云南省怒江州兰坪县高三数学下学期月考测试2025-2026学年人教A版全部内容

**基本信息** 高三数学月考卷立足2019人教A版全内容，以原创题（如幂函数性质）和新情境题（古代米斗外接球、牛顿冷却模型、目瑙纵歌客流量回归分析）实现知识与素养融合，适配高三综合能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、向量、幂函数、等比数列等|第3题原创考查幂函数定义与单调性，第7题新情境结合正四棱台外接球考查空间想象| |多选|3/18|复数轨迹、函数性质、导数应用|第9题新情境应用牛顿冷却模型考查函数分析，体现数学思维| |填空|3/15|解三角形、二项式定理、新定义函数|第14题原创定义函数最值，考查数学语言表达| |解答|5/77|导数单调性、立体几何、统计回归、抛物线、数列新定义|第17题原创目瑙纵歌客流量回归分析，第19题新定义数列考查逻辑推理，契合核心素养|

应用场景：周测/单元测/月考/期中/期末/（如以上均不符合则自行添加） 高三数学下学期月考测试 2019人教A版全部内容 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2．已知，则向量与夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 3．（原创）函数是幂函数，且在上为增函数，则实数的值是（  ） A． B．0 C． D．2 4．已知正项等比数列的前n项和为，若，且与的等差中项为，则（ ） A.36 B. 33 C. 31 D. 29 5．2023年10月23日，杭州亚运会历时16天圆满结束.亚运会结束后，甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲､丙必须相邻，则不同的站法共有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 30种 D. 36种 6．已知函数，，，若的最小值为，且，则的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 7. （新情境题）如图是我国古代米斗，它是随着粮食生产而发展出来的用具，是古代官仓、粮栈、米行等必备的用具，早在先秦时期就有，到秦代统一了度量衡，汉代又进一步制度化，十升为斗、十斗为石的标准最终确定下来.已知一个斗型（正四棱台）工艺品上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点A，直线交椭圆于P，Q两点，若F恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ） A. 　　　　　　　B. 　　　　　　C. 　　　　　　　D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（新情境题）牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是（单位：），环境温度是（单位：），其中.则经过分钟后物体的温度将满足，其中为正常数.现有一杯的热红茶置于的房间里，根据这一模型研究红茶冷却，正确的结论是（       ） A． B．若，则 C．若,则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟的速率下降 D．红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间少 10. 已知复数和，则下列命题是真命题的有（ ） A. 若满足，则其在复平面内对应点的轨迹是圆 B. 若满足，则其在复平面内对应点的轨迹是椭圆 C. 若满足，则其在复平面内对应点的轨迹是双曲线 D. 若满足，则其在复平面内对应点的轨迹是抛物线 11．已知函数及其导函数的定义域均为，且，的图象关于点对称，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 的图象关于点对称 D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在中，已知，则 ． 13．设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则_____． 14．（原创）对，用表示中的最小者，记为，期中 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，证明：. 16. （15分）如图，已知在圆柱中，A，B，C是底面圆O上的三个点，且线段为圆O的直径，，为圆柱上底面上的两点，且矩形平面，D，E分别是，的中点． （1）证明：平面． （2）若是等腰直角三角形，且平面，求平面与平面的夹角的正弦值． 17．（15分）（原创）（新情境题）“目瑙纵歌”是云南景颇族的重要节庆。为研究其年客流量变化，某研究小组收集了2000年至2023年（其中2020-2022年因疫情故停办）的累计客流（万人次）与对应年份数据，并建立了一元线性回归模型进行预测。已知年份从2000年起算，记则为连续自变量。根据最小二乘法，求得客流（万人次）关于的一元线性回归方程为：;2024年的实际客流量为 22.1 万人次。 参考公式及数据：,, ,. （1）计算样本相关系数的值（精确到0.0001），并说明的实际意义． （2）利用上述回归方程，预测2024年的客流量 ，并计算2024年客流量的残差（实际值—预测值），残差平方和的值（精确到0.01）． （3）该研究小组认为，若模型预测的平均相对误差低于7%，则模型可用于短期预测。已知2025年实际客流为21.0万人次，预测值为21.9924万人次。请计算2024年与2025年的平均相对误差（相对误差：），并判断该模型是否可用于短期预测． 18.（17分）已知抛物线的焦点和椭圆的右焦点相同，点的坐标分别为是抛物线上的点，设直线与抛物线的另一交点分别为. （1）求抛物线的标准方程； （2）求证：当点在抛物线上变动时（只要点存在，且点与点不重合），直线恒过定点，并求出定点坐标． 19. （17分）若数列满足：，且，则称为一个数列．对于一个数列，若数列满足：，且，则称为的伴随数列． （1）若数列中，，写出其伴随数列中的值； （2）若为一个数列，为的伴随数列 ①证明：“为常数列”是“为等比数列的充要条件； ②求的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 高三数学下学期月考测试命题双向细目表 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 集合的运算 0.9 2 单选题 5 数量积及向量夹角的求解 0.85 3 单选题 5 幂函数定义与单调性（幂函数定义、系数为 1、单调性） 0.8 4 单选题 5 等比数列的性质，基本量的计算及前n项和求解 0.75 5 单选题 5 排列组合的应用 0.7 6 单选题 5 三角函数的解析式和单调性 0.72 7 单选题 5 球截面性质和球的表面积 0.5 8 单选题 5 椭圆和直线相交的应用 0.38 9 多选题 6 借助物理知识考查导数的应用 0.65 10 多选题 6 复数知识和圆锥曲线的综合应用 0.58 11 多选题 6 函数的性质 0.55 12 填空题 5 余弦定理的应用 0.68 13 填空题 5 二项展开式的系数 0.6 14 填空题 5 函数图像与方程求解（函数图像、数形结合） 0.52 15 解答题 13 函数单调性的求解和不等式的证明 0.68 16 解答题 15 线面平行的证明，及应用空间向量求面面角的正弦值 0.65 17 解答题 15 一元线性回归（相关系数计算、回归预测、误差评估） 0.55 18 解答题 17 抛物线方程的求解，直线过定点问题的证明和寻求 0.41 19 解答题 17 借助数列构建新定义，考查学生的综合素养 0.32 $ 高三数学下学期月考测试 2019人教A版全部内容 答案及解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A B C C C B D A ACD AB ABD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A 【解析】由可得，所以集合， 又集合，所以， 故选：A. 2．【答案】B 【解析】结合题意：设向量与夹角为， ， 因为，所以，解得. 因为，所以.故选：B. 3．【答案】C 【解析】因为是幂函数，所以，解得或， 又因为该函数在上为增函数，所以，故选：C. 4．【答案】C 【解析】不妨设等比数列的公比为，由可得：，因，则① 又由与的等差中项为可得：，即② 将①代入②，可得：，回代入①，解得：，于是 故选：C. 5．【答案】C 【解析】由题意可知，当丙站在左端时，有种站法； 当丙不站在左端时，有种站法. 由分类加法计数原理可得，一共有种不同的站法. 故选：C 6．【答案】B 【解析】因为， 又，，且的最小值为， 所以，即，又，所以， 所以，又，所以，即， 因为，所以， 所以，令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B 7. 【答案】D 【解析】如图，设该正四棱台四棱台， 设上下底面的焦点分别为，则其外接球的球心在直线上， 由题意，， 故四棱台的高， 易知在线段上，设，外接球的半径为， 则，解得， 所以， 所以其外接球的表面积. 故选：D 8. 【答案】A 【解析】首先设的中点，由点差法得，再根据重心的性质求得点的坐标，联立求得椭圆的离心率，再结合条件，即可求解. 【详解】设，，的中点为点， ，两式相减得， 化解得，即，得， 所以， ，，由F恰好为的重心， 则，即，得，， 即，， 所以，则，平方后得， ，即， 解得：或， 由条件，得，即，得， 所以 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．【答案】ACD 【解析】由题知， 对于A选项，因为为正常数，所以，故A选项正确； 对于B选项，若，即，所以，则，故B选项错误； 对于C选项，表示处的函数值的变化情况，若，所以实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟的速率下降，故C选项正确； 对于D选项，令，则，故是定义域内的单调递增函数， 由于，所以随着时间的增加，下降速度再减小，由于， 故当下降温度相同的时候，下降所需时间相对增加，故红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间少， 故D选项正确. 故选：ACD 10.【答案】AB 【解析】设，由，得， 若满足，表示复平面内点与点之间的距离为定值2，则在复平面内对应点的轨迹是圆，故A选项正确； 若满足，表示复平面内点到点与的距离之和为3， 又，满足椭圆的定义，则在复平面内对应点的轨迹是椭圆，B选项正确； 若满足，表示复平面内点到点与的距离之差为2，又，不满足双曲线的定义，C选项错误； 可化为，若满足，表示复平面内点到点与的距离相等， 则在复平面内对应点的轨迹是直线，D选项错误. 故选：AB 11．【答案】ABD 【解析】由，可得，则，令，得，A正确. 令，则，故为偶函数，B正确. 假设的图象关于点对称，则， 则，即，则， 这与的图象关于点对称矛盾，假设不成立，C不正确. 因为的图象关于点对称，所以， 令，则， 则（为常数），则， 从而，即， 由，得，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．【答案】 【解析】由余弦定理可得, 故答案为： 13.【答案】 【解析】由展开式的二项式系数的最大值为，则有， 由展开式的二项式系数的最大值为，则有， 由，故有， 即，即，即， 解得. 故答案为：. 14．【答案】1 【解析】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 【答案】(1)当时，在上单调递增，无减区间； 当时，在上单调递减，在上单调递增.. (2)证明见解析. 【解析】（1）由题意得：的定义域,....................2分 若则在上单调递增，.........................................................3分 若当时，则单调递减，时，则单调递增..................................................................................................... .....................5分 综上：当时，在上单调递增，无减区间； 当时，在上单调递减，在上单调递增...........................6分 （2） 因，设........................................10分 则，..............................................................................................12分 所以在上单调递减，故..........................13分 16. 【答案】（1）证明见解析. （2）平面与平面的夹角的正弦值为． 【解析】（1）如图，取的中点F，连接，，................................................................1分 因为D，E，F分别为，，的中点， 所以，．...................................................................................................2分 又因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面．............................................................................4分 因为，，平面， 所以平面平面．.................................................................................................5分 又因为平面，所以平面．...............................................................6分 （2）如图，连接，．因为E，O分别为，的中点，所以，且， 又因为D为的中点，所以，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以． 因为平面，所以平面． 又因为平面，所以，可得． 因为是等腰直角三角形，所以．又矩形平面，可得平面，....................................................................................................................................9分 以A为原点，以，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，则，可得，，，， 则，，，．.....................11分 设平面的法向量为，则， 即，取，可得，，所以．...............................12分 设平面的法向量为，则， 即，取，可得，， 所以．.......................................................................................................................13分 所以.......................................................................14分 设平面与平面的夹角为，则. 所以平面与平面的夹角的正弦值为．............................................................15分 17.【答案】（1）相关系数的值0.8096；实际意义：相关系数约为 0.8096，接近0.8，说明年份(或节庆届数)与客流量之间存在较强的正相关，即随着年份增加，目瑙纵歌的客流呈现明显上升趋势. （2）预测2024年的客流量 为21.2783（万人次）；2024年客流量的残差0.8217.残差平方和的值0.67. （3）平均相对误差： 判断：4.225% < 7%，因此该模型可用于短期预测. 【解析】（1）回归直线斜率与相关系数的关系 ......................................................2分 已知回归系数（斜率）带入有：.......................4分 实际意义：相关系数约为 0.8096，接近0.8，说明年份(或节庆届数)与客流量之间存在较强的正相关，即随着年份增加，目瑙纵歌的客流呈现明显上升趋势。.................5分 （2）先确定2024年对应的值： 将代入回归方程， （万人次）.................7分 残差：（万人次）.................9分 计算残差平方：.................10分 （3）2024年相对误差： .................12分 2025年相对误差： .................14分 平均相对误差： 判断：4.225% < 7%，因此该模型可用于短期预测。.................15分 18. 【答案】（1）抛物线的标准方程为； （2）证明见解析，定点坐标为. 【解析】（1）由题意知，，，则，......................................................2分 所以椭圆的右焦点为， 又抛物线焦点为， 所以，即， 所以抛物线的标准方程为．.........................................................................................6分 （2）证明：如图所示， 设，，， 则，． 由，，三点共线可得，即， 化简，得． 所以． 同理：由，，三点共线可得．........................................................................9分 ①当，即时，直线EP的斜率存在， 此时， 所以直线EP的方程为， 即， 整理得． 所以直线EP恒过定点，定点坐标为．....................................................................14分 ②当，即时，直线EP的斜率不存在，此时， 所以直线EP的方程为，过定点． 综上所述，直线EP恒过定点，定点坐标为．.........................................................17分 19.【答案】（1），，； （2）①证明见解析； ②的最大值为. 【解析】（1）..............4分 （2）①，充分性：若数列为常数列， 因为，所以， 所以， 又因为， 所以伴随数列是以为首项，以为公比的等比数列...................................................7分 必要性：（反证法）假设数列是等比数列，而数列不是常数列. 所以数列中存在等于的项，设第一个等于零的项为，其中， 所以，得等比数列的公比为， 又，得等比数列的公比，与“的公比为”矛盾， 所以当数列是等比数列时，数列是常数列. 综上所述，“为常数列”是“为等比数列的充要条件..............................................10分 ②，当时，；...............................................................................11分 当时，；..........................................................................................12分 当时，；.......................................................................................13分 当时，；............................................................................................14分 所以或或，且，所以， 所以，.........................................................16分 当时， 所以的最大值为.....................................................................................................17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $