陕西汉中市仁德学校2025-2026学年高二第二学期5月期中数学试题

**基本信息** 高二数学期中试题覆盖集合、数列、导数等核心知识，通过选择填空基础题与解答题综合题（如三角函数图像分析、数列证明与求和、导数应用）的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与运算能力，适配阶段性学习检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合运算、复数虚部、充要条件等|第8题结合递推数列判断等比数列与单调性，融合转化思想| |填空题|3题/15分|向量垂直、解三角形面积、分段函数零点|第14题通过函数对称性与绝对值函数交点，考查数形结合| |解答题|5题/77分|三角函数图像、统计频率分布、立体几何、数列综合、导数应用|第18题以数列递推关系证明等差数列并求错位相减和，第19题导数单调性讨论与恒成立问题，体现数学思维与语言表达|

汉中市仁德学校高二第二学期期中试题（A） 数 学 试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由（选择题）和（非选择题）组成；卷面总分：150分，考试时间：120分钟。 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内。 2. 选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 第一部分（选择题 共58分） 1.设集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.设，则的虚部是(    ) A. B. C. D. 3.已知集合，，则“”是“”的(    ) A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 4.设为等差数列，为其前项和，若，则(    ) A. B. C. D. 5.已知函数，则 A. 是偶函数，且在上是增函数 B. 是奇函数，且在上是增函数 C. 是偶函数，且在上是减函数 D. 是奇函数，且在上是减函数 6.已知角的终边经过点，则(    ) A. B. C. D. 7.函数的图象在处的切线方程为 A. B. C. D. 8.已知数列满足，，则下列结论中不正确的有(    ) A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递增数列 D. 的前项和 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知，，且，则下列结论正确的是(    ) A. B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是 10.已知等比数列中，满足，，是的前项和，则下列说法正确的是(    ) A. 数列是等比数列 B. 数列是递减数列 C. 数列是等差数列 D. 数列中，，，仍成等比数列 11.已知函数，其导函数为，则(    ) A. 直线是曲线的切线 B. 有三个零点 C. D. 若在区间上有最大值，则的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量，，且，则实数          ． 13.中，内角，，的对边分别为，，若，，的面积，则________． 14.已知函数对于任意，都有，且当时，．若函数恰有个零点，则的取值范围是          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知函数的部分图象如图所示． 求，的值； 求的单调增区间； 求在区间上的最大值和最小值． 16.本小题分 某校对年高一上学期期末数学考试成绩单位：分进行分析，随机抽取名学生，将分数按照，，，，，分成组，绘制成如下图所示的频率分布直方图： 求频率分布直方图中的值； 估计该校高一上学期期末数学考试成绩的平均数； 为了进一步了解学生数学学科学习的情况，在成绩位于的学生中用分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生的分数不在同一组内的概率． 17.本小题分 如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点． 求证：； 求二面角的余弦值； 在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18.本小题分 已知数列中，， 求证：数列是等差数列； 求数列的通项公式； 设数列满足：，求的前项和． 19.本小题分 已知函数 当时，求函数的最小值 试讨论函数的单调性 当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $汉中市仁德学校高二第二学期期中试题(A) 数学 试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由（选择题）和（非选择题）组成：卷面总分：150分，考试时间：120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目 内。 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案：非选择题用0.5毫米黑色 签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 第一部分（选择题共58分) 1.设集合A={1,3,5,7},B={xx2<10},则A∩B=() A.{0,2} B.{1,3} C.{5,7} D.{1,3,5,7} 23 2设之=1一25，则元的虚部是() 1 1 A.5 B.一5 c 3.已知集合A={a,0,1},B={x∈Rkx2≤1}，则“a=-1”是“AB”的() A.充要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充分不必要条件 D.必要不充分条件 4.设{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若S3=Ss,则a6=() A.8 B.6 C.3 D.0 5.已知函数f)=分2-2，则f@) A.是偶函数，且在R上是增函数 B.是奇函数，且在R上是增函数 C.是偶函数，且在R上是减函数 D.是奇函数，且在R上是减函数 3π 6.已知角a的终边经过点P(-1,2),则cos(2+a=() A.一2V6 B.、5 C.2v6 D. 5 5 5 7.函数f(o)=xsina的图象在亚=2处的切线方程为 A.y=2 B.=x C.g=x-刀 2 D.y=2a-T 2 8.已知数列a}满足1=1，a41=23an∈N),则下列结论中不正确的有) A.+3}为等比数列 B.{an}的通项公式为an=2+1-3 C.{an}为递增数列 D. 的前n项和Tn=2m+2-3m-4 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.己知x≥0，y≥0，且x+y=1,则下列结论正确的是() A.0≤x≤1 By的最大值是 C.2+的最小值是 2.x 2 D.元+y的最小值是2+2V5 10.已知等比数列{an}中，满足a1=1,9=3,Sm是{an}的前n项和，则下列说法正确的是() A.数列{a3n}是等比数列 B.数列{一}是递减数列 an C.数列{log3an}是等差数列 D.数列{an}中，S10,S20,S30仍成等比数列 1.已知函数f)=-x2+1,其导函数为f,则() 3 A.直线y=-2x是曲线y=f(x)的切线 B.f(x)有三个零点 C.f'(2-x)=f'(x) D.若f(x)在区间(a,a+4)上有最大值，则a的取值范围为(-4,0) 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量d=(1,2),=(c,-2),且a⊥(d-),则实数x= 13.△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C.若a=1,B=60°，△ABC的面积S=√5，则b= ln,0<x≤1 14.已知函数f(x)对于任意x∈R,都有f(x)=f(2-c),且当x≤1时，f(c)= e,x≤0 若函数 g(c)=mx-2-f(x)恰有3个零点，则m的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（本小题13分) 己知函数f(x)=Asin(wx+ 34>0,>0)的部分图象如图所示. (1)求A,w的值： (2)求f(x)的单调增区间； Tπ (3)求f()在区间一G:上的最大值和最小值. 16.（本小题15分) 某校对2024年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照[30,50)，[50,70)， [70,90),[90,110),[110,130),[130,150]分成6组，绘制成如下图所示的频率分布直方图： 频率 「组距 0.0200- 0.0075 0.0050- 0.0025 030507090110130150成绩/分 (1)求频率分布直方图中a的值； (2)估计该校高一上学期期末数学考试成绩的平均数； (3)为了进一步了解学生数学学科学习的情况，在成绩位于[50,90)的学生中用分层随机抽样的方法抽取5名学生，再 从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率. 17.（本小题15分) 如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2,∠ABC=60°，M是AB的中点. (1)求证：EM⊥AD: E (2)求二面角A-BE-C的余弦值： (3)在线段EC上是否存在点P,使得直线AP与平面ABE所成的角为45°， 若存在，求出记的值：若不存在，说明理由。 D B C 18.（本小题17分) an 己知数列{an}中，a1=1,am+1=1+3an 但求证：数列宁是等差数列： (2)求数列{an}的通项公式： 2n (3)设数列{bn}满足：bn=。,求{bn}的前n项和Tn. an 19.（本小题17分) 已知函数f(x)=ac-2l1nx. (1)当a=1时，求函数f(x)的最小值； (2)试讨论函数f(x)的单调性； (3)当x>1时，不等式f(x)<(z-2)nx+2x+a-1恒成立，求整数a的最大值.■■■ ■■■ 汉中市仁德学校高二第二学期期中 数学(A)·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1,答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 ! 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 舒 题；字体工整、笔迹清晰。 翼 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2「A]IB1[C1[D1 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 救 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 1I[A][B][C[D] 三、填空题（每小题5分，共15分) 萤 12 妇 13 14 靠 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) E : D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）Sheet1 高二（下）期中模拟考试数学双向细目表 题型 题号 考察知识点 考察知识方法 分值 难易度 简单 中等 较难 单选题 1 集合 集合的交并补运算 5 √ 2 复数 复数的四则混合运算 5 √ 3 常用逻辑用语 以集合为背景下的充分必要条件的选择及判断 5 √ 4 等差数列 等差数列的通项公式或前n项和的基本量运算 5 √ 5 函数的性质 函数奇偶性及单调性的简单应用 5 √ 6 三角函数 三角函数的定义及诱导公式的应用 5 √ 7 导数的几何意义 过某点处的切线方程的求解 5 √ 8 数列的综合 利用递推关系式求数列的通项公式 5 √ 多选题 9 不等式 不等式的性质或基本不等式中的常数代换 6 √ 10 等比数学的基本量运算 已知数列为等比数列求数列的通项公式或前n项和 6 √ 11 导数 已知函数求函数的单调区间、极值、最值 6 √ 填空题 12 平面向量 平面向量的坐标运算或者垂直平行的条件应用 5 √ 13 正余弦定理 利用正余弦定理解三角形 5 √ 14 导数 导数的综合应用 5 √ 解答题 15 三角函数 （1）已知三角函数的图象，求三角函数的解析式；（2）给定区间求最值 13 √ 16 统计概率 （1）求频率分布直方图中的a值或者中位数平均数；（2）求某个事件发生的概率 15 √ 17 立体几何 （1）平行或者垂直的证明；（2）求线面角或者二面角的大小；（3）已知线面角或二面角的大小求点的位置 15 √ 18 数列 （1）证明一个数列是等差数列或者等比数列；（2）求新的数列的通项公式；（3）裂项相消求和或者错位相减求和 17 √ 19 导数 （1）不含参数的函数单调区间的求法；（2）含参点调性的讨论；（3）极值、最值的综合应用 17 √ $ 汉中市仁德学校高二第二学期期中试题（A） 数学答案和解析 1.【答案】  【解析】，，则． 2.【答案】  【解析】【分析】根据复数的乘法和除法运算，结合共轭复数及复数的概念求解即可． 【详解】． 则，所以的虚部为． 3.【答案】  【解析】已知，解不等式，得，所以． 判断充分性：当时，集合，此时集合中的所有元素都在集合中，满足，所以由“”可以推出“”，充分性成立． 判断必要性：若，因为集合，集合，所以的值可以为，也可以是其他值，如，即由“”不能推出“”，必要性不成立． 所以“”是“”的充分不必要条件故选C． 4.【答案】  【解析】解：因为，所以， 所以，即． 故选：． 根据等差数列前项和公式即可求解． 本题等差数列前项和公式，属于基础题． 5.【答案】  【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得，则函数为奇函数，由指数函数的性质可得在上为减函数，在上为增函数，则函数在上为减函数，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，， 有，则函数为奇函数， 又由在上为减函数，在上为增函数，则函数在上为减函数， 故选D． 6.【答案】  【解析】解：角的终边经过点， 可得， 则． 故选：． 7.【答案】  【解析】解：由， 可得：， 即切点坐标为， 由，可得： 将代入可得： 由此可知，切线的斜率为， 已知切点，斜率为， 所以函数的图象在点处的切线方程为：， 去括号可得：， 即． 故选：． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查由递推公式判断数列为等比数列，等比数列的通项公式及前项和，分组求和法，属于中档题． 原等式变形为，因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，求出通项公式即可求出及的通项公式，再利用分部求和法及等比数列的前项和即可求出的前项和． 【解答】 解：因为， 所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列，A正确； ，即，B正确； 为递减数列，C错误； 的前项和 D正确； 故选C． 9.【答案】  【解析】解：由，得，因为，所以，解得， 又，所以，故A正确； 因为，故，所以，所以， 当且仅当时取等号，故B正确； 由，得，所以， 所以当时，取得最小值，最小值是，故C错误； 在表达式“”中，结合分式意义，可得， ， 当且仅当时，结合，即时取等号，故D正确． 故选：． 10.【答案】  【解析】解：依题意可知， 对于选项A：因为，所以数列是等比数列，故A正确； 对于选项B：，所以， 所以数列是递减数列，故B正确； 对于选项C：设，则， 所以数列是等差数列，故C正确； 对于选项D：， 因为， 即，所以，，不成等比数列，所以D错误． 故选：． 先根据等比数列求，对于：根据等比数列的定义分析判断；对于：根据数列单调性的定义分析判断；对于：根据等差数列的定义分析判断；对于：根据等比中项的定义分析判断． 本题主要考查了等比数列的判断，等比数列的性质，通项公式及求和公式的应用，属于中档题． 11.【答案】  【解析】解：对求导，可得， 设切点为，切线方程为， 若切线为，则，即， 对于方程，其判别式，方程无解， 所以直线不是曲线的切线，故A 错误； 由，令，即，解得或， 当或时，，单调递增当时，，单调递减， ，． 当时，当时，，所以，有三个零点，故B正确 ，则，所以，故 C正确； 由前面分析知在，递增，在递减， ，， 若在区间上有最大值，因为，所以  解得，故D错误． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查向量的数量积运算、向量的坐标运算以及向量垂直的条件，属于基础题 由得，再代入数据得关于的方程，解之即可 ． 【解答】 解：由，得，即， 由，， 代入，得，得． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了三角形面积公式以及余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 根据三角形面积公式可得，然后使用余弦定理可得答案． 【解答】 解：由题意知， 则， 由余弦定理得，即， 则． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】【分析】本题主要考查函数的零点与方程根的关系、函数的对称性和导数的几何意义，数形结合，属于较难题． 令，得，令，则函数的零点个数即函数的图象与函数的图象的交点个数， 当函数的图象过点时，， 过点作函数 的图象的切线，利用导数可得切线斜率，从而得出结果． 【解答】解：由对任意都成立，所以函数的图象关于直线对称，  作出函数在上的图象， 再作出这部分图象关于直线对称的图象，得函数的图象，如图所示： 令，得，令， 则函数的零点个数即函数的图象与函数的图象的交点个数，  因为，所以的图象关于轴对称，且恒过定点，  当函数的图象过点时，，  过点作函数 的图象的切线， 设切点为 处的切线方程为， 又切线过点，所以， 所以切线的斜率为，即当时，的图象与函数 的图象相切， 由图可知，当且仅当时，和恰有个交点，即恰三个零点， 故答案为： ． 15.【答案】解：根据函数的部分图象， 可得，，． 由可得，令， 求得，可得函数的增区间为，． 在区间上，，故当时，函数取得最小值为； 当时，函数取得最小值为．  【解析】由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，可得函数的解析式． 由题意利用正弦函数的单调性，求得的单调增区间． 由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得在区间上的最大值和最小值． 本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于基础题． 16.【答案】解：， 解得：． 由可知，数学成绩在：  频率，  频率，  频率，  频率，  频率，  频率， 样本平均值为：， 可以估计样本数据中数学成绩均值为分， 据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩的平均分是分； 解：由题意可知，分数段的人数为 人， 分数段的人数为 人． 用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，则需在分数段内抽人，分别记为，，需在分数段内抽人，分别记为，，， 设“从样本中任取人，抽取的这名学生的分数不在同一组内”为事件， 则样本空间共包含个样本点 所以事件的对立事件为包含个样本点 所以， 所以， 即抽取的这名学生的分数不在同一组内的概率为．   【解析】本题主要考查频率分布直方图，考查平均数，考查用样本估计百分位数，考查古典概型的计算及应用，考查对立事件，属于中档题． 利用频率和为，求出的值； 利用平均数公式，列式求解，即可得； 由题意知，求出和分数段的人数，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，设“从样本中任取人，抽取的这名学生的分数不在同一组内”为事件，求出对立事件，即可得解． 17.【答案】证明：，是的中点， ， 因为平面平面，平面平面，平面， 平面， 又平面， ． 解：平面，平面， ， 菱形中，，所以是正三角形， ． 、、两两垂直． 建立如图所示空间直角坐标系． 则，，，，， ，， 设是平面的一个法向量， 则， 令，得， 轴与平面垂直， 是平面的一个法向量． ，， 二面角的平面角是锐角， 所以二面角的余弦值为． 解：假设在线段上存在点，使得直线与平面所成的角为． ，， 设， 则， 因为直线与平面所成的角为， ， ， 由，解得， 所以在线段上存在点，使得直线与平面所成的角为，且． 18.【答案】解：证明：，， 可得， 可得数列是首项为，公差为的等差数列； 由可得， 则； ， 前项和， ， 两式相减可得 ， 化简可得．  19.【答案】当时，则，可知的定义域为，且， 令，解得令，解得， 可知的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以函数的最小值为 由题意可知的定义域为，且， 当时，恒成立，所以的单调递减区间是，无单调递增区间． 当时，令解得，令，解得令，解得， 所以的单调递减区间是．，单调递增区问是 综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是 当时，不等式恒成立， 即，整理可得， 原题意等价于对任意恒成立， 令，则， 令，，则，所以在区间上单调递增， 因为，， 所以在区间内存在唯一零点，即，所以， 当时，，即当时，，即 可知在区间上单调递减，在区间上单调递增 所以， 因为，则，即，且为整数，则， 所以整数的最大值是．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $