专题03 函数（安徽专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 2026年安徽各地二模函数专题汇编，涵盖一次、反比例、二次函数三大考点，通过真实情境与梯度设计实现知识整合与能力测评。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|41|一次函数增减性、反比例函数图像交点、二次函数图像与系数关系|结合丙午马年骏马图（一次函数实际应用）、物理电阻图像分析（跨学科）| |填空|12|反比例函数面积计算、二次函数定点问题|正八边形顶点坐标（几何与函数结合）、矩形直尺测量（实际操作）| |解答|34|函数综合应用、运动轨迹问题|探究“倍平点”定义（创新概念）、幼苗叶片生长模型（生活情境）|

专题03函数 3大考点概览 考点01一次函数 考点02反比例函数 考点03二次函数 一次函数 考点01 一、单选题 1．（2026·安徽芜湖·二模）下列函数的图像均经过点，则函数值随自变量增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将点代入各函数求出未知系数，再根据不同函数的增减性逐项判断即可． 【详解】解： A．将代入得，解得，则一次函数中，随增大而增大，不符合要求； B．将代入得 ，解得，∴一次函数 中，随增大而减小，符合要求； C．将代入得，解得，反比例函数仅在每个象限内随增大而增大，整个定义域不满足随增大而减小，不符合要求； D．将 代入得 ，解得，二次函数开口向上，仅时随增大而减小，时随增大而增大，整体不满足要求，不符合要求． 2．（2026·安徽阜阳·二模）已知一次函数的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据一次函数的增减性确定的取值范围，再将各选项点的坐标代入解析式求出，判断是否符合要求即可． 【详解】解：∵一次函数中，随的增大而减小， ∴， A、当时，代入解析式得，解得，不符合，不符合题意； B、当时，代入解析式得，解得，不符合，不符合题意； C、当时，代入解析式得，解得，符合题意； D、当时，代入解析式得，解得，不符合，不符合题意． 3．（2026·安徽阜阳·二模）2026年是丙午马年，如图是一幅骏马图，骏马图中马身的长度与马头的长度满足一次函数关系，下表列出了骏马图中马身的长度与马头的长度的一些对应值：若一幅骏马图的马身长度为，则马头长度应画为（    ） 马头长度 1 2 3 4 5 马身长度 4.5 7 9.5 12 14.5 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法求出一次函数解析式，再求出当时，对应的值即可得解． 【详解】解：骏马图中马身的长度与马头的长度满足一次函数关系， 设， 将点，代入得， ，解得， ， 当时，即，解得， 即若一幅骏马图的马身长度为，则马头长度应画为． 4．（2026·安徽合肥·二模）已知是某函数图像上的两个不同点，若这两点恒有成立，则下列函数表达式中，符合条件的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，可得随的增大而减小，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴与异号， 当时，，随的增大而减小， A．是反比例函数，，在每个象限内，随增大而增大，不符合题意； B．是正比例函数，，随增大而增大，不符合题意； C．是二次函数，开口向上，对称轴为，时，随增大而增大，不符合题意； D．是一次函数，，随的增大而减小，符合题意． 5．（2026·安徽合肥·二模）若是一次函数图象上不同的两点，且，则a 的取值范围为  （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握“当时，随的增大而减小”是解题的关键． 根据可得出与异号，进而得出，解之即可得出结论． 【详解】解：， 与异号， ∴当时，，当时，， ∴y随增大而减小， ∵， ∴，解得：． 故选：D． 6．（2026·安徽阜阳·二模）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将点的横坐标代入各选项的函数解析式，计算得到的值若等于，则该函数图象经过该点，据此判断即可． 【详解】解：把分别代入各选项计算： A. 不符合题意； B. 不符合题意； C. 不符合题意； D. 符合题意； 故选：D． 7．（2026·安徽马鞍山·二模）已知一次函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的交点问题． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：由函数图象可知，当时，． 故选：A． 8．（2026·安徽宿州·二模）已知一次函数的图象与轴交于点，且不经过第四象限，则的值（   ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【分析】先将交点坐标代入一次函数解析式得到b与k的关系，再根据图象不经过第四象限确定k的符号，代入所求代数式即可判断结果． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴交于点 ， ∴将代入解析式得，即， ∵一次函数图象不经过第四象限， ∴， 将代入得， ∵， ∴，即． 9．（2026·安徽池州·二模）若一次函数的图象向下平移个单位长度后经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用一次函数图象的平移规律得到平移后的解析式，再将已知点的坐标代入即可求出的值． 【详解】解：∵一次函数向下平移个单位长度， ∴平移后所得函数的解析式为， ∵平移后的图象经过点， ∴， 解得． 10．（2026·安徽池州·二模）若，，且a，b均为正数．下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件结合不等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴ ∴ ∵，： ∴， 故选项A正确，不符合题意； 当 时， 当时， ∵， ∴随增大而减小， ∴， 故选项B正确，不符合题意； ， 即：， 故选项C正确，不符合题意； 由 ， ∴， 故选项D错误，符合题意； 11．（2026·安徽阜阳·二模）正比例函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数与一次函数的图象及性质，先将已知点代入正比例函数解析式求出k的值，再得到一次函数解析式，根据一次函数的斜率与截距判断其经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：将点代入得：， 解得， 将代入得：，即， 在中，斜率，与y轴的交点为，截距为， 则的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 12．（2026·安徽蚌埠·二模）下列函数中，当时，的值随值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数，一次函数，二次函数的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、因为，则当时，的值随值的增大而增大，故本选项不符合题意； B、因为，则当时，的值随值的增大而增大，故本选项不符合题意； C、因为，且对称轴为y轴，则当时，的值随值的增大而增大，故本选项不符合题意； D、因为，则当时，的值随值的增大而减小，故本选项符合题意； 13．（2026·安徽阜阳·二模）如图，若直线与x轴交于点，与y轴正半轴交于点B，且的面积为6，则该直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用三角形面积公式求出得到，然后利用待定系数法求直线解析式． 【详解】解：， ， ，解得， ， 把，代入， ，解得， 直线解析式为． 14．（2026·安徽六安·二模）在“探索一次函数中，与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内，若一次函数图象经过，，则下列判断正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】由点，点在一次函数图象上，则，解得，再根据一次函数的性质逐一判断即可 ． 【详解】解：∵点，点在一次函数图象上， ∴， 解得：， 、当时，则， 当时，；当时，；故该选项判断错误，不符合题意； 、当时，则， 当时，；当时，；故该选项判断错误，不符合题意； 、当时，则， ∵点在第一象限内， ∴，， ∴，故该选项判断正确，符合题意； 、同理可得该选项判断错误，不符合题意． 15．（2026·安徽宣城·二模）物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象，根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】根据得，结合图象解答即可． 【详解】解：根据图象得，，， 又， 故． 16．（2026·安徽蚌埠·二模）下列函数中，y随x的增大而减小的是（　　）（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：A、函数中，反比例函数在每一象限内y随x的增大而减小，不符合题意； B、函数中，只有当时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、函数中，y随x的增大而增大，不符合题意； D、函数中，y随x的增大而减小，符合题意． 17．（2026·安徽·二模）已知点为正比例函数的图象上的一点，若且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在正比例函数图象上的性质，点的坐标满足函数解析式，得到与、的关系，再结合已知等式变形即可求出的值． 【详解】解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 反比例函数 考点02 一、单选题 1．（2026·安徽马鞍山·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，则不等式的解集是（　　） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，利用图象法确定不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知，的解集为：或； 故选C． 2．（2026·安徽六安·二模）如图，点是反比例函数图象上一点，连接，作交轴于点，若，，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】先设出坐标，根据求出横纵坐标关系以及关系，根据得到关于的方程，最后求解． 【详解】如图，过作轴于C， 设，则， ， ， 即， ，， ， ， ， ． 3．（2026·安徽阜阳·二模）二次函数（，，是常数且）的图象如图，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、与轴交点的位置、与轴交点的位置，可知，，，利用一次函数的性质与反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交点在轴的正半轴， ， 抛物线的对称轴为， ， ， 一次函数应是随的增大而增大； 抛物线的解析式为， 当时，， ， ， ， 直线与轴的交点在轴的负半轴； ， ， 反比例函数的图象在第一、三象限； A选项：一次函数的图象是随的增大而增大，反比例函数图象在第一、三象限，但是直线过原点，故A选项不符合题意； B选项：一次函数的图象是随的增大而减小，反比例函数图象在第二、四象限，故B选项不符合题意； C选项：一次函数的图象是随的增大而增大，且一次函数与轴的交点在轴的负半轴，反比例函数图象在第一、三象限，故C选项符合题意； D选项：一次函数的图象是随的增大而减小，反比例函数图象在第二、四象限，故D选项不符合题意． 4．（2026·安徽亳州·二模）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】延长交y轴于D，则四边形为矩形．根据反比例函数系数k的几何意义，得出，，则四边形的面积． 【详解】解：如图，延长交y轴于D，则四边形为矩形． ∵点在双曲线上，点在双曲线上， ∴，， ∴四边形的面积． 5．（2026·安徽合肥·二模）已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数图象一定不经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，反比例函数图象上的点的坐标特点．先根据点求出反比例函数的比例系数，再判断各选项点的横纵坐标乘积是否等于，若不等于则一定不经过该点． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为，点在图象上需满足． A．，该反比例函数图象一定经过点，不合题意； B．，该反比例函数图象一定经过点，不合题意； C．，该反比例函数图象一定经过点，不合题意； D．，该反比例函数图象一定不经过点，符合题意； 故选：D． 6．（2026·安徽滁州·二模）已知反比例函数的图象过点，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据反比例函数图象过已知点，求出k的值，再根据x轴上点的纵坐标为0，代入一次函数求出横坐标，即可得到交点坐标． 【详解】解：反比例函数的图象过点， 将点坐标代入得： 解得：， 一次函数解析式为 , 轴上的点纵坐标为0， 令，得 ， 解得：， 一次函数图象与x轴的交点坐标为． 二、填空题 7．（2026·安徽阜阳·二模）如图，已知平行四边形的面积为10，点A是反比例函数的图象上，过点A作轴交于点D，过点D的反比例函数图象关系式为，则的值是________． 【答案】 【分析】连接， 设直线解析式为，与联立求出，由平行四边形的面积为10，得到，平移到与平移到平移方式一致，，即可得到，设直线解析式为，则，利用铅锤法得到，即可得到，解得，则，最后代入计算即可． 【详解】解：连接， ， 设直线解析式为， 联立，解得或， ∵点在第一象限， ∴， ∵平行四边形的面积为10， ∴，平移到与平移到平移方式一致，， ∴， 设直线解析式为， ∵轴交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 把代入得． 8．（2026·安徽阜阳·二模）如图，中，，点在轴正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象与交于点，连接，若的面积为，则的值为___________． 【答案】 【分析】过点作于，过点作于，可证明，设点的坐标为，根据的面积和的面积关系可得，结合相似三角形的性质可表示出点的坐标，再代入反比例函数中即可求得的值． 【详解】解：过点作于，过点作于， 反比例函数的图象经过点， 设点的坐标为，则，， 点是轴上一点，且 ， ， 点的坐标是，， 的面积为， ，即， ， ，， ， ， ， ，， 点的坐标为， 反比例函数的图象经过点， ． 9．（2026·安徽宿州·二模）在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，点在第一象限，与轴交于点，已知的面积为，则的面积为___________． 【答案】/ 【分析】设点的坐标为，利用一次函数的解析式求出点，利用的面积求出点，进而求出反比例函数的解析式为，联立方程求出点，最后求出的面积即可． 【详解】解：如图，设点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 联立一次函数与反比例函数，得， ， 解得或， ∴点的坐标为， ∴． 10．（2026·安徽芜湖·二模）如图，正八边形的顶点A，B，G，H在坐标轴上，顶点C，D，E，F在第一象限．点F在反比例函数的图象上，若，则k的值为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了正八边形的性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，求得的坐标是解题的关键．作轴于，求得正八边形的内角的度数，即可求得△是等腰直角三角形，△是等腰直角三角形，进而得出，得到，利用待定系数法即可求得的值． 【详解】解：作轴于， 正八边形中，内角的度数为， ， ， △是等腰直角三角形， 同理△是等腰直角三角形， ， ， ， 点在反比例函数的图象上， ． 故答案为：． 11．（2026·安徽淮北·二模）如图，的顶点在反比例函数的图象上，直线交轴于点，且点的纵坐标为5，过点，分别作轴的垂线段、，垂足分别为点、，且． （1）若点为线段的中点，则________； （2）若是等腰直角三角形，，其面积小于3．延长交第三象限双曲线于点，连接，则________．    【答案】 2.5 5 【分析】（1）由点为线段的中点，可得，代入解析式即可求出； （2）由是等腰直角三角形， 可证明，，，，，由轴、轴，可证明，进而得到，进而求出，再结合面积小于3，可得，再由对称性，可得即可得出结果． 【详解】解：①∵点的纵坐标为5， ∴， 又∵点为线段的中点， ∴， 又∵， ∴， 将代入，得：，解得：； ②∵，点在函数的图象上， ∴设，， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵轴、轴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，即， 解得：或， ∴或， ∴或， ∵， ∴舍去， ∵的图象关于原点中心对称， ∴点与点关于原点中心对称， ∴， ∴． 12．（2026·安徽蚌埠·二模）如图，双曲线和都是等腰直角三角形，，点位于轴负半轴上，是双曲线上一点，若，则_______． 【答案】 【分析】设，，根据题意列式表示出D点的坐标，进而可得，然后再面积差求出，由此即可求出答案． 【详解】解：设，， ∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵点D在反比例函数图象上， ∴，即， 又∵，即， ∴ ∴， ∴． 13．（2026·安徽芜湖·二模）如图，点P在反比例函数的图象上，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A，B，与的图象交于点C，D．已知矩形的面积为4． （1）________； （2）连接，当点P在反比例函数图象上运动时，线段长度的最小值为________． 【答案】 【分析】（1）根据值的几何意义，得到，进行求解即可； （2）设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，根据两点间的距离公式结合勾股定理求出，配方法进行求解即可. 【详解】解：（1）∵点P在反比例函数的图象上，矩形的面积为4， ， 反比例函数的图象在第二象限， ； （2）设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， 由勾股定理得，即， ， 的最小值为， ． 14．（2026·安徽六安·二模）如图，的面积为3，边AO在x轴上，点C在y轴上，点B、D在双曲线上，B、D两点的横坐标之比是1:3，则的面积是__________． 【答案】4 【分析】利用▱AOBC的面积为3，得到△OBC的面积为，求得双曲线的解析式为，设B(a，)，D(3a，)，利用面积公式即可求解． 【详解】解：∵▱AOBC的面积为3， ∴△OBC的面积为， ∴， ∴双曲线的解析式为， ∵点B、D在双曲线上，且B、D两点的横坐标之比是1:3， ∴设B(a，)，D(3a，)， ∴△OBE和 △ODF的面积都为， 过点B、D分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义及三角形的面积，求得的值是解题的关键． 15．（2026·安徽宣城·二模）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图．请根据图中信息，则点坐标为________． 【答案】 【分析】本题是反比例函数与一次函数综合题，考查了求函数解析式，一次函数的平移问题，一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键．由图形可知，，利用待定系数法求出反比例函数解析式和直线的解析式，再根据一次函数的平移得到直线的解析式，联立反比例函数和直线，求出交点坐标即可． 【详解】解：由图形可知，， 设反比例函数解析式为， 反比例函数图象过点， ， 比例函数解析式为， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 由图象可知，直线可由直线向上平移3个单位得到， 直线的解析式为， 联立，解得：或， 点在第二象限， 故答案为： 16．（2026·安徽蚌埠·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，反比例函数的图象经过边的中点，并交于点．若五边形的面积为，则的值为___________． 【答案】 【分析】设，，根据矩形的性质可表示出点的坐标，根据中点的性质可表示出点的坐标，由反比例函数图象经过点、，可得到与、的关系，以及表示出点的坐标，最后列式计算即可得解． 【详解】解：设，，则， 点是的中点， ， 反比例函数的图象经过点， ， 对于，令，即， ， ， 五边形的面积为，即， ， ， ． 三、解答题 17．（2026·安徽马鞍山·二模）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，，连接，． (1)求和的值； (2)求一次函数的函数表达式； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）把点代入求出，得，把代入，解得； （2）把，代入，求出，的值即可； （3）求出点A的坐标，根据解答即可． 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ∴， ∴； 把代入， 得， 解得； （2）解：由（1）得， 把，代入，得：， 解得， ∴一次函数解析式为； （3）解：对于，当时，， 解得， ∴， ∴， 又，， ∴ ． ∴的面积为． 18．（2026·安徽合肥·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点，过点作轴的垂线，交反比例函数的图象于点，交直线于点．若，求的值． 【答案】(1) (2)的值为1 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，解一元二次方程，待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键； （1）将点代入，得出点坐标为．进而待定系数法求反比例函数解析式，即可求解； （2）根据题意得出，解方程结合函数图象取舍的值，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得 ． 点坐标为． 点在的图象上， 反比例函数的表达式为． （2），且轴， ． 整理得， 解得，（舍去） 的值为1． 19．（2026·安徽合肥·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． （1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）求出点坐标得到线段长，根据代入数据计算即可； （3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ， ，， 反比例函数解析式为：， ，在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数解析式为：． （2）解：在一次函数中，令，则， ， ； （3）解：根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集为：或． 20．（2026·安徽淮北·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，且点的横坐标为，直线交轴于点，直线轴于点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标． (2)判断点关于直线的对称点是否落在反比例函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1)，点的坐标为； (2)点落在反比例函数的图象上．理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求得直线的表达式，再求得点的坐标，利用轴对称的性质求得点的坐标，据此计算即可判断． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∵点的横坐标为， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：点落在反比例函数的图象上．理由如下： ∵，， ∴设直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为， 令，则， ∴点的坐标为， ∵直线轴于点， ∴直线的表达式为， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∵， ∴点落在反比例函数的图象上． 21．（2026·安徽阜阳·二模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点是轴负半轴上的点，且，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数与反比例函数的解析式； （2）利用一次函数的解析式求出点的坐标，根据即可求出点的坐标，根据点、、的坐标求出的长度和点到的距离，再利用三角形的面积公式即可求出结果． 【详解】（1）解：把代入， 可得：， 解得：， 反比例函数的解析式为； 把代入， 可得：， 点的坐标为， 把，代入， 可得：， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）解：在一次函数中，当时，， ， 点的坐标为， 又点的坐标为， 轴，， 点到的距离为， ． 22．（2026·安徽·二模）如图，将正方体的展开图放在平面直角坐标系中，点，，分别落在坐标轴上． (1)求的值； (2)若，反比例函数的图象恰好经过点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，可得，那么，即可求得答案； （2）设坐标为，过点作轴于点，先求得的长度，利用，得到，接着根据，列方程求解即可得出，最后将点代入反比例函数即可求出答案． 【详解】（1）解：依题意，， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设坐标为，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 整理得，， 解得（负值舍去），则， ∴， ∵反比例函数的图象恰好经过点， ∴． 23．（2026·安徽阜阳·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，连接． (1)求和的值； (2)求一次函数的解析式； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2) (3)8 【分析】（1）把代入，利用待定系数法即可解答； （2）把代入，利用待定系数法即可解答； （3）设一次函数的图象和轴交于点，利用的面积等于的面积减去的面积即可解答． 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的解析式为， 将代入， 得； （2）解：把代入， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （3）解：设一次函数的图象和轴交于点， 将代入， 解得， ∴点的坐标为， ∴． 24．（2026·安徽铜陵·二模）如图，点，是反比例函数图象上的两点，点，的横坐标分别为，，直线与轴交于点，若的面积为． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用反比例函数上点的坐标特征，表示出点，的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，结合直线与轴的交点，根据的面积列方程，求出的值； （2）根据（1）的结果得到点，的坐标，计算出、的长度，再通过三角形面积差求出的面积，进而求出点到直线的距离，最后根据正弦函数的定义计算的值． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 由题知点，， 把，两点代入中得，解得， 直线的函数表达式为， 令，即，解得， 点的坐标为， 的面积为， ， 解得； （2）解：如图，过点作交的延长线于点， 由（1）知，， ，， ，即， ， ． 25．（2026·安徽滁州·二模）如图，是边长为的等边三角形，线段在轴上，反比例函数的图像经过点． (1)求点的坐标及反比例函数的解析式； (2)若这个反比例函数图像上有两个点，，且，请比较和的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质得，，根据勾股定理得，继而得到点的坐标，再根据函数图像上点的坐标特征可求得的值； （2）根据的值确定该反比例函数的图像经过的象限，继而确定函数的增减性，可得答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由（1）知：， ∴该反比例函数的图像经过第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， 又∵这个反比例函数图像上有两个点，，且， ∴． 【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，考查了等边三角形的性质，勾股定理，待定系数法确定函数的解析式，反比例函数的图像与性质，掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键． 26．（2026·安徽·二模）如图，已知一次函数与反比例函数相交于、两点． (1)求m，k，b的值； (2)直接写出时x的取值范围； (3)将直线向下平移个单位后与y轴交于点C，若，求C点坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的图像和性质，解二元一次方程组，熟练掌握一次函数和反比例函数的图像和性质是解题的关键． （1）将代入得，把代入得，把，代入得，即可求出一次函数的解析式； （2）根据一次函数与反比例函数的交点得出答案即可； （3），求出，即可得到C点坐标为． 【详解】（1）解：把代入得， 把代入得， 把，代入得，解得， 综上，，，； （2）解：由（1）可知，， 由图知时，x的取值范围是或； （3）解：由题得，解得， 由（1）知， 向下平移个单位长度，即， C点坐标为． 二次函数 考点03 一、单选题 1．（2026·安徽合肥·二模）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：；；（的实数）；．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数系数与其图象之间的关系．抛物线的开口方向可以确定的符号，抛物线与轴的交点可以判断的符号，对称轴是．将取特殊值可得与题干中结论一样的代数式． 【详解】解：①当，，由图象可知，此时，所以，，正确； ②当，，由图象可知，该函数关于对称，所以与时，值相等．因为，，所以，，，正确； ③当，值最大，此时，时， ，，错误； ④因为二次函数的对称轴是，所以，，正确． 综上，①②④正确． 2．（2026·安徽阜阳·二模）二次函数（，，是常数且）的图象如图，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、与轴交点的位置、与轴交点的位置，可知，，，利用一次函数的性质与反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交点在轴的正半轴， ， 抛物线的对称轴为， ， ， 一次函数应是随的增大而增大； 抛物线的解析式为， 当时，， ， ， ， 直线与轴的交点在轴的负半轴； ， ， 反比例函数的图象在第一、三象限； A选项：一次函数的图象是随的增大而增大，反比例函数图象在第一、三象限，但是直线过原点，故A选项不符合题意； B选项：一次函数的图象是随的增大而减小，反比例函数图象在第二、四象限，故B选项不符合题意； C选项：一次函数的图象是随的增大而增大，且一次函数与轴的交点在轴的负半轴，反比例函数图象在第一、三象限，故C选项符合题意； D选项：一次函数的图象是随的增大而减小，反比例函数图象在第二、四象限，故D选项不符合题意． 3．（2026·安徽阜阳·二模）抛物线的对称轴为直线，若直线与抛物线在的范围内有交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据对称轴求出抛物线解析式，再找出的范围内的最高点和最低点，从而求出m的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 在的范围内， 当时，有最小值， 当时，有最大值6， ∵直线与抛物线在的范围内有交点， ∴． 4．（2026·安徽阜阳·二模）已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的个数为（    ） ①；②；③；④若点在函数图像上，且满足，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】依据题意，由抛物线开口向下，从而，又抛物线对称轴为，故，即；再结合抛物线与y轴交于正半轴，可得，进而可以判断①；因为对称轴，当时，，则当时，，即可判断②；由对称轴为直线，则，即可判断③； 由，即，由抛物线的对称轴是直线，即点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，所以，故可以判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为，， ∴，即； ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，即①错误； ∵对称轴，当时，，则 ∴当时，，即可②正确； ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴，即③错误． ∵抛物线对称轴为，， ∴当时的函数值大于当时的函数值． ∵， ∴， ∴当点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，即，故④正确． 综上，正确的结论是②④，共2个． 5．（2026·安徽马鞍山·二模）已知二次函数（为常数，且）．下列结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，随增大而减小； ③该函数图象与轴有两个不同的公共点； ④若，则关于的方程有一个根大于且小于； 其中正确的结论的个数有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令时，求得的值，即可判断；根据二次函数图象的增减性，即可判断；由根的判别式，即可判断，解一元二次方程结合判断根的大小情况，即可判断． 【详解】解：， 当时，， 该函数图象经过点，故正确； 当时，， 对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， 当时，随增大而减小， 又， 当时，随增大而减小，故正确； 判别式， 当时，，函数图象与轴只有一个公共点，故错误； 当时，方程的根为和， ， ，即方程有一个根大于且小于，故正确. 综上，正确的结论有，共个． 6．（2026·安徽宿州·二模）二次函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．对任意实数，都有恒成立 【答案】C 【分析】根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程及不等式的关系逐一分析即可解答． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵当时，， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∴， ∴，故C选项错误，符合题意； ∵当时，函数值最小，最小值为， ∴对任意实数，都有恒成立，即恒成立， ∴对任意实数，都有恒成立，故D选项正确，不符合题意． 7．（2026·安徽·二模）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由反比例函数图象得出b>0，再分当a>0，a<0时分别判定二次函数图象符合的选项，在符合的选项中，再判定一次函数图象符合的即可得出答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一和第三象限内， ∴b>0， 若a<0，则->0，所以二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，故A、B、C、D选项全不符合； 当a>0，则-<0时，所以二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，故只有C、D两选项可能符合题意，由C、D两选图象知，c<0， 又∵a>0，则-a<0，当c<0,a>0时，一次函数y=cx-a图象经过第二、第三、第四象限， 故只有D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查函数图象与系数的关系，熟练掌握反比例函数图象、一次函数图象、二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 8．（2026·安徽芜湖·二模）如图，抛物线的顶点为，与轴的一个交点，与轴的交点在和之间．下列结论中，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数图象开口方向，对称轴可求得a，b符号和关系，与y轴交点判断c的取值范围，可判断A错误；利用抛物线与x轴的交点得出①，②，整理得出可判断B错误；由可判断C错误；分别求出，，可判断D正确． 【详解】解：A．∵抛物线的开口向上， ∴， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴对称轴直线为， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在和之间 ∴， ∴0；故A错误； B．∵抛物线与x轴的一个交点， ∴①，抛物线x轴的一个交点， ∴②， ，得， 把代入①得，， ∴， ∴，故B错误； C．∵， ∴，故C错误； D．∵， ∴． ∵， ∴． ∵顶点坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故D正确． 9．（2026·安徽芜湖·二模）定义：在平面直角坐标系中，对于某函数图象上的一点，先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，若点也在该函数图象上，则称点为该函数图象的“倍平点”．例如，对于上一点，先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，也在图象上，则称点为图象的“倍平点”．则函数图象的“倍平点”的坐标是（   ） A． B． C．或或 D．或 【答案】C 【分析】根据“倍平点”的定义分和两种情况解答即可求解． 【详解】①当时，设，则， ， 解得， ， ； ②当时，设，则， 若即时，， 解得（不合，舍去）或， ∴， ∴； 若即时， ， 解得， ， ； 综上，函数图象的“倍平点”的坐标是或或． 10．（2026·安徽阜阳·二模）在同一平面直角坐标系中，抛物线（是常数，且）与双曲线的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次函数对称轴公式计算抛物线的对称轴为，确定其在轴左侧，据此排除对称轴位置不符的选项A、D；再分和两种情况讨论：当时，反比例函数图象应在一、三象限，且抛物线开口向上、与轴交于负半轴；当时，反比例函数图象在二、四象限，抛物线开口向下且与轴交于正半轴，由此确定答案． 【详解】解：对于抛物线，对称轴为直线， ∴抛物线对称轴一定在轴左侧，故选项A，D错误； 当时，，则双曲线在第一、三象限，抛物线交轴负半轴，故选项B错误； 当时，，则双曲线在第二、四象限，抛物线交轴正半轴，故选项C符合题意． 11．（2026·安徽阜阳·二模）如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象可得二次函数的图象与轴有两个交点，可得；二次函数的图象与轴交在负半轴，可得；当时，，对比图象可得；由对称轴可得，当时，，根据图象即可判断． 【详解】解：根据图象可得二次函数的图象与轴有两个交点， ，即，故A正确； 二次函数的图象与轴交在负半轴， 可得，故B正确； 当时，， 对称轴为直线， 当时和当时，函数值相等， 根据图象当时，， ，故C正确； ， ， 当时，， 根据图象当时，， ，故D错误． 12．（2026·安徽铜陵·二模）如图，抛物线的顶点为，与轴其中一个交点的坐标为，与轴的交点在与之间（不含端点）．下列结论中：①；②；③；④，正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，灵活运用二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点等性质，结合数形结合的思想分析判断各结论是解题的关键．根据抛物线的开口方向判断的符号，由对称轴公式判断的符号，由抛物线与轴的交点位置判断的符号，进而判断的符号；利用对称轴与已知交点坐标求出抛物线与轴的另一个交点，代入解析式结合的取值范围求出的取值范围；利用因式分解和特殊点的函数值判断是否成立；根据顶点坐标公式表示出，进而判断与的大小关系． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 对称轴为，则， ， ， 抛物线与轴的交点在与之间， ， ，①正确； ， ， 抛物线对称轴为，与轴其中一个交点的坐标为， 与轴另一个交点的坐标为， 将代入抛物线得，， 又， ， 解得， ， ，②正确； 原等式可化为， ， 当时，， ，即，③正确； 抛物线顶点为， ， 又， ， 则， ， ，④错误； 综上所述，正确的结论为①②③，共个， 故选：． 13．（2026·安徽阜阳·二模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．则下列结论不正确的是（　　　） A．小球在空中经过的路程是40m B．小球运动的时间为6s C．小球抛出3s时，速度为0 D．当s时，小球的高度m 【答案】A 【分析】选项A、B、C可直接由函数图象中的信息分析得出答案；选项D可由待定系数法求得函数解析式，再将t＝1.5s代入计算，即可作出判断． 【详解】解：A、由图象可知，小球在空中达到的最大高度为40m，则小球在空中经过的路程一定大于40m，故选项A错误； B、由图象可知，小球6s时落地，故小球运动的时间为6s，故选项B正确； C、小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0，故选项C正确； D、设函数解析式为，将（0，0）代入得： ， 解得， ∴函数解析式为， ∴当t＝1.5s时，， ∴选项D正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数在物体运动中的应用，会用待定系数法求函数解析式并数形结合进行分析是解题的关键． 14．（2026·安徽芜湖·二模）如图，已知二次函数的图象经过，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据图象得出的符号，再结合对称轴位置可得，过点可得，然后根据不等式的性质逐项判定即可． 【详解】解：由图象可知：，，， ， ， ∴A错误； 由图象经过，可得， ， ， ， ，即， ∴B正确； 由图象得，， ， ， ∴C错误； ， ， ， ∴D错误． 15．（2026·安徽六安·二模）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④对于任意实数，都有；⑤方程有两个异号的实数根．其中正确的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据抛物线开口，对称轴，与轴的交点即可判断①②，根据时的函数值小于，即可判断③，根据当时，有最大值即可判断④，根据方程的解，即为的交点的横坐标，画出一次函数图象，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴，根据函数图象可得， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②错误； ∵当时，， 又， ∴，即，故③正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值 ∴对于任意实数，都有，即，故④正确； 对于方程的解，即为的交点的横坐标， 如图所示，方程有两个同号的实数根，故⑤错误． 16．（2026·安徽滁州·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，熟练掌握函数图象与系数之间的关系是解题的关键．先根据二次函数必须过原点，排除A和D两个选项，再分别根据一次函数的图象得出a的取值范围，再判断对应的二次函数图象，然后可得答案． 【详解】解：A．二次函数的图象没有过原点，不符合题意； B．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向上，符合题意； C．由二次函数图象可得，则一次函数图象应该过一、三、四象限，不符合题意； D．二次函数的图象没有过原点，不符合题意． 故选：B． 17．（2026·安徽蚌埠·二模）已知二次函数的图象如图所示，下列结论中：①该二次函数的关系式为；②若直线与二次函数的图象交于点A，B（点A在点B左侧），则线段；③关于x的方程的解是或；④当时，自变量x的取值范围是或．其中正确的结论有（　　） A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】代入点和到，求出的值可判断①；令，分别求出点A，B的坐标，可判断②；利用因式分解法解方程可判断③；结合图象可判断④． 【详解】解：代入点和到， 则， 解得， ∴二次函数的关系式为，故①正确； 令，则， 解得，， ∴，， ∴，故②正确； 关于x的方程，即， 整理得：， 解得，， ∴关于x的方程的解是或，故③正确； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴由图象得，当或时，， ∴当时，自变量x的取值范围是或，故④正确； 综上，正确的结论有①②③④． 18．（2026·安徽·二模）已知抛物线分别经过一、二、三、四象限，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】抛物线经过四个象限，说明抛物线与轴有两个不同交点，且两个交点分别位于原点两侧，据此列不等式求解即可. 【详解】解：抛物线 经过四个象限. 抛物线与轴有两个不同交点，且两个交点分别在原点两侧. 当时，，若两个交点在原点两侧，则与二次项系数异号，即 . 解不等式得. 计算判别式. ， ， ，满足有两个不同交点的条件. 的取值范围是． 二、填空题 19．（2026·安徽六安·二模）已知抛物线． （1）无论取任何值，该抛物线经过定点，则该定点的坐标为________； （2）已知点，，若该抛物线与线段没有公共点，则的取值范围为________． 【答案】 或 【分析】（1）整理抛物线的形式，提取，由此求解即可； （2）先由待定系数法求解直线的函数表达式，再求解直线与抛物线的交点的横坐标，根据没有公共点这一条件求解即可． 【详解】解：（1）， 令，解得，即当时，， 故该函数的图象经过的定点的坐标是； （2）设直线的函数表达式为：， 将点，代入， 则有，解得， 则直线的函数表达式为：， 把代入得， 即直线经过抛物线的定点， 令， 即，解得，， ∴直线与抛物线的交点的横坐标为3与． ∵该抛物线与线段没有公共点， ∴或，解得或． 综上，的取值范围为或． 20．（2026·安徽池州·二模）平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点，直线恰好经过A，B两点，交抛物线对称轴于P． （1）抛物线的解析式为______； （2）点在二次函数图象上且是在下方的一动点，______时，的值最小． 【答案】 /0.5 【分析】由直线求出与坐标轴交点、，代入抛物线求出解析式．由抛物线解析式算出对称轴，再求出直线与对称轴的交点．设抛物线上点，用两点间距离公式表示，并代入化简．通过换元将转化为二次函数，利用二次函数最值求出最小值对应的，代入求出，并检验点在下方，符合题意． 【详解】解：∵直线交轴于，交轴于： ∴令，得，令，得， 所以， 抛物线过A、B： 解得： ∴抛物线解析式为： ∴抛物线对称轴： ∵点是直线与对称轴的交点， ∴， ∴ 设在抛物线上，则 ∴ 代入： 令，则， ∴ 令，则 ， 将转化为关于u的二次函数，利用二次函数性质求最值， ， ∴开口向上，最小值在， 即，也就是． ， 当时，M点纵坐标小于直线上对应点的纵坐标，满足点M在直线下方的条件，符合题意． 故． 三、解答题 21．（2026·安徽马鞍山·二模）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点，点P在抛物线上，点P的横坐标为m，作轴于点Q，将线段绕点O旋转得到线段，作四边形． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)当M，N两点关于该抛物线的对称轴对称时，求四边形的面积； (3)当，抛物线在四边形内部的图象（包括边界）记为G，若图象G的点的纵坐标y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为8，求m的值． 【答案】(1) (2)24 (3) 【分析】（1）将点代入求出a的值即可； （2）由旋转得点P和点M，点Q和点N分别关于原点O对称，推出四边形为平行四边形，且．根据M，N两点关于该抛物线的对称轴对称，推出m的值，进而得出四边形各顶点坐标，进而即可求解； （3）先求出抛物线的顶点坐标为，根据y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，可得图象G一定包含抛物线的顶点部分，再根据最高点与最低点的纵坐标之差为8，求出最高点的纵坐标，进而即可求解． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得． ∴该抛物线所对应的函数表达式为． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵点P在抛物线上，横坐标为m，作轴于点Q， ∴，． ∵将线段绕点O旋转得到线段， ∴点P和点M，点Q和点N分别关于原点O对称，且，， ∴，， ∴四边形为平行四边形，且． 又∵M，N两点关于该抛物线的对称轴对称，且点N在y轴上， ∴点M在对称轴的右侧， ∴， 解得， ∴，，，， ∴，， ∴四边形的面积． （3）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为． ∵抛物线在四边形内部的图象（包括边界）记为G，图象G的点的纵坐标y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大， ∴图象G一定包含抛物线的顶点部分，即图象G的最低点的纵坐标为，如图． 又∵图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为8． ∴图象G的最高点的纵坐标为， ∴点P的纵坐标为5， ∴， 解得． ∵， ∴． 22．（2026·安徽六安·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点，为该抛物线与轴的两个交点（在的左侧），求的值； (3)是该抛物线上任意一点，点也在该抛物线上（，与不重合），（为常数，且）：令，若的值为定值，求此定值是多少？ 【答案】(1) (2) (3)此定值是4 【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，将代入，可得，即可得抛物线的函数表达式； （2）令，可得，，记与相交于点，可得，根据三角形的面积公式求解即可； （3）将，代入抛物线的函数表达式，可得，，结合已知可得，可得，根据题意可得的值与无关，可得，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为， ∵抛物线与轴交于点， ∴，得， ∴抛物线的函数表达式为，即； （2）解：令，解得，， ∴，， 记与相交于点， ∴ ； （3）解：∵，在抛物线上， ∴，， ∵， ∴ ， ， ∴ ， ∴， ∵，的值为定值，且点是抛物线上任意的一点， ∴的值与无关， ∴， ∴， ∴，即此定值是． 23．（2026·安徽合肥·二模）【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，它们都可以看作把抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片对称轴下部的轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知该抛物线经过原点，顶点D坐标为且与x轴的另一交点为C．求C点坐标及抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于A，B两点，点C，是叶片上的一对对称点，线段交直线AB于点G．证明是等腰直角三角形并求出线段的长度； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖P的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点M，过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N，求的最大值． 【答案】（1）C点坐标为，；（2）；（3）2 【分析】（1）根据顶点坐标公式列方程组求解，得到函数解析式，再令解方程得到点坐标； （2）先求出，得到，得，求得，根据对称性得； （3）运用待定系数求出右侧幼苗上方轮廓线表达式为，设M点坐标为，则，得，运用二次函数的性质可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为， ∴ 解得：，， ∴抛物线的解析式为． 当时，． 解得，， ∴C点坐标为； （2）∵直线与坐标轴交于，两点， ∴令，得，令，则，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵直线是心形叶片的对称轴，且点，是叶片上的一对对称点， ∴，， ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵C点坐标为， ∴， ∴， ∴； （3）∵右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反， 设右侧幼苗上方轮廓线表达式为，代入、得 ， 解得， ∴， 设M点坐标为，则， ， ∵，， ∴当时，的最大值为2． 24．（2026·安徽淮北·二模）已知二次函数，其中为实数． (1)求该二次函数图象的顶点坐标． (2)当时，求函数的最大值． (3)若该二次函数图象的顶点在直线上，当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)函数的最大值为； (3)的取值范围是． 【分析】（）把二次函数配成顶点式即可求解； （）由，开口向上，则离对称轴越远的点函数值最大，然后把代入即可求解； （）分当时，当时，当时，三种情况求解即可． 【详解】（1）解：由， ∴该二次函数图象的顶点坐标为； （2）解：由， ∴对称轴为直线， ∵，开口向上， ∴离对称轴越远的点函数值最大， ∵，，， ∴当时，函数取得最大值， 把代入得，， ∴当时，函数的最大值为； （3）解：∵二次函数图象的顶点在直线上， ∴，解得：， ∴，对称轴为直线， ∵， ∴二次函数开口向上，顶点坐标为， ∴当时，在对称轴左侧，随增大而减小， 最大值为：当时，， 最小值为：时，， 由题意得，， 解得，此解不满足，故舍去； 当时，最小值为：当时，， 最大值为：当时，或当时，， ∴， 当时，， 解得：或，符合题意； 当时，则处的，差大于，不符合要求； 综上可得：的取值范围是． 25．（2026·安徽阜阳·二模）已知抛物线（，是常数且）的对称轴为直线． (1)设抛物线与轴的交点为，，求的长； (2)若二次函数的最小值为． （ⅰ）求的值； （ⅱ）已知点，为该抛物线上不同的两点，，若和的值互为相反数，证明：． 【答案】(1)4 (2)（ⅰ）1；（ⅱ）见解析 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，得出，进而代入抛物线解析式，令，解一元二次方程，即可求解； （2）（ⅰ）根据题意得出，，即可求解； （ⅱ）由（ⅰ）可知，即，则，，根据和的值互为相反数，得出，代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ，即， 当，即时， 解得或， 抛物线与轴的交点坐标为，， ； （2）（ⅰ）解：该二次函数有最小值， ， ， ， 解得，（舍）， 的值为1； （ⅱ）证明：由（ⅰ）可知，即， ，都在抛物线上， ， 和的值互为相反数， ， ， 整理，得， ， 即． 26．（2026·安徽芜湖·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，顶点在线段上，已知，两点的坐标为和． (1)求，两点所在直线的函数表达式； (2)设该抛物线与轴的交点为，求线段的长； (3)若，两点均在该抛物线上，轴于，轴于，，两点的横坐标为和．分别记和的面积为，，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先运用待定系数法以及相关已知条件可得，进而求得函数解析式以及，再运用两点间距离公式求解即可； （3）由题意可得，，再画出图形，然后分别表示出和的面积，最后根据列关于t的方程求解即可． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为． 则，解得：， 所以，两点所在直线的函数表达式． （2）解：设抛物线的表达式为． 将其展开可得， ∴抛物线的顶点坐标为． ∵顶点在线段上， ∴，解得：． ∴抛物线的顶点坐标为． 把代入抛物线表达式中，可得． 令，可得， ∴， ∵， ∴线段的长． （3）解：如图： ∵，两点的横坐标为和，且抛物线表达式为， ∴，，即， ∵， ∴，， ∵轴于，轴于， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得：或（不合题意，舍去）． ∴． 27．（2026·安徽阜阳·二模）平面直角坐标系中，如图1，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，点是抛物线上，两点之间的一动点． (1)求这个抛物线的解析式； (2)如图2，过点作于点． ①求线段的最大值； ②如图3，过点作轴于点，设，求的最大值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式求解、二次函数的最值问题、直线方程的应用以及几何图形中的线段关系分析． （1）根据抛物线的顶点坐标设顶点式，将代入即可解答； （2）①设，过点作轴交于点，经分析，线段，根据可得当时，有最大值，从而得到线段的最大值；②经分析，，结合图形，求出交点的横坐标为，故，代入可得，根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得， 抛物线的解析式为，即； （2）解：①由（1）知， 设直线的解析式为， 将，代入得：，解得， 直线的解析式为， 设，过点作轴交于点， ， ， 为等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 当时，有最大值， 的最大值为； ②由①知，，， 延长交于点， ，， ，则 为等腰直角三角形， ， ， ， 把代入直线的解析式， 可得交点的横坐标， 轴， ， ， ， 当时，取得最大值，最大值为． 28．（2026·安徽阜阳·二模）已知抛物线经过点和点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线与轴交于点和点（点在点左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为． （i）若点是抛物线位于轴上方部分的一个动点，如图，是否存在？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由； （ii）若点是线段上一点，且，过点作轴于点，交抛物线于点，求的值． 【答案】(1) (2)（i）存在，点的横坐标为（ii） 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）（i）过点作交抛物线于点，此时，求得直线的函数表达式为：，联立抛物线解析式，即可求解； （ii）过点作轴于点，则，得出直线，根据列出比例式，求得点的坐标为进而得出点的坐标为，即可求解． 【详解】（1）解： 抛物线经过点和点 ， 解得 抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）得，当时，，解得， 点在点左侧，点坐标为，点坐标为； 当时， 点坐标为； 顶点坐标为． （i）存在点使， 如图1，过点作交抛物线于点，此时， 设直线的函数表达式为 点，点， ， 解得， 直线的函数表达式为， 直线的函数表达式为：， 当时，即，解得， 点是抛物线位于轴上方部分的一个动点时（舍去），存在，此时点的横坐标为； （ii）如图2，过点作轴于点，则，设直线，则， 解得 轴， 当时， 点的坐标为 点的坐标为， 的值为2． 29．（2026·安徽马鞍山·二模）抛物线与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，直线的解析式为，D是线段上的一点，连接． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，延长交抛物线于点E，当最大时，求点E的坐标，并求出这个最大值； (3)如图2，将沿着翻折得到，连接，当时，求的长． 【答案】(1) (2)，最大值 (3) 【分析】（1）待定系数法求解析式； （2）过点A、E作y轴的平行线分别交直线于点M、F，构造相似三角形，利用相似三角形以及二次函数的性质求出最值； （3）过点A作，垂足为H，根据点的坐标、勾股定理以及翻折的性质求出相关线段的长度，设，则，利用勾股定理列出方程求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴； 当时，， 解得， ∴； 将和代入得 ， 解得， ∴； （2）解：如图所示，过点A、E作y轴的平行线分别交直线于点M、F． ∴， ∴， ∴， ∴， 由题可设，故， ∴， 令， 解得或， ∴， ∴， 即 ∴，当且仅当时取等号，最大值为， 此时； （3）解：由、和可得，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得，， 故由折叠可知，，， ∵， ∴， 过点A作，垂足为H， ∴为等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得， 即． 30．（2026·安徽亳州·二模）已知抛物线（b，c为常数）的顶点为点，与轴交于点． (1)若，求该抛物线顶点的坐标； (2)将（1）中抛物线图象轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，与原抛物线图象轴上方的部分共同构成新图象，若直线与新图象有且只有两个交点，请直接写出的取值范围； (3)若，且当时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求的值． 【答案】(1)点的坐标为 (2)或 (3)4 【分析】（1）利用根与系数的关系得到，由，得到，求出函数解析式配方得到顶点坐标； （2）由翻折得到G的函数解析式，再分情况讨论求出a的取值范围； （3）将c的值代入解析式，求出对称轴，根据，且，确定对称轴在区间内，且区间右端点到对称轴的距离大于左端点到对称轴的距离1，求出最大值及最小值，列方程解答 【详解】（1）解：由题意可知，是方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴抛物线的解析式为 ∴该抛物线顶点的坐标为； （2）解：由（1）得原抛物线为，与x轴交点为，， 将轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，得到新图象的解析式为： 直线与新图象有且只有两个交点，分情况讨论： ①直线与翻折后的两支各有一个交点，与原抛物线无交点时， 联立与，得， 得（恒有两实根） 联立与，得， 令，则，解得 ②直线与原抛物线有两个交点，与翻折后的两支无交点时， 直线经过时，，得； 直线经过时，，得； 当时，直线与原抛物线有两个交点，与翻折部分无交点， 综上，的取值范围是或； （3）解：将代入解析式得，， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵区间为，且， ∴对称轴在区间内，且区间右端点到对称轴的距离大于左端点到对称轴的距离1， ∴当时，函数取得最大值4， 当时，函数取得最小值 由题意得， 解得或， ∴或， ∵， ∴． 31．（2026·安徽宿州·二模）已知抛物线经过点和点． (1)求该抛物线的解析式． (2)若该抛物线与轴交于点．连接，在抛物线段上有一动点，连接交于，求的最大值： (3)若自变量满足，此时函数的最大值为，最小值为，求的最大值．并求出此时的值． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)的最大值为7，此时 【分析】（1）根据题意，列出方程组，求解即可； （2）过点作轴交于点，过点作轴交的延长线于点，易得，从而，根据题意，求直线的解析式为，从而可求，，设，则，则，根据二次函数的性质，可得的最大值为，即可求的最大值； （3）根据二次函数，可知对称轴为，根据的取值分类讨论：当时，分别求出和，从而，再根据二次函数的性质，可得当时，最大值为7；当时，同理可得，则最大值小于4；最后两种情况进行比较，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点和点， ，解得， ； （2）如图，过点作轴交于点，过点作轴交的延长线于点， ， ， ， 设解析式为，由题意可知， 则，解得， ， 时，， ， ， 设，则， ， ， 当时，取得最大值为，即取得最大值， 则最大值为； （3）， 二次函数对称轴为， 当时，此时函数最大值，最小值， 则， ， 当时，最大值为7； 当时，此时函数最大值为，最小值为， ， 又， 最大值小于4， ， 时，取最大值为7． 32．（2026·安徽池州·二模）已知二次函数的图象与y轴交于点A，顶点为点M． (1)求点A的坐标及该二次函数图象的对称轴； (2)若原函数为，该二次函数图象沿x轴翻折，得到的新二次函数．点在上，点在上； ①当时，求函数的解析式； ②若对于任意的、满足，且，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)；对称轴为直线 (2)①的解析式为；② 【分析】（1）将代入，即可得A点坐标；根据对称轴公式可求二次函数图象的对称轴； （2）①原函数通过配方法化为顶点式，再根据二次函数图象沿x轴翻折，则开口相反，顶点关于x轴对称，即可得的解析式； ②将代入的解析式，作差令，再根据，通过配方得，然后分类讨论，根据二次函数的性质求最小值，求解． 【详解】（1）解：将代入，得， 因此A点坐标：； 二次函数的对称轴为直线， 即该二次函数对称轴为直线； （2）解：①当时，原函数为：， 通过配方法将其化为顶点式：， 二次函数图象沿x轴翻折，即开口相反，顶点关于x轴对称， 可得的解析式为； （换个角度，图象上所有点的纵坐标取相反数，因此的解析式为：整理为一般式：，即函数的解析式为．） ②上的点：， 上的点：， 将代入得：， 令， 通过配方得， ∵， ∴， 分两种情况讨论： （ⅰ）若，则当时，， 解得，不合题意，舍去； （ⅱ）若，则当或2时，， 解得， 综上所述，a的取值范围为． 33．（2026·安徽芜湖·二模）在平面直角坐标系中，抛物线对称轴为，且经过点． (1)用含a的式子表示b，并求c的值； (2)已知抛物线，过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交抛物线于点N，点H为线段的中点（若M，N重合，取点H为M）． ①若，，求H点坐标； ②已知点P从点运动到的过程中，点H始终保持在x轴上方，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】本题考查二次函数的性质； （1）由对称轴得到，再把代入抛物线得到； （2）①先得到，，即可求出，，再根据中点得到； ②设，，由中点得到，再根据和分情况讨论，求出或范围内的最小值，只要最小值大于0即可． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴； （2）解：①∵，， ∴，，， 当时，，， ∴，， ∵点H为线段的中点， ∴，， ∴； ②由（1）得， ∵过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交抛物线于点N， ∴，， ∵点H为线段的中点， ∴，， ∴， 当时， ∵点P从点运动到的过程中，点H始终保持在x轴上方， ∴当时，恒成立， 当时，在范围内随的增大而增大，此时当时，在范围内有最小值，最小值， ∵，， ∴要使恒成立，必须满足，即， ∴此时； 当，即时，在范围内顶点处取最小值，最小值， ∴要使恒成立，必须满足，即， ∴此时无解； 当，即时，在范围内随的增大而减小，此时当时，在范围内有最小值，最小值， ∵，， ∴要使恒成立，必须满足，即， ∴此时无解； 当时， ∵点P从点运动到的过程中，点H始终保持在x轴上方， ∴当时，恒成立， ∵， ∴， ∴在范围内随的增大而增大，此时当时，在范围内有最小值，最小值， ∵，， ∴要使恒成立，必须满足，即， ∴此时； 综上所述，点P从点运动到的过程中，点H始终保持在x轴上方，a的取值范围为或． 34．（2026·安徽阜阳·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)点是抛物线上的一个动点且位于上方． （）如图1，连接，，若的面积为3，求点的坐标； （）如图2，直线是抛物线的对称轴且与轴交于点，直线，分别与直线交于点，，求的值． 【答案】(1) (2)（）点的坐标为或；（） 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，进而得到顶点坐标； （2）（）设点，利用待定系数法求出直线的表达式，过点作轴交于点，则，求出长，根据列方程求解即可； （）利用待定系数法求出直线、的表达式，进而得到点M、N的坐标，从而求出的值即可． 【详解】（1）解：把点，代入得： ， 解得， 该抛物线的表达式为， 该抛物线的顶点坐标为； （2）解：（）设点， 抛物线， 当时，， ， 设直线的表达式为， 将，代入得： ， 解得， 直线的表达式为， 如图，过点作轴交于点，则， ， ， 整理得：， 解得：或 当时，， 当时，， 点的坐标为或； （）设直线的表达式为， 将点，点代入得： 由得：， 即， ， 直线的表达式为， 当时，， ， ， 设直线的表达式为， 将，代入得： ， 由得：， 即， ， 直线的表达式为， 当时，， ， ， ． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，熟练掌握待定系数法求出解析式、二次函数的图象性质是解题的关键． 35．（2026·安徽池州·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于点，，点，过，的直线解析式为，为第二象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求四边形面积的取值范围； (3)若的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3)的最大值为． 【分析】（1）先由直线与轴交于点求出点坐标，再将，，代入抛物线解析式，求出、、的值即可； （2）先求出直线解析式，过点作轴交于点，设点（），则点，由得，结合二次函数的图象与性质即可得到四边形面积的取值范围； （3）由得出，结合二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 则点， 将，，代入抛物线解析式， 得， 解得， 则抛物线的表达式为； （2）解：将代入直线， 得， ， 则直线的表达式为， 如图，过点作轴交于点， 设点（），则点， ， ， ， ， ， ，对称轴为， 又， ， 四边形面积的取值范围是； （3）解：， ， ， ， ， ， ， 的最大值为． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、一次函数图象与坐标轴的交点问题、面积问题(二次函数综合)，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 36．（2026·安徽阜阳·二模）已知抛物线经过点． (1)若抛物线开口向上，且顶点到轴距离为2，求抛物线的解析式； (2)（）当时，若点在第一象限，且点为抛物线对称轴上一点，记原点为，连接，将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标； （）点和分别在抛物线和上（，与原点都不重合）．当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 【答案】(1) (2)（）；（）， 【分析】（1）将点代入求出，进而求出顶点坐标，根据顶点到轴距离为2，列方程求解即可； （2）（）设，对称轴与轴的交点为，过点作于，易证明，则，，进而得到，将点坐标代入抛物线解析式求出的值，从而求出点坐标； （）根据题意得到、，由得到，令，则得到，根据是一个与无关的定值，求出的值，进而求出的值． 【详解】（1）解：将点代入得：， ， 抛物线解析式为， 顶点坐标为， 顶点到轴距离为2， ， 或， 解得或， 抛物线开口向上， ， 抛物线的解析式为； （2）（）解：由（1）知，抛物线， 当时，抛物线， 设，对称轴与轴的交点为，过点作于， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点在抛物线上， 将代入抛物线得： ， 解得或（舍）， ； （）解：点和分别在抛物线和上， 、， ， ， ， 令， ， ， 是一个与无关的定值， 、， ， ， ， ． 【点睛】本题考查二次函数的图象性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 37．（2026·安徽蚌埠·二模）已知抛物线（a，b，c是常数且），a，b满足，抛物线的最低点纵坐标为p． (1)若，求该抛物线的顶点坐标； (2)已知是该抛物线上的一点： ①若，求m的值； ②点与点（）也在该函数图象上，求的值． 【答案】(1)该抛物线的顶点坐标为 (2)①，；② 【分析】（1）先根据已知求出抛物线的对称轴为直线，再结合抛物线的最低点纵坐标为p，且，即可得出答案； （2）①由（1）可知该抛物线的解析式为，将代入得，结合，得出方程求解即可； ②将，代入，得到，，消去n和p，得到，再结合，，消去n和p，得到，可求得，再计算即可． 【详解】（1）解：， ， 该抛物线的对称轴为直线， 又抛物线的最低点纵坐标为p，且， 该抛物线的顶点坐标为； （2）解：①由（1）可知该抛物线的解析式为， 在函数的图象上， ， 又，， ， 整理，得， 解得，； ②点和点都在函数的图象上， ，， 两式相减，得， 化简，得， ， ， 在函数的图象上， ， 又， 两式相减，得， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】在解关于二次函数性质的综合性问题，要熟练掌握二次函数的性质，理解二次函数图象上点的坐标特征，通常通过消元，配方，解字母方程或不等式进行求解． 38．（2026·安徽铜陵·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于点，且经过点，． (1)求a，b的值； (2)若点M，N是抛物线上两个动点（点M在点N的左侧），设点M的横坐标为m，记点M，N的水平距离为． ①当时，抛物线的图象在点M，N（含点M，N）之间的部分最高点的纵坐标为3，求m的值； ②求点M，N纵坐标和的最大值，并求出此时点M的坐标． 【答案】(1)； (2)①或②；M的坐标为 【分析】（1）根据点B和点C的坐标可求出对称轴，根据对称轴公式可得a、b的关系式，再利用待定系数法求解即可； （2）①根据（1）可得抛物线的解析式，求出函数值为3时，x的值，根据可得点M和点N在对称轴同侧，再根据在点M，N（含点M，N）之间的部分最高点的纵坐标为3讨论求解即可；②记点M，N的纵坐标之和为w，可求出，根据二次函数的性质结合s的取值范围求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的图象经过点，， ∴对称轴为直线， ∴， ∴； 把点A的坐标代入得， ∴， ∴， ∴； （2）（2）①由（1）知抛物线的表达式为， 当时，，解得，， ∵点M的横坐标为m，， ∴点N的横坐标是， ∵抛物线的图象在点M，N之间部分的最高点的纵坐标为3，且， ∴点M，N在对称轴的同侧， ∴当点M，N均在对称轴左侧时，点N坐标为，即，解得， 当点M，N均在对称轴右侧时，点M坐标即为，即， ∴或；           ②记点M，N的纵坐标之和为w， 由题知，， ∴， ∵， ∴当时，w有最大值， ∵， ∴时，，w最大，， ∴， ∴M的坐标为． 39．（2026·安徽阜阳·二模）如图，已知直线与抛物线交于点，，且点在轴上，是轴上一点，连接． (1)求的值； (2)当取得最小值时，求点P的坐标； (3)若直线交直线于点（点在线段上，不与端点重合），交抛物线于点，连接．设，求关于的函数表达式，并求出的最小值． 【答案】(1)，， (2) (3)， 【分析】（）把代入可求出，即得直线的解析式为，进而得到，再利用待定系数法可求出的值； （）取点关于轴的对称点，连接交轴于点，可得最小，利用待定系数法求出直线的解析式进而即可求解； （）设点，则点，可得，，即得到，再把二次函数转化为顶点式即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴， 把和代入抛物线得， ， 解得， 即，； （2）解：取点关于轴的对称点，连接交轴于点， 则此时最小， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴点的坐标为； （3）解：设点，则点， ∴，， ∴ ， 即， ∵， ∴当时，取最小值，最小值为． 40．（2026·安徽芜湖·二模）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标小2． (1)求b的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． （ⅰ）用含与m的式子表示k； （ⅱ）若，且，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ），（ⅱ） 【分析】（1）根据顶点横坐标的计算公式进行求解即可； （2）（ⅰ）将两个点分别代入各自抛物线的解析式，再进行求解即可；（ⅱ）将（ⅰ）中的等式转化为二次函数，根据二次函数的性质进行求解即可. 【详解】（1）解：对于抛物线，其顶点横坐标为． 抛物线的顶点横坐标比的顶点横坐标小2， 抛物线的顶点横坐标为． ，解得； （2）解：（ⅰ）∵点在抛物线上，则． 点在抛物线上，则． 将代入可得： ，即； （ⅱ）， ，则， 对于二次函数，，其图象开口向上，对称轴为， ∴当时，随着的增大而增大， 当时，， 当时，， ． 41．（2026·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，对称轴为． (1)求，的值； (2)已知，两点均在该抛物线上，且， ①求的值； ②求证：． 【答案】(1)， (2)①3；②见解析 【分析】（1）把代入得出，根据对称轴得出，得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出，的值即可； （2）①根据，两点均在该抛物线上得出，根据得出，代入求值即可； ②先求出，根据，代入并配方得出，根据得出，即可得出． 【详解】（1）解：∵抛物线（）经过点，对称轴为， ∴， 解得：． （2）解：①，两点均在该抛物线上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ②证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 42．（2026·安徽六安·二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)该抛物线的对称轴为________． (2)已知，当时，y的取值范围是，求a，m的值． (3)在（2）的条件下，是否存在实数n，当时，y的取值范围是，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线 (2)， (3)存在， 【分析】（1）利用对称点与对称轴的关系：对称点的横坐标之和等于对称轴的2倍，即可求出该抛物线的对称轴． （2）分别讨论的取值范围与对称轴的位置，分别求出不同情况下取最大值与最小值时，对应的的取值，进而求出，的值． （3）由于的取值范围是，取不到最大值和最小值，故不包含对称轴，分别讨论在对称轴的左右两侧即可． 【详解】（1）解： 抛物线， 时，， 抛物线过点， 抛物线过点， 该抛物线的对称轴为直线． （2）解：抛物线的对称轴为直线， ，即①． ， ． ，抛物线开口向上， 当时，函数值在上取得最小值． 即②． 联立①②，解得，． 抛物线的表达式为，即． ， 当时，随的增大而减小，当时取得最大值， 当时，随的增大而增大，当时取得最大值， 对称轴为， 与时的函数值相等． ， 当时的函数值大于当时的函数值，即时的函数值． 当时，函数值在上取得最大值3． 代入有，舍去负解，得． （3）解：存在，． 当时，的取值范围是，无法取到最大值与最小值， 关于的取值范围一定不包含对称轴， ①当时，在对称轴的左侧， 二次函数开口向上， 时，有最大值，时，有最小值， 由题意可知：，解得：， 故， ②当时，在对称轴的右侧， 二次函数开口向上， 时，有最小值，时，有最大值， 由题意可知：，此时无解， 故不符合题意， ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的最值，解方程组，待定系数法，正确进行分类讨论是解题的关键． 43．（2026·安徽宣城·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，与轴相交于点，抛物线与轴的两个交点分别为点，． (1)求，的值； (2)当时，的最大值与最小值的差为，求的取值范围； (3)若为线段的中点，且点在第二象限内，为抛物线的顶点，当的面积最小时，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数与面积问题，二次函数最值问题等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）由抛物线，则当时，；当时，，从而可求出的取值范围； （）联立得，求出点的坐标为，则点，过点作轴于点，过点作轴于点，轴于点，通过面积公式得，然后由二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将点，分别代入， 得， 解得； （2）解：由（）知， ∴抛物线， 当时，；当时，， ∵点的坐标是， ∴的取值范围是； （3）解：由（）知，点的坐标为， 联立得， ∴， 解得，， 当时，， ∴点的坐标为， ∵点， ∴点， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，轴于点， 则，，，，， ∴ ， ∴当时，最小， ∴的值为． 44．（2026·安徽滁州·二模）直线与抛物线分别交于轴上的点和y轴上的点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为点关于轴的对称点，为直线上方抛物线上一点，将直线向下平移2个单位长度得到直线，为直线上任意一点，过点作于点N；当面积取得最大值时，求的最小值； (3)记抛物线与轴的另一交点为点，将原抛物线向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度可得新抛物线．点为新抛物线上的一动点，若满足，则求所有符合条件的点H的横坐标，并写出其中一种情况的解答过程． 【答案】(1)抛物线的表达式为； (2)当面积取得最大值时，最小值为； (3)所有符合条件的点的横坐标为或． 【分析】（1）先利用直线的表达式求得点、的坐标，然后利用待定系数法即可得抛物线的表达式； （2）作直线，并与抛物线相切时，如图所示，当切点为点时，此时点与的距离最大，即面积取得最大值，设，与抛物线联立，消去，可得关于的一元二次方程，令判别式为0，可得，利用勾股定理可得和之间的距离，将点沿平行方向移动的长度，得到点，连接，，四边形为平行四边形，可证当、、共线时，取得最小值，即取得最小值，此时取得最小值，通过平移规律求得，根据勾股定理可得，即可得的最小值； （3）由二次函数图象的平移可得，取点，连接，证明，可得，点为射线与抛物线的交点，由待定系数法可得直线的解析式为，与联立，即可得点的横坐标，作平行四边形，则，，点为射线与抛物线的交点，由待定系数法可得直线的解析式为，与联立，即可得点的横坐标． 【详解】（1）解：对于直线：，当时，；当时，， ∴，， ∵直线：与抛物线分别交于轴上的点和轴上的点， ∴， 解得，， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵为直线上方抛物线上一点， ∴作直线，并与抛物线相切时，如图所示，当切点为点时，此时点与的距离最大，即面积取得最大值， 设：，则， ∴有两个相等的实数根， 令， 解得， ∴：， ∴， 解得，， 即当时，面积取得最大值； 由（1）可知，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 将直线：向下平移2个单位长度得到直线， ：， 设直线与轴交于点，过点作于点，如上图所示， 则为等腰直角三角形， 对于直线：，当时，，即， ， ， ， 直线和直线的距离为， 为直线上任意一点，过点作于点， ； 将点沿平行方向移动的长度，得到点，连接，，如上图所示， 则，， 四边形为平行四边形， ， ， 当、、共线时，取得最小值，即取得最小值， 为定值， 此时取得最小值； 作轴于点，如上图所示， 则为等腰直角三角形， ， ， 即点向右平移1个单位，向下平移1个单位可得到点， ，，，， 点向右平移1个单位，向下平移1个单位可得到点， ， ， 点为点关于轴的对称点，， ， 当、、共线时， 此时， 当面积取得最大值时，最小值为． （3）解：由可得，， ∴，， 根据题意可得， 取点，连接，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点为射线与抛物线的交点， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由，可得， 解得，， ∴， ∵，， ∴， 作平行四边形，则，， ∴， ∴点为射线与抛物线的交点， ∵， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由，可得， 解得，， ∴， 综上，所有符合条件的点的横坐标为或． 45．（2026·安徽蚌埠·二模）在第十五届全国运动会乒乓球男单半决赛中，樊振东与王楚钦上演了世界级巅峰对决．已知乒乓球比赛用球桌长为米，王楚钦抽拉击球点位于桌面左上方，过作，垂足为，米，以为原点，以直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，王楚钦抽拉过去的乒乓球运动路线为抛物线的一部分，设乒乓球与王楚钦击球点的水平距离为（米），到球桌面的垂直高度为（米），在球桌上的落点为，经测试，抛物线的表达式为，且当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)乒乓球桌正中间位置安装的球网的高度为米，问王楚钦抽拉过去的乒乓球能否越过球网？若能，请说明理由，并求点的坐标；若不能，也请说明理由； (3)乒乓球落在点后随即弹起，沿抛物线的路线运动，樊振东球拍与球桌面垂直，球拍击球面的中心线长为米，下沿在轴上，假设抛物线，与在同一平面内，且乒乓球落在上（含端点，点在点右侧），求出的取值范围． 【答案】(1) (2)王楚钦抽拉过去的乒乓球能越过球网，理由见解析，点的坐标为 (3) 【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线的关系式即可； （2）根据求出的长，从而可求出当时，对应的值，与米比较大小，即可判断；再令，求出对应的的值，即可得到点的坐标； （3）根据待定系数法求出抛物线的关系式，由抛物线的对称性知的最大值，令，可求得对应的的值，进而可得对应的值，即可得解． 【详解】（1）解：抛物线的表达式为，且当时，． ， 解得， 与之间的函数关系式为； （2）解：王楚钦抽拉过去的乒乓球能越过球网，理由如下： 根据题意得（米）， 由（1）得， 当时，， 王楚钦抽拉过去的乒乓球能越过球网， 此时，当时，即， 解得或（舍去）， 点的坐标为； （3）解：抛物线经过点， ，解得（舍去）或， ， 对称轴为直线， ， 抛物线与轴的另一个交点坐标为，即， 的最大值为（米)， 当时，即， 解得（舍去）或， 当时，（米)， ． 46．（2026·安徽·二模）如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与y轴交于点，且，抛物线的对称轴为直线． (1)求、的值； (2)过点的直线与抛物线另交于点，与直线交于点． ①若，求的值； ②如图2，将直线向下平移个单位，得到直线，交轴于点，交直线于点，过点作于点，设，求的最小值． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）把代入，得出，进而得出，代入可求出，得出抛物线解析式，配方后，即可得出； （2）①过点作对称轴于，过点作对称轴于，则，可得，得出，根据得出，即可求出，代入即可求出值；②根据平移的性质可证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的面积得出，把所求式子配方，根据二次函数的性质即可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴当时，， ∴，， ∵， ∴． 把代入得，， 解得：， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴． （2）解：①如图，过点作对称轴于，过点作对称轴于，则， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴ ∴ ∴， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：． ②∵将直线向下平移个单位，得到直线， ∴， ∵直线与轴平行， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴四边形的面积为， ∴， ∵， ∴最小为． 【点睛】本题是二次函数的综合，涉及相似三角形的判定与性质、二次函数的性质及平移的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03函数 ☆3大考点概览 考点01一次函数 考点02反比例函数 考点03二次函数 A 考点01 一次函数 一、 单选题 （-1,2) 1.(2026:安徽芜湖·二模)下列函数的图像均经过点 则函数值'随自变量增大而减小的是 () A.y=ax+3 B.y=bx-1 C.y=k D.y=2x2-c 2.(2026安徽阜阳·二模)已知一次函数y=+3的图象经过点A,且y随x的增大而减小，则点A的坐 标可以是() A（-23) B （-1,2) ℃(4-2) D (3,4) 3.(2026安徽阜阳·二模)2026年是丙午马年，如图是一幅骏马图，骏马图中马身的长度与马头的长度满 足一次函数关系，下表列出了骏马图中马身的长度与马头的长度的一些对应值：若一幅骏马图的马身长度 为10.75cm,则马头长度应画为() 马头长度 x(cm) 马身长度 4.5 个 9.5 12 14.5 y(cm) 1/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.3.2cm B.3.5cm c.3.75cm D.3.8cm 4.(2026安撤合肥二模)已知P(:,》(5,)是某函数图像上的两个不同点，若这两点恒有 (x-x3)y-2)<0 成立，则下列函数表达式中，符合条件的是() Ay=-3 B.y=x C.y=x2+2x+3D.y=-2x+1 5.(2026安徽合肥二模)》若1(，B(, 是一次函数'=ar-x+2图象上不同的两点，且 (x-x3)y-2)<0 则a的取值范围为() A.a>0 B.a<0 C.a>1 D.a<l 3,-1) 6.(2026安徽阜阳·二模)在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过点 的是() A.y= B.y=x2-4 C.y=-2x+1 D.y=(x-1)-5 7.(2026安徽马鞍山二模)已知一次函数 =kc+b,2=mx+n 与 的图象如图所示，当<力 时，的取 值范围是() y =kx+b y,=mx+n A.x<-1 B.x>-1 C.x<1 D.x>1 8。(2026安微宿州二模》已知一次函数'=+6k≠0)的图象与'轴交于点仁1,0 ,且不经过第四象限， 216 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则-2k+b的值() A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.无法判断 9,(2026安徽池州二模)若一次函数”=+1(k≠0) 的图象向下平移3个单位长度后经过点 3,-5 ,则 k的值为() 1 1 A.-1 B.3 C.1 D. 3 10.(2026安徽池州二模)若a-b+1>0，,2a+b-3=0,且4，b均为正数.下列结论不正确的是 () 2 3 A.3<a B.0<b<5 <3a+b<9 2 C.3 n.2<3a-2h号 1,(2026安徽阜阴二模)正比例函数”≠0)的图象经过点目-6，则-次函数=-红+ 的图象不 经过的象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 12.(2026安徽蚌埠二模)下列函数中，当x>0时，y的值随x值的增大而减小的是() A.y=-5 B.y=5x C.y=5x2-2 D.少=2 13。(2026安徽阜阳二模)如图，若直线=+b与轴交于点1(2,0，与精正半辅交于点B,且 △OAB 的面积为6，则该直线的解析式为() 3 2 A.y=x+6 B.y=3x+6 C.y=2x+3 D.y5+3 14。(2026安徽六安二模)在“探索一次函数'=+b中，6与图象的关系”活动中，已知点1(22) 3/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点 在第一象限内，若一次函数'=+ P(m,n 图象经过A,P,则下列判断正确的是() A.当m>n时，b>0 B.当m<n时，b<0 C.当m+n=2时，k>0 D.当m+n=2时，k<0 15.(2026安徽宣城·二模)物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流 I(A)和它们两端的电压 (V) 根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象，根据图象及物理 学知识R= U 2V 0.2A =102, 可判断这四个用电器中电阻R(2)最大的是() UN 丙 U, 甲 U I I/A A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 16.(2026安徽蚌埠二模)下列函数中，y随x的增大而减小的是()() A.y=2 B.y=-x2 C.y=3x+5 D.y=-2x+1 17.(2026安徽二模)已知 P(m”为正比例函数'=k0的图象上的一点，若2m+4n=0且m≠0 则k的值为() A.-2 B.-√2 C.-1 D.-2 考点02 反比例函数 一、单选题 1,(2026安徽马鞍山二模)如图，一次函数y=c+b与反比例函数y,=文的图象交于A,B两点，则不 等式c+b>的解集是（） 4/6 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y A.-3<x<2 B.x<-3或x>2 C.-3<x<0或x>2 D.0<x<2 2.(206交微六安二模)如图。点4足反比例属数y>0图象上一点，造接04，作B上O4交 轴于点B,若an∠AOB=2S,oB=10 ,则的值为() 1y= x A B 5 A.2 B.4 c.2 D.5 3.(2026安微阜阳二模)二次函数'=ar+r+c(“,b,C是常数且a<0)的图象如图，则直线 y=(c-a)x+a-b+e与反比例函数y=-3a+c x一的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为() 六天 516 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 4 12 4.(2026安徽毫州二模)如图，点4在双曲线V=上，点B在双曲线y=气上，且ABx轴，BC1x 轴于点C,则四边形AOCB的面积为() B 12 A.4 B.6 C.8 D.10 5.(2026交微合肥二校)已知反比例函数y-上（k≠0)的图象经过点1L6,那么该反比例函数图象一 定不经过点() A.(2-3) B.(3-2) c.(-6,) D.（-2,-3) 6.(2026安徽滁州二模)已知反比例函数y=元的图象过点(2,3)，则一次函数y=-1的图象与x轴的 交点坐标为() C.(6,0) D.(-6,0) 二、填空题 4 7.(2026安徽阜阳·二模)如图，已知平行四边形0A8C的面积为10，点A是反比例函数y=的图象上， 过点A作AD∥y轴交BC于点D,过点D的反比例函数图象关系式为y=x,则k的值是 8.(2026安徽阜阳·二模)如图，△OAC中，AO=AC,点C在x轴正半轴上，点A在第一象限，反比例 616 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 函数y= >0)的图家经过点4反比树函数y-（x>&k0的图象与O4交于点g:连接6C·若 x △ABC的面积为6，则k的值为 B 9(2026安微宿州一校)在平百直角坐标系中。一-次蛋数y=2+1与反比制函数y一k生0)交于4 B两点，点A在第一象限，与x轴交于C点，已知△AOC的面积为1，则△BOC的面积为， I0.(2026安徽芜湖·二模)如图，正八边形ABCDEFGH的顶点A,B,G,H在坐标轴上，顶点C,D, 五，T在第一象限，点下在反比例函数y(>0)的图象上，若B=V互，则k的值为 A B 1。(2026安版准北二核)如图。△O4B的顶点在反比例西数y-:>0)的图象上，直线B交y箱 x 于点C,且点C的纵坐标为5，过点A,B分别作y轴的垂线段AE、BF,垂足分别为点E、F,且 AE=1. (1)若点E为线段OC的中点，则k= (2)若△OAB是等腰直角三角形，∠AOB=90°，其面积小于3.延长A0交第三象限双曲线于点D,连 S.4DB= 接BD,则9 716 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.(2026安微蚌掉二模)如图，双曲线y=k≠0，x<0)408和△BCD都是等题直角三角形， ∠01B=∠BCD=90,点4位于”轴负半轴上，D是双曲线上一点，若° k 13.(2026安徽芜湖二模)如图，点P在反比例函数y=(x<0)的图象上，过点P分别作x轴、y轴的 垂线，垂足为A,B,与y=-(r<0)的图象交于点C,D.己知矩形OAPB的面积为4. B (1)k= (2)连接CD,当点P在反比例函数y= x<0图象上运动时，线段CD长度的最小值为 14.(2026安徽六安·二模)如图，口AOBC的面积为3，边AO在x轴上，点C在y轴上，点B、D在双曲 8/6 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 线y-k>0)上，及、D两点的横坐标之比是13，则ABOD的面积是 C B D 15.(2026安徽宣城二模)小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在 上面，如图.请根据图中信息，则点C坐标为 B A 2 3 16。(2026安做鲜埠二模)如图，在平面直角坐标系中，四边形01BC是矩形，反比例函数=女k+0) 的图象经过边AB的中点E,并交BC于点D.若五边形DAEDC的面积为7，则k的值为 y个 D C A 三、解答题 17,(2026安微马鞍山二模)如图，一次函数1=x+b(k≠0) 的图象与两坐标轴分别交于点A,B, 9/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 与反比例医致4华传0>0 的图象交于点CL2),Dm2 连接OC,OD B D ()求和m的值： (②)求一次函数片=x+b(%≠0)】 的函数表达式： (3)求aOCD的面积. 18。（2026安徽合肥二模)如图，在平面直角坐标系x0中，一次函数y=x-2与反比例函数=(>0) A(3,m) 的图象交于点 PL (1)求反比例函数的表达式： (②已知点P(n,0(0<n<3),过点P作x轴的垂线，交反比例函数'=x>0)的图象于点M,交直线 y=x-2 N MN=4 于点·若 ,求的值 19.（2026安徽合肥二模)如图，一次函数y=:+b的图象与反比例函数y= x的图象交于4,2)， 10/6 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B(n,-1) 两点，与x轴交于点C (1)求一次函数与反比例函数的解析式： (2)求△AOB的面积： )直接写出不等式红+b>的解年。 20。（2026安徽准北二模)如图。在平面直角坐标系中，一次函数)=m心+n的图象与反比例函数y=冬 A(2,3) 的图象交于点 和点B,且点B的横坐标为4，直线AB交'轴于点C,直线AD1x轴于点D. (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标. k (②判断点c关于直线4D的对称点E是否落在反比例函数y=,的图象上，并说明理由. 21.(2026安徽阜阳·二模)如图，己知一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数y= (k≠0)的图 象交于41）.B(2-两点，与'轴交于点C. (1)求一次函数与反比例函数的解析式： 11/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若点D是Y轴负半轴上的点，且OC=OD,求△ABD的面积. 22.(2026安徽·二模)如图，将正方体的展开图放在平面直角坐标系O少中，点A,B,C分别落在坐 标轴上. B (I)求tan∠BAO的值； ②若O1=,反比例函数（：≠0)的图象拾好经过点D,求的值. 23.(2026安徽阜阳二模)如图，一次函数y=x+b低≠0)的图象与反比例函数片=点（化≠0，x>0) 的图象交于C(23)D(m1两点，连接0C,0D ①求和m的值， (2)求一次函数的解析式： (3)求△OCD的面积. 24.(206安雅铜陵二横)如图。点A”B是反比例西数一卓<0叭图泉上的两点，点4，B的横丝标 分别为-1，-2，直线AB与x轴交于点C,若△AOC的面积为6， 12/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求k的值： (2)求sin∠AOB的值. 25.(2026安徽滁州·二模)如图，△AB0是边长为2的等边三角形，线段OB在x轴上，反比例函数 y=(k>0)的图像经过点A (I)求点A的坐标及反比例函数的解析式； (2)若这个反比例函数图像上有两个点 a,b).(m,n）, 且a<m<0,请比较b和”的大小 m 26.(2026安徽二模)如图，已知一次函数乃=：+b与反比例函数少=x相交于A(-2,4)、B(m,-2)两 点 (1)求m,k,b的值： 2直接写出1>% 时x的取值范围； 13/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)将直线 出=G+b 向下平移 P(p>0 个单位后与y轴交于点C,若Sc=9, ,求C点坐标. 考点03 二次函数 一、 单选题 1. (2026安徽合肥二模)已知二次函数'=ar+hx+c(a≠0)， 的图象如图所示，有下列4个结论： ①a+c<b②4a+2b+c>0③am2+bm>a+b,m≠1， 4④2a+b=0 的实数)： 其中正确的结论有 ix=l A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(2026安撒导阳二被)二次函数”=r+bc+C“,b,C是带数且“<0)的图象如图，则直线 y=(e-)x+a-b+e与反比例函数y=-30+c x的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为() 六 y=ax2-4x+ 3.(2026安徽阜阳·二模)抛物线 的对称轴为直线=2，若直线” y=m ”与抛物线 y=ar-4x+l在1≤x≤ 的范围内有交点，则的取值范围是() A.-3≤m≤4B.-3≤m≤6 C.1≤m≤6 D.1≤m≤4 14/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=ax2+bx+c(a≠0) 4.(2026安徽阜阳·二模)已知二次函数 的图像如图所示，则下列结论正确的个数 为() ①ac>0:②a-b+c>0,③2a+b<0,④若点1(B(,) 在函数图像上，且满足 x<2<x2x+x2=4 y>y2 ,则 y 13 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.(2026安徽马鞍山二模)已知二次质激”=ar+a-2)r-2c“为常数，且0≠0).下列结论： ①该函数图象经过点10)， ②若a=-1,则当x>-l时，y随x增大而减小： ③该函数图象与x轴有两个不同的公共点： ④若a>2,则关于*的方程r+(a-2r-2= 有一个根大于0且小于1： 其中正确的结论的个数有() A.4 B.3 C.2 D.1 6.（2026安徽宿州二模)二次函数'=ar+br+c 的部分图象如图所示，则下列结论错误的是() 15/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 A.abc>0 B.3a+c>0 C.a+2b+4c>0 D.对任意实数m,都有-m)+b-m)s 恒成立 2.（2026安教二模)已知反比例函数y-6+0的图象如图所示，则一次西数y=c-ae≠0)和二次函 数'=ar+hr+ca≠0) 在同一平面直角坐标系中的图象可能是() D 16/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.(2026安徽芜湖二模)如图，抛物线 =ar2+br+ca+0)的顶点为a,与严轴的一个交点 B(3,0) 与”轴的交点在0-3》和0，-2》之间。下列结论中，正确的是0 B (1,n) -<0 B.2<6c月 c.(a+c2-b2>0 D.2c-a>2n 9.(2026安徽芜湖二模)定义：在平面直角坐标系x0少中，对于某函数图象上的一点P,先向右平移1 个单位长度，再向上平移”(>0 个单位长度得到点，若点也在该函数图象上，则称点P为该函数图 象的“”倍平点”.例如，对于=2x上一点2 ,先向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度 得到点2利，也在=2r图象上，则称点12)为2图象的2倍平点”.则函数 y4x+30) -x2-4x-3(x<0)图象的“3倍平点”的坐标是() 17/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.(30) B.（4,3) c.(3,0或0)或4，-3) D.（3,0)或4,3) 10.(2026安徽阜阳·二模)在同一平面直角坐标系中，抛物线 '=mr+2x-m(m是常数，且m≠0) m 与双曲线y=x的大致图象可能是（） ,香 1.(2026安徽卓阳二模)如图所示为二次函数'=ar+br+c(a≠0 的图象，对称轴是直线x=1,下列 结论错误的是() A.b2>4ac B.c<0 C.4a+2b+c<0 D.3a+c<0 12.(2026安徽铜陵二模)如图，抛物线'=ar+r+c(a≠0 的顶点 为0，与辅其中一个交点8的 2 坐标为3,0)，与y轴的交点在(0，-3)与(0，-2)之间（不含端点），下列结论中：①bc>0:②3a<1: ③a+o=,③2c+a<2n,正确的个数为() ④ 18/6 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 1,n) A.1 B.2 C.3 D.4 13.(2026·安徽阜阳二模)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t (单位：s)之间的函数关系如图所示.则下列结论不正确的是() ↑hm 40 20 123 456 A.小球在空中经过的路程是40m B.小球运动的时间为6s C.小球抛出3s时，速度为0 D.当t=1.5s时，小球的高度h=30m 14。(2026安版宪湖一候)如图，已知=次西数'=ar++ca+0的图家经过-L0）,则下列结论中 正确的是() A.abc>0 B.a+b<c C.2a+b<0 D.3a+c<0 15.(2026交0徽六安二模)二次函数'=ar+br+c(a≠0 的图象如图所示，对称轴是直线=1，下列结 19/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 论：Oahc>0:②2a-b=0:③3a+c<0,④对于任意实数m,都有” m(am+b)≤a+b ；⑤方程 ar2+b+x+c-1=0 2 两个异号的实数根.其中正确的个数是() A.5 B.4 C.3 D.2 16。（2026安微据州二模)在同一平面直角坐标系中，一次函数=-0的图象与=次西数'=+r 的图象可能是() 17.(2026安徽蚌埠二模)已知二次函数'=+hr+c(≥0)， 的图象如图所示，下列结论中：①该二次 西数的关系式为-4红+5，②若直线=3与=次数=2+加+收≥0)。 的图象交于点A,B(点A 在点分左》，则线段0-25，命关于5约方在°+加6-20 解是或=3：④当2 ,2≤y≤10 时，自变量x的取值范围是0≤x≤1或3≤x≤5.其中正确的结论有() 20/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=3 A.①③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 18.(2026安徽二模)已知抛物线'=ar+2x+3a-1(a≠0 分别经过一、二、三、四象限，则α的取值 范围是() 1 A.a>3 B.a<- 1 c.0<a<3 1 1 D.3a<0 二、填空题 19.(2026安徽六安二模)已知抛物线'=-(m+2)小x+3m-3 (1)无论m取任何值，该抛物线经过定点，则该定点的坐标为 (2)已知点 A(4,2),B(7,8),若该抛物线与线段AB没有公共点，则m的取值范国为 20。（2026安徽池州二模)平面直角坐标系中，抛物线”=P+br+ 与y轴交于点A,与x轴交于B,C 两点，直线y=-X+3恰好经过A,B两点，交抛物线对称轴于P. (1)抛物线的解析式为一： M(m,n (2)点 在二次函数图象上且是在AB下方的一动点，n=时，MP的值最小. /B 21/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 三、解答题 21.(2026安徽马校山二模)在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线”=-2-2(a≠0)经过 点4 ,点P在抛物线上，点P的横坐标为m,作P吧1y轴于点Q,将线段P绕点O旋转180°得到线 段MN,作四边形POMN (1)求该抛物线所对应的函数表达式： (②)当M,N两点关于该抛物线的对称轴对称时，求四边形P2MN的面积； (3)当m<0,抛物线在四边形PQMN内部的图象（包括边界）记为G,若图象G的点的纵坐标y先随x的 增大而减小，后随x的增大而增大，且图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为8，求m的值. 2.(2026安微六安二校)在平面直角经标系0中，花物线=a+br+c的顶点为4(，-4，与轴 B(0,-3) 交于点 (1)求抛物线的函数表达式： ②若点C,D为该抛物线与”轴的两个交点(C在D的东侧)，求30-S的值： ③)P(6)是该抛物线上任意一点，点2(m,）也在该抛物线上(P,D与4不重合)，+m=人（为常数。 2):令p=1-n+k-2,若，十4的值为定值，求此定值是 23.(2026·安徽合肥·二模)【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况.在大自然里， 有很多数学的奥秘.图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，它们都可以看作把抛物线的一 部分沿直线折叠而形成. 22/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 VA M G 图1 图2 图3 图4 【探究一】确定心形叶片的形状 (1)如图3建立平面直角坐标系，心形叶片对称轴下部的轮廓线可以看作是二次函数'=ar+ “图象的 2,-1) 部分，己知该抛物线经过原点，项点D坐标为 且与x轴的另一交点为C.求C点坐标及抛物线的 解析式： 【探究二】研究心形叶片的尺寸 (2②如图3，在1)的条件下，心形叶片的对称轴，即直线=+1与坐标轴交于A,B两点，点C C CC 是叶片上的一对对称点，线段CC交直线AB于点G,证明△4GC是等腰直角三角形并求出线段CC的长度： CC 【探究三】探究幼苗叶片的特征 (3)小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数'=4？图象 的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，己知叶尖P的坐标为 (4,4) 在右侧上方轮廓线上任取一点M,过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N,求MN的最大值， 24.(2026安徽淮北二模)已知二次函数'=r-2mr+m-1, ,其中m为实数。 (1)求该二次函数图象的顶点坐标. ②当m-1x≤m+2时，求函数=r-2mr+m- 的最大值 9 (③)若该二次函数图象的顶点在直线y=2x上，当-2≤x≤n时，该二次函数的最大值与最小值的差为4， 求n的取值范围. 25.(2026安微阜阳二模)已知抛物线"=r+伽(“，b是常数且4≠0)的对称轴为直线=2， 23/6 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 (I)设抛物线与x轴的交点为M,N,求MN的长： (2②)若二次函数y=ar2+b 的最小值为4-8a (i)求a的值； p2m-4 (i)己知点A(m,n),B(P,9)为该抛物线上不同的两点，q≠0，若g和p-4的值互为相反数，证明： q=n. 26.(2026安徽芜湖二模)在平面直角坐标系0中，抛物线'=+r+c(a0)与'轴交于 A(-1,0) B(3,0 两点，顶点在线段CD上，已知C,D两点的坐标为-16)和0,5) (I)求C,D两点所在直线的函数表达式： (2)设该抛物线与'轴的交点为H,求线段DH的长： (3)若P,O两点均在该抛物线上，PE⊥x轴于E,QF⊥x轴于F,P,Q两点的横坐标为1和 t+1(0<t<2) 分别记△0PE和△O0F的面积为5o,aaor,当S SOOF=Sa0PE时，求的值. 27.(2026安徽阜阳二模)平面直角坐标系中，如图1，二次函数'=ar++ 的图象与轴交于 A(-3,0）,B两点，与'轴交于点C,顶点为 (-1,4 ,点P是抛物线上A,C两点之间的一动点。 图1 图2 图3 (1)求这个抛物线的解析式： (2)如图2，过点P作PE⊥AC于点E. ①求线段PE的最大值： ②如图3，过点E作FLy 轴于点F,设”=2PE+BF,求”的最大值 24/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 28.(2026安微卓阳二模)已知敬物线=-+c+C经过点-2-7》和点4,5). D B 备用图 (1)求抛物线的函数表达式： ②抛物线”=-+伽+C与轴交于点4和点8（点4在点巴左侧），与'轴交于点C,抛物线的顶点为 D ①若点M是抛物线位于轴上方部分的一个动点，如图，是否存在 um=Sa0a0?若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，请说明理由： (i)若点P是线段AD上一点，且AP=2PD,过点P作POLx轴于点G,交抛物线于点Q,求P的值. 29.(2026安微马鞍山二模)抛物线'=r-2r+C与x轴交于点4、B两点，与y轴交于点C,直线 BC y=-x+3 的解析式为 ，D是线段上的一点，连接D BC D 图1 图2 (1)求出抛物线的解析式： 25/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DE (②)如图1，延长AD交抛物线于点E,当AD最大时，求点B的坐标，并求出这个最大值； (3)如图2，将△ABD沿着AD翻折得到△AB'D,连接CB,当∠DB'C=90°时，求BD的长. 30。(2025安微笔州二模)已知抛物线'=-F++心山，c为格数)的顶点为点P,与轴交于点 A(x,0),B(x2,0) (若方+3=2，x=-3 求该抛物线顶点P的坐标： ②将(1)中抛物线'=-r+br+ 图象轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，与原抛物线图象轴上方 的部分共同构成新图象G,若直线y=x+a与新图象G有且只有两个交点，请直接写出α的取值范围： (3)若b>0,c=4- b 4,且当2，，b+1时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求6的值。 31.(2026安微宿州二模)已知抛物线'=-r+r+C经过点 (-1,0)B(3,0) 和点 (1)求该抛物线的解析式. DE (2)若该抛物线与y轴交于点C,连接BC,在抛物线BC段上有一动点D,连接AD交BC于E,求AE的 最大值： (3)若自变量×满足 ≤x≤m+2(m≥0) 此时函数的最大值为P,最小值为9，求”=P+9的最大值.并 求出此时m的值. 32。(2026安徽池州二模)已知二次函数'=a-4r-5(u≠0) 的图象与y轴交于点A,顶点为点M, (1)求点A的坐标及该二次函数图象的对称轴： (2)若原函数为 C,该=次函数图象沿x转翻折，得到的新二次函数9.点P(,）在G上，点(：，为） 在C上： ①当a=1时，求函数C2的解析式： ②若对于任意的义、满足 0≤x≤2 x2=x1+2 ,且 -2,都有%>为，求a的取值范围. 3。(2026安徽芜湖二模)在平面直角坐标系0中，抛物线=+r+ 对称轴为x=“,且经过点 26/6 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A(2a,0) (I)用含a的式子表示b,并求c的值； ②记加抛物线5-a-r-3aa+0,过点P6 作x轴的垂线，交抛物线片于点M,交抛物线片于 点N,点H为线段MN的中点（若M,N重合，取点H为M)· ①若a=2,t=1,求H点坐标； B(a,0)、-C(3a,0) ②已知点P从点 运动到 的过程中，点H始终保持在x轴上方，求α的取值范围 34.(2026安微阜阳二模)在平面直角坐标系中，抛物线'=-×+x+C与轴交于点 A(-1,0)B(3,0) 与y轴交于点C, V D 图1 图2 (1)求该抛物线的顶点坐标： (2)点P是抛物线上的一个动点且位于BC上方. (i)如图1，连接BP,CP,若△BCP的面积为3，求点P的坐标： (i)如图2，直线I是抛物线的对称轴且与x轴交于点D,直线AP,BP分别与直线I交于点N,M,求 DM+DN的值. 35.(2026安微池州二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线”=+r+C与坐标轴交于点 (-3,0) B,C(L0)点，过A,B的直线解析式为=+3，M为第二象限内抛物线上一动点。 27/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求抛物线的解析式： (2)求四边形AMBC面积的取值范围； )若△MAB的面积为S,△MBC的面积为S,求S+S的最大值. 36。(2026-安徽阜阳二模)已知抛物线"=ar+bx(a≠ 经过点4) (1)若抛物线开口向上，且顶点到x轴距离为2，求抛物线的解析式： ②（小）当a-时，若点P在第一象限，且点P为抛物线’=+对称轴上一点，记原点为0，连按 OP,将线段OP绕点P顺时针旋转9O°，使点O的对应点N恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标： )点1(，）和B(,）分别在抛物线=m+:和'=2r-12x上(4，B与原点都不重合)·当 2-2五 yx时，若x是一个与X无关的定值，求a与b的值. 37.(2026安徽蚌埠·二模)已知抛物线 '=ar+r+c(a,b,c是常数且a>0),a,b满足2a+b=0 抛物线的最低点纵坐标为卫， (①)若p=-5,求该抛物线的顶点坐标： （m,n (2)已知 是该抛物线上的一点： ①若n=16a+P,求m的值： m-1 ②点A(m+t,n+1)与点B(2-m+5,n-21)（10)也在该函数图象上，求2t的值. y=ax2+2bx+3(a≠0) 38.(2026安徽铜陵二模)在平面直角坐标系中，抛物线 的图象与x轴交于点 28/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A(3,0) B(1+k,)C(1-k,1)(k≠0) 且经过点 (1)求a,b的值： (②)若点M,N是抛物线上两个动点（点M在点N的左侧），设点M的横坐标为m,记点M,N的水平距离 为1≤s3) ①当5=2时，抛物线'=+2hr+3 图象在点M,N(含点M,N)之间的部分最高点的纵坐标为3，求 m的值； ②求点M,N纵坐标和的最大值，并求出此时点M的坐标. 39.(2026安徽阜阳二模)如图，已知直线：y=c+4与抛物线"=a+r+ 交于点A,8(,3) 且点 A在x轴上，P是y轴上一点，连接PAPB, VA (1)求k,ab的值： (2)当PA+PB取得最小值时，求点P的坐标： (3)若直线x=m交直线I于点C(点C在线段AB上，不与端点重合)，交抛物线于点D,连接OC.设 w=OC2+CD,求w关于m的函数表达式，并求出w的最小值. 40,(2026安徽芜湖二模)已知抛物线)=r+x y=x2-2x+3 (b为常数)的顶点横坐标比抛物线 的顶 点横坐标小2. (1)求b的值； ②点P,）在抛物线=-2x+3上，点(+m+)在锁物线=+c上 (i)用含1与m的式子表示k: 29/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 （i)若+2=2m 且1≤m≤3，求k的取值范围， 4礼。(2026安微合肥二模)在平面直角坐标系0中，抛物线'=㎡+br+1(a0)经过L3)点，对 1 称轴为x= 2 (1)求a,b的值： (2)已知 (G,）B(x2,) 两点均在该抛物线上，且≠，X+书=2 出-2 ①求-x2的值： ②求证： y+y2>6 42.(2026安微六安二模)在平面直角坐标系0中，点43)在抛物线'=ar+6r+3(a>0)上 (1)该抛物线的对称轴为 (2)已知m>0,当2-m≤x≤2+2m时，y的取值范围是-1≤y≤3，求a,m的值. (3)在(2)的条件下，是否存在实数n,当n-2<x<n时，y的取值范围是3n-3<y<3n+5,若存在，求出 n的值，若不存在，请说明理由. y=c+4(k≠0) 43.(2026安徽宣城二模)如图，在平面直角坐标系中，直线 与抛物线'=+r+4相 (0,4) 交于点4，与》轴相交于点 抛物线与x轴的两个交点分别为点 C(2,0)D(-4,0) (1)求a,b的值； (2)当4≤x≤t时，y的最大值与最小值的差为4.5，求t的取值范围： 30/6 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)若E为线段AB的中点，且点E在第二象限内，F为抛物线的顶点，当△DEF的面积最小时，求k的值， :y=x+3 44.(2026·安徽滁州·二模)直线 与抛物线y=-r+x+ 分别交于x轴上的A点和y轴上的B 点. 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点C为点B关于'轴的对称点，P为直线上方抛物线上一点，将直线向下平移2个单位长度得到直线 上M为直线上任意一点，过点M作 MN⊥ 于点N:当△PA 面积取得最大值时，求PM+MN+NC 的最小值： (3)记抛物线与x轴的另一交点为点D，将原抛物线向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度可得新 抛物线y.点H为新抛物线上的一动点，若满足∠HAB=45°+∠OBD,则求所有符合条件的点H的横坐 标，并写出其中一种情况的解答过程. B D 设： ，则 x=-x2-2x+3 y=-x2-2x+3 l y=x+m y=x+m 45.(2026·安徽蚌埠·二模)在第十五届全国运动会乒乓球男单半决赛中，樊振东与王楚钦上演了世界级 31/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 巅峰对决.己知乒乓球比赛用球桌BC长为2.74米，王楚钦抽拉击球点A位于桌面左上方，过A作 A0⊥BC,垂足为O,OB=0.63米，以O为原点，以直线BC为x轴，OA所在直线为'轴，建立如图所 示的平面直角坐标系，王楚钦抽拉过去的乒乓球运动路线为抛物线的一部分L,设乒乓球与王楚钦击球点 A的水平距离为x(米)，到球桌面的垂直高度为)（米），在球桌上的落点为D,经测试，抛物线L的 表达式为y=a(x-0.8+0.45,且当x=1.8时，y=0.25 GH D L' B CE (I)求y与x之间的函数关系式： (2)乒乓球桌正中间位置安装的球网GH的高度为0.15米，问王楚钦抽拉过去的乒乓球能否越过球网？若能， 请说明理由，并求点D的坐标；若不能，也请说明理由： (3)乒乓球落在点D后随即弹起，沿抛物线：y=-0.8(x+p+1.352 的路线运动，樊振东球拍EF与球桌 面垂直，球拍击球面的中心线EF长为O2米，下沿E在x轴上，假设抛物线L,L'与EF在同一平面内， 且乒乓球落在EF上（含端点，点E在点C右侧），求出CE的取值范围， 46.(2026安徽二模)如图1，已知抛物线 y=+r+3与轴交于4、B两点，与y轴交于点C,且 OB=OC,抛物线的对称轴为直线x=m. M A M x=m x-m 图1 图2 (1)求b、m的值： 32/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)过C点的直线 ：y=c+3伙<0)与抛物线另交于点P,与直线=m交于点M 3S。40u=2Sw,求的值： ①若 ②如图2，将直线'向下平移>0)个单位，得到直线，交”轴于点D,交直线=m于点F,过D点作 t S DE11于点E,设DEDP=1求++4的最小值。 33/6