甘肃金昌市永昌县第一高级中学2025-2026学年高二下学期学业质量检测(二）数学试卷

**基本信息** 高二数学期中检测卷，以导数与立体几何为核心，通过基础辨析、综合应用与创新探究的梯度设计，考查数学抽象、空间观念与逻辑推理，适配学业质量中期评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|导数几何意义（第1题）、线面关系（第2题）、函数单调性（第3题）|单选基础辨析，多选结合导函数图象（第9题）考查推理意识| |填空题|3题15分|空间向量运算（第12题）、函数单调区间（第13题）|聚焦核心概念，如极值点条件（第14题）强化数学抽象| |解答题|5题77分|导数应用（第15、17题）、立体几何折叠问题（第18题）|多问设计梯度，如第18题三问从证明到距离计算再到线面角，体现空间观念与数学思维|

永昌县第一高级中学2025-2026-2学业质量检测（二)试卷 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1.已知函数f)=e+f(0)x2+x-2)(其中f)是fx)的导函数)，则f(1=(） A.e+2B.e+3C.e-2D.e-3 2.若，n为两条直线，a为一个平面，则下列结论中正确的是() A.若∥a,n∥a,则⊥nB.若m∥a,n∥a,则∥n C.若m∥a,n⊥a,则⊥nD.若m∥a,n⊥a,则m与n相交 3.函数fx)=(x-3)的单调递减区间是() A.（-m,2] B.0,3] c.[1,4] D.[2,+0) 4.平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1的长度为() A号 B.6 C.3 D.6 5.设函数f侧=lnx+a2-x若x=1是函数f)是极大值点，则函数f)的极小值为() A.In 2-2 B.In 2-1 C.In3-2 D.In3-1 6.在直三棱柱A:B1C1-ABC中，∠BCA=90°，D1,F1分别是A:B1,A:C的中点，BC=CA=CC1则BD:与AF1所成角的余 弦值是() A③@ 10 B C③c 15 D.Vis 10 7.如图，在长方体ABCD一A1B1C1D1中，AD=AA1=1,AB=2,点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为 () D A.2 B.v2 D. 8.定义在R上的奇函数fx),其导函数为f(x),f(-3)=0,当x>0时，fx)+xf(x)<0,则使得fx)<0成立的x 的取值范围是() A.(-∞，-3)U(03) B.(-∞，-3)U(-30) C.(-∞，-3)U(3,+m) D.(-3,0)U(3,+∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.如图是函数y=fx)的导函数(x)的图象，则下列判断正确的是(） A.在区间（一2,1）上，fx)单调递增 B.在区间(1,2)上，fx)单调递增 C.在区间(4,5)上，fx)单调递增 D.在区间(-3，一2)上，fx)单调递增 10.如图，已知六棱锥P一ABCDEF的底面是正六边形，A⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论中正确的是() A.PB⊥AE B.平面ABC⊥平面PBC C.直线BC∥平面PAE D.∠PDA=45° 11.函数fx)满足f()<f(),则正确的是（) A.f(3)<ef(2) B.ef0)<f(1) c.e2f(-1)>f(1) D.ef(1)>f(2) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分： 12.在空间直角坐标系中，向量a=(-m,6,3),b=(2,n,1)若a/b,则m+n= 13.若函数fx)=x2-alnx+1在[1，+∞)上单调递增，则实数a的最大值为 14.已知函数f)=m(x-1)e-x2+x在xe(,3)上有两个极值点，则实数m的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 已知函数f)=言3-x+2. (1)求函数fx)的单调区间： (2)求fx)在区间[-2,2]上的最大值 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,AB=AP=1,AD=√3，E为PD的中点. (1)证明：PB/平面AEC; (2)求二面角D-AE-C的余弦值. 17.(本小题满分15分) 己知函数f(x)=ax-lnx (1)当a=2时，求y=f()在点(1，f(1)处的切线方程； (2)若对vxe[L,e,都有f)≤桓成立，求a的取值范围. 18.(本小题满分17分) 图1是直角梯形ABCD,AD1BC,∠B=90°，四边形AECD是边长为2的菱形，并且∠ADC=120°，以DE为 折痕将aCDE折起，使点C到达点C1的位置，如图2. E 图1 图2 (1)求证：AC⊥DE: (2)若平面CDB⊥平面AB8D,在棱g上找一点M,使得点M到平面ADC的距离为4 ,并求 B 15 ℃的 值； (3)在(2)的前提下，求直线EM与平面ADC所成角的正弦值. 19.(本小题满分17分) 定义：若函数f(x)在其定义域内存在极大值f(x和极小值f(x2), 且存在一个常数飞，使得k=)-f2成立，则称f内“极值可差比堡数”，常数k为f的“极值差比系数”. x1-x2 已知函数f(x)=x(x-a)+21nx. (1)当a=5时，判断fx)是否为“极值可差比函数”，并说明理由； (2)是否存在a,使得f()的“极值差比系数”为2-？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； 3)设通数h()=f)一a一二2数列b,满足0<，<1，hbJ=A4+1,neN,证明2b+2-b+1<Da 2 永昌县第一高级中学2025-2026-2学业质量检测（二）答案 高二数学 一、单选题 1.B 2.C 3.A 4.B 5.A 6.A 7.C 8.D 二、多选题 9.BC 10.AD 11.ACD 三、填空题 12. 13.2 14. 四、解答题 15.解：（1）由（定义域为）,得. 当或时,;当时,. 故的单调递增区间为,,单调递减区间为. （2）由的单调性，得在,上单调递增，在上单调递减. 计算得,. 则在上的最大值为. 16.(1)证明：连接，交于点，连接. 因为底面为矩形，所以为的中点. 由为的中点，得. 因为平面，平面. 故平面. (2)解：由平面，平面，平面，得，. 因为底面为矩形，所以.故两两垂直. 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 由，，得，，，，. 由此得，. 设平面的法向量为. 可得,令，得. 易知是平面的一个法向量. 计算得, 由图可知二面角的平面角为锐角.故二面角的余弦值为. 17.（1）解：当时,,, 故; 由,得切线方程为,即. ⑵解：原条件等价于对恒成立,令, 则; ,令,得; 故在上单调递增,在上单调递减; 计算得,,又,所以, 故的取值范围为. 18．（1）证明：取的中点，连接，四边形是边长为2的菱形 则， 又平面，所以平面， 又平面，所以； （2）解：在菱形中，，则， 所以，所以， 因为，所以即为二面角的平面角， 因为平面平面，所以，即， 如图，以点原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设， 设平面的法向量为， 则有，可取， 因为点到平面的距离为， 所以， 解得，所以； （3）解：由（2）得，， 则， 故， 所以直线与平面所成角正弦值为.19.解:（1）当时，, ，则 ，（1分） 令,得或 ，所以当时,, 单调递增； 当时,, 单调递减；当时,, 单调递增， 所以的极大值为，极小值为 ，（3分） 所以 ，所以是“极值差比系数”为 的“极值可差比函数”.（4分） （2）假设存在，使得的“极值差比系数”为 . 因为, ， 所以 ， 因为 为“极值可差比函数”， 所以有两个不同的极值点, ， 所以关于的方程在上有两个不同的实数解, ， 则，解得 ，则 .（6分） 不妨设，则 ， 所以 ， 则 ，所以 ，所以 ， 因为，所以 ，则，即 .（9分） 令, ，则 ， 所以在 上单调递增，则 ， 所以在 时无解， 所以不存在，使得的“极值差比系数”为 .（11分） （3）由题得, ，则 ， 令，得；令，得 ， 所以在上单调递减，在 上单调递增，所以 ， 因为 ，所以,, , .（13分） 要证 ，即证 ， 又, ，即证 .（14分） 令, ，则 ， 所以在 上单调递减，则 ，（15分） 因为，且 ，所以 ， 所以，则 ，所以 ， 即 ，所以 得证.（17分） 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永昌县第一高级中学2025-2026-2学业质量检测（二）试卷 高二数学 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。 1.已知函数（其中是的导函数），则（ ） A. B. C. D. 2.若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是( ) A.若m∥α，n∥α，则m⊥n B.若m∥α，n∥α，则m∥n C.若m∥α，n⊥α，则m⊥n D.若m∥α，n⊥α，则m与n相交 3.函数的单调递减区间是（ ） A. , B. , C. , D. , 4.平行六面体的所有棱长均为1，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 5.设函数 若是函数是极大值点，则函数的极小值为（ ） A. B. C. D. 6.在直三棱柱中分别是的中点则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 7.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为( ) A. B. C. D. 8.定义在上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求，全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分。 9.如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是( ) A.在区间(－2,1)上，f(x)单调递增 B.在区间(1,2)上，f(x)单调递增 C.在区间(4,5)上，f(x)单调递增 D.在区间(－3，－2)上，f(x)单调递增 10.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中正确的是( ) A. PB⊥AE B. 平面ABC⊥平面PBC C. 直线BC∥平面PAE D. ∠PDA＝45° 11.函数满足，则正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.在空间直角坐标系中，向量若，则                   . 13.若函数在上单调递增，则实数的最大值为                   ． 14.已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是                   . 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分13分） 已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求在区间上的最大值. 16. （本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，，，E为PD的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值． 17. （本小题满分15分） 已知函数. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若对，都有恒成立，求的取值范围. 18．（本小题满分17分） 图1是直角梯形，，四边形是边长为2的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达点的位置，如图2. （1）求证：； （2）若平面平面，在棱上找一点，使得点到平面的距离为，并求的值； （3）在（2）的前提下，求直线与平面所成角的正弦值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 永昌县第一高级中学2025-2026-2学业质量检测（二）试卷 高二数学 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。 1.已知函数（其中是的导函数），则（ ） A. B. C. D. 2.若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是( ) A.若m∥α，n∥α，则m⊥n B.若m∥α，n∥α，则m∥n C.若m∥α，n⊥α，则m⊥n D.若m∥α，n⊥α，则m与n相交 3.函数的单调递减区间是（ ） A. , B. , C. , D. , 4.平行六面体的所有棱长均为1，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 5.设函数 若是函数是极大值点，则函数的极小值为（ ） A. B. C. D. 6.在直三棱柱中分别是的中点则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 7.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为( ) A. B. C. D. 8.定义在上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求，全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分。 9.如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是( ) A.在区间(－2,1)上，f(x)单调递增 B.在区间(1,2)上，f(x)单调递增 C.在区间(4,5)上，f(x)单调递增 D.在区间(－3，－2)上，f(x)单调递增 10.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中正确的是( ) A. PB⊥AE B. 平面ABC⊥平面PBC C. 直线BC∥平面PAE D. ∠PDA＝45° 11.函数满足，则正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.在空间直角坐标系中，向量若，则                   . 13.若函数在上单调递增，则实数的最大值为                   ． 14.已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是                   . 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分13分） 已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求在区间上的最大值. 16. （本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，，，E为PD的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值． 17. （本小题满分15分） 已知函数. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若对，都有恒成立，求的取值范围. 18．（本小题满分17分） 图1是直角梯形，，四边形是边长为2的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达点的位置，如图2. （1）求证：； （2）若平面平面，在棱上找一点，使得点到平面的距离为，并求的值； （3）在（2）的前提下，求直线与平面所成角的正弦值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ ( 1 A B C D 5 A B C D 9 A B C D 2 A B C D 6 A B C D 10 A B C D 3 A B C D 7 A B C D 11 A B C D 4 A B C D 8 A B C D )永昌县第一高级中学2025-2026-2学业质量检测（二） 高二数学答题卡 ( 条形码粘贴处 ) 班级：_____________ 正确填涂:$ 错误填涂:%^&* ( 第一部分 客观题( 共58分) 1-8单选，每题5分；9-11多选，每题6分； 三个答案（每个全对6分，选对2个4分，选对1个2分，有错选不得分），两个答案（每个全对6分，选对1个得3分，有错选不得分 ） ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 填空（每题5分，共15分） 12．______________________ 13．______________________ 14．______________________ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 15．（13分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16．（15分） ) ( 禁止作答区 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) 学科网（北京）股份有限公司 $