8.6异面直线所成的角及直线与平面所成的角课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本高中数学讲义聚焦异面直线所成的角及直线与平面所成的角的解法，系统梳理直接平移法、中位线平移法等求角方法，明确作证算步骤，承接线线、线面位置关系，为二面角学习奠基，构建空间角度知识体系。 资料以高考高频考点为导向，通过正方体中异面直线角计算等典型例题和跟踪训练，强化空间问题平面化的转化思想，培养学生几何直观与空间观念。课中助力教师结构化授课，课后通过随堂演练和课时对点练帮助学生巩固方法，查漏补缺。

青春不散场 梦想再启航 第八章　§8.6　空间直线、平面的垂直 专题课　异面直线所成的 　　　　角及直线与平面 　　　　所成的角的解法 高一数学 陈淑园 分值地位：高考立体几何必考内容，小题、大题均高频出现， 是立体几何核心得分点。 知识衔接：属于空间三大角基础内容，承接线线、线面位置 关系，为二面角学习奠基，完善空间角度知识体系。 思想考查：重点考查空间问题平面化转化思想，训练平移、 找射影等几何思维 高考中的地位和作用 内容索引 一、异面直线所成的角 二、直线与平面所成的角 课时对点练 随堂演练 异面直线所成的角 一 求异面直线所成的角的方法 求异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生三角形 ①直接平移法(可利用图中已有的平行线)； ②中位线平移法； 反思感悟 6 例1、 如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 2 1 7 连接BC1，在长方体中AB平行且等于 连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2， 则∠A1BC1或其补角为异面直线A1B与AD1所成的角. 8 √ 例1、 如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 9 E. . F 10 E. . F .G 11 E. . F .G 取AC中点G，连接EG、GF 12 求异面直线所成的角的方法 求异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生三角形，主要有两种方法： ①直接平移法(可利用图中已有的平行线)； ②中位线平移法； 反思感悟 13 跟踪检测 ：长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的角的余弦值. A B C D A1 B1 C1 D1 1 2 2 14 直线与平面所成的角 二 求斜线和平面所成的角的步骤 (1)作(或找)：作(或找)出斜线在平面上的射影，作射影要过斜线上斜足以外的一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与题目中已知量有关，这样才能便于计算. (2)证：证明某平面角就是斜线和平面所成的角. (3)算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算. 反思感悟 16 精讲听学 例1 例3、在正方体ABCD-A1B1C1D1中. （1）求直线A1B和平面ABCD所成的角； （2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角. D1 A B A1 C B1 C1 D ∴AB为斜线A1B在平面ABCD内的射影 ∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角 解：（1）在正方体A1B1C1D1-ABCD中 AA1⊥平面ABCD 精讲听学 D1 A B A1 C B1 C1 D 解：（2）连结BC1交B1C于点O,连结A1O ∴A1B1⊥BO ∵正方体∴BO⊥B1C B1C和A1B1为平面A1B1CD内的两条相交直线 ∴BO⊥平面A1B1CD ∴A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影 ∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角 ∵在正方体A1B1C1D1-ABCD中 A1B1⊥平面B1BCC1 BO 平面B1BCC1 O 例1 例3、在正方体ABCD-A1B1C1D1中. （1）求直线A1B和平面ABCD所成的角； （2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角. 例4　如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝AC＝BC，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，O为PB的中点，求直线CO与平面PAC所成角的余弦值. 19 ∴BC⊥平面PAC.又OE∥BC， ∴OE⊥平面PAC， ∴∠OCE为直线CO与平面PAC所成的角. 如图，取PC的中点为E，连接EO，则OE∥BC. ∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC.又AC⊥BC，AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC， 例4　如图，在棱锥P－ABC中，PA＝AC＝BC，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，O为PB的中点，求直线CO与平面PAC所成角的余弦值. 20 跟踪训练2　已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，求侧棱和底面所成角的余弦值. 21 跟踪训练2　已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，求侧棱和底面所成角的余弦值. 如图，设正三棱锥S－ABC的底面边长为a，则侧棱长为2a. 设O为底面△ABC的中心， 则∠SAO为SA和平面ABC所成的角. 22 随堂演练 三 1 2 1.如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，直线D′A与BB′所成的角可以表示为 A.∠DD′A B.∠AD′C′ C.∠ADB′ D.∠DAD′ √ 1 2 2.直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于 A.20° B.70° C.90° D.110° √ ∵l∥m， ∴直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角， 又直线l与平面α所成的角为70°， ∴m与α所成的角为70°. 课时对点练 四 1 3 4 1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，AB的中点，则异面直线EF与C1D所成角的大小是 √ 2 如图，在正方体中，连接A1B，CD1，且CD1∩C1D＝O. 因为E，F分别是棱AA1，AB的中点，所以EF∥A1B. 又A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以∠COD或其补 角即为异面直线EF与C1D所成的角. 1 3 4 2 2.若斜线段AB的长是它在平面α上的射影长的2倍，则AB与平面α所成的角是 A.60° B.45° C.30° D.120° 1 2 3 √ 斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形. 如图所示，∠ABO即是斜线段AB与平面α所成的角. 所以∠ABO＝60°. 4 1 2 3 4 3.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点.求直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值. 如图，取AA1的中点M，连接EM，BM. 因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形， 所以EM∥AD. 又在正方体ABCD－A1B1C1D1中， AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1， 从而直线BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影， ∠EBM即为直线BE和平面ABB1A1所成的角. 设正方体的棱长为2a， 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于 √ 1.知识清单： (1)异面直线所成的角. (2)直线与平面所成角的求解方法. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：无法将空间角转化为相交直线所成的角. 课堂小结 青春不散场 梦想再启航 再见！ A. B. C. D. 得A1C1＝，A1B＝BC1＝， 故cos∠A1BC1＝＝＝， 即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为. A. B. C. D. 例2、　如图，已知在三棱锥A－BCD中，AD＝4，BC＝6，且E、F分别为AB、CD中点 ，EF=,求异面直线AC与BD所成角的大小. 例2、　如图，已知在三棱锥A－BCD中，AD＝4，BC＝6，且E、F分别为AB、CD中点 ，EF=,求异面直线AC与BD所成角的大小. 例2、　如图，已知在三棱锥A－BCD中，AD＝4，BC＝6，且E、F分别为AB、CD中点 ，EF=,求异面直线AC与BD所成角的大小. 设PA＝AC＝BC＝2，则OE＝1，CE＝，OC＝， ∴cos∠OCE＝＝＝. ∴直线CO与平面PAC所成角的余弦值为. 在Rt△SOA中，因为AO＝×a＝a， 所以cos∠SAO＝＝＝， 即侧棱和底面所成角的余弦值为. A. B. C. D. 因为平面CDD1C1为正方形，所以∠COD＝， 所以异面直线EF与C1D所成角的大小为. 因为AB＝2BO，所以cos∠ABO＝＝， 于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝＝， 即直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值为. 则EM＝AD＝2a，BE＝＝3a. A. B. C. D. $