期末压轴专题02 解答压轴题50练（压轴题专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

**基本信息** 聚焦期末压轴，以50道解答题系统覆盖特殊四边形综合、代数变形与应用，通过递进式题型构建几何直观与代数推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |特殊四边形综合|20题|性质判定、中点旋转、手拉手模型|从平行四边形到正方形，按图形特殊性递进，融合折叠（空间观念）| |代数变形与应用|30题|因式分解（分组/试根）、分式（规律/新定义/应用）、二次根式（化简/规律）|从运算技巧到实际应用，体现模型意识与创新意识|

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 期末压轴专题02解答压轴题50练 目录 类型一、平行四边形的性质和判定综合问题 类型二、矩形的性质和判定综合问题14 类型三、菱形的性质和判定综合问题，，，25 类型四、正方形的性质和判定综合问题.37 类型五、矩形、菱形、正方形中的折叠问题….52 类型六、因式分解的特殊分解方法… 66 类型七、分式的混合运算规律探究、新定义型问题 73 类型八、分式方程的规律探究、新定义型问题… 80 类型九、分式方程的实际应用问题………… 88 类型十、二次根式的规律探究、新定义型问题 93 类型一、平行四边形的性质和判定综合问题 1.(25-26八年级上江苏盐城期末)如图，在梯形ABFE中，AE∥BF,AE=BF,若点C为BF的中点， 连接AC,BE交于点D A (I)求证：四边形ACFE是平行四边形： (2)若ABC是等边三角形，且AE=3,求EF的长. 2.(25-26八年级上山东烟台期末)如图，在口ABCD中，点O是对角线AC,BD的交点，EF过点O且 垂直于AD. (1)求证：OE=0F; (2)若S△4OB=3,AD=3，则AD与BC之间的距离为 (3)若▣ABCD的周长是24，OE=2,则四边形ABFE的周长为 1/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(25-26八年级上福建泉州期末)如图，在口ABCD中，点E是BC的中点，连接AE,将AB沿AE翻折 至AF,点B的对应点F,落在口ABCD内，射线AF交DC于G,与射线BC相交于P.延长EF交DC于Q B (I)求证：△EFP≌△ECQ; (②)连接AQ,若AB=AE,AP平分∠DAE. ①求证：∠AQD=90°； ②若CG=a,GQ=b,求证：b2-a2=ab, 4.(25-26九年级上山西吕梁期末)综合与探究 问题情境：如图l,在ABCD中，BD⊥AD,将△ADB绕点D顺时针旋转O(0°<a<90°)，得到FDE ,点A,B的对应点分别为点F,E 猜想证明：(1)如图2，当DE⊥AB于点P时，EF分别与线段AB,AD交于点G,H.猜想线段FD与FG 的数量关系，并说明理由， 数学思考：(2)如图3，当B的对应点E恰好在线段AB上时，连接AF.判断CD与AF的位置关系，并说 明理由 拓展探究：(3)在图3的基础上，连接CF,若AB=5,AD=4,请直接写出线段CF的长度. G B 图1 图2 图3 5.(25-26九年级上湖北孝感期末)我们在平面几何的学习中，会碰到许多常见的几何模型，“手拉手”模型 就是其中之一，面对题目时我们常会“寻模而入，破模而出”. 2/22 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A E E D B 图1 图2 图3 (I)如图1，在ABC和ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,求证：△ABD≌△ACE: (2)如图2，在口ABCD中，∠ADC=120°，∠BCD的平分线CE交AD于点E,将点E绕点A逆时针旋转60°， 得到点F,分别连接AF,FD,BD ①求证：AB=ED; ②试探究线段FD和线段BD的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在ABC中，LA=60°，点D,E分别在AC,AB上，且CD=BE,LCED=30°，若BC=7, CE=5,请直接写出线段ED的长度， 类型二、矩形的性质和判定综合问题 6.(25-26八年级上山东烟台·期末)如图，在矩形ACBM中，连接AB,CM交于点D,E为线段CD上一 点，连接AE,BE,取BE的中点F,DC平分∠ADF, D B (I)求证：AE=AD: ②若DF=2,4C=2,求矩形ACBM的面积 7.(25-26九年级上四川成都期末)如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E是CD中 点，连接AE交BD于点F,延长AE至点G,使FG=AF,连接CF,CG,DG, D F 3/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)求证：四边形CFDG是平行四边形； (②)若AB=AF=4,∠ADC=60°，求AD的长度. 8.(25-26九年级上陕西西安期末)[问题探究] 如图I,C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC,已知 AB=2,DE=L,BD=8,则AC+CE的最小值是_； [尝试应用 1 如图2，矩形ABCD中，AB=2,BC=3,点P是矩形ABCD内一动点，且S,B=2ScD,求△PCD周长的 最小值. [实践创新] 如图3，sin0= ，长度为2的线段DE在射线OB上滑动，点C在射线OA上，且OC=5,ACDE的两个 内角的角平分线相交于点F,过F作FG⊥DE,垂足为G,求FG的最大值. B C 图1 图2 图3 9.(25-26九年级上·湖北孝感·期末)在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开 探究活动： G F O M D A B A B 图1 图2 图3 【实践探究】(1)小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接AG,AC，CG,则∠ACG=_°； 【解决问题】(2)将矩形AQGF绕点A顺时针转动，边AF与边CD交于点M,连接BM.如图2，当 MB=AB时，求证：MA平分∠DMB; 【迁移应用】(3)如图3，将矩形AQGF绕点A顺时针转动，当点F落在DC上时，连接BF,BQ,BQ交 AF于点O,过点B作BE⊥AF于点E. 4/22 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①求证：0A=0E; ②若AB=10,AD=6,直接写出BQ的长。 10.(25-26九年级上江西九江·期末)(1)下题是北师大版九年级上册数学课本上的一道题； B 图1 图2 M D H 图3 图4 如图1，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的 垂线，垂足分别为E,F.求PE+PF的值 如图2，连接PO,利用△PA0与△PD0的面积之和是矩形面积的子，可求出PE+PF的值，请你写出求解 过程. (2)如图3，在矩形ABCD中，点M,N分别在边AD,BC上，将矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D恰 好与点B重合，点C落在点C处.点P为线段MN上一动点（不与点M,N重合）.过点P分别作直线BM ,BC的垂线，垂足分别为E和F,以PE,PF为邻边作平行四边形PEGF,若DM=13,CN=5,求平行 四边形PEGF的周长， (3)如图4，当点P是等边ABC外一点时，过点P分别作直线AB,AC,BC的垂线，垂足分别为点 H,H2,H,若PH-PH2+PH3=V3,请直接写出ABC的面积. 类型三、菱形的性质和判定综合问题 11.(25-26八年级上·云南昆明期末)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF与AD相 交于点E,与BC相交于点F,连接AF,CE. 5/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B F (I)求证：四边形AFCE是菱形： (2)若四边形AFCE的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形AFCE的面积. 12.(24-25八年级下·云南昆明·期末)如图，ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，点D、0分别是AC、 BC的中点，连接DO并延长至点E,使得EO=DO,连接BD、BE、CE, B (I)求证：四边形DBEC是菱形； (2)若ABC的周长为30，且AB+BC=17,求四边形DBEC的面积. 13.(25-26九年级上陕西榆林期末)如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,延长CD至点E, 使得CE=2BC,连接E交AD边于点R,点D、F分别是CE、BE的中点，DF-AD. (I)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若AC=6,OB+BC=9,求四边形ABCD的面积. 14.(25-26九年级上山西太原期末)如图，点E是菱形ABCD对角线BD上一动点，BD=12.在线段BD 的同侧作线段DF=EC,使得∠CED=∠FDE,连接CF. y (I)补全图形，并回答问题：当BE=-时，DF⊥CF; 6/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)连接AF,交BD于点G,若EC⊥CD,探索AG与BE的数量关系，并证明： (3)直接写出当BE=_时，CE将平行AF 15.(24-25八年级下·湖北武汉·期末)在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为 边向右侧作等边APE. E C 图1 图2 (I)如图I,当点E在菱形ABCD内部时，连接CE交BD于F. ①直接写出BP与CE的数量关系，并求∠BFC的度数， ②若PF=4,EF=2,求FD的长 (②)如图2，当点P在线段BD的延长线上时，延长EA交BD于G,若GD=6,BP=9,则PG= 类型四、正方形的性质和判定综合问题 16.(25-26九年级上江西景德镇期末)如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=3√2，点E为对角线 AC上一动点，连接DE,过点E作EF⊥DE,交BC于点F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接CG. G B F (1)求证：矩形DEFG是正方形. (2)探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由. (3)直接写出DG的最小值. 17.(25-26八年级上河北衡水·期末)点E是正方形ABCD外一点，AD=AE,LDAE=a,AF平分 ∠EAD交BE于点F,连接DF. 7/22 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D D 图1 图2 (1)如图1，若a=60°，求证：△DEF是等腰直角三角形； (2)如图2，a≠60°. ①求∠AEB的度数（用含a的式子表示）： ②aDEF仍是等腰直角三角形吗？说明理由 18.(25-26九年级上重庆巫山期末)正方形ABCD中，E为射线AB上一点 D G N E 图1 图2 图3 (I)如图1，E在AB延长线上，F为对角线BD上一点，连接EF、AF、CF、CE,若EF=AF=3,求线 段CE的长； (2)如图2，E、G分别为AB、AD的中点，连接DE和CG交于点Q,连接AQ,求证：EQ+GQ=√2AQ (3)如图3，E在AB边上运动，将ADE沿DE翻折到同一平面内得到△MDE,点N为DM的中点，连接 BN BM和BN,当BN的长度最小时，直接写出 BM 的值 19.(25-26八年级上·山东淄博·期末)在数学学习中，要善于运用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形 成科学的思维习惯， D D D G E B A' B A Q B 图1 图2 图3 备用图 (1)观察发现 如图I,将正方形ABCD折叠，使点A的对应点A落在BC边上，折痕分别与AB,CD交于点E,F,则 8/22 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 折痕EF和AA'的数量和位置关系分别是 (2)类比探究 在(1)的条件下，设EF与AA'交于点O,连接BD交EF于点G,如图2.求证：OG=OE+GF: (3)拓展应用 如图3，正方形ABCD的边长为9，点M是AB边上的一动点，点N在边CD上，且CN=4,连接MN,将 正方形ABCD沿MN折叠，使点A,D分别落在点P,Q处，当点Q落在直线BC上时，请直接写出线段 AM的长， 20.(25-26八年级上·江苏泰州·期末)问题发现： (1)如图1，在正方形ABCD中，AB=4,点E在边CD上（不与C、D重合），连接AE,将ADE沿AE 翻折，得到△ADE,连接DD'并延长交BC于点F. ①若DE=3,求DF的值， ②如图2，若AE与DF交于点G,连接BG,若BG∥D'E,求证：△ADD'≌△BAG, 迁移运用： (2)如图3，四边形ABCD中，AC⊥CD,垂足为C,AC=AB,过点C作CG⊥AD,垂足为G,连接 BG.若BG∥CD,且∠ACB-∠CAD=45,求4g, 的值. AG 1B D D G G E 图1 图2 图3 类型五、矩形、菱形、正方形中的折叠问题 21.(25-26九年级上河南周口期末)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E是BC边上的一点， 连接AE,将AABE沿AE折叠，使点B落在点B处，连接B'C. 9/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B E C (I)若点BB恰好落在AC上，求BE的长； ②若CE=BE,判断△B'EC的形状，并说明理由. 22.(25-26八年级上河北保定期末)综合与实践 如图，在长方形纸片ABCD中，AD=3,DC=4,P为长方形纸片ABCD边BC上的一动点，连接AP,将 △ABP沿AP折叠，点B落在点B处 D B D DE B C(P) B B 图1 图2 图3 B (I)如图1，当点B落在边CD上时，CB的长为 (2)如图2，连接AC,当点B落在AC上时，求PB的长。 (3)如图3，当点P与点C重合时，AB与CD交于点E,求△ACE的面积. 23.(25-26八年级上四川成都期末)定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折 线，叫做菱形的折中线，例如，如图I,在菱形ABCD中，E是CD的中点，连接AE,BE,则折线AEB叫 做菱形ABCD的折中线，折线AEB的长叫做折中线的长 己知，在菱形ABCD中，AB=a,E是CD的中点，连接AE,BE. D 图1 图2 (I)如图1，已知折中线AEB将菱形的面积分为了三部分，ADE、△AEB、BEC的面积之比为_： (2)如图2，若a=6,∠C=60°，求折中线AEB的长； (3)若a=4,且折中线AEB中的AE或BE与菱形ABCD的一条对角线相等，求折中线的长， 24.(25-26八年级上·辽宁沈阳期末)正方形ABCD的边长为m,点E是边BC上一点（不与端点重合），将 10/22 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △ABE沿AE所在直线对折至△AGE,延长EG交边CD于点F,连接AF,可得△ADF≌△AGF,连接CG. B B 图1 图2 (I)∠EAF=_°： (2)如图1，若m=9,点F为边CD的中点，求△CEG的面积； (3)如图2，若DF=。m,判断AE与CG是否平行？并说明理由； 3 (4)请直接写出BE·DF+AG·EF=_(用含m的式子表示). 25.(24-25八年级下江西南昌·期末)四边形ABCD是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏。 【探究发现】 (1)如图1，小明将△ABE沿AE翻折得到△AB'E,点B的对应点B,将纸片展平后，连接BB'并延长交边 CD于点F,小明发现折痕AE与BF存在特殊的数量关系，数量关系为_； 【类比探究】 (2)如图2，小明继续折纸，将四边形ABEG沿GE所在直线翻折得到四边形A'B'EG,点A的对应点为点 A,点B的对应点为点B,将纸片展平后，连接BB'交边CD于点F,请你猜想线段AG,CE,DF之间的数量 关系并证明； 【拓展延伸】 (3)在(2)的翻折过程中，正方形ABCD的边长为9. ①如图3，若线段A'B恰好经过点D,CF=3,求CE的长； ②如图4，若F为CD中点，连接BG,EF,直接写出BG+EF的最小值. B M B- B E 图1 图2 图3 图4 11/22 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型六、因式分解的特殊分解方法 26.(25-26八年级上江西·期末)整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法 (x+p)(x+q=x2+(p+qx+pg,反过来为x2+(p+q)x+pg=(x+p)(x+q),恰好是因式分解.基于上述 原理，将式子x2-x-6分解因式如下： x2-x-6 二次项x2 常数项-6分 分解为xx 解为2×(-3) 次项-x=x(-3)+x·2,①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项x2+x(-3)=一x;③横 向写出两因式：x2-x-6=(x+2)(x-3). 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：x2-3x+2= ； (2)若x2+px-8可分解为x+a)(x+b)(a,b均为整数)，求出整数p的所有可能值有哪些？ 27.(25-26八年级上·江西赣州期末)要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它进行分组再分解 因式：am+an+bm+bn=(am+an+(bm+bn)=a(m+n+b(m+n)=(m+n)(a+b),这种分解因式的方法叫 做分组分解法， (1)请用上述方法分解因式：x2-y2+x-y; (2)已知a-b=3,a+c=-5,求式子ac-bc+a2-ab的值： (3)已知ABC的三边长a,b,c,满足ac+a2-ab-bc=0,试判断ABC的形状. 28.(25-26八年级下·湖南衡阳·期末)方法探究： 己知二次多项式x2-4x-21,我们把x=-3代入多项式，发现x2-4x-21=0,由此可以推断多项式中有因 式(x+3).设另一个因式为x+k),多项式可以表示成x2-4x-21=(x+3(x+k),则有 x2-4x-21=x2+k+3x+3k,因为对应项的系数是对应相等的，即k+3=-4,解得k=-7,因此多项式分 解因式得：x2-4x-21=x+3)(x-7. 我们把以上分解因式的方法叫做“试根法”。 问题解决： 12/22 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)用“试根法”分解因式：x2-2x-8. (2)对于三次多项式x3-x2-3x+3,我们把x=1代入多项式，发现x3-x2-3x+3=0,由此可以推断多项式 中有因式(x-1),设另一个因式为x2+ax+b),多项式可以表示成x3-x2-3x+3=（x-1)(x2+ax+b),试 求出题目中a,b. 29.(25-26八年级上·福建泉州·期末)阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问 题的整体性质出发，根据题月的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的 联系，从而找到解决问题的新途径， 例如：已知x2-x-1=0,求代数式2x2-2x+2024的值.我们把x2-x看作一个整体代入求值，原式 =2(x2-x)+2024=2×1+2024=2026 又如：因式分解x2+3x)-4x2+3x+4. 我们把x2+3x看作一个整体，令x2+3x=a,则原式=a2-4a+4=(a-2)2,再把a还原成x2+3x得，原式 =(x2+3x-2°. 请根据上面的提示和范例解决下面问题： (1)因式分解：(x-y)-2(x-y)+1=； (2)已知m2-3m-1=0,求m4-3m3+m2-6m的值； (3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方. 30.(25-26八年级上·广东珠海·期末)【综合应用】材料：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分 解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及 “3+3”分法等. 如“2+2”分法： ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b) 再如3+1”分法： x2-2xy+y2-9=x2-2xy+y2）-9=(x-y)2-32=(x-y+3)(x-y-3 请根据上述材料的启发解决下列问题： (1)【理解】分解因式： ①9x2-6xy+y2-16; 13/22 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②4a2b2+4ab2+b2-4a2-4a-1; (2)【应用】a,b,c是ABC的三条边的长，试判断式子(a+b)(a-b)+c(c-2a的值能否大于0？并说明 理由； (3)【拓展】a,b,c是ABC的三条边的长，若a2+b2+c2-ab-bc-aC=0,请判断ABC的形状并说明 理由， 类型七、分式的混合运算规律探究、新定义型问题 31.(24-25七年级下·安徽合肥期末)观察以下等式： 第1个等式：1 1+3-2=0, 21 14+5 1 第2个等式： 23-1= 2 第3个等式： 1×9+7_2_2 3433 第4个等式： 116+913 -X 45241 ，。。。。 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：- (2)写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并说明等式的正确性， 32.(24-25七年级下.安徽六安期末)观察下列等式： 1 第1个等式： (1-1x1:第2个等式： =111 x(x+1)(xx+1 x+2气x+22: 第3个等式： 1 1-1)1 x(x+3) 日第4个等式 x(x+4)xx+44: 按照以上规律，解决问题： (1)写出第5个等式： (2)写出第n个等式（用含的式子表示，n为正整数）： 1 1 (3)利用上述规律计算： +…十 m(m+3(m+3)(m+6)'(m+6)m+9)(m+18)m+21 33.(24-25八年级上广东湛江期末)我们定义，如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数， 14/22 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 那么称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值” x+1B=2 例如分式A=2x, x+1’4B2x22x+22(x+=2,则A是B的雅中式”，A关于® x+1x+1x+1x+1 的“雅中值”为2. ()已知分式c=1 r+2,D=+5x+6,判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请求© x2+4x+4 关于D的“雅中值”； (2)已知分式P=,E 92,9=,2x,P是O的“雅中式”，且P关于。的“雅中值”是2，请求出E所代表的代 数式 34.(24-25八年级上·江西上饶期末)定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的 形式，羟么称这个分为和谐粉如：11+2土之七，号则尖是谐分式 x-1x-1x-1x-1 x-1 (I)下列分式中，属于“和谐分式”的是 (填序号)： ②+2 ①+1 *1:@+1 x2:③+2 ②将“和谐分式-20+3化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式： a2-2a+3_ a-1 a-1 ③)应用：先化简3x+6_=1:-,并回答：x取什么整数时，该式的值为整数？ x+1 x x2+2x 35.(24-25八年级上广东汕头期末)定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即M-N=MN,则 称分式v是分式M的关联分式心.如中与中2因为中中2+儿+2 11 11 1 -x- x+1x+2x+1(x+2)' 所以1，是的关联分式 x+2 x+1 ①)请判断分式2与分式2是否为“关联分式”，并说明理由： x+3 x+5 ②小明在求分式士的“关联分式时，用了以下方法 1 设F+的关联分式为N,则+yN= 2+, x2+y2+1 请你仿照小明的方法求分式-3的关联分式， x+2 (③①观察(1)、(2)的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式： 15/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②用发现的规律解决问题：若3n是3m+5的关联分式”，求实数m,n的值. mx+m mx+n 类型八、分式方程的规律探究、新定义型问题 36.(24-25八年级下山东枣庄期末)新定义：如果两个实数a,b使得关于x的分式方程口+1=b的解是 x=】成立，那么我们就把实数a,b组成的数对a,b称为关于x的分式方程+1=b的一个“关联数对”， atb 例如：a=2b=-5使得关于约分式方程子+1=5的解是2+可写成立，所以数对2，-]就是关于 1 1 x的分式方程4+1=b的一个“关联数对” ()下列数对是关于x的分式方程+1=b的“关联数对有 (填字母) A.[-2,4;B.[3,-5] (2)若数对 元+n是关于x的分式方程+1b的“关联数对”，求的值 37.(25-26八年级上广西防城港期末)探究与应用 【特例分析】 (1)填空： ①1 2 -1的解为x=- x+1x+1 ②24 x+1x+1 -1的解为x- ③3-6 x+1x+1 -1的解为x=-: 【总结规律】 (2)根据你发现的规律直接写出第4个分式方程及它的解：-· 【解决问题】 (3)请你按照上述规律写出第n(n为正整数)个分式方程，并求出它的解.（写出解答过程） 1 3.24-25七年级下山东济南期末)观察下列各式：女21) 111 2×3239 16/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 111 3×434 请你根据上面三个等式反映的规律，回答下列问题： 1 ()n(n+1) 111 2请你按利用发现的规律计算：2十。十2 十…+ n(n+1): 1 1 1 3)利用上面规律解方程：(x-2xxx+2(x+2x+4) （x+2024)(x+2026x+2026 39.(25-26八年级上湖南长沙期末)不妨定义：如果两个代数式A,B的值满足A+B=1,则称A,B具 有和谐关系.当具有和谐关系的两个代数式A,B都是整式时，则称A,B互为和谐整式：当具有和谐关系 的两个代数式A,B都是分式时，则称A,B互为和谐分式： (1)判断下列说法的正误，对的打“V,错误的打“×”. ①整式x-1与x+2对任意x都具有和谐关系；() ②分式2”与二”互为和谐分式：() n n ③果分式产与，号互污和诺分式，则：=3.《) ②当：时，如果分式)与始终互为和谐分式，求口和6的值， (3)已知x,y都是整数，当整式(x+y)2与-4y2+1)互为和谐整式时，求x、y的值. 40.(24-25八年级下.甘肃张掖期末)我们知道，任意一个正整数k都可以进行这样的分解：k=m×n(m, n是正整数，且m≤n),在k的所有这种分解中，如果m,n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是k 的最佳分解，并规定：f()=m.例如：18可以分解成1x18,2x9或3×6，因为18-1>9-2>6-3，所 n 以3x6是18的最佳分解，所以f18)=62 31 【探索规律】 (1)f(20)= ；f(36)= (2)若x是正整数，猜想fx2+2x= 【应用规律】 (3)若f(x2+2x 2022,其中x是正整数，求x的值： 2021 (4)若f(x2-48=1,其中x是正整数，尝试直接写出所有x的值 17/22 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型九、分式方程的实际应用问题 41.(25-26八年级上，河北沧州期末)商场购进A、B两种儿童玩具，每个A玩具进价比每个B玩具进价多 2.5元，用200元购进A玩具的数量是用75元购进B玩具数量的2倍， (1)求A、B两种玩具进价分别为多少元？ (2)若A玩具每个售价为13元，B玩具每个售价为9.5元，商场购进B玩具的数量比购进A玩具的数量的2 倍还多4个，两种玩具全部售出后，商场要使总的利润超过120元，则最少购进A玩具多少个？ 42.(25-26八年级上·黑龙江双鸭山期末)近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注.小明家里计划 购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车，已知B款车每千米行驶费用比A款车多 0.45元. (1)两款车在相同路段且行驶里程相同时，A款车的总行驶费用为7.5元，B款车的总行驶费用为18.75元.求 纯电动汽车和燃油车的每千米行驶费用： (2)已知A款车保险费：6500元/年，保养费用：1230元/年，B款车保险费：2900元/年，保养费：0.075元/ 千米，综合考虑行驶费用和其它费用，小明家年平均行驶里程为多少千米时，买电动车较为划算？ 43.(24-25八年级上·四川绵阳·期末)“读万卷书，行万里路”，某中学组织学生赴三星堆旅游景区参加研学 活动.为了让学生切身体会到三星堆文化，研学基地特设了青铜器皿制作实践活动.活动中甲、乙两队均 需制作36件青铜器皿，已知乙队每小时比甲队多制作6件，甲队完成任务所需要的时间是乙队完成任务所 需时间的1.5倍. (1)求甲、乙两队每小时各制作多少件青铜器皿？ (2)制作活动开始1小时后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回，于是甲乙两队决定合作完成剩下 的任务，如果速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？如果不能，请求出两队合作后每小时至少需要 多做多少件才能保证在乘车前完成任务。 44.(25-26八年级上湖南长沙期末)“买新能源车到底省不省钱？”是消费者最为关心的话题之一.某校数 学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，所得信息如表所示： 燃油车 新能源车 油箱容积：50L 电池容量：80kW·h 18/22 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 油价：8元L 电价：0.6元/kW.h 续航里程：a千米 续航里程：a千米 每千米行驶费用： 50×8 元 每千米行驶费用： 根据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多0.55元. (1)用含α的代数式表示新能源车的每千米行驶费用 元. (②)分别求出这两款车的每千米行驶费用. (3)若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4000元和7300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源 车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 45.(24-25八年级上·重庆北碚期末)随着气温的逐步降低，电热毯成为了许多家庭的必需品，某商场最新 购进的A、B两款电热毯凭借智能定时，排潮除湿，双温双控等便捷操控功能，迅速赢得了消费者们的青睐。 已知A款电热毯的进价比B款电热毯的进价高 ,且商场用8400元购进的A款电热毯的床数比用4500元 购进的B款电热毯的床数多20床。 (I)A、B两款电热毯的进价分别为每床多少元？ (2)若商场购进A、B两款电热毯共100床（两款电热毯均要购买），且花费的总价不高于10000元，购进后， A、B两款电热毯均按高于进价的20%定价出售.若电热毯全部售完，设商场购进A款电热毯α床，总利润 为W元，求W与α之间的函数关系式，并利用一次函数的知识，求出最大利润. 类型十、二次根式的规律探究、新定义型问题 46.（25-26七年级上山东泰安期末)定义：形如“m+√3n”的数称为√3族”数（其中m,n为有理数， n≠0.)，并规定：两个“√3族”数之间可以进行“+，一，×，÷”等运算，运算符合二次根式的相关要求. )试判断2-5,5,5+6,2中哪些属于5族"的数： (2)若A=a-√3b(其中a,b为有理数，b≠0)是“√5族”数，求A的倒数的值，并判断其是否为“√3族”的 数. 47.(25-26八年级上陕西咸阳期末)定义：若二次根式a+2V万可以写成（√m+Vn的形式（其中a、五、 m、n为非负常数)，则称a+2Vb为完整根式，√m+√n是a+2√b的完整平方根，例如：： 19/22 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 8+25=(5+√⑤2，：8+25是完整根式，√5+5是8+25的完整平方根. (I)若完整根式a+2√b的完整平方根为√m+√n,a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a 和b; 2)若a+22i=(5+Vm°，且a、n为正整数，则a=: (3)试判断√2+√5是否是完整根式7+2√10的完整平方根，并说明理由. 48.(25-26八年级上·北京石景山期末)小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法 探究下面二次根式的运算规律， 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律 第1个等式 2-3 第2个等式， 第3个等 7 4 =3 V4V4 第4个等式 9 5 =45 第5个等式 11 6-1 (根据规律填空) 6 (2)观察、归纳、得出猜想 第n个等式为 (用含n的式子表示，n为正整数) (3)证明你的猜想； (④)应用运算规律. 若a-。 (a,b均为正整数)，则b-a的值为 49.(25-26八年级上·四川巴中.期末)问题情境： 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1,AC=2+√5，求AB的长度.小许同学利用勾股定理求出 AB=V8+22,老师告诉他：V8+2√12中，根号下含有根号，不是最简二次根式，还需要继续化简. B 20/22 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 方法回顾： 小许回想到二次根式化简 va =a, 9=±3)2=±3=3： 又：Vx2+2y+y=Vx+y)2=x+ V7+26=V+2w6+6=1+6=1+6=1+6, 所以将被开方式（数）化为完全平方式，就可以达到化简二次根式的目的. 方法应用： (1)V3+22=V2+2W2+1=: 问题解决： (2)AB=V8+2V12=: 方法迁移： (3)计算：V8+27+V11-47 50.(25-26八年级上·福建福州·期末)【问题初探】 小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现： 1 12′2x323’3×434’,在学习二次 x211111111 根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程 补充完整： 1 特例1： 1 1 11 特例2： 1.1 1+22=1+ =1+ 1+ 1×2 12 2+32=1+ 特例3： (填写一个符合上述运算特征的式子) 【发现规律】 1 1 (n-12= 十 (n≥2，且n为整数) 【应用规律】 (1)计算： 11 11 1 1+ 22+3+V1+3+4+…+ 1+ 2025+ 20262 11 ，11 1 1 (2)如果1+6+7京+1+7+g+…+ 1+m-2+(n-1 1+ (n210,且n为整数)的小数部分是0.1， 21/22 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 求出整数部分. 22/22 期末压轴专题02 解答压轴题50练 目录 类型一、平行四边形的性质和判定综合问题 2 类型二、矩形的性质和判定综合问题 14 类型三、菱形的性质和判定综合问题 25 类型四、正方形的性质和判定综合问题 37 类型五、矩形、菱形、正方形中的折叠问题 52 类型六、因式分解的特殊分解方法 66 类型七、分式的混合运算规律探究、新定义型问题 73 类型八、分式方程的规律探究、新定义型问题 80 类型九、分式方程的实际应用问题 88 类型十、二次根式的规律探究、新定义型问题 93 类型一、平行四边形的性质和判定综合问题 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，线段中点的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据线段的中点以及等量代换得出，然后根据平行四边形的判定定理进行证明即可； （2）根据等边三角形和平行四边形的性质得出相等的边，即可求解． 【详解】（1）解：∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得，四边形是平行四边形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，点是对角线，的交点，过点且垂直于． (1)求证：； (2)若，，则与之间的距离为____________； (3)若的周长是24，，则四边形的周长为____________． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)16 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定等，解题的关键是证明． （1）先由平行四边形的性质得到，，则，，即可证明得到； （2）由三角形面积公式可得，据此求解即可； （3）由（1）的结论知，，再利用四边形周长公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，O是与的交点， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，O是与的交点， ∴， ∴， ∵过点且垂直于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即与之间的距离为4， 故答案为：4； （3）解：∵四边形是平行四边形，周长是24， ∴， ∵， ∴， 由（1）的结论知， ∴四边形的周长为， 故答案为：16． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，点是的中点，连接．将沿翻折至，点的对应点，落在内．射线交于，与射线相交于．延长交于． (1)求证：； (2)连接，若，平分． ①求证：； ②若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是根据平行四边形的性质与全等三角形的性质找边、角之间的关系． （1）因为四边形是平行四边形，所以，可得内错角相等；由折叠的性质得，得到，推出，因为点E是中点，所以，又由翻折知，所以；利用全等三角形的判定定理即可证明； （2）①因为，所以是等腰三角形，由翻折可得；因为平分，所以；再结合平行四边形的性质，可得角的关系，进而推出；②由（1）的全等可得相关线段相等，结合平行四边形的性质得到线段间的关系；再结合①中，利用勾股定理建立线段的等式，通过等量代换推导得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∴，即， ∵点E是中点， ∴， 由翻折知， ∴； ∵， ∴； （2）①证明：如图， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， 由翻折可得，，即， ∵平分， ∴； ∵在中，， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由①知， ∴， ∴， ∴， ∵点E是中点， ∴，， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，即， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 问题情境：如图1，在中，，将绕点D顺时针旋转（），得到，点A，B的对应点分别为点F，E． 猜想证明：（1）如图2，当于点P时，分别与线段交于点G，H．猜想线段与的数量关系，并说明理由． 数学思考：（2）如图3，当B的对应点E恰好在线段上时，连接．判断与的位置关系，并说明理由． 拓展探究：（3）在图3的基础上，连接，若，，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）．理由见解析；（2），理由见解析；（3）． 【分析】本题主要考查旋转的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，作合适的辅助线是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，进而得到，则，，即，然后可得； （2）由，则，进而得到，即，再由平行四边形性质可得； （3）过作交于，延长交于，连接，根据勾股定理可得，进而可得，再由勾股定理求即可． 【详解】（1），理由如下： 连接， ， ， 由旋转的性质可知，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ，即； （3）过作交于，延长交于，连接， ，，， ， ， ，解得， ， ， ，则四边形为矩形， ，， ， 由（2）知，，， 为的中点， ， ． 5．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）我们在平面几何的学习中，会碰到许多常见的几何模型，“手拉手”模型就是其中之一，面对题目时我们常会“寻模而入，破模而出”． (1)如图1，在和中，，，，求证：； (2)如图2，在中，的平分线交于点，将点绕点逆时针旋转，得到点，分别连接，，． ①求证：； ②试探究线段和线段的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在中，，点，分别在，上，且，，若，，请直接写出线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理； （1）根据已知条件证明， （2）①根据平行四边形的性质以及角平分线的定义，得出，则，结合平行四边形的 性质，即可得证； ②分别连接，，根据旋转的性质得出是等边三角形，进而证明，再证明是等边三角形，即可得出结论； （3）设，以、为边作，连接，将绕点逆时针旋转得，连接，可得是等边三角形，，，再得出，利用勾股定理建立方程求解即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， 在和中： ； （2）①四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ； ②，理由如下： 如图，分别连接，， 点绕点逆时针旋转，得到点， ，， 是等边三角形， ，， 在中，， ， ， 在和中： ； ，， ， 即， 是等边三角形， ； （3）解：如图，以、为边作平行四边形，连接， 则，，，， 设，则， ， ， 又， 是等边三角形， 将绕点逆时针旋转得，连接， 是等边三角形，，， ， ， ， 即， ， 即的长为． 类型二、矩形的性质和判定综合问题 6．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在矩形中，连接，交于点，为线段上一点，连接，，取的中点，平分． (1)求证：； (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了三角形中位线定理，矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由矩形性质可得，，，，再证明是的中位线，所以，，通过角平分线定义可得，所以，最后通过等角对等边即可求证； （）由中位线定理可得，从而有，然后通过勾股定理求出，最后由面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴为斜边的中点， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵在中，为斜边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积=． 7．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，平行四边形的对角线与交于点O，点E是中点，连接交于点F，延长至点G，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先结合四边形是平行四边形，得，又因为，得出是的中位线，根据点E为中点，证明，得出，证明四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质，以及证明四边形是矩形，过E作于点H，运用30度直角三角形所对的直角边是斜边的一半以及勾股定理得，，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】（1）证明： 四边形是平行四边形， ， 又， ∴是的中位线， ， 又 又点E为中点， ， ， ∴四边形是平行四边形 （2）解：由（1）得四边形是平行四边形， ，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， 又∵， ∴， 四边形是矩形， ∴， ∴， 过E作于点H， 在中，， ∴, ∵， ， ， 又在中，， ∴， ． 8．（25-26九年级上·陕西西安·期末）[问题探究] 如图1，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接．已知，则的最小值是 ； [尝试应用] 如图2，矩形中，，点P是矩形内一动点，且，求周长的最小值． [实践创新] 如图3， ，长度为2的线段在射线上滑动，点C在射线上，且，的两个内角的角平分线相交于点F，过F作，垂足为G，求的最大值． 【答案】[问题探究] ；[尝试应用] ；[实践创新] 【分析】[问题探究]如图1中，过点A作交的延长线于H，连接．解直角三角形求出，即可解决问题． [尝试应用]如图2中，作于M，作点D关于直线的对称点E，连接，．设．由垂直平分线段，推出，推出，利用勾股定理求出的值即可． [实践创新]如图3中，连接，过点F作于M，于N，过点C作于H．由题意，推出，推出当的值最小时，的值最大，如图4中，过点C作，使得，作点K关于直线的对称点J，连接交于E，连接交于T，此时的值最小，最小值的长，据此求出结论． 【详解】解：[问题探究]如图1中，过点A作交的延长线于H，连接． ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． [尝试应用]如图2中，作于M，作点D关于直线的对称点E，连接，．设． ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的周长的最小值为． [实践创新]如图3中，连接，过点F作于M，于N，过点C作于H． ∵的两个内角的角平分线相交于点F，， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当的值最小时，的值最大， 如图4中，过点C作，使得， 作点K关于直线的对称点J，连接交于E，在上截取，连接，连接交于T， 则四边形是平行四边形， ， 则， 此时的值最小，最小值的长． 由图3可知， 在中，∵， ∴， ∴的最小值， ∴的最大值． 9．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】（1）小红将两个矩形纸片摆成图的形状，连接，，，则 °； 【解决问题】（2）将矩形绕点顺时针转动，边与边交于点，连接．如图2，当时，求证：平分； 【迁移应用】（3）如图，将矩形绕点顺时针转动，当点落在上时，连接，，交于点，过点作于点． ①求证：； ②若，，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①见解析，② 【分析】（1）利用两个矩形完全相同的条件，得到对应边相等，从而证明三角形全等，结合全等三角形的角相等关系，推导出为直角，再由等腰直角三角形的性质得出的度数； （2）利用等边对等角得到角相等，结合矩形对边平行的性质，通过平行线的内错角相等完成角的等量代换，从而证明角平分线； （3）①先通过矩形性质与平行线性质得到角相等，证明三角形全等，推出对应边相等，再结合矩形的边相等关系，证明另一组三角形全等，从而得到与相等； ②先利用勾股定理求出线段长度，结合全等三角形的对应边相等，得到相关线段的长度，再通过勾股定理计算出的长度，最终得出的长度． 【详解】解：（1）两个完全相同的矩形纸片， ，，， ， ， ， ； （2）证明：， ， 四边形是矩形， ， ， ， 平分； （3）①， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ； ②，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 10．（25-26九年级上·江西九江·期末）（1）下题是北师大版九年级上册数学课本上的一道题； 如图1，在矩形中，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为．求的值． 如图2，连接，利用与的面积之和是矩形面积的，可求出的值，请你写出求解过程． （2）如图3，在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点（不与点，重合）．过点分别作直线，的垂线，垂足分别为和，以，为邻边作平行四边形，若，求平行四边形的周长． （3）如图4，当点是等边外一点时，过点分别作直线的垂线，垂足分别为点．若，请直接写出的面积． 【答案】（1）；（2）24；（3） 【分析】（1）连接，由矩形的性质得出，，，，，再由勾股定理得，则，，然后由三角形面积即可得出结论； （2）连接，过点作于，证，则，再由勾股定理得，然后由三角形面积求出，即可解决问题； （3）连接，，，由，求得，由，得，从而求出． 【详解】解：（1）如图2，四边形是矩形， ，，，，， ，， ，， ， 解得； （2）四边形是矩形， ，，， ， 连接，过点作于点，如图所示： 则四边形是矩形， ， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ，，， ， ， ， 的周长； （3）如图，过点A作于点D，连接，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴， ． 类型三、菱形的性质和判定综合问题 11．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)96 【分析】（1）根据平行四边形的性质可证，根据垂直平分线的性质可证，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据对角线互相平分的四边形是菱形可证结论成立； （2）根据菱形的性质可知，设、，根据勾股定理可得，利用完全平方公式可以求出，根据菱形的面积公式求出结果即可． 【详解】（1）证明：是的垂直平分线， ，； ∵四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， （）， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ， ∵四边形的周长是40， ∴， 设、， 则有，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 整理可得：， ∴． 12．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，是直角三角形，且，点、分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为30，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形．再结合直角三角形的性质可得，即可得证； （2）设，．则，，由勾股定理可得，求出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：点是的中点， ． ， ∴四边形是平行四边形． 是直角三角形，点是的中点， ． 四边形是菱形． （2）解：设，． 的周长为，． ，． 在中，由勾股定理得． ∵， ∴． ∵点、分别是、的中点， ∴， ∵， ∴． ∴． 答：四边形的面积为30． 13．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，四边形的对角线、交于点O，延长至点E，使得，连接交边于点F，点D、F分别是、的中点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质和判定，勾股定理； （1）先证明得到，，得出四边形是平行四边形，再证明邻边即可； （2）由菱形的性质和勾股定理求出，即可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵点D、F分别是、的中点，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 14．（25-26九年级上·山西太原·期末）如图，点是菱形对角线上一动点，．在线段的同侧作线段，使得，连接． (1)补全图形，并回答问题：当 时，； (2)连接，交于点，若，探索与的数量关系，并证明； (3)直接写出当 时，将平行． 【答案】(1)图见详解，； (2)，证明见详解； (3)． 【分析】（1）根据题意补全图形即可；过点作交于点，连接，证明四边形为平行四边形，得出，即，得出当时，，当时，四边形为菱形，得出，，得出当点在对角线的交点上时，符合题意，此时； （2）连接、， 证明，得出，证明，得出，，证明四边形为矩形，得出，，根据，即可得出； （3）连接，，证明，得出，证明，由（2）得四边形为平行四边形，得出，从而得出． 【详解】（1）解：补全图形，如图所示： 过点作交于点，连接，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ，即， 当时，， ， 四边形为菱形， ，， 当点在对角线的交点上时，符合题意， 此时， 故答案为：； （2）； 证明：连接、，如图所示： ， ， 四边形为菱形， ，，， ， ， ， ， ， ，，， ， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ； （3）解：连接，，如图所示： 四边形为菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 根据解析（2）可知，四边形为平行四边形， ， ， 即当时，将平行， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）在菱形中，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边． (1)如图1，当点在菱形内部时，连接交于F． ①直接写出与的数量关系，并求的度数． ②若，，求的长． (2)如图2，当点在线段的延长线上时，延长交于，若，，则__________． 【答案】(1) ， ； ； (2) 【分析】（1）连接，根据证明，则可得，，再根据菱形的对角线平分一组对角可得，，则可得，，进而可得． 连接，过E点作于M点，则可得，，，进而可得．根据证明，则可得，由是等边三角形可得，则可得，根据等腰三角形三线合一可得，则可得，． （2）连接交与O点，连接交于点，连接，由菱形的性质，结合等边三角形的性质，证明，，平移至，连接，，则，，四边形是平行四边形，可得，设，可得，证明，可得，作于点，则，可得，由角所对的直角边与斜边的关系，结合勾股定理，可得，即可得． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴ ，， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， 即， ∴， ∴， ， ∵菱形中，， ∴， 又∵平分，平分， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴，． 如图，连接，过点作于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 同得是等边三角形， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴（等腰三角形三线合一）， ∴， ∴． （2）解：连接交与点，连接交于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，，平分， 又∵，， ∴是等边三角形，，， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点在线段的延长线上， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 平移至，连接，，则，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 作于点，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 类型四、正方形的性质和判定综合问题 16．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)是定值，6 (3) 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （）过作于点，过作于点，可证四边形是正方形，得，进而证明，得到，即可求证； （）证明，可得，即得，即可求解； （3）由矩形为正方形，得到，根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为，此时，有最小值，即可解答． 【详解】（1）证明：如图，过作于点，过作于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是正方形对角线的一点， ∴， ， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：是定值，定值为，理由如下： ∵矩形为正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴是定值，定值为． （3）解：∵矩形为正方形， ∴， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为， 此时，有最小值， 由（2）知， ∴的最小值为． 17．（25-26八年级上·河北衡水·期末）点是正方形外一点，，，平分交于点，连接． (1)如图1，若，求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，． ①求的度数（用含的式子表示）； ②仍是等腰直角三角形吗？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②是，理由见解析 【分析】（1）先证明是等边三角形，可得，再证明．可得出．再由四边形是正方形，可得．从而得出 得出最后证得结论； （2）由可得出由等腰三角形性质可得； ②由三角形内角和定理可得再得出．同（1）可得．可得．．从而得出是等腰直角三角形． 【详解】（1）证明∶∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分交， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵四边形是正方形， ∴． 是等腰直角三角形； （2）解： 仍然是等腰直角三角形，理由如下： 在中， ∴． 同（1）可得． ∴． ∴． 是等腰直角三角形． 18．（25-26九年级上·重庆巫山·期末）正方形中，E为射线上一点 (1)如图1，E在延长线上，F为对角线上一点，连接、、、，若，求线段的长； (2)如图2，E、G分别为、的中点，连接和交于点Q，连接，求证： (3)如图3，E在边上运动，将沿翻折到同一平面内得到．点N为的中点，连接和，当的长度最小时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质证明，得到，，再由，得到，，则有，利用三角形内角和定理得到，再利用勾股定理即可求解； （2）过点作交延长线于点，根据正方形的性质证明，得到，再证明，得到，，推出是等腰直角三角形，，最后利用线段的和差即可证明； （3）连接，设正方形的边长为，则，，根据翻折的性质得，，，根据线段中点的定义得到，根据两点之间线段最短得到，则有，当的长度最小时，共线，此时点也在线段上，再根据正方形和翻折的性质求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，设与交于点， ∵正方形， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：如图2，过点作交延长线于点， ∵正方形， ∴，， ∵E、G分别为、的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴； （3）解：如图3，连接， 设正方形的边长为，则， ∴， 由翻折的性质得，，，， ∵点N为的中点， ∴， ∵，即， ∴， ∴当共线时，的长度有最小值，最小值为； 当共线时，点也在线段上， ∴， ∵正方形， ∴，即， ∴是等腰直角三角形，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 19．（25-26八年级上·山东淄博·期末）在数学学习中，要善于运用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯． (1)观察发现 如图1，将正方形折叠，使点的对应点落在边上，折痕分别与，交于点，，则折痕和的数量和位置关系分别是_________； (2)类比探究 在（1）的条件下，设与交于点，连接交于点，如图2．求证：； (3)拓展应用 如图3，正方形的边长为9，点是边上的一动点，点在边上，且．连接，将正方形沿折叠，使点，分别落在点，处，当点落在直线上时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)2或8 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据折叠的性质可得垂直平分，证明即可； （2）连接，证明，可得，，再证，可得，进而即可得证； （3）分两种情况讨论，点Q在线段上或延长线上，设，由题易得，，，则或12，进而分别在中，，在中，，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点F作于点H，设与交于点O， 根据折叠的性质可得垂直平分， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ 故答案为：，； （2）证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴． ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴在四边形中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：线段的长为2或8． 连接，设， ∵， ∴，， 在中，， 当点Q落在线段上时，如图， 此时， 在中，， 在中，， 则， 解得， ∴； 当点Q在延长线上时，如图， 此时， 在中，， 在中，， 则， 解得， ∴； 综上，线段的长为2或8． 20．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）问题发现： （1）如图，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点． ①若，求的值． ②如图，若与交于点，连接，若，求证：． 迁移运用： （2）如图，四边形中，，垂足为，，过点作，垂足为，连接．若，且，求的值． 【答案】（1）①；②见解析；（2） 【分析】（1）①利用翻折和正方形的性质证三角形全等即可求得结果；②利用翻折及平行线的性质找出角及边的等量关系，即可证明全等； （2）延长到点，使，连接，设，分别表示出，则的值可求． 【详解】（1）①解：由翻折可得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴（）， ∴； ②证明：∵， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∵由翻折可知：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（）； （2）解：延长到点，使，连接， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴． 类型五、矩形、菱形、正方形中的折叠问题 21．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在矩形中，，，点E是边上的一点，连接，将沿折叠，使点B落在点处，连接． (1)若点恰好落在上，求的长； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠问题： （1）先根据勾股定理得出，由折叠得： ，根据折叠的性质得出，，，设，则 ，，在 中，由勾股定理得：，求解即可得出答案； （2）先求出，，由折叠得： ，，根据，得出在上，得出四边形是正方形，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解： 如下图， 在矩形中， ，，， ， 由折叠得： ， ，，， ，， 设，则 ，， 在 中，由勾股定理得：， ， 解得： ； （2）是直角三角形，理由如下： ，， ，， 由折叠得： ，， ， 在上，如图所示， 四边形是正方形， ， 是直角三角形． 22．（25-26八年级上·河北保定·期末）综合与实践 如图，在长方形纸片中，，P为长方形纸片边上的一动点，连接，将沿折叠，点B落在点处． (1)如图1，当点落在边上时，的长为________． (2)如图2，连接，当点落在上时，求的长． (3)如图3，当点P与点C重合时，与交于点E，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，灵活运用勾股定理列方程是解决问题的关键． （1）根据折叠的性质与勾股定理即可求解； （2）根据折叠的性质得，，，再设，则，由勾股定理列方程即可求解； （3）根据折叠的性质得出，再由长方形可得，则可得，设，则，由勾股定理列方程求解出，即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴，，， 由折叠可得，，， ∴在中，， ∴． 故答案为：． （2）解：∵四边形是长方形， ∴，, 由折叠可得，，，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴的长为． （3）解：由折叠可得， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，即， ∴， ∴的面积为． 23．（25-26八年级上·四川成都·期末）定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线，例如，如图1，在菱形中，E是的中点，连接，，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长． 已知，在菱形中，，E是的中点，连接，． (1)如图1，已知折中线将菱形的面积分为了三部分，、、的面积之比为 ； (2)如图2，若，，求折中线的长； (3)若，且折中线中的或与菱形的一条对角线相等，求折中线的长． 【答案】(1) (2)折中线的长为 (3)或 【分析】（1）根据E是菱形的边的中点，即可解决问题； （2）连接，根据题意证得为等边三角形，利用勾股定理求出，，即可解答； （3）当时，过点E作，交的延长线于点F，过点B作于点G，利用勾股定理即可解答；当时，过点C作，过点E作，交的延长线于点G，过点C作于点H，交的延长线于点F，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：在菱形中， ∵E是的中点， ∴， ∴、、的面积之比为， （2）解：如图，连接， 在菱形中，，， ∴为等边三角形， ∵点E为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴折中线的长为； （3）解：由已知得折中线中的或只能与菱形中较短的对角线相等， 当时，如图，过点E作，交的延长线于点F，过点B作于点G， 则四边形是矩形， 在菱形中，，E是的中点， ， ∴，， ∴， 在中， ， 在中， ， ∵，， 在中， ， ∴； 当时，如图，过点C作，交的延长线于点F，过点E作，交的延长线于点G，过点C作于点H， ∴四边形是平行四边形，四边形是矩形， ∴，，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴H是的中点，即， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，折中线的长为或． 24．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）正方形的边长为，点是边上一点不与端点重合，将沿所在直线对折至，延长交边于点，连接，可得，连接． (1) ； (2)如图1，若，点为边的中点，求的面积； (3)如图2，若，判断与是否平行？并说明理由； (4)请直接写出 用含的式子表示． 【答案】(1) (2) (3)与平行，理由见解析 (4) 【分析】本题考查正方形半角模型以及勾股定理和面积的应用，解题关键是能够熟练运用这些知识去解题． （1）通过证明，，进而得到答案； （2）设，结合，利用勾股定理解直角三角形得到的值，再通过相似即可得到答案； （3）通过勾股定理得到为中点，得到，通过倒角得到答案； （4）利用正方形的面积与三角形面积与五边形的面积的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，四边形是正方形， ，， 将沿直线翻折，得到， ，，，， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． （2）作，垂足为点，如图， 设，则， 为中点， ， 由（1）知，， 在中，由勾股定理得， ， ， 整理得：， 解得：， ，， ， ， ； （3）与平行，理由如下， 设，则，如图， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 整理得：， ∴ ， ， 由折叠可知，， 又， ， ， ， ； （4）设，，则，，如图， 在中，由勾股定理得， ， ∴， 整理得：，① 由，② ∴把①代入②得， ， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：． 25．（24-25八年级下·江西南昌·期末）四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 【探究发现】 （1）如图1，小明将沿翻折得到，点B的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点F，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为 ； 【类比探究】 （2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点A的对应点为点，点B的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点F，请你猜想线段之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】 （3）在（2）的翻折过程中，正方形的边长为9． ①如图3，若线段恰好经过点D，，求的长； ②如图4，若F为中点，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1）；（2）；证明见解析；（3）①2；② 【分析】（1）由“十字架”模型可证，进而得解； （2）先证，再利用“十字架”模型构造全等，过点G作，可证，进而得解； （3）①过点D作，先证四边形是平行四边形，得，再分别利用勾股定理表示出，从而建立方程求解即可．②构造平行四边形，可得，可证，可得，再利用逆等线模型，过K作于点K，且，证明，得到，所以，当且仅当H、E、F依次共线时，取等，据此求解即可． 【详解】解：（1）如图， 根据题意得：垂直平分， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． （2）；证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 过点G作，垂足为点N， ∴， ， ∴， ， ∴四边形是矩形， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴． （3）①设， ∵正方形的边长为9，， ∴， 过点D作，垂足为H，交线段于点P，连接． 由折叠的性质得：D，P关于直线对称，， ∴垂直平分， ∴， ∵由（2）得， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，， 根据勾股定理，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即的长为2． ②如图，过A作交于点K， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 过K作于点K，且， ∴， ∴， ∴， ∴，当且仅当H、E、F依次共线时，取等， 过H作，交延长线于点H，则四边形是矩形， ∴， ∵F是中点， ∴， ∴， 同理（2）证明， ∴， ∴， 在中， ， 即的最小值为． 类型六、因式分解的特殊分解方法 26．（25-26八年级上·江西·期末）整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：________； (2)若可分解为（a，b均为整数），求出整数p的所有可能值有哪些？ 【答案】(1) (2)7或或2或 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是掌握“将二次项、常数项拆分后交叉相乘验证一次项”的十字相乘方法． （1）将的二次项拆为，常数项拆为，交叉相乘再相加得到，据此可得答案． （2）把展开，得出，，把分解成两个整数的乘积形式，即可得到整数的所有可能值． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵可分解为， ∴， ∴，， ∵、为整数，且， ∴或或或或或或或 ∴或或或或或或或 ∴整数p的所有可能值为7或或2或． 27．（25-26八年级上·江西赣州·期末）要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法． (1)请用上述方法分解因式：； (2)已知，，求式子的值； (3)已知的三边长，满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2) (3)是等腰三角形． 【分析】（1）根据分组分解法因式分解即可； （2）先将所求代数式因式分解，再代入值求解即可； （3）根据分组分解法因式分解后，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解： ． （2），， ． （3） ∵的三边长， ∴ ∴， ∴ ∴是等腰三角形． 28．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式．设另一个因式为，多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：． 我们把以上分解因式的方法叫做“试根法”． 问题解决： (1)用“试根法”分解因式：． (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，多项式可以表示成，试求出题目中． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）将代入，可得多项式含有因式，设并将其展开进行求解即可； （2）将展开进行求解即可． 【详解】（1）解：将代入多项式，得 ， ∴多项式含有因式， 设， ∴ ∴一次项系数： 解得， 常数项：， ∴； （2）解：由题意得， ， ∴二次项系数： 解得， 常数项： 解得． 29．（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如：已知，求代数式的值．我们把看作一个整体代入求值，原式． 又如：因式分解． 我们把看作一个整体，令，则原式，再把a还原成得，原式． 请根据上面的提示和范例解决下面问题： (1)因式分解：______； (2)已知，求的值； (3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题以整体换元法为背景考查了完全平方公式的应用，关键是要找到整体即可解答． （1）将看作整体换元，利用完全平方公式即可求解； （2）将看成整体换元，即可求解； （3）将中第一项与第四项结合，第二项第三相结合展开，利用整体换元即可求解． 【详解】（1）解：（1）将看成整体，令， 则原式， 再将a还原，得到原式， 故答案为：； （2）∵， ∴ ∴ ； （3）证明：设这连续整数分别为n，，，，（n为整数）， 则 将看成整体，令， 则原式 ， 再将b还原，得到原式， ∵n为整数， ∴为整数， 故式子的值一定是某一个整数的平方． ∴四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方 30．（25-26八年级上·广东珠海·期末）【综合应用】材料：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等． 如“”分法： 再如“”分法： 请根据上述材料的启发解决下列问题： (1)【理解】分解因式： ①； ②； (2)【应用】a，b，c是的三条边的长，试判断式子的值能否大于0？并说明理由； (3)【拓展】a，b，c是的三条边的长，若，请判断的形状并说明理由． 【答案】(1)①，② (2)不可能大于，理由见解析 (3)为等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查利用公式法分组进行因式分解，因式分解的应用，三角形的三边关系，平方差公式，完全平方公式，判断三角形的形状； （1）根据材料的方法因式分解即可； （2）利用平方差公式，完全平方公式，将目标公式因式分解，再根据三角形三边关系即可解答； （3）先将目标公式因式分解，再结合非负性即可解答． 【详解】（1）解：① ② （2）解：不可能大于，理由： ， ， 不可能大于； （3）解：为等边三角形，理由如下： ，， ，， ，， 为等边三角形 类型七、分式的混合运算规律探究、新定义型问题 31．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并说明等式的正确性． 【答案】(1) (2)（，且为整数），证明见解析 【分析】本题考查算式规律的归纳能力，分式的混合运算，解题的关键是能准确理解题意，并通过观察、计算、归纳进行求解． （1）根据前个等式的规律求解此题； （2）根据前个等式归纳出此题规律进行求解，再证明即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： ∴第个等式：， 故答案为：； （2）解：由（1）归纳可得： 第n个等式：（，且为整数） 证明如下：左边右边， ∴成立. 32．（24-25七年级下·安徽六安·期末）观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； …… 按照以上规律，解决问题； (1)写出第5个等式：________； (2)写出第个等式（用含的式子表示，为正整数）； (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化规律，分式的运算，正确得出规律是解题的关键． （1）根据题目中的等式，可以写出第5个式子即可； （2）根据题目中的等式的特点，可以写出第n个式子； （3）将所求式子变形，再利用规律运算，然后拆项，即可计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ∴第5个等式：， 故答案为：； （2）解：根据题意，得：第个等式：； （3）解：原式 33．（24-25八年级上·广东湛江·期末）我们定义，如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，那么称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 例如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请求C关于D的“雅中值”； (2)已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，请求出E所代表的代数式． 【答案】(1)C不是D的“雅中式” (2) 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）将两式作差并计算后进行判断即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∴不是D的“雅中式”； （2）解：∵分式，，P是Q的“雅中式”， 且P关于Q的“雅中值”是2， ∴ ． 34．（24-25八年级上·江西上饶·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：＝________； (3)应用：先化简，并回答：x取什么整数时，该式的值为整数？ 【答案】(1)①③④ (2) (3)， 【分析】本题考查分式的化简，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，逐一进行判断即可； （2）根据新定义，进行计算即可； （3）除法变乘法，约分化简后，进行加减运算，再根据新定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：；故①是和谐分式； 不能化成一个整式与一个分子为常数的分式；故②不是和谐分式； ；故③是和谐分式； ；故④是和谐分式； 故答案为：①③④ （2）； 故答案为：； （3）原式 ； ∵， ∴当时，分式的值为整数， ∴， ∵时，分式无意义， ∴当时，分式的值为整数． 35．（24-25八年级上·广东汕头·期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“关联分式”．如与，因为，， 所以是的“关联分式”． (1)请判断分式与分式是否为“关联分式”，并说明理由； (2)小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为N，则， ∴，∴． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； (3)①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数m，n的值． 【答案】(1)与分式是“关联分式”，理由见解析 (2) (3)①；② 【分析】本题属于创新探究类试题，主要考查了分式的混合运算、解不等式组等知识点，理解“关联分式”的定义是解决本题的关键． （1）根据关联分式的定义进行判断即可； （2）仿照题目中给到的方法进行求解即可； （3）①根据（1）（2）找规律求解；②由①推出的结论列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：是的“关联分式”，理由如下： ∵，， ∴是的“关联分式”． （2）解：设的“关联分式”为N，则， ∴，即， ∴，即． （3）解：①设的“关联分式”为N，则， ∴，即， ∴，即． 故答案为：； ②由题意，可得， 整理得，解得． 类型八、分式方程的规律探究、新定义型问题 36．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对” (1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有________．（填字母） A．； B． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 【答案】(1)B (2)． 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时， 分式方程，解得， ， 不是“关联数对”； 当，时， 分式方程，解得， ， 是“关联数对”； 故答案为：B； （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ， ， 解得． 37．（25-26八年级上·广西防城港·期末）探究与应用 【特例分析】 （1）填空： ①的解为x= ； ②的解为x= ； ③的解为x= ； ...... 【总结规律】 （2）根据你发现的规律直接写出第4个分式方程及它的解： ． 【解决问题】 （3）请你按照上述规律写出第n（n为正整数）个分式方程，并求出它的解．（写出解答过程） 【答案】①②③；（2）第4个分式方程为，解为；（3）第个分式方程为，解为 【分析】本题考查分式的规律以及分式方程，本题通过三个具体的分式方程，引导学生观察并归纳解的规律．首先解出前三个方程的解，从中发现解与序号之间的关系，进而推广到第四个方程，并最终写出第个方程及其解．解题的关键在于观察方程结构和解的变化规律，理解分式方程的解法过程，并进行代数推导与归纳总结． （1）①两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； ②两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； ③两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； （2）直接根据规律写出第四个分式方程及它的解即可； （3）根据规律，第n个方程为：，两边同乘，移项整理即可． 【详解】（1）解：①解方程：， 两边同乘以，得： 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为； 故答案为：； ②解方程：， 两边同乘以，得： 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为； 故答案为：； ③解方程：， 两边同乘以，得：， 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为， 故答案为：； （2）观察前三个方程： ①， ②， ③， 规律：左边分子为，右边分子为，且结构为， 因此第4个方程为： 解法同上： 两边同乘：， 整理，得：， 移项合并得：， 检验成立，解为， 所以第4个方程是，解为； 故答案为：，； （3）根据规律，第n个方程为：， 解方程： 两边同乘： 移项整理：， 解得：， 检验：当时，（因n为正整数），分母不为零，解成立， 所以第n个方程的解为． 38．（24-25七年级下·山东济南·期末）观察下列各式：； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，回答下列问题： (1)________； (2)请你按利用发现的规律计算：； (3)利用上面规律解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解分式方程和数字的变化类． （1）根据已知条件中的等式，找出规律即可； （2）按照（1）中的规律进行计算即可； （3）按照（1）中的规律计算方程的左边，再按照解分式方程的方法求出x，并进行检验即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 原方程的解是． 39．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）不妨定义：如果两个代数式A，B的值满足，则称A，B具有和谐关系．当具有和谐关系的两个代数式A，B都是整式时，则称A，B互为和谐整式；当具有和谐关系的两个代数式A，B都是分式时，则称A，B互为和谐分式． (1)判断下列说法的正误，对的打“√”，错误的打“×”． ①整式与对任意x都具有和谐关系；（  ） ②分式 与 互为和谐分式；（  ） ③如果分式与互为和谐分式，则．（  ） (2)当时， 如果分式与始终互为和谐分式，求a和b的值； (3)已知x，y都是整数，当整式与互为和谐整式时，求x、y的值． 【答案】(1)① ×；②√；③ × (2) (3)或 或或 【分析】本题主要考查了解分式方程，解二元一次方程组，因式分解的应用，分式的加法运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据和谐分式和和谐整式的定义可判断①②；根据和谐分式的定义可得方程，解方程可判断③； （2）根据和谐分式的定义可得，则可得到，进而得到，解之即可得到答案； （3）根据题意可得，则可推出，再把5分解成2个整数的乘积，则可得到关于x、y的方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：①， ∵对于任意的x，的值不一定为1， ∴整式与对任意x不一定具有和谐关系，故错； ②， ∴分式 与 互为和谐分式，故对； ③当分式与互为和谐分式时，则， ∴， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，故错； （2）解：∵当时， 如果分式与始终互为和谐分式， ， ∴， ∴， ∵当时，等式恒成立， ∴， ∴； （3）解：∵与互为和谐整式， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵都是整数， ∴都是整数， ∵， ∴或 或 或 解得或 或或． 40．（24-25八年级下·甘肃张掖·期末）我们知道，任意一个正整数k都可以进行这样的分解：（m，n是正整数，且），在k的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是k的最佳分解，并规定：．例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，所以． 【探索规律】 （1）__________；__________； （2）若x是正整数，猜想__________． 【应用规律】 （3）若，其中x是正整数，求x的值； （4）若，其中x是正整数，尝试直接写出所有x的值__________． 【答案】（1）；1；（2）；（3）4042；（4）7或8或13 【分析】（1）理解题意，根据“最佳分解”的定义进行计算即可； （2）由，结合“最佳分解”的定义即可得出答案； （3）结合（2）可得出关于x的分式方程，解出x，再验算即可； （4）根据题意可设，且t为正整数，可得，再由t，x均为正整数，，然后分类建立方程组求解即可． 【详解】解：（1）20可以分解成，或，因为， 所以是20的最佳分解， 所以； 36可以分解成，，，或，因为， 所以是的最佳分解， 所以； 故答案为：；1； （2）∵，且， ∴； 故答案为：； （3）∵ ∴， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意； ∴x的值为4042； （4）∵， ∴可设，且t为正整数， ∴， ∴， ∵t，x均为正整数，， ∴或或或或 ∴（舍去）或或（舍去）或或， ∴所有x的值为7或8或13． 故答案为：7或8或13 类型九、分式方程的实际应用问题 41．（25-26八年级上·河北沧州·期末）商场购进A、B两种儿童玩具，每个A玩具进价比每个B玩具进价多2.5元，用200元购进A玩具的数量是用75元购进B玩具数量的2倍． (1)求A、B两种玩具进价分别为多少元？ (2)若A玩具每个售价为13元，B玩具每个售价为9.5元，商场购进B玩具的数量比购进A玩具的数量的2倍还多4个，两种玩具全部售出后，商场要使总的利润超过120元，则最少购进A玩具多少个？ 【答案】(1)A种玩具进价为10元，B种玩具的进价为7.5元 (2)17个 【分析】（1）设B玩具进价为元，则A玩具进价为元，结合用200元购进A玩具的数量是用75元购进B玩具数量的2倍，再建立方程求解即可； （2）设购进A玩具个，则购进B玩具数量为个，结合总的利润超过120元，再建立不等式求解即可. 【详解】（1）解：设B玩具进价为元，则A玩具进价为元， 由题意得： 解得： 经检验是原方程的解 ∴A种玩具进价为10元，B种玩具的进价为7.5元． （2）解：设购进A玩具个，则购进B玩具数量为个，由题意得： 解得 的最小值是17 所以最少购进A玩具17个． 42．（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车，已知B款车每千米行驶费用比A款车多元． (1)两款车在相同路段且行驶里程相同时，A款车的总行驶费用为元，B款车的总行驶费用为元．求纯电动汽车和燃油车的每千米行驶费用； (2)已知A款车保险费：6500元/年，保养费用：1230元/年，B款车保险费：2900元/年，保养费：0.075元/千米，综合考虑行驶费用和其它费用，小明家年平均行驶里程为多少千米时，买电动车较为划算？ 【答案】(1)纯电动汽车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元 (2)小明家年平均行驶里程超过时，购买纯电动汽车比较划算 【分析】本题考查分式方程与一元一次不等式在实际购车费用问题中的应用，解题关键是根据 “行驶里程相同”“费用比较” 等条件建立方程或不等式，理清费用的组成部分． （1）根据两款车行驶里程相同，建立分式方程求解每千米行驶费用，注意分式方程解完后必须检验； （2）根据年使用费用的构成（行驶费用 + 保险费 + 保养费），分别列出两款车的年费用表达式，再根据 “电动车更划算” 的条件建立一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：设A款车每千米行驶费用a元，则B款车每千米行驶费用为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， , 答：纯电动汽车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元． （2）解：设小明家年平均行使里程为， 纯电动汽车的年使用费用为元， 燃油车的年使用费用为元， 根据题意得：， 解得：， 答：当小明家年平均行驶里程超过时，购买纯电动汽车比较划算． 43．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）“读万卷书，行万里路”，某中学组织学生赴三星堆旅游景区参加研学活动．为了让学生切身体会到三星堆文化，研学基地特设了青铜器皿制作实践活动．活动中甲、乙两队均需制作36件青铜器皿，已知乙队每小时比甲队多制作6件，甲队完成任务所需要的时间是乙队完成任务所需时间的倍． (1)求甲、乙两队每小时各制作多少件青铜器皿？ (2)制作活动开始1小时后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回，于是甲乙两队决定合作完成剩下的任务，如果速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？如果不能，请求出两队合作后每小时至少需要多做多少件才能保证在乘车前完成任务． 【答案】(1)甲队每小时制作12件青铜器皿，乙队每小时制作18件青铜器皿 (2)不能，12件 【分析】（1）设甲队每小时制作x件青铜器皿，则乙队每小时制作件青铜器皿，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值即甲队的工作效率，再将其代入中，即可求出乙队的工作效率； （2）求出甲、乙两队两小时可完成的工作量，将其与剩下的任务比较后，可得出如果速度保持不变他们不能在乘车前完成任务，设两队合作后每小时需要多做y件才能保证在乘车前完成任务，根据两队要在乘车前完成任务，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲队每小时制作x件青铜器皿，则乙队每小时制作件青铜器皿， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 件 答：甲队每小时制作12件青铜器皿，乙队每小时制作18件青铜器皿； （2）解：第1小时甲、乙两队共制作：（件）， 总任务为（件）， 剩下的任务为（件）． 合作时，甲、乙两队每小时共制作（件）， 因为，所以他们不能在乘车前完成任务． 设两队合作后每小时需要多做件才能保证在乘车前完成任务， 根据题意得：， 解得：． 所以的最小值为12． 答：不能在乘车前完成任务，两队合作后每小时至少需要多做12件才能保证在乘车前完成任务． 44．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）“买新能源车到底省不省钱？”是消费者最为关心的话题之一．某校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，所得信息如表所示： 燃油车 新能源车 油箱容积：50L 电池容量： 油价：8元 电价：元 续航里程：a千米 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用：________元 根据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元． (1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用________元． (2)分别求出这两款车的每千米行驶费用． (3)若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4000元和7300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 【答案】(1) (2)燃油车每千米的行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元 (3)每年行驶里程大于6000千米时，新能源车的年费用更低 【分析】（1）根据表格进行求解即可； （2）根据“燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元”列分式方程求解即可； （3）设每年行驶的里程为m千米，根据“新能源车的年费用更低”建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：由表格可得，新能源车的每千米行驶费用为（元）； （2）解：由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； ，， ∴燃油车每千米的行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元； （3）解：设每年行驶的里程为m千米， 由题意得，， 解得， 答：每年行驶里程大于6000千米时，新能源车的年费用更低． 45．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）随着气温的逐步降低，电热毯成为了许多家庭的必需品，某商场最新购进的A、B两款电热毯凭借智能定时，排潮除湿，双温双控等便捷操控功能，迅速赢得了消费者们的青睐．已知A款电热毯的进价比B款电热毯的进价高，且商场用8400元购进的A款电热毯的床数比用4500元购进的B款电热毯的床数多20床． (1)A、B两款电热毯的进价分别为每床多少元？ (2)若商场购进A、B两款电热毯共100床（两款电热毯均要购买），且花费的总价不高于10000元，购进后，A、B两款电热毯均按高于进价的定价出售．若电热毯全部售完，设商场购进A款电热毯a床，总利润为W元，求W与a之间的函数关系式，并利用一次函数的知识，求出最大利润． 【答案】(1)A款电热毯的进价为每床120元，B款电热毯的进价为每床90元 (2)最大利润为1998元 【分析】（1）设B款电热毯的进价为每床x元，则A款电热毯的进价用含x的代数式表示出来，根据题意列关于x的分式方程并求解即可； （2）列出关于a的一元一次不等式并求其解集；分别计算A、B两款电热毯的售价，再根据“总利润款电热毯的总利润款电热毯的总利润”写出W与a之间的函数关系式，由一次函数的增减性和a的取值范围，确定当a取何值时W最大，求出其最大值即可． 【详解】（1）解：设B款电热毯的进价为每床x元，则A款电热毯的进价为每床元， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， （元）． 答：A款电热毯的进价为每床120元，B款电热毯的进价为每床90元． （2）解：根据题意，得：， 解得：， A款电热毯的售价为（元）， B款电热毯的售价为（元）， 则， ∵， ∴W随a的增大而增大， ∵且x为正整数， ∴当时，W的值最大，． 答：最大利润为1998元． 类型十、二次根式的规律探究、新定义型问题 46．（25-26七年级上·山东泰安·期末）定义：形如“”的数称为“族”数（其中m，n为有理数，．），并规定：两个“族”数之间可以进行“，，，”等运算，运算符合二次根式的相关要求． (1)试判断，，，2中哪些属于“族”的数； (2)若（其中a，b为有理数，）是“族”数，求A的倒数的值，并判断其是否为“族”的数． 【答案】(1)，属于“族”的数 (2)；为“族”的数． 【分析】本题考查了二次根式的定义，分母有理化，熟练掌握二次根式的定义及分母有理化是关键． （1）根据二次根式的定义判断即可； （2）根据分母有理化的方法求解即可． 【详解】（1）解：，属于“族”的数； （2）解：， ，为有理数，， 为“族”的数． 47．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根． (1)若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b； (2)若，且a、n为正整数，则______； (3)试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)是，理由见解析 【分析】本题考查完整根式，完整平方根的理解； （1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （2）利用完全平方公式求解即可； （3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； 【详解】（1）解：∵的完整平方根是， ∴． ∴． ∵，，，都是有理数， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∵a、n为正整数， ∴，， 解得，， 故答案为：10； （3）解：是完整根式的完整平方根， 理由：∵，即， ∴是完整根式， ∴是完整根式的完整平方根． 48．（25-26八年级上·北京石景山·期末）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 第1个等式； 第2个等式； 第3个等式； 第4个等式； 第5个等式_________（根据规律填空） (2)观察、归纳、得出猜想． 第n个等式为_________（用含n的式子表示，n为正整数） (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律． 若（a，b均为正整数），则的值为_________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查规律型、数字的变化类、二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题．（1）根据题目中的例子并计算可以写出第5个等式；（2）根据（1）中特例及发现规律，可以写出相应的猜想；（3）根据猜想的左边利用分式的通分和二次根式的性质进行化简发现与右边一样即可；（4）根据（2）中的规律对比即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：第n个等式为， 故答案为：； （3）证明： ； （4）解：根据和，得 ， 解得， ∴， 故答案为：． 49．（25-26八年级上·四川巴中·期末）问题情境： 如图，在中，，，，求的长度．小许同学利用勾股定理求出，老师告诉他：中，根号下含有根号，不是最简二次根式，还需要继续化简． 方法回顾： 小许回想到二次根式化简 ， ； 又， ； 所以将被开方式（数）化为完全平方式，就可以达到化简二次根式的目的． 方法应用： （1）_____； 问题解决： （2）_____； 方法迁移： （3）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的加减，熟练掌握二次根式的性质及二次根式的加减是关键． （1）将配方成，即可得到答案； （2）将配方成，即可得到答案； （3）先对两个被开方数配方，再开方求解即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：． 故答案为：． （3）解：原式 ． 50．（25-26八年级上·福建福州·期末）【问题初探】 小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，…，在学习二次根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：；特例2：； 特例3：________________________（填写一个符合上述运算特征的式子） 【发现规律】 ______．（，且n为整数） 【应用规律】 （1）计算：； （2）如果（，且为整数）的小数部分是，求出整数部分． 【答案】问题初探： 发现规律： 应用规律：（1）；（2）9 【分析】问题初探：直接通过计算求解即可； 发现规律：通过计算，化去根号即可； 应用规律：（1）利用规律求解； （2）先利用规律化简，再根据小数部分求得，进而求出整数部分． 【详解】问题初探：解： 故答案为：； 发现规律：解： 故答案为：； 应用规律：（1）解： （2）解： 当小数部分是时， ， 解得：， 经检验是分式方程的根， ∴整数部分是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $