专题01 等差等比数列及数列递推（14大题型）（期末复习专项训练）高二年级数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦等差等比数列及递推，按基础计算-性质应用-综合证明分层设计，覆盖常考点、重点及难点，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等差数列基础|题型1-2（12题）|选择/填空，基本量计算、中项|从定义出发，通过方程思想解决首项与公差问题| |等差数列性质与应用|题型3-5（19题）|选择/填空/多选，性质、前n项和、函数特性|性质（角标关系）→前n项和性质→二次函数特性（最值）| |等比数列基础|题型6-7（13题）|选择/填空，基本量、中项及混考|类比等差数列，强化公比分类讨论| |等比数列性质与应用|题型8-9（16题）|选择/多选，性质、和的特性|性质（乘积关系）→和的分段函数特性→单调性分析| |递推与综合应用|题型10-14（30题）|解答题为主，求通项、证明、递推|定义法证明→递推公式转化（构造法）→综合应用|

专题01 等差等比数列及数列递推 （等差等比数列基本量计算、等差等比性质、通项、递推） 题型1 等差数列基本量的计算（常考点） 题型8 等比数列的性质（重点） 题型2 等差中项 题型9 等比数列和的性质与函数特性（重点） 题型3 等差数列的性质（重点） 题型10 求等差数列通项公式（解答题）（常考点） 题型4 等差数列前n项和的性质（重点） 题型11 求等比数列通项公式（解答题（常考点）） 题型5 等差数列的函数特性与最值（难点） 题型12 证明等差数列（解答题）（常考点） 题型6 等比数列基本量的计算（常考点） 题型13 证明等比数列（解答题）（常考点） 题型7 等比中项与等差等比混考问题（常考点） 题型14 递推公式（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 等差数列基本量的计算（共7小题） 1．（24-25高二下·贵州黔西南·期末）已知为公差不为0的等差数列，若，则（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 2．（24-25高二下·辽宁大连·期末）已知等差数列中，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知等差数列的公差为，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知等差数列的前项和为，则（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 5．（24-25高二下·北京延庆·期末）已知等差数列的前项和为，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·辽宁·期末）设为等差数列的前项和，，则（    ） A． B． C． D．0 7．（24-25高二下·安徽宣城·期末）等差数列前项的和为，已知，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 题型二 等差中项（共5小题） 8．（24-25高二下·云南·期末）已知等差数列的前项和为，若，则（   ） A．21 B．23 C．28 D．30 9．（24-25高二下·湖南岳阳·期末）已知等差数列，，，则（   ） A． B．3 C．4 D． 10．（24-25高二下·内蒙古赤峰·月考）在等比数列中，，且，，成等差数列，则公比（   ） A．2 B．2或 C．3 D．3或 11．（25-26高二上·广东·期末）已知数列与均为等差数列，且，，则（    ） A．9 B．18 C．16 D．27 12．（24-25高二下·福建·期中）在等比数列中，，若，，成等差数列，则的公比为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型三 等差数列的性质（共6小题） 13．（24-25高二下·贵州遵义·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则（   ） A．78 B．72 C．39 D．36 14．（23-24高二上·安徽·期末）已知等差数列满足，则的值为_____________________． 15．（24-25高二下·河北·期末）已知数列为等差数列，若是正整数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 16．（24-25高二上·海南·期末）若在等差数列中，．则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 17．（24-25高二上·江苏南京·期末）若为等差数列，则“”是“”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 18．（24-25高二下·河南焦作·期末）已知数列，的通项公式分别为，，由，的公共项从小到大排列得到的数列为，则（   ） A．1941 B．1961 C．1981 D．2001 题型四 等差数列前n项和的性质（共5小题） 19．（24-25高二下·四川甘孜·期末）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．52 B．96 C．106 D．12 20．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A．56 B．105 C．112 D．189 21．（24-25高二下·重庆·月考）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 22．（24-25高二下·四川乐山·期末）已知是等差数列的前项和，设为数列的前项和，若，，则_____. 23．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知数列和都是等差数列，且前项和分别为，，若，则______． 题型五 等差数列的函数特性与最值（共8小题） 24．（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知数列的前n项和为，则最小时，（   ） A．47 B．48 C．49 D．50 25．（24-25高二下·河南南阳·期末）若是等差数列，表示的前项和，，则中最大的项是（    ） A． B． C． D． 26．（24-25高二下·四川成都·期末）已知等差数列的前n项和为，则取最大值时n的值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．18 27．（24-25高二下·北京顺义·期末）已知等差数列的公差，前项和为，且，则（   ） A．，或， B．， C．， D．， 多选题 28．（24-25高二下·陕西渭南·期末）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．是递增数列 B． C．当时， D．当时，取得最大值 29．（24-25高二下·重庆·期末）等差数列的前n项和为，已知，，则下列选项中正确的是（    ） A．， B．等差数列的公差 C．使成立的n最小为10 D．当时，取得最小值 30．（24-25高二下·河南驻马店·期末）设是等差数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．时，最大 D．使的n的最大值为13 31．（24-25高二下·辽宁·期末）已知是等差数列的前项和，，则下列说法正确的是（    ） A．的公差为 B． C．数列为递增数列 D．当且仅当时，取得最大值 题型六 等比数列基本量的计算（共6小题） 32．（24-25高二下·广西南宁·期末）设等比数列的公比为，若，则（  ） A．2 B． C． D．3 33．（24-25高二下·福建·期末）在等比数列中，若且，则（   ） A．64 B．32 C．16 D．8 34．（24-25高二下·辽宁沈阳·期末）已知等比数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 35．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）等比数列中，，，则其前4项和（    ） A．30 B．32 C．34 D．36 36．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知数列满足，且对任意的，都有，则（    ）． A． B． C． D． 37．（24-25高二下·河南·期末）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 题型七 等比中项与等差等比混考问题（共7小题） 38．（24-25高二下·江西吉安·期末）与的等比中项为（    ） A．2 B．2或-2 C． D．或 39．（24-25高二下·山东东营·期末）若数列，m，x，n，是等比数列，则x是（   ） A． B．8 C． D． 40．（24-25高二下·北京西城·期末）已知等差数列满足，且是和的等比中项，则（   ） A．6 B．8 C．6或8 D．10 41．（24-25高二下·贵州黔南·期末）已知等比数列，若，为方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 42．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知是公差不为0的等差数列，，若，，成等比数列，则（    ） A．-20 B．14 C．16 D．18 43．（24-25高二下·江西抚州·期末）在等比数列中，是方程的两根，则的值为（   ） A．-4 B．-2或2 C．-2 D．2 44．（24-25高二下·山东德州·期末）已知等差数列的各项都不相等，它的前3项和为18，且成等比数列，则（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 题型八 等比数列的性质（共7小题） 45．（24-25高二下·广东肇庆·期末）已知正项等比数列中，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 46．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知数列是等比数列，、、为正整数，则“”是“”的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 多选题 47．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）设是等比数列，则（   ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等差数列 48．（25-26高二上·江苏苏州·期中）设，是两个公比不相等的等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是（    ） A． B． C． D． 49．（24-25高二下·湖南邵阳·期末）在等比数列中，若，则______． 50．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知正项等比数列，，则_______． 51．（25-26高二上·湖南长沙·期中）在等比数列中，，，则________． 题型九 等比数列和的性质与函数特性（共9小题） 52．（24-25高二下·四川乐山·期末）记为等比数列的前项和，若，，则（   ） A． B．216 C． D．728 53．（24-25高二下·陕西汉中·期末）记为等比数列的前n项和，若，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 54．（24-25高二下·江西·期末）记为正项等比数列的前项和，若，则（   ） A．12 B．22 C．30 D．38 55．（24-25高二下·江西·期末）已知是等比数列的前项和，，，则（   ） A．14 B．28 C．35 D．49 56．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知等比数列的前n项和为，若，且，则（   ） A． B．40 C．30或 D．或40 57．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知等比数列的公比为.设甲：为递减数列，乙：，，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 58．（24-25高二下·北京昌平·期末）设无穷等比数列的公比为，前项积为，则“有最大值”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 59．（24-25高二下·北京·期末）设无穷等比数列的前和为，则“为递增数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 多选题 60．（24-25高二下·江西景德镇·期末）若等比数列中，首项为，公比为，则下列条件中，使数列一定为递减数列的条件是（   ） A． B． C． D． 题型十 求等差数列通项公式（共6小题） 61．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知等差数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 62．（24-25高二下·福建厦门·期末）已知等差数列的各项均为正数，且． (1)求的通项公式； (2)若，且，求正整数的值． 63．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知等差数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足， （i）求数列的前n项和； （ii）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 64．（24-25高二下·辽宁大连·期末）已知等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求． 65．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知数列是公差为3的等差数列，满足． (1)求的通项公式； (2)设的前项和为，若，求的最大值． 66．（25-26高二上·北京丰台·期末）已知数列是等差数列，数列是等比数列，，，. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 题型十一 求等比数列通项公式（共6小题） 67．（24-25高二下·广东江门·期末）已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，， (1)求数列，的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 68．（24-25高二下·广东茂名·期末）已知等差数列的前n项和为，且，，等比数列的前n项和为，且. (1)求数列和的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 69．（24-25高二下·四川乐山·期末）已知正项等比数列，，且，，构成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 70．（24-25高二下·北京房山·期末）设是等差数列，是各项均为正数的等比数列，已知，，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 71．（24-25高二下·福建福州·期末）已知等比数列中，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设是数列的前项的和，已知.求数列的前项和. 72．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）设是公比不为1的等比数列，已知，是，的等差中项． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，，求数列的前项和． 题型十二 证明等差数列（共5小题） 73．（24-25高二下·江西南昌·期末）设数列满足，． (1)证明：数列为等差数列； (2)若数列的前n项和为，证明：． 74．（24-25高三下·广东惠州·阶段检测）已知数列的前项和为，且， (1)证明是等差数列； (2)求； (3)求证： 75．（24-25高二下·山东德州·阶段检测）已知数列中，． (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)设，求的前项和． 76．（24-25高二下·江西景德镇·期末）数列的前项和 (1)证明：数列是等差数列； (2)若，设数列的前项和为，证明：． 77．（24-25高二下·江西赣州·期末）数列满足，且对于，都有. (1)求数列的，，； (2)证明数列是等差数列； (3)求. 题型十三 证明等比数列（共9小题） 78．（24-25高二下·广东佛山·期末）已知数列的前n项和为，且（）. (1)若为等比数列，求公比q的值； (2)若， （ⅰ）证明：数列为等比数列； （ⅱ）求数列的前n项和. 79．（24-25高二下·山东淄博·期末）已知数列满足，. (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和为. 80．（24-25高二下·湖南湘西·期末）已知数列的各项都为正数，其前项和为，且． (1)证明：是等差数列，并求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 81．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列为等比数列． (2)若，求满足条件的最小整数． 82．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的前项和为，且. (1)若为等比数列，求公比的值； (2)若， （i）证明：数列为等比数列； （ii）求数列的前项和. 83．（24-25高二下·重庆·期末）数列中，，满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和. 84．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）已知数列满足，． (1)证明：是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． 85．（24-25高二下·福建·期末）已知数列满足，，记， (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 86．（24-25高二下·辽宁·期末）已知数列中，，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)记，数列的前项和为． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 题型十四 递推公式（共8小题） 87．（24-25高二下·广西北海·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，求证：． 88．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）在数列中，，. (1)求； (2)设，求数列的前项和. 89．（24-25高二下·山东日照·阶段检测）已知正项数列满足． (1)求数列的通项公式： (2)证明：对． 90．（24-25高二下·广东汕尾·期末）已知数列的前n项和为，且满足，，． (1)分别求出数列中的，，的值； (2)求数列的通项公式． 91．（24-25高二下·江西·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若集合，且中仅有2个元素，求的取值范围． 92．（24-25高二下·浙江杭州·期末）数列的前n项和为，已知，数列满足递推关系：． (1)求数列和的通项公式； (2)求的前n项和． 93．（24-25高二下·广东揭阳·阶段检测）已知首项为1的正项数列满足. (1)求； (2)求的通项公式； (3)求数列的前项和. 94．（24-25高二下·云南临沧·月考）已知数列满足：． (1)若，求数列的通项公式； (2)若为数列的前项和，求． $专题01 等差等比数列及数列递推 （等差等比数列基本量计算、等差等比性质、通项、递推） 题型1 等差数列基本量的计算（常考点） 题型8 等比数列的性质（重点） 题型2 等差中项 题型9 等比数列和的性质与函数特性（重点） 题型3 等差数列的性质（重点） 题型10 求等差数列通项公式（解答题）（常考点） 题型4 等差数列前n项和的性质（重点） 题型11 求等比数列通项公式（解答题（常考点）） 题型5 等差数列的函数特性与最值（难点） 题型12 证明等差数列（解答题）（常考点） 题型6 等比数列基本量的计算（常考点） 题型13 证明等比数列（解答题）（常考点） 题型7 等比中项与等差等比混考问题（常考点） 题型14 递推公式（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 等差数列基本量的计算（共7小题） 1．（24-25高二下·贵州黔西南·期末）已知为公差不为0的等差数列，若，则（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】利用等差数列通项公式即可求解. 【详解】因为为公差不为0的等差数列，设公差为， 所以， 因为，所以， 故选：B. 2．（24-25高二下·辽宁大连·期末）已知等差数列中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差中项的性质直接可得解. 【详解】由已知数列为等差数列， 则，解得， 故选：B. 3．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知等差数列的公差为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的定义求解即可. 【详解】因为等差数列的公差为，所以. 故选：C. 4．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知等差数列的前项和为，则（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】先由题设结合等差数列分段和性质求出，再由即可计算求解. 【详解】设等差数列的公差为d，则由题， 所以. 故选：C 5．（24-25高二下·北京延庆·期末）已知等差数列的前项和为，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列通项公式列方程，再结合等差数列求和公式进行求和计算. 【详解】由已知数列为等差数列， 则， 解得， 即， 故选：D. 6．（24-25高二下·辽宁·期末）设为等差数列的前项和，，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】先根据等差数列的前项和公式求出，进而求出公差，然后利用等差数列的性质，即可求出. 【详解】因为是等差数列， 所以， 所以，又因为， 所以， 所以    . 故选：A 7．（24-25高二下·安徽宣城·期末）等差数列前项的和为，已知，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据题意，结合等差数列的性质，可得，解得或，再根据等差数列求和公式，可知不符合题意，故，再结合等差数列求和公式，可得，解方程即可求得. 【详解】根据题意，，即， 又，所以，解得或， 又，， 所以， 所以，则， 解得. 故选：D. 题型二 等差中项（共5小题） 8．（24-25高二下·云南·期末）已知等差数列的前项和为，若，则（   ） A．21 B．23 C．28 D．30 【答案】C 【分析】根据等差数列性质得出，即可求出前7项的和. 【详解】由题意，， 在等差数列中，前项和为，若， ， ∴， 故选：C. 9．（24-25高二下·湖南岳阳·期末）已知等差数列，，，则（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】等差中项的性质可转化可求解 【详解】为等差数列，， 故选：A 10．（24-25高二下·内蒙古赤峰·月考）在等比数列中，，且，，成等差数列，则公比（   ） A．2 B．2或 C．3 D．3或 【答案】A 【分析】根据题意得到方程，并得到，求出公比即可. 【详解】由题意得，即， 因为，所以，故可得， 解得（负值舍去）. 故选：A. 11．（25-26高二上·广东·期末）已知数列与均为等差数列，且，，则（    ） A．9 B．18 C．16 D．27 【答案】A 【分析】根据等差中项的公式，令两式相加即可得出答案. 【详解】因为数列与均为等差数列，且，， 所以 所以， 则. 故选：. 12．（24-25高二下·福建·期中）在等比数列中，，若，，成等差数列，则的公比为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设等比数列的公比为，则，由，，成等差数列得出，结合得出，即可求解． 【详解】设等比数列的公比为，则， 因为，，成等差数列，所以， 又，所以， 所以，故， 故选：B． 题型三 等差数列的性质（共6小题） 13．（24-25高二下·贵州遵义·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则（   ） A．78 B．72 C．39 D．36 【答案】C 【分析】利用等差数列性质及前n项和公式求解即得. 【详解】依题意，. 故选：C 14．（23-24高二上·安徽·期末）已知等差数列满足，则的值为_____________________． 【答案】3 【分析】根据等差数列下标和性质运算求解. 【详解】由题意可得：，则， 所以. 故答案为：3. 15．（24-25高二下·河北·期末）已知数列为等差数列，若是正整数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据等差数列，结合充分性和必要性的定义进行判断即可． 【详解】充分性：当，由等差数列下标和定理得，， 必要性：当等差数列公差时，若，则， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 16．（24-25高二上·海南·期末）若在等差数列中，．则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据等差数列的通项公式，将已知等式化简，两式相减即可求得答案 【详解】因为，所以, 解得 故选：B 17．（24-25高二上·江苏南京·期末）若为等差数列，则“”是“”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质结合充分必要条件判断即可得结论. 【详解】设数列的公差为， 若等差数列为常数列，则任意的，都有， 所以由不能推出； 若，则，， 所以，即由可以推出； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 18．（24-25高二下·河南焦作·期末）已知数列，的通项公式分别为，，由，的公共项从小到大排列得到的数列为，则（   ） A．1941 B．1961 C．1981 D．2001 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质即可得数列是首项为1，公差为20的等差数列，从而得所求. 【详解】由题可知是首项为1，公差为4的等差数列，是首项为1，公差为5的等差数列， 则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列是首项为1，公差为20的等差数列，故. 故选：C. 题型四 等差数列前n项和的性质（共5小题） 19．（24-25高二下·四川甘孜·期末）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．52 B．96 C．106 D．12 【答案】B 【分析】利用等差数列的片段和性质计算即可. 【详解】由等差数列的性质可知：成等差数列，即成等差数列， 所以. 故选：B. 20．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A．56 B．105 C．112 D．189 【答案】B 【分析】根据等比数列性质得，结合基本量运算计算求解. 【详解】因为成等比数列， 即成等比数列，所以，解得， 又，所以，解得. 故选:B. 21．（24-25高二下·重庆·月考）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知及等差数列前n项和的特征，设，，再由求值即可. 【详解】根据已知及等差数列前n项和，设，， 则. 故选：C 22．（24-25高二下·四川乐山·期末）已知是等差数列的前项和，设为数列的前项和，若，，则_____. 【答案】 【分析】根据等差数列性质，可得数列为等差数列，求出其公差和首项，利用等差数列前项和公式求解. 【详解】根据等差数列性质，数列为等差数列，设其公差为. 因为，， ，又，， . 故答案为：. 23．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知数列和都是等差数列，且前项和分别为，，若，则______． 【答案】 【分析】由题可设，，然后表示出即可求解. 【详解】数列、为等差数列，且 ， 可设，， 则， 所以. 故答案为：. 题型五 等差数列的函数特性与最值（共8小题） 24．（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知数列的前n项和为，则最小时，（   ） A．47 B．48 C．49 D．50 【答案】D 【分析】由二次函数性质即可求解. 【详解】因为，所以当时，最小. 故选：D. 25．（24-25高二下·河南南阳·期末）若是等差数列，表示的前项和，，则中最大的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由等差数列的求和公式确定，再由等差中项结合等差数列的性质求出公差小于零进而可判断. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以公差， 故当时，，当时，， 所以当时，取得最大值，即中最大的项是. 故选：C. 26．（24-25高二下·四川成都·期末）已知等差数列的前n项和为，则取最大值时n的值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．18 【答案】B 【分析】由已知得到的关系，然后代入等差数列的前项和公式，转化为二次函数问题求解即可． 【详解】因为，所以，整理得， 所以， 因为，所以当时，取得最大值， 故选：B． 27．（24-25高二下·北京顺义·期末）已知等差数列的公差，前项和为，且，则（   ） A．，或， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】分，，三种情况结合等差数列性质求解即可. 【详解】因为等差数列的公差，且， 所以等差数列单调递减， 当时，成立； 当时，，， 若此时等号成立，即，此时； 当时，， 若此时等号成立，即，此时； 综上，，或，. 故选：A 多选题 28．（24-25高二下·陕西渭南·期末）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．是递增数列 B． C．当时， D．当时，取得最大值 【答案】BC 【分析】根据，求出，然后逐项分析即可. 【详解】时，， 时，， 综上，， 所以，数列是递减数列，故A错误； ，故B正确； 时，，故C正确； ，所以当或时，取得最大值，故D错误； 故选：BC. 29．（24-25高二下·重庆·期末）等差数列的前n项和为，已知，，则下列选项中正确的是（    ） A．， B．等差数列的公差 C．使成立的n最小为10 D．当时，取得最小值 【答案】BC 【分析】对于A，由等差数列的前n项和为、可得即可判断；对于B，只需求出，然后由即可判断；对于C，直接解不等式即可判断；对于D，由n为正整数即可判断. 【详解】对于A选项，因数列为等差数列，，则，且， 则，所以，A错误； 对于B选项，由A知，则，则， 则公差，B正确； 对于C选项，由，得或，因为n为正整数，所以n最小值为10，C正确； 对于D选项，因为n为正整数，所以D错误. 故选：BC. 30．（24-25高二下·河南驻马店·期末）设是等差数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．时，最大 D．使的n的最大值为13 【答案】AC 【分析】对于AB，由题可得，由可得，，据此可判断AB；对于C，分析可得时，，时，，进而判断即可；对于D，由题可得，据此可判断选项正误. 【详解】对于AB，由题意，即， 又，所以，且，则， 故为递减数列，即，故A正确，B错误； 由于时，，时，， 则时，最大，故C正确； 由， 所以使的的最大值为14，故D错误. 故选：AC． 31．（24-25高二下·辽宁·期末）已知是等差数列的前项和，，则下列说法正确的是（    ） A．的公差为 B． C．数列为递增数列 D．当且仅当时，取得最大值 【答案】AB 【分析】A选项，设出公差，根据得到方程，求出公差；B选项，利用等差数列通项公式进行求解；C选项，计算出，得到单调性；D选项，在C基础上，由二次函数的性质可知，D错误. 【详解】A选项，设等差数列的公差为，由，得， 即，解得，A正确； B选项，，B正确； C选项，由上可知，所以， 根据一次函数的性质可知，数列为递减数列，C错误； D选项，由二次函数的性质可知，其对称轴方程为， 又，所以当或时，取得最大值，D错误． 故选：AB 题型六 等比数列基本量的计算（共6小题） 32．（24-25高二下·广西南宁·期末）设等比数列的公比为，若，则（  ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】利用等比中项的性质及等比数列通项公式即可求得结果. 【详解】因为，所以，所以，所以. 故选：A 33．（24-25高二下·福建·期末）在等比数列中，若且，则（   ） A．64 B．32 C．16 D．8 【答案】C 【分析】由等比数列的性质得到和公比，从而得到答案 【详解】由等比数列的性质可得，易知，故， 又，所以，故，可得. 故选：C. 34．（24-25高二下·辽宁沈阳·期末）已知等比数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的公比为q，根据等比数列前n项和基本量运算求得，然后利用等比数列基本量运算求解即可. 【详解】设的公比为q， 因为， 所以，所以． 故选：A． 35．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）等比数列中，，，则其前4项和（    ） A．30 B．32 C．34 D．36 【答案】A 【分析】由题可得等比数列公比，据此可得，然后可得答案. 【详解】由题可得， 则，则. 故选：A 36．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知数列满足，且对任意的，都有，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设得，即原数列的奇数项为等比数列，应用等比数列的通项公式求目标项. 【详解】因为对任意的，都有， 所以，所以， 所以数列的奇数项构成首项为1，公比为3的等比数列， 且是新数列的第1013项， 所以． 故选：D． 37．（24-25高二下·河南·期末）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式及前项和公式求出、代入通项公式即可求解. 【详解】设正项等比数列的公比为， 由，得，解得或（舍去）， 即或（舍去）， 又因为，得，解得， 所以. 故选：C 题型七 等比中项与等差等比混考问题（共7小题） 38．（24-25高二下·江西吉安·期末）与的等比中项为（    ） A．2 B．2或-2 C． D．或 【答案】D 【分析】利用等比中项的性质即可解题. 【详解】设与的等比中项为， 则有， 解得， 故选： 39．（24-25高二下·山东东营·期末）若数列，m，x，n，是等比数列，则x是（   ） A． B．8 C． D． 【答案】D 【分析】设出公比，利用等比数列的性质及等比中项得到方程，求出. 【详解】设公比为，则，且，解得. 故选；D 40．（24-25高二下·北京西城·期末）已知等差数列满足，且是和的等比中项，则（   ） A．6 B．8 C．6或8 D．10 【答案】A 【分析】设出公差，借助等比中项的性质与等差数列的性质计算即可得. 【详解】设数列公差为，则，故， ，即，解得， 则. 故选：A. 41．（24-25高二下·贵州黔南·期末）已知等比数列，若，为方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由韦达定理可得，，根据等比中项可求，注意符号的判定. 【详解】因为等比数列，，为方程的两根， 所以，故， 又因为， 所以，同为负数，由等比数列的性质可知，等比数列的隔项同号， 所以. 故选：A. 42．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知是公差不为0的等差数列，，若，，成等比数列，则（    ） A．-20 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】设出公差，根据题目条件得到方程，求出公差，进而求出. 【详解】设公差为，，，成等比数列，故， ，故，解得或0（舍去）， 故. 故选：B 43．（24-25高二下·江西抚州·期末）在等比数列中，是方程的两根，则的值为（   ） A．-4 B．-2或2 C．-2 D．2 【答案】C 【分析】设公比为，由韦达定理得，，并判断同为负数，根据等比数列的性质得到，从而得到答案. 【详解】为等比数列，设公比为， 由韦达定理得，， 又，故符号相同，同为负数， ， 因为为等比数列，所以，， 故. 故选：C 44．（24-25高二下·山东德州·期末）已知等差数列的各项都不相等，它的前3项和为18，且成等比数列，则（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质以及等比数列定义计算可得结果. 【详解】设等差数列的公差为,显然， 所以可得，即， 解得，或(舍)， 因此. 故选：D. 题型八 等比数列的性质（共7小题） 45．（24-25高二下·广东肇庆·期末）已知正项等比数列中，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由等比数列的性质和题目条件得到，利用对数运算法则和等比数列性质进行求解 【详解】由题意，所以，. 所以. 故选：B 46．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知数列是等比数列，、、为正整数，则“”是“”的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】结合等比数列的性质判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可判断出答案. 【详解】由题意知数列是等比数列，设其公比为q， 则，， 当时，显然成立； 当时，不妨取，此时，满足， 但不成立， 故“”是“”的充分非必要条件， 故选：A 多选题 47．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）设是等比数列，则（   ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等差数列 【答案】AC 【分析】利用等比数列定义可判断A、C，令，可判断B，取等比数列为，可判断D. 【详解】因为是等比数列，所以设其公比为，即． 因为，所以是等比数列，所以A选项正确； 因为，所以是等比数列，所以C选项正确； 当时，，所以此时不是等比数列，所以B选项错误； 不妨设等比数列为，当时，不存在， 所以不是等差数列，所以D选项错误. 故选：AC 48．（25-26高二上·江苏苏州·期中）设，是两个公比不相等的等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据等比数列的定义与等比中项逐一判断即可. 【详解】设等比数列，是两个公比分别为，且 对于A，因为， ， 因,则，故不是等比数列，即A错误； 对于B，因为， ， 与A同理，，故不是等比数列，即B错误； 对于C，因为， ，是一个常数，所以是等比数列，故C正确. 对于D，因为，，是一个常数， 所以是等比数列，故D正确. 故选：CD. 49．（24-25高二下·湖南邵阳·期末）在等比数列中，若，则______． 【答案】128 【分析】利用等比数列的性质可求出、，进而求出，再次利用等比数列的性质进行求解即可. 【详解】，， 又，， 又． 考虑最后结果为正，不妨设每项均为正数，，． 故答案为：128 50．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知正项等比数列，，则_______． 【答案】58 【分析】根据等比数列的性质求解． 【详解】是正项等比数列，则，， 所以， 故答案为：58. 51．（25-26高二上·湖南长沙·期中）在等比数列中，，，则________． 【答案】 【分析】根据题目信息及等比数列的性质求出公比，再计算的值. 【详解】设等比数列的公比为， 则， 又，所以， 则. 故答案为：. 题型九 等比数列和的性质与函数特性（共9小题） 52．（24-25高二下·四川乐山·期末）记为等比数列的前项和，若，，则（   ） A． B．216 C． D．728 【答案】D 【分析】法1，设等比数列的公比为，首项为，利用等比数列基本量运算求解判断；法2，利用等比数列前项和性质运算判断. 【详解】解法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，①，②， 由①②可得，，所以. 解法二：因为，，成等比数列，即，解得：. 故选：D. 53．（24-25高二下·陕西汉中·期末）记为等比数列的前n项和，若，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据等比数列的前项和的性质可得. 【详解】因为是等比数列，所以成等比数列， 因，则，故，解得. 故选：B 54．（24-25高二下·江西·期末）记为正项等比数列的前项和，若，则（   ） A．12 B．22 C．30 D．38 【答案】C 【分析】由等比数列前项和的性质可得结果. 【详解】因为是等比数列，所以成等比数列， 故． 又，代入，解得． 因为，所以． 故选：C. 55．（24-25高二下·江西·期末）已知是等比数列的前项和，，，则（   ） A．14 B．28 C．35 D．49 【答案】D 【分析】根据等比数列前项和的性质，求出的值，进而求出结果. 【详解】由是等比数列的前项和，由题易知均不为， 且是等比数列， 因为，所以，可得， 所以， 则，解得，则. 故选：D. 56．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知等比数列的前n项和为，若，且，则（   ） A． B．40 C．30或 D．或40 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质以及片段和，求出等比数列公比由前项和公式即可得解. 【详解】等比数列的公比为， 因为，且， ，，故， 所以，即， 解得或（舍去）， 所以，可得， 故选：B. 57．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知等比数列的公比为.设甲：为递减数列，乙：，，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用等比数列的概念结合必要不充分条件定义即可得解. 【详解】若为递减数列，则对任意有即， 所以或， 如满足和的数列均为递减数列，故充分性不成立； 若，，则数列为递减数列，所以必要性成立. 所以甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 58．（24-25高二下·北京昌平·期末）设无穷等比数列的公比为，前项积为，则“有最大值”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】充分性：， 例如，则，在时，取最大值，因此是不充分的， 必要性：当时，对任意的无穷等比数列， 若，必存在正整数，使得时，，时，，所以时，最大（若，则是最大值）， 若，则是中的最大值，若，只要比较前后的正项的大小即可得（注意中正负项是两项两项间隔的） 若，则，是递减数列，中第一个正项即为最大值， 因此是必要的， 所以应为必要不充分条件， 故选：B． 59．（24-25高二下·北京·期末）设无穷等比数列的前和为，则“为递增数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据等比数列的单调性性质得到且，或且，进而结合等比数列前n项和公式比较的大小即可得到充分性情况，再分析必要性情况即可得解. 【详解】设无穷等比数列的公比为， 则，， 若“为递增数列”，则且，或且， 当且时，即； 当且时，即. 所以充分性成立； 若“”，则恒成立， 当时，得恒成立，则且，此时为递减数列； 当时，得恒成立，则且，此时为递增数列； 当时，得即恒成立， 则，此时不具有单调性. 所以必要性不成立. 所以“为递增数列”是“”的充分不必要条件. 故选：A 多选题 60．（24-25高二下·江西景德镇·期末）若等比数列中，首项为，公比为，则下列条件中，使数列一定为递减数列的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】对A，B，当时，则等比数列是摆动数列，可判断；对C，D，由可判断. 【详解】若，则等比数列是摆动数列； 若，则等比数列是常数列； 当且时，由. 对于A，若，当时，则等比数列是摆动数列，故A错误； 对于B，若，当时，则等比数列是摆动数列，故B错误； 对于C，当时，，即，等比数列是递减数列，故C正确； 对于D，当时，，即，等比数列是递减数列，故D正确. 故选：CD. 题型十 求等差数列通项公式（共6小题） 61．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知等差数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列前和公式求解即可得公差，从而可求得等差数列的通项公式； （2）利用等比数列前和公式，即可求解. 【详解】（1）设公差为，，， 即. （2）由（1）得，， ，是首项为8，公比为4的等比数列， 62．（24-25高二下·福建厦门·期末）已知等差数列的各项均为正数，且． (1)求的通项公式； (2)若，且，求正整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设数列的公差为，然后根据等差数列的通项公式以及数列各项均为正数即可求解； （2）由（1）可知，，进而可得，然后分为奇数和为偶数两种情况讨论即可. 【详解】（1）设数列的公差为， 由可得，， 所以， 由可得，， 所以， 由于数列各项均为正数， 所以，， 所以 所以数列的通项公式为； （2）解法一：由（1）知，，， 所以， ①当时， ． 因为， 所以； ②当时， 因为，， 所以， 所以， 所以不存在这样的使得，不合题意，舍去， 综上所述，正整数的值为. 解法二：由（1）知，，， ①当为奇数时， ， ②当为偶数时， ， 所以， 解得． 综上所述，正整数的值为. 解法三：由（1）知，，， 设， 则， 所以， 所以 ， 可得， 当为奇数时，， 无解， 当为偶数时， 解得， 综上所述，正整数的值为. 63．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知等差数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足， （i）求数列的前n项和； （ii）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用等差数列的通项公式及前项和公式即可求解； （2）（i）利用错位相减法求和即可；（ii）根据的单调性，再分为奇数和偶数两种情况进行讨论即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，则，解得， ； （2）（i）由（1）知， ， ， ， ； （ii）由（i）得， 设，则， ，数列是递增数列， 当n为偶数时，恒成立，， 当为奇数时，恒成立，，， 实数的取值范围为. 64．（24-25高二下·辽宁大连·期末）已知等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用等差数列通项公式及求和公式基本量运算求解即可； （2）裂项相消法计算求和. 【详解】（1）由已知可得， 解得， 所以． （2）由（1）可知， 所以． ． 65．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知数列是公差为3的等差数列，满足． (1)求的通项公式； (2)设的前项和为，若，求的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据等差数列通项公式的基本量计算可得，即可写出通项公式； （2）根据等差数列前项和公式得，由可得关于的不等式，解不等式即可得出结论. 【详解】（1）因为数列是公差为3的等差数列，所以， 由可得，解得， 所以的通项公式为． （2）由（1）得， 由得， 整理得，解得， 由于，所以的最大值为5． 66．（25-26高二上·北京丰台·期末）已知数列是等差数列，数列是等比数列，，，. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，利用等差、等比数列的通项公式将数据代入，联立方程组即可求出答案； （2）利用分组求和法即可求出答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由题意得，解得或（舍去）， 所以，； （2） . 题型十一 求等比数列通项公式（共6小题） 67．（24-25高二下·广东江门·期末）已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，， (1)求数列，的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算出公比、公差即可求解； （2）由裂项相消法即可求解. 【详解】（1）设公比为，公差为， 所以，解得，所以， 所以，所以，解得， 所以； （2）因为， 所以数列的前n项和. 68．（24-25高二下·广东茂名·期末）已知等差数列的前n项和为，且，，等比数列的前n项和为，且. (1)求数列和的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差，等比数列的基本量运算求解； （2）由题可得，利用错位相减法求解. 【详解】（1）由题意知：，， 即，解得. 所以数列的通项公式. 在等比数列中，当时，，得. 当时，，解得，. 所以数列的通项公式. （2）因为， 所以，① ，② ①②得 . 解得， 所以数列的前n项和. 69．（24-25高二下·四川乐山·期末）已知正项等比数列，，且，，构成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设数列的公比为，，由题列出的方程运算得解； （2）由（1）求出，利用裂项相消法求解. 【详解】（1）设数列的公比为，由，则， 由，得，解得或（舍）. 因为，，成等差数列，所以. ，即，解得或（舍）. 所以. （2）由（1）知，. 则. 所以. 70．（24-25高二下·北京房山·期末）设是等差数列，是各项均为正数的等比数列，已知，，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据等差数列与等比数列的定义解题即可； （2）利用分组求和法，结合等差数列与等比数列前项和公式解题即可. 【详解】（1）因为是各项均为正数的等比数列，设公比为， 又，所以，， 因为，，所以，所以， 解得或（舍），所以， 所以，因为是等差数列，设公差为，因为，则， 所以. 所以，. （2）有（1）可得， 则 71．（24-25高二下·福建福州·期末）已知等比数列中，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设是数列的前项的和，已知.求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题设条件求出，即可求解； （2）由（1）可得，再利用等差数列的前项和公式，即可求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为，因为， 又，则，解得，所以. （2）由（1）知，则， 所以数列的前项和为. 72．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）设是公比不为1的等比数列，已知，是，的等差中项． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，，求数列的前项和． 【答案】(1) (2)数列的前项的和为 【分析】（1）求出公比，再根据等比数列的通项公式即可得解； （2）求得，可得，利用并项求和法可求得数列的前项的和. 【详解】（1）设的公比为，且， 因为是，的等差中项，所以，即为， 所以，解得或 (舍去)， 所以； （2）由（1）知，所以， 所以， 当时，， 当时，， 所以， 所以数列的前项的和为 ． 题型十二 证明等差数列（共5小题） 73．（24-25高二下·江西南昌·期末）设数列满足，． (1)证明：数列为等差数列； (2)若数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用已知的递推关系两边取倒数，即可构造数列的递推关系，从而问题得证； （2）利用等差数列可求数列的通项公式，再由裂项法求和，利用单调性可证明不等式. 【详解】（1）由可得：， 所以数列为等差数列，且首项为3，公差为3； （2）由数列为等差数列，，可得, 所以，又因为， 所以， 因为，所以，故． 74．（24-25高三下·广东惠州·阶段检测）已知数列的前项和为，且， (1)证明是等差数列； (2)求； (3)求证： 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的定义即可证明. （2）先根据等差数列的定义得出和是等差数列；再根据等差数列的通项公式 求出，及；最后利用等差数列的通项公式即可解答. （3）先变形得出；再根据裂项相消求和即可证明. 【详解】（1）证明：因为在数列中，，， 所以， 所以是以1为首项，3为公差的等差数列． （2）由（1）可知是以1为首项，3为公差的等差数列,， 所以. 同理由，可得. 又因为， 所以是以2为首项，3为公差的等差数列， 故， 则. 所以. （3）证明：因为， 所以. 因为 所以， 即. 75．（24-25高二下·山东德州·阶段检测）已知数列中，． (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)设，求的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）利用等差数列的定义判断是等差数列，结合等差数列的通项公式求的通项公式. （2）利用错位相减求和法求数列的前项和. 【详解】（1）当时，， 所以，，又，所以， 故是以2为首项，3为公差的等差数列. 故，所以，． （2）， 令，① 则，② ①-②得：， ， 故. 76．（24-25高二下·江西景德镇·期末）数列的前项和 (1)证明：数列是等差数列； (2)若，设数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）左右两侧同除后再利用等差数列的定义求解即可. （2）结合给定条件求出，，再对目标式合理拆分，转化为证明成立，再利用放缩法证明其成立，进而得到原不等式成立即可. 【详解】（1）因为，且， 所以两边同除可得， 则数列是公差为的等差数列. （2）由上问结合已知得，数列是公差为的等差数列， 则，故，因为，所以，， 而，则，故数列是公差为的等差数列， 则数列的前项和为，设数列的前项和为， 欲证，则证，即证即可， 而，因为，所以， 则得证，故得证. 77．（24-25高二下·江西赣州·期末）数列满足，且对于，都有. (1)求数列的，，； (2)证明数列是等差数列； (3)求. 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据递推公式即可求解； （2）由得，两边同时除以，即可得证； （3）由（2）得，利用累加法得，最后利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）由，， 所以， ， ； （2）由得，等式两边同时除以， 可得，即， 当时，. 所以是以2为首项，1为公差的等差数列， （3）由（2）知，则， 当时由累加法得： ， 等式两边同乘2，得. 两式相减得 ， 因为，所以（）， 当时上式也成立， 综上. 题型十三 证明等比数列（共9小题） 78．（24-25高二下·广东佛山·期末）已知数列的前n项和为，且（）. (1)若为等比数列，求公比q的值； (2)若， （ⅰ）证明：数列为等比数列； （ⅱ）求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）. 【分析】（1）根据给定条件，列式求出，再结合通项公式及前n项和公式验证判断. （2）（ⅰ）利用前n项和与第n项的关系及已知可得，再利用等比数列定义推理即得；（ⅱ）由（ⅰ）的结论求得，再分奇偶求出，最后利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）数列中，，由，得， 则，解得或， 当时，，，， 而，显然不恒成立，因此， 当时，，，，符合题意， 所以. （2）（ⅰ）由，得，两式相减得， 则，当时，， 而，，则，即，， 所以数列为等比数列. （ⅱ）由（ⅰ）知等比数列的首项为3，公比为2，则， ，两式相减得， 当时，， 于是，，则； 当时，， 于是，，则， 因此，，， 则，， 两式相减得， 所以. 79．（24-25高二下·山东淄博·期末）已知数列满足，. (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和为. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将给定递推式合理变形，得到，再求出首项完成证明即可. （2）结合给定条件求出，再利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由，即， 得，即， 又，得到， 故数列是首项为3，公比为3的等比数列. （2）由（1）可知，， 则，则， 得到， 两式作差得 ，故. 80．（24-25高二下·湖南湘西·期末）已知数列的各项都为正数，其前项和为，且． (1)证明：是等差数列，并求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据题意，得到，当时，求得，当时，，两式相减求得，结合得出数列的定义和通项公式，即可求解； （2）由（1）得，利用乘公比错位相减法求和，即可求解. 【详解】（1）证明：由，且，可得， 所以当时，，解得或（舍）； 当时，， 两式相减， 因为，可得， 所以数列是首项为1，公差为的等差数列， 所以数列的通项公式为． （2）解：由（1）知，可得， 则， ， 两式相减，得 ． 81．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列为等比数列． (2)若，求满足条件的最小整数． 【答案】(1)证明见解析 (2)1000 【分析】（1）取倒数法得到，证明出结论； （2）在（1）基础上，得到通项公式，分组求和得到，令，单调递增，由特殊点函数值，得到答案． 【详解】（1）证明：因为，所以，所以． 因为，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）知， 所以． 令，易知单调递增． 因为，， 所以满足条件的最小整数为1000． 82．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的前项和为，且. (1)若为等比数列，求公比的值； (2)若， （i）证明：数列为等比数列； （ii）求数列的前项和. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）根据给定条件，列式求出，再结合通项公式及前n项和公式验证判断. （2）（ⅰ）利用前n项和与第n项的关系及已知可得，再利用等比数列定义推理即得；（ⅱ）由（ⅰ）的结论求得，再分奇偶求出，最后利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）数列中，，由，得， 则，解得或， 当时，，，， 而，显然不恒成立，因此， 当时，，，，符合题意， 所以. （2）（ⅰ）由，得，两式相减得， 则，当时，， 而，，则，即，， 所以数列为等比数列. （ⅱ）由（ⅰ）知等比数列的首项为3，公比为2，则， ，两式相减得， 当时，， 于是，，则； 当时，， 于是，，则， 则， 所以. 83．（24-25高二下·重庆·期末）数列中，，满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由等比数列的定义即可证明； （2）由题意，由等差、等比数列求和公式以及分组求和法即可求解. 【详解】（1）由，得，又， 所以是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得（，. 所以 . 84．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）已知数列满足，． (1)证明：是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据递推公式可得，结合等比数列定义分析证明； （2）根据（1）可得，结合等比数列求和公式运算求解； （3）由（2）可得，利用分组求和结合错位相减法运算求解. 【详解】（1）因为，则， 且，所以是以2为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）可得：，即， 所以． （3）由（2）可知：， 设，， 则，， 两式相减得：， 故， 所以． 85．（24-25高二下·福建·期末）已知数列满足，，记， (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）通过数列奇数项的递推关系，利用构造法求得数列相邻两项的比值，证明等比数列. （2）通过数列的通项公式得的通项公式，进而得的通项公式，分析通项公式得特点，分组求和、错位相减得前项和. 【详解】（1）证明：因为，，， 所以， 即，， 又， 所以数列是首项为4，公比为2的等比数列. （2）由（1）可知， 所以. 则， 设，其前n项和为， 则， ， 两式相减得， 所以， 所以. 86．（24-25高二下·辽宁·期末）已知数列中，，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)记，数列的前项和为． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）将左右两边取倒数，得到，将其变形为，即可根据等差数列的定义，证明数列为等比数列； （2）（i）由（1）得到及的解析式，进而得到的解析式，通过讨论的取值范围，即可得到的取值范围；（ii）先得到的解析式，进而得到其前项和的解析式，通过放缩，将其转化成求一个等比数列的前项和，通过讨论的范围，即可证明. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 又，所以， 所以数列是以2为首项，以为公比的等比数列； （2）（i）由（1）可知， 所以，， 因为， 因为，，所以，所以， 所以，的取值范围； （ii）因为，又因为， 所以 设. 当时，成立； 当时，成立； 当时，成立； 且随着值增大，逐渐减小，逐渐增大， 因为，所以，所以， 即. 题型十四 递推公式（共8小题） 87．（24-25高二下·广西北海·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据递推公式，构造等比数列，进而求出数列通项公式. （2）写出数列的通项公式，根据裂项求和法，求出数列前项和，进而得证. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以，所以是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以； （2）由（1）知， 所以 ， 又，所以． 88．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）在数列中，，. (1)求； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用累加法求出数列的通项公式; （2）由（1）可得,利用裂项相消法计求和即可. 【详解】（1）因为， 所以 （2）因为， 所以. 89．（24-25高二下·山东日照·阶段检测）已知正项数列满足． (1)求数列的通项公式： (2)证明：对． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）变形给定等式，利用等差数列定义及通项公式求解. （2）利用裂项相消法求和法计算得证. 【详解】（1）在正项数列中，由，得， 因此数列是首项为，公差为1的等差数列，， 所以数列的通项公式. （2）由（1）知， 因此， 而数列是递增数列，且，则， 所以. 90．（24-25高二下·广东汕尾·期末）已知数列的前n项和为，且满足，，． (1)分别求出数列中的，，的值； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)，，． (2) 【分析】（1）解法1：利用与的关系，得到与之间的关系，再结合求出，再逐项，，的值. 解法2：根据的意义，利用及，依次逐项求得，，，的值. （2）解法1：由（1），得，相减得到，进而分别为奇数和偶数时的的通项. 解法2：根据（1）中得到的，，，，的值，猜想的通项公式，再进行证明. 【详解】（1）（解法1）（1）当时，， 又∵，∴， 当时，∵，∴， ∵，∴， ∴，，． （解法2）：∵，，， ∴，解得， 又∵，∴，解得， 同理，解得， ，解得， 故，，． （2）（解法1）由（1）（解法一）知，，， 则，故时，有，① ∴，② 由①，②得，，即， 当n为偶数时，， 当n为奇数时，． 综上所述，数列的通项公式为（或，）． （解法2）由（1）（解法一）知，，，则， 故时，有， 当n为奇数时，由，，，…，， 由以上各式可得，，…，， 可得，故． 当n为偶数时，由，，，…，， 以上各式两两相减，可得，，…，， 可得， 又∵，∴， 综上所述，数列的通项公式为（或，）． （解法3）由（1）知，，且，，，，， 归纳上述结果，猜想． 当时，，猜想成立， 假设当时，， 那么， 即时，猜想成立． 综上所述，对任意，上述猜想都成立， 即． （解法4）当时，， 又∵，∴， 当时，∵，∴， ∵，∴，即，符合， ∴时，有． ∴，，，…，， 又由（1）知，，， 故当n为奇数时，；当n为偶数时，． 故数列的通项公式为（或，）． 91．（24-25高二下·江西·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若集合，且中仅有2个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将变形为，然后根据等比数列的定义及通项公式得，求解即可； （2）利用错位相减法求和即可； （3）先利用作差法判断得，再结合可得的不等式，即可得解． 【详解】（1）由，得， 又，所以数列是首项为1、公差为2的等差数列， 所以，故． （2）由（1）知， 所以， 则， 两式相减得 ． 所以． （3）由（1）知， 所以， 因为当或2时，，当时，， 所以， 又，若中仅有2个元素，则这2个元素为， 所以，即的取值范围是． 92．（24-25高二下·浙江杭州·期末）数列的前n项和为，已知，数列满足递推关系：． (1)求数列和的通项公式； (2)求的前n项和． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用与前n项和的关系可求得；根据等比数列的概念可求得数列的通项公式，从而可得； （2）利用错位相减法以及等比数列的概念计算化简即可求解. 【详解】（1）已知 ，当 时，； 当 时，； 验证时，，符合上式， 故数列通项公式为. 因为， 所以，等式两边同时加 可得， 即，所以， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 数列通项公式为，所以. 故数列的通项公式为. （2）由（1）可知，则， 所以， 记数列的前项和为 ， ，① 上式乘以公比2可得； ，② 由① ②可得： ， 即， ， 化简可得， 即. 93．（24-25高二下·广东揭阳·阶段检测）已知首项为1的正项数列满足. (1)求； (2)求的通项公式； (3)求数列的前项和. 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）赋值代入解方程即可； （2）由，发现数列是等差数列，可求的通项，再求即可； （3）根据题意，把通项代入得，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1），， ，即， 解得. （2）有（1）得， 所以是首项为1，公差为的等差数列， ，则. （3） ， 故数列的前项和. 94．（24-25高二下·云南临沧·月考）已知数列满足：． (1)若，求数列的通项公式； (2)若为数列的前项和，求． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据给定条件，按奇偶讨论求出数列的递推关系，再利用构造法求出通项公式. （2）由（1）的结论，利用分组求和法，结合等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）依题意，，当 时， ，当时， ， 则，，而，则， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列，， 所以数列的通项公式 （2）由（1）知， ，则 ， ， 所以 . $