专题01 平面向量（6大考点期末真题汇编，黑龙江专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 平面向量专题汇编，覆盖线性运算、数量积等6大高频考点，整合黑龙江多校期末真题，注重方法多样性与能力梯度设计。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|18道|线性运算、平行共线、模长等|结合三角形、正方形等几何情境，如向量不能作为基底的概率问题| |多选|6道|数量积性质、投影向量|考查极化恒等式应用（如正六边形中向量数量积范围）| |填空|8道|模长计算、重心与外心综合|涉及向量模长最值及建系法（如三角形重心相关最小值）| |解答|7道|线性运算证明、夹角与垂直|综合几何图形与代数运算，如重心分线段比证明及周长比值范围|

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01平面向量 目目 考点01 平面向量线性运算 一、 单选题 1.C 2.A. 3.C 4.D 5.C 6.C 二、解答题 7.【详解】(1)因为A应=A,N=A心，则A=A成，AC=A 因为点P是△ABC的重心，所以A=(A店+AC)=责A成+录A, 因为P,M,N在直线1上，所以京+卖=1， 所以克+贵=3 2)在△ABC中，由余弦定理，得0s∠BAC=E=-=, 2ABAC 所以AM.A=A·AN.cos∠BAC=3,3μ=7u 因为0<1≤1,0<4≤1，克≥1，≥1， 由(1)知克+责=3，所以克=3-责≤2，则1≤克≤2 1 因为μ=克，所以拟=站=高=日平， 因为1≤克≤2，所以当克=号时，μ的最小值为号，当克=1或2时，和的最大值为克， 所以7uE[号，]，即A.A的取值范围为[号，名] (3)|M=|-A=VAN+M2-2A.A=V9u2+922-14, 所以C1=AM+AN+MN=3λ+3μ+V9u2+972-14nμ，C2=8 设x=4,又克+责=3，所以入+4=3u=3x, 1/6 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以 f(x)=-x=(2+u+N2+a2-号4)-x=(1+u+u+刀2-2μ-号)-x =(3x+V9x2-号x)-x=V9x2-号x+吉x 由(2)知x=ue[,支]， 因为y,=9x2-号x的对称轴为x=部，在[，]上单调递增， 又因为y2=言x在[号，]上也是单调递增， 所以f(x)=V9x2-号x+x在[，]上单调递增， 所以当x=号时，f(x)mn=,当x=寺时，f(x)a =7+ 16, 所以F(x)的取值范围为[] 目目 考点02 平面向量平行/共线问题 一、单选题 1.B 2.D. 3.C 4.A 二、填空题 5.4 三、解答题 6.【详解】(1)A成=A+BM=a-26+a+6=(0+1)京-6， 因为AM,C三点共线，所以存在uER使得A=uMC, 即(1+1)京-石=μ(-i+36)=-a+3u6, （λ+1=-4 因为克石是平面内两个不共线向量，所以{一1=3μ，解得入=一号. (2)当=(3,3)，6=(2,3)时，B元=BM+M元=(1-1)+46=-+46=(37)， 设A(x,y),则Ai=(2-x-1-y), 因为AB,CD四点按逆时针顺序构成平行四边形， 2/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2-x=3 （x=-1, 所以市=元，即{-1-y=7,解得y=-8 所以A(-1-8) 目目 考点03 平面向量数量积（建系法/基底法/极化恒等式） 一、单选题 1.C 2.B 3.D 4.D 5.D 6.C 二、多选题 7.ACD 8.BCD 三、填空题 9.9 10.[5,8] 目目 考点04 平面向量模长问题 一、单选题 1.D 2.B 二、填空题 3.万 4.2 目目 考点05 夹角与垂直问题 一、单选题 1.C 2.A 二、填空题 3/6 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 3.2 4.10 5.0 三、解答题 6.【详解】(1)若a16,则a.6=2x+3-x2=-(x-3)(x+1)=0,故x=-1或x=3: (2)若a//6,则1·(-x)-x·(2x+3)=0,即x2+2x=x(x+2)=0, 则x=0或x=一2， 若x=0,则a=(1,0),6=(3,0),则a-=V(1-3)2=2, 若x=-2,则a=(1,-2),=(-1,2),则a-引=V(1+1)2+(-2-2)2=25, 即a-引=2或a-引=2W5 7.【详解】(1)因为=3，=2，（京，〉=弯，则京.石=lcos等=3×2×(-）=-3， 又因为a-引2-(a-)2=-2a6+2=9+6+4=19,所以宝-引=V19 (2)因为(a+k6)1(京-)，则(+k)·(-)=0, 可得2+(k-1)a.6-k62=0, 即9+(k-1)(-3)-4k=0,解得k=号 8.【详解】(1)（言+）·(a-)=-2-支， 由=1，得1-2=多，所以= (2)因为+引2=+26+62=1+2×守+方=2， a-2-2-2a.6+62=1-2×音+支=1， 所以+=2，后-=1 令向量a-与+的夹角为6， 则cos6= 09=点-9. +a-一2灯 即向量一与+6夹角的余弦值是号 4/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.【详解】(1)：=V5,·声2=+2+2间可2=2+2间可=3，解得可弓=， 1训=V(4可+2E2)7=16可+42+16可可=V20+16×=2万 (2):m·(i-)=(可+)·(3可+)=32+2+4日可2=4+4可，=2， .可·E2=-克，应i=(日1+6)(4日1+2E)=412+222+6E已2=3， =V62+22+281-1, =V(4可+2)2=V162+42+16可可=25， cs(i)=需=录=9 所以与五的夹角的余弦值为号 10.【详解】(1)因为=5，=4，与6的夹角为培， 所以a.石=a×l×cos号=5×4x号=6： (2)因为向量应=3-石与方=京+k6的夹角为锐角， 所以3豆-)：（信+k)>0且3-与+k拓不同向共线 可得：(3-可+k=3+(3k-1)京.6-k52>0, 将2=3,2=16，京.6=6代入上式可得：3×3+(3k-1)×6-k×16>0, 整理得：2k+3>0,可得k>-是 若两向量同向共线，则存在实数t>0,使得3-6=a+k),即3后-=+kt6 3=t 所以{-1=kt,解得k=一专 所以当两向量不同向共线时，k≠一专 综合以上两个条件，实数k的取值范围是（一-青）U(-京，+∞) 目目 考点06 投影、投影向量问题 一、单选题 1.A 2.C 5/6 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 二、多选题 3.BCD 4.ACD 5.BC 6.ABD 三、填空题 7.(1,2 8.（-) 6/6 专题01 平面向量 6大高频考点概览 考点01平面向量线性运算 考点02平面向量平行/共线问题 考点03平面向量数量积（建系法/基底法/极化恒等式） 考点04平面向量模长问题 考点05夹角与垂直问题 考点06投影、投影向量问题 地 城 考点01 平面向量线性运算 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第十二中学校·期末)在中，E是靠近B点的三等分点，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】由题意知在中，E是靠近B点的三等分点， 则 , 故选：C 2．(24-25高一下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)抛掷质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m，n．设平面向量，则向量不能作为平面内的一组基底的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量平行的数量积得到，再由古典概率计算即可. 【详解】且不能作为基底，则，即， 当时，；当时，；当时，； 两次投掷得到点数的总可能性为种， 所以所求的概率. 故选：A． 3．(24-25高一下·黑龙江龙东联盟·期末)已知为所在平面内的一点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形的几何性质分解向量即可得解. 【详解】如图所示， 由题意得. 故选：C. 4．(24-25高一下·黑龙江大庆林甸县智研团队·期末)在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．9 【答案】D 【分析】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【详解】由点在线段上，，得， 而点为线段上除端点外的任意一点，则，且， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 故选：D 5．(24-25高一下·黑龙江绥化安达高级中学·期末)若是的边上的一点（不包含端点），且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】根据共线向量定理的推论得，然后利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为是的边上的一点（不包含端点）且， 可得，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C 6．(24-25高一下·黑龙江大庆林甸县第一中学等三校·期末)在中，点在边上，且满足，点为上任意一点，若实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据平面向量基本定理及共线向量定理的推论，由三点共线得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【详解】由，可得， 由三点共线可得，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 二、解答题 7．(24-25高一下·黑龙江大庆林甸县智研团队·期末)如图，已知中，，，直线过的重心P，与线段，分别交于点M，N，设，（，）. (1)证明：为定值，并求出此定值； (2)求的取值范围； (3)记，的周长分别为，，设，记，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，3 (2) (3) 【分析】（1）根据点P是的重心，利用向量的线性运算表达出，再根据已知条件转化为，利用三点共线即可证明； （2）先由余弦定理求得，再利用平面向量数量积定义表示，利用（1）的结论求取值范围即可； （3）先求出，写出，，再根据，及，化简 ，由（2）知，判断出单调性即可求解. 【详解】（1）因为，，则，， 因为点P是的重心，所以， 因为在直线l上，所以， 所以. （2）在中，由余弦定理，得， 所以. 因为，，，， 由（1）知，所以，则. 因为，所以， 因为，所以当时，的最小值为，当或2时，的最大值为， 所以，即的取值范围为. （3）， 所以，. 设，又，所以， 所以 . 由（2）知， 因为的对称轴为，在上单调递增， 又因为在上也是单调递增， 所以在上单调递增， 所以当时，，当时，， 所以的取值范围为. 地 城 考点02 平面向量平行/共线问题 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三十二中学校·期末)已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量共线的坐标表示列式计算. 【详解】向量，，由，得，所以. 故选：B 2．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第十二中学校·期末)已知向量，，若，则（    ） A．﹣4 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】由坐标形式的共线定理即可求解. 【详解】由题得. 故选：D. 3．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆实验中学·期末)已知向量，若向量与平行，则实数（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由向量线性运算的坐标表示及平行的坐标表示列出等式求解即可. 【详解】， 因为向量与平行， 所以， 解得：， 故选：C 4．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)已知O为坐标原点，若不重合的三点，，共线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由共线求出，检验即可得解. 【详解】因为，，， 所以， 若不重合的三点，，共线， 则，解得或， 当时，重合，矛盾， 当时，都不重合，故满足题意， 所以. 故选：A. 二、填空题 5．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)已知向量，，若，则实数的值为_____. 【答案】4 【分析】根据向量共线的坐标公式求出参数. 【详解】因为， 所以，解得. 故答案为：4. 三、解答题 6．(24-25高一下·黑龙江龙东联盟·期末)已知是平面内两个不共线向量，，且三点共线． (1)求实数的值； (2)已知，若，且四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得，结合以及向量共线定理即可求解； （2）设，则，计算得，结合即可列方程求解. 【详解】（1）， 因为三点共线，所以存在使得， 即， 因为是平面内两个不共线向量，所以，解得． （2）当时，， 设，则， 因为四点按逆时针顺序构成平行四边形， 所以，即，解得 所以． 地 城 考点03 平面向量数量积（建系法/基底法/极化恒等式） 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第七十三中学校·期末)已知，，，若，则等于（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】运用向量的坐标运算法则进行求解. 【详解】由题意可得，， 所以，， 所以，解得 故选：C. 2．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第四中学校·期末)已知中，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可求出的值，利用同角三角函数的基本关系结合三角形的面积公式可求得结果. 【详解】因为，，则， 故， 因此. 故选：B. 3．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)如图，已知平行四边形中，，，，，分别是，的中点，N是上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性表示及向量的数量积运算律计算求解. 【详解】平行四边形中，，，， ，分别是，的中点，N是上一点，且， 则 . 故选：D. 4．(24-25高一下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)如图，在中，，为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，先由的面积求出及的值，再根据平面向量共线定理，向量的加法法则和平面向量基本定理求出，进而确定，求出，再利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】由，可得， 所以. 由可得. 因为为CD上一点，所以设， 则 . 因为，所以，解得， 所以， 所以 (当且仅当，即时等号成立). 所以的最小值是. 故选：D 5．(24-25高一下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)如图1，圆锥的母线长为3，底面圆直径，点为底面的中点，则在该圆锥的侧面展开图（图2）中（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆锥与展开图的关系，求对应的圆心角，再转化向量，求向量的数量积. 【详解】如图，连结， 圆锥底面圆的周长为，母线为3，所以扇形展开图的圆心角为， 则，， ， . 故选：D 6．(24-25高一下·黑龙江绥化海伦第一中学·期末)已知中，，，且的最小值为，若P为边上任意一点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据题意可得与的夹角，然后表示，利用二次函数的性质计算即可. 【详解】由题可知：设，则， ， 又的最小值为，则的最小值为3， 所以当时，有，又，所以. 设，则， 所以， 当时，有最小值为. 故选：C 二、多选题 7．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第四中学校·期末)（多选）下列命题正确的是（   ） A．在中，，则的形状一定是直角三角形 B．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则 C．平行四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是矩形 D．在中，若，则P点的轨迹经过的内心 【答案】ACD 【分析】由平面向量的概念和线性运算和向量的数量积的运算律逐项计算判断即可. 【详解】对于A，由，可得， 所以，所以，所以， 所以，所以是直角三角形，故A正确； 对于B，依题意如图，但，故选项B错误； 对于C，由，可得， 所以，所以， 所以，所以四边形ABCD是矩形，故C正确； 对于D，根据向量加法的几何意义知，以和为邻边的平行四边形为菱形， 点在该菱形的对角线上，由菱形的对角线平分一组对角， 故点的轨迹经过的内心，故D正确. 故选：ACD. 8．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆实验中学·期末)（多选）如图，在边长为4的正方形中，点是的中点，点满足，则下列说法正确的是（    ）    A．若，则 B．若，则为定值 C．若点在线段上，则为定值 D．若，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】如图建立平面直角坐标系，利用向量的坐标表示，结合向量数量积、向量共线、向量模长的计算公式逐项计算判断即可. 【详解】如图建立平面直角坐标系， 则，，，，， 所以，，因为， 所以，即．    对于A，若，则，所以，， 所以，故A错误； 对于B，当时，，所以，又， 所以，故B正确； 对于C，因为，， 又点在线段上，所以，所以， 所以，故C正确； 对于D，若，又，所以，即， 设 ， 所以，其中为锐角且， 所以当时，取得最大值，且最大值为，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题 9．(24-25高一下·黑龙江大庆林甸县智研团队·期末)在中，，， 分别为的重心和外接圆圆心，则的最小值为________. 【答案】9 【分析】取的中点为，把用表示，根据平面向量数量积的定义表示出，再根据投影向量的定义及平面向量数量积的几何意义即可求出的值，也就是的最小值. 【详解】 如图所示：取的中点为，则， 所以， 所以 ， 所以，当且仅当，共线同向时取等号（此时为直角）. 故答案为：9 10．(24-25高一下·黑龙江大庆林甸县第一中学等三校·期末)如图，已知正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】连接，根据向量的线性运算（或极化恒等式）可得，故可求的取值范围. 【详解】 正六边形的内切圆半径为， 外接圆的半径为. ， 因为，即，所以，可得． 故答案为：. 地 城 考点04 平面向量模长问题 1、 单选题 1．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆中学·期末)已知平面向量与为单位向量，它们的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量数量积定义可得，根据向量数量积的运算律可由求得结果. 【详解】， . 故选：D. 2．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第四中学校·期末)设向量与的夹角为，定义．已知向量为单位向量，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】利用向量数量积运算律列方程求得，结合同角三角函数关系、新定义求值即可. 【详解】由，解得， 又，所以，所以． 故选：B 二、填空题 3．(24-25高一下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)已知向量的夹角为，则__________. 【答案】 【分析】利用向量的数量积的定义，求得，再根据，即可求解. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故答案为：. 4．(24-25高一下·黑龙江龙东联盟·期末)已知向量满足，则___________． 【答案】2 【分析】由数量积的运算律转换为关于的方程即可求解. 【详解】因为， 所以，即， 解得或（舍去）. 故答案为：2. 地 城 考点05 夹角与垂直问题 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江牡丹江名校协作体·期末)已知空间向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量垂直的坐标形式可取参数的值. 【详解】因为，所以，可得， 故选：C. 2．(24-25高一下·黑龙江绥化安达高级中学·期末)在中，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】和的分别为和的方向向量，结合可判断的形状，再由数量积的运算可求，再根据三角形内角和为，即可求解. 【详解】因为，所以的角平分线与垂直，所以， 因为，,所以， 则． 故选：A 二、填空题 3．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第十二中学校·期末)已知向量，且，则_______. 【答案】2 【详解】由题意可得解得. 4．(24-25高一下·黑龙江黑河龙西北名校联盟·期末)已知平面向量，，若，则______. 【答案】 【分析】先根据向量线性运算求得的坐标，再根据向量垂直的坐标表示求解，最后利用模的坐标形式求解即可. 【详解】∵，，∴. 由得，∴，解得， ∴，∴. 故答案为：. 5．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨德强高级中学·期末)已知平面向量，，若，则______． 【答案】 【分析】由向量垂直求得，由模的坐标运算公式求解即可. 【详解】已知平面向量，，若，则,解得， 所以. 故答案为：. 三、解答题 6．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三十二中学校·期末)已知平面向量，． (1)若，求的值； (2)若，求． 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）由向量垂直可得数量积为零，计算即可得； （2）借助向量平行的性质计算计算可得，再利用坐标形式的模长公式计算即可得. 【详解】（1）若，则，故或； （2）若，则，即， 则或， 若，则，，则， 若，则，，则， 即或. 7．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第十二中学校·期末)已知平面向量，满足：，，． (1)求； (2)当时，求实数k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积可得，再根据模长的平方关系结合数量积的运算律求解； （2）根据向量垂直的可得，结合数量积的运算律求解. 【详解】（1）因为，，，则， 又因为，所以． （2）因为，则， 可得， 即，解得. 8．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第七十三中学校·期末)已知， ，. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可求的值； （2）利用向量数量积求出，，再由向量数量积求夹角的余弦值. 【详解】（1）， 由，得，所以. （2）因为， ， 所以，. 令向量与的夹角为θ， 则， 即向量与夹角的余弦值是. 9．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆实验中学·期末)已知为单位向量，向量． (1)若，求； (2)若，求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，再根据数量积求即可； （2）可得，计算与的数量积及模长，再利用向量夹角公式计算即可. 【详解】（1），，解得， . （2）， ，， ， ， ， 所以与的夹角的余弦值为. 10．(24-25高一下·黑龙江黑河龙西北名校联盟·期末)已知平面向量，满足：，，与的夹角为. (1)求； (2)设平面向量，，若，的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量数量积的定义求解即可； （2）利用向量夹角为锐角的充要条件是两向量积大于0且这两向量不同向共线，再利用向量积的运算和共线运算即可. 【详解】（1）因为，，与的夹角为， 所以； （2）因为向量与的夹角为锐角， 所以且与不同向共线. 可得：， 将，，代入上式可得：， 整理得：，可得. 若两向量同向共线，则存在实数，使得，即. 所以，解得. 所以当两向量不同向共线时，. 综合以上两个条件，实数的取值范围是. 地 城 考点06 投影、投影向量问题 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第十二中学校·期末)已知向量与的夹角为，，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合向量的投影的定义和计算方法，即可求解. 【详解】由题意知，向量且向量与的夹角为， 所以向量在上的投影为， 又因为，所以向量在上的投影向量为. 故选：A. 2．(24-25高一下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)已知向量，，若，则向量在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求得，再由投影向量的定义求向量在上的投影向量. 【详解】由题设，则，即， 所以向量在上的投影向量为. 故选：C 二、多选题 3．(24-25高一下·黑龙江黑河龙西北名校联盟·期末)（多选）如图，点是所在平面内的一点，，，，、分别为边、的中点，与交于点，则（   ） A． B．在上的投影向量等于 C． D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据余弦定理直接计算判断A，根据投影向量的法则求解判断B，根据的特点，建立平面直角坐标系，运用平面向量的坐标运算求得判断C，结合平面向量的线性运算、数量积的运算及二次函数的性质判断D. 【详解】对于A，在中，，，，所以由余弦定理得 ，故A错误； 对于B，在上的投影向量等于，故B正确； 对于CD，如图，以为原点，以为轴，过点A与垂直的直线为轴， 建立平面直角坐标系， 则，，，，， ，， 所以， 又，所以，故C正确； 设，则，， 所以 ，当且仅当时等号成立， 即的最小值为，故D正确. 故选：BCD 4．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨德强高级中学·期末)（多选）下列说法中正确的是（   ） A．非零向量和满足，则与的夹角为 B．向量能作为平面内所有向量的一组基底 C．若，则在方向上的投影向量的模为 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据模长公式结合数量积运算律计算得出夹角判断A，根据基底定义及向量平行判定B，应用投影向量定义计算判断C，应用向量平行判断D. 【详解】对于A，由，所以， 即，所以， 所以，所以与的夹角为，故A正确； 对于B，由，所以，则与共线，所以与不能作为平面向量的基底，故B错误； 对于C，，则或，则在方向上的投影向量的模为，故C正确； 对于D，因为，所以当时，，故正确， 故选：ACD． 5．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆中学·期末)（多选）已知向量，，则（    ） A．与向量平行的单位向量为 B．当时， C．当时，向量在向量上的投影向量为 D．若与夹角为锐角，则的取值范围为 【答案】BC 【分析】利用单位向量的定义、向量垂直的坐标关系、投影向量的计算公式以及夹角的表示依次判断即可. 【详解】对于A，与向量平行的单位向量为或，故A错误； 对于B，当时，，解得，故B正确； 对于C，当时，，， 则向量在向量上的投影向量为，故C正确； 对于D，若与夹角为锐角，则， 解得且，故D错误. 故选：BC. 6．(24-25高一下·黑龙江绥化安达高级中学·期末)（多选）已知平面向量，则（    ） A．不垂直 B．，使得共线 C．当时， D．当时，在方向上的投影向量为 【答案】ABD 【分析】对于选项A，可通过向量的数量积进行判断；对于选项B，根据向量的共线性质进行判断；对于选项C，首先求出的坐标，然后求其和的模；对于选项D，首先求出的坐标，然后根据向量的投影公式进行求解. 【详解】因为， 则， 所以不垂直，所以选项A 正确. 假设，则，所以， 所以当时，共线，所以选项B正确. 当时，， 所以，所以，所以选项C错误. 当时，， 所以在方向上的投影向量为. 故选：. 三、填空题 7．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第四中学校·期末)已知，，则在方向上的投影向量的坐标为________． 【答案】 【分析】利用投影向量的意义求解. 【详解】由，，得，， 所以在方向上的投影向量为. 故答案为： 8．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为______. 【答案】 【分析】根据投影向量的求法，代入数据，即可求得答案. 【详解】因为，， 所以向量在向量上投影向量为 . 故答案为：. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量 6大高频考点概览 考点01平面向量线性运算 考点02平面向量平行/共线问题 考点03平面向量数量积（建系法/基底法/极化恒等式） 考点04平面向量模长问题 考点05夹角与垂直问题 考点06投影、投影向量问题 地 城 考点01 平面向量线性运算 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第十二中学校·期末)在中，E是靠近B点的三等分点，（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)抛掷质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m，n．设平面向量，则向量不能作为平面内的一组基底的概率为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·黑龙江龙东联盟·期末)已知为所在平面内的一点，，则（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·黑龙江大庆林甸县智研团队·期末)在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．9 5．(24-25高一下·黑龙江绥化安达高级中学·期末)若是的边上的一点（不包含端点），且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 6．(24-25高一下·黑龙江大庆林甸县第一中学等三校·期末)在中，点在边上，且满足，点为上任意一点，若实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 7．(24-25高一下·黑龙江大庆林甸县智研团队·期末)如图，已知中，，，直线过的重心P，与线段，分别交于点M，N，设，（，）. (1)证明：为定值，并求出此定值； (2)求的取值范围； (3)记，的周长分别为，，设，记，求的取值范围. 地 城 考点02 平面向量平行/共线问题 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三十二中学校·期末)已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第十二中学校·期末)已知向量，，若，则（    ） A．﹣4 B．1 C．2 D．4 3．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆实验中学·期末)已知向量，若向量与平行，则实数（    ） A． B． C．2 D． 4．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)已知O为坐标原点，若不重合的三点，，共线，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)已知向量，，若，则实数的值为_____. 三、解答题 6．(24-25高一下·黑龙江龙东联盟·期末)已知是平面内两个不共线向量，，且三点共线． (1)求实数的值； (2)已知，若，且四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标． 地 城 考点03 平面向量数量积（建系法/基底法/极化恒等式） 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第七十三中学校·期末)已知，，，若，则等于（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 2．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第四中学校·期末)已知中，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)如图，已知平行四边形中，，，，，分别是，的中点，N是上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)如图，在中，，为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)如图1，圆锥的母线长为3，底面圆直径，点为底面的中点，则在该圆锥的侧面展开图（图2）中（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高一下·黑龙江绥化海伦第一中学·期末)已知中，，，且的最小值为，若P为边上任意一点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第四中学校·期末)（多选）下列命题正确的是（   ） A．在中，，则的形状一定是直角三角形 B．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则 C．平行四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是矩形 D．在中，若，则P点的轨迹经过的内心 8．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆实验中学·期末)（多选）如图，在边长为4的正方形中，点是的中点，点满足，则下列说法正确的是（    ）    A．若，则 B．若，则为定值 C．若点在线段上，则为定值 D．若，则的最大值为 三、填空题 9．(24-25高一下·黑龙江大庆林甸县智研团队·期末)在中，，， 分别为的重心和外接圆圆心，则的最小值为________. 10．(24-25高一下·黑龙江大庆林甸县第一中学等三校·期末)如图，已知正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是________. 地 城 考点04 平面向量模长问题 1、 单选题 1．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆中学·期末)已知平面向量与为单位向量，它们的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第四中学校·期末)设向量与的夹角为，定义．已知向量为单位向量，，则（    ） A． B．1 C． D． 二、填空题 3．(24-25高一下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)已知向量的夹角为，则__________. 4．(24-25高一下·黑龙江龙东联盟·期末)已知向量满足，则___________． 地 城 考点05 夹角与垂直问题 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江牡丹江名校协作体·期末)已知空间向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·黑龙江绥化安达高级中学·期末)在中，，且，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第十二中学校·期末)已知向量，且，则_______. 4．(24-25高一下·黑龙江黑河龙西北名校联盟·期末)已知平面向量，，若，则______. 5．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨德强高级中学·期末)已知平面向量，，若，则______． 三、解答题 6．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第三十二中学校·期末)已知平面向量，． (1)若，求的值； (2)若，求． 7．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第十二中学校·期末)已知平面向量，满足：，，． (1)求； (2)当时，求实数k的值． 8．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第七十三中学校·期末)已知， ，. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 9．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆实验中学·期末)已知为单位向量，向量． (1)若，求； (2)若，求与的夹角的余弦值． 10．(24-25高一下·黑龙江黑河龙西北名校联盟·期末)已知平面向量，满足：，，与的夹角为. (1)求； (2)设平面向量，，若，的夹角为锐角，求实数的取值范围. 地 城 考点06 投影、投影向量问题 一、单选题 1．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第十二中学校·期末)已知向量与的夹角为，，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)已知向量，，若，则向量在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．(24-25高一下·黑龙江黑河龙西北名校联盟·期末)（多选）如图，点是所在平面内的一点，，，，、分别为边、的中点，与交于点，则（   ） A． B．在上的投影向量等于 C． D．的最小值为 4．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨德强高级中学·期末)（多选）下列说法中正确的是（   ） A．非零向量和满足，则与的夹角为 B．向量能作为平面内所有向量的一组基底 C．若，则在方向上的投影向量的模为 D．若，则 5．(24-25高一下·黑龙江大庆大庆中学·期末)（多选）已知向量，，则（    ） A．与向量平行的单位向量为 B．当时， C．当时，向量在向量上的投影向量为 D．若与夹角为锐角，则的取值范围为 6．(24-25高一下·黑龙江绥化安达高级中学·期末)（多选）已知平面向量，则（    ） A．不垂直 B．，使得共线 C．当时， D．当时，在方向上的投影向量为 三、填空题 7．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第四中学校·期末)已知，，则在方向上的投影向量的坐标为________． 8．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为______. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $