专题07 概率初步(续)3考点11题型3易错（期末复习知识清单）高二数学下学期沪教版

吃 专题07 概率初步(续) 一、条件概率与三大公式 1．条件概率公式 2．全概率公式 ＊3．随机变量公式 二、随机变量的数字特征 4.期望与方差的定义：设随机变量 的分布如上，那么其期望定义为 其方差定义为 5．期望的线性性质 （1）如果 是一个随机变量， 是一个实数，那么 （2）如果 $X , Y$ 是两个随机变量，那么 6．方差的性质 （1）如果 是一个随机变量， 是一个实数，那么 （2）如果 、 分别是两个独立的随机变量，那么 三、常见离散/连续分布 7．二项分布：独立地重复一个成功概率为 的伯努利试验 次，其成功次数的分布称为二项分布（binomial distribution），亦称成功次数 服从二项分布 。 8．超几何分布：从一个装有大小与质地相同的 个白球、 个黑球的袋子中随机且不放回地取 个球，其中的白球的分布称为超几何分布（hypergeometric distribution）． 9．正态分布：由钟形曲线 所刻画的分布称为正态分布（normal distribution）． 一、利用随机变量分布列的性质解题 【例1】（24-25高二下·上海·期末）设随机变量X的分布列，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·上海·月考）已知离散型随机变量的分布为，则_____. 【变式2】（24-25高二下·上海·期末）某射击运动员射击所得环数的分布为，则的值为______. 二、计算条件概率 【例2】（23-24高二下·上海·期末）将一枚硬币连续抛掷三次，每次得到正面或反面的概率均为 ，且三次抛掷的结果互相独立． 记事件为 “至少两次结果为正面”，事件为 “第三次结果为正面”，则 （    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·上海·期末）甲、乙两选手进行围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，采取五局三胜制.则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了三局的概率为______. 【变式2】（24-25高二下·上海·期末）有个相同的球，分别标有数字，，，，从中不放回地随机取两次，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数，则______． 三、求离散型随机变量的均值 【例3】（23-24高二下·上海·期末）设，随机变量的分布是: 1 2 4 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·上海·期末）在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则__________. 【变式2】（22-23高二下·上海长宁·期末）运动员甲定点罚篮的命中率为，假设每次投篮结果相互独立. (1)甲定点罚篮4次，求他投中了两次的概率； (2)甲定点罚篮3次，设是3次罚篮投中次数与没有投中次数之差的绝对值，求随机变量的分布与期望； (3)甲定点罚篮次，试问甲投中多少次的可能性最大？ 【变式3】（24-25高二下·上海浦东新·期末）某校桥牌社每个月要和兄弟学校的桥牌社进行一次友谊赛，为此要从5名社员中随机选择3名参加友谊赛．新学年友谊赛从10月份开始，此时5名社员中有2名新社员没有参加过此前的友谊赛． (1)设10月份参加比赛的新社员的人数为，求的分布与期望； (2)求11月份参加比赛的社员中，恰有1个没有友谊赛经验的概率． 四、离散型随机变量的方差与标准差 【例4】（24-25高二下·上海·期末）已知随机变量的分布为，且随机变量，则________. 【变式1】（23-24高二下·上海金山·期末）一袋中装有大小与质地相同的个白球和个黑球． (1)从中有放回地依次摸出个球，求两球颜色不同的概率； (2)从中不放回地依次摸出个球，记两球中白球的个数为，求的期望与方差． 【变式2】（24-25高二下·上海·期末）某箱子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中3个红球，2个白球.从箱子中每次随机取出1个球，如果取出的是红球，则不放回；如果取出的是白球，则放回，每一次操作，称为一次取球.记两次取球后，箱子中小球的个数为. (1)求两次取球都是红球的概率； (2)求的分布、期望和方差. 【变式3】（24-25高二下·上海·期末）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复. (1)求3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率； (2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布、期望与方差； (3)求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数. 【变式4】（24-25高二下·上海·期末）某中学选派12名学生参加上海市高中生志愿者的培训活动，他们参加培训的次数统计如下表所示： 培训次数 1 2 3 参加人数 2 4 6 (1)从这12名学生中任选3名，求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率（结果用最简分数表示）； (2)从这12名学生中任选2名，用表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量的期望与方差（结果用最简分数表示）． 五、方差的性质 【例5】（24-25高二下·上海·阶段检测）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·上海奉贤·月考）已知离散型随机变量、满足，其中的分布如下：，且，则___________. 【变式2】（24-25高二下·上海·月考）已知随机变量，，若，且，则_______. 六、利用二项分布求分布列 【例6】（22-23高二下·上海浦东新·期末）经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（    ） A．的可能取值为1，2，3，4，5 B． C．的概率最大 D．服从超几何分布 【变式1】（23-24高二下·上海·期末）一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·上海·期末）已知鸡接种一种疫苗后，有不会感染某种病毒.如果3只鸡接种了疫苗，那么没有鸡感染病毒的概率为______. 【变式3】（24-25高二下·上海·期末）随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活．在教育领域，Al的赋能潜力巨大．为了解教师对大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用、、豆包、文心一言四种大模型的情况统计如下： 使用大模型的种数性别 0 1 2 3 4 男 4 27 23 16 10 女 6 48 27 24 15 在上述样本所有使用3种大模型的40人中，统计使用、、豆包、文心一言的大模型人次如下： 大模型种类 豆包 文心一言 人次 32 30 30 28 用频率估计概率． (1)从该地区教师中随机选取一人，记事件为选取的为男教师，事件为选取的教师仅会使用2种模型．求和．并据此判断事件和事件是否独立： (2)从该地区使用3种大模型（、、豆包、文心一言）的教师中，随机选出3人，记使用豆包的有人，求的分布列及其数学期望； (3)从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用大模型（、、豆包、文心一言）的种数分别为，，比较，的数学期望，的大小，并说明理由． 七、超几何分布的分布列 【例7】（23-24高二下·上海·期末）在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了100名学生，其中共有4名女生和2名男生的成绩在90分以上，从这6名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次，记第一次抽到女生为事件，第二次抽到男生为事件. (1)求，； (2)若把抽取学生的方式更改为：从这6名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为，求的分布列和数学期望． 【变式1】（23-24高二下·上海·期末）袋中装有大小和质地相同的5个球，其中2个黑球，3个白球．从中随机地摸出3个球，用X表示摸出的黑球个数． (1)采用不放回摸球，求X的分布； (2)采用有放回摸球，求X的分布、期望． 【变式2】（23-24高二下·上海松江·期末）某超市为促进消费推出优惠活动，为预估活动期间客户投入的消费金额，采用随机抽样统计了200名客户的消费金额，分组如下：（单位：元），得到如图所示频率分布直方图： 活跃客户 非活跃客户 总计 男 20 女 60 总计 (1)若把消费金额不低于800元的客户，称为“活跃客户”，经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，求列联表中的值，并根据列联表判断是否有的把握认为“活跃客户”与性别有关？ (2)为感谢客户，该超市推出免单福利，方案如下：从“活跃客户”中按分层抽样的方法抽取12人，从中抽取2人进行免单，试写出免单总单金额的分布列及其期望．（每一组消费金额按该组中点值估计，期望结果保留至整数） 附： 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 【变式3】（23-24高二下·上海长宁·期末）（1）为了解中草药甲对某疾病的预防效果，研究人员随机调查了100名人员，调查数据如表.（单位：个）若规定显著性水平，试分析中草药甲对预防此疾病是否有效； 未患病者 患病者 合计 未服用 中草药甲 29 16 45 服用 中草药甲 46 9 55 合计 75 25 100 （2）已知一个盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球.现从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为X，求X的分布列、期望和方差. 附：，. α 0.100 0.050 0.010 0.001 x 2.706 3.841 6.635 10.828 【变式4】（22-23高二下·上海浦东新·期末）某大学学院共有学生1000人，其中男生640人，女生360人.该学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，按性别分层抽样，从该学院所有学生中抽取若干人作为样本，对样本中的每位学生在5月份的累计跑步里程进行统计，得到下表. 跑步里程 男生（人数） 12 10 5 女生（人数） 6 6 4 2 (1)求的值，并估计学院学生5月份累计跑步里程在中的男生人数； (2)从学院样本中5月份累计跑步里程不少于的学生中随机抽取3人，其中男生人数记为，求的分布及期望. 八、求超几何分布的概率 【例8】（23-24高二下·上海·期末）如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X，则_________． 【变式1】（21-22高二下·上海杨浦·期末）袋中装有大小和质地相同的5个白球，3个黑球.现在依次不放回地摸5个球，则摸出至少3个白球的概率为_________.（结果用最简分数表示） 【变式2】（22-23高二下·上海崇明·期末）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求： (1)“所选3人中女生人数”的概率； (2)X的期望与方差. 【变式3】（21-22高二下·上海浦东新·期末）设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球． (1)记随机变量表示从甲盒取出的红球个数，求期望的值； (2)求从乙盒取出2个红球的概率． 九、正态曲线的性质 【例9】（24-25高二下·上海·期末）已知随机变量，，有以下两个命题：①；②存在，使得对任意，． 那么（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 【变式1】（24-25高二下·上海·期末）已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（    ）. A．关于直线对称 B．关于点成中心对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 【变式2】（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知随机变量服从正态分布且则________． 【变式3】（24-25高二下·上海奉贤·期末）某公司生产的糖果每包标识质量是，但公司承认实际质量存在误差，已知每包糖果的实际质量服从、的正态分布，随意买一包该公司生产的糖果，其质量误差超过（即1%）的可能性为________.（结果精确到0.1%） （参考数据：若，则，，） 十、正态分布的实际应用 【例10】（23-24高二下·上海·期末）某班级共有 40 名同学， 其中 15 人是团员． 现从该班级通过抽签选择 10 名同学参加活动，定义随机变量 为其中团员的人数，则 服从 （    ） A．二项分布 B．超几何分布 C．正态分布 D．伯努利分布 【变式1】（23-24高二下·上海·期末）学校的高三年级共有500名学生，一次考试的数学成绩服从正态分布，已知，估计高三年级学生数学成绩在110分以上的人数为_________. 【变式2】（2023·上海普陀·模拟预测）某校高中三年级600名学生参加了区模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布（试卷满分为150分）.统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为__________. 十一、根据正态曲线的对称性求参数 【例11】（24-25高二下·上海·期末）已知随机变量，，且，，则__________． 【变式1】（23-24高二下·上海金山·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则实数的取值范围是______． 【变式2】（23-24高二下·上海·月考）设，已知随机变量，随机变量.若，则________. 【变式3】（22-23高二下·上海浦东新·期末）设随机变量服从正态分布，且，，则________. 一、计算条件概率 【例1】（24-25高二下·上海浦东新·期末）下列四个命题中，真命题的个数是（   ） （1）若，则 （2）若，则 （3）若，且A，B为互斥事件，则A，B不为独立事件． （4）若，A和C为互斥事件，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（24-25高二下·上海崇明·期末）某班级有40名学生，其中男生21名，女生19名，男生中有10名团员，女生中有9名团员，在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则_______． 【变式2】（23-24高二下·上海·期末）已知一个二胎家庭中有一个男孩，则这个家庭中有女孩的概率为______． 【变式3】（23-24高二下·上海·期末）甲乙丙丁四名医生随机派往①②③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派一名医生，表示事件“医生甲派往①村庄”；表示事件“医生乙派往①村庄”；表示事件“医生乙派往②村庄”， 则下列说法①事件与相互独立； ②事件与相互独立； ③；④，其中错误的个数是__________个． 【变式1】4（24-25高二下·上海浦东新·期末）不透明的袋中装有编号为1，2，…，10的10个小球，现从中随机有放回地取4次，每次取1个球，已知摸出的球中有编号为5的球，则摸出的球中最大编号大于等于7的概率是________． 二、利用全概率公式求概率 【例2】（24-25高二下·上海·期末）某中学高一、高二、高三的学生人数比例为，假设该中学高一、高二、高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为0.5，0.7，0.9，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率________． 【变式1】（24-25高二下·上海崇明·期末）某地市场上，某商品主要有甲、乙两种品牌，已知甲的市场占有率为45%，乙的市场占有率为55%．已知甲品牌一等品比例为90%，乙品牌一等品的比例为95%．现在该地市场上任取一件该商品，它是一等品的概率是_______． 【变式2】（24-25高二下·上海浦东新·期末）有甲、乙两袋，甲袋中有3个白球，2个红球；乙袋中有2个白球，3个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则此球为红球的概率为________．（结果为精确值） 【变式3】（23-24高二下·上海·期末）某张试卷由两位陈老师、一位张老师共同命制，其中第8题从三位老师中随机抽取一位进行命题. 已知若由张老师命题，学生答对这道题的概率是；若由（任意一位）陈老师命题，学生答对这道题的概率是. 那么学生答对第8题的概率是________. 三、指定区间的概率 【例3】（23-24高二下·上海·期末）下列说法中正确的是______ ①设随机变量服X从二项分布，则； ②已知随机变量X服从正态分布且，则； ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点互不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”，则； ④． 【变式1】（23-24高二下·上海·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则_____________. 【变式2】（23-24高二下·上海·期末）若随机变量X服从标准正态分布，则______． 【变式3】（23-24高二下·上海·期末）某班有40名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩超过120分的人数为______． 【变式4】（23-24高二下·上海·期末）老张每天下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有，两条线路可以选择.乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要12分钟. 下列说法从统计角度认为不合理的是_________. 参考数据：若，则，， ①若乘坐线路，前一定能到家； ②乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ③乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ④若乘坐线路，则在前到家的可能性不超过. 2 / 41 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $ 吃 专题07 概率初步(续) 一、条件概率与三大公式 1．条件概率公式 2．全概率公式 ＊3．随机变量公式 二、随机变量的数字特征 4.期望与方差的定义：设随机变量 的分布如上，那么其期望定义为 其方差定义为 5．期望的线性性质 （1）如果 是一个随机变量， 是一个实数，那么 （2）如果 $X , Y$ 是两个随机变量，那么 6．方差的性质 （1）如果 是一个随机变量， 是一个实数，那么 （2）如果 、 分别是两个独立的随机变量，那么 三、常见离散/连续分布 7．二项分布：独立地重复一个成功概率为 的伯努利试验 次，其成功次数的分布称为二项分布（binomial distribution），亦称成功次数 服从二项分布 。 8．超几何分布：从一个装有大小与质地相同的 个白球、 个黑球的袋子中随机且不放回地取 个球，其中的白球的分布称为超几何分布（hypergeometric distribution）． 9．正态分布：由钟形曲线 所刻画的分布称为正态分布（normal distribution）． 一、利用随机变量分布列的性质解题 【例1】（24-25高二下·上海·期末）设随机变量X的分布列，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】由随机变量的分布列求概率、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】由离散型随机变量的分布列性质求出，然后求解即可. 【详解】因为随机变量X的分布列， 所以，解得：， . 故选：B. 【变式1】（24-25高二下·上海·月考）已知离散型随机变量的分布为，则_____. 【答案】 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据分布列性质求，再由互斥事件概率和公式求解即可. 【详解】由题意可知， 则. 故答案为： 【变式2】（24-25高二下·上海·期末）某射击运动员射击所得环数的分布为，则的值为______. 【答案】0.4/ 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据分布列的性质列式计算即可. 【详解】由，得. 故答案为：0.4 二、计算条件概率 【例2】（23-24高二下·上海·期末）将一枚硬币连续抛掷三次，每次得到正面或反面的概率均为 ，且三次抛掷的结果互相独立． 记事件为 “至少两次结果为正面”，事件为 “第三次结果为正面”，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算条件概率 【分析】由题意，先计算，再利用条件概率的公式，即可求得结论. 【详解】由题意，，， 则. 故选：C 【变式1】（24-25高二下·上海·期末）甲、乙两选手进行围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，采取五局三胜制.则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了三局的概率为______. 【答案】/0.375 【知识点】计算条件概率 【分析】根据题意，设甲获胜为事件，比赛进行三局为事件，根据条件概率公式分别求解和的值，进而计算可得答案． 【详解】设甲获胜为事件，比赛进行三局为事件， ，， 所以所求概率为. 故答案为： 【变式2】（24-25高二下·上海·期末）有个相同的球，分别标有数字，，，，从中不放回地随机取两次，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数，则______． 【答案】 【知识点】利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】由全概率公式求得，然后求得，最后结合条件概率公式即可得解. 【详解】由题意，， 故所求为. 故答案为：. 三、求离散型随机变量的均值 【例3】（23-24高二下·上海·期末）设，随机变量的分布是: 1 2 4 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用不等式求值或取值范围、求离散型随机变量的均值、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】利用分布列的性质列出相等关系，通过计算并消元，最后再利用已知条件分析自变量的取值范围，即可作出判断. 【详解】由分布列的概率和为1，可知，可得， 又因为，所以，即， ， 故选：C. 【变式1】（23-24高二下·上海·期末）在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则__________. 【答案】 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、计算古典概型问题的概率 【分析】先确定样本点总数，再得到的可能取值，求出概率，列出分布列，求出期望. 【详解】对于维坐标，其中.即有两种选择， 故共有种选择，即维“立方体”的顶点个数是个顶点； 当时，在坐标与中有个坐标值不同，即有个坐标值满足，剩下个坐标值满足， 则满足的个数为. 所以. 故分布列为： 则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于确定当时，在坐标与中有个坐标值不同，即有个坐标值满足，剩下个坐标值满足，再由求出概率. 【变式2】（22-23高二下·上海长宁·期末）运动员甲定点罚篮的命中率为，假设每次投篮结果相互独立. (1)甲定点罚篮4次，求他投中了两次的概率； (2)甲定点罚篮3次，设是3次罚篮投中次数与没有投中次数之差的绝对值，求随机变量的分布与期望； (3)甲定点罚篮次，试问甲投中多少次的可能性最大？ 【答案】(1) (2) 1 3 (3) 【知识点】求离散型随机变量的均值、独立重复试验的概率问题、写出简单离散型随机变量分布列、其他问题中的概率解释 【分析】（1）由独立重复事件的概率公式可求他投中了两次的概率； （2）随机变量的可能取值为1和3，求出相应的概率，可得分布列，根据数学期望公式运算即可得解； （3）由二项分布的定义及性质运算即可得解． 【详解】（1）解：他投中了两次的概率. （2）解：由题意，的取值为1和3， ， ， ∴随机变量的分布为： 1 3 ∴. （3）解：甲定点罚篮150次，设甲投中次数为， 则， 其分布列为 ，其中. 由二项分布的性质， ∵ ， 当时，，随值的增加而增加； 当时，，随值的增加而减小； 又∵， ∴为概率的最大值， ∴甲投中次的可能性最大. 【变式3】（24-25高二下·上海浦东新·期末）某校桥牌社每个月要和兄弟学校的桥牌社进行一次友谊赛，为此要从5名社员中随机选择3名参加友谊赛．新学年友谊赛从10月份开始，此时5名社员中有2名新社员没有参加过此前的友谊赛． (1)设10月份参加比赛的新社员的人数为，求的分布与期望； (2)求11月份参加比赛的社员中，恰有1个没有友谊赛经验的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【知识点】求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）使用古典概型方法求解分布列，再用数学期望的定义求出期望； （2）利用（1）的结果，并使用全概率公式求解. 【详解】（1）的可能取值是0、1、2， ，，， 故的分布列是 数学期望. （2）设事件、、分别表示“10月份的友谊赛中恰有0、1、2名新社员参加比赛”． 事件表示“11月参加比赛的社员中恰有1个没有参加友谊赛经验”． 由（1），可知，，． 发生时，5名社员中有2名没有比赛经验，故． 发生时，5名社员中有1名没有比赛经验，故． 发生时，7名社员中有0名没有比赛经验，故． 由全概率公式，得 ． 四、离散型随机变量的方差与标准差 【例4】（24-25高二下·上海·期末）已知随机变量的分布为，且随机变量，则________. 【答案】29 【知识点】求离散型随机变量的均值、方差的性质、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】由数学期望和方差的公式求出，，再由方差的的性质即可求出. 【详解】因为随机变量的分布为， 所以， 所以， 所以. 故答案为：29. 【变式1】（23-24高二下·上海金山·期末）一袋中装有大小与质地相同的个白球和个黑球． (1)从中有放回地依次摸出个球，求两球颜色不同的概率； (2)从中不放回地依次摸出个球，记两球中白球的个数为，求的期望与方差． 【答案】(1) (2)， 【知识点】求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差、独立事件的乘法公式 【分析】 （1）利用独立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）分析可知随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，即可计算出和的值. 【详解】（1）解：从这个球中任意抽取一个球，抽到白球的概率为，抽到红球的概率为， 因此，从中有放回地依次摸出个球，则两球颜色不同的概率为. （2）解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、， 则，，， 所以，， . 【变式2】（24-25高二下·上海·期末）某箱子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中3个红球，2个白球.从箱子中每次随机取出1个球，如果取出的是红球，则不放回；如果取出的是白球，则放回，每一次操作，称为一次取球.记两次取球后，箱子中小球的个数为. (1)求两次取球都是红球的概率； (2)求的分布、期望和方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析，， 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）求出的概率即可； （2）根据求分布列的步骤求出分布列，根据期望公式、方差性质求解可得结果. 【详解】（1）两次取球都是红球的概率即为； （2）由题意知的所有可能取值为3，4，5，则 ，，， 所以的分布为，， . 【变式3】（24-25高二下·上海·期末）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复. (1)求3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率； (2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布、期望与方差； (3)求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数. 【答案】(1) (2)分布列见解析；， (3)；2 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、利用对立事件的概率公式求概率、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）根据对立事件的概率求法，即可求得答案； （2）确定X的取值，求出每个值相应的概率，可得分布列，继而求得期望和方差； （3）确定与的关系式，从而构造数列求出的表达式，结合题意可得需满足，讨论n的奇偶性，即可求得答案. 【详解】（1）由题意可得3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率为； （2）由题意知X的可能取值为， 则，， ， ， 则X的分布列为： X 0 1 2 3 P 故； . （3）由题意得， 则， 则，即得， 又，故数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率需满足，即， 即，即， 当n为偶数时，上式显然不成立， 故当n为奇数时，有， 当时，成立； 当时，成立； 当时，，即不成立； 又随n的增大而减小，故时，均不成立； 则只有在第1天和第3天时有， 故在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数为2. 【点睛】关键点睛：本题综合考查了概率知识和数列的应用问题，有一定难度，解答的关键在于第三问，解答时要能确定，进而根据数列知识求得的表达式，即可求解. 【变式4】（24-25高二下·上海·期末）某中学选派12名学生参加上海市高中生志愿者的培训活动，他们参加培训的次数统计如下表所示： 培训次数 1 2 3 参加人数 2 4 6 (1)从这12名学生中任选3名，求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率（结果用最简分数表示）； (2)从这12名学生中任选2名，用表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量的期望与方差（结果用最简分数表示）． 【答案】(1) (2)． 【知识点】计算古典概型问题的概率、离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）由对立事件概率计算公式即可求解； （2）确定的所有可能取值，求得对应概率，结合期望、方差计算公式即可求解. 【详解】（1）这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率； （2）由题意知可能取值为0、1、2， ， 所以的期望， ， 五、方差的性质 【例5】（24-25高二下·上海·阶段检测）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差、利用随机变量分布列的性质解题、方差的性质 【分析】选项A，利用分布列的性质，即可求解：利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项B和C的正误；选项D，利用期望和方差的性质，即可求解. 【详解】对于A，由分布列的性质可得， 解得，故A正确； 对于C，由分布列可得：， 故，故C正确， 对于B，D，因为， 所以，故B错误，D正确． 故选：B． 【变式1】（25-26高二下·上海奉贤·月考）已知离散型随机变量、满足，其中的分布如下：，且，则___________. 【答案】/ 【知识点】方差的性质、离散型随机变量的方差与标准差、由离散型随机变量的均值求参数、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据分布列的性质和期望可得，进而可得，结合方差的性质即可得结果. 【详解】由题意可得：，解得， 可得， 又因为，所以. 【变式2】（24-25高二下·上海·月考）已知随机变量，，若，且，则_______. 【答案】4 【知识点】方差的性质 【分析】利用方差的线性关系公式来求解即可. 【详解】由. 故答案为：4 六、利用二项分布求分布列 【例6】（22-23高二下·上海浦东新·期末）经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（    ） A．的可能取值为1，2，3，4，5 B． C．的概率最大 D．服从超几何分布 【答案】C 【知识点】利用二项分布求分布列、服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】的可能取值包括0可判断A；可判断B；随机变量，，若取得最大值时,则有，，求出的值可判断C；服从二项分布可判断D. 【详解】对于A，的可能取值为0，1，2，3，4，5，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于D，由题意，随机变量，故D不正确； 对于C，随机变量，， 若取得最大值时，则: ， 则，解得，则． 故的概率最大，所以C正确； 故选：C. 【变式1】（23-24高二下·上海·期末）一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二项分布的均值、二项分布的方差、利用二项分布求分布列 【分析】由题意可知，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为，结合二项分布求概率，然后逐个分析判断即可. 【详解】由题意可知，爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为， 所以设爬行后小虫一共向前爬行次，则向后爬行， 所以， 所以， 对于AB，的分布列为 … … … … 所以，所以A正确， 因为 ， 所以 ，所以B正确， 对于C，因为， 所以，所以，所以C错误， 对于D，因为， 所以， 所以，所以D正确， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是，根据题意得到相应概率，从而得解. 【变式2】（24-25高二下·上海·期末）已知鸡接种一种疫苗后，有不会感染某种病毒.如果3只鸡接种了疫苗，那么没有鸡感染病毒的概率为______. 【答案】/ 【知识点】利用二项分布求分布列、独立事件的乘法公式 【分析】根据二项分布的概率公式求解即可. 【详解】由题意可得鸡接种一种疫苗后，感染某种病毒的概率为，设没有鸡感染病毒为事件，则. 故答案为： 【变式3】（24-25高二下·上海·期末）随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活．在教育领域，Al的赋能潜力巨大．为了解教师对大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用、、豆包、文心一言四种大模型的情况统计如下： 使用大模型的种数性别 0 1 2 3 4 男 4 27 23 16 10 女 6 48 27 24 15 在上述样本所有使用3种大模型的40人中，统计使用、、豆包、文心一言的大模型人次如下： 大模型种类 豆包 文心一言 人次 32 30 30 28 用频率估计概率． (1)从该地区教师中随机选取一人，记事件为选取的为男教师，事件为选取的教师仅会使用2种模型．求和．并据此判断事件和事件是否独立： (2)从该地区使用3种大模型（、、豆包、文心一言）的教师中，随机选出3人，记使用豆包的有人，求的分布列及其数学期望； (3)从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用大模型（、、豆包、文心一言）的种数分别为，，比较，的数学期望，的大小，并说明理由． 【答案】(1)，，不独立 (2)分布列见解析， (3)，理由见解析 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率、利用二项分布求分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）利用频率估计概率，结合条件概率公式和独立事件的定义可求相应的概率和独立性判断； （2）利用二项分布可求的分布列及其数学期望； （3）利用频率估计概率，利用期望公式可求后可得它们的大小关系. 【详解】（1）由题设可得，， 故. 因为，故不独立. （2）从该地区中使用3中大模型教师中任取一名教师，该教师使用豆包的概率为， 由题设可取且， 故，， ，， 故的分布列如下： 故. （3）由题设可取，可取， 而，，， ，， 故， 又，，， ，， 故， 因为，故. 七、超几何分布的分布列 【例7】（23-24高二下·上海·期末）在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了100名学生，其中共有4名女生和2名男生的成绩在90分以上，从这6名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次，记第一次抽到女生为事件，第二次抽到男生为事件. (1)求，； (2)若把抽取学生的方式更改为：从这6名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1)，. (2)分布列见解析，2 【知识点】计算条件概率、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列、超几何分布的分布列 【分析】（1）根据独立事件和条件概率的计算公式计算即可求解； （2）的取值可能为，利用超几何分布求对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可. 【详解】（1）由题意知，， 所以. （2）的取值可能为， ，，， 的分布列为 1 2 3 所以. 【变式1】（23-24高二下·上海·期末）袋中装有大小和质地相同的5个球，其中2个黑球，3个白球．从中随机地摸出3个球，用X表示摸出的黑球个数． (1)采用不放回摸球，求X的分布； (2)采用有放回摸球，求X的分布、期望． 【答案】(1)分布列见解析 (2)分布列见解析； 【知识点】二项分布的均值、超几何分布的分布列、利用二项分布求分布列 【分析】（1）服从超几何分布，依据超几何分布的公式计算即可； （2），依据二项分布写出分布列，计算期望和方差即可. 【详解】（1）各次试验的结果不独立，故X服从超几何分布. ，其中. X的分布为 X 0 1 2 P （2）每次摸到黑球的概率为，且各次试验的结果是独立的，故. ，其中. X的分布为， X 0 1 2 3 P 期望. 【变式2】（23-24高二下·上海松江·期末）某超市为促进消费推出优惠活动，为预估活动期间客户投入的消费金额，采用随机抽样统计了200名客户的消费金额，分组如下：（单位：元），得到如图所示频率分布直方图： 活跃客户 非活跃客户 总计 男 20 女 60 总计 (1)若把消费金额不低于800元的客户，称为“活跃客户”，经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，求列联表中的值，并根据列联表判断是否有的把握认为“活跃客户”与性别有关？ (2)为感谢客户，该超市推出免单福利，方案如下：从“活跃客户”中按分层抽样的方法抽取12人，从中抽取2人进行免单，试写出免单总单金额的分布列及其期望．（每一组消费金额按该组中点值估计，期望结果保留至整数） 附： 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)40；80；有关 (2)分布列见解析，1933 【知识点】求超几何分布的概率、超几何分布的分布列、求离散型随机变量的均值、卡方的计算 【分析】（1）先完善列联表，再求卡方,即可作出判断；（2）先用分层抽样，然后用超几何分布的概率公式计算，即可得分布列与期望. 【详解】（1）消费金额不低于800元的人数为：人， 则活跃客户共有60人，所以，， 列联表如下 活跃客户 非活跃客户 总计 男 20 80 100 女 40 60 100 总计 60 140 200 计算， 因此有的把握与性别有关． （2）从“活跃客户”中用分层抽样，抽出消费900元：人，消费1100元：人， 从中抽取2人免单总金额的取值有：， 则，，， 所以的分布列为： 即. 【变式3】（23-24高二下·上海长宁·期末）（1）为了解中草药甲对某疾病的预防效果，研究人员随机调查了100名人员，调查数据如表.（单位：个）若规定显著性水平，试分析中草药甲对预防此疾病是否有效； 未患病者 患病者 合计 未服用 中草药甲 29 16 45 服用 中草药甲 46 9 55 合计 75 25 100 （2）已知一个盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球.现从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为X，求X的分布列、期望和方差. 附：，. α 0.100 0.050 0.010 0.001 x 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析 【知识点】超几何分布的分布列、超几何分布的均值、超几何分布的方差、独立性检验解决实际问题 【分析】（1）计算出卡方，即可判断； （2）的所有可能取值为0，1，2，它服从超几何分布，结合超几何分布概率的求法求得相应的概率进而可得的分布，结合期望、方差计算公式即可求解. 【详解】（1）提出原假设：中草药甲对预防此疾病无效，确定显著性水平， 计算，而， 的值超过了所确定的界限，从而否定原假设，即认为中草药甲对预防此疾病有效果. （2）的所有可能取值为0，1，2， ， 所以的分布列为， 它的期望为， 它的方差为. 【变式4】（22-23高二下·上海浦东新·期末）某大学学院共有学生1000人，其中男生640人，女生360人.该学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，按性别分层抽样，从该学院所有学生中抽取若干人作为样本，对样本中的每位学生在5月份的累计跑步里程进行统计，得到下表. 跑步里程 男生（人数） 12 10 5 女生（人数） 6 6 4 2 (1)求的值，并估计学院学生5月份累计跑步里程在中的男生人数； (2)从学院样本中5月份累计跑步里程不少于的学生中随机抽取3人，其中男生人数记为，求的分布及期望. 【答案】(1),人. (2)答案见解析, 【知识点】超几何分布的均值、超几何分布的分布列、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】（1）首先求出男女生人数之比，即可得到方程，求出a的值，再由样本求出估计值； （2）依题意的可能取值为，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望； 【详解】（1）依题意，男女生人数之比为， 所以，解得， 故计学院学生月份跑步里程在中的男生人数为人. （2）依题意的可能取值为, 所以，，， 所以X的分布列为 所以 八、求超几何分布的概率 【例8】（23-24高二下·上海·期末）如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X，则_________． 【答案】 【知识点】求超几何分布的概率 【分析】由超几何分布的概率公式、互斥加法以或者对立减法公式即可求解. 【详解】解：法一：由题意可知，x的所有可能取值为0，1，2，则 ． 法二：由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，则． 故答案为：． 【变式1】（21-22高二下·上海杨浦·期末）袋中装有大小和质地相同的5个白球，3个黑球.现在依次不放回地摸5个球，则摸出至少3个白球的概率为_________.（结果用最简分数表示） 【答案】 【知识点】求超几何分布的概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】至少摸出3个白球，即摸出白球的数量为3,4,5，根据超几何分布的概率公式进行求解即可. 【详解】由题，不放回地摸5个球，摸出至少3个白球，即白球数量为3,4,5， 则概率为， 故答案为： 【变式2】（22-23高二下·上海崇明·期末）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求： (1)“所选3人中女生人数”的概率； (2)X的期望与方差. 【答案】(1) (2)； 【知识点】超几何分布的分布列、求超几何分布的概率、超几何分布的均值、超几何分布的方差 【分析】（1）“所选3人中女生人数”的概率，由此能求出结果． （2）由题意的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列．由的分布列能求出的均值和方差． 【详解】（1）“所选3人中女生人数”的概率： ． （2）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛， 设随机变量表示所选3人中女生的人数， 的可能取值为0，1，2， ，，， 的分布列为： 0 1 2 的均值． 的方差． 【变式3】（21-22高二下·上海浦东新·期末）设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球． (1)记随机变量表示从甲盒取出的红球个数，求期望的值； (2)求从乙盒取出2个红球的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】超几何分布的均值、求超几何分布的概率 【分析】（1）根据超几何分布概率求解；（2）根据甲盒任取2球放入乙盒的不同情况，分类讨论，利用超几何分布概率模型求解. 【详解】（1）由题可知，随机变量可能的取值有， 所以 分布列如下： 0 1 2 所以. （2）(i)若，则此时甲盒取出来了2个白球放入乙盒， 此时乙盒有6个白球，1个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为0； (ii) 若，则此时甲盒取出来了1个白球，1个红球放入乙盒， 此时乙盒有5个白球，2个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为； (iii) 若，则此时甲盒取出来了2个红球放入乙盒， 此时乙盒有4个白球，3个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为； 所以从乙盒取出2个红球的概率为. 九、正态曲线的性质 【例9】（24-25高二下·上海·期末）已知随机变量，，有以下两个命题：①；②存在，使得对任意，． 那么（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 【答案】A 【知识点】正态曲线的性质 【分析】根据正态分布的相关知识求解即可. 【详解】设，则，， 故； 当时，，故，从而不可能使得． 故选：A. 【变式1】（24-25高二下·上海·期末）已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（    ）. A．关于直线对称 B．关于点成中心对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 【答案】B 【知识点】判断或证明函数的对称性、正态曲线的性质 【分析】根据正态分布的特征可知随增大而增大，故A错误；由可得，故B正确，CD错误. 【详解】由连续型随机变量服从正态分布，可得， 所以正态密度曲线关于直线对称，即. 因为，所以随增大而增大，的图象无对称轴，故A错误. 因为， 所以的图象关于点成中心对称，故B正确，CD错误. 故选：B. 【变式2】（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知随机变量服从正态分布且则________． 【答案】0.8/ 【知识点】指定区间的概率、正态曲线的性质 【分析】利用正态分布的对称性结合概率和为1求解即可. 【详解】由正态分布对称性得对称轴为，则， 因为概率和为1，所以. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二下·上海奉贤·期末）某公司生产的糖果每包标识质量是，但公司承认实际质量存在误差，已知每包糖果的实际质量服从、的正态分布，随意买一包该公司生产的糖果，其质量误差超过（即1%）的可能性为________.（结果精确到0.1%） （参考数据：若，则，，） 【答案】 【知识点】指定区间的概率、正态曲线的性质、正态分布的实际应用 【分析】根据正态分布的性质，先确定的值，再结合已知的概率公式计算质量误差超过的可能性. 【详解】因为每包糖果的实际质量服从的正态分布，则. 质量误差不超过，即，也就是. 根据参考数据可知. 那么质量误差超过的概率为. 故答案为：. 十、正态分布的实际应用 【例10】（23-24高二下·上海·期末）某班级共有 40 名同学， 其中 15 人是团员． 现从该班级通过抽签选择 10 名同学参加活动，定义随机变量 为其中团员的人数，则 服从 （    ） A．二项分布 B．超几何分布 C．正态分布 D．伯努利分布 【答案】B 【知识点】正态分布的实际应用、两点分布、超几何分布的分布列、建立二项分布模型解决实际问题 【分析】由二项分布、超几何分布、正态分布、伯努利分布定义判断即可. 【详解】一次试验只包含两个试验结果，则称此试验分布为伯努利分布； 将一个伯努利试验重复做次，叫做重伯努利试验， 一般地，在重伯努利试验中，每次试验事件发生的概率记为， 在次试验中事件发生的次数记为，则服从二项分布； 件产品中包含件次品，从中抽取件产品，记件产品中次品数为， 则服从超几何分布； 若随机变量的概率分布密度曲线满足正态密度函数，则称机变量服从正态分布； 所以某班级共有40名同学，其中15人是团员，现从该班级通过抽签选择10名同学参加活动， 设随机变量为其中团员的人数，则随机变量服从超几何分布. 故选：B 【变式1】（23-24高二下·上海·期末）学校的高三年级共有500名学生，一次考试的数学成绩服从正态分布，已知，估计高三年级学生数学成绩在110分以上的人数为_________. 【答案】 【知识点】指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】根据正态分布的性质结合条件即得. 【详解】因为该次考试的成绩服从正态分布， 且， 所以，所以， 因此该年级数学成绩在分以上的人数约为. 故答案为： 【变式2】（2023·上海普陀·模拟预测）某校高中三年级600名学生参加了区模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布（试卷满分为150分）.统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为__________. 【答案】75 【知识点】指定区间的概率、正态分布的实际应用、正态曲线的性质 【分析】根据正态分布的对称性可求得，即可求得答案. 【详解】由题意可知，且, 则， 故此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为， 故答案为：75 十一、根据正态曲线的对称性求参数 【例11】（24-25高二下·上海·期末）已知随机变量，，且，，则__________． 【答案】 【知识点】二项分布的均值、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】根据正态分布的特点及二项分布的性质即可求解. 【详解】因为，, 所以. 又因为， 所以， 则，解得：. 故答案为： 【变式1】（23-24高二下·上海金山·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数 【分析】根据正态分布密度曲线的对称性求解即可. 【详解】由正态分布的对称性知，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式2】（23-24高二下·上海·月考）设，已知随机变量，随机变量.若，则________. 【答案】 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数、正态曲线的性质 【分析】利用正态分布的运算性质结合给定条件建立方程，求解即可. 【详解】由，得， 由，且设， 故有，解得，则. 故答案为： 【变式3】（22-23高二下·上海浦东新·期末）设随机变量服从正态分布，且，，则________. 【答案】/ 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数、指定区间的概率 【分析】由题意可得，由可求出，而与关于对称，由正态分布的对称性即可求出. 【详解】因为随机变量服从正态分布，且， 所以，又，所以， 所以，而与关于对称， 所以. 故答案为： 一、计算条件概率 【例1】（24-25高二下·上海浦东新·期末）下列四个命题中，真命题的个数是（   ） （1）若，则 （2）若，则 （3）若，且A，B为互斥事件，则A，B不为独立事件． （4）若，A和C为互斥事件，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式、计算条件概率 【分析】利用条件概率和事件的独立性即可判断（1），由与相互独立，不能推出与相互独立即可判断（2），根据独立事件的定义即可判断（3），由A和C为互斥事件得与互斥利用条件概率公式即可判断（4） 【详解】若，所以， 所以与相互独立，所以成立，故（1）正确； 若，所以与相互独立，不能推出与相互独立， 反例：在抛两次硬币试验中，设：第一次抛正面朝上；：第二次抛正面朝上； ：两次结果相同，那么独立，但不独立，故（2）错误； 因为与互斥，所以，所以与不是独立事件，故（3）正确； 因为，所以与互斥， 所以，故（4）正确； 所以真命题共有（1）（3）（4）三个． 故选：C 【变式1】（24-25高二下·上海崇明·期末）某班级有40名学生，其中男生21名，女生19名，男生中有10名团员，女生中有9名团员，在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则_______． 【答案】 【知识点】计算条件概率、计算古典概型问题的概率 【分析】先根据古典概型概率公式求出各事件的概率，再根据条件概率公式，求出条件概率. 【详解】已知男生中有10名团员，女生中有9名团员，共有19名团员，则， 已知男生中有10名团员，则, 可得， 故答案为：. 【变式2】（23-24高二下·上海·期末）已知一个二胎家庭中有一个男孩，则这个家庭中有女孩的概率为______． 【答案】 【知识点】计算条件概率 【分析】根据列举法及古典概型的计算公式求得和，然后再由条件概率的定义即可求解. 【详解】一个家庭中有两个小孩只有四种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)， 记事件为“其中一个是男孩”，事件为“其中一个是女孩”， 则事件包含(男，女)，(女，男)，(男，男)，三种情况， 事件包含(男，女)，(女，男)，(女，女)，三种情况， 事件包含(男，女)，(女，男)，两种情况， 于是可知，, 则. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二下·上海·期末）甲乙丙丁四名医生随机派往①②③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派一名医生，表示事件“医生甲派往①村庄”；表示事件“医生乙派往①村庄”；表示事件“医生乙派往②村庄”， 则下列说法①事件与相互独立； ②事件与相互独立； ③；④，其中错误的个数是__________个． 【答案】3 【知识点】计算条件概率、独立事件的判断 【分析】按相互独立的定义可判断AB，用条件概率公式可判断CD. 【详解】将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄进行义诊包含 （个）样本点，它们等可能， 事件含有的样本点个数为，则， 同理，， 事件含有的样本点个数为，则， 事件含有的样本点个数为，则， 对于A，，即事件与不相互独立，故A不正确； 对于B，，即事件与不相互独立，故B不正确； 对于C，，故C不正确； 对于D，，故D正确． 所以其中错误的个数是3个． 故答案为：3. 【变式1】4（24-25高二下·上海浦东新·期末）不透明的袋中装有编号为1，2，…，10的10个小球，现从中随机有放回地取4次，每次取1个球，已知摸出的球中有编号为5的球，则摸出的球中最大编号大于等于7的概率是________． 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率、实际问题中的组合计数问题 【分析】首先求出事件“摸出的球中有编号为5的球”的概率，然后求出事件“摸出的球中有编号为5的球，且摸出的球中最大编号大于等于7”的概率，最后根据条件概率公式求出结果. 【详解】令“摸出的球中有编号为5的球”为事件，“摸出的球中最大编号大于等于7”为事件， 则事件的情况包括1次球的编号为5，2次球的编号为5，3次球的编号为5和4次球的编号为5，这四种情况， 所以. 而事件表示的是“摸出的球中有编号为5的球，且摸出的球中最大编号大于等于7”， 此事件的情况包括： 当1次球的编号为5时，其余球的最大编号大于等于7的球可能为1次，2次或3次； 当2次球的编号为5时，其余球的最大编号大于等于7的球可能为1次，或2次； 当3次球的编号为5时，其余球的最大编号大于等于7的球为1次； 所以. 所以. 故答案为：. 二、利用全概率公式求概率 【例2】（24-25高二下·上海·期末）某中学高一、高二、高三的学生人数比例为，假设该中学高一、高二、高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为0.5，0.7，0.9，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率________． 【答案】 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据全概率公式计算可得. 【详解】根据题意选取选手来自高一、高二、高三的概率分别为, 所以随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率 . 故答案为：. 【变式1】（24-25高二下·上海崇明·期末）某地市场上，某商品主要有甲、乙两种品牌，已知甲的市场占有率为45%，乙的市场占有率为55%．已知甲品牌一等品比例为90%，乙品牌一等品的比例为95%．现在该地市场上任取一件该商品，它是一等品的概率是_______． 【答案】/ 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】先设事件，根据已知条件，写出对应事件的概率，，，，再根据全概率公式求解即可. 【详解】设任取一件商品是一等品， 取到的商品是甲品牌，则， 取到的商品是乙品牌，则， 已知甲品牌一等品比例为90%，即， 乙品牌一等品的比例为95%，即， 所以由全概率公式可知 . 故答案为： 【变式2】（24-25高二下·上海浦东新·期末）有甲、乙两袋，甲袋中有3个白球，2个红球；乙袋中有2个白球，3个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则此球为红球的概率为________．（结果为精确值） 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】将问题拆分为两步，先从甲袋中取球，再从乙袋中取球，然后根据从甲袋中取出球的颜色情况，分情况计算乙袋中取出红球的概率，再根据全概率公式，用两种情况发生的概率乘以取到红球的概率，再相加即可得解. 【详解】设表示“从乙袋中任取一球是红球”，表示“从甲袋中取出两个白球”， 表示“从甲袋中取出两个红球”，表示“从甲袋中取出一个白球和一个红球”， 则 由全概率公式，所求概率 . 故答案为： 【变式3】（23-24高二下·上海·期末）某张试卷由两位陈老师、一位张老师共同命制，其中第8题从三位老师中随机抽取一位进行命题. 已知若由张老师命题，学生答对这道题的概率是；若由（任意一位）陈老师命题，学生答对这道题的概率是. 那么学生答对第8题的概率是________. 【答案】 【知识点】独立事件的乘法公式、利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】根据条件概率与全概率公式计算即可求解. 【详解】设事件：张老师出题；事件：陈老师出题；事件：学生答对第8题. 则 所以. 故答案为： 三、指定区间的概率 【例3】（23-24高二下·上海·期末）下列说法中正确的是______ ①设随机变量服X从二项分布，则； ②已知随机变量X服从正态分布且，则； ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点互不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”，则； ④． 【答案】①②③ 【知识点】指定区间的概率、计算条件概率 【分析】根据二项分布的概率公式判断①； 根据正态分布的性质判断②； 根据条件概率判断③； 根据期望与方差的性质判断④. 【详解】随机变量服从二项分布，则，故①正确； 随机变量服从正态分布且，则，故②正确； 事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则，所以，故③正确； ，故④错误. 故答案为：①②③. 【变式1】（23-24高二下·上海·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则_____________. 【答案】/ 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】根据正态分布的性质计算可得. 【详解】因为且， 所以， 所以. 故答案为： 【变式2】（23-24高二下·上海·期末）若随机变量X服从标准正态分布，则______． 【答案】/ 【知识点】指定区间的概率、标准正态分布的应用 【详解】因为随机变量X服从标准正态分布，即， 所以. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二下·上海·期末）某班有40名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩超过120分的人数为______． 【答案】10 【知识点】正态分布的实际应用、指定区间的概率 【分析】根据题意知正态曲线关于对称，然后由，从而可求得，从而可求解. 【详解】由题意得数学成绩， 所以由，可得， 所以， 所以估计该班学生数学成绩超过120分的人数为. 故答案为：10. 【变式4】（23-24高二下·上海·期末）老张每天下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有，两条线路可以选择.乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要12分钟. 下列说法从统计角度认为不合理的是_________. 参考数据：若，则，， ①若乘坐线路，前一定能到家； ②乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ③乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ④若乘坐线路，则在前到家的可能性不超过. 【答案】①② 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率、正态分布的实际应用、3δ原则 【分析】利用正态分布曲线的对称性及正态分布的概率，对四个选项逐个分析判断即可. 【详解】对于①，因为， 即乘坐线路能到家的概率为， 所以乘坐线路，前不一定能到家，所以①错误； 对于②，乘坐线路A在前到家的概率为 ， 乘坐线路在前到家的概率为 ， 所以乘坐线路A和乘坐线路在前到家的可能性一样，所以②错误； 对于③，乘坐线路A在前到家的概率为， 乘坐线路在前到家的概率为 ， 所以乘坐线路比乘坐线路A在前到家的可能性更大，故③正确； 对于④，乘坐线路A，则在前到家的概率为 ，所以④正确. 故答案为：①② 2 / 41 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $