甘肃金昌市永昌县第一高级中学2025-2026学年高一下学期学业质量检测(二）数学试卷

**基本信息** 立足湘教版必修二，通过创新定义“相离度”、正方体中点线面关系等情境，考查空间观念、推理能力与创新意识，体现数学眼光与思维的应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、向量、三角函数|基础概念辨析，如复数运算、向量关系判断| |多选|3/18|复数几何意义、向量坐标运算|多角度考查，如第9题复数象限与纯虚数判断| |填空|3/15|向量坐标、三角恒等变换|情境化设计，如第14题等腰外接圆动点问题| |解答|5/77|解三角形、立体几何、创新定义|综合性强，如第17题正方体线面平行证明与异面直线夹角计算，第19题“相离度”定义及应用|

永昌县第一高级中学2025-2026-2学业质量检测（二） 高一数学试题参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由复数，则. 2．若向量，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，向量不能比较大小，A错误； 对于BC，由题知，B错误，C正确； 对于D，因为，所以不垂直，D错误. 3．的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【详解】 . 4．如图所示是利用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，已知轴，轴且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为轴，轴且， 由题意得，，且， 则，则的周长为. 5．在钝角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D． 【答案】A 【详解】由余弦定理得，化简得，解出或2， 当时，为钝角三角形符合题意，当时，为直角三角形不符合题意. 6．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，解得， 所以. 7．三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】按照三个平面中平行的个数来分类： （1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成部分； （2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成部分； （3）三个平面中没有平行的平面： （i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成部分； （ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成部分. （iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成部分； 综上，可以为、、、部分，不能为部分， 8．已知在中， ，设， 记的最大值为，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】在中，令内角所对边分别为， 由正弦定理得，则 而，则 ，由，得， 锐角由确定，又，则， 因此当时，取得最大值，即， 显然函数在上单调递增，所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知为虚数单位，复数，下列说法正确的是（   ） A． B．复数在复平面内对应的点位于第一象限 C． D．为纯虚数 【答案】ABD 【详解】，则，故A正确； ，在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B正确； 为纯虚数，不能比较大小，故C错误，D正确. 10．已知点，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，的夹角为锐角，则且 【答案】AC 【详解】因为，，，所以，， 选项A：，所以A正确； 选项B：因为，所以，所以，所以，所以B错误； 选项C：因为，所以，所以，所以C正确； 选项D：因为，的夹角为锐角，且，所以，解得，所以D错误. 11．如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是棱C1D1，A1A，AB，CD的中点，则（ ） A．PN与A1M为异面直线 B．A1B与MN所成的角为90∘ C．平面PMN截该正方体所得的截面形状为矩形 D．三棱锥A−MQP是鳖臑，即四个面均为直角三角形 11. ABD 对于D，AP=1，PQ=2,，MQ=2，MP=2，AP2+PQ2=AM2，AQ2+MQ2=AM2，所以四个面均为直角三角形，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，，，则的坐标为__________． 【答案】 【详解】． 13．已知，分别为第一、第三象限角，且，则_____. 【答案】 【详解】因，得，又，得，即， 因为第一象限角，故，，同理：，得， 又，得，即，因为第三象限角，故，， 所以， 14．已知点为等腰外接圆上的一个动点，，则的取值范围为__________. 【答案】 【详解】在等腰中，，则， 若，则，矛盾；若，则，合乎题意. 由于余弦定理可得， 设，，当点在优弧（不包括点、）上运动时，，则， 由余弦定理可得， 所以，，当且仅当点与点重合时，等号成立，又因为，此时，， 此时，； 当点与点或点重合时，； 当点在劣弧（不包括点、）上运动时，，此时，， 由余弦定理可得， 即，当且仅当点为劣弧的中点时，等号成立，又因为，则， 此时，. 综上所述，的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若，，求． 15．（13分）【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由余弦定理，， ∵，∴. ·······6分 （2）由正弦定理，，由（1）知，， ∴. ·······13分 16．（15分）已知为虚数单位，复数． (1)若复数满足，求的虚部； (2)设复数（），若复平面内表示复数的点位于第二象限，求的取值范围． 16．（15分）【答案】(1)；(2) 【详解】（1）设，则由可得， 整理得，所以，解得，， 所以的虚部为； ·······7分 （2）， 因为复平面内表示复数的点位于第二象限， 所以， 即的取值范围为． ·······15分 17．（15分）如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线B1F与C1E所成角的余弦值． 17．（15分）【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）证明：，分别为，的中点，，， 且， 四边形为平行四边形， ， 又平面，不在平面，GZZZZZG 平面； ·······6分 （2）解：取CC1中点G，连接AE，AF，BG，FG，AB1 四边形为正方形， 且 四边形ABGF是平行四边形 又且， 四边形BGC1E是平行四边形 ， ，或其补角就是异面直线B1F与C1E所成的角. , 即，异面直线B1F与C1E所成角的余弦值为 ·······15分 18．（17分）已知函数，. (1)当时，求函数的最小值； (2)当时，若恒成立，求实数的取值范围. 18．（17分）【答案】(1)；(2)； 【详解】（1）， 则， 当且仅当时，函数的最小值为； ·······6分 （3） 恒成立，则 令，因，函数在上递减，在上单调递增，则. 则，则. 所以实数的取值范围为. ·······17分 19．（17分）在平面直角坐标系xOy 中，对于非零向量=(x1, y1), =(x2, y2)，定义这两个向量的“相离度”为d(, )=. 容易知道, 平行的充要条件为d(, )=0． (1)已知=(1, 2), =(4,－2)，求d(, )； (2)①已知, 的夹角为θ1和, 的夹角为θ2，证明：d(, ) = d(, )的充分必要条件是sinθ1=sinθ2； ②在中，，，且，若，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永昌县第一高级中学2025-2026-2学业质量检测（二） 1 A B C D 5 A B C D 9 A B C D 2 A B C D 6 A B C D 10 A B C D 3 A B C D 7 A B C D 11 A B C D 4 A B C D 8 A B C D 高一数学答题卡 条形码粘贴处 班级：_____________ 正确填涂:$ 错误填涂:%^&* 第一部分 客观题(共58分) 1-8单选，每题5分；9-11多选，每题6分；三个答案（每个全对6分，选对2个4分，选对1个2分，有错选不得分），两个答案（每个全对6分，选对1个得3分，有错选不得分）） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 填空（每题5分，共15分） 12．______________________ 13．______________________ 14．______________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16．（15分） 禁止作答区 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 学科网（北京）股份有限公司 $ 永昌县第一高级中学2025-2026-2学业质量检测（二） 高一 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.本卷命题范围：湘教版必修第二册。 第Ⅰ部分 选择题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数，则 （    ） A． B． C． D． 2．若向量，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 3．的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 4．如图所示是利用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，已知轴，轴且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 5．在钝角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D． 6．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（    ） A． B． C． D． 8．已知在中， ，设， 记的最大值为，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知为虚数单位，复数，下列说法正确的是（   ） A． B．复数在复平面内对应的点位于第一象限 C． D．为纯虚数 10．已知点，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，的夹角为锐角，则且 11．如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是棱C1D1，A1A，AB，CD的中点，则（ ） A．PN与A1M为异面直线 B．A1B与MN所成的角为90∘ C．平面PMN截该正方体所得的截面形状为矩形 D．三棱锥A−MQP是鳖臑，即四个面均为直角三角形 第Ⅱ部分 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，，，则的坐标为__________． 13．已知，分别为第一、第三象限角，且，则_____. 14．已知点为等腰外接圆上的一个动点，，则的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若，，求． 16．（15分）已知为虚数单位，复数． (1)若复数满足，求的虚部； (2)设复数（），若复平面内表示复数的点位于第二象限，求的取值范围． 17．（15分）如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线B1F与C1E所成角的余弦值． 18．（17分）已知函数，. (1)当时，求函数的最小值； (2)当时，若恒成立，求实数的取值范围. 19．（17分）在平面直角坐标系xOy 中，对于非零向量=(x1, y1), =(x2, y2)，定义这两个向量的“相离度”为 d(, )=. 容易知道, 平行的充要条件为d(, )=0． (1)已知=(1, 2), =(4,－2)，求d(, )； (2)①已知, 的夹角为θ1和, 的夹角为θ2，证明：d(, ) = d(, )的充分必要条件是sinθ1=sinθ2； ②在中，，，且，若，求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $