专题5.1 矩形重难点题型专训（3个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

本讲义聚焦初中数学矩形核心知识，系统梳理矩形的定义及性质、直角三角形斜边上中线性质、矩形的判定三大知识点，构建从概念理解到性质应用再到判定方法的完整学习支架。 资料以13大题型+3大拓展训练+自我检测为框架，融入荡秋千、翻花绳等生活实例，通过折叠问题、坐标系应用等培养几何直观（数学眼光）和推理能力（数学思维），课中助力分层教学，课后便于学生查漏补缺，强化知识应用。

专题5.1 矩形重难点题型专训 （3个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 矩形性质理解 题型二 利用矩形的性质求角度 题型三 根据矩形的性质求线段长 题型四 根据矩形的性质求面积 题型五 利用矩形的性质证明 题型六 求矩形在坐标系中的坐标 题型七 矩形与折叠问题 题型八 证明四边形是矩形 题型九 矩形的判定定理理解 题型十 添一条件使四边形是矩形 题型十一 根据矩形的性质与判定求角度 题型十二 根据矩形的性质与判定求线段长 题型十三 根据矩形的性质与判定求面积 拓展训练一 根据矩形的性质解决相关问题 拓展训练二 根据矩形的性质和判定解决相关问题 拓展训练三 矩形的性质在折叠情景下的应用 知识点一：矩形的定义及性质 1. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形是特殊的平行四边形． 2.数学语言描述：如图，在ABCD中，若，则ABCD是矩形． 矩形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 对边相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相平分 ， 对称性 轴对称图形，对角线的交点是它的对称轴，共有两条 中心对称图形，对称中心是两条对角线7的交点 【即时训练】 1．（25-26八年级下·湖南娄底·期中）关于矩形的性质，下列说法不一定正确的是（    ） A．对角线互相垂直 B．对边相等 C．对角线相等 D．四个角都相等 【答案】A 【详解】解：矩形的对边相等，对角线相等，四个角都相等，但对角线不一定互相垂直． 2．（2026·八年级下 宁夏银川）如图，长为6，宽为4的矩形中阴影部分的面积是___________． 【答案】 【分析】观察图形可知，阴影部分由两个三角形组成，这两个三角形的底边都在矩形的下边上，且底边之和等于矩形的长，高均等于矩形的宽，利用三角形面积公式及乘法分配律即可求解． 【详解】解：设左边阴影三角形的底为，右边阴影三角形的底为，高为， 由图可知，两个阴影三角形的底边之和等于矩形的长，即， 两个阴影三角形的顶点都在矩形的上边上，底边都在矩形的下边上， 两个阴影三角形的高均等于矩形的宽，即， ． 知识点二：直角三角形的性质定理 1. 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 2. 数学语言描述：如图，在Rt 中，，D为AC 的中点,则 ． 3. 定理的逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 在中，若，且D为AC的中点，则为直角三角形． 【即时训练】 1.（2025·八年级下 河南信阳）如图，钝角中，，D为边的中点，若，，则的长可能为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】题目主要考查三角形的三边关系，直接三角形中线的性质，理解题意是解题关键 先考虑当时，，得出，再由题干条件即可得出，即可求解 【详解】解：∵，， 当时，， ∵D为边的中点， ∴此时， ∵D为边的中点， ∴， ∵， ∴， 只有选项A符合题意， 故选：A 2.（24-25八年级下·河南许昌·期中）如图，在矩形中，，过对角线的中点O作，分别交于E、F，点G为的中点，若，则的长为 ．      【答案】2 【分析】本题主要考查直角三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键在于巧设，利用勾股定理构建方程解决。 根据直角三角形的性质和直角三角形斜边上中线的性质，利用方程思想可求出的长度． 【详解】解：∵， ， 在 中，是的中点， ， ， ， ∴是等边三角形， 设， ， ∵是的中点， ， 在中，， 由勾股定理得，， ， 解得：（负值舍去）． ， 故答案为：2． 知识点三：矩形的判定 【即时训练】 1．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，李师傅在做门窗时，已经测得门窗是平行四边形后，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理（    ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．两点确定一条直线 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．两点之间，线段最短 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断即可． 【详解】解：由题意得，其中的道理是对角线相等的平行四边形为矩形． 故选：C． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，用一张矩形纸片折出一个正方形，只需把一个角沿折痕翻折上去，使和边上的重合，则展开铺平后所得的四边形就是一个正方形，判断的依据是______________________． 【答案】有一组邻边相等的矩形是正方形 【分析】首先根据矩形的性质可知、为直角，折叠后可得为直角且，由此可判定四边形是矩形，又因为该矩形的一组邻边与相等，根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”即可判定四边形是正方形． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿折痕翻折，使与边上的重合， ∴，， ∴四边形中， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． 【经典例题一 矩形性质理解】 【例1】（24-25八年级下·全国·单元测试）下列说法：①矩形是轴对称图形；②矩形是中心对称图形；③矩形的对角线相等；④矩形的对角线互相垂直；⑤矩形的每条对角线平分一组对角．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查矩形的轴对称性、中心对称性及对角线的性质，需逐个判断每个说法的正误，统计正确说法的数量来确定答案． 【详解】解：∵矩形沿对边中点的连线折叠后直线两旁的部分能完全重合，∴矩形是轴对称图形，①正确； ∵矩形绕对角线的交点旋转后能与自身重合，∴矩形是中心对称图形，②正确； 根据矩形的性质，矩形的对角线相等，③正确； 矩形的对角线不一定互相垂直，只有特殊的矩形(正方形)对角线才垂直，④错误； 矩形的对角线不平分一组对角，只有菱形或正方形的对角线平分一组对角，⑤错误； 综上，正确的说法有①②③，共3个， 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）荡秋千是深受大家喜爱的一项活动，某秋千垂直地面时踏板离地面的距离为米，将踏板水平推动3米（米），此时踏板与地面的距离为米，若推动过程中拉绳始终拉得很直，则秋千的拉绳的长度为_____米． 【答案】5 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 假设未知数，利用勾股定理即可解答此题． 【详解】解：由图可知，四边形是矩形， ， ， 假设的长度为，则，， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得，， 故答案为：5． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列性质中，矩形不一定具有的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵矩形是特殊的平行四边形． ∴矩形一定满足对边平行且相等，四个内角都是直角． ∴，，． 矩形的邻边不一定相等，只有特殊的矩形（正方形）才满足邻边相等，因此选项A不一定成立． 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在长方形的中，已知，，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以A，B，P为顶点的三角形和以，C，Q为顶点的三角形全等，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2或1 D．4或3 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定，分类讨论全等三角形的对应边关系是解题的关键．设点P，Q运动的时间为，依题意得：，，得到，，①当，时，则当时，则，根据题意列方程即可得到结论 【详解】解：设点P，Q运动的时间为， 依题意得：， 四边形是长方形，且，， ， 当以为顶点的三角形和以为顶点的三角形全等时，有以下两种情况： ①当时，则， 由，得：， 解得：； ②当时，则， 由，得：， 解得：， 由， 得：， 将代入， 得：， 综上所述：的值为4或3． 故选：D． 3．（24-25八年级下·陕西商洛·期中）如图，点是矩形外一点，连接，过点作分别交，于点，．已知．则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的外角性质，先由矩形的性质推出，然后结合三角形的外角性质列式，代入数值进行计算即可．解题的关键是掌握矩形的性质． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·广东东莞·期中）某居民小区有块矩形绿地，矩形绿地的长为，宽为，现要在矩形绿地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为． (1)求矩形的周长．（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建为通道，通道上要铺设价为6元的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）根据矩形的周长计算即可； （2）分别算出矩形，花坛的面积后得到通道的面积，结合题意即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴矩形的周长； （2）解：∵矩形绿地的长为，宽为，小矩形花坛的长为，宽为， ∴矩形绿地的面积为，花坛的面积为， ∴通道的面积为， ∵通道上要铺设价为6元的地砖， ∴购买地砖需要花费元． 【经典例题二 利用矩形的性质求角度】 【例1】（2026·八年级下 湖北荆州）如图，一束光线射入一块透明的矩形玻璃砖发生折射现象，光的传播路径会发生改变，光线路径为（不在同一条直线上），射入光线与射出光线平行，即．若射入光线与玻璃砖边的夹角度数为，那么射出光线与玻璃砖边夹角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：延长交于点N， ∵， ∴， ∵ 四边形是矩形， ∴ ， ∴， 【例2】（2026八年级下·黑龙江大庆·专题练习）如图，是矩形的对角线，平分交于点E．若，则___． 【答案】/55度 【分析】首先由矩形的性质得到，，由角平分线得到，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴． 1．（25-26八年级下·河南商丘·期中）翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图（1）是翻花绳的一种图案，可以抽象成右图，在矩形中，，，，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形的性质可得，进而可得；再根据三角形内角和定理可得；然后再证四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，最后由对顶角相等即可解答． 【详解】解：如图：∵矩形中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 2．（2026·八年级下 河南）如图，莹莹将一个直角三角尺与矩形纸片按如图所示放置，与交于点，，，莹莹通过测量发现恰好平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直角三角形的性质和角平分线的定义可得，，利用矩形的性质可得，再根据平角的定义解答即可求解． 【详解】解：∵，，平分， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，已知矩形的对角线、相交于点O，，垂足为H，如果，那么______°． 【答案】35 【分析】根据题意，得，根据，得到，求解即可； 【详解】解：矩形的对角线、相交于点O， ， ， ， ， ， ， ， ； 4．（25-26八年级下·北京大兴·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点．求的度数． 【答案】 【分析】解题关键是利用矩形对角线互相平分且相等的性质，得出为等腰三角形，求出的度数，再结合构造的直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【经典例题三 根据矩形的性质求线段长】 【例1】（2024·八年级下 山西长治）某地为落实乡村振兴战略，在每个乡镇自然村都建设老年活动中心，某村老年活动中心如图中三角形区域，现计划在活动区域外围建宽的绿化带，为了美观，绿化带三个拐弯处设计为弧形，已知图中三角形周长为，则绿化带的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形内角和定理， 过中间三角形的三个顶点分别向绿化带作垂线，首先根据题意得到，求出扇形，，正好拼成一个半径为1m的圆，然后利用绿化带的面积求解即可． 【详解】如图所示，过中间三角形的三个顶点分别向绿化带作垂线， 根据题意得，，四边形，，是矩形 ∴ ∴，， ∵ ∴ ∴扇形，，正好拼成一个半径为1m的圆， ∴绿化带的面积 ． 故选：C． 【例2】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图，矩形的两条边、的长分别为3和4，则矩形的对角线_____，点P是边上的一个动点，点P到矩形两条对角线的距离与之和为_____． 【答案】 5 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理．根据勾股定理可得的长，连接，根据，即可求出点P到矩形两条对角线的距离与之和． 【详解】解：∵矩形的两条边、的长分别为3和4， ∴，，， ∴， ∴， 如图，连接， ∵，， ∴， 即， ∴， 即点P到矩形两条对角线的距离与之和为． 故答案为：5； 1．（25-26八年级下·河北衡水·开学考试）两个矩形纸片A，B按如图的三种位置放置，测量数据如图所示，已知矩形纸片A，B的长相等，下列判断错误的是（    ） A．矩形A的长与宽的差为 B．矩形B的长与宽的差为2 C．矩形A的周长为10 D．矩形B的周长为12 【答案】D 【分析】设矩形纸片A的长为，宽为，矩形B的宽为，由图得，，，分别计算，即可求解． 【详解】解：设矩形纸片A的长为，宽为，矩形B的宽为，则矩形B的长为， 由图得，，， 解得，，， ， 故A结论正确，不符合题意； ， 故B结论正确，不符合题意； ， 故C结论正确，不符合题意； ， 故D结论错误，符合题意． 2．（23-24八年级下·山西临汾·期末）将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放，使点B，C，G在同一条直线上，点E在边上，连接，，．若，，则的面积为（   ） A．13 B．26 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据矩形的性质和勾股定理求出，证明，得到，然后得到，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴的面积为． 故选：D． 3．（2026八年级下 吉林·专题练习）如图，把一张标准纸一次又一次对折，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸、……当标准纸的短边长为a时，“16开”纸的短边长为________（用含a的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查四边形的应用，属于操作探究类试题，理解题意是解题的关键． 由折叠的性质分析求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， , 由折叠的性质可得，，， ， ∴“开”纸的短边长为， 故答案为：． 4．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）定义：如果一个梯形的一条对角线等于上、下底之和，那么称这个梯形为“和谐梯形”，这条对角线称为“和谐线”． (1)【概念理解】如图①，在梯形中，，，若，，，则梯形________（填“是”或“不是”）“和谐梯形”，“和谐线”是对角线________； (2)【方法应用】如图②，在矩形中，，点E、F分别在边和上，且，当梯形为“和谐梯形”时，直接写出“和谐梯形”的面积； (3)【拓展提升】如图③，在“和谐梯形”中，对角线为“和谐线”，，与交于点O，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)是， (2)或10 (3)等腰三角形，见解析 【分析】（1）连接，由勾股定理求出的长，则，再根据“和谐梯形”的定义判断即可； （2）连接、，根据“和谐梯形”的定义得或，根据勾股定理分别求解即可； （3）延长到点E，使，根据“和谐梯形”的定义得，进而可得，，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质进而推出，，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵在梯形中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴梯形是“和谐梯形”，“和谐线”是对角线； （2）解：如图，连接、， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∵梯形为“和谐梯形”， ∴或． 分以下两种情况讨论： 当时，， ∴“和谐梯形”的面积； 当时，设， ∴， ∴， 解得， ∴“和谐梯形”的面积； 综上所述，“和谐梯形”的面积为或10； （3）解：是等腰三角形，理由如下： 延长到点E，使， ∵为“和谐梯形”的和谐线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【经典例题四 根据矩形的性质求面积】 【例1】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，P，Q分别为，上的点，，交于点M，已知与的面积差，若要求矩形的周长，则还需要知道以下哪条线段的长（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，先整理得，再结合图形得，因为已知与的面积差，则只需要知道的长，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则 ， 要求矩形的周长，求出即可， 现已知与的面积差， 则只需要知道的长． 故选：A． 【例2】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，用长为米的铝合金制成如图窗框，已知矩形，矩形，矩形的面积均相等，设的长为米，则的长是______米．（用含，的代数式表示）    【答案】 【分析】设，根据矩形，矩形，矩形的面积均相等，得出，再根据窗户框的总长为米，得出，从而表示出的长． 【详解】解：设， 矩形，矩形，矩形的面积均相等，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，列代数式，关键是根据矩形面积公式表示出的长． 1．（24-25八年级下·浙江金华·期末）在一块矩形铁皮上裁去一个小矩形得到了如图所示的直角铁皮．用一条直线将该直角铁皮分成面积相等的两部分，则符合条件的直线有（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，掌握矩形是中心对称图形是解题的关键． 根据矩形的性质分析即可． 【详解】解：如图，补全原图为两个矩形， ∵矩形是中心对称图形，分别是大小两个矩形的对称中心， ∴当直线经过时，必定平分该该直角铁皮的面积， 设交左边长方形的边于点F，交右边长方形的边于点E，的中点为O，N，G为右边长方形的顶点， 当这条直线绕点O旋转时，直线只要经过内部，均平分直角铁皮的面积； 因此还能存在无数条直线将该直角铁皮分成面积相等的两部分， 故选：D． 2．（2024·八年级下 江苏泰州）已知为半的直径，，点是半圆内任意一点，以为边在半圆下方作矩形，连接，记，，，的面积分别为，，，若要求的值，需要添加的条件是（    ）    A．的长度 B．到的距离 C．到的距离 D．到的距离 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形面积等知识，求出到的距离，到的距离，则，求出到的距离（到的距离），求出到的距离，即可得到答案. 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵到的距离，到的距离， ∴ ∵到的距离（到的距离） ∴（到的距离） 到的距离， ∴若要求的值，需要添加的条件是到的距离， 故选：C 3．（2024·八年级下 江西南昌）《增删算法统宗》有这样一首诗：“今有坡田一段，西高东下增量．十步五寸是斜长，南北均阔六丈．欲要修为平埌，东增一丈新墙．不知几许请推详，须要算皆停当．”大意：今有一段坡田，量得斜坡长为10步5寸（50.5尺），宽为6丈（60尺），想要修整为平地，需在东边修一新墙，墙高为1丈（10尺），如图，则矩形平地的面积为 ____________亩．（1步尺，1尺寸，1丈尺，1亩平方尺） 【答案】0.495/ 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的性质，根据题意，先求出（尺）因此矩形的面积为：（平方尺），再根据1亩平方尺，即可得出矩形的面积为：（亩） 【详解】为10步5寸（50.5尺），墙高为1丈（10尺），， （尺） 宽为6丈（60尺）， （平方尺）， 矩形的面积为：（亩）， 故答案为：0.495． 4．（24-25八年级下·河北沧州·期中）如图，乙矩形的面积是甲矩形面积的，它们的长宽比也都是，乙矩形的长是15厘米． (1)求甲矩形的面积是多少？ (2)把图①中乙矩形向左平移得到图②，重叠部分又是一个长宽比为的矩形，这个矩形的面积是多少平方厘米？ (3)如果把这两个矩形随意重叠放置，如图③，求甲、乙两矩形未重叠部分的面积差． 【答案】(1)225平方厘米 (2)48.6平方厘米 (3)90平方厘米 【分析】（1）根据长宽比求出乙矩形的宽，再求出乙矩形的面积根据面积比可求得甲矩形的面积． （2）乙矩形的宽作为重叠部分的矩形的长根据长宽比求出宽，即可求出重叠部分的矩形的面积． （3）重叠部分都在两个矩形里，未重叠部分面积差实际等于两个矩形面积的差． （平方厘米） 【详解】（1）解：乙矩形的宽为（厘米）， 乙矩形的面积为（平方厘米）， 根据题意，得甲矩形的面积为（平方厘米）， 答：甲矩形的面积是225平方厘米． （2）解：（厘米），（平方厘米）， 答：重叠部分矩形的面积是48.6平方厘米． （3）解：假设重叠部分的面积是平方厘米， （平方厘米）， 答：甲、乙两矩形未重叠部分的面积之差是90平方厘米． 【点睛】本题考查了矩形相关计算．熟练掌握矩形性质，长宽比计算，面积公式，面积比计算，平移、叠合性质，是解题的关键． 【经典例题五 利用矩形的性质证明】 【例1】（2024·八年级下 河南南阳）如图，将一个装有水的矩形量杯如图放置，使得杯内水面刚好经过点，若 ，则水杯底面与水平面夹角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，矩形的性质，平行公理，平角的定义，掌握平行线的性质及矩形的性质是解题的关键．根据平行公理得到，再利用平行线的性质得到，最后利用矩形的性质及平行线的性质即可解答． 【详解】解：过点作， ∵是水平面， ∴， ∴， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选．    【例2】（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期末）小明在学习矩形时发现：在矩形中，点E是边上一点，过点E作交边CD于点F，若，则．他的证明思路是：利用矩形的性质得三角形全等，从而使问题得以解决．请根据小明的思路将下面证明过程补充完整．    证明：四边形是矩形， ，， ① °． ， ， ， ② ． 又， ③ ， ④ ． ⑤ ． 又， ． 【答案】①90； ②；③；④；⑤ 【分析】由直角三角形性质得出①，根据平角定义得出②，由全等的判定方法得出③④，由三角形全等性质得到⑤． 【详解】解：四边形是矩形， ，， °（直角三角形两锐角互余）． ， ， ， （同角的余角相等）． 又， （已知）， ． （全等三角形的对应边相等）． 又， ． 【点睛】本题考查了矩形性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定是解题关键． 1．（2025·八年级下 安徽）点E是矩形内一点，连接，已知，下列结论不正确的是（    ） A．若，则 B．的最小值为20 C．若的面积等于的面积，则的面积等于的面积 D．若，则 【答案】A 【分析】由全等三角形的性质得，无法证明对应边相等，得出无法证明，可判断A不正确；求出对角线的长，然后根据三角形三边的关系求出的最小值为20，可判断B正确；根据可判断C正确；由相似三角形的性质得出，，即可证明、、三点共线，利用等积法得出,可证明D正确． 【详解】解：如图， A∵，∴． ∵无法证明对应边， ∴无法证明，故该选项不正确； B．连接，∵，∴．∵，，∴的最小值为20，故正确； C．∵，的面积等于的面积，∴的面积等于的面积，故正确； D．如图， ∵， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴、、三点共线，， ∴，即， 解得：，故正确 故选A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，相似三角形的性质，难度一般． 2．（2025·八年级下 广东）如图，已知四边形是矩形，点B在直线上，若平分，则下列结论不能推出的是（   ） A．平分 B． C．是等边三角形 D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，根据矩形的性质，得到，，进而得到，角平分线推出，进而得到，得到，根据等角的余角相等，推出，即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴；故选项B正确； ∴，故选项D正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴平分；故选项A正确； ∵， ∴是等腰三角形，无法得到是等边三角形，故选项C错误； 故选C． 3．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，把矩形绕点C旋转，得到矩形，且点E落在上，连接，，交于点H，连接，若平分，则下列结论正确的是______． ①；②；③；④． 【答案】①③/③① 【分析】过点作于点，由旋转的性质得：，证明和，根据全等三角形的性质逐一判定即可． 【详解】解：过点作于点， ， 在矩形中，， ， 由旋转的性质得：， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，③正确； ，①正确； 设，则， ， ，②错误； ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ，则④错误； 综上，结论正确的有①③． 4．（2026·八年级下 浙江温州）如图，在矩形中，E是的中点，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，根据E是的中点得到，可知； （2）根据E是的中点得到，根据勾股定理求出，根据全等三角形的性质得到，即可求出的周长． 【详解】（1）证明：在矩形中，，． 为中点， ． ； （2）解：， ． ，． ． ， ． 的周长为． 【经典例题六 求矩形在坐标系中的坐标】 【例1】（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)，若直线y=kx−k−1将矩形OABC分成面积相等的两部分，则k的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由条件可先求得矩形OABC的中心坐标，再由直线分矩形面积相等的两部分可知直线过矩形的中心，代入可求得k的值． 【详解】解：如图，连接OB、AC交于点D， ∵四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)， ∴点D的坐标为（2，1）， ∵直线y=kx−k−1（k是常数）将四边形OABC分成面积相等的两部分， ∴直线过点D， 则2k-k-1=1， 解得：k=2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，掌握过矩形中心的直线平分矩形面积是解题的关键． 【例2】（24-25八年级下·新疆哈密·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是_______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质和点的坐标，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 先由矩形的性质得出线段的长，再结合点的坐标即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ∴点的坐标为， 故答案为：． 1．（2026·八年级下 湖南岳阳）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，轴于点，以为圆心、的长为半径画弧，交于点；再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意确定点、的坐标，利用尺规作图的性质得出平分，结合角平分线的性质及全等三角形判定得出，设点坐标构建方程求解即可． 【详解】解：点的坐标为，轴，轴，， ，，，．四边形是矩形 以为圆心、的长为半径画弧交于点， ． 在中，， 点的坐标为． 由作图可知，平分，即． 点在上，轴， 点的横坐标为， 设，则． 连接， 平分， ∴ 又∵ ， ，． ∴． 在： ， 解得． 点的坐标为． 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形，点、在轴、轴上，，将矩形绕着点C顺时针旋转得到矩形，再将矩形，绕着点顺时针旋转得到矩形，按此方式依次进行，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转依次找出所求点的对应坐标，分析得到规律即可找到其相应的坐标． 【详解】解：∵， ∴在矩形中，，， ∵第一次将矩形绕右下角顶点顺时针旋转得到矩形，且， 第二次再将矩形绕右下角顶点顺时针旋转得到矩形，且， 然后再重复以上过程，旋转4次一个循环，每一个循环结束，点A的对应点横坐标增加6个单位，在一个循环中点A纵坐标依次为2，0，1， ∴依此规律，，． 3．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，四边形是矩形，其中点和点分别在轴和轴上，连接，点的坐标为，的平分线与轴相交于点，则点的坐标为__________．    【答案】 【分析】利用勾股定理求出，作于点E，如图，根据角平分线的性质可得，证明，推出，得到，设，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，点的坐标为， ∴， ∴， 作于点E，如图， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在直角三角形中，根据勾股定理可得：， 即，解得， ∴点的坐标为； 故答案为：．    【点睛】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、构建方程是解题的关键． 4．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，，点B在第一象限，D是长方形边上的一个动点，设，且，连接．    (1)长方形的周长为　 　． (2)若点D在长方形的边上，且线段把长方形的周长分成两部分，求点D坐标； (3)若点D在长方形的边上，将线段向下平移3个单位长度，得到对应线段（F为点D的对应点），连接，求三角形的面积（可用含m的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）已知长度，即可求出周长； （2）由题意得：，根据此式可求出的长度，即可得出答案； （3）画出图形，根据即可求出． 【详解】（1）解：长方形的周长为：； （2）解：由题意得：， 设，则， ∴， 解得：， ∴； （3）解：如图，    由题意得：，， ∴，，， ∴； 【点睛】本题考查四边形综合问题，熟练使用面积转化的方法表示三角形的面积是解题关键． 【经典例题七 矩形与折叠问题】 【例1】（2026·八年级下 河北邢台）如图，将矩形沿折叠，点，的对应点分别为点交于点，已知与的度数之比为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，根据折叠的性质，平行线的性质，推出，再根据三角形的内角和定理求出，即可． 【详解】解：由题意，设，， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【例2】（2026·八年级下 辽宁铁岭）如图，将矩形纸条如图折叠，若，则的度数是________． 【答案】/度 【分析】本题可利用矩形纸条对边平行的性质，结合折叠前后对应角相等的特点，通过平角的定义建立与的数量关系，进而求解的度数． 【详解】解：由图题意可得折痕为， ，令点是延长线上一点， ∵，， ∴， 由折叠的性质可知，， ． ， ， ． 1．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，将矩形纸片沿对折，使与重合，再将沿折叠，使点A的对应点N落在折痕上，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由折叠的性质可得，，，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得，，， ∴ ． 2．（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理；解题的关键是由折叠性质得，结合平行线内错角相等推出，从而，设，在中用勾股定理列方程求解． 【详解】解：矩形沿折叠，点落在点处， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 3．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为__________． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得出，易得四边形是矩形，则，，根据勾股定理可得：，根据，即可求解． 