重难点04 解三角形最值与范围问题（高效培优期末专项训练）数学人教A版高一必修第二册

**基本信息** 聚焦解三角形中长度、周长、面积的最值与范围问题，通过40道分层题目系统覆盖四大高频考点，强化知识内在逻辑与解题转化能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |长度取值范围|10题|结合锐角三角形、角平分线、中点等约束条件，考查边或线段范围|以正弦定理、余弦定理为基础，通过三角恒等变换或函数思想转化为三角函数值域问题| |周长最值|10题|设置特定边长、面积或锐角三角形条件，求周长最值|关联基本不等式与三角形三边关系，体现数学思维中的推理能力与运算能力| |面积最值|10题|涉及中线、外接圆、四边形综合等情境，求面积最大值|融合面积公式与几何性质，培养数学眼光中的几何直观与空间观念| |面积取值范围|10题|针对锐角三角形、角平分线等动态条件，确定面积范围|运用模型观念构建函数关系，发展数学语言表达现实问题的能力|

重难点04 解三角形最值与范围问题 4大高频考点概览 考点01解三角形长度取值范围问题 考点02解三角形周长最值问题 考点03解三角形面积最值问题 考点04解三角形面积取值范围问题 ( 地 城 考点01 解三角形长度取值范围问题 ) 1．在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理将边化为角，转化为角B的三角函数的值域问题，结合锐角三角形条件确定角B的取值范围，从而得到三角函数的值域，求出的取值范围. 【详解】由已知得：，即， 所以，又，所以， 由正弦定理得：， 所以， 所以 又 所以由是锐角三角形得：， ，即的取值范围是． 2．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点D为线段上的一点，为的平分线，. (1)若是等腰三角形，，求的值； (2)若，，求的值； (3)当时，求的最小值. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据条件得到，在中利用三角函数的定义即可求得； （2）先通过正弦定理将边的关系转化为角的关系，求出，设，再在中用正弦定理求出，最后用二倍角公式计算； （3）利用三角形面积关系得到与、的关系，再结合余弦定理和基本不等式可求的最小值. 【详解】（1）因是等腰三角形，，为的平分线， 则，在中，； （2）由正弦定理，将转化为， 整理得. 因为，所以，即. 由于，所以，所以，则. 设，在中，由正弦定理得， 代入、，得. 因为是角平分线，则， 故. （3）因为是角平分线，同（2），设，则. 由面积关系，得， 化简可得，即. 在中，由余弦定理知，代入和， 得：， 将代入上式得：， 整理得：， 由基本不等式，得， 代入得：， （或）， 当且仅当时取等号，故的最小值为. 3．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，的中点为． (1)求； (2)若，求内切圆面积的最大值； (3)若为锐角三角形，，求线段的取值范围． 【答案】(1)或(2)(3) 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式，对已知条件进行化简，再根据角的范围，判断方程可能得解，求出结果； （2）根据余弦定理解三角形，判断的具体结果，再根据余弦定理和基本不等式求出三角形周长的范围，进而根据内切圆半径的性质求出半径的范围，进而求出面积的最大值； （3）根据三角形形状，判断角的范围，再根据正弦定理和三角形中线的向量性质，进而根据向量的数量积运算率，表示出模长的表达式，进而求出线段长度的范围. 【详解】（1）由题意可知，化简得， 可得，因为，所以， 可得或，解得或. （2）由题意可得，化简得， 所以，所以由（1）可知，可得， 可知，化简得，即，可得. 由基本不等式可知，即，当且仅当时取等号， 所以，由，解得. 设内切圆半径为，则， 可得，因为， 所以， 因为，所以， 当时，内切圆半径为取得最大值，此时内切圆面积的最大值为. （3）可知，所以， 因为为锐角三角形，所以， 所以， 可知，可得，所以， 因为，所以， 则， 化简得， 因为，由，可得，解得， 所以，可得，所以，即 所以线段的取值范围为. 4．（多选）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.下列说法正确的有（    ） A． B．的取值范围为 C．取值范围为 D．若的平分线交于，，，则 【答案】ABD 【分析】先通过正弦定理将边化为角，利用和差角公式对已知条件进行三角恒等变形，推导出核心关系 ；再结合锐角三角形的条件，列出三个角的不等式组，求出角 的取值范围，选项A直接验证关系；选项B通过正弦定理将边的比值转化为关于的函数，结合函数单调性求值域；选项C根据的范围判断的取值范围；选项D利用角平分线的面积关系建立等式，结合半角公式进行计算即可判断. 【详解】选项A：由正弦定理 ，得 ， 代入得： ， 所以， 所以， 由，得 ，故 ， 于是 ，在三角形中，解得 ，即 ，故选项A正确； 选项C：因为△ABC为锐角三角形，所以 ， 解得：，故 ，故选项C错误； 选项B： ， 因为，令 ，则 ， 函数 在该区间单调递增， ，， 所以，故选项B正确； 选项D：因为，且为锐角，得： 由 ，得：， 所以， 因为 AD是的平分线， 由面积关系，得： 所以， 因为，代入得：， 两边同除以：， 由三角恒等式，得： 又因为 ，所以 ，故选项D正确. 5．（多选）在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（ ） A． B．若，则周长的最大值为 C．若为锐角三角形，且，则的取值范围为 D．若的外心为，则 【答案】ABD 【分析】A选项，由正弦定理可得结论；B选项，由余弦定理和基本不等式可得，B正确；C选项，先由正弦定理可得，再求出的范围，可得答案；D选项，利用向量投影的定义和三角形外心的定义计算出. 【详解】A选项，，由正弦定理得， 即，， 因为，所以，故，A正确； B选项，，由余弦定理得， 故，， 因为，当且仅当时，等号成立， 故，解得，， 故的周长最大值为3，B正确； C选项，由正弦定理得，又，， 故， 若为锐角三角形，且，则，， 结合，可得， 故，C错误； D选项，若的外心为，则在上的投影向量为， 又，故，D正确 6．如图，在中，，D为边AC上一点，且，． (1)若． （ⅰ）求； （ⅱ）求的面积； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)（i）；（ⅱ） (2) 【详解】（1）（ⅰ）在中，，，， 由余弦定理得：，即， 所以是等腰三角形，即． 所以，即； （ⅱ），即是等腰三角形，所以， 所以； （2）因为，即，即． 设，则，则， 所以， 又因为，因为， 所以，即， 又因为，令，则， 所以，，因为函数在上单调递增， 所以． 7．如图，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求角； (2)若BC的长为，求的取值范围． (3)若D为线段BC延长线上一点，且，，求． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换化简求值； （2）用正弦定理边化角，再根据三角函数的性质求取值范围； （3）设，在和中用正弦定理，结合，代入角度关系化简，再利用三角恒等变换，将等式转化为关于的方程，求解. 【详解】（1）在中，由条件及正弦定理可得：， 即， 故，则有， 又，，故有， 或（舍去），或（舍去）， 则，又，所以； （2）由正弦定理有：， 故，，即， ，， ，，， 的取值范围是. （3）设，在和中， 由正弦定理可得，， 于是，又， 则，， ． 8．如图为某公园的绿化示意图，准备在道路的一侧进行绿化，线段长为，，设.为了方便游人散步，现要搭建一条栈道，栈道由线段，和组成，若，栈道的总长为，则的最大值=__________. 【答案】 【分析】在和中，利用余弦定理，求得和，根据题意，得到，令，转化为，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】在中，因为，且， 由余弦定理得， 在中，因为，且， 由余弦定理得， 则， 令，则， 可得， 所以当时，即时，的最大值为. 9．（多选）在中，角，，的对边分别是，，，且，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则有两解 B．的面积有最大值 C．的周长有最大值12 D．若是钝角三角形，则边上的高的取值范围为 【答案】ABD 【分析】对于A，根据判断即可；对于BCD，均可先由正弦定理边化角得，，再依次由、、结合三角恒等变换公式以及三角函数值的范围即可研究面积、高和周长的取值范围. 【详解】对于A，由正弦定理得， 所以，则有两解，故A正确． 对于B，由正弦定理，得，， 所以 ． 又，所以，所以， 所以， 所以， 所以的面积有最大值，故B正确． 对于C， 由选项B得的周长为 又，所以，所以， 故的周长有最大值，故C错误． 对于D，因为，，所以对于边上的高，角或角为钝角的情况是等价的，不妨令角为钝角． 因为， 所以由选项B有， 由是钝角三角形，，得， 所以，， 所以，所以若是钝角三角形． 则边上的高的取值范围为，故D正确． 10．在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围； (3)若为边上一点（不包含端点），且满足，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换及三角形内角和定理求解即可； （2）求得，利用正弦定理求得，最后利用面积公式求解即可； （3）设，则，，，在、中，利用正弦定理可得出，利用换元法、三角恒等变换及三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 又因为 所以，所以， 所以 （2）因为， 所以， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以，所以，   ，所以. （3）设，则，，， 所以， 在中， 在中，， 作商得， 设，因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以 所以. ( 地 城 考点02 解三角形周长最值问题 ) 11．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求角C； (2)若，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，且，求边长a的值； (3)若，求△ABC的周长取值范围. 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】(1)利用正弦定理，三角函数恒等变换进行化简即可求解 (2)利用三角形面积公式，结合等面积法列方程求解 (3)利用正弦定理化简，构造新的函数，求函数的值域 【详解】（1）已知，由正弦定理得， 又， 所以， 即， 因为，所以，故，即， 又，所以； （2）由（1）知，， 又为的平分线，故， 其中， 由三角形面积公式得， ， 又， 显然，即，解得. （3）∵ ∴ ∴ ∴ 由是锐角三角形得，， ， ∴ ∴ ∴周长. 12．已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， (1)求； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式推出，可求得答案； （2）由三角形的面积公式求出，代入余弦定理可求出，即可求出的周长. （3）由正弦定理表示出，结合两角差的正弦公式可化简得到，确定角的范围，结合正弦函数性质即可求得答案. 【详解】（1）在中，因为， 所以，即， 因为所以，故 ，则； （2）因为的面积为，即， 所以. 由余弦定理得. 解得, 所以周长为. （3）由正弦定理得，即， 则， 因为为锐角三角形，则 ，故， 所以，则， 故， 故周长的取值范围为. 13．（多选）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，D为线段BC上的一点，则下列结论正确的是（   ） A． B．的周长为 C．若AD为的中线，则 D．若AD为的角平分线，则 【答案】ABD 【分析】由结合三角形内角和定理求得可判断A；由结合余弦定理求得，进而可判断B；由是的中线，得，利用数量积运算律求解得可判断C；由，利用三角形面积列式求解得可判断D. 【详解】对于A，因为，解得，故A正确； 对于B，由得，由余弦定理得 ，， 所以，故B正确； 对于C,由是的中线，得， 则 ，故C不正确； 对于D，依题意可得， 可得， 又因为平分，且，所以， 则， 整理得，故D正确. 14．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（）于年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点．在中，角的对边分别为，且．若是的“费马点”，． (1)求角； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式，整理计算，即可得答案． （2）由题意，结合数量积公式、面积公式，可得的值，根据余弦定理，可得的值，即可得答案． 【详解】（1）由，得， 所以，即， 整理得，即， 因为，所以， 所以，又，所以； （2）因为是的“费马点”，所以， 又， 则， 所以， 则， 即， 则，解得， 由余弦定理得，解得， 所以的周长． 15．（多选）在锐角中，角，，的对边分别为，，为外接圆圆心，已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．周长取值范围为 D．和面积之差的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对A：借助正弦定理将角化为边后结合余弦定理计算即可得；对B：结合所给条件与正弦定理计算即可得；对C：借助正弦定理可将边化为角，并用表示出周长，再利用的范围计算周长范围即可得；对D：借助表示出与面积，即可表示出面积之差，从而可结合换元法与二次函数性质得解. 【详解】对A：由与正弦定理可得， 即，，， 又，故，故A正确； 对B：，所以由正弦定理，可得 ， ① 又因为，即，即， ② 将①代入②可得，解得，选项B错误； 对C：由正弦定理，，故： 展开，得：， 周长， 利用三角恒等变换， 结合，得，故：，故选项C正确； 对D：设外接圆半径为，则，且，即， 因为， 所以， ， 所以， 由，则，所以， 则 和面积之差的取值范围为，故选项D正确. 故选：ACD. 16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求的值； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． (3)若，当的周长最小时，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）运用正弦定理边角转化，三角函数的辅助角公式，结合三角形内角的范围求解； （2）利用正弦定理和三角恒等变换，把面积的取值范围转化为求角的正切值的取值范围，根据正切函数的单调性进行求解； （3）利用余弦定理用单一变量来表示三角形的周长，结合基本不等式进行求解. 【详解】（1），由正弦定理可得， 因为， 所以代入可得， 即， 因为，所以， 化简可得，即， 解得，因为，所以， 因此，即. （2）由正弦定理可得，即， 所以， ， 因为，所以， 代入可得， 因为为锐角三角形，， 所以，即，解得， 所以，即， 所以， 即的面积的取值范围为． （3）由余弦定理可得， 因为，代入可得，化简可得， 因此 ， 当且仅当，即时等号成立， 因此当的周长最小时，的值为． 17．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. (1)求； (2)若，求周长l的最大值. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）利用三角形角的关系以及三角函数的和角公式化简已知条件，求得，进而求出答案. （2）利用余弦定理化简已知条件，结合基本不等式求得周长的最大值. 【详解】（1）在中，，则， 代入，得， 化简得：，显然，则， 由于，则，由， 因此. （2）周长，要求周长的最大值，即求的最大值， 已知，，代入余弦定理可得， 则， 因此要求的最大值，即求的最大值， 利用基本不等式得，当时，取最大值， 此时， 因此，周长的最大值为. 18．设的内角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法1：利用正弦定理得，再利用两角和的正弦公式即可求解；方法2：利用余弦定理得，再利用余弦定理即可求解； （2）方法1：利用余弦定理结合基本不等式即可求解；方法2：利用正弦定理结合三角恒等变换得，最后由三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）（方法1）由正弦定理，得， ， ， ， ，，， ，； （方法2）由余弦定理得， 代入已知得：， ，， ，； （2）方法1 由余弦定理，得. ， ，（当且仅当时等号成立）， 由于，， 周长的范围为. （方法2转化为三角函数最值） 由正弦定理， 得，， ， ， ，，，， ，， 周长的取值范围为. 19．已知分别为锐角三个内角的对边，且. (1)求； (2)若； （i）求周长的取值范围. （ii）当周长最大时，设点为边的中点，点在边上（包括端点），求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）运用正弦定理边角互化，再结合三角函数求角即可； （2）（i）先根据正弦定理得出2R的值，把转化为含的三角函数式. 利用将化为，化简得到. 再根据锐角三角形条件确定范围，进而得到范围，求出范围，最后得出周长范围. （ii）当周长最大时三角形是等边三角形，建立直角坐标系确定、坐标，得出向量、，计算数量积，通过配方求最小值. 【详解】（1）. 由正弦定理得 在中， 代入上式化简得：sinC 因为，所以，即 为锐角， （2）（i）由正弦定理得 所以 是锐角三角形， 即 所以周长的取值范围为. （ii）当三角形周长最大时，三角形为等边三角形，以所在直线为轴，过垂直于的直线为轴，建立直角坐标系， 由题意可知，设， 则 所以， 当时，取最小值 所以的最小值是 20．如图，在四边形中，已知的面积为，记的面积为. (1)求的大小； (2)若外接圆半径为，求的周长最大值. (3)设，若，且满足成立，求常数的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合余弦定理和三角形面积公式求解； （2）利用正弦定理与三角函数恒等变换求最值问题； （3）通过正弦定理列出等式进而消元求解. 【详解】（1）在中，由余弦定理知，， 所以 因此， 所以，即， 又因为，所以. （2）由正弦定理得，，又， 所以， 由（1）可知，所以， 所以的周长 ，通过差角公式得， 因为，所以， 所以，所以的周长的取值范围是， 所以的周长的最大值为. （3）设，则. 在中，由正弦定理得，即. 在中，由正弦定理，即. 因为， 两式作商得，，化简得 因为，所以，因此，故. 所以. . 所以. ( 地 城 考点0 3 解三角形面积最值问题 ) 21．在四边形中，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，利用余弦定理求出，在中，利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【详解】如图，连接，在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得 ， 所以，当且仅当时，取等号， 所以. 所以面积的最大值为. 22．在圆的内接四边形中，已知，，，则四边形的面积的最大值是__________. 【答案】 【分析】应用正余弦定理求得、外接圆的半径，再由四边形的面积最大，只需的面积最大，结合即可求. 【详解】由题设，即（负数舍去）， 又外接圆的半径， 要使四边形的面积最大，只需的面积最大， 由到的距离，则中边上的最大高为， 所以最大. 23．的内角的对边分别为，且. (1)已知. ①若是的角平分线，，求的长； ②若，求面积的最大值. (2)若是边的三等分点（靠近点），，求实数的取值范围. 【答案】(1)① ；② ； (2) 【分析】首先利用正弦定理将题干中的边角关系转化为边的关系式，结合余弦定理求出. （1）①结合角平分线定理、正弦定理以及已知条件求解的长度. ②根据向量关系转化为线段比例，利用向量模长公式结合基本不等式求面积的最大值. （2）根据三等分点的向量关系，结合向量模长公式，通过换元法求解实数的取值范 【详解】（1）， 由正弦定理，可得， 代入得，展开得，整理得. 由余弦定理， ， ① 已知是的角平分线，由角平分线定理得. ，且，，则， 故为等边三角形. 已知，为等边的角平分线、中线和高，故， 代入得，即. 为中点，. ② 当时，，在线段上，且，即. ，， 对等式两边同时平方，得：， 展开得：. 设，，已知，， ，由数量积定义得， 代入得：， 整理得：. 由基本不等式得：，当且仅当时等号成立， ，即， 当时，代入验证得，，等号成立. 的面积， 面积的最大值为. （2）设，，∵ 是边靠近点的三等分点，∴ ， ∴ . ∵ ， ∴ . ∵ ，，且， ∴ ，即. 由余弦定理，∵ ， ∴ ，故. ∵ ，∴ . 令，即，代入得. 设，则. 令，则，代入得. ∵ ，由基本不等式，当且仅当即时取等号， ∴ . 当时，；当时，， ∴ ，故. ∵ ， ∴ ，即. 24．记的内角，，的对边分别为，，.已知向量，，. (1)求； (2)若，，选择为表示平面内所有向量的一组基底，用表示向量，并求面积的最大值： (3)若是锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)，； (3) 【分析】（1）根据向量平行得到方程，结合正弦定理和特殊角的三角函数值得到答案； （2）由平面向量基本定理可用表示向量，两边平方，由基本不等式可得，从而由三角形面积公式可得最大值； （3）由锐角三角形得到角的范围，由正弦定理，将边化角，求出取值范围 【详解】（1），即， 由正弦定理得， 因为，所以，故，即， 因为，所以； （2）， ，则， 即，解得， 由基本不等式可得， 即，解得，当且仅当时，等号成立， ， （3）由正弦定理得， 所以， 故 为锐角三角形，故， 解得，故 25．在中，角的对边分别为，且 ． (1)求角的值； (2)若的面积为，内角的平分线交边于点，，求的长； (3)若为边上一点，满足，且，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）利用正弦定理将角的正弦转化为边，得到边的关系式；再结合余弦定理，即可求出角的值； （2）先根据三角形面积公式和已知条件求出边的长度，再利用角平分线性质或三角形面积分割法，结合三角形面积公式建立关于的等式，进而求解的长； （3）根据，再结合向量将的长度与三角形的边、角建立联系，然后利用基本不等式，求出三角形面积的最大值. 【详解】（1）， 由正弦定理，得，即． 由余弦定理，得，所以． ，． （2） ，， 由，得． ，． 平分，． ， ； ． （3），，即，得 ． ， ，，即，解得 ，当且仅当时，即时等号成立． ， 即的面积最大值为． 26．在中，角所对的边分别为，且．若点为边的中点，边上的中线的长为，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助余弦定理计算可得，利用平面向量线性运算法则及模长与数量积关系计算可得，再利用基本不等式与三角形面积公式计算即可得面积的最大值. 【详解】由余弦定理可得， 由点为边的中点，则， 故， 即，即， 则，即， 当且仅当时，等号成立， 故， 即面积的最大值为. 27．在中，若点P满足，则点P称为的布洛卡点，角为的布洛卡角．已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点P是的布洛卡点． (1)若△ABC为正三角形，求； (2)已知 ①求证：； ②若，，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）在等边三角形中，利用正弦定理在两个小三角形中建立边与角的关系，由边相等推出角相等，解方程得到布洛卡角； （2）①通过正弦定理分别表示出两段线段，利用已知比例关系，结合正弦定理和边长关系，推导出边长平方的等式； ②将已知比例代入，利用余弦定理将余弦值表示为两边乘积的函数，进而得到面积平方关于该乘积的二次函数，结合三角形存在条件确定取值范围，由二次函数最值得出面积最大值. 【详解】（1）为等边三角形． 因为，所以， 所以， 在中， 由正弦定理得，， 在中，由正弦定理得，， 因为为等边三角形，，所以， 又，所以，故． （2）①证明：因为,所以，所以, ，即； 因为,所以，所以 在中，，即． 所以，由正弦定理得：． 因为，所以，即． ②由可得．在中，由余弦定理得，. 因为，所以，所以． 由三角形的面积公式可得：， 所以． 令，则，是关于x的方程的两个根， 所以且，解得． 因为且，所以，解得 又因为，所以． ， 对称轴，所以当时，， 所以．故最大值为. 28．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，且，则面积的最大值为____． 【答案】16 【分析】先根据题目所给条件，找出之间的关系，再令，然后用表示出，再结合正弦定理用表示出，最后用表示出三角形的面积，利用基本不等式求解出最大值即可. 【详解】，可得，，即，． 令，易知，则， 因此可得，，，， ，， 由正弦定理可得，，又， 的面积，当且仅当，即时，等号成立，因此面积的最大值为16． 29．在中，，是中点，中线，则面积的最大值是（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】解法1，设，利用余弦定理可得，令，可得，利用三角变换和三角函数性质求得，得解； 解法2，作，则是的重心，设，可得，，根据运算，结合三角函数性质得解； 解法3，作，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，设，，可得，由三角形面积公式结合基本不等式求解. 【详解】解法1：令，在内由余弦定理，可知 ，化简得：，故， 所以的面积，令，所以， 又， 所以，所以，所以，当且仅当时，取等号. 解法2：如图，作，垂足为，交于，则是的重心，， 设，所以，，故的面积等于， 所以的面积，当且仅当时取等号. 解法3：如图，作，垂足为，以为原点，为轴建立平面直角坐标系. 设，，则，， 所以的面积，当且仅当时取等号. 30．（多选）的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若，且，则为等边三角形 D．若，，则面积的最大值为 【答案】ACD 【分析】对于A，由正弦定理即可判断，对于B，由正弦定理结合大边对大角可判断，对于C，根据向量线性关系及数量积的几何意义可判断，对于D，由余弦定理结合基本不等式求出最大值，即可判定. 【详解】A选项，在中，由得，即，所以； B选项，由正弦定理得即，解得， 又因为，所以，所以只能是锐角，所以只有一解，B错误； C选项，和分别表示与和同方向的单位向量， 以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形， 又由结合菱形性质知的角平分线与垂直， 所以是等腰三角形且， 又因为，且， 所以，所以是等边三角形，C正确； D选项，因为，，所以由余弦定理得， 当且仅当时取等号，即， 所以，D正确. ( 地 城 考点0 4 解三角形面积取值范围问题 ) 31．在中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． (3)若，求面积的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角形内角和定理，即可求解； （2）利用余弦定理和三角形的面积公式，即可求解，从而求出周长； （3）利用余弦定理得到，再结合不等式，得到，最后利用面积公式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得到, 即； 即， 整理得到， 又因为，所以，得， 又因为，所以. （2）由，即，得到 ， 由余弦定理， 得到，即， 所以的周长为. （3）由余弦定理，得； 又因为，所以， 得到，当且仅当时取等， 因为，所以， 故面积的取值范围是. 32．在中，角的对边分别为，且． (1)求的大小； (2)若为锐角三角形且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简原式，利用和角公式和三角形内角范围计算即可； （2）先求出A范围，再利用正弦定理化边为角，根据三角形面积公式，结合三角函数值域计算即可 【详解】（1）因为，所以， 所以，， 整理得， 在中，，所以， 故， 因为，所以， 又，故. （2）由正弦定理得， 所以，. 因为，所以. 三角形为锐角三角形，故， 解得. 三角形面积， 又， 所以 ， 因为，所以，则. 因此. 33．在中，角的对边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若，，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意利用余弦定理边角转化可得，即可得结果； （2）利用余弦定理解得，即可得周长； （3）利用正弦定理边角转化，结合三角恒等变换可得，进而可得取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以解得. （2）由余弦定理可得， 因为，所以解得， 因此的周长为. （3）由正弦定理可得， 所以，， 因为，所以， 则 ， 因为是锐角三角形，所以，即， 解得，即， 所以，即， 因为， 所以，即面积的取值范围是. 34．在中，角的对边分别为，满足. (1)若，求周长的最小值； (2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对进行变形，结合基本不等式进行求解即可； （2）先使用余弦定理把角C计算出来，再运用正弦定理把锐角三角形面积表示成关于角A的三角函数, 通过是锐角三角形计算角A的取值范围再计算面积的取值范围. 【详解】（1）解：因为, ， 由基本不等式可知,当且仅当时等号成立, 所以,，,即, , 所以,当时，周长有最小值为； （2）因为，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以， 由正弦定理可得，所以，， 因为，所以， 则 ， 因为是锐角三角形，有，即， 所以，，， 因为， 所以，即面积的取值范围是. 35．已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足. (1)求证：； (2)若，求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和与三角恒等变换证明. （2）根据锐角三角形限制确定角的取值范围，通过正弦定理将转化为关于的三角函数，推导三倍角公式化简后，用单调性定义判断函数单调性，进而求得的取值范围. （3）将三角形面积转化为关于角的三角函数，用单调性定义判断单调性，进而求得面积的取值范围. 【详解】（1）∵ ，由正弦定理（为外接圆半径）， 得，， 代入得，即. ∵ 在中，，∴ ， ∴ 代入上式得， 整理得，即. ∵ 为锐角三角形，∴ ，，∴ ， ∴ 若， 则或 （后者得 ，不符合三角形内角要求，舍去）， ∴ ，得证. （2）为锐角三角形， ∴ ，解得. 由正弦定理，，得. ∵ ，∴ ，，， . ∴ ，，且， ∴ . ∵ ，代入得. 令，∵ ，∴ ，则. 任取， 则. ∵ ，∴ ，又，∴ ， ∴ ，即，∴ 在上单调递增. ∴ 当时，； 当时，， ∴ . （3）三角形面积，由正弦定理，，， ∴ ，又，， ∴ . 代入， ， ∴ . 令，由得，则， ∴ ，， 则. 令，，则， 该二次函数开口向上，对称轴为，故在上单调递增， 当； 当 ∴ ，又，故， 即三角形ABC面积的取值范围为. 36．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，. (1)求的大小； (2)设的角平分线交于点. ①求面积的取值范围 ②求线段长的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）借助数量积公式可得，再利用正弦定理将边化为角后结合两角和的正弦公式计算即可得解； （2）①借助正弦定理可边化为角，再利用面积公式结合三角形内角和关系，可用表示出面积，利用的范围即可得解；②借助等面积法计算可用表示出，再借助①中所得即可得解. 【详解】（1），则， 由正弦定理将边化为角可得， 又， 故， 即，又，则， 故，又，则； （2）①由正弦定理，可得， 则 ， 由，则，故， 则，故； ②由，则， 即，则， 即，由（2）①知， 故，则，故， 故. 37．在中，角所对的边分别为，． (1)求角； (2)若为锐角三角形，，求的面积的取值范围； (3)若恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）正弦定理边化角，利用三角恒等变换即可求解； （2）正弦定理边化角结合三角形面积公式即可求解； （3）余弦定理结合三角形面积公式，得关于的齐次式，结合均值不等式即可求解. 【详解】（1）由正弦定理可变形成， 从而， 又，得，从而， 又，所以. （2）由的面积为， 由为锐角三角形，得，解得， 则，那么，从而. （3）由恒成立，即， 由， 即， 由，当且仅当，即时取等号 . 恒成立，即， 从而实数的最小值为. 38．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为的角平分线，且，，求角平分线的长度； (3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理角化边，结合余弦定理求出，然后可得角； （2）根据给定条件，利用三角形面积公式建立方程求解； （3）利用正弦定理，结合角的范围求出的范围，然后由面积公式可得. 【详解】（1），， ，， 由余弦定理得， 又，； （2）由的角平分线将的面积分为两部分， 则，， 于是， 即，解得， 所以的长为； （3）由三角形面积公式得， 由正弦定理得 ， 三角形为锐角三角形，，得，， ，，，. 39．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，求周长的取值范围； (3)若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）应用正弦边角关系，结合诱导公式、二倍角正弦公式化简得，即可求角； （2）法一：应用余弦定理、基本不等式得，进而有，结合三角形三边关系求范围；法二：应用正弦定理得三角形周长，再应用三角形内角性质及三角恒等变换得，最后应用正弦函数的性质求范围； （3）设，，应用正弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换得，再应用正弦函数的性质求范围. 【详解】（1）由已知及正弦边角关系得， 因为，所以，而， 所以，，， 所以，，故，即； （2）方法一：由余弦定理，得，即 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即，， 由三角形三边关系知，所以，即， 所以周长的取值范围为； 方法二：由正弦定理，得，， 所以 ， 因为，所以，即，即，， 所以周长的取值范围为； （3）因为角A与角B的角平分线交于点D，，所以， 设，， 在中，由正弦定理， 所以，即，， 所以 ， 因为，为锐角三角形，所以，即， 所以，即， 则， 所以面积的取值范围为. 40．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理角化边，结合余弦定理求出，然后可得角； （2）利用正弦定理，结合角的范围求出的范围，然后由面积公式可得. 【详解】（1），， ，， 由余弦定理得， 又，. （2）由三角形面积公式得， 由正弦定理得 ， 三角形为锐角三角形，，得，， ，，，. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点04 解三角形最值与范围问题 4大高频考点概览 考点01解三角形长度取值范围问题 考点02解三角形周长最值问题 考点03解三角形面积最值问题 考点04解三角形面积取值范围问题 ( 地 城 考点01 解三角形长度取值范围问题 ) 1．在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点D为线段上的一点，为的平分线，. (1)若是等腰三角形，，求的值； (2)若，，求的值； (3)当时，求的最小值. 3．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，的中点为． (1)求； (2)若，求内切圆面积的最大值； (3)若为锐角三角形，，求线段的取值范围． 4．（多选）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.下列说法正确的有（    ） A． B．的取值范围为 C．取值范围为 D．若的平分线交于，，，则 5．（多选）在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（ ） A． B．若，则周长的最大值为 C．若为锐角三角形，且，则的取值范围为 D．若的外心为，则 6．如图，在中，，D为边AC上一点，且，． (1)若． （ⅰ）求； （ⅱ）求的面积； (2)若，求的取值范围． 7．如图，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求角； (2)若BC的长为，求的取值范围． (3)若D为线段BC延长线上一点，且，，求． 8．如图为某公园的绿化示意图，准备在道路的一侧进行绿化，线段长为，，设.为了方便游人散步，现要搭建一条栈道，栈道由线段，和组成，若，栈道的总长为，则的最大值=__________. 9．（多选）在中，角，，的对边分别是，，，且，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则有两解 B．的面积有最大值 C．的周长有最大值12 D．若是钝角三角形，则边上的高的取值范围为 10．在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围； (3)若为边上一点（不包含端点），且满足，求的取值范围. ( 地 城 考点02 解三角形周长最值问题 ) 11．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求角C； (2)若，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，且，求边长a的值； (3)若，求△ABC的周长取值范围. 12．已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， (1)求； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若，求周长的取值范围. 13．（多选）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，D为线段BC上的一点，则下列结论正确的是（   ） A． B．的周长为 C．若AD为的中线，则 D．若AD为的角平分线，则 14．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（）于年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点．在中，角的对边分别为，且．若是的“费马点”，． (1)求角； (2)若，求的周长． 15．（多选）在锐角中，角，，的对边分别为，，为外接圆圆心，已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．周长取值范围为 D．和面积之差的取值范围为 16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求的值； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． (3)若，当的周长最小时，求的值． 17．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. (1)求； (2)若，求周长l的最大值. 18．设的内角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，求周长的取值范围. 19．已知分别为锐角三个内角的对边，且. (1)求； (2)若； （i）求周长的取值范围. （ii）当周长最大时，设点为边的中点，点在边上（包括端点），求的最小值. 20．如图，在四边形中，已知的面积为，记的面积为. (1)求的大小； (2)若外接圆半径为，求的周长最大值. (3)设，若，且满足成立，求常数的值. ( 地 城 考点0 3 解三角形面积最值问题 ) 21．在四边形中，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 22．在圆的内接四边形中，已知，，，则四边形的面积的最大值是__________. 23．的内角的对边分别为，且. (1)已知. ①若是的角平分线，，求的长； ②若，求面积的最大值. (2)若是边的三等分点（靠近点），，求实数的取值范围. 24．记的内角，，的对边分别为，，.已知向量，，. (1)求； (2)若，，选择为表示平面内所有向量的一组基底，用表示向量，并求面积的最大值： (3)若是锐角三角形，且，求的取值范围. 25．在中，角的对边分别为，且 ． (1)求角的值； (2)若的面积为，内角的平分线交边于点，，求的长； (3)若为边上一点，满足，且，求面积的最大值． 26．在中，角所对的边分别为，且．若点为边的中点，边上的中线的长为，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 27．在中，若点P满足，则点P称为的布洛卡点，角为的布洛卡角．已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点P是的布洛卡点． (1)若△ABC为正三角形，求； (2)已知 ①求证：； ②若，，求面积的最大值． 28．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，且，则面积的最大值为____． 29．在中，，是中点，中线，则面积的最大值是（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 30．（多选）的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若，且，则为等边三角形 D．若，，则面积的最大值为 ( 地 城 考点0 4 解三角形面积取值范围问题 ) 31．在中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． (3)若，求面积的取值范围． 32．在中，角的对边分别为，且． (1)求的大小； (2)若为锐角三角形且，求面积的取值范围． 33．在中，角的对边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若，，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 34．在中，角的对边分别为，满足. (1)若，求周长的最小值； (2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 35．已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足. (1)求证：； (2)若，求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 36．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，. (1)求的大小； (2)设的角平分线交于点. ①求面积的取值范围 ②求线段长的取值范围. 37．在中，角所对的边分别为，． (1)求角； (2)若为锐角三角形，，求的面积的取值范围； (3)若恒成立，求实数的最小值． 38．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为的角平分线，且，，求角平分线的长度； (3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 39．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，求周长的取值范围； (3)若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 40．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $