2026年甘肃兰州中考数学押题卷Ⅰ

**基本信息** 结合甘肃新能源装机、地区生产总值等地方经济数据与传统陀螺、正八边形窗户等文化情境，覆盖数与代数、图形与几何、统计与概率核心知识，梯度设计适配中考模拟预测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/33|相反数、科学记数法、位似图形|以甘肃新能源装机量（8041.56万千瓦）考查科学记数法，体现地方数据| |填空题|4/12|因式分解、矩形性质、概率估计|用柑橘损坏率统计数据估计概率，培养数据意识| |解答题|11/75|函数综合、几何证明、动态探究|设计黄金矩形折纸实践与动点三角形面积函数图象题，发展几何直观与创新意识|

2026兰州中考数学押题卷Ⅰ参考答案 快对答案: 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A B C D B C B A A D C 二、填空题 12、 4（m+2）（m﹣2） 13、　 14、0.1 15 、4π﹣6　 三、解答题 16： 17：． 18：； 当a＝2时， 原式． 19：（1），y＝x+1； （2）﹣3＜x＜0或x＞2； （3） 20:(1)140米 （2）28米/秒＝100.8千米/时＜120千米/时， 小汽车在BC段行驶时没有超速． 21：（1）略 （2） 22：（1）D组的频数为：50﹣2﹣6﹣14﹣10＝18 中位数位于D组 （2）天天的排名更靠前 （3）336人 23：（1）-3 （2）①y＝﹣x2+3x；②略 24：（1）略 （2）． 25：（1）△BAP≌△CAQ，2 （2）∠ABC＝∠ACQ （3）130 26：（1）1、 （2）3、 （3）t≥-1+2或t≤-3 详解参考答案： 一．选择题（本大题共11小题，每题3分，共33分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，﹣2026的相反数是（　　） A．2026 B． C．﹣2026 D． 【解答】解：﹣2026的相反数是2026． 故选：A． 2.陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图是一个木制陀螺（上面是圆柱体，下面是圆锥体），观察这个物体，则它的左视图是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可知，木制陀螺的左视图为：． 故选：B． 3. 国网甘肃省电力公司最新统计数据显示，截至2025年12月底，甘肃新能源装机总量突破8000万千瓦，达8041.56万千瓦，同比增长24.9%，新能源装机占全省电源装机总量比重超64%，甘肃新能源已从“补充电源”跃升为“主体电源”，8041.56万可以用科学记数法表示为（　　）. A．8.04156×106 B．8.4156×107 C．8.04156×107 D．0.804156×107 【解答】解：8041.56万＝8.04156×107 故选：C． 4. 化简的结果是（　　） A．x+2 B．x C．x﹣1 D．x﹣2 【解答】解：原式 ＝x﹣2， 故选：D． 5. 我国古代园林连廊常采用八边形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的每一个外角的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【解答】解：∵正八边形的8个外角都相等，任意多边形的外角和为360°， ∴正八边形的每一个外角的度数为． 故选：B． 6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O．若点A（2，1）的对应点为D（4，2），则△ABC与△DEF的面积比为（　　） A．1：2 B．1：8 C．1：4 D．1：16 【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O， 又∵点A（2，1）的对应点为D（4，2）， ∴△ABC与△DEF的面积比为1：4， 故选：C． 7.若点A（x1，﹣4），B（x2，2），C（x3，5）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x3＜x1＜x2 B．x1＜x3＜x2 C．x1＜x2＜x3 D．x2＜x3＜x1 【解答】解：∵中，2＞0， ∴图象在一、三象限，在各象限，y随x的增大而减小， ∵0＜2＜5，﹣4＜0， ∴0＜x3＜x2，x1＜0， ∴x1＜x3＜x2． 故选：B． 8.随着我国高端制造业、数字经济和新兴技术领域的快速发展，其用电需求持续增长．2025年，中国成为全球首个年用电量突破10万亿千瓦时的国家．2023年用电量约为9.2万亿千瓦时，2025年用电量约为10万亿千瓦时，设用电量的年平均增长率为x．根据题意，下列方程正确的是（　　） A．9.2（1+x）2＝10 B．9.2（1﹣x）2＝10 C．9.2（1+2x）＝10 D．9.2x2＝10 【解答】解：根据题意得：9.8（1+x）2＝10． 故选：A． 9.如图，矩形纸片ABCD中，AD＝4，AB＝8，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点F，若DF＝3，则AF的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°， ∵把矩形ABCD沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点F，且AD＝4，DF＝3， ∴AF5， 故选：A． 10. 2025年，在甘肃省委、省政府的坚强领导下，全省上下坚持以习近平新时代中国特色社会主义思想为指导，深入学习贯彻党的二十大和二十届历次全会精神，全省经济运行保持了稳中有进、向上向好的良好态势，顺利完成全年目标任务。初步核算，全年全省地区生产总值13697.5亿元，比上年增长5.8%。其中，第一产业增加值1773.0亿元，增长5.5%；第二产业增加值4558.2亿元，增长6.7%；第三产业增加值7366.3亿元，增长5.3%。第一产业增加值占地区生产总值比重为12.9%，第二产业增加值比重为33.3%，第三产业增加值比重为53.8%。按常住人口计算，全年人均地区生产总值55897元，比上年增长6.2%。根据2021-2025全省地区生产总值及其增长速度，下列说法不正确的有（ ） A．2021-2025年全省生产总值持续增长 B．2021-2025年全省生产总值累计超61000亿元 C．预计2026年全省地区生产总值超14400亿元 D．2023年到2024年生产总值增长速度降低，因此2024年全省生产总值比2023年少 【解答】解：根据全省2021-2025生产总值及其增长速度， 2023年到2024年生产总值增长速度降低，但是增长速度仍为正数，而且，2024全省生产总值为13020.5亿元，2023年全省生产总值为12345.7亿元，因此2024年全省生产总值比2023年多 故选：D． 11. 如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，动点P，Q同时从点B出发，动点P以每秒1个单位的速度沿线段BA运动到点A停止，动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线B﹣C﹣D运动到点D停止．设运动时间为ts，△DPQ的面积为S，则S与t的函数图象应为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：①当点Q在BC上运动时，即0≤t≤1时， 过点P作PM⊥BC于点M，交AD于点N，则PN⊥AD， ∴∠NMB＝∠N＝90°， 由题意得：BP＝t，BQ＝2t， ∴AP＝2﹣t， ∵∠B＝60°， ∴∠BPM＝30°， ∴PMt，∠APN＝30°， ∴PN（2﹣t）， ∴MN＝PM+PN， ∴S△DPQ＝S菱形ABCD﹣S△BPQ﹣S△APD﹣S△QCD ＝22t•t2（2﹣t）（2﹣2t） ＝2t2tt t2t， ∴函数图象是开口向下的二次函数图象； ②当点Q在CD上时， S△DPQ（4﹣2t）2t， ∴函数图象为y随x的增大而减小的一次函数， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分） 12.分解因式：4m2﹣16＝　4（m+2）（m﹣2）　 ． 【解答】解：原式＝4（m2﹣4）＝4（m+2）（m﹣2）． 故答案为：4（m+2）（m﹣2）． 13.如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，过点D作DE⊥AC于点E，若∠ODE＝2∠ADO，DE＝1，则BD＝　　 ． 【解答】解：在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，则， 设∠ADO＝x，则∠DAO＝∠ADO＝x，∠ODE＝2∠ADO＝2x， 在Rt△ADE中，∠DAO+∠ADO+∠ODE＝4x＝90°， 解得x＝22.5°， ∴∠ODE＝2x＝45°， 在Rt△ODE中，∠OED＝∠ODE＝45°，则OE＝DE＝1， ∴由勾股定理可得， ∴， 故答案为：． 14.某水果公司从一批柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，部分数据记录如下： 柑橘总质量/kg 100 150 200 250 300 350 400 450 500 损坏柑橘质量/kg 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54 柑橘损坏的频率 0.105 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103 则由此可以估计这批柑橘损坏的概率为　0.1　 ．（结果保留小数点后一位） 【解答】解：根据表中的损坏的频率，当实验次数的增多时，柑橘损坏的频率越来越稳定在0.1左右， 所以由此可以估计这批柑橘损坏的概率为0.1． 故答案为：0.1． 15. 如图，分别以正六边形ABCDEF的顶点A，C，E为圆心、边长为半径作弧，构成了阴影部分的“三叶草”图案．若该正六边形的边长是2，则“三叶草”的面积是 　4π﹣6　 ． 【解答】解：连接OB，OD，OC， ∵正多边形ABCDEF是正六边形， ∴∠COB＝60°，∠BCD＝120°， ∵OB＝OC， ∴△BOC是等边三角形， ∴OB＝OC＝BC＝2， 同理OD＝CD＝2， ∴OB＝BC＝OD＝CD， ∴四边形BCDO是菱形， 过O作OH⊥CD于H， ∴CH， ∴OH， ∴“三叶草”的面积＝3×（扇形BCD的面积-菱形BCDO的面积）＝3×（2）＝4π﹣6， 故答案为：4π﹣6． 三、解答题（本大题共11小题，共75分） 16. （5分）计算：． 【解答】解：原式． 17. （5分）解方程组：． 【解答】解：， ①+②，得6x＝12， 解得x＝2， 把x＝2代入①，得2×2+y＝3， 解得y＝﹣1， 所以方程组的解是． 18. （5分）先化简，再求值：，其中a＝2． 【解答】解：原式• • ； 当a＝2时， 原式． 19. （7分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（2，3）和点B（﹣3，n）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）设直线AB与x轴交于点C，求△AOC的面积． 【解答】解：（1）由条件可得：m＝2×3＝6， ∴反比例函数的解析式为， ∴， ∴B（﹣3，﹣2）， 将点A（2，3），B（﹣3，﹣2）代入直线y＝kx+b中得： ， 解得， ∴一次函数的解析式为y＝x+1； （2）由图象可知，不等式的解集是﹣3＜x＜0或x＞2； （3）设y＝x+1与x轴交于点C， 令y＝0，得0＝x+1， 解得x＝﹣1， ∴OC＝1， ∴． 20.（7分） “珍爱生命，远离超速”．如图，某条东西走向的高速公路，车辆限速为120千米/时，在道路旁边的点A处建一个监测点，测得点A到公路的距离AO＝60米．当一辆小汽车行驶到点B处时，测得小汽车在监测点A的南偏西53°方向，5秒后，小汽车匀速行驶到点C处，此时，测得小汽车在监测点A的东南方向．（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°） （1）求BC段的长度（结果保留整数）； （2）判断小汽车在BC段行驶时是否超速，并说明理由． 【解答】解：（1）在Rt△ABO中，∠BAO＝53°，AO＝60米， ∴tan∠BAO，即tan53°， ∴BO＝60•tan53°≈6080（米）， 在Rt△ACO中，∠CAO＝45°， ∴∠ACO＝∠CAO＝45°， ∴CO＝AO＝60米， ∴BC＝BO+CO＝80+60＝140（米）， 答：BC段的长度约为140米； （2）小汽车没有超速；理由如下： 小汽车行驶的速度v28（米/秒）， ∵28米/秒＝100.8千米/时＜120千米/时， ∴小汽车在BC段行驶时没有超速． 21.（7分）综合与实践： 已知宽与长的比是：（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．某数学兴趣小组对如何用折纸或尺规作图的方法得到黄金矩形进行了探索． 实验操作： 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线DF，并把DF折到图3中FN处； 第四步：如图4，展开纸片，按照所得的点N折出NP，得到矩形CDPN． 问题解决： （1）求证：矩形CDPN是黄金矩形； （2）在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：“也可以用无刻度的直尺和圆规在图2中作出黄金矩形CDPN．”请你根据嘉嘉的想法作出图形（保留作图痕迹，不写作法）； 拓展延伸： 淇淇同学发现，在图4中还有一个黄金矩形，但她说不出理由，请你帮她找出来并证明． 【解答】（1）证明：由操作过程可知，CD＝BC＝2CF， 设CF＝k，则CD＝2k， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∴矩形CDPN是黄金矩形． （2）解：作图如图． 22.（7分）2026年是“十五五”开局之年，做好“三农”工作至关重要．为让学生深入了解我国农业相关情况，某校开展了农业知识科普活动，有“农业政策知多少”知识竞赛和“农业科技大讲堂”观后感这两个项目，每个项目都有一个得分，竞赛和观后感的得分按6：4的比例确定个人总分．活动后随机抽取了50名学生的个人总分（满分100分，成绩用x表示，单位：分），将个人总分分成五组（A．50≤x＜60；B.60≤x＜70；C.70≤x＜80；D．80≤x＜90；E.90≤x≤100），并绘制成如图所示不完整的频数分布直方图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图，所抽取学生个人总分的中位数落在D 组； （2）所抽取学生中，明明的竞赛得分和观后感得分分别为80分和95分，天天的竞赛得分和观后感得分分别为85分和90分．将个人总分从高到低排列，请通过计算判断明明和天天谁的排名更靠前； （3）若有600名学生参加此次活动，请估计个人总分在80分及以上的学生人数． 【解答】解：（1）D组的频数为：50﹣2﹣6﹣14﹣10＝18，补全频数分布直方图如下： 由统计图可知，所抽取学生个人总分的中位数落在D组， 故答案为：D； （2）明明个人总分：80×0.6+95×0.4＝86， 天天个人总分：85×0.6+90×0.4＝87， ∵87＞86， ∴天天的排名更靠前； （3）， ， 所以216+120＝336 （人） 答：估计个人总分在80分及以上的学生人数为336人． 23.（7分）已知，二次函数y＝ax2+bx（a、b为常数，a≠0）的图象过点A（1，t）、B（2，t）． （1）求的值； （2）若二次函数y＝ax2+bx的最大值为， ①求该函数的表达式； ②若M（x1，m），N（x2，n）为该二次函数图象上的不同两点，m≠0，且，求证：m＝n． 【解答】解：（1）二次函数y＝ax2+bx的图象的对称轴为直线x， ∵点A（1，t），B（2，t）在该函数的图象上， ∴2﹣（）1， ∴， ∴3； （2）①由（1）可得， ∵b＝﹣3a， ∴该函数的表达式为y＝ax2﹣3ax， ∴函数图象的顶点坐标为（，a）， ∵二次函数y＝ax2+bx的最大值为， ∴a＜0，且a＝3a2， 解得a＝﹣1或a＝4（舍去）， ∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2+3x； ②证明：∵点M（x1，m）在函数y＝﹣x2+3x的图象上， ∴， ∵m≠0， ∴ ， ∴x1+x2﹣3＝0，即x1+x2＝3， 不妨设x1＜x2， ∴， ∵该抛物线的对称轴为 ∴m＝n． 24.（8分） 如图，在△ABF中，AB＝AF，AC⊥BF于点C，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点E，点D为AB的中点，连接CD，OD． （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）若BC＝6，CD＝5，求OD的长． 【解答】（1）证明：连接OE，过O作OG⊥AF于点G， ∵AB切⊙O于点E，OE为半径， ∴OE⊥AB， ∵AB＝AF，AC⊥BF， ∴AC平分∠BA， ∴OE＝OG， ∴O到AF的距离OG等于半径OE， ∴AF是⊙O的切线； （2）解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°， ∵D为AB的中点， ∴， ∴AB＝10， 在Rt△ACB中，， ∵AC⊥BF，OE⊥AB， ∴∠OEA＝∠ACB＝90°， ∴， ∴设AE＝4x，OE＝3x，则AO＝5x， ∴OC＝8﹣5x， ∵OC＝OE， ∴8﹣5x＝3x， ∴x＝1， ∴OE＝3，AE＝4， ∴ED＝AD﹣AE＝5﹣4＝1， ∴． 25.（8分）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： 【问题发现】（1）如图①，在等边△ABC中，点P是边BC上一点，且BP＝2，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ，发现有一对全等三角形　△BAP≌△CAQ ；可得：∠ABC＝∠ACQ，CQ的长为　2　 ； 【问题提出】（2）如图②，在等腰△ABC中，AB＝BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP＝PQ，∠APQ＝∠ABC，连接CQ，请问∠ABC与∠ACQ是否仍然相等？请说明理由； 【问题解决】（3）如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF，点Q是正方形APEF的对称中心，连接CQ．若正方形APEF的边长为8，CQ＝3，求正方形ADBC的边长． 【解答】解：（1）∵△ABC与△APQ都是等边三角形， ∴AB＝AC，AP＝AQ，∠BAC＝∠PAQ＝60°， ∴∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠CAQ， ∴∠BAP＝∠CAQ， 在△BAP 和△CAQ中， ∴△BAP≌△CAQ（SAS）， ∴CQ＝BP＝2； 故答案为：△BAP≌△CAQ，2； （2）∠ABC＝∠ACQ． 证明：在等腰△ABC中，AB＝BC， ∴， 在等腰△APQ中，AP＝PQ， ∴， ∵∠APQ＝∠ABC， ∴∠BAC＝∠PAQ． ∴△BAC∽△PAQ． ∴． ∵∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠CAQ， ∴∠BAP＝∠CAQ． ∴△BAP∽△CAQ． ∴∠ABC＝∠ACQ． （3）如图③，连接AB， ∵四边形ADBC是正方形， ∴，∠BAC＝45°， ∵点Q是正方形APEF的对称中心， ∴，∠PAQ＝45°， ∴∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠CAQ． ∴∠BAP＝∠CAQ． ∵， ∴△ABP∽△ACQ． ∴,∠ACQ=∠ABP=45° ∵， ∴CQ＝， 连接BQ,过Q作BC的垂线交BC的延长线于点H, ∴∠QCH=45°， ∴CH=QH=3 在Rt△BHQ中 BQ== 26.（9分）在平面直角坐标系中，对于点P和线段AB（点P不在线段AB上）给出如下定义：Q为线段AB上任意一点，如果线段PQ的长度有最小值，那么称这个最小值为点P与线段AB的“近距”；如果线段PQ的长度有最大值，那么称这个最大值为点P与线段AB的“远距”． （1）如图1，点A（0，2），点B（0，﹣2），点P（1，0），则点P与线段AB的近距为　1　 ，点P与线段AB的远距为　　 ； （2）如图2，点A（﹣1，0），点B（4，0），点C（2，3）．过点C作MN∥AB．若点P在直线MN上，当点P和线段AB的近距小于5时，求点P和线段AB的远距的最大值和最小值； （3）点A（-1，0），点B（4，5），点P为以T(t,0)为圆心，半径为1的上，，若点P与线段AB的近距大于等于1时，请直接写出t的取值范围． 【解答】解：（1）由图可知，点P与线段AB的近距为PO＝1，点P与线段AB的远距为PA或PB， 所以PA＝PB； 故答案为：． （2）根据题意可知，点P和线段AB的近距小于5，且点P在直线MN上， 由图可知，当P1（﹣5，3）和 P2（8，3）时， ∴此时P1B或P2A的长为远距的最大值，且P1B＝P2A， 最大值为P1B， 当点P到线段AB距离相等时，可得远距的最小值， ∴此时P点横坐标为线段AB中点的横坐标，即P（，3），此时PB＝PA， ∴远距最小值为PB， 故答案为：，． （3）当圆在线段AB右侧时，过T作线段的垂线，垂线最短，此时t=-1+2 当圆在线段AB左侧时，AT与圆的交点处最短，此时t=-3 故t≥-1+2或t≤-3 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/11 8:58:27；用户：绘学B区资料下载；邮箱：15693311191；学号：65108399 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2 绝密★启用前 2025-2026年兰州中考数学终极押题卷Ⅰ 注意事项： 1.全卷共120分，考试时间120分钟. 2.考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填涂在答题卡上. 3.请将答案正确填写在答题卡的相应位置上. 一．选择题（本大题共11小题，每题3分，共33分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，﹣2026的相反数是（　　） A．2026 B． C．﹣2026 D． 2．陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图是一个木制陀螺（上面是圆柱体，下面是圆锥体），观察这个物体，则它的左视图是（　　） A． B． C． D． 3．国网甘肃省电力公司最新统计数据显示，截至2025年12月底，甘肃新能源装机总量突破8000万千瓦，达8041.56万千瓦，同比增长24.9%，新能源装机占全省电源装机总量比重超64%，甘肃新能源已从“补充电源”跃升为“主体电源”，8041.56万可以用科学记数法表示为（　　）. A．8.04156×106 B．8.4156×107 C．8.04156×107 D．0.804156×107 4．化简的结果是（　　） A．x+2 B．x C．x﹣1 D．x﹣2 5．我国古代园林连廊常采用八边形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的每一个外角的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O．若点A（2，1）的对应点为D（4，2），则△ABC与△DEF的面积比为（　　） A．1：2 B．1：8 C．1：4 D．1：16 7．若点A（x1，﹣4），B（x2，2），C（x3，5）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x3＜x1＜x2 B．x1＜x3＜x2 C．x1＜x2＜x3 D．x2＜x3＜x1 8．随着我国高端制造业、数字经济和新兴技术领域的快速发展，其用电需求持续增长．2025年，中国成为全球首个年用电量突破10万亿千瓦时的国家．2023年用电量约为9.2万亿千瓦时，2025年用电量约为10万亿千瓦时，设用电量的年平均增长率为x．根据题意，下列方程正确的是（　　） A．9.2（1+x）2＝10 B．9.2（1﹣x）2＝10 C．9.2（1+2x）＝10 D．9.2x2＝10 9．如图，矩形纸片ABCD中，AD＝4，AB＝8，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点F，若DF＝3，则AF的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 10．2025年，在甘肃省委、省政府的坚强领导下，全省上下坚持以习近平新时代中国特色社会主义思想为指导，深入学习贯彻党的二十大和二十届历次全会精神，全省经济运行保持了稳中有进、向上向好的良好态势，顺利完成全年目标任务。初步核算，全年全省地区生产总值13697.5亿元，比上年增长5.8%。其中，第一产业增加值1773.0亿元，增长5.5%；第二产业增加值4558.2亿元，增长6.7%；第三产业增加值7366.3亿元，增长5.3%。第一产业增加值占地区生产总值比重为12.9%，第二产业增加值比重为33.3%，第三产业增加值比重为53.8%。按常住人口计算，全年人均地区生产总值55897元，比上年增长6.2%。根据2021-2025全省地区生产总值及其增长速度，下列说法不正确的有（ ） A．2021-2025年全省生产总值持续增长 B．2021-2025年全省生产总值累计超61000亿元 C．预计2026年全省地区生产总值超14400亿元 D．2023年到2024年生产总值增长速度降低，因此2024年全省生产总值比2023年少 11．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，动点P，Q同时从点B出发，动点P以每秒1个单位的速度沿线段BA运动到点A停止，动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线B﹣C﹣D运动到点D停止．设运动时间为ts，△DPQ的面积为S，则S与t的函数图象应为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分） 12．分解因式：4m2﹣16＝　 　 ． 13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，过点D作DE⊥AC于点E，若∠ODE＝2∠ADO，DE＝1，则BD＝　 　 ． 14．某水果公司从一批柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，部分数据记录如下： 柑橘总质量/kg 100 150 200 250 300 350 400 450 500 损坏柑橘质量/kg 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54 柑橘损坏的频率 0.105 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103 则由此可以估计这批柑橘损坏的概率为　 　 ．（结果保留小数点后一位） 15.如图，分别以正六边形ABCDEF的顶点A，C，E为圆心、边长为半径作弧，构成了阴影部分的“三叶草”图案．若该正六边形的边长是2，则“三叶草”的面积是 　 　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共75分） 16. （5分）计算：． 17.（5分）解方程组： 18.（5分）先化简，再求值：，其中a＝2． 19.(7分)如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（2，3）和点B（﹣3，n）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）连接AO,BO，求△AOB的面积． 20.（7分）“珍爱生命，远离超速”．如图，某条东西走向的高速公路，车辆限速为120千米/时，在道路旁边的点A处建一个监测点，测得点A到公路的距离AO＝60米．当一辆小汽车行驶到点B处时，测得小汽车在监测点A的南偏西53°方向，5秒后，小汽车匀速行驶到点C处，此时，测得小汽车在监测点A的东南方向．（参考数据：，，） （1）求BC段的长度（结果保留整数）； （2）判断小汽车在BC段行驶时是否超速，并说明理由． 21.（7分）综合与实践： 已知宽与长的比是：（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．某数学兴趣小组对如何用折纸或尺规作图的方法得到黄金矩形进行了探索． 实验操作： 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线DF，并把DF折到图3中FN处； 第四步：如图4，展开纸片，按照所得的点N折出NP，得到矩形CDPN． 问题解决： （1）求证：矩形CDPN是黄金矩形； （2）在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：“也可以用无刻度的直尺和圆规在图2中作出黄金矩形CDPN．”请你根据嘉嘉的想法作出图形（保留作图痕迹，不写作法）； 22.（7分）2026年是“十五五”开局之年，做好“三农”工作至关重要．为让学生深入了解我国农业相关情况，某校开展了农业知识科普活动，有“农业政策知多少”知识竞赛和“农业科技大讲堂”观后感这两个项目，每个项目都有一个得分，竞赛和观后感的得分按6：4的比例确定个人总分．活动后随机抽取了50名学生的个人总分（满分100分，成绩用x表示，单位：分），将个人总分分成五组（A．50≤x＜60；B.60≤x＜70；C.70≤x＜80；D．80≤x＜90；E.90≤x≤100），并绘制成如图所示不完整的频数分布直方图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图，所抽取学生个人总分的中位数落在　 　 组； （2）所抽取学生中，明明的竞赛得分和观后感得分分别为80分和95分，天天的竞赛得分和观后感得分分别为85分和90分．将个人总分从高到低排列，请通过计算判断明明和天天谁的排名更靠前； （3）若有600名学生参加此次活动，请估计个人总分在80分及以上的学生人数． 23.（7分）已知，二次函数y＝ax2+bx（a、b为常数，a≠0）的图象过点A（1，t）、B（2，t）． （1）求的值； （2）若二次函数y＝ax2+bx的最大值为， ①求该函数的表达式； ②若M（x1，m），N（x2，n）为该二次函数图象上的不同两点，m≠0，且，求证：m＝n． 24.(8分)如图，在△ABF中，AB＝AF，AC⊥BF于点C，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点E，点D为AB的中点，连接CD，OD． （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）若BC＝6，CD＝5，求OD的长． 25.（8分）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： 【问题发现】（1）如图①，在等边△ABC中，点P是边BC上一点，且BP＝2，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ，发现有一对全等三角形　 　 ；可得：∠ABC＝∠ACQ，CQ的长为　 　 ； 【问题提出】（2）如图②，在等腰△ABC中，AB＝BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP＝PQ，∠APQ＝∠ABC，连接CQ，请问∠ABC与∠ACQ是否仍然相等？请说明理由； 【问题解决】（3）如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF，点Q是正方形APEF的对称中心，连接CQ．若正方形ADBC的边长为8，PC=2，请直接写出BQ的长. 26.（9分）在平面直角坐标系中，对于点P和线段AB（点P不在线段AB上）给出如下定义：Q为线段AB上任意一点，如果线段PQ的长度有最小值，那么称这个最小值为点P与线段AB的“近距”；如果线段PQ的长度有最大值，那么称这个最大值为点P与线段AB的“远距”． （1）如图1，点A（0，2），点B（0，﹣2），点P（1，0），则点P与线段AB的近距为 ，点P与线段AB的远距为 ； （2）如图2，点A（﹣1，0），点B（4，0），点C（2，3）．过点C作MN∥AB．若点P在直线MN上，当点P和线段AB的近距小于5时，求点P和线段AB的远距的最大值和最小值； （3）点A（-1，0），点B（4，5），点P为以T(t,0)为圆心，半径为1的上，，若点P与线段AB的近距大于等于1时，请直接写出t的取值范围． 2 第2页 共5页 学科网（北京）股份有限公司 $