【详解】解：∵将边折叠到边上得到，折痕为， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴四边形是矩形，，， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵将沿着折叠，边恰好落在边上， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴． 4．（25-26八年级下·广东珠海·期中）我们常用的书籍和纸张的长与宽都有固定的规格，例如纸张的长与宽是，，长与宽的比值接近．这样的纸张具有对折不变形，还便于缩放，装订与归档，裁切过程几乎无边角料．这样比例的折叠屏手机，内外屏的比例就是一样的，堪称折叠完美比例． 已知长方形的长与宽分别是，．若按图1所示的方式折叠，点E，F分别是，的中点，将长方形沿对折，打开后得到的长方形仍为“长与宽的比值为”的长方形． (1)若按图2所示的方式折叠长方形，先沿对折，使点B落在上，对应点是点H．再沿对折，使点C落在上，对应点是点N． ①长方形________（填“是”或“不是”）为“长与宽的比值为”的长方形； ②边长________，边长________． (2)若按图3所示的方式折叠长方形，先沿对折，使得点C落在上，对应点是点Q．再沿对折，使得点A落在上，对应点是点T． ①求的度数； ②若图2中的点M折叠后对应点是点R，连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)①是；②， (2)①；②见解析 【分析】（1）①根据折叠的性质分别求出，，再求出比值即可得解； ②由①即可得解； （2）①根据折叠的性质和勾股定理可证，可得，根据折叠的性质即可得解； ②根据折叠的性质可得，，，可证，进而证明，再根据，，可证，即可得证． 【详解】（1）①解：由折叠可知， ， ， 长方形是“长与宽的比值为”的长方形； ②解：由①知，． （2）①解：沿对折，C落在上的Q， ． 在中，，， ， ， ， ． 由折叠可知，平分， ． ②证明：由折叠可知：，，， ， ， ． ， ． ， ． ． ，， ． ∴四边形是平行四边形． 【经典例题八 证明四边形是矩形】 【例1】（25-26八年级下·福建福州·期中）要判断一个四边形门框是否为矩形，下列测量方法可行的是（   ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量对角线是否相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量三个角是否为直角 【答案】D 【分析】根据矩形的判定定理，判断各选项的测量方法能否推出该四边形是矩形即可． 【详解】解：A、 两组对边分别相等的四边形只能判定为平行四边形，无法确定是矩形，故本选项的测量方法不可行； B、 对角线相等的四边形不一定是矩形，故本选项的测量方法不可行； C、一组对角为直角的四边形，无法推出其余两个角也为直角，不能判定是矩形，故本选项的测量方法不可行； D、四边形内角和为，若三个角为直角，则第四个角为，四个角都为直角的四边形是矩形，故本选项的测量方法可行． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中， ∵，且， ∴四边形是_______形． ， ∴四边形是_______形． 【答案】平行四边，矩 【分析】根据两组对边分别平行得到四边形是平行四边形，再根据有一个角为直角的平行四边形是矩形可得四边形是矩形． 【详解】解：∵，且， ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是矩形． 1．（25-26八年级下·福建福州·期中）数学实践课上，同学们需要制作矩形框架，小组成员完成后，通过测量各框架的边，角或对角线，得到以下数据，其中形状不一定是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图中所给条件无法判断A中的四边形是矩形；根据对角线相等且平分的四边形是矩形可判断B中的四边形是矩形；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断C和D中的四边形是矩形． 【详解】解：A．如图，∵， ∴． ∵， ∴， ∴无法判断四边形是矩形；      B．如图，， ， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形；      C．如图，∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形；      D．如图，∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 2．（2025·八年级下 安徽芜湖）在凸四边形中，，，点在线段（不与端点重合）上，且，连接，．则下列结论错误的是（   ） A． B．若，则 C． D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，根据题意添加合适的辅助线是解题关键． A、证得，可推得，即可求解； B、通过题意进行等量代换即可求解； C、延长，作于点，证得四边形是矩形，结合直角三角形的斜边与两条直角边的关系即可求解； D、结合C选项和勾股定理即可求解． 【详解】解：A、根据题意，如图所示： 在和中， ， ， ， ， ， ， ，故A选项正确，但不符合题意； B、，， ， ， ， ，故B选项正确，但不符合题意； C、如图，延长，作于点， ， 四边形是矩形， ， 是的斜边， ， ， ，故C选项正确，但不符合题意； D、由C选项得：， 在中，， 无法判断和的大小，故D选项错误，但符合题意． 故选：D． 3．（24-25八年级下·福建·期中）如图，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；再次折叠纸片，使点B，P分别落在与上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，，展平纸片，连接，．有如下5个结论：①四边形是矩形；②；③；④；⑤．其中一定正确的有______． 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的判定和性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质，矩形的判定和性质逐一判定即可． 【详解】在矩形中，， ∵B，P两点重合，折痕为， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，①是正确的； ∵点B，P的对应点分别为，，折痕为l， ∴，②是正确的； 由第一次折叠可得：， 由矩形得：， ∴， ∴，④是正确的； 由第一次折叠可得：， 由第二次折叠可得：， ∴，⑤是正确的； 不能判定③，正确的有：①②④⑤， 故答案为：①②④⑤． 4．（25-26八年级下·江苏南京·期中）某工人想制作一个长为80，宽为60的矩形窗框，为此，他截出两对长为60，80的铝合金材料，如图（1）． (1)他将铝合金材料摆成如图（2）所示的四边形窗框，这时窗框的形状是______，依据是______； (2)在（1）中，他继续调整窗框的形状，使得对角线的长度为100，固定窗框如图（3），判断此时四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形 (2)矩形，理由见解析 【分析】（1）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （2）根据勾股定理的逆定理可以判断出四边形中有一个角为直角，再根据矩形的定义即可判断四边形为矩形． 【详解】（1）解：由题意可知，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定四边形是平行四边形 （2）解：四边形是矩形，理由如下： ，，， 为矩形． 【经典例题九 矩形的判定定理理解】 【例1】（24-25八年级下·全国·课后作业）要判定四边形是矩形，以下不可行的是（   ） A．先判定它是平行四边形，再说明它有一个角是直角 B．说明它的两组对边分别平行且对角线相等 C．说明它的一组对边平行、一组对边相等、对角线相等 D．说明它的邻角都互补、且有一对邻角相等 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定，根据矩形的定义以及判定进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵有一个直角的平行四边形是矩形 ∴先判定它是平行四边形，再说明它有一个角是直角 故该选项是能判定四边形是矩形； B、∵对角线相等的平行四边形是矩形 ∴说明它的两组对边分别平行且对角线相等 故该选项是能判定四边形是矩形； C、∵等腰梯形满足一组对边平行、一组对边相等、对角线相等 ∴说明它的一组对边平行、一组对边相等、对角线相等，不能判定四边形是矩形 故该选项是符合题意； D、∵有三个直角的四边形是矩形 ∴说明它的邻角都互补、且有一对邻角相等 故该选项是能判定四边形是矩形； 故选：C． 【例2】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）当停车场的闸门由抬起变为平放状态时，图中的平行四边形变成了我们熟悉的矩形，判断的依据是___________． 【答案】有一个角是直角的平行四边形为矩形 【分析】因为闸门抬起变平放时，平行四边形的一个内角变为直角，所以可依据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”来判断． 【详解】解：∵停车场闸门的结构对边始终平行，本身是平行四边形； ∴闸门放平后，平行四边形出现了一个直角，根据矩形的判定定理，此时该平行四边形成为矩形． 1．（24-25八年级下·全国·期中）有一组对角是直角，且另一组对角不相等的四边形叫作准矩形．有下列命题：①直角梯形是准矩形；②准矩形中，夹一个直角的两边的平方和等于夹另一个直角的两边的平方和；③准矩形的对角互补．其中，真命题有（   ）． A．①②③ B．② C．③ D．②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查准矩形，熟练掌握准矩形的定义是解题的关键．根据准矩形的定义进行判断即可． 【详解】解：①直角梯形并不是对角是直角，故不是准矩形，①错误； 准矩形中，， ， ， 夹一个直角的两边的平方和等于夹另一个直角的两边的平方和，②正确； 准矩形中，，故， 四边形的内角和为， ，故③正确； 故选D． 2．（24-25八年级下·河北邯郸·月考）某儿童乐园摩天轮的正面示意图如图所示，若每个舱看作一个点，任意选择四个点，则以这四个点为顶点的四边形是矩形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定，根据矩形的对角线相等，且互相平分，即可求解． 【详解】解：依题意，矩形有三个， 故选：C． 3．（24-25八年级下·全国·暑假作业）如图，在矩形中，，，点从点出发，向点以的速度匀速运动，点以的速度从点出发，在、两点之间往返匀速运动，两点同时出发，点到达点时停止运动（同时点也停止运动）．设运动时间为，这段时间内，当的值为_____时，以、、、为顶点的四边形是矩形． 【答案】2.4或4或7.2 【分析】首先由矩形得到，，然后得到，则四边形是矩形，然后根据题意分情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】根据题意，当点从点运动到点的过程中，点将按照运动． 四边形是矩形， ，． ． 若，则四边形是矩形． 根据题意，得． 当时，， ∴， 解得． 当时，， ∴， 解得．当时，， ， 解得． 当时，， ， 解得，此时无法构成矩形，故舍去． 综上所述，当或4或7.2时，以、、、为顶点的四边形是矩形． 故答案为：2.4或4或7.2． 【点睛】此题考查了矩形动点问题，矩形的性质和判定，一元一次方程的应用，解题的关键是分情况讨论． 4．（2025·八年级下 山东临沂）在学习矩形的判定时，教科书中给出了这样一个问题： 思考 我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ (1)通过这个问题的研究，我们发现并证明了矩形的一个判定定理是________． (2)请证明这个定理（先画出图形，再写出“已知”“求证”，最后写出证明过程）． 【答案】(1)对角线相等的平行四边形是矩形 (2)见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识是解题的关键； 对于（1），根据题意解答即可； 对于（2），先写出已知，求证，再证明，先根据平行四边形的性质证明，可得，然后根据平行线的性质求出，则答案可得． 【详解】（1）解：对角线相等的平行四边形是矩形； 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形； （2）解：已知：在中，对角线． 求证：四边形是矩形． 证明：∵在中， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， ∴是矩形． 【经典例题十 添一条件使四边形是矩形】 【例1】（25-26八年级下·江苏南通·期中）要使平行四边形是矩形，需要增加的一个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：平行四边形中邻边相等可判定为菱形，只能说明平行四边形是菱形，不能判定为矩形，则A错误； 选项B：矩形的判定定理为对角线相等的平行四边形是矩形，平行四边形中，平行四边形是矩形，则B正确； 选项C：平行四边形本身具有对角相等的性质，是平行四边形固有的性质，不能判定它是矩形，则C错误； 选项D：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，只能判定平行四边形是菱形，不能判定为矩形，则D错误． 【例2】（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，在中，对角线，相交于点，要使得成为矩形，应添加的一个条件是________．（只需写一个条件） 【答案】 （答案不唯一） 【分析】依据矩形的判定定理进行解答即可． 【详解】解：添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定； 或添加，根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形即可判定． 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）下列条件：①；②；③；④．其中能够判定为矩形的有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质与矩形的判定定理，结合矩形的判定条件逐一分析每个条件是否能判定平行四边形为矩形即可． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ∴，无法判定其为矩形； ②∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴为矩形； ③∵，四边形是平行四边形， ∴为矩形； ④∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴为矩形； 综上，能够判定为矩形的有个． 故选：C． 2．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）如图，已知书架是平行四边形，对角线，相交于点．小明准备用绳子和三角尺检查这个书架是否为矩形，下列验证方法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据矩形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、不能判定平行四边形是矩形，故A选项符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，故B不符合题意； C、∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，故C不符合题意； D、∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，故D不符合题意； 故选：A． 3．（2026·八年级下 黑龙江）如图，在平行四边形中，点在对角线上，且，连接，．请添加一个条件_________，使四边形为矩形（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行四边形的性质得到，根据全等三角形的判定定理证明四边形为平行四边形，进而即可得到答案． 【详解】解：添加，理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ． 在和中， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是矩形． 4．（湖南常德市2026年上学期八年级数学试卷）如图，点在的边上，，请从这三个选项①；②；③中，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形． (1)你添加的条件是_______（填序号）； (2)添加条件后，证明为矩形． 【答案】(1)①或③ (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的判定条件，结合已知条件，判断三个选项中哪些能推出平行四边形为矩形，其中①和③可行，②不可行． （2）分别对添加条件①、③的情形进行证明，通过等腰三角形性质、平行四边形性质，推导出平行四边形的一个内角为，从而证明其为矩形；同时说明添加条件②无法证明的原因． 【详解】（1）解：添加的条件可以是：①或③． （2）证明：情形一：添加条件①， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，即． ∵， ∴． 又∵四边形是平行四边形， 四边形为矩形． 情形二：添加条件③ ∵四边形是平行四边形， ∴，． 在和中， ， ∴（）， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． 说明：添加条件②无法证明， ∵， ∴恒成立（等腰三角形两底角相等）， 该条件是已知条件的直接推论，无法额外提供能推出四边形为矩形的信息，故无法证明． 【经典例题十一 根据矩形的性质与判定求角度】 【例1】（23-24八年级下·江西抚州·期中）两个矩形的位置如图所示，若则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由补角的定义可得，由题意可得，，则有，即可得解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，余角与补角，解答的关键是明确互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180° 【例2】（2023·八年级下 河南）如图所示，把一张矩形纸片按如图所示方法进行两次折叠，得到等腰Rt△ABC，若S△ABC＝2，则S△ACD＝__． 【答案】4+4 【分析】根据折叠的性质可得，分别求出，，求出，即可得出． 【详解】解：如图：过点作于点， 是等腰直角三角形，， ，即， ， 折叠， ，， 纸片为矩形， 折叠后，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠问题，矩形的性质，等腰直角三角形，三角形的面积，勾股定理，通过折叠得出是解题的关键. 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的内角为直角是解题的关键． 根据平行四边形对角线相等的性质判定为矩形，利用矩形的角为直角，结合已知角度计算的度数． 【详解】解：∵在中，对角线， ∴四边形是矩形， ． ， ． 故选：A． 2．（2024·八年级下 陕西渭南）如图，在矩形ABCD中，对角线分得到的两个角的度数之比是，延长至点E，连接交于点，若上有一点，使得，且，则的长为（　　） A．2.5 B． C． D．3 【答案】D 【分析】由矩形中，对角线分得到的两个角的度数之比是，，且，得，，由，得，，由，得，得，得，即可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵对角线分得到的两个角的度数之比是， ∴设，则， ∴， 解得：， ∴，， ∴，， ∵， ∴设，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，三角形的外角定理，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．（2023·八年级下 陕西西安）如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和矩形ABFG，则∠EAG＝_____． 【答案】18° 【分析】根据四边形ABFG是矩形，得到∠GAB=90°，根据五边形ABCDE是正五边形，得到∠EAB=108°，利用∠EAG＝∠EAB-∠GAB计算即可． 【详解】∵四边形ABFG是矩形， ∴∠GAB=90°， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠EAB=108°， ∴∠EAG＝∠EAB-∠GAB =108°-90° =18°, 故答案为:18°． 【点睛】本题考查了矩形的性质,正五边形的内角和定理，熟练掌握正五边形和矩形的内角和是解题的关键． 4．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知，中，是边的中线． 阅读：学习全等三角形知识后，我们知道，当出现三角形的中线时，通常用倍长中线构造“X”型全等的方法来解决问题． 如图1，延长到点E，使，连接，则有以下两个常见结论：①； ②．利用这两个结论解决下列问题． (1)如图1，若，直接写出的取值范围为：__________； (2)如图2，在中，．求证：． (3)如图3，点G在的上方，点F在的延长线上，连接，若．求证：． 【答案】(1)1，5 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质． （1）先证明，推出，，根据三角形的三边关系得到，进而推出； （2）延长至点F，使，连接，可得，推出，求出，同理，得到四边形是矩形，即可证得； （3）连接，延长至点E，使，则，，由此得到，,再证明，得到，推出，由，得到，求出即可． 【详解】（1）证明：如图， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）延长至点F，使，连接， 可得， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （3）如图，连接，延长至点E，使， 则，． ∴，, ∵． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【经典例题十二 根据矩形的性质与判定求线段长】 【例1】（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．先根据勾股定理可得，连接，根据矩形的判定与性质可得，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：，，， ， 如图，连接， ， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时， ， 即线段的最小值为， 故选：A． 【例2】（25-26八年级下·湖南邵阳·期中）如图，跷跷板正中间的支撑杆垂直于地面，支撑杆高为．当跷跷板一端与地面接触时，另一端达到最高，则最高点距离地面的高度为______cm． 【答案】80 【分析】过点D作于F，得四边形是矩形，推出，，，再证明，得到，进而得到． 【详解】解：如图，由题意得，， 过点D作于F， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 1．（2026·八年级下 河南南阳）如图，在中，于点，点在边上运动，于点于点，连接．若，则的长不可能是（   ） A． B．8 C． D．9 【答案】A 【分析】连接，根据矩形的性质和垂线段最短可知，的最小值即为的最小值，当时，取得最小值，根据平行四边形的面积进行解答即可． 【详解】解：连接， ∵于点于点，于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值即为的最小值， ∴当时，取得最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为， 则的长不可能是． 2．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，在梯形中，，，E为边上一点，过E点作，交于点F，过点E作，垂足为G．下列说法中不正确的是（   ） A． B．线段的长是与之间的距离 C．连接，则 D．线段的长是与之间的距离 【答案】B 【分析】利用平行线的性质、平行线之间的距离以及三角形的面积公式逐项进行判断． 【详解】解：A.∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故该选项正确； B.∵四边形是梯形，，且， ∴， ∴线段的长不是与之间的距离， 故该选项错误； C. ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 故该选项正确； D.∵，， ∴线段的长是与之间的距离， 故该选项正确． 3．（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，已知线段，点是线段上的一动点，于点，于点，且，若，由勾股定理可知，，当时，_______；的最小值为_______． 【答案】 / 13 【分析】本题考查勾股定理，利用轴对称求最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由勾股定理求得，，即可求的值； 作点关于的对称点，连接交于点，则的长就是的最小值，过点作的平行线交的延长线于点， 【详解】解：当时，，， ∴； 如图，作点关于的对称点，连接交于点，则的长就是的最小值，过点作的平行线交的延长线于点，利用勾股定理求得即可求解． ∴，， ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理可知． 所以的最小值为13． 故答案为：；13． 4．（2026·八年级下 河南商丘）如图1，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点P，Q．的延长线交于点M． (1)试判断与的数量关系，并证明； (2)当时，如图2，连接，射线交于点N． ①请判断与的数量关系，并证明； ②若的两直角边的比为，请直接写出的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①，证明见解析；②的值为或 【分析】（1）连接，证出即可； （2）①延长，交于点，先证出，再证出即可； ②设的两直角边长分别为，则，过点作于点，则四边形是矩形，再分两种情况：（Ⅰ）当时，（Ⅱ）当时，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：，证明如下： 如图1，连接， ∵在中，，将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：①，证明如下： 如图2，延长，交于点， 由（1）已证：， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ②由题意，设的两直角边长分别为， 则， 由旋转的性质得：， 如图3，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， （Ⅰ）当时，则， ∴， ∴在中，， 由（2）①已证：， ∴， ∴； （Ⅱ）当时，则， ∴， ∴在中，， 由（2）①已证：， ∴， ∴； 综上，的值为或． 【经典例题十三 根据矩形的性质与判定求面积】 【例1】（24-25八年级下·福建龙岩·期末）如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交、于点E、F，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．21 C．14 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，掌握矩形的性质是解题关键．过点作，分别交、于点M、N，由矩形的性质推出，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过点作，分别交、于点M、N， 则四边形、、、都是矩形， ，，，，， 四边形是矩形， ， ，即， ， 阴影部分的面积为， 故选：C 【例2】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）某四边形的对角线相等，且相互平分，相邻两边的边长分别为，则该四边形的面积为______． 【答案】6 【分析】此题考查了矩形的判定和性质．先证明四边形是矩形，根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形的对角线相等，且相互平分， ∴四边形为矩形， ∵相邻两边的边长分别为，即矩形的长、宽分别为， ∴四边形的面积为 故答案为：6 1．（2023·八年级下 浙江宁波）如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，设，，的面积分别为，若要求出的值，只需知道(   )    A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．矩形的面积 【答案】C 【分析】过点作，交的延长线于点，的延长线于点，易得：，利用矩形的性质和三角形的面积公式，可得，再根据，得到，即可得出结论． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，的延长线于点，    ∵矩形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴只需要知道的面积即可求出的值； 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，求三角形的面积．解题的关键是得到 2．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平移的性质、矩形的性质，根据平移的性质求出空白部分的长和宽，根据矩形的面积公式计算，得到答案．解题的关键是掌握平移的性质：平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置；图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离；连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等． 【详解】解：∵将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形， ∴，， ∴空白部分是平行四边形， ∵， ∴空白部分是矩形，且长为：，宽为：， ∴阴影部分的面积为：， 即阴影部分的面积为． 故选：D． 3．（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图，李大爷有一块四边形的菜地，已知，，，，，则这块四边形菜地的面积为________． 【答案】 【分析】过C作于H，先证明四边形是矩形得到，，再证明是等腰直角三角形得到，进而利用矩形和三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过C作于H，则， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，又，， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴这块四边形菜地的面积为． 4．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，在中，，E、F分别是的中点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据的性质以及线段中点的意义证明四边形是平行四边形，再由等腰三角形三线合一得到，即可证明四边形是矩形； （2）先证明为等边三角形，结合三线合一得到，再由勾股定理求解，即可求解面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ∵E、F分别是的中点， ，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ，E为中点， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：∵在中，=6，， ∴是等边三角形， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ， ∴在中， ∴矩形的面积． 【拓展训练一 根据矩形的性质解决相关问题】 【例1】（25-26八年级下·山东青岛·期中）多米诺骨牌是起源于中国北宋时期的游戏，小明同学将块多米诺骨牌按以下规则摆放，第1块竖着放，从第2块起适当倾斜，其平面图形如图，点、、、、、．．．都在同一条直线上，，，，均为，依次类推．若最后一块骨牌仍能倾斜在前一块骨牌上，则的最大值为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】延长交于点S，根据矩形的性质和直角三角形的性质可求出，由平角的定义可得，再根据三角形外角的性质和直角三角形的性质可得，则可推出第m块多米诺骨牌与地面所夹的角（非钝角）的度数为，据此可得不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长交于点S， 由题意得，每块多米诺骨牌都是矩形， ∴， ， ∴ ， ∴； ∵， ∴， 同理可得，，……， 以此类推可知，第m块多米诺骨牌与地面所夹的角（非钝角）的度数为， ∴， ∴， 又∵m为正整数， ∴m的最大值为9． 【例2】（25-26八年级下·重庆·月考）如图，矩形的对角线相交于点，将沿射线的方向平移，点、分别与点、重合，连接，若，则______．（请用含的式子表示） 【答案】 【分析】根据矩形的性质，平移的性质，推出为等腰三角形，等边对等角，进行求解即可． 【详解】解：设交于点， ∵矩形， ∴， ∴， ∵平移， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． 1．（25-26八年级下·重庆巴南·期中）如图，矩形中，点为边的中点，连接，过作交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点G，证明，可得，从而得到，进而得到，然后根据余角的性质可得，再根据三角形外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵点E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点，，点在上，若，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为边作等边三角形，连接，证明，得到，，进而求出，得到，推出，最后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图，以为边作等边三角形，连接， ，， ， ， 由矩形的性质可得， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，构造等边三角形是解题的关键． 3．（25-26八年级下·四川成都·月考）矩形中，，O是的中点，点E在直线上，且，若与关于直线对称，则的长为 ____________________ ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质，图形轴对称的性质，勾股定理，分两种情况讨论来求解是解题的关键．当点E在边上时，根据轴对称的性质，得到，再根据矩形的性质，利用勾股定理求出，即得答案；当点E在的延长线上时，同理可求得，即得答案． 【详解】解：当点E在边上时，如图①， 与关于直线对称， ， 四边形是矩形， ， ， ； 当点E在的延长线上时，如图②， 四边形是矩形， ， ， 与关于直线对称， ， ， ； 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 4．（25-26八年级下·福建福州·期中）入相补原理是我国数学史中一条用于推证几何图形面积或体积的基本原理．出入相补原理就是所说的“割补法”，也即“以盈补虚法”，用现代语言来说，即“一个平面图形从一处移置他处，面积不变．又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积．出入相补原理简单易明且应用广泛，体现了中国古代数学的独特风格． (1)中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．其方法如下：如图1，在中，分别取、的中点、，连接．过点作，垂足为．将沿和剪开，得到三块图形，通过平移拼接可以证明三角形面积公式．请结合以上阅读内容，证明拼接后的图形形状为矩形，并证明的面积等于． (2)如图2，对于钝角三角形，利用出入相补法的思路，给出该三角形的一个面积公式，在图中画出相应的分割，并对关键步骤作出说明． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）先证明，，，四点共线，然后证明和平行且相等，根据一个角是直角的平行四边形是矩形即可求证结果； （2）类比（1）中的方法，分别取，的中点，过作中点连线的垂线段，把三角形分成三部分，再拼成一个矩形即可． 【详解】（1）证明：由操作可知，， ， ， ， 同理，， ，，，四点共线， ，， ， 又，， ， 四边形是矩形， ，， ， ; （2）如图， 在中，分别取、的中点、，连接， 过点作，垂足为， 过点作，垂足为， 过点作，垂足为， 将沿和剪开，得到三块图形， 将三角形拼接到三角形处，拼成直角三角形， 再把三角形拼接到三角形处得到矩形， 三角形的面积恰好等于矩形的面积， 由图可知：， ， ， , ． 【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的性质，三角形的面积，关键学会类比迁移． 【拓展训练二 根据矩形的性质和判定解决相关问题】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线平分，且平移恰好到．下列结论中：①平分；②；③平分；④．一定正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，矩形的判定和性质，角平分线的计算，根据题意得到，，可判定①正确；根据平行四边形，矩形的判定方法得到四边形是矩形，由此可判定②③④，由此即可求解． 【详解】解：∵，即， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； ∵平移到， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴，故②正确； ∵四边形是矩形， ∴，，故④正确， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵平分，即， ∴， ∴平分，故③正确； 综上所述，正确的有4个， 故选：D ． 【例2】（2023·八年级下 安徽滁州）在数学“折向未来”的活动课上，小明用如图所示的长方形纸片折四边形，，点E，F分别是，边上的中点，G为边上任意一点，将，分别沿，翻折，使点D，点B分别落在长方形内的点，处，当点D落在线段上时，则___________________，连接，则的最小值为 ____________________．    【答案】 【分析】由矩形的性质得，，，，再由点E，F分别是，边上的中点，进一步证明四边形和四边形都是矩形，则，，由翻折得，，，当点在上，由勾股定理得出，再利用勾股定理解出即可；连接，则，由，得，即可得出的最小值． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， ∵点E，F分别是，边上的中点， ∴， ， ∴，，，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，， 由翻折得，，， ∵点在上， ∴， ∴， ∵， 即， 解得：； 连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：，．    【点睛】本题主要考查了矩形的判定以及性质，翻转的性质，三角形的三边关系，勾股定理的应用，掌握翻转的性质是解题的关键． 1．（25-26八年级下·安徽安庆·月考）如图，在中，，，点E在上，且，点F在边上运动，以为斜边向右上方作等腰直角三角形，，连接，当的长最小时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．以及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．过点G作于点M，于点N，证明四边形为矩形，，得到点G在的平分线上，当时，最小，证明，设，根据，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图1，过点G作于点M，于点N． ， 四边形为矩形， ， ， ， 在和中， ，， ， ， 点G在的平分线上． 当时，最小，此时，如图2， 平分， ， ， 是以为斜边的等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，设， ， ， 在中，， ， ， ． 故选A． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）已知在中，，平分，且满足，则下列四个结论：①，②，③，④，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由勾股定理可得，即可证得，延长至，使得，连接，，过点作交于，交延长线于，则四边形是矩形，，可证，得，则，则，由，知，可知，则，得，可证，在上取，可知，得，，则，过点作交于，则为等腰直角三角形，易证，再结合，，得，可证得，可得，类比此法，在取，则为等腰直角三角形，可证得，进而可得． 【详解】解：在中，， ∵， ∴，则，故①正确； 延长至，使得，连接，， 过点作交于，交延长线于，则四边形是矩形，， ∴，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，则， ∴为等腰直角三角，则， 又∵， ∴， ∴，则， 即：， ∴，故③正确； 由上可知，则， 在上取，可知， ∴，，则， 过点作交于，则为等腰直角三角形， ∴，，则， 又∵，， ∴， ∴，则， ∴，故②正确； 在取，则为等腰直角三角形， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的性质以及勾股定理等知识，综合性强，较难．正确的作出辅助线是解题关键． 3．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，四边形中，，，在边上，且，若，，则的长为________．    【答案】 【分析】延长至，使得，证明，进而根据已知条件得出，可得，过点作于点，则是矩形，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至，使得， ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴，    ∵ 设，则， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 过点作于点，则是矩形， ∴， ∴， ∵，则 在中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 4．（25-26八年级下·湖北宜昌·期中）如图1，在中，，为边上一点，连接，以、为邻边作平行四边形，与相交于点，已知． (1)平行四边形是否为矩形？请说明理由； (2)求证：； (3)如图2，将绕点顺时针旋转适当的角度，得到（点M是与延长线的交点）．取，连接并延长，交于，请问在旋转过程中，点的位置变不变，若变，请说明理由；若不变，请求出点的位置． 【答案】(1)平行四边形是矩形，理由见详解 (2)见详解 (3)点的位置不变，点是的中点，理由见详解 【分析】（1）根据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可判定； （2）设，根据等边对等角，三角形内角和定理得到，由此即可求解； （3）根据题意可得，结合（2）得到，，则，由此即可求解． 【详解】（1）解：平行四边形是矩形，理由如下， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， ∴平行四边形是矩形； （2）证明：设， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：点的位置不变，点是的中点，理由如下， 将绕点顺时针旋转适当的角度，得到， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知，设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点，即点的位置不变． 【拓展训练三 矩形的性质在折叠情景下的应用】 【例1】（2026·八年级下 山东泰安）如图，科技社团的同学们用矩形硬纸板制作立体模型，其中一个结构的制作需将纸板沿折叠得到，折叠后与交于点E，已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可得，，由平行线的性质及直角三角形的性质求出，根据折叠的性质可得，进而可求解． 【详解】解：在矩形中，，， ，， 由折叠可知：， ， ， ． 【例2】（2026·八年级下 浙江衢州）如图，矩形是一张长宽比为的标准纸，将矩形纸片沿折叠，使得点C落在点处，且A，，E三点在同一直线上，则______． 【答案】/ 【分析】设矩形的长为，宽为，根据矩形的性质得，，，根据折叠的性质得，，，则，利用勾股定理求出，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，即可解答． 【详解】解：设矩形的长为，宽为， 则，，， 由折叠的性质得，，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 1．（2026·八年级下 河北保定）如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先补全折叠前的矩形，得，由折叠得，故可得，从而可判断选项A；过点B作交于点E，可得，由折叠的性质得，可得，计算出，故可判断B；由得，即，进一步得出，化简得，可判断选项C；由于点M，N位置不确定，不能得出，故可判断选项D． 【详解】解：如图，补全折叠前的矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴，故A选项正确，不符合题意； 过点B作交于点E， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， 化简得，故C选项正确，不符合题意； 由于点M，N位置不确定，因此不一定是， ∴不一定是， ∴不一定平行，故D选项错误，符合题意． 2．（25-26八年级下·广东深圳·月考）如图，四边形是长方形，连接，点在边上，将沿着翻折，的对应边落在对角线上，将沿着翻折，点的对应点恰好与点重合，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，根据折叠可得则，，设，得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， 根据折叠可得， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即的度数是． 故选：D． 3．（2026·八年级下 湖北随州）如图，矩形中，，，点E在的延长线上，是由沿直线翻折而得，且，连接．则 （1）的长是________； （2）的面积是________． 【答案】 1 【分析】（1）根据翻折的性质和平行线的性质得到，然后根据等边对等角可知，最后由勾股定理求得，进而利用线段的和差即可解答； （2）先根据翻折的性质和直角三角形两锐角互余求得，然后利用即可解答． 【详解】解：（1）由翻折可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵矩形中，，， ∴， ∴； （2）由（1）可知，，，， 由翻折可知，，，， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴． 4．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）已知矩形纸片中，，点E为边上不与端点重合的一动点，将纸片沿翻折至长方形所在平面内得到． (1)若，则的度数为_____°； (2)如图①，的顶点F恰好落在边上，求的长； (3)如图②，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】(1)50 (2) (3)或 【分析】（1）根据折叠可知，据此求解即可； （2）在矩形折叠问题中，出现求线段长度，优先考虑勾股方程：易求，则，在中利用勾股定理建立方程求解即可； （3）分两种情况：①当时，作辅助线，构建直角三角形，利用角直角三角形的性质求得的长；②当时，作辅助线，构建直角三角形，设未知数，根据勾股定理列方程可求得的长． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 根据折叠可知， ∴， （2）解：在矩形中， 由折叠可得， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； （3）解：当是以为腰的等腰三角形时，分两种情况： ①当时，如图，过F作于M，交于点N， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴是长方形的对称轴， 如图③，连接，    ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 由折叠得：， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时，如图④，过F作，交于G，交于H，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，对角线，交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D．所在直线为矩形的对称轴 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识． 根据矩形的性质对每个选项进行逐一分析判断． 【详解】解：A、矩形的对角线不一定平分一组对角．在矩形中，只有当矩形为正方形时，对角线才会平分，即，故该选项错误，不符合题意； B、矩形的对角线相等且互相平分，所以，故选项说法正确，符合题意； C、矩形的对角线相等且互相平分，所以，只有当的内角中有一个角为，可得到是等边三角形，才能得到，故该选项错误，不符合题意； D、矩形是轴对称图形，但是所在直线不是矩形的对称轴，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）已知四边形，其中，，将沿折叠，落于，交于，且为平行四边形（如图）；再将纸片展开，将沿折叠，使点落在上一点（如图）．在两次折叠过程中，两条折痕、的夹角的度数为（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】如图，过作于点，过作于点，可证，得到，即得，设，，可得，由四边形是矩形得，即得，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，则， 在图中，∵，为平行四边形， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴， 设，，则， 由折叠可得：， ∵，， ∴ ， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．有一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形 B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查的是矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 根据矩形的判定定理分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、有一个角是直角且对角线相等的四边形不一定是矩形，该选项说法错误，不符合题意； B、一组对边平行且有一个角是直角的四边形不一定是矩形（如直角梯形），该选项说法错误，不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，该选项说法错误，不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，该选项说法正确，符合题意； 故选：D． 4．（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图，这是一块面积为的矩形空地，已知该空地的长宽之比为，现要在空地的四角开发面积均为的正方形用来安置不同的游乐设施，中间阴影部分为蹦床乐园，则蹦床乐园的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设矩形空地的长为，宽为 ，根据面积求出的值；根据四角正方形面积求出其边长；最后利用矩形面积公式计算阴影部分面积． 【详解】解：设矩形空地的长为，宽为 ， 矩形空地面积为， ， 解得：或（舍去）， 矩形空地的长为，宽为， 四角正方形面积均为 ， 正方形边长为， 由图可知，阴影部分为矩形，其长为、宽为， 阴影部分面积为． 5．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在矩形中，对角线、交于点O．延长至点E，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可知，结合，可证明四边形是平行四边形，所以，所以，再根据矩形的性质证明，可得，即可求得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ． 6．（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，在矩形中，、交于点，于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质可得，在中利用两锐角互余求出的度数，进而得到的度数，最后利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·重庆·阶段检测）如图，在长方形中，，，点是平面内的一个动点，连接、，且的面积始终等于长方形面积的，连接，，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点到的距离为，根据长方形的性质及三角形面积公式可得，得，若点在长方形内，如图，过点作于点，延长交于点，延长至点，使，连接、，证明四边形为矩形得，再根据垂直平分线的性质得，推出，当点、、共线时，取“”，此时取得最小值，最小值为的长，在中，；若点在长方形内，则点在的延长线上， 此时，通过比较可得答案． 【详解】解：设点到的距离为， ∵的面积始终等于长方形面积的，，， ∴，，，， ∴， ∴，点到的距离为， 若点在长方形内， 如图，过点作于点，延长交于点，延长至点，使，连接、， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 当点、、共线时，取“”，此时取得最小值，最小值为的长， 在中，； 若点在长方形外，则点在的延长线上， ∴， ∴， 此时； ∵， ∴最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，两点之间线段最短，勾股定理等知识点，掌握矩形的判定和性质、两点之间线段最短是解题的关键． 8．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，E是线段上一动点，和是位于直线同侧的顶角相等的两个等腰三角形，的底与它自己的高相等，的底与它自己的高相等，若，则下列结论错误的是（    ） A．若E是的中点，则 B．若，则 C．若，则是直角三角形 D．若的面积是，则 【答案】D 【分析】如图，过点C作于F，利用三线合一求出，然后利用勾股定理求解即可判断A；如图，过点C作于F，过点D作于G，过点C作于H，求出，同上求出，，证明出四边形是矩形，得到，，然后利用勾股定理求解即可判断B；同上表示出，，，然后利用勾股定理的逆定理即可判断C；如图，过点E作于P，设，根据题意表示出，，然后根据的面积是求解即可判断D． 【详解】解：A．如图，过点C作于F ∵，E是的中点 ∴ 根据题意得，， ∴ ∴，故A正确，不符合题意； B．如图，过点C作于F，过点D作于G，过点C作于H， ∵， ∴ 根据题意得，， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴四边形是矩形 ∴， ∴ ∴，故B正确，不符合题意； C．若， ∴ 同上可得，，，，， ∴， ∴ ∴，， ∴ ∴是直角三角形，故C正确，不符合题意； D．如图，过点E作于P 设 根据题意得，，，，， ∴， ∴ ∴ ∴ 根据题意得，，， ∴ ∴ ∵的面积是， ∴ 解得或 ∴或，故D错误，符合题意． 9．（25-26八年级下·全国·周测）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．已知下列6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥．不能使四边形ABCD成为矩形的组合是（    ） A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥ 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形与矩形的判定，掌握矩形的判定需先证平行四边形，再结合对角线相等或有一个角是直角是解题的关键． 对每个选项，先判断能否证明四边形为平行四边形，再看能否进一步判定为矩形，从而找出不能判定的组合． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形，不符合题意． B、∵，，， ∴， ∴， ， ， ， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形，不符合题意． C、， ∴四边形是平行四边形， 平行四边形的对边相等，可得到， 即当时，不能得出四边形是矩形，符合题意． D、∵，， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是矩形，符合题意． 故选：C． 10．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，矩形的顶点在轴的负半轴上，顶点在第二象限内，对角线与的交点为．将矩形沿轴正方向滚动（无滑动），使其一边保持落在轴上，点的对应点分别为，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、点的坐标规律问题，先求出的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，根据此规律写出的坐标即可． 【详解】解：矩形的顶点，顶点， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为． 故选：D． 11．（23-24八年级·全国·暑假作业）如图，长方形纸两边与坐标轴重合，点B的坐标为，B点沿对折后的对应点落在y轴上，则直线的函数表达式为__．    【答案】 【分析】求出点E和点C的坐标，利用待定系数法求出直线的函数表达式即可． 【详解】解：∵长方形纸两边与坐标轴重合，点B的坐标为， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为． 故答案为： 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式、矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，求出点E和点C的坐标是解题的关键． 12．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，矩形的对角线与相交于点O，以，为邻边作平行四边形，交于点；以，为邻边作平行四边形，若矩形的面积等于a，则四边形的面积=________． 【答案】 【分析】先求出平行四边形，平行四边形的面积，探究规律后即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形，四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 同理可得：，，……， ∴． 13．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，在矩形中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接．若，则的长为____． 【答案】 【分析】由作图得，垂直平分，得到，然后表示出，由矩形得到，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：由作图得，垂直平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ ∴． 14．（25-26八年级下·浙江丽水·期中）如图，在中，点，分别在边，上，折叠使得点落在边上的点处，若，，，则线段长度的最大值为______． 【答案】 【分析】分别过点、作的垂线，垂足为、，由平行四边形的性质可得，则是等腰直角三角形，计算得．容易证明四边形是矩形，则，结合垂线段最短可得的最小值为．由折叠的性质可得，则的最小值为，因此的最大值为． 【详解】解：如图，分别过点、作的垂线，垂足为、， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴，解得， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴当最小时，最大， ∵垂线段最短， ∴，即的最小值为， ∴的最大值为． 15．（2026·八年级下 陕西咸阳）如图，在中，，连接，，点在上，连接，将沿折叠至位置，连接．若，，则的长为___________． 【答案】3 【分析】作交延长线于点，作于点，则，根据平行四边形的性质得到，根据勾股定理求出，根据折叠的性质得到，，设，在和中利用勾股定理列出方程，求出的值，得到，，通过证明四边形是矩形，推出，，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：如图，作交延长线于点，作于点， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将沿折叠至位置， ∴，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 16．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图,矩形中，，，点P从A点出发沿方向匀速运动,速度为；同时点Q从B点出发沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为（），解答下列问题： (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； (3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)当时,四边形的面积为 (2)时, (3)时, 【分析】（1）根据列方程求解即可； （2）根据勾股定理得，再列方程求解即可； （3）根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，， 由题意，得，，，， ， ， 整理，得， ，（舍去）， 当时，四边形的面积为． （2）解：由勾股定理，得，， 当时，， 所以， 即， 解得，（舍去）， 时，． （3）解：连接， 若， ， ∴， 即， 解得， 时，． 17．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）有一块长，宽的矩形铁皮，在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长． 【答案】 【分析】设裁去的正方形的边长为，则可得这个长方体盒子的底面的长是，宽是，再由矩形面积公式建立方程求解． 【详解】解：设裁去的正方形的边长为，则可得这个长方体盒子的底面的长是，宽是， ∴， 整理得， 解得， 当时，此时，不符合题意； 当，此时，，符合题意 ∴小正方形的边长为． 18．（25-26八年级下·全国·期中）在长方形中，，点P从点A出发，沿着的路径以每秒2个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒（）． (1)当时，求的面积； (2)当t为何值时，的面积为长方形面积的一半？ (3)是否存在某一时刻t，使得为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)24； (2)或或； (3)存在，，或，或． 【分析】（1）当时，，，P与点B重合，Q在上；的面积为24； （2）长方形的面积为，其一半为24；分①当时，②当时， ③当时, ④当时， ⑤当时， ⑥当时，六种情况讨论，求得符合条件的t值有或或； （3）分①当时， 当时,当时，三种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解． 【详解】（1）解：当时，点P运动的路程为， 此时点P在上，； 点Q运动的路程为， 此时点Q在上，，； ∴. （2）解：长方形的面积为，其一半为24； 当时，点P在上，点Q在上， ∴， ∴， ∴， 解得； 当时，P在上，Q在上， ∵； ； ； ； ∴， ∴， 即， 解得（超出此阶段，舍去）； 当时，P在上，Q在上， ∵， ∴， 解得（舍去）， 当时，P在上，Q在上， ∵，， ∴， 解得，不合题意舍去； ⑤当时，P、D重合，Q在上， 不存在； 当时，P、D重合，Q在上， ∵， ∴， 解得． 综上，符合条件的t值有：或或． （3）解：存在，理由： 当时，此时P在上，Q在上， 过Q作于E， 则，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，, ∵， ∴， 化简，得， 解得， ∵此时， ∴； 当时，， ∵， ∴， 化简，得， 解得 ∴． 故t值有：，或，或． 【点睛】本题考查了矩形与三角形综合题．熟练掌握矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形面积公式，分类讨论，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 19．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，点E是线段的中点，连接，，延长交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，当________时，四边形是矩形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)13，理由见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，则，证明，得，根据对边平行且相等，即可证明四边形是平行四边形； （2）当时，，由平行四边形的性质得，则，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 20．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）综合与实践： 项目主题：纸的研究 学习小组在研究生活中常用的纸的规格，并了解到工业上关于纸张规格的一些知识．书籍和纸张的长与宽的比值都有固定的尺寸，一矩形纸张对折后的小矩形的长与宽的比值与原矩形的长与宽的比值相等．如常用的、、、、的纸张长与宽的比值都相等． 系列中最大的规格为，对半裁开得到，再对裁得到，…，以此类推得到，如图所示． [初步研究]查阅资料得知纸张的规格如下： 规格 长（） 宽（） 长与宽的比值（保留两位小数） (1)①请计算纸的长与宽的比值（保留两位小数）约为 ，通过查阅资料，可知系列纸的长宽比值接近一个无理数，请你猜想这个数是 ； ②按照图的系列纸生成过程，请求出纸的长与宽的比； (2)如图，在矩形中，，，点是边上一点，将沿折叠得到，当时，求的长． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】（）①根据表格解答即可；②由题意可得，即得，即可求解； （）延长 交于点，利用矩形和折叠的性质可证，四边形是平行四边形，得到 ，，又由得，即得，得到，利用平行线的性质可得 ，得到，再根据 即可求解； 本题考查了折叠的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定，掌握矩形和折叠的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：①由表格可得， ，猜想， 故答案为：，； ②由题意得，， ∴， ∴； （2）解：如图，延长交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠可得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1 矩形重难点题型专训 （3个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 矩形性质理解 题型二 利用矩形的性质求角度 题型三 根据矩形的性质求线段长 题型四 根据矩形的性质求面积 题型五 利用矩形的性质证明 题型六 求矩形在坐标系中的坐标 题型七 矩形与折叠问题 题型八 证明四边形是矩形 题型九 矩形的判定定理理解 题型十 添一条件使四边形是矩形 题型十一 根据矩形的性质与判定求角度 题型十二 根据矩形的性质与判定求线段长 题型十三 根据矩形的性质与判定求面积 拓展训练一 根据矩形的性质解决相关问题 拓展训练二 根据矩形的性质和判定解决相关问题 拓展训练三 矩形的性质在折叠情景下的应用 知识点一：矩形的定义及性质 1. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形是特殊的平行四边形． 2.数学语言描述：如图，在ABCD中，若，则ABCD是矩形． 矩形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 对边相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相平分 ， 对称性 轴对称图形，对角线的交点是它的对称轴，共有两条 中心对称图形，对称中心是两条对角线7的交点 【即时训练】 1．（25-26八年级下·湖南娄底·期中）关于矩形的性质，下列说法不一定正确的是（    ） A．对角线互相垂直 B．对边相等 C．对角线相等 D．四个角都相等 2．（2026·八年级下 宁夏银川）如图，长为6，宽为4的矩形中阴影部分的面积是___________． 知识点二：直角三角形的性质定理 1. 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 2. 数学语言描述：如图，在Rt 中，，D为AC 的中点,则 ． 3. 定理的逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 在中，若，且D为AC的中点，则为直角三角形． 【即时训练】 1.（2025·八年级下 河南信阳）如图，钝角中，，D为边的中点，若，，则的长可能为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2.（24-25八年级下·河南许昌·期中）如图，在矩形中，，过对角线的中点O作，分别交于E、F，点G为的中点，若，则的长为 ．      知识点三：矩形的判定 【即时训练】 1．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，李师傅在做门窗时，已经测得门窗是平行四边形后，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理（    ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．两点确定一条直线 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．两点之间，线段最短 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，用一张矩形纸片折出一个正方形，只需把一个角沿折痕翻折上去，使和边上的重合，则展开铺平后所得的四边形就是一个正方形，判断的依据是______________________． 【经典例题一 矩形性质理解】 【例1】（24-25八年级下·全国·单元测试）下列说法：①矩形是轴对称图形；②矩形是中心对称图形；③矩形的对角线相等；④矩形的对角线互相垂直；⑤矩形的每条对角线平分一组对角．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）荡秋千是深受大家喜爱的一项活动，某秋千垂直地面时踏板离地面的距离为米，将踏板水平推动3米（米），此时踏板与地面的距离为米，若推动过程中拉绳始终拉得很直，则秋千的拉绳的长度为_____米． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列性质中，矩形不一定具有的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在长方形的中，已知，，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以A，B，P为顶点的三角形和以，C，Q为顶点的三角形全等，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2或1 D．4或3 3．（24-25八年级下·陕西商洛·期中）如图，点是矩形外一点，连接，过点作分别交，于点，．已知．则的度数为______． 4．（25-26八年级下·广东东莞·期中）某居民小区有块矩形绿地，矩形绿地的长为，宽为，现要在矩形绿地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为． (1)求矩形的周长．（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建为通道，通道上要铺设价为6元的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【经典例题二 利用矩形的性质求角度】 【例1】（2026·八年级下 湖北荆州）如图，一束光线射入一块透明的矩形玻璃砖发生折射现象，光的传播路径会发生改变，光线路径为（不在同一条直线上），射入光线与射出光线平行，即．若射入光线与玻璃砖边的夹角度数为，那么射出光线与玻璃砖边夹角度数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026八年级下·黑龙江大庆·专题练习）如图，是矩形的对角线，平分交于点E．若，则___． 1．（25-26八年级下·河南商丘·期中）翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图（1）是翻花绳的一种图案，可以抽象成右图，在矩形中，，，，的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·八年级下 河南）如图，莹莹将一个直角三角尺与矩形纸片按如图所示放置，与交于点，，，莹莹通过测量发现恰好平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，已知矩形的对角线、相交于点O，，垂足为H，如果，那么______°． 4．（25-26八年级下·北京大兴·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点．求的度数． 【经典例题三 根据矩形的性质求线段长】 【例1】（2024·八年级下 山西长治）某地为落实乡村振兴战略，在每个乡镇自然村都建设老年活动中心，某村老年活动中心如图中三角形区域，现计划在活动区域外围建宽的绿化带，为了美观，绿化带三个拐弯处设计为弧形，已知图中三角形周长为，则绿化带的面积为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图，矩形的两条边、的长分别为3和4，则矩形的对角线_____，点P是边上的一个动点，点P到矩形两条对角线的距离与之和为_____． 1．（25-26八年级下·河北衡水·开学考试）两个矩形纸片A，B按如图的三种位置放置，测量数据如图所示，已知矩形纸片A，B的长相等，下列判断错误的是（    ） A．矩形A的长与宽的差为 B．矩形B的长与宽的差为2 C．矩形A的周长为10 D．矩形B的周长为12 2．（23-24八年级下·山西临汾·期末）将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放，使点B，C，G在同一条直线上，点E在边上，连接，，．若，，则的面积为（   ） A．13 B．26 C． D． 3．（2026八年级下 吉林·专题练习）如图，把一张标准纸一次又一次对折，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸、……当标准纸的短边长为a时，“16开”纸的短边长为________（用含a的代数式表示） 4．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）定义：如果一个梯形的一条对角线等于上、下底之和，那么称这个梯形为“和谐梯形”，这条对角线称为“和谐线”． (1)【概念理解】如图①，在梯形中，，，若，，，则梯形________（填“是”或“不是”）“和谐梯形”，“和谐线”是对角线________； (2)【方法应用】如图②，在矩形中，，点E、F分别在边和上，且，当梯形为“和谐梯形”时，直接写出“和谐梯形”的面积； (3)【拓展提升】如图③，在“和谐梯形”中，对角线为“和谐线”，，与交于点O，判断的形状，并说明理由． 【经典例题四 根据矩形的性质求面积】 【例1】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，P，Q分别为，上的点，，交于点M，已知与的面积差，若要求矩形的周长，则还需要知道以下哪条线段的长（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，用长为米的铝合金制成如图窗框，已知矩形，矩形，矩形的面积均相等，设的长为米，则的长是______米．（用含，的代数式表示）    1．（24-25八年级下·浙江金华·期末）在一块矩形铁皮上裁去一个小矩形得到了如图所示的直角铁皮．用一条直线将该直角铁皮分成面积相等的两部分，则符合条件的直线有（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条 2．（2024·八年级下 江苏泰州）已知为半的直径，，点是半圆内任意一点，以为边在半圆下方作矩形，连接，记，，，的面积分别为，，，若要求的值，需要添加的条件是（    ）    A．的长度 B．到的距离 C．到的距离 D．到的距离 3．（2024·八年级下 江西南昌）《增删算法统宗》有这样一首诗：“今有坡田一段，西高东下增量．十步五寸是斜长，南北均阔六丈．欲要修为平埌，东增一丈新墙．不知几许请推详，须要算皆停当．”大意：今有一段坡田，量得斜坡长为10步5寸（50.5尺），宽为6丈（60尺），想要修整为平地，需在东边修一新墙，墙高为1丈（10尺），如图，则矩形平地的面积为 ____________亩．（1步尺，1尺寸，1丈尺，1亩平方尺） 4．（24-25八年级下·河北沧州·期中）如图，乙矩形的面积是甲矩形面积的，它们的长宽比也都是，乙矩形的长是15厘米． (1)求甲矩形的面积是多少？ (2)把图①中乙矩形向左平移得到图②，重叠部分又是一个长宽比为的矩形，这个矩形的面积是多少平方厘米？ (3)如果把这两个矩形随意重叠放置，如图③，求甲、乙两矩形未重叠部分的面积差． 【经典例题五 利用矩形的性质证明】 【例1】（2024·八年级下 河南南阳）如图，将一个装有水的矩形量杯如图放置，使得杯内水面刚好经过点，若 ，则水杯底面与水平面夹角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期末）小明在学习矩形时发现：在矩形中，点E是边上一点，过点E作交边CD于点F，若，则．他的证明思路是：利用矩形的性质得三角形全等，从而使问题得以解决．请根据小明的思路将下面证明过程补充完整．    证明：四边形是矩形， ，， ① °． ， ， ， ② ． 又， ③ ， ④ ． ⑤ ． 又， ． 1．（2025·八年级下 安徽）点E是矩形内一点，连接，已知，下列结论不正确的是（    ） A．若，则 B．的最小值为20 C．若的面积等于的面积，则的面积等于的面积 D．若，则 2．（2025·八年级下 广东）如图，已知四边形是矩形，点B在直线上，若平分，则下列结论不能推出的是（   ） A．平分 B． C．是等边三角形 D． 3．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，把矩形绕点C旋转，得到矩形，且点E落在上，连接，，交于点H，连接，若平分，则下列结论正确的是______． ①；②；③；④． 4．（2026·八年级下 浙江温州）如图，在矩形中，E是的中点，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的周长． 【经典例题六 求矩形在坐标系中的坐标】 【例1】（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)，若直线y=kx−k−1将矩形OABC分成面积相等的两部分，则k的值为（    ） A． B． C．2 D． 【例2】（24-25八年级下·新疆哈密·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是_______． 1．（2026·八年级下 湖南岳阳）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，轴于点，以为圆心、的长为半径画弧，交于点；再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形，点、在轴、轴上，，将矩形绕着点C顺时针旋转得到矩形，再将矩形，绕着点顺时针旋转得到矩形，按此方式依次进行，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，四边形是矩形，其中点和点分别在轴和轴上，连接，点的坐标为，的平分线与轴相交于点，则点的坐标为__________．    4．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，，点B在第一象限，D是长方形边上的一个动点，设，且，连接．    (1)长方形的周长为　 　． (2)若点D在长方形的边上，且线段把长方形的周长分成两部分，求点D坐标； (3)若点D在长方形的边上，将线段向下平移3个单位长度，得到对应线段（F为点D的对应点），连接，求三角形的面积（可用含m的式子表示）． 【经典例题七 矩形与折叠问题】 【例1】（2026·八年级下 河北邢台）如图，将矩形沿折叠，点，的对应点分别为点交于点，已知与的度数之比为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026·八年级下 辽宁铁岭）如图，将矩形纸条如图折叠，若，则的度数是________． 1．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，将矩形纸片沿对折，使与重合，再将沿折叠，使点A的对应点N落在折痕上，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为__________． 4．（25-26八年级下·广东珠海·期中）我们常用的书籍和纸张的长与宽都有固定的规格，例如纸张的长与宽是，，长与宽的比值接近．这样的纸张具有对折不变形，还便于缩放，装订与归档，裁切过程几乎无边角料．这样比例的折叠屏手机，内外屏的比例就是一样的，堪称折叠完美比例． 已知长方形的长与宽分别是，．若按图1所示的方式折叠，点E，F分别是，的中点，将长方形沿对折，打开后得到的长方形仍为“长与宽的比值为”的长方形． (1)若按图2所示的方式折叠长方形，先沿对折，使点B落在上，对应点是点H．再沿对折，使点C落在上，对应点是点N． ①长方形________（填“是”或“不是”）为“长与宽的比值为”的长方形； ②边长________，边长________． (2)若按图3所示的方式折叠长方形，先沿对折，使得点C落在上，对应点是点Q．再沿对折，使得点A落在上，对应点是点T． ①求的度数； ②若图2中的点M折叠后对应点是点R，连接，求证：四边形是平行四边形． 【经典例题八 证明四边形是矩形】 【例1】（25-26八年级下·福建福州·期中）要判断一个四边形门框是否为矩形，下列测量方法可行的是（   ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量对角线是否相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量三个角是否为直角 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中， ∵，且， ∴四边形是_______形． ， ∴四边形是_______形． 1．（25-26八年级下·福建福州·期中）数学实践课上，同学们需要制作矩形框架，小组成员完成后，通过测量各框架的边，角或对角线，得到以下数据，其中形状不一定是矩形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·八年级下 安徽芜湖）在凸四边形中，，，点在线段（不与端点重合）上，且，连接，．则下列结论错误的是（   ） A． B．若，则 C． D．若，则 3．（24-25八年级下·福建·期中）如图，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；再次折叠纸片，使点B，P分别落在与上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，，展平纸片，连接，．有如下5个结论：①四边形是矩形；②；③；④；⑤．其中一定正确的有______． 4．（25-26八年级下·江苏南京·期中）某工人想制作一个长为80，宽为60的矩形窗框，为此，他截出两对长为60，80的铝合金材料，如图（1）． (1)他将铝合金材料摆成如图（2）所示的四边形窗框，这时窗框的形状是______，依据是______； (2)在（1）中，他继续调整窗框的形状，使得对角线的长度为100，固定窗框如图（3），判断此时四边形的形状，并说明理由． 【经典例题九 矩形的判定定理理解】 【例1】（24-25八年级下·全国·课后作业）要判定四边形是矩形，以下不可行的是（   ） A．先判定它是平行四边形，再说明它有一个角是直角 B．说明它的两组对边分别平行且对角线相等 C．说明它的一组对边平行、一组对边相等、对角线相等 D．说明它的邻角都互补、且有一对邻角相等 【例2】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）当停车场的闸门由抬起变为平放状态时，图中的平行四边形变成了我们熟悉的矩形，判断的依据是___________． 1．（24-25八年级下·全国·期中）有一组对角是直角，且另一组对角不相等的四边形叫作准矩形．有下列命题：①直角梯形是准矩形；②准矩形中，夹一个直角的两边的平方和等于夹另一个直角的两边的平方和；③准矩形的对角互补．其中，真命题有（   ）． A．①②③ B．② C．③ D．②③ 2．（24-25八年级下·河北邯郸·月考）某儿童乐园摩天轮的正面示意图如图所示，若每个舱看作一个点，任意选择四个点，则以这四个点为顶点的四边形是矩形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级下·全国·暑假作业）如图，在矩形中，，，点从点出发，向点以的速度匀速运动，点以的速度从点出发，在、两点之间往返匀速运动，两点同时出发，点到达点时停止运动（同时点也停止运动）．设运动时间为，这段时间内，当的值为_____时，以、、、为顶点的四边形是矩形． 4．（2025·八年级下 山东临沂）在学习矩形的判定时，教科书中给出了这样一个问题： 思考 我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ (1)通过这个问题的研究，我们发现并证明了矩形的一个判定定理是________． (2)请证明这个定理（先画出图形，再写出“已知”“求证”，最后写出证明过程）． 【经典例题十 添一条件使四边形是矩形】 【例1】（25-26八年级下·江苏南通·期中）要使平行四边形是矩形，需要增加的一个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，在中，对角线，相交于点，要使得成为矩形，应添加的一个条件是________．（只需写一个条件） 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）下列条件：①；②；③；④．其中能够判定为矩形的有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）如图，已知书架是平行四边形，对角线，相交于点．小明准备用绳子和三角尺检查这个书架是否为矩形，下列验证方法错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·八年级下 黑龙江）如图，在平行四边形中，点在对角线上，且，连接，．请添加一个条件_________，使四边形为矩形（填一个即可）． 4．（湖南常德市2026年上学期八年级数学试卷）如图，点在的边上，，请从这三个选项①；②；③中，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形． (1)你添加的条件是_______（填序号）； (2)添加条件后，证明为矩形． 【经典例题十一 根据矩形的性质与判定求角度】 【例1】（23-24八年级下·江西抚州·期中）两个矩形的位置如图所示，若则的度数为(    ) A． B． C． D． 【例2】（2023·八年级下 河南）如图所示，把一张矩形纸片按如图所示方法进行两次折叠，得到等腰Rt△ABC，若S△ABC＝2，则S△ACD＝__． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·八年级下 陕西渭南）如图，在矩形ABCD中，对角线分得到的两个角的度数之比是，延长至点E，连接交于点，若上有一点，使得，且，则的长为（　　） A．2.5 B． C． D．3 3．（2023·八年级下 陕西西安）如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和矩形ABFG，则∠EAG＝_____． 4．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知，中，是边的中线． 阅读：学习全等三角形知识后，我们知道，当出现三角形的中线时，通常用倍长中线构造“X”型全等的方法来解决问题． 如图1，延长到点E，使，连接，则有以下两个常见结论：①； ②．利用这两个结论解决下列问题． (1)如图1，若，直接写出的取值范围为：__________； (2)如图2，在中，．求证：． (3)如图3，点G在的上方，点F在的延长线上，连接，若．求证：． 【经典例题十二 根据矩形的性质与判定求线段长】 【例1】（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值为(    ) A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·湖南邵阳·期中）如图，跷跷板正中间的支撑杆垂直于地面，支撑杆高为．当跷跷板一端与地面接触时，另一端达到最高，则最高点距离地面的高度为______cm． 1．（2026·八年级下 河南南阳）如图，在中，于点，点在边上运动，于点于点，连接．若，则的长不可能是（   ） A． B．8 C． D．9 2．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，在梯形中，，，E为边上一点，过E点作，交于点F，过点E作，垂足为G．下列说法中不正确的是（   ） A． B．线段的长是与之间的距离 C．连接，则 D．线段的长是与之间的距离 3．（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，已知线段，点是线段上的一动点，于点，于点，且，若，由勾股定理可知，，当时，_______；的最小值为_______． 4．（2026·八年级下 河南商丘）如图1，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点P，Q．的延长线交于点M． (1)试判断与的数量关系，并证明； (2)当时，如图2，连接，射线交于点N． ①请判断与的数量关系，并证明； ②若的两直角边的比为，请直接写出的值． 【经典例题十三 根据矩形的性质与判定求面积】 【例1】（24-25八年级下·福建龙岩·期末）如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交、于点E、F，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．21 C．14 D．10 【例2】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）某四边形的对角线相等，且相互平分，相邻两边的边长分别为，则该四边形的面积为______． 1．（2023·八年级下 浙江宁波）如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，设，，的面积分别为，若要求出的值，只需知道(   )    A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．矩形的面积 2．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图，李大爷有一块四边形的菜地，已知，，，，，则这块四边形菜地的面积为________． 4．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，在中，，E、F分别是的中点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【拓展训练一 根据矩形的性质解决相关问题】 【例1】（25-26八年级下·山东青岛·期中）多米诺骨牌是起源于中国北宋时期的游戏，小明同学将块多米诺骨牌按以下规则摆放，第1块竖着放，从第2块起适当倾斜，其平面图形如图，点、、、、、．．．都在同一条直线上，，，，均为，依次类推．若最后一块骨牌仍能倾斜在前一块骨牌上，则的最大值为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【例2】（25-26八年级下·重庆·月考）如图，矩形的对角线相交于点，将沿射线的方向平移，点、分别与点、重合，连接，若，则______．（请用含的式子表示） 1．（25-26八年级下·重庆巴南·期中）如图，矩形中，点为边的中点，连接，过作交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点，，点在上，若，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·四川成都·月考）矩形中，，O是的中点，点E在直线上，且，若与关于直线对称，则的长为 ____________________ ． 4．（25-26八年级下·福建福州·期中）入相补原理是我国数学史中一条用于推证几何图形面积或体积的基本原理．出入相补原理就是所说的“割补法”，也即“以盈补虚法”，用现代语言来说，即“一个平面图形从一处移置他处，面积不变．又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积．出入相补原理简单易明且应用广泛，体现了中国古代数学的独特风格． (1)中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．其方法如下：如图1，在中，分别取、的中点、，连接．过点作，垂足为．将沿和剪开，得到三块图形，通过平移拼接可以证明三角形面积公式．请结合以上阅读内容，证明拼接后的图形形状为矩形，并证明的面积等于． (2)如图2，对于钝角三角形，利用出入相补法的思路，给出该三角形的一个面积公式，在图中画出相应的分割，并对关键步骤作出说明． 【拓展训练二 根据矩形的性质和判定解决相关问题】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线平分，且平移恰好到．下列结论中：①平分；②；③平分；④．一定正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（2023·八年级下 安徽滁州）在数学“折向未来”的活动课上，小明用如图所示的长方形纸片折四边形，，点E，F分别是，边上的中点，G为边上任意一点，将，分别沿，翻折，使点D，点B分别落在长方形内的点，处，当点D落在线段上时，则___________________，连接，则的最小值为 ____________________．    1．（25-26八年级下·安徽安庆·月考）如图，在中，，，点E在上，且，点F在边上运动，以为斜边向右上方作等腰直角三角形，，连接，当的长最小时，的值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）已知在中，，平分，且满足，则下列四个结论：①，②，③，④，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，四边形中，，，在边上，且，若，，则的长为________．    4．（25-26八年级下·湖北宜昌·期中）如图1，在中，，为边上一点，连接，以、为邻边作平行四边形，与相交于点，已知． (1)平行四边形是否为矩形？请说明理由； (2)求证：； (3)如图2，将绕点顺时针旋转适当的角度，得到（点M是与延长线的交点）．取，连接并延长，交于，请问在旋转过程中，点的位置变不变，若变，请说明理由；若不变，请求出点的位置． 【拓展训练三 矩形的性质在折叠情景下的应用】 【例1】（2026·八年级下 山东泰安）如图，科技社团的同学们用矩形硬纸板制作立体模型，其中一个结构的制作需将纸板沿折叠得到，折叠后与交于点E，已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026·八年级下 浙江衢州）如图，矩形是一张长宽比为的标准纸，将矩形纸片沿折叠，使得点C落在点处，且A，，E三点在同一直线上，则______． 1．（2026·八年级下 河北保定）如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广东深圳·月考）如图，四边形是长方形，连接，点在边上，将沿着翻折，的对应边落在对角线上，将沿着翻折，点的对应点恰好与点重合，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．（2026·八年级下 湖北随州）如图，矩形中，，，点E在的延长线上，是由沿直线翻折而得，且，连接．则 （1）的长是________； （2）的面积是________． 4．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）已知矩形纸片中，，点E为边上不与端点重合的一动点，将纸片沿翻折至长方形所在平面内得到． (1)若，则的度数为_____°； (2)如图①，的顶点F恰好落在边上，求的长； (3)如图②，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，对角线，交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D．所在直线为矩形的对称轴 2．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）已知四边形，其中，，将沿折叠，落于，交于，且为平行四边形（如图）；再将纸片展开，将沿折叠，使点落在上一点（如图）．在两次折叠过程中，两条折痕、的夹角的度数为（　　） A． B． C． D．不确定 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．有一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形 B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形 4．（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图，这是一块面积为的矩形空地，已知该空地的长宽之比为，现要在空地的四角开发面积均为的正方形用来安置不同的游乐设施，中间阴影部分为蹦床乐园，则蹦床乐园的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在矩形中，对角线、交于点O．延长至点E，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，在矩形中，、交于点，于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·重庆·阶段检测）如图，在长方形中，，，点是平面内的一个动点，连接、，且的面积始终等于长方形面积的，连接，，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，E是线段上一动点，和是位于直线同侧的顶角相等的两个等腰三角形，的底与它自己的高相等，的底与它自己的高相等，若，则下列结论错误的是（    ） A．若E是的中点，则 B．若，则 C．若，则是直角三角形 D．若的面积是，则 9．（25-26八年级下·全国·周测）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．已知下列6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥．不能使四边形ABCD成为矩形的组合是（    ） A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥ 10．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，矩形的顶点在轴的负半轴上，顶点在第二象限内，对角线与的交点为．将矩形沿轴正方向滚动（无滑动），使其一边保持落在轴上，点的对应点分别为，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级·全国·暑假作业）如图，长方形纸两边与坐标轴重合，点B的坐标为，B点沿对折后的对应点落在y轴上，则直线的函数表达式为__．    12．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，矩形的对角线与相交于点O，以，为邻边作平行四边形，交于点；以，为邻边作平行四边形，若矩形的面积等于a，则四边形的面积=________． 13．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，在矩形中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接．若，则的长为____． 14．（25-26八年级下·浙江丽水·期中）如图，在中，点，分别在边，上，折叠使得点落在边上的点处，若，，，则线段长度的最大值为______． 15．（2026·八年级下 陕西咸阳）如图，在中，，连接，，点在上，连接，将沿折叠至位置，连接．若，，则的长为___________． 16．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图,矩形中，，，点P从A点出发沿方向匀速运动,速度为；同时点Q从B点出发沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为（），解答下列问题： (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； (3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 17．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）有一块长，宽的矩形铁皮，在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长． 18．（25-26八年级下·全国·期中）在长方形中，，点P从点A出发，沿着的路径以每秒2个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒（）． (1)当时，求的面积； (2)当t为何值时，的面积为长方形面积的一半？ (3)是否存在某一时刻t，使得为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 19．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，点E是线段的中点，连接，，延长交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，当________时，四边形是矩形，并说明理由． 20．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）综合与实践： 项目主题：纸的研究 学习小组在研究生活中常用的纸的规格，并了解到工业上关于纸张规格的一些知识．书籍和纸张的长与宽的比值都有固定的尺寸，一矩形纸张对折后的小矩形的长与宽的比值与原矩形的长与宽的比值相等．如常用的、、、、的纸张长与宽的比值都相等． 系列中最大的规格为，对半裁开得到，再对裁得到，…，以此类推得到，如图所示． [初步研究]查阅资料得知纸张的规格如下： 规格 长（） 宽（） 长与宽的比值（保留两位小数） (1)①请计算纸的长与宽的比值（保留两位小数）约为 ，通过查阅资料，可知系列纸的长宽比值接近一个无理数，请你猜想这个数是 ； ②按照图的系列纸生成过程，请求出纸的长与宽的比； (2)如图，在矩形中，，，点是边上一点，将沿折叠得到，当时，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $