甘肃省金昌市永昌县第一高级中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

永昌县第一高级中学2024一2025-2高一期中试卷·数学 参考答案、解析及评分细则 1.C因为x=(1-2i)(3-2i)=3-2i一6i十4=-1一8i,x在复平面内对应的点为(-1，一8)，位于第三象限. 故选C 2.C因为Ai-(DC-BC)+DA=AB-DC+BC+DA=Ai+BC+CD+DA=0.故选C. 3.B:cosa=子，且角e的终边位于第四象限，∴sina=-V-cosa=-平，则sin2a=2 2sin0sa 故选B 15 4C依题意a在b上的投影向量为·合-3议4Xs12D.=一6放法心 4 5.C因为△ABC中，sinA<sinB,由正弦定理得a<b,所以A<B;由A<B,由正弦定理得a<b,所以sinA <sinB,则“A<B”是“sinA<sinB”的充要条件.故选C. 6.D如图.延长AD,BE交于点C,因为A=B=吾，所以C=答，在△ABC中，由正弦定理，得AC-BC sin B sin A sinc.AC-BC- AB 20N3入2=20(cm),由题意得CD=20-10=10(cm)r D 3 20-14=6(cm),C= 子，在△CDE中，由余弦定理，得DE= √CD+CE-2CD·CEcos C=√136+60=√196=14(cm),故D,E两点之间的距离为14cm.故选D. tana十tanB 3 7.C依题意tan atan月-2，ana十anB=3,所以1an(a+》="8nan--2万-1，因为a,g长 (0,x)a十Ae(0,2x),又tan gtan月=-2<0，所以e+日-平故选C 8.A作OH⊥AE,垂足为E,如下图所示， 则H为AE的中点，故OA·AE=-A0·AE=-|AO1·|A1·cos∠OAE=-|AO1·|AE|· =-号1A=-32.故选A. 9.ABDa,b不共线，所以a,b能作为平面内所有向量的一组基底，A正确：(a十b)·a=(3,一1)·(1,3)=0， 所以a十b)1a,B正确：a+2b=V5+(-5-5E.C错误：cosa,b》=a00X25 a·b -10 a,b的夹角为平，D正确，故选ABD, 【高一期中·数学参考答案第1页（共4页）】 ZH250454A 10.ABA.根据表格数据可得销量的极差为15.3一11.7=3.6，选项正确：B.根据表格数据可得销量的平均数 为合×(11.7+12.4+13.8+13.2+14.6十15.3)=13.5，选项正确：C.6×0.4=2.4,销量的第40百分位 数是从小到大排列的第3个数据，即为13.2，故选项错误：D.中位数为13.2,13.8=13.5，故选项错误.故 选AB. 11.BCD由题意可得B市=AD-AB=(-3,4),所以BD1=√-3)+4=5，故A错 误；过点C作x轴的垂线，设垂足为点E,过点D作x轴的垂线，设垂足为点F,AC A市+D心-(3.3)，则四边形ABCD的面积为Sae+Smx+SE=X1X4+号× (4+3)×2+号×1×3=号，故B正确：因AC=V3+3=3区，在直角三角形BCEA B 中，易得sn∠CBE-8需-3Y,设△ABC外接圆的半径为R,由正弦定理，nC AC 3v2 =2R,解 3√/10 10 得R=√5，故△ABC外接圆的周长为25x,故C正确；因C第=A-AD-D心=(1，-3)，C市=(-2,1)， cos(CB.CD)-- C第.c市 -3=号放D正确：故选BD 11CD√1o×5 12.一2十i由题意可设1=a十bi(a<0,b>0),对应的向量为(a,b),x1对应的向量为(1,2)，由旋转性质得 a2+b=5, a=-2, 和！模相等，且它们对应的向量垂直，则 解得 ∴.2=-2十i. a+2b=0, b=1, 13.- 因为sin(a-)cos&-cos(a一月)sina=sim[(a-)-a]-sin(-)-号，且B为第三象限角，所以 3 sin月=-号，cos月=-5 14.3W3由2 acos A十ccos(A+C)=bcos C,得2 sin Acos A一sin Ccos B=sin Bcos C,所以 2 sin Acos A=sin Beos C+sin Ccos B=sin(B+C)=sinA,因为A∈(0，π)，则sinA> 0,所以c0sA=7A=等，设A市=AAC,则点D在直线AC上，所以AB-AAC- |A访-A市1=D,当BDLACE时，D最小，其最小值为ABsin A=6X5=35. 15.解：(1)由图可得(0.01十m十0.04十0.02)×10=1，得m=0.03.…3分 (2)设这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数的估计值为x, 因为第一组和第二组数据的频率之和为(0.01十0.03)×10=0.4<0.5，…4分 第一组、第二组和第三组数据的频率之和为(0.01十0.03十0.04)×10=0.8>0.5.…5分 所以x∈[35,45)，由0.4+0.04×(x-35)=0.5,得x=37.5. 故这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数约为37.5吨.……7分 (3)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数 x=100X(20X10+30×30+40×40+50×20)=37(吨)，…10分 方差=00×[(20-37)×10+(30-37)°×30+(40-37)°×40+(50-37)×20]=81. …13分 【高一期中·数学参考答案第2页（共4页）】 ZH250454A 16.解：(1)设x=a十bi(a,b∈R), =a-bi,3+=3(a+bi)+(a-bi)=4a+2bi=4+4i, 2分 4a=4, 所以 解得a=1,b=2,… 5分 2b=4, 故x=1十2i.… 7分 (2):之是关于x的方程x2十px十q=0(p,q∈R)的一个根， :是关于x的方程x2十px十q=0(p,g∈R)的另一个根，……9分 ,1十21十121=P解得p=-2,g=5,.12 12分 (1+2i)(1-2i)=q, .q十pi=|5-2i=√29.…15分 17.解：(1)因为m∥n,所以(b十a)(a-b)-c(b十c)=0,…2分 即b+c2-a2=-bc, 1 所以心08A三7，… 5分 因为0<A<x,所以A-经 ………7分 (2)由正弦定理入B将6=4a=45,A=代人，得sinB= b 9分 因为0<B<受所以B=吾C=一号-吾=吾 12分 所以c=siA'sinC=4, 故△ABC的周长为8+4V3. 15分 18.解：(1)因为D才⊥AE,所以D才·AE=0,… 2分 C克.DE=DA.DE=DA·(DA+AE)=D才+DA.AE=DA=|DA1'=16. 8分 (2)以A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x,y轴建立如图所示平面直角坐 标系， 可得A(0,0),B(8,0),D(0,4),C(8,4).则AC=(8,4).…10分 若E为AB的中点，则E(4,0),故DE=(4,一4)，…12分 B x 又由AC=(8,4),则cos∠CME=eos(AC,D)= AC.DE 16 =V10 ACD45×42 10 …17分 19.解：1)因为f(x)=2sin(r+若）+4sin(x-)=3sinx+cosx-4cosx=3sinx-3cosx, 则0M=(W3,-3),故Oi=V(3)+(-3)2=23.…4分 (2)依题意，f(x)=√3sinx-cosx, 由fA)=3sinA-cosA=2sin(A-晋）=1可得sin(A-晋）=2： 因0<A<x,则-吾<A-吾<警，故A-吾-吾，解得A=吾， ………5分 因B+C-x-A,则cos(B+CO-oBeosC-sin Bsin C-cosA-司， 【高一期中·数学参考答案第3页（共4页）】 ZH250454A 又os Beos C=-一g,代人解得sin Bsin C-名①， 8 ……6分 由正弦定理， BC23ACAB sin A 3 =sin Bsin C,可得AC=4sinB,AB=4sinC, 代入①，可得AC·AB=16 sin Bsin C=6②，. 8分 又由余弦定理，BC=AC十AB一2AC·ABcos A, 可得AC十AB2-AC·AB=12③， 9分 于是(AB+AC)2=AB+AC+2AC·AB=12+3AC·AB=30, 解得AB十AC=√/30.… 10分 3f)=5snr+osr=2inr+号as0=2sn(e+音） 当xe[o,]时x+晋∈[若2x], 由f(x)+(2-a)f(x)+a-3=0,得(f(x)-1)(f(x)-(a-3)=0, .f(x)=1或f(x)=日-3，…12分 由)=1，即in(+音）之面x[0,背]，解得r=0或x= 3 即)=1在x∈[0，号]上有两个根。 方程+2-a)/)+a-3=0在re[o,号]上存在4个不相等的实数根。 当且仅当f)=a-3且a-3≠1在x[0,1]上有两个不等实根，…14分 在同一坐标系内作出函数y=x)在x[0,]上的图像和直线y =a一3，如图， y=/x) 方程f)=a-3a≠4)在xe[0,1号]上有两个不等实根， 当且仅当函数y=fx)在x∈[0，片]上的图像和直线)=a-3(a≠ -2 4)有两个公共点， 规察图像知：-2<a-3≤0或1<a-3<2, 解得1<a≤3或4<a<5, 所以实数a的取值范围是(1,3]U(4,5)。………………17分 【高一期中·数学参考答案第4页（共4页）】 ZH250454A永昌县第一高级中学2024一2025-2高一期中试卷 数学 考生注意： 1.本斌卷分选择题和非远择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案荟在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题国的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5老米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区战内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.本卷命题范国：湘般版必修第一册第六章、必修第二册第一章、第二章、第三章。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.已知复数=(1一2)(3一2i),则z在复平面内对应的点位于 A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.化简：AB-(DC-BC)+DA= A.2AD B.AD c.0 D.2 DA 3,已知角。的顶点为坐标原点，始边在x轴非负半轴上，终边位于第四象限，co3a= ,则sin2a 的值为 A-名 B.- 8 C.15 8 D是 4.设向量a,b满足|a=3,lb1=4,a与b的夹角为120°，则a在b上的投影向量为 A.-5b B. C.- D音b 5.已知角A,B是△ABC的内角，则“A<B”是“sinA<sinB”的( )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 6.如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮的规格，现测得如下数据： AB=20,3cm,AD=10cm,BE=14cm,A=B=君，则破裂的断点D,E两点间距藏为 A.10√3cm B.15 cm C.10、2cm D.14 cm 7.已知aBg(0,x),且tana,tanB是方程x2-3x一2=0的两根，则a十g 的值为 A B c 4 【高一期中·数学第1页（共页）】 ZH250454A 8,正五角垦是一个非常优美的几何图形，且与货金分时有着密切的联系，在 如图所示的正五角里ABCDE中，AB=8,O是该正五角星的中心，则O人· A充- A.-32 B.32 C.-64 D.61 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知向量a=(1,3),b=(2,一4)、则下列选项正确的是 A.a,b能作为平面内所有向量的一组基底 B.(a+b)⊥ C.la+2bl=10 D.a,b的夹角为3s 10.,某品牌新能源汽车2024年上半年的销量如下表： 月份1 1 2 3 4 5 6 销量y(万辆) 11.7 12.4 13.8 13.2 14.6 15.3 根据上表的数据，下列说法正确的是 A销量的极差为3.6 B.销量的平均数为13.5 C.销量的第40百分位数为13.8 D.销量的中位数为13.2 11.如图，在平面直角坐标系xAy中，AB+(4,0),AD=(1,4),DC=(2.一1)，则下列说法正确 的有 A.BD=4 L B.四边形ABCD的面积为号 C.△ABC外接圆的周长为2√5π D.cos(CB,CD》=-2 2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在复平面内，向量O对应的复数1=1+2i,0A绕点0逆时针旋转90后对应的复数为，则 13.已知sin(a-)cos。-cos(e-)sina=号B是第三象限角则cos 8- 14.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2 acos A十cc0s(A+C)=bcos C.若c=6.则 对任意λ∈R,AB一λAC的最小值为 【高一期中·敛学第2页（共4页）】 ZH250454n 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤】 15.(13分) 某机构对100名菜农去年种植销售的蔬菜重量（单位：吨）进行了统计调查，将得到的数据按 [15,25),[25,35),[35,45),[45,55)分为4组，画出的频率分布直方图如图所示. 组 0.04 02 0.02 0.01 0 1525354555熏量吨 (1)求m: (2)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数； (3)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数与方差（同一组中的数据用该组区 间的中点值作为代表)， 16.(15分) 已知复数x和它的共轭复数艺满足3z十=4十41. (1)求x: (2)若z是关于x的方程x2十x十q=0(p,g∈R)的一个根，求复数q十i的模长. 17.(15分) 已知△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若向量m=(b十a,c),n=(b十c,a-b),且 向量mn (1)求角A的值： (2)若b=4,a=4√3，求△ABC的周长， 【商一期中·数学第3页（共4页）】 ZH250454A 18.(17分) 如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=4,点E为线段AB上的动点，AC与DE的交点为M. (1)求C克.D龙； (2)若点E为AB的中点，求cos∠CME. 19.(17分) 定义：若非零向量OM=(a,b),函数f(x)的解析式满足f(x)=asin x十bcos x,则称f(x)为 OM的“线性函数”，OM为f(x)的“线性向量” (1)若向量OM为函数f(x)=2sin(z+若)+4sin(z-)的“线性向量”，求IOM| (2)若函数(x)为向量OM=(W5,-1)的“线性函数”，在△ABC中，BC=23,f(A)=1.且 cos Bcos C-日，求AB+AC的值； (3)若函数fx)为向量o成-(，1)的“线性函数”，且当x∈[0，号]时，方程产(x)十 (2-a)f(x)十a一3=0存在4个不相等的实数根，求实数a的取值范围. 【高一期中·数学第1页（共1页）】 ZH250454A