2026年甘肃兰州中考数学押题卷Ⅱ

**基本信息** 兰州中考数学押题卷以社会热点为情境，梯度设计覆盖代数几何统计，综合题突出探究与应用，适配中考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/33|无理数判断、科学记数法（3.3亿）、一元二次方程根的判别|结合2025以旧换新数据考查数感，体现数学眼光| |填空题|4/12|因式分解、售价计算、概率（环岛出口）、阴影面积|商场销售问题强化模型意识，数学语言表达实际| |解答题|11/75|函数综合（24题）、几何探究（25题）、新定义“近距离”（26题）|摄像头仰俯角应用（20题）考查空间观念，黄金分割阅读题（21题）培养推理能力|

2 绝密★启用前 2025-2026年兰州中考数学终极押题卷Ⅱ 注意事项： 1.全卷共120分，考试时间120分钟. 2.考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填涂在答题卡上. 3.请将答案正确填写在答题卡的相应位置上. 一．选择题（本大题共11小题，每题3分，共33分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．﹣3，4，0，π四个数中，是无理数的是（　　） A．﹣3 B．4 C．0 D．π 2.根据发改委数据，2025年1﹣8月，全国共有3.3亿人次申领消费品以旧换新补贴，带动相关商品销售额超2万亿元．数据“3.3亿”用科学记数法表示为（　　） A．33×107 B．0.33×109 C．3.3×108 D．3.3×109 3．化简a2﹣（a﹣2）2，结果正确的是（　　） A．4 B．﹣4 C．4a﹣4 D．4a+4 4．一元二次方程x2﹣6x+9＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 5．如图，在五边形ABCDE中，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N．若∠1＝110°，∠B＝70°，∠BNM＝50°，则∠2的度数为（　　） A．130° B．140° C．150° D．120° 6．将二次函数y＝（x+1）2+4的图象先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，平移后所得图象的解析式是（　　） A．y＝（x﹣1）2+7 B．y＝（x﹣2）2+6 C．y＝（x+3）2+7 D．y＝（x+4）2+6 7．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．过点A作AH⊥EF于点H，连接CH，若AD＝6，DE＝2，则CH的长为（　　） A． B． C． D． 第7题 第8题 8．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，连接AO，CO，若∠AOC＝140°，则∠ABC的度数为（　　） A．70° B．110° C．120° D．140° 9. 随着人民生活质量的提高，全民健身运动深入人心，马拉松运动成为众多运动爱好者的选择．在一次马拉松比赛中，某时刻，甲落后乙40米，已知乙的平均配速为2.6米/秒．如果甲想再跑300米刚好追上乙，则甲接下来的平均配速为多少米/秒？设甲接下来的平均配速为x米/秒，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 10.随着学业水平考试的临近，某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理，绘制了如图所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），下列四个结论不正确的是（    ） A．共有名学生参加模拟测试 B．从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 C．第4月增长的“优秀”人数比第3月增长的“优秀”人数多 D．第4月测试成绩“优秀”的学生人数达到人 11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，，点E从A点出发，沿A﹣B﹣C的路径以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为x，△AED的面积为y，则y与x满足的函数关系为（　　） A．二次函数、二次函数 B．一次函数、一次函数 C．一次函数、二次函数 D．二次函数、一次函数 二、填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分） 12．分解因式：xy2+2xy+x＝　 　 ． 13．某商场销售一款运动鞋，其成本价为每双a元，按成本价提高40%标价，然后又八折出售，则这双运动鞋的售价为　 　 元． 14．某城市人民广场（如图）是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而驰名．甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入环岛，它们各自从A，B，C三个出口中随机选择一个出口驶出，则甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率是　 　 ． 15. 如图，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O切AC于点A，交BC于点D，则图中阴影部分（弧BD与线段BD围成的图形）的面积为　 　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共75分） 16. （5分）计算：． 17.（5分）解不等式组： 18.（5分）先化简，再求值：，其中a满足﹣3＜a＜3的整数． 19.(7分) 如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，3）． （1）求反比例函数与直线AB的表达式； （2）将直线AB向上平移5个单位长度后分别与x轴，y轴交于点D，E，连接DC．请直接写出△ACD的面积． 20.（7分）如图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头P的仰角∠APN、俯角∠BPN都为15°，摄像头高度OP＝150cm，识别的最远水平距离OQ＝120cm． （1）小玲站在离摄像头水平距离80cm点M处，恰好能被识别（头的顶部恰好在仰角线AP处），请问小玲的身高约为多少厘米？ （2）身高165cm的小婷，头部高度为16cm，当她直立站在离摄像头最远处点Q时，小婷能被摄像头识别吗？请说明理由．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27） 21.（7分）阅读与思考 下面是一篇数学材料，请认真阅读并完成相应的任务． 黄金分割数 一般地，若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段，且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，则这个点称为原线段的黄金分割点，这个相等的比值称为黄金分割数． 例如，如图1，点C为线段AB上一点，点C把线段AB分成AC和BC两段，其中AC＜BC．若线段AC，BC，AB之间的关系满足，则点C是线段AB的一个黄金分割点，k称为黄金分割数． 下面是求黄金分割数k的解答过程： 设AB＝1，BC＝x，则AC＝1﹣x， … 任务： （1）概念理解：根据材料可知，一条线段有　 　 个黄金分割点． （2）补全材料中求黄金分割数k的解答过程． （3）拓展应用：如图2，在线段AB上用无刻度的直尺和圆规求作一点C，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 22.（7分）为了提高同学们的安全意识，某校组织七、八年级学生开展了以“人人讲安全个个会应急”为主题的学习活动，并对此次学习结果进行了测试．调查小组从这两个年级中各随机抽取了相同数量学生的测试成绩（记为x，单位：分，分数为整数），并对这些数据分别进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．八年级学生测试成绩扇形图如图：b．如图中，80≤x＜90部分的成绩有：80，80，81，83，85，86，87，89． c．相关统计量如下： 平均数/分 中位数/分 众数/分 七年级 79.8 78 79 八年级 79.5 m 80 根据以上信息，解答下列问题： （1）此次调查中八年级的样本容量为　 　 ； （2）表中m＝　 　 ； （3）为了提高学生学习安全知识的积极性，学校决定对本次成绩不低于90分的学生进行奖励．已知该校八年级的学生人数为400，请估计八年级学生中可以获得奖励的人数； （4）结合相关统计量，你认为哪个年级的学生此次测试的成绩更好？请说明理由． 23.（7分）在⊙O中，已知AB为直径，点E是弧AD上一点，弦DE∥AB，且DE⊥CD．连BE交CD于点N，点P在CD的延长线上，PN＝PE． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）若CD＝8，BF＝2，求DE的长． 24.(8分) 已知抛物线y＝ax2﹣2x﹣3过点（3，0）． （1）求a； （2）若点A（m，y1），B（m﹣1，y2）都在该抛物线上，求y1﹣2y2的最大值； （3）若n＞﹣2，当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝ax2﹣2x﹣3的最大值与最小值的差为n+6，求n的值． 25.（8分）（1）如图1，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF，BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，在矩形ABCD中，，点E在DC边上，连接BE，F为BC延长线上一点，连接DF，EF，且BE的延长线垂直于DF，垂足为点H，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，平移线段DF，使它经过BE的中点H，交AD于点M，交BC于点N，连接NE，若，．求的值． 26.（9分）对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：如果点P为图形M上任意一点，点Q为图形N上任意一点，那么称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记作d(M,N)，特别地，当图形M与图形N存在公共点时，图形M，N的“近距离”为0．若图形M，N的“近距离”小于或等于1，则称图形M，N互为“可及图形” （1）正方形ABCD的顶点分别为：A(-1,1),B(-1,-1),C(1,-1),D(1,1) ①如果点E()，F(3,4)，那么d(E,正方形ABCD)= ____________，d(F,正方形ABCD)=____________． ②如果直线y=x+b 与正方形ABCD互为“可及图形”，求b的取值范围； （2）A(-5,-1),B(5,-1),C(0,4)，以G(t,0)为圆心，1为半径的☉G与△ABC互为可及图形，直接写出t的取值范围 图1 备用图 备用图 2 第2页 共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026兰州中考数学押题卷Ⅱ参考答案 快对答案: 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D C C B A A C B A D B 二、填空题 12 、x（y+1）2 13、 14、 15、 4π﹣8 三、解答题 16： 17：﹣1≤x＜5． 18：， 当a＝0时，原式， 当a＝2时，原式．（任取其一） 19： （1），y＝3x﹣3．； （2） 20: (1)171.6cm （2）能被摄像头识别；理由略 21：（1）2 （2）根据， 得， 则1﹣x＝x2， x2+x﹣1＝0， 解得，（负数舍去）， ∴； （3）答案不唯一 22：（1）20 （2）82 （3）100人 （4）八年级；理由略 23： （1）理由略 （2）6 24： （1）1 (2)6 （3）n＝﹣1或3或． 25：（1） BE与DF之间的关系为BE＝DF，BE⊥DF （2） （3） 26：（1）①，；②；（2） 详细解析： 一．选择题（本大题共11小题，每题3分，共33分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．﹣3，4，0，π四个数中，是无理数的是（　　） A．﹣3 B．4 C．0 D．π 【解答】解：﹣3，4，0都是整数，属于有理数，故A、B、C不符合题意． π是无限不循环小数，属于无理数，故D符合题意． 故选：D． 2. ．根据发改委数据，2025年1﹣8月，全国共有3.3亿人次申领消费品以旧换新补贴，带动相关商品销售额超2万亿元．数据“3.3亿”用科学记数法表示为（　　） A．33×107 B．0.33×109 C．3.3×108 D．3.3×109 【解答】解：3.3亿＝3.3×108， 故选：C． 3. 化简a2﹣（a﹣2）2，结果正确的是（　　） A．4 B．﹣4 C．4a﹣4 D．4a+4 【解答】解：原式＝a2﹣（a2﹣4a+4） ＝a2﹣a2+4a﹣4 ＝4a﹣4． 故选：C． 4. 一元二次方程x2﹣6x+9＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【解答】解：一元二次方程x2﹣6x+9＝0中， ∵a＝1，b＝﹣6，c＝9， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×9＝0， ∴这个一元二次方程有两个相等的实数根． 故选B 5. 如图，在五边形ABCDE中，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N．若∠1＝110°，∠B＝70°，∠BNM＝50°，则∠2的度数为（　　） A．130° B．140° C．150° D．120° 【解答】解：∵∠B＝70°，∠1＝110°， 即∠1+∠B＝180°， ∴AE∥BC， ∵∠BNM＝50°， ∴若∠1＝110°，∠B＝70°，∠BNM＝50°，则∠2＝180°﹣∠BNM＝130°． 故选：A． 6. 将二次函数y＝（x+1）2+4的图象先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，平移后所得图象的解析式是（　　） A．y＝（x﹣1）2+7 B．y＝（x﹣2）2+6 C．y＝（x+3）2+7 D．y＝（x+4）2+6 【解答】解：∵原二次函数解析式为 y＝（x+1）2+4，根据二次函数图象的平移法则可知： 将图象先向上平移3个单位长度，根据“上加”的规律得y＝（x+1）2+4+3＝（x+1）2+7， 再将得到的图象向右平移2个单位长度，根据“右减”的规律对自变量x变换得： y＝（x﹣2+1）2+7＝（x﹣1）2+7， ∴平移后所得图象的解析式为 y＝（x﹣1）2+7． 故选：A． 7如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．过点A作AH⊥EF于点H，连接CH，若AD＝6，DE＝2，则CH的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置， ∴AE＝AF，DE＝BF＝2， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC＝BC＝6，∠BCD＝90°， ∴CE＝DC﹣DE＝4，CF＝BC+BF＝8， 由勾股定理得EF， ∵AE＝AF，AH⊥EF， ∴EH＝FH，即点H是EF的中点， ∴CH， 故选：C 8. 如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，连接AO，CO，若∠AOC＝140°，则∠ABC的度数为（　　） A．70° B．110° C．120° D．140° 【解答】解：∵∠AOC与∠ADC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠AOC＝140°， ∴， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝110°． 故选：B． 9. 随着人民生活质量的提高，全民健身运动深入人心，马拉松运动成为众多运动爱好者的选择．在一次马拉松比赛中，某时刻，甲落后乙40米，已知乙的平均配速为2.6米/秒．如果甲想再跑300米刚好追上乙，则甲接下来的平均配速为多少米/秒？设甲接下来的平均配速为x米/秒，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，得． 故选：A． 10.随着学业水平考试的临近，某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理，绘制了如图所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），下列四个结论不正确的是（    ） A．共有名学生参加模拟测试 B．从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 C．第4月增长的“优秀”人数比第3月增长的“优秀”人数多 D．第4月测试成绩“优秀”的学生人数达到人 【详解】解：A、名，即选项A正确，但不符合题意； B、由图可得，第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长，即选项B正确，但不符合题意； C、第4月增长的“优秀”人数比例为，第3月增长的“优秀”人数比例为，即第4月增长的“优秀”人数比第3月增长的“优秀”人数多，即选项C正确，但不符合题意； D、第4月测试成绩“优秀”的学生人数为：（人），即选项D不正确，符合题意； 故选：D． 11. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，，点E从A点出发，沿A﹣B﹣C的路径以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为x，△AED的面积为y，则y关于x的函数图象为（　　） A．二次函数、二次函数 B．一次函数、一次函数 C．一次函数、二次函数 D．二次函数、一次函数 【解答】解析：∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3， ∴AC＝5， ∵， ∴AD＝3，DC＝2， 设点E的运动时间为x， 当点E在线段AB上即0＜x≤4时，如图1，过点D作DF⊥AB交AB于点F， ∵sinA， ∴， ∴， ∴， ∴yx， ∴函数图象为y随x的增大而增大的一条线段； 当4＜x＜7时，如图2，过点E作EF⊥AC交AC于点F， ∵sinC，EC＝4+3﹣x＝7﹣x， ∴， ∴ ∴S△ADEAD•EF3（7﹣x）x， ∴yx， ∴函数图象为y随x的增大而减小的一条线段， 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分） 12. 分解因式：xy2+2xy+x＝x（y+1）2 ． 【解答】解：原式＝x（y2+2y+1）＝x（y+1）2． 故答案为：x（y+1）2． 13. 某商场销售一款运动鞋，其成本价为每双a元，按成本价提高40%标价，然后又八折出售，则这双运动鞋的售价为　1.12a 元． 【解答】解：由题意可知，成本价为a元， 按成本价提高40%后的标价为：a（1+40%）＝1.4a， 八折出售后的售价为：1.4a×0.8＝1.12a， 故答案为：1.12a． 14. 某城市人民广场（如图）是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而驰名．甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入环岛，它们各自从A，B，C三个出口中随机选择一个出口驶出，则甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率是　　 ． 【解答】解：由题意得，可画树状图为： 甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果数有3种，由树状图可知一共有9种等可能性的结果数， ∴甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率是． 故答案为：． 15. ．如图，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O切AC于点A，交BC于点D，则图中阴影部分的面积为　4π﹣8　 ． 【解答】解：连接OD，如图， ∵AB＝AC＝8，∠BAC＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形，且∠B＝45°， ∴∠AOD＝2∠B＝90°， ∴∠BOD＝90°， ∵， 扇形BOD的面积为， △BOD的面积为， ∴S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD＝4π﹣8， 故答案为：4π﹣8． 三、解答题（本大题共11小题，共75分） 16.（5分）计算：． 【解答】解：原式 ＝4． 17. （5分）解不等式组：． 【解答】解：， 解9x+1≥5x﹣3得：x≥﹣1； 解x﹣2得：x＜5； ∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜5． 18. （5分）先化简，再求值：，其中a满足﹣3＜a＜3的整数． 【解答】解： ， ∵分式有意义， ∴a+2≠0，a+1≠0，a﹣1≠0， ∴a≠﹣2，a≠﹣1，a≠1， ∵a满足﹣3＜a＜3的整数， ∴a的值可以为0或2， ∴当a＝0时，原式， 当a＝2时，原式． 19. （7分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，3）． （1）求反比例函数与直线AB的表达式； （2）将直线AB向上平移5个单位长度后分别与x轴，y轴交于点D，E，连接DC．请直接写出△ACD的面积． 【解答】解：（1）由条件可知． ∴k＝6． ∴反比例函数的表达式为(x>0)， 设直线AB的表达式为y＝mx+n，由条件可得， 解得． ∴直线AB的表达式为y＝3x﹣3． （2）∵直线AB向上平移5个单位长度后分别与x轴，y轴交于点D，E， ∴直线DE的解析式为：y＝3x﹣3+5＝3x+2， 当y＝0时，3x+2＝0， 解得：， ∴， ∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，3）． ∴， ∴． 20.（7分） 如图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头P的仰角∠APN、俯角∠BPN都为15°，摄像头高度OP＝150cm，识别的最远水平距离OQ＝120cm． （1）小玲站在离摄像头水平距离80cm点M处，恰好能被识别（头的顶部恰好在仰角线AP处），请问小玲的身高约为多少厘米？ （2）身高165cm的小婷，头部高度为16cm，当她直立站在离摄像头最远处点Q时，小婷能被摄像头识别吗？请说明理由．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27） 【解答】解：（1）如图，过M作OQ的垂线分别交仰角线，俯角线于点E，D，交水平线于点F， 由题意知∠POQ＝∠OPF＝∠FMO＝90°， ∴四边形POMF是矩形， ∴PF＝OM＝80cm，MF＝OP＝150cm， 在Rt△PEF中，，∠EPF＝15°， ∴EF＝PF•tan15°＝80×tan15°≈21.6（cm）， ∴ME＝MF+EF＝150+21.6≈171.6（cm）， 答：小玲的身高约是171.6厘米； （2）小婷能被摄像头识别，理由如下： 如图，过Q作OQ的垂线分别交仰角线，俯角线于点C，G，交水平线于点H， 由（1）可知四边形POQH是矩形， ∴PH＝OQ＝120（cm），QH＝OP＝150（cm）， ∵在Rt△PCH中，，∠CPH＝15°， ∴CH＝PH•tan15°＝120×tan15°≈32.4（cm）， 同理GH＝PH•tan∠GPH＝PH•tan15°＝120×tan15°≈32.4（cm）， ∴GQ＝QH﹣GH＝150﹣32.4＝117.6（cm）， CQ＝QH+CH＝150+32.4＝182.4（cm）， ∴小婷头部以下的高度为：165﹣16＝149（cm）， ∵149cm＞117.6cm，且小婷身高165cm＜182.4cm， ∴小婷整个头部都在摄像头视角范围内， ∴小婷能被摄像头识别． 21.（7分）阅读与思考 下面是一篇数学材料，请认真阅读并完成相应的任务． 黄金分割数 一般地，若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段，且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，则这个点称为原线段的黄金分割点，这个相等的比值称为黄金分割数． 例如，如图1，点C为线段AB上一点，点C把线段AB分成AC和BC两段，其中AC＜BC．若线段AC，BC，AB之间的关系满足，则点C是线段AB的一个黄金分割点，k称为黄金分割数． 下面是求黄金分割数k的解答过程： 设AB＝1，BC＝x，则AC＝1﹣x， … 任务： （1）概念理解：根据材料可知，一条线段有　2　 个黄金分割点． （2）补全材料中求黄金分割数k的解答过程． （3）拓展应用：如图2，在线段AB上用无刻度的直尺和圆规求作一点C，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【解答】解：（1）根据材料可知，一条线段有2个黄金分割点， 故答案为：2； （2）根据， 得， 则1﹣x＝x2， x2+x﹣1＝0， 解得，（负数舍去）， ∴； （3）如图，点C即为所求．（答案不唯一） 22.（7分）为了提高同学们的安全意识，某校组织七、八年级学生开展了以“人人讲安全个个会应急”为主题的学习活动，并对此次学习结果进行了测试．调查小组从这两个年级中各随机抽取了相同数量学生的测试成绩（记为x，单位：分，分数为整数），并对这些数据分别进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．八年级学生测试成绩扇形图如图：b．如图中，80≤x＜90部分的成绩有：80，80，81，83，85，86，87，89． c．相关统计量如下： 平均数/分 中位数/分 众数/分 七年级 79.8 78 79 八年级 79.5 m 80 根据以上信息，解答下列问题： （1）此次调查中八年级的样本容量为　20　 ； （2）表中m＝　82　 ； （3）为了提高学生学习安全知识的积极性，学校决定对本次成绩不低于90分的学生进行奖励．已知该校八年级的学生人数为400，请估计八年级学生中可以获得奖励的人数； （4）结合相关统计量，你认为哪个年级的学生此次测试的成绩更好？请说明理由． 【解答】解：（1）∵80≤x＜90部分的成绩有：80，80，81，83，85，86，87，89， ∴依题意，8÷（1﹣25%﹣15%﹣20%）＝20， ∴此次调查中八年级的样本容量为20， 故答案为：20； （2）∵八年级的成绩按从低到高进行排列，中位数位于第10，11名之间，且（15%+20%）×20＝7， ∴第10，11名的成绩分别是81分，83分， ∴表中中位数， 故答案为：82； （3）依题意，400×25%＝100（人）． 答：估计八年级学生中可以获得奖励的人数为100人． （4）八年级的学生此次测试的成绩更好．理由如下： 由（2）得m＝82， ∵82＞78，80＞79 即从中位数和众数上看，八年级学生的测试成绩都高于七年级， ∴八年级的学生此次测试的成绩更好． 23.（7分）在⊙O中，已知AB为直径，点E是弧AD上一点，弦DE∥AB，且DE⊥CD．连BE交CD于点N，点P在CD的延长线上，PN＝PE． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）若CD＝8，BF＝2，求DE的长． 【解答】（1）证明：连接OE， ∵PN＝PE， ∴∠PEN＝∠PNE＝∠BNF， ∵OE＝OB， ∴∠OEB＝∠OBE． ∵AB⊥CD， ∴∠OBE+∠BNF＝90°， ∴∠OEB+∠PEN＝90°， 即∠OEP＝90°， ∴PE⊥OE， ∵OE是半径， ∴PE是⊙O的切线； （2）解：连接CE， ∵AB⊥CD，DE∥AB， ∴∠EDC＝90°， ∴CE为⊙O的直径． ∵AB⊥CD， ∴， 设⊙O的半径为x， ∴OF＝x﹣2， ∵CF2+OF2＝OC2， ∴42+（x﹣2）2＝x2， 解得x＝5， ∴CE＝2x＝10． ∴． 24.（8分）已知抛物线y＝ax2﹣2x﹣3过点（3，0）． （1）求a； （2）若点A（m，y1），B（m﹣1，y2）都在该抛物线上，求y1﹣2y2的最大值； （3）若n＞﹣2，当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝ax2﹣2x﹣3的最大值与最小值的差为n+6，求n的值． 【解答】解：（1）代入（3，0）， 得9a﹣6﹣3＝0， 解得a＝1； （2）由（1）可得抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3， ∵点A（m，y1），B（m﹣1，y2）都在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上， ，， ∴， ∴当m＝3时，y1﹣2y2的最大值为6； （3）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上， ∴当﹣2≤n≤1时，当x＝﹣2时，最大值（﹣2﹣1）2﹣4＝9﹣4＝5，最小值＝n2﹣2n﹣3， 当n≥1时，最小值为﹣4（当 x＝1 时），最大值为5或 n2﹣2n﹣3， 当n＞4时，最大值＝n2﹣2n﹣3，当x＝1时，最小值＝﹣4， 依题意n2﹣2n﹣3+4＝n+6， 解得或（舍去）， 依题意，5﹣（n2﹣2n﹣3）＝n+6， 化简得n2﹣n﹣2＝0， 解得n＝﹣1或n＝2（舍去）， 故n＝﹣1； 当1≤n＜4 时，最大值为5，差为5﹣（﹣4）＝9， 即n+6＝9，解得n＝3， 综上n＝﹣1或3或． 25.（8分）（1）如图1，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF，BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，在矩形ABCD中，，点E在DC边上，连接BE，F为BC延长线上一点，连接DF，EF，且BE的延长线垂直于DF，垂足为点H，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，平移线段DF，使它经过BE的中点H，交AD于点M，交BC于点N，连接NE，若，．求 的长． 【解答】解：（1）BE与DF之间的关系为BE＝DF，BE⊥DF，理由如下： 延长BE交DF于M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DCF＝∠C＝90°，BC＝CD， 在△BCE和△DCF中， ∴△BCE≌△DCF（SAS）， ∴BE＝DF，∠CBE＝∠CDF， ∵∠CDF+∠F＝90°， ∴∠CBE+∠F＝90°， ∴∠BMF＝90°， ∴BE⊥DF； （2）∵BH⊥DF， ∴∠CBH+∠DFC＝90°． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DCF＝∠BCD＝90°，AB＝CD， ∴∠CBE+∠BEC＝90°， ∴∠BEC＝∠DFC， ∴△BCE∽△DCF， ∴， ∵，AB＝CD， ∴． （3）∵平移线段DF，使它经过BE的中点H， ∴MN∥DF，MN＝DF， ∵，， ∴， ∵点H为BE的中点， ∴MN垂直平分BE， ∴BN＝NE， ∵∠BHN=∠BCE=90°，∠HBN=∠EBC ∴△BHN∽△BCE， ∴ ∴ ∴NE=BN=5 ∴NC=3 在Rt△NCE中， CE=4 ∴， 26.（9分）对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：如果点P为图形M上任意一点，点Q为图形N上任意一点，那么称线段长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记作，特别地，当图形M与图形N存在公共点时，图形M，N的“近距离”为0．若图形M，N的“近距离”小于或等于1，则称图形M，N互为“可及图形” 若图形M为边长等于2的正方形ABCD，其对角线的交点记为正方形的中心G． （1）当正方形ABCD的顶点分别为：，，， ①如果点，，那么____________，____________． ②如果直线 与正方形ABCD互为“可及图形”，求b的取值范围； （2）A(-5,-1),B(5,-1),C(0,4)，以G(t,0)为圆心，1为半径的☉G与△ABC互为可及图形，直接写出t的取值范围 （1）①，；②；（2） 【详解】解：（1）①∵正方形ABCD，，，，，，， ∴AD∥x轴， ∴点与AD的最近距离为：，即 ， 如图，连接DF，由图可知：点F与正方形ABCD的最近距离就是DF的长， ∴DF=，即：． 故答案是：，； ②如图，设直线与x轴、y轴的交点分别是H，K，线段HK的中点为Q，连接AQ，则AQ就是直线 与正方形ABCD的近距离， ∵H（-b，0），K（0，b）， ∴Q（，） ∴当AQ=1时，，解得：，， 同理，当直线与y轴交于负半轴时，线 与正方形ABCD的近距离为1时，， ∴直线 与正方形ABCD互为“可及图形”，b的取值范围为：； （2） 【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合，根据题意，画出图形，掌握正方形和一次函数图像的性质，理解“图形近距离”的定义，是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $