 多项式乘多项式 题型04 平方差公式 题型05 完全平方公式 题型06 乘法公式变形 题型07 整式乘法与几何图形 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 幂的乘法运算 能熟练运用同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方法则进行准确计算，并理解其推导过程。 基础必考点。 1. 题型：常出现在选择题或填空题前几题（1-3题）。 2. 趋势：侧重考查法则的逆向识别及混合运算。 3. 易错：混淆 与 ；忽视底数符号（如 与 ）。 单项式乘单项式 能准确进行单项式与单项式的乘法和除法运算，熟练掌握系数相乘、同底数幂相乘除的法则。 高频易错点。 1. 题型：多融入化简求值题的第一步。 2. 趋势：考查运算的规范性，特别是符号处理。 3. 易错：单项式乘多项式时“漏乘”某一项；系数运算错误；去括号时忘记变号。 单项式乘多项式 能熟练运用乘法分配律将单项式与多项式相乘，做到不重不漏，并能将结果化为最简形式。 常规计算点。 1. 题型：解答题中的基础计算环节。 2. 趋势：直接考查较少，常作为乘法公式的铺垫或复杂整式运算的一部分。 3. 易错：项数较多时容易漏项或合并同类项出错。 多项式乘多项式 能熟练运用多项式乘法法则（如逐项相乘）或公式（如平方差、完全平方公式的拓展）进行计算，并理解其几何背景。 核心拉分点（正向）。 1. 题型：选择填空压轴或计算题。 2. 趋势：考查对公式结构的变形识别（如位置交换、系数变化）。 3. 易错：找不准“ ”和“ ”，导致符号错误或漏掉平方。 乘法公式 能准确记忆并灵活运用平方差公式和完全平方公式进行简便计算、代数式变形及数值估算。 高分突破点。 1. 题型：解答题最后两问或填空压轴。 2. 趋势：结合非负性（绝对值+平方=0）求值；结合新定义运算。 3. 易错：无法从复杂式子中提取出公式模型；整体代入时括号使用不当。 整式的混合运算与化简求值 能综合运用以上所有法则和公式，遵循运算顺序，进行整式的混合运算，并能先化简再代入求值。 综合必考题。 1. 题型：固定的一道大分值解答题（通常8-10分）。 2. 趋势：步骤多、陷阱多。常结合“无关性问题”（结果与某字母取值无关）考查。 3. 易错：运算顺序错误；去括号变号错误；代入求值时抄错数或符号。 整式乘法与几何图形 (数形结合) 能通过图形面积验证乘法公式；利用整式运算解决几何面积、周长问题；理解数形结合思想。 创新探究题。 1. 题型：阅读理解题、新定义题或几何综合题。 2. 趋势：给出拼接图形，要求写出代数恒等式；或利用公式解决阴影部分面积。 3. 易错：无法将几何线段长度转化为代数式；忽视图形中的重叠或空缺部分。 知识点01 同底数幂的乘法 通用前提：所有法则均在m、n为正整数的前提下成立，运算时遵循“先乘方，后乘法，最后合并同类项”的顺序，底数为负数、分数时，需加括号保证运算准确性。 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加 公式： 示例：×===-2048 （注意：底数为负数时，结果的符号由指数奇偶性决定） 易错点：底数不同盲目相加：⋅不能合并，因为底数a和b不同。 指数相加变相乘：误将 ⋅算作（混淆为幂的乘方）。 忽略底数为负数时的括号：计算 ×时，若写成 ×会导致符号和指数运算顺序错误。 知识点02 幂的乘方 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘 公式： 示例： 易错点：指数相乘变相加：误将  算作（混淆为同底数幂乘法）。 底数连带乘方：误将算作 （正确应为，系数2也需要乘方）。 知识点03 积的乘方 法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 公式： 推广：（多个因式同样适用） 示例： 易错点：1. 漏乘方：计算 时，只平方 ，得到 （正确应为 ）。2. 多项式积的乘方： 不能直接拆成 （这是完全平方公式的误区，积的乘方仅适用于因式是单项式相乘的情况）。3. 负号整体性： ，负号也要乘方，指数为偶数，结果为正:。 知识点04 单项式乘单项式 法则：系数相乘，同底数幂分别相乘，单独含有的字母连同它的指数一起作为积的一个因式 示例： 计算： 解析：1. 系数相乘： 2. 同底数幂相乘： ， 3. 结果： 易错点：系数计算错误：尤其是分数、负数系数的乘法。 遗漏字母或指数：忘记将某个独有的字母（如示例中的c）及其指数写入结果。 同底数幂指数运算错误：再次混淆加法与乘法。 知识点05 单项式乘多项式 法则：根据乘法分配律，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 公式： 示例：计算： 解析：用 去乘括号里的每一项。 结果： 易错点：1. 漏乘项：只乘了第一项，忘了乘后面的常数项或中间项。2. 符号错误：括号内是减号（如 ），去括号后应为负，容易写成正号。3. 未合并同类项：如果单项式乘以多项式后出现同类项（如 ），需进一步合并。 知识点06 多项式乘多项式 法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项 公式： 示例：计算： 解析：1. 2. 3. 4. 合并同类项： 易错点： 项项相乘时遗漏组合：确保“每个”项都乘到“另一个”多项式的“每一项”。 合并同类项时出错：项数较多时，容易看漏或算错系数。 未按降幂排列结果：最终结果最好按字母的降幂排列，更规范。 知识点07 平方差公式 公式内容：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差 公式： 核心特征：公式左边为“二项式×二项式”，一组项完全相同，一组项互为相反数； 右边为相同项平方减去相反项平方，只有两项，无中间项。 示例： 易错点：1. 结构识别错误：如 不是平方差（这是 ）。2. 系数未平方： （错误，系数 2 也要平方，应为 ）。3. 顺序颠倒：写成 。 知识点8 完全平方公式 公式内容：两个数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）它们积的2倍 公式：和的完全平方 ；差的完全平方 核心特征：左边为“二项式的平方”，右边为三项式，遵循“首平方，尾平方，积的2倍在中央” 示例： 易错点：1. 缺项： （漏掉中间的 项）。2. 中间项系数错误： （系数应为 2）。3. 符号错误： （最后一项应为）。 题型一 幂的乘法运算 解｜题｜技｜巧 做题先判定运算类型，严格区分三大幂运算核心逻辑， 同底数幂乘法锁定“底数不变，指数相加”， 幂的乘方锁定“底数不变，指数相乘”， 积的乘方锁定“各因式分别乘方再相乘”； 遇到底数含负数、分数，先标注符号， 再按对应法则分步运算，不跳步、不凭直觉做题； 遇到混合运算，先拆分每一步运算，对应单一法则逐一计算 易｜错｜点｜拨 极易混淆指数相加与相乘，把同底数幂乘法错按幂的乘方计算； 忽略单独字母的指数为1，导致指数计算漏项； 底数互为相反数时，未根据指数奇偶性统一底数，直接运算出现符号错误； 多重幂运算时，颠倒运算顺序，先算乘法再算乘方 【典例1】（25-26八年级上·河南周口·期末）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·广东湛江·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·山东济南·期末）下列运算中，正确的是（） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·广东中山·期末）计算：． 题型二 幂运算公式逆用 解｜题｜技｜巧 看到指数为和、积的形式，或底数不同但指数相同的式子，优先考虑逆用幂运算法则； 逆用同底数幂乘法，拆分大指数为两个指数和的形式； 逆用幂的乘方，统一指数方便比较大小； 逆用积的乘方，凑整简化计算，核心思路是“逆向拆解，凑出已知条件或整十整百数” 易｜错｜点｜拨 无法识别可逆用的式子特征，仍按正向运算硬算，思路卡顿； 逆用公式时混淆法则，拆分指数错误； 凑整过程中忽略符号，导致结果偏差； 逆用后未按常规运算顺序检查，出现计算失误 【典例1】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）已知，则等于（   ） A．5 B．6 C．12 D．18 【变式1】（25-26八年级上·河南许昌·期末）若，，，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25七年级下·宁夏银川·期末）计算：_______． 题型三 多项式乘多项式 解｜题｜技｜巧 按固定顺序逐项相乘，用第一个多项式的第一项依次乘第二个多项式的所有项，再用第一个多项式的第二项依次乘第二个多项式的所有项，不跳步、不交叉乱乘； 运算前预判未合并同类项前的项数，两个二项式相乘预判为4项，二项式乘三项式预判为6项，运算后核对项数，避免漏乘 易｜错｜点｜拨 跳步运算导致漏乘某一项，项数不匹配； 项的符号判断失误，同号得正、异号得负规则混淆； 合并同类项时，误将非同类项合并； 常数项之间的乘积容易遗漏，影响最终结果 【典例1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）已知，，则M与N的大小关系是______． 【变式1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）小力计算一道整式乘法的题：，由于抄错了第一个多项式中前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为这道整式乘法的正确结果是___________． 【变式2】（24-25八年级上·新疆吐鲁番·期末）若的展开式中不含项，且，求m，n的值． 【变式3】（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图是某月的日历，选择其中所示的方框部分 (1)将方框部分中四个位置上的数交叉相乘再相减（左上角、右下角的数相乘的积减去右上角和左下角的数相乘的积），结果是 (2)请再选择几个类似的部分试一试，看一看是否符合这个规律： （是或否）； (3)设右上角的数为x，利用整式的运算对以上的规律加以证明． 题型四 平方差公式 解｜题｜技｜巧 先判定式子结构，找准“相同项”和“相反项”，正确套用平方差公式； 把相同项看作公式里的a，相反项看作公式里的b，直接代入a² - b²计算，无需逐项展开； 遇到底数变形的式子，先调整项的顺序，统一结构再套公式 易｜错｜点｜拨 结构判断失误，无相同项和相反项的多项式乘法强行套用公式； 系数未整体看作a或b的一部分，仅对字母部分平方，漏算系数平方； 平方顺序颠倒，写成相反项平方减相同项平方； 误将结果写成三项式，多添加中间项。 【典例1】（24-25八年级上·重庆大足·期末）下列不能用平方差公式运算的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，有一个圆环形的观景台，已知，，则观景台（阴影部分）的面积是______（结果保留）． 【变式3】（25-26八年级上·山西忻州·期末）阅读与思考 下面是小乐同学的数学学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 乘法公式的拓展——“连续自然数乘积”的规律与应用 观察发现：计算以下三个连续自然数的乘积： ；；；……． 如果将中间的数记为，为整数且，那么三个连续自然数可以表示为，，，它们的乘积可记为． 规律探究：我们可以利用整式乘法的知识来化简这个乘积：   第一步   第二步   第三步 ．  第四步 归纳结论：我们得到一个重要的结论：三个连续自然数的乘积，等于中间那个数的立方减去它本身，即为整数且）． 任务： (1)“规律探究”中，第二步到第三步运用了________公式． (2)利用材料中发现的规律计算的值（写出必要的过程）． (3)请仿照材料中的探究过程，推导三个连续偶数（中间的数记为，且）的乘积的规律． 题型五 完全平方公式 解｜题｜技｜巧 牢记“首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号随二项式中间符号”的口诀 先确定首项和尾项，计算平方项，再计算两倍积，最后核对符号； 含系数的项整体看作首项或尾项，整体平方不拆分系数； 遇到负项的完全平方，可先转化为和的完全平方，再计算，降低符号失误概率。 易｜错｜点｜拨 最易漏乘两倍积，结果写成两项，缺失中间项； 中间项符号判断错误，差的完全平方写成正号； 混淆完全平方与平方和，忽略中间两倍积； 系数未整体平方，仅对字母部分运算，系数结果错误 【典例1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（24-25七年级下·宁夏银川·期末）用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式2】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）先化简，再求值：，其中． 题型六 乘法公式变形 解｜题｜技｜巧 掌握完全平方公式的常见变形，利用a²+b²、(a+b)²、(a-b)²、ab之间的等量关系转换； 已知其中两个式子的值，通过变形公式推导第三个式子的值，核心思路是“整体代换”，不单独求解a、b的具体数值； 遇到复杂式子，先拆分重组，凑出公式标准形式再运算 易｜错｜点｜拨 不熟悉公式变形，无法找到等量关系，思路卡顿；整体代换时符号出错，变形公式推导错误； 忽略已知条件限制，强行求解单个字母值，陷入计算死胡同； 变形后运算步骤出错，结果错误。 【典例1】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）若a，b为实数，且，，则x，y的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）已知，则计算的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（25-26八年级上·广西崇左·期末）已知正数满足，则的值是(　　) A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·江西赣州·期末）若，，则________． 题型七 整式乘法与几何图形 解｜题｜技｜巧 先结合几何图形，提取边长、面积相关代数式，明确图形整体与部分的数量关系； 根据面积公式，列出整式乘法或乘法公式对应的算式； 利用公式化简算式，推导图形边长、面积的表达式或数值； 结合几何图形实际意义，验证结果合理性，边长、面积需为正数 易｜错｜点｜拨 图形与代数式对应错误，边长表达式列写失误； 面积公式混淆，误用平方差或完全平方公式； 化简算式时出现计算错误，影响几何量求解；忽略几何实际意义，得出负数结果未排除 【典例1】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图1，图形A、图形B是两张完全相同的长方形纸片，先后按图2、图3的方式放置在同一个正方形中．若知道图形②与图形⑤的面积差，则一定能求出（ ） A．图形①与图形②的周长和 B．图形④与图形⑥的周长和 C．图形①与图形②的周长差 D．图形④与图形⑥的周长差 【变式1】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，为利用图形面积说明平方差公式，先构造面积为的长方形，再过上的裁切点作这条边的垂线，若沿着这条垂线将这个长方形裁开，两部分能拼接成面积为的图形，则裁切点到的距离为_____．（用含或的式子表示） 【变式2】（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，四边形是长方形，四边形是面积为17的正方形，点，分别在，上，且四边形是正方形，连接，．若正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为____________． 【变式3】（25-26八年级上·广东广州·期末）数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1阴影部分的面积能解释的乘法公式：______； (2)用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图2的正方形，请你根据阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系：______； (3)若，，求的值； (4)如图3，正方形和正方形的边长分别为m，，若，，E是的中点，求阴影部分面积的和． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．下列各题中，适合用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 3．若是一个完全平方式，则的值是___________． 4．计算：___________． 5．先化简，再求值：．其中，． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．若，则k的值为（    ） A． B． C．5 D．8 2．甲同学做完四道整式乘法的题后，同桌乙同学的批改如下所示，则乙同学批改正确的是（    ） ；√ ②；× ③；√ ④；√ A．第①、②题 B．第①、④题 C．第②、③题 D．第③、④题 3．已知，则的值为_________． 4．已知，，则_________． 5．如图，四个完全相同的长方形围成一个正方形，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，由此，得到一个等式． (1)直接写出这个等式__________： (2)试用乘法公式说明这个等式成立； (3)利用这个公式解决问题：若，，求的值． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一用“杨辉三角”可以解释（n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数，，恰好对应“杨辉三角”中第3行的个数，的系数，，，恰好对应“杨辉三角”中第行的个数…，某数学兴趣小组经过仔细观察，还发现（n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②当时，的计算结果为； ③的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ④当 ，除以，余数为． 上述结论正确的是（   ） A．②③④ B．①②④ C．②③ D．②④ 2．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”． 如果将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，则一定是的倍数； 若，则不是“和谐数”； ，为正整数，且，若和都是“和谐数”，则也是“和谐数”． 则上述结论正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．观察下列各式： ； ； ； …… 根据规律计算：的值是______． 4．如果与的乘积为1，那么的值为______． 5．观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)请直接写出第6个等式：____． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． (3)直接写出下列式子的结果． ______． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 整式的乘法（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 幂的乘法运算 题型02 幂运算公式逆用 题型03 多项式乘多项式 题型04 平方差公式 题型05 完全平方公式 题型06 乘法公式变形 题型07 整式乘法与几何图形 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 幂的乘法运算 能熟练运用同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方法则进行准确计算，并理解其推导过程。 基础必考点。 1. 题型：常出现在选择题或填空题前几题（1-3题）。 2. 趋势：侧重考查法则的逆向识别及混合运算。 3. 易错：混淆 与 ；忽视底数符号（如 与 ）。 单项式乘单项式 能准确进行单项式与单项式的乘法和除法运算，熟练掌握系数相乘、同底数幂相乘除的法则。 高频易错点。 1. 题型：多融入化简求值题的第一步。 2. 趋势：考查运算的规范性，特别是符号处理。 3. 易错：单项式乘多项式时“漏乘”某一项；系数运算错误；去括号时忘记变号。 单项式乘多项式 能熟练运用乘法分配律将单项式与多项式相乘，做到不重不漏，并能将结果化为最简形式。 常规计算点。 1. 题型：解答题中的基础计算环节。 2. 趋势：直接考查较少，常作为乘法公式的铺垫或复杂整式运算的一部分。 3. 易错：项数较多时容易漏项或合并同类项出错。 多项式乘多项式 能熟练运用多项式乘法法则（如逐项相乘）或公式（如平方差、完全平方公式的拓展）进行计算，并理解其几何背景。 核心拉分点（正向）。 1. 题型：选择填空压轴或计算题。 2. 趋势：考查对公式结构的变形识别（如位置交换、系数变化）。 3. 易错：找不准“ ”和“ ”，导致符号错误或漏掉平方。 乘法公式 能准确记忆并灵活运用平方差公式和完全平方公式进行简便计算、代数式变形及数值估算。 高分突破点。 1. 题型：解答题最后两问或填空压轴。 2. 趋势：结合非负性（绝对值+平方=0）求值；结合新定义运算。 3. 易错：无法从复杂式子中提取出公式模型；整体代入时括号使用不当。 整式的混合运算与化简求值 能综合运用以上所有法则和公式，遵循运算顺序，进行整式的混合运算，并能先化简再代入求值。 综合必考题。 1. 题型：固定的一道大分值解答题（通常8-10分）。 2. 趋势：步骤多、陷阱多。常结合“无关性问题”（结果与某字母取值无关）考查。 3. 易错：运算顺序错误；去括号变号错误；代入求值时抄错数或符号。 整式乘法与几何图形 (数形结合) 能通过图形面积验证乘法公式；利用整式运算解决几何面积、周长问题；理解数形结合思想。 创新探究题。 1. 题型：阅读理解题、新定义题或几何综合题。 2. 趋势：给出拼接图形，要求写出代数恒等式；或利用公式解决阴影部分面积。 3. 易错：无法将几何线段长度转化为代数式；忽视图形中的重叠或空缺部分。 知识点01 同底数幂的乘法 通用前提：所有法则均在m、n为正整数的前提下成立，运算时遵循“先乘方，后乘法，最后合并同类项”的顺序，底数为负数、分数时，需加括号保证运算准确性。 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加 公式： 示例：×===-2048 （注意：底数为负数时，结果的符号由指数奇偶性决定） 易错点：底数不同盲目相加：⋅不能合并，因为底数a和b不同。 指数相加变相乘：误将 ⋅算作（混淆为幂的乘方）。 忽略底数为负数时的括号：计算 ×时，若写成 ×会导致符号和指数运算顺序错误。 知识点02 幂的乘方 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘 公式： 示例： 易错点：指数相乘变相加：误将  算作（混淆为同底数幂乘法）。 底数连带乘方：误将算作 （正确应为，系数2也需要乘方）。 知识点03 积的乘方 法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 公式： 推广：（多个因式同样适用） 示例： 易错点：1. 漏乘方：计算 时，只平方 ，得到 （正确应为 ）。2. 多项式积的乘方： 不能直接拆成 （这是完全平方公式的误区，积的乘方仅适用于因式是单项式相乘的情况）。3. 负号整体性： ，负号也要乘方，指数为偶数，结果为正:。 知识点04 单项式乘单项式 法则：系数相乘，同底数幂分别相乘，单独含有的字母连同它的指数一起作为积的一个因式 示例： 计算： 解析：1. 系数相乘： 2. 同底数幂相乘： ， 3. 结果： 易错点：系数计算错误：尤其是分数、负数系数的乘法。 遗漏字母或指数：忘记将某个独有的字母（如示例中的c）及其指数写入结果。 同底数幂指数运算错误：再次混淆加法与乘法。 知识点05 单项式乘多项式 法则：根据乘法分配律，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 公式： 示例：计算： 解析：用 去乘括号里的每一项。 结果： 易错点：1. 漏乘项：只乘了第一项，忘了乘后面的常数项或中间项。2. 符号错误：括号内是减号（如 ），去括号后应为负，容易写成正号。3. 未合并同类项：如果单项式乘以多项式后出现同类项（如 ），需进一步合并。 知识点06 多项式乘多项式 法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项 公式： 示例：计算： 解析：1. 2. 3. 4. 合并同类项： 易错点： 项项相乘时遗漏组合：确保“每个”项都乘到“另一个”多项式的“每一项”。 合并同类项时出错：项数较多时，容易看漏或算错系数。 未按降幂排列结果：最终结果最好按字母的降幂排列，更规范。 知识点07 平方差公式 公式内容：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差 公式： 核心特征：公式左边为“二项式×二项式”，一组项完全相同，一组项互为相反数； 右边为相同项平方减去相反项平方，只有两项，无中间项。 示例： 易错点：1. 结构识别错误：如 不是平方差（这是 ）。2. 系数未平方： （错误，系数 2 也要平方，应为 ）。3. 顺序颠倒：写成 。 知识点8 完全平方公式 公式内容：两个数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）它们积的2倍 公式：和的完全平方 ；差的完全平方 核心特征：左边为“二项式的平方”，右边为三项式，遵循“首平方，尾平方，积的2倍在中央” 示例： 易错点：1. 缺项： （漏掉中间的 项）。2. 中间项系数错误： （系数应为 2）。3. 符号错误： （最后一项应为）。 题型一 幂的乘法运算 解｜题｜技｜巧 做题先判定运算类型，严格区分三大幂运算核心逻辑， 同底数幂乘法锁定“底数不变，指数相加”， 幂的乘方锁定“底数不变，指数相乘”， 积的乘方锁定“各因式分别乘方再相乘”； 遇到底数含负数、分数，先标注符号， 再按对应法则分步运算，不跳步、不凭直觉做题； 遇到混合运算，先拆分每一步运算，对应单一法则逐一计算 易｜错｜点｜拨 极易混淆指数相加与相乘，把同底数幂乘法错按幂的乘方计算； 忽略单独字母的指数为1，导致指数计算漏项； 底数互为相反数时，未根据指数奇偶性统一底数，直接运算出现符号错误； 多重幂运算时，颠倒运算顺序，先算乘法再算乘方 【典例1】（25-26八年级上·河南周口·期末）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方运算，解题的关键是熟练运用积的乘方法则和幂的乘方法则． 先运用积的乘方法则，将展开为；再分别计算各项，其中，，最后合并得到结果． 【详解】解： ． 故选：． 【变式1】（25-26八年级上·广东湛江·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减运算与幂的运算法则，需依据同类项定义、合并同类项法则、积的乘方及幂的乘方法则对各选项逐一判断． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项正确； D、，故选项错误． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·山东济南·期末）下列运算中，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项的运算规则，需依据对应法则逐一判断选项正误． 【详解】解：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴选项A中，，故A错误，不符合题意； ∵选项B中，，故B错误，不符合题意； ∵所含字母相同且相同字母指数也相同的项是同类项，合并同类项时系数相加，字母及指数不变 ∴选项C中，与是同类项，，故C正确，符合题意； ∵选项D中，，故D错误，不符合题意． 故选：C． 【变式3】（25-26八年级上·广东中山·期末）计算：． 【答案】． 【分析】先根据同底数幂的乘法法则，积的乘方与幂的乘方法则计算，最后合并同类项得到结果． 【详解】解： ． 题型二 幂运算公式逆用 解｜题｜技｜巧 看到指数为和、积的形式，或底数不同但指数相同的式子，优先考虑逆用幂运算法则； 逆用同底数幂乘法，拆分大指数为两个指数和的形式； 逆用幂的乘方，统一指数方便比较大小； 逆用积的乘方，凑整简化计算，核心思路是“逆向拆解，凑出已知条件或整十整百数” 易｜错｜点｜拨 无法识别可逆用的式子特征，仍按正向运算硬算，思路卡顿； 逆用公式时混淆法则，拆分指数错误； 凑整过程中忽略符号，导致结果偏差； 逆用后未按常规运算顺序检查，出现计算失误 【典例1】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）已知，则等于（   ） A．5 B．6 C．12 D．18 【答案】C 【分析】根据，结合，再进一步可得答案． 【详解】解：∵根据幂的运算法则可得，，且， 又∵，， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·河南许昌·期末）若，，，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用幂的乘方运算法则，通过逐步代换变形，得到底数为3的幂，对比指数即可得到的值 【详解】解：∵ ，， ∴ 将代入，可得 ， 由幂的乘方法则得 ， ∵ ，将代入得 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ 【变式2】（24-25七年级下·宁夏银川·期末）计算：_______． 【答案】 【分析】先将小数化为分数，拆分指数后逆用积的乘方运算法则进行简便计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 题型三 多项式乘多项式 解｜题｜技｜巧 按固定顺序逐项相乘，用第一个多项式的第一项依次乘第二个多项式的所有项，再用第一个多项式的第二项依次乘第二个多项式的所有项，不跳步、不交叉乱乘； 运算前预判未合并同类项前的项数，两个二项式相乘预判为4项，二项式乘三项式预判为6项，运算后核对项数，避免漏乘 易｜错｜点｜拨 跳步运算导致漏乘某一项，项数不匹配； 项的符号判断失误，同号得正、异号得负规则混淆； 合并同类项时，误将非同类项合并； 常数项之间的乘积容易遗漏，影响最终结果 【典例1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）已知，，则M与N的大小关系是______． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算．利用作差法，再根据整式的混合运算法则运算即可作出判断． 【详解】∵ ， ∴， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）小力计算一道整式乘法的题：，由于抄错了第一个多项式中前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为这道整式乘法的正确结果是___________． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法运算，通过错误的计算结果逆向求出参数的值，再代入正确的整式乘法式子计算正确结果． 【详解】解： ∴， 解得． ∴ 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·新疆吐鲁番·期末）若的展开式中不含项，且，求m，n的值． 【答案】m的值是2，n的值是 【分析】利用多项式乘多项式法则先算乘法，再根据展开式中不含项求出m的值，逆用幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则确定 【详解】解： 的展开式中不含项， ， 即 答：m的值是2，n的值是 【变式3】（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图是某月的日历，选择其中所示的方框部分 (1)将方框部分中四个位置上的数交叉相乘再相减（左上角、右下角的数相乘的积减去右上角和左下角的数相乘的积），结果是 (2)请再选择几个类似的部分试一试，看一看是否符合这个规律： （是或否）； (3)设右上角的数为x，利用整式的运算对以上的规律加以证明． 【答案】(1) (2)是 (3)证明见解析 【分析】（1）按照题干信息列式计算即可. （2）先按要求选取方框，计算交叉相乘再相减的结果，验证规律； （3）设方框右上角的数字为x，根据日历数的排列规律表示出其他三个数，再计算交叉相乘再相减的结果，证明其恒为． 【详解】（1）解：， . （2）解：框住了两块，一块有数字，另一块有数字， ， ， 结果是，符合规律； （3）证明：设右上角的数字为x，则其左边的数为，下面左下角的数为，右下角的数为 ； ∴在日历上，将每个方框部分中的4个位置上数字交叉相乘，再相减（左上角、右下角的数相乘的积减去右上角和左下角的数相乘的积），结果都是． 题型四 平方差公式 解｜题｜技｜巧 先判定式子结构，找准“相同项”和“相反项”，正确套用平方差公式； 把相同项看作公式里的a，相反项看作公式里的b，直接代入a² - b²计算，无需逐项展开； 遇到底数变形的式子，先调整项的顺序，统一结构再套公式 易｜错｜点｜拨 结构判断失误，无相同项和相反项的多项式乘法强行套用公式； 系数未整体看作a或b的一部分，仅对字母部分平方，漏算系数平方； 平方顺序颠倒，写成相反项平方减相同项平方； 误将结果写成三项式，多添加中间项。 【典例1】（24-25八年级上·重庆大足·期末）下列不能用平方差公式运算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方差公式的形式逐项判断，如果符合平方差公式的形式，就可以用平方差公式计算，否则不能用平方差公式计算． 【详解】解：A选项：符合平方差公式的形式，能用平方差公式计算，故A选项不符合题意； B选项：符合平方差公式的形式，能用平方差公式计算，故B选项不符合题意； C选项：不符合平方差公式的形式，不能用平方差公式计算，故C选项符合题意； D选项：，其中符合平方差公式的形式，能用平方差公式计算，故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平方差公式的使用条件：两个二项式相乘，有一项完全相同，另一项互为相反数，符合该条件即可用平方差公式计算，据此判断各选项． 【详解】解：平方差公式的结构为， A选项：中，含的项为和，既不相同也不互为相反数，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算； B选项：，两项均互为相反数，无完全相同的项，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算； C选项：，两项均互为相反数，无完全相同的项，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算； D选项：，其中是完全相同的项，与互为相反数，符合平方差公式结构，可以用平方差公式计算． 【变式2】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，有一个圆环形的观景台，已知，，则观景台（阴影部分）的面积是______（结果保留）． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆环面积计算，平方差公式的应用，用大圆的面积减去小圆的面积，即可求解． 【详解】解：依题意，观景台（阴影部分）的面积是 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·山西忻州·期末）阅读与思考 下面是小乐同学的数学学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 乘法公式的拓展——“连续自然数乘积”的规律与应用 观察发现：计算以下三个连续自然数的乘积： ；；；……． 如果将中间的数记为，为整数且，那么三个连续自然数可以表示为，，，它们的乘积可记为． 规律探究：我们可以利用整式乘法的知识来化简这个乘积：   第一步   第二步   第三步 ．  第四步 归纳结论：我们得到一个重要的结论：三个连续自然数的乘积，等于中间那个数的立方减去它本身，即为整数且）． 任务： (1)“规律探究”中，第二步到第三步运用了________公式． (2)利用材料中发现的规律计算的值（写出必要的过程）． (3)请仿照材料中的探究过程，推导三个连续偶数（中间的数记为，且）的乘积的规律． 【答案】(1)平方差 (2)7980 (3) 【分析】本题主要考查了整式的乘法，平方差公式，熟练掌握整式乘法的运算法则和平方差公式是解题的关键． （1）根据第二步到第三步变化过程判断即可； （2）利用材料中发现的规律计算即可； （3）仿照材料中的探究过程，推导三个连续偶数的乘积的规律即可． 【详解】（1）解：由计算过程可得运用了平方差公式． 故答案为：平方差． （2）解：． （3）解：设三个连续偶数分别为， 则三个连续偶数的乘积 ． 题型五 完全平方公式 解｜题｜技｜巧 牢记“首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号随二项式中间符号”的口诀 先确定首项和尾项，计算平方项，再计算两倍积，最后核对符号； 含系数的项整体看作首项或尾项，整体平方不拆分系数； 遇到负项的完全平方，可先转化为和的完全平方，再计算，降低符号失误概率。 易｜错｜点｜拨 最易漏乘两倍积，结果写成两项，缺失中间项； 中间项符号判断错误，差的完全平方写成正号； 混淆完全平方与平方和，忽略中间两倍积； 系数未整体平方，仅对字母部分运算，系数结果错误 【典例1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式1】（24-25七年级下·宁夏银川·期末）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)10404 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先利用完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式的运算法则化简，再将代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 题型六 乘法公式变形 解｜题｜技｜巧 掌握完全平方公式的常见变形，利用a²+b²、(a+b)²、(a-b)²、ab之间的等量关系转换； 已知其中两个式子的值，通过变形公式推导第三个式子的值，核心思路是“整体代换”，不单独求解a、b的具体数值； 遇到复杂式子，先拆分重组，凑出公式标准形式再运算 易｜错｜点｜拨 不熟悉公式变形，无法找到等量关系，思路卡顿；整体代换时符号出错，变形公式推导错误； 忽略已知条件限制，强行求解单个字母值，陷入计算死胡同； 变形后运算步骤出错，结果错误。 【典例1】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）若a，b为实数，且，，则x，y的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】比较两个代数式的大小，采用作差法，结合完全平方公式配方，利用平方的非负性判断差的符号即可． 【详解】解： ∵a，b为实数， ∴ ， ， ∴ ，即 ， ∴ ． 【变式1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）已知，则计算的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题可通过换元法结合完全平方公式的变形进行求解，利用完全平方公式中平方和与乘积的关系转化计算． 【详解】解：设， ∵，且 又∵ ∴ 即 移项得 ∴ 即 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·广西崇左·期末）已知正数满足，则的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式求值，把两边同时平方，可得：，整理可得：． 【详解】解：， ， 可得：， ， ， 即． 故选：C． 【变式3】（25-26八年级上·江西赣州·期末）若，，则________． 【答案】16 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，将两个已知方程相加，得到 的值，即 的结果． 【详解】解：，， ． ． 故答案为：16． 题型七 整式乘法与几何图形 解｜题｜技｜巧 先结合几何图形，提取边长、面积相关代数式，明确图形整体与部分的数量关系； 根据面积公式，列出整式乘法或乘法公式对应的算式； 利用公式化简算式，推导图形边长、面积的表达式或数值； 结合几何图形实际意义，验证结果合理性，边长、面积需为正数 易｜错｜点｜拨 图形与代数式对应错误，边长表达式列写失误； 面积公式混淆，误用平方差或完全平方公式； 化简算式时出现计算错误，影响几何量求解；忽略几何实际意义，得出负数结果未排除 【典例1】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图1，图形A、图形B是两张完全相同的长方形纸片，先后按图2、图3的方式放置在同一个正方形中．若知道图形②与图形⑤的面积差，则一定能求出（ ） A．图形①与图形②的周长和 B．图形④与图形⑥的周长和 C．图形①与图形②的周长差 D．图形④与图形⑥的周长差 【答案】D 【分析】根据题意设长方形的长为x，宽为y，正方形的边长为a，先用字母表示出图形②、⑤的面积，根据题意得到为已知，再用字母分别表示出图形①、②、③、④、⑤、⑥的周长，进行计算即可得出正确的选项． 【详解】设长方形纸片的长为x，宽为y，正方形的边长为a， 图形②的面积， 图形⑤的面积， ， 图形①的周长， 图形②的周长， ∴图形①与图形②的周长和为，故A选项不符合题意； 图形④的周长， 图形⑥的周长， ，故B选项不符合题意； 图形①与图形②的周长差为,故C选项不符合题意； 图形④与图形⑥的周长差为， 根据题意为已知，即为已知，故D选项符合题意， 综上所述，一定能求出的是D． 【变式1】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，为利用图形面积说明平方差公式，先构造面积为的长方形，再过上的裁切点作这条边的垂线，若沿着这条垂线将这个长方形裁开，两部分能拼接成面积为的图形，则裁切点到的距离为_____．（用含或的式子表示） 【答案】b 【分析】本题考查了平方差公式的几何解释．熟练掌握长方形面积公式，平方差公式，根据题意正确拼接图形，是解题的关键．把长方形沿折叠，得到，根据长方形性质和面积公式，平方差公式可得，由，即得． 【详解】解：如图，把长方形沿折叠，得到， ∵长方形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，四边形是长方形，四边形是面积为17的正方形，点，分别在，上，且四边形是正方形，连接，．若正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，平方差公式，解答关键是掌握平方差公式并熟练运用．设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b 则阴影面积的底为 ，高为， ∴阴影面积为， ∵大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴阴影面积为 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·广东广州·期末）数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1阴影部分的面积能解释的乘法公式：______； (2)用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图2的正方形，请你根据阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系：______； (3)若，，求的值； (4)如图3，正方形和正方形的边长分别为m，，若，，E是的中点，求阴影部分面积的和． 【答案】(1) (2) (3) (4)6 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用． （1）图1中由两个长与宽分别为a、b的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为a、b的正方形的面积可得； （2）图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得； （3）利用，代入求值即可； （4）延长交于点K，记的面积为，矩形的面积为，的面积为，的面积为，结合已知条件分别表示出阴影部分的图形和的表达式，再将二者相加，结合，，即可求得阴影部分的面积． 【详解】（1）解：在图1中，由图可知，， ， 由题意得，， 即， 故答案为：． （2）解：在图2中，由图可知，，，， 由题图可知，， 即， 故答案为：． （3）解：由题意得，， ∵，， ∴， ∴． （4）解：如图，延长交于点K，记的面积为，矩形的面积为，的面积为，的面积为， ∵正方形边长为m，正方形边长为n，E为的中点， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， 即阴影部分面积的和为6． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照运算顺序先计算积的乘方，再计算单项式乘法即可求解. 【详解】解： 2．下列各题中，适合用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式的结构特点，平方差公式要求两个二项式相乘，一项相同，另一项互为相反数，据此逐项判断即可． 【详解】解： A． 中，没有对应相同的项，不满足平方差公式结构，不能用平方差公式计算，不符合题意； B． 中，相同项为 ，相反项为和，满足平方差公式结构，可以用平方差公式计算，符合题意； C．，两项均互为相反数，不满足结构，不能用平方差公式计算，不符合题意； D．，两项都相同，没有互为相反数的项，不满足结构，不能用平方差公式计算，不符合题意． 3．若是一个完全平方式，则的值是___________． 【答案】 【分析】利用完全平方式的结构特征列式计算，即可确定出的值． 【详解】解：是一个完全平方式，且， 或 ， 解得或， 4．计算：___________． 【答案】 【分析】先计算括号内的幂运算，再处理负号得，最后进行立方运算即可． 【详解】解： ． 5．先化简，再求值：．其中，． 【答案】； 【分析】先利用单项式乘多项式运算法则和积的乘方运算法则化简原式，再将和的值代入化简后的式子计算结果即可． 【详解】解：原式 当，时 原式． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．若，则k的值为（    ） A． B． C．5 D．8 【答案】C 【分析】根据可得为奇数，由此即可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 2．甲同学做完四道整式乘法的题后，同桌乙同学的批改如下所示，则乙同学批改正确的是（    ） ；√ ②；× ③；√ ④；√ A．第①、②题 B．第①、④题 C．第②、③题 D．第③、④题 【答案】A 【分析】根据单项式乘多项式法则、平方差公式和完全平方公式，逐个判断计算是否正确即可． 【详解】解：① ， ∴ 甲的计算正确，同桌乙同学的批改正确； ② ， ∴ 甲的计算错误，同桌乙同学的批改正确； ③ ， ∴ 甲的计算错误，同桌乙同学的批改错误； ④ ， ∴ 甲的计算错误，同桌乙同学的批改错误； 因此同桌乙同学的批改正确是第①、②题． 3．已知，则的值为_________． 【答案】2010 【分析】根据得出，对所求式的高次项降次，代入所求多项式整理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴ ． 4．已知，，则_________． 【答案】 【分析】根据完全平方公式展开，根据展开式的结构特征相加或者相减即可求出及的值，再进一步计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 5．如图，四个完全相同的长方形围成一个正方形，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，由此，得到一个等式． (1)直接写出这个等式__________： (2)试用乘法公式说明这个等式成立； (3)利用这个公式解决问题：若，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）用不同的方式表示大正方形的面积，即可得到； （2）利用完全平方公式把等式左右两边分别展开，计算可得结果相等； （3）把，代入计算，即可得到，进一步即可求出结果． 【详解】（1）解：由图可知，中间小正方形的边长为， 大正方形的面积为， 由图可知，大正方形的边长为， 大正方形的面积为， ； （2）解：左边， 右边 ， 左边＝右边， 即等式成立； （3）解：把，代入等式， 可得：， ，而， ． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一用“杨辉三角”可以解释（n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数，，恰好对应“杨辉三角”中第3行的个数，的系数，，，恰好对应“杨辉三角”中第行的个数…，某数学兴趣小组经过仔细观察，还发现（n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②当时，的计算结果为； ③的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ④当 ，除以，余数为． 上述结论正确的是（   ） A．②③④ B．①②④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘多项式中的规律型问题，幂的乘方．根据“杨辉三角”得出展开式中各项系数的特点，逐项判断即可求解． 【详解】解：由题意知， 的计算结果中项的系数为“杨辉三角”第2027行第2个数与的积，即， 故结论①错误； 当时，， 故结论②正确； 的计算结果中各项系数之和为，因此的计算结果中各项系数的绝对值之和为， 故结论③正确； 当，，展开式中最后一项为，其余各项的因数均包括2026，因此除以2026，余数为，即2025． 故结论④正确； 2．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”． 如果将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，则一定是的倍数； 若，则不是“和谐数”； ，为正整数，且，若和都是“和谐数”，则也是“和谐数”． 则上述结论正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】先根据“和谐数”的定义推导得出任意正的“和谐数”都是的正整数倍，再分别对三个结论逐一化简验证即可． 【详解】解：根据“和谐数”的定义，设任意一个“和谐数”为，其中为正整数， 化简：， 任意“和谐数”都是的正整数倍， 验证结论：， 是正整数， 是的倍数，故正确； 验证结论： ， ， ，是的倍数， 是“和谐数”，故错误； 验证结论：设，是正整数， 是“和谐数”， ，得， “和谐数”是的倍数， 是的倍数，， 是的倍数， 是奇数，即是奇数， 是“和谐数”， 是的倍数，得是奇数； 是奇数，是奇数， ，一个是奇数一个是偶数，乘积是偶数，即（为正整数）， ，即是的正整数倍，故是“和谐数”，故正确； 综上，正确的结论有，共个． 3．观察下列各式： ； ； ； …… 根据规律计算：的值是______． 【答案】 【分析】先观察给出的等式，归纳出一般规律：因为等式左边是与一个多项式相乘，右边是，所以可总结出的规律．分析待求式子的结构，待求式是正负交替的幂次和，可将其转化为符合上述规律的形式；将替换为，利用类似的规律进行转化．利用归纳出的规律，将待求式与规律式子对应，通过变形构造出可以直接套用规律的形式，进而求解． 【详解】解：根据题干给出的式子，归纳得到通用规律： ， 设， 观察符号规律，可将改写为：， 将，代入规律公式： ， 化简计算： ， ∴． 4．如果与的乘积为1，那么的值为______． 【答案】 【分析】根据题意可得，即，再把所求式子前面乘以，据此利用平方差公式求解即可． 【详解】解：∵与的乘积为1， ∴，即， ∴ ． 5．观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)请直接写出第6个等式：____． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． (3)直接写出下列式子的结果． ______． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了数字变化规律，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． （1）观察一系列等式，归纳总结得到第6个等式即可； （2）观察一系列等式，归纳总结得到第个等式，用字母表示出所得的规律即可； （3）将每个括号内式子通分，利用规律改写每个分子后，约分即可． 【详解】（1）解：通过观察前面式子可得： ． （2）解：猜想第个等式为： ． 证明： ． （3）解： ． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $