专题02 一元二次方程及其解法12大题型分类专训（期末真题汇编，浙江专用）八年级数学下学期新教材浙教版

**基本信息** 聚焦一元二次方程12大高频考点，汇编浙江多地期末真题，系统覆盖基础判断、解法应用及根的判别综合题型 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|6道|判断一元二次方程、配方法变形等基础题型|源自浙江宁波、杭州等地期末真题，注重概念辨析| |填空|15道|参数求解、根的情况分析等重点题型|结合方程解的性质，强化参数取值范围应用| |解答|7道|解方程、根的判别综合应用|融入新定义（如“蛟龙”方程）和几何情境（勾股定理图形），体现跨知识综合

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02一元二次方程及其解法 ☆12大高频考点概览 考点01判断是否为一元二次方程（基础题型） 考点07配方法的应用（重点题型） 考点02根据一元二次方程的定义求参数 考点08根据根的判别判断根的情况（重点题型） 考点03由一元二次方程的解求参数（重点题型） 考点09已知根的情况求参数的取值范围（重点题型） 考点04化为一元二次方程的一般式 考点10根的判别式中新定义类型 考点05解一元二次方程（计算）（高频题型） 考点11换元法解一元二次方程 考点06利用配方法进行正确计算 考点12根的判别式综合解答题（常考题型） 目目 考点01 判断是否为一元二次方程 1.(24-25八年级下·浙江宁波·期末)下列方程中，属于一元二次方程的是() A.x-2y=1 B.x2+3=月 C.x2-2y+4=0 D.x2-2x+1=0 2.(24-25八年级下·浙江丽水期末)在下列方程中，属于一元二次方程的是() A.(x-2)2=2 B.x2+3y=1 C.x2-4=x3 D.2(x-1)-x=3 3.(24-25八年级下·浙江杭州·期末)下列方程中，属于一元二次方程的是() A.(3x-1)(x+2)=1 B,3x+2=0 C.3x+y=0D.2x2-1=0 4.(24-25八年级下·浙江金华期末)下列属于一元二次方程的是() A.x+y=1 B.2x+1=4 C.x2+x=2 D.x2+=2 5.(24-25八年级下·浙江杭州期末)下列方程中，一定是关于x的一元二次方程是() A.2ax+x+1=0 B.2+x=0 C.xy+x=0 D.x2+x=0 6.(24-25八年级下·浙江金华期末)下列属于一元二次方程的是() A.x2-3x+y=0 B.2+2x=1 1/8 丽学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 C.x2+5x=0 D.x(x2-4x)=3 目目 考点02 根据一元二次方程的定义求参数 1.（24-25八年级下浙江宁波期末)已知关于x的方程(m+2)xm2-2+3x-1=0为一元二次方程，则m的 值是 2.(24-25八年级下·浙江·期末)若方程(m-2)x2+mx-5=0是关于x的一元二次方程，则m应满足 3.(24-25八年级下·浙江杭州期末)若方程(k-1)xk+1-2x=5是关于x的一元二次方程，则k= 目目 考点03 由一元二次方程的解求参数 1.(24-25八年级下·浙江宁波期末)关于x的一元二次方程(a-1)x2-2ax+a2-1=0的一个根为0，则a 的值为() A.2 B.-1 C.1或-1 D.2或-1 2.(24-25八年级下·浙江绍兴期未)若关于x的一元二次方程kx2-(k+2)x+k2+k=0有一个根为0，则 k的值为 3.(24-25八年级下·浙江宁波期末)己知关于x的一元二次方程2x2-3x+m=0有一个根为-2，则m的值 为 4.(24-25八年级下·浙江台州期末)若关于x的一元二次方程x2+bx-6=0有一个根为1，则b的值为 5.(24-25八年级下·浙江宁波期末)关于x的一元二次方程x2+5x-2p=0的一个根为2，则p的值是 6.(24-25八年级下·浙江宁波期末)已知x=1是关于x的一元二次方程x2+kx+1=0的一个根，则实数k 的值为 7.(24-25八年级下·浙江宁波期末)若t是方程-2x2+x+9=0的一个根，则(t-1)(2t+1)的值为 目目 考点04 化为一元二次方程的一般式 1.(24-25八年级下·浙江嘉兴·期末)一元二次方程(x+1)(x-1)=3x化为一般形式为() 2/8 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.x2-3x-1=0 B.x2+3x-1=0 C.x2-3x+1=0 D.x2+3x+1=0 2.（24-25八年级下·浙江金华期末)一元二次方程9x2=5-4x化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、 常数项分别是(). A.9,5,-4 B.9,4,-5 C.9,-5,4 D.9,-4,5 3,(24-25八年级下·浙江绍兴·期末)已知关于x的一元二次方程x2-3x+2=0中一次项的系数是 目目 考点05 解一元二次方程（计算） 1.(24-25八年级下·浙江舟山期末)解方程 (1)x2-2x=0; (2)x2+4x-5=0. 2.(24-25八年级下·浙江宁波·期末)解方程： (1)x2-4x=1; (2)2x2-5x+3=0. 3.(24-25八年级下·浙江宁波·期末)解方程： (1)(x-3)2=(2x-1)(x-3): (2)2x2-x-2=0. 4.（24-25八年级下·浙江台州期末)解下列方程： (1)(x+3)2=2(x+3): (2)x2-4x+2=0. 5.(24-25八年级下·浙江台州期末)解方程： (1)(x-1)2-9=0; (2)x2-4x-3=0. 6.(24-25八年级下·浙江宁波·期末)解一元二次方程： (1)x2-4x=0: (2)x2-4x-12=0. 7.(24-25八年级下·浙江绍兴期末)解方程： (1)x2+2x=0 (2)x2-4x+4=0 3/8 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 目目 考点06 利用配方法进行正确计算 1.(24-25八年级下·浙江温州期末)用配方法解方程x2-6x+5=0,配方后所得方程为() A.(x-3)2=4 B.(x+3)2=4 C.(x-3)2=14 D.(x+3)2=14 2.(24-25八年级下·浙江杭州·期末)用配方法解方程x2-6x=3时，配方结果正确的是() A.(x+3)2=3B.(x+3)2=12C.(x-3)2=3 D.(x-3)2=12 3.(24-25八年级下·浙江宁波·期末)用配方法解方程x2+4x-10=0时，下列配方结果正确的是() A.(x-2)2=12B.(x+2)2=12C.(x-2)2=14 D,(x+2)2=14 4.(24-25八年级下·浙江台州期末)己知关于x的一元二次方程x2-4x+3=0,下列配方法正确的是() A.(x-2)2=4 B.(x-2)2=1 C.(x+2)2=4 D.(x+2)2=1 5.(24-25八年级下·浙江嘉兴·期末)用配方法解方程x2-4x-3=0时，原方程应变形为() A.(x+4)2=19B.(x-4)2=13 C.(x-2)2=7 D.(x-2)2=3 6.(24-25八年级下·浙江绍兴·期末)关于x的一元二次方程x2-2x=1配方后可变形为() A.(x-1)2=1B.(x-1)2=0 C.(x-1)2=2 D.(x-2)2=5 7.(24-25八年级下浙江绍兴期未)用配方法解方程x2-x5=0时，变形结果正确的是（) A.(x-)=4B.(x-=C.(x-)=4D.(x-)= 目目 考点07 配方法的应用 1.(24-25八年级下·浙江绍兴·期末)已知一元二次方程x2-4x+m=0可配成(x-n)2=1,则m+n的值为 () A.-1 B.1 C.-5 D.5 2.(24-25八年级下·浙江宁波·期末)己知实数x,y满足4x2-x+4xy+y2=1,设M=x+y,则M 的最大值是() A.日 B. c.8 D.1 3.(24-25八年级下，浙江嘉兴·期末)已知关于x的多项式ax2-2bx+c(a≠0)，当x=a时，该多项式的值为 c-a,则多项式a2+b2+3的值可以是() 4/8 的学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 A.3.5 B.3.25 C.3 D.2.75 4.(24-25八年级下·浙江宁波期末)若M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+14(x,y是实数)，则M的值一定 是() A.0 B.负数 C.正数 D.整数 目目 考点08 根据根的判别判断根的情况 1.(24-25八年级下·浙江宁波·期末)关于x的一元二次方程x2+3x-m2=0根的情况，下列说法正确的是 () A.没有实数根 B,有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D,根的个数与m的取值有关 2.(24-25八年级下·浙江绍兴期末)己知方程x2-6x+9=0,那么这个方程() A.有两个不相等的实数根 B,有两个相等的实数根 C.没有实数根 D,有一个实数根 3.(24-25八年级下·浙江台州·期末)对于一元二次方程Qx2+bx+c=0(a≠0)，下列说法不正确的是 () A.若x=-1是方程的解，则a-b+c=0 B.若c=0,则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根 C.若ac<0,则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根 D.若a+c=0,则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根 目目 考点09 已知根的情况求参数的取值范围 1.(24-25八年级下·浙江宁波期末)己知关于x的一元二次方程(m2-1)x2+2(m-2)x+1=0有实数根， 当m取最大整数值时，代数式3x2+12x+3的值为· 2.(24-25八年级下·浙江杭州·期末)已知关于x的一元二次方程x2+2x+2-c=0有两个不相等的实数根， 则c的取值范围是 3.(24-25八年级下·浙江温州期末)若一元二次方程x2-3x+k=0有两个相等的实数根，则k的值是 4,(24-25八年级下·浙江湖州期末)己知两个关于x的一元二次方程：x2+bx+c=0(b,c均为常数)，x2 +bx+c=x-3.其中，方程x2+bx+c=0的一个根是x=3,方程x2+bx+c=x-3有两个相等的实数根， 5/8 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 则b的值是 5.(24-25八年级下·浙江台州期末)已知关于x的方程(k-2)x2-x+1=0(k为常数)有两个实数根，则 k取值范围为。 6.(24-25八年级下·浙江宁波期末)关于x的一元二次方程3x2-4x+Q=0有两个相等的实数根，则a的值 为 7.(24-25八年级下.浙江宁波期末)若关于x的方程x2-2mx-m=0有两个相等的实数根，则m的值是 8,(24-25八年级下·浙江舟山期末)若关于x的方程2x2-mx+3=0有两个相等的实数根，则m的值是 目目 考点10 根的判别式中新定义类型 1.(24-25八年级下·浙江舟山期末)定义：对于任意实数a,b,c,d,有[a,b]*[c,=ac-bd,其中 等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3,2]*[5,1]=3×5-2×1=1对己知类于x的方程[x,m测* [x+5,5]=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 2.(24-25八年级下·浙江金华.期末)对于实数a,b定义新运算a△b=b2-ab,若关于x的方程6△x=k 有两个相等实数根，则k的值为 3.(24-25八年级下·浙江绍兴期未)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其 中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程x2+x=0的两个根是x1 =0,x2=-1,则方程x2+x=0是“邻根方程”.关于x的方程x2-(m-1)x-m=0(m是常数)是“邻根方 程”，则m的值是 目目 考点11 换元法解一元二次方程 1,(24-25八年级下·浙江嘉兴期末)已知关于x的方程a(x-m)2+k=0(a,m,k均为常数，且a≠0)的 两个解是x1=1,x2=4,则方程a(x-m-2)2+k=0的解是(). A.x1=1,x2=-2 B.X1=3,x2=6 C.x1=1,X2=4 D.x1=-1,x2=2 2.(24-25八年级下·浙江·期末)若关于x的一元二次方程ax2+bx+3=0(a≠0)有一根为x=2020,则一 元二次方程a(x-1)2+b(x-1)+3=0必有一根为() A.2021 B.2020 C.2019 D.2018 3.(24-25八年级下.浙江期末)关于x的方程a(x+m)2=b的解是x1=-2,x2=1(a,m,b均为常数， 6/8 丽学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 a≠0)，则方程a(x+m+2)2=b的解是 4.(24-25八年级下浙江·期末)已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两根：1=和x2=-3,则一元二次方 程2(x+1)2+bx=-b-c的根为 目目 考点12 根的判别式综合解答题 1.(24-25八年级下·浙江台州期末)已知关于x的一元二次方程x2-mx+m-3=0. (1)若该方程有一个根为-2，求m的值； (2)求证：不论为任何实数，该方程都有两个不相等的实数根. 2.(24-25八年级下·浙江温州·期末)己知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0). ()若方程的一个根为2，求弘+的值， (2)当b-ac=1时，求证：方程有两个实数根 3.(24-25八年级下·浙江宁波·月考)定义：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足b=ac.则称此方 程为“蛟龙”方程， (1)当b<0时，判断此时“蛟龙”方程ax2+bx+c=0(a≠0)解的情况，并说明理由 (2)若“蛟龙”方程2x2+mx+n=0有两个相等的实数根，请解出此方程. 4.(24-25八年级下·浙江宁波期中)己知：关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-1=0. (1)判断方程的根的情况： (2)若△ABC为等腰三角形，AB=5cm,另外两条边长是该方程的根，求△ABC的周长， 5.(24-25八年级下·浙江·期末)已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根： (2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形 时，求△ABC三边的长 6.(24-25八年级下·浙江·期末)如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，ab、c是Rt△ABC 和Rt△BED边长，易知AE=V2c,这时我们把关于x的形如ax2+V2cx+b=0的一元二次方程称为勾系 一元二次方程”，请解决以下问题： 7/8 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 E 2c A b C a B bD (1)判断3x2+5V2x+4=0是否为“勾系一元二次方程”，并说明理由. (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程"ax2+V2cx+b=0必有实数根 (3)若x=-1是“勾系一元二次方程ax2+V2Cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是6W2,求△ABC 面积. 8/8 专题02 一元二次方程及其解法 12大高频考点概览 考点01 判断是否为一元二次方程（基础题型） 考点07配方法的应用（重点题型） 考点02根据一元二次方程的定义求参数 考点08根据根的判别判断根的情况（重点题型） 考点03由一元二次方程的解求参数（重点题型） 考点09已知根的情况求参数的取值范围（重点题型） 考点04化为一元二次方程的一般式 考点10根的判别式中新定义类型 考点05解一元二次方程（计算）（高频题型） 考点11换元法解一元二次方程 考点06利用配方法进行正确计算 考点12根的判别式综合解答题（常考题型） 地 城 考点01 判断是否为一元二次方程 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义； 根据根据只含有一个未知数，且含未知数的最高项的次数为2的整式方程是一元二次方程进行判断即可． 【详解】A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、仅含未知数，最高次数为2，且为整式方程，是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级下·浙江丽水·期末）在下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）逐一判断各选项． 【详解】解：选项A：变形为，方程仅含未知数，且最高次数为2，符合一元二次方程的定义． 选项B：，方程中含两个未知数和，不是一元二次方程． 选项C：，移项得，最高次数为3，属于三次方程，不是一元二次方程． 选项D：，展开并整理：，不是一元二次方程． 故选：A 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义，需满足：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为2求解即可． 【详解】A．展开方程左边：==， 整理为，符合一元二次方程的条件． B．是一元一次方程，次数不足． C．含有两个未知数，不是一元方程． D．含分式项，不是整式方程． 故选：A． 4．（24-25八年级下·浙江金华·期末）下列属于一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、是一元二次方程，故此选项符合题意； D、不是整式方程，即不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的识别，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）逐一判断各选项即可． 【详解】A．，不含关于x二次项，不是一元二次方程，排除． B．，分母含未知数，不是整式方程，排除． C．，含两个未知数和，不是一元方程，排除． D．，仅含未知数，最高次数为2，且为整式方程，符合定义． 故选D． 6．（24-25八年级下·浙江金华·期末）下列属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义进行分析，即可求解．一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C、是一元二次方程，故该选项符合题意； D、的次数是，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C 地 城 考点02 根据一元二次方程的定义求参数 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知关于x的方程为一元二次方程，则m的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，列出关于的一元二次方程和一元一次不等式，解之即可． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：，， ， 解得：， 即， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·浙江·期末）若方程是关于的一元二次方程，则应满足______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，列出关于的不等式，然后解不等式即可．熟知一元二次方程的定义是关键． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的一般形式即可得到答案． 【详解】依题意得且 解得 故答案是． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数的最高次数为的整式方程叫做一元二次方程．一般形式为．易错点在于这个条件容易被忽略． 地 城 考点03 由一元二次方程的解求参数 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为（   ） A．2 B． C．1或 D．2或 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义和方程的解，因为方程为一元二次方程，所以二次项系数，然后根据方程的一个根为0，将代入方程可求出a的值． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为0， ∴且， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则k的值为 _____． 【答案】 【分析】将代入原方程得到关于k的方程，求解k后，根据一元二次方程的定义，得到二次项系数不为0，舍去不符合条件的解，得到k的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为0， ∴， 解得或， ∵二次项系数不能为0， ∴， ∴． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为______． 【答案】 【分析】将代入原方程得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴，解得：． 4．（24-25八年级下·浙江台州·期末）若关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为_____． 【答案】5 【分析】本题考查了方程根的定义．把代入，转化为的方程求解即可． 【详解】解：把代入， 得， 解得：， 故答案为：5． 5．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）关于x的一元二次方程的一个根为2，则p的值是_________． 【答案】7 【分析】本题考查了方程根的意义，熟知根的意义是解题的关键．把代入方程进行求解即可． 【详解】关于x的一元二次方程的一个根为2， ， 解得． 故答案为：7． 6．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则实数k的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，解题的关键是掌握方程的解是能使得等式两边相等的值． 把代入方程，即可得到一个关于k的方程，解方程即可求出k值． 【详解】解：把代入方程得：， 解方程得． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）若t是方程的一个根，则的值为______． 【答案】8 【分析】本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值，先根据题意得，整理得，再运算，最后代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵t是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 则， 故答案为：8 地 城 考点04 化为一元二次方程的一般式 1．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）一元二次方程化为一般形式为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握平方差公式以及移项法则是解题的关键．先利用平方差公式展开方程左边，再通过移项将方程化为一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 2．（24-25八年级下·浙江金华·期末）一元二次方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ）． A．9，5， B．9，4， C．9，，4 D．9，，5 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的各项系数是解题的关键．元二次方程的一般形式为（a、b、c为常数，），其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项，由此解答即可． 【详解】解：由得， 所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是9，4，， 故选：B． 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知关于的一元二次方程中一次项的系数是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，根据一元二次方程的一般式，其中分别为二次项系数，一次项系数和常数项进行判断即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程中一次项的系数是， 故答案为：． 地 城 考点05 解一元二次方程（计算） 1．（24-25八年级下·浙江舟山·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 或， ∴； （2）解：， 或， ∴． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用配方法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，； （2）解：， ，，， ， 方程有两个不等的实数根 ，即，． 【点睛】解一元二次方程时，若二次项系数为，且一次项系数能被整除，则用配方法求解较为合适；若二次项系数不为，且一次项系数除以二次项系数的结果不是整数，则用公式法求解更为适宜． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴或， ∴，； （2）， ， 由题意得，，，， ， ， 即，． 4．（24-25八年级下·浙江台州·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将原方程转化为，然后用因式分解法解题即可； （2）利用公式法即可． 【详解】（1）解： 或， ∴，； （2）解： 这里， ∴ ∴， ∴，； 5．（24-25八年级下·浙江台州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程. （1）根据直接开平方法求解即可； （2）根据配方法求解即可. 【详解】（1）解： 或 ， （2）解： ， 6．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及因式分解法解一元二次方程等知识，熟练掌握因式分解法解一元二次方程，是解题的关键． （1）由提公因式因式分解法直接求解即可得到答案； （2）由十字相乘因式分解法直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， ∴或, ∴； （2）解：， 因式分解，得， ∴或， ∴． 7．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：公式法、直接开平方法、配方法、因式分解法，选择适当的方法进行计算是解此题的关键． （1）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； （2）原方程左边为完全平方式，利用因式分解法，再用直接开平方法求解即可． 【详解】（1）解：提公因式得， 即或， 解得，； （2）解：原方程化为， 解得． 地 城 考点06 利用配方法进行正确计算 1．（24-25八年级下·浙江温州·期末）用配方法解方程，配方后所得方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据配方法求解的基本步骤解答即可． 本题考查了配方法，熟练掌握配方的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：原方程变形得：， 配方得：， 即， 故选：A． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解决本题的关键． 将方程左边配成完全平方形式即可求解． 【详解】解：原方程为， 两边同时加上，得： 左边写成完全平方形式：． 故选：D． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）用配方法解方程时，下列配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，将方程通过配方法转化为完全平方形式，需正确移项并添加适当的常数项． 【详解】解：移常数项：将移到右边，得， 配方：两边加上一次项系数4的一半的平方（即），得： 即， 故选：D． 4．（24-25八年级下·浙江台州·期末）已知关于的一元二次方程，下列配方法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法，通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式解答即可． 【详解】解：， ， ， ； 故选：B． 5．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）用配方法解方程时，原方程应变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了配方法，将方程通过配方法变形，转化为完全平方形式即可． 【详解】解：原方程：． 移常数项：将移到右边，得． 配方：方程两边同时加一次项系数一半的平方得： 化简：左边写成完全平方形式，右边合并常数，得： 因此，原方程变形为． 故选：C 6．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）关于的一元二次方程配方后可变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 先把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解： ， 故选C 7．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）用配方法解方程时，变形结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键．根据配方法的步骤先把常数项移到等号的右边，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方的形式，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 地 城 考点07 配方法的应用 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知一元二次方程可配成，则的值为（   ） A． B．1 C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，利用配方法把一元二次方程变形为，所以，，然后求出m、n的值，最后计算它们的和即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴，， 解得， ∴． 故选：D． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知实数 满足 ，设 ，则 的最大值是 （   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据，可以得到，然后可以得到，进而得到，再设，即可得到，然后即可写出的最大值，从而可以得到的最大值．本题考查配方法的应用、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出的最大值． 【详解】解：， ， ， ， 设，则， 则， 的最大值为， 即的最大值为， 故选：B． 3．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（    ） A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75 【答案】A 【分析】本题考查了代数式及配方法，不等式及偶次方的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键．先将代入原式，可整理得，再代入到，配方得，进而求解即可． 【详解】∵当时，该多项式的值为， ∴， 整理得，即 ∵， ∴，即， ∴， ∴， 四个选项中，只有A符合， 故选：A． 4．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）若（x，y是实数），则M的值一定是(   ) A．0 B．负数 C．正数 D．整数 【答案】C 【分析】先将整式M进行变形为（x﹣2）2+（y+3）2+2（x﹣2y）2+1，然后根据二次方的非负性，即可得出答案． 【详解】解：M＝3x2﹣8xy+9y2﹣4x+6y+14 ＝（x2﹣4x+4）+（y2+6y+9）+2（x2﹣4xy+4y2）+1 ＝（x﹣2）2+（y+3）2+2（x﹣2y）2+1 ∵，，， ∴（x﹣2）2+（y+3）2+2（x﹣2y）2+1＞0，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用和非负数的性质，将整式M变为（x﹣2）2+（y+3）2+2（x﹣2y）2+1，是解题的关键． 地 城 考点08 根据根的判别判断根的情况 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．根的个数与m的取值有关 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的情况，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．根据判别式的公式，找到题目中相应的数据，，，代入判断即可． 【详解】∵， ∴，，， ∴ ∵ ， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选 C． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知方程，那么这个方程（      ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．通过计算判别式Δ的值来判断方程根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：B． 3．（24-25八年级下·浙江台州·期末）对于一元二次方程，下列说法不正确的是（    ） A．若是方程的解，则 B．若，则方程必有两个不相等的实数根 C．若，则方程必有两个不相等的实根 D．若，则方程必有两个不相等的实数根 【答案】B 【分析】此题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根，方程没有实数根． 根据解一元二次方程的方法，判别式的意义，一元二次方程的解的定义逐项判断即可． 【详解】解：、将代入方程可得：， ∴本选项说法正确，不符合题意； 、若，则方程为， ∴， ∴程必有两个的实数根，故原说法错误，符合题意； 、∵， ∴， ∴方程必有两个不相等的实数根，原说法正确，不符合题意； 、∵方程中，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，故原说法正确，不符合题意； 故选：． 地 城 考点09 已知根的情况求参数的取值范围 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，当m取最大整数值时，代数式的值为______． 【答案】6 【分析】根据题意可知，一元二次方程根的判别式大于或等于0，且，进而求得的值，得到，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，则， ∴，且， 解得，且， m取最大整数为0，此时原方程为， 即， ∴代数式． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则c的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟知“在一元二次方程中，若方程有两个不相等的实数根，则”是解答本题的关键． 由方程有两个不等实数根可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期末）若一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式等于0时，方程有两个相等的实数根是解题的关键． 根据一元二次方程有两个相等实数根时，判别式等于零，列出方程求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等实数根，其中，，， ∴， 解得． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）已知两个关于x的一元二次方程：(b，c均为常数)，．其中，方程的一个根是，方程有两个相等的实数根，则b的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的解．依据题意，由方程的一个根是，求得，再由方程有两个相等的实数根，可得，进而，最后计算即可判断得解． 【详解】解：由题意，∵方程的一个根是， ∴， ∴， ∵方程有两个相等的实数根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·浙江台州·期末）已知关于x的方程（k为常数）有两个实数根，则k取值范围为____． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 利用一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义列出不等式，即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程（k为常数）有两个实数根， ∴且， 解得：且 故答案为：且 6．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系：当一元二次方程有两个不相等的实数根；当一元二次方程有两个相等的实数根；当一元二次方程无实数根；由题意可知，得，解方程即可确定答案．熟记一元二次方程根的情况与判别式关系，得出方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______． 【答案】或 【分析】根据题意可得一元二次方程根的判别式，即可得出关于的方程，解之即可求出的值． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：，， ∴的值是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程．式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 8．（24-25八年级下·浙江舟山·期末）若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是___________． 【答案】或 【分析】根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：，再求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：或． 【点睛】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键． 地 城 考点10 根的判别式中新定义类型 1．（24-25八年级下·浙江舟山·期末）定义：对于任意实数，有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：对已知类于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，先根据新定义将原方程化为，然后根据方程有两个不相等的实数根列式求解即可． 【详解】∵， ∴可变为， ∴． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·浙江金华·期末）对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个相等实数根，则k的值为________. 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与系数有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【详解】解：由题可得：， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． 关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，则m的值是________． 【答案】或 【分析】先解方程得出，，再根据“邻根方程”的定义得出或，求出m的值即可． 【详解】解：由方程得： ， ∴或， 解得：，， ∵关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”， ∴或， 解得：或， ∴m的值是或． 地 城 考点11 换元法解一元二次方程 1．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于x的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，，则方程的解是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程. 根据题意把看做一个整体，根据方程的解，可得或，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，， ∴方程的解满足或， 解得，， 故选：B． 2．（24-25八年级下·浙江·期末）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2021 B．2020 C．2019 D．2018 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，设t=x-1得到at2+bt+3=0，利用at2+bt+3=0有一个根为t=2020得到x-1=2020，从而可判断一元二次方程必有一根为x=2021． 【详解】解：对于一元二次方程， 设t=x-1， 所以at2+bt+3=0， 而关于x的一元二次方程ax2+bx+3=0（a≠0）有一根为x=2020， 所以at2+bt+3=0有一个根为t=2020， 则x-1=2020， 解得x=2021， 所以一元二次方程必有一根为x=2021． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 3．（24-25八年级下·浙江·期末）关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，），则方程的解是_____． 【答案】x=-4或x=-1 【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解． 【详解】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0）， ∴方程a（x+m+2）2=b变形为a[（x+2）+m]2+b=0， 即此方程中x+2=-2或x+2=1， 解得x=-4或x=-1． 故答案为：x=-4或x=-1． 【点睛】此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算． 4．（24-25八年级下·浙江·期末）已知一元二次方程的两根和，则一元二次方程的根为_________． 【答案】， 【分析】将变形得，再与方程相比较，可得或，解之即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根和， 将变形为， ∴或， 解得：，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是发现所给方程形式上的一致性． 地 城 考点12 根的判别式综合解答题 1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有一个根为，求的值； (2)求证：不论为任何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解及根的判别式是解题的关键； （1）把代入一元二次方程进行求解即可； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入方程，得：， 解得； （2）解：由关于的一元二次方程可知： ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期末）已知一元二次方程． (1)若方程的一个根为2，求的值． (2)当时，求证：方程有两个实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程根的定义及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）把代入方程可得，然后代入求解即可； （2）首先由得到，然后由判别式即可证明． 【详解】（1）把代入，得， ， ． （2）证明： ， ， 方程有两个实数根． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·月考）定义：若一元二次方程满足．则称此方程为“蛟龙”方程． (1)当时，判断此时“蛟龙”方程解的情况，并说明理由． (2)若“蛟龙”方程有两个相等的实数根，请解出此方程． 【答案】(1)“蛟龙”方程有两个不相等的实数根，理由见解析 (2)或 【分析】（1）根据“蛟龙”方程的定义得，故△，当时，，根据判别式的意义即可得出结论； （2）根据“蛟龙”方程的定义得，根据判别式的意义得，求出，进而得到方程的解． 【详解】（1）解：“蛟龙”方程有两个不相等的实数根， 理由如下： 一元二次方程为“蛟龙”方程， ， ， ， “蛟龙”方程有两个不相等的实数根； （2）解: 方程为“蛟龙”方程， ， 方程 有两个相等的实数根， ， 或2， 当时，方程为，解得； 当时，方程为，解得． “蛟龙”方程的解为0或． 【点睛】本题考查了根的判别式，解一元二次方程等知识，解题的关键是了解“蛟龙”方程的定义，难度不大． 4．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知：关于x的一元二次方程． (1)判断方程的根的情况； (2)若为等腰三角形，，另外两条边长是该方程的根，求的周长． 【答案】(1)有两个不相等的实数根 (2)13或17 【分析】（1）计算方程的根的判别式，根据其属性判断即可． （2）先求得方程的两个根，后分类计算即可． 【详解】（1）∵一元二次方程， ∴△=， 故一元二次方程有两个不相等的实数根． （2）∵一元二次方程，△= ∴， 解得， 当m+1=5时即m=4，原方程变形为， 解得， 故三角形的三边长为5，5，3，三角形存在， 此时三角形的周长为5+5+3=13； 当m+-1=5时即m=6，原方程变形为， 解得， 故三角形的三边长为5，5，7，三角形存在， 此时三角形的周长为5+5+7=17； 当AB为底时，两个根为腰，故方程有两个相等的实数根， 这与方程有两个不相等的实数根矛盾， 故此情形不存在， 故等腰三角形的周长为13或17． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，方程的解法，等腰三角形的分类计算，熟练掌握根的判别式，灵活进行等腰三角形的分类是解题的关键． 5．（24-25八年级下·浙江·期末）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，求三边的长． 【答案】（1）见解析；（2）5，5，6或4，5，5 【分析】（1）先计算出Δ=1，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值，可得结果． 【详解】解：（1）证明：∵Δ=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=， 即x1=k，x2=k+1， ∵k＜k+1， ∴AB≠AC． 当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形， 则k=5， 则三边的长为5，5，6； 当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形， 则k+1=5，解得k=4， 则三边的长为4，5，5． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质． 6．（24-25八年级下·浙江·期末）如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a､b､c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”，请解决以下问题： （1）判断是否为“勾系一元二次方程”，并说明理由． （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根． （3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积． 【答案】（1）是，理由见解析；（2）见解析；（3）1 【分析】（1）从方程中得出a，b，c的值，利用勾股定理验证即可得出结论； （2）计算△并变形可得：△，可得结论； （3）当时，有，即，由，得，推出，，由，可得，由此即可解决问题． 【详解】解：（1）在中， a=3，b=4，c=5，满足， ∴a，b，c是直角三角形的三边长， ∴是勾系一元二次方程； （2）证明；， △ ， ， △， 关于的“勾系一元二次方程” 必有实数根； （3）是“勾系一元二次方程” 的一个根， ，即， 四边形的周长是， ， ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题是新定义：“勾系一元二次方程”的理解和运用，主要考查勾股定理的应用、一元二次方程的根的判别式、完全平方公式等知识，解题的关键是灵活运用完全平方公式解决问题，属于中考常考题型． 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $