专题14.2 简单随机抽样与分层抽样（高效培优讲义）数学苏教版高一必修第二册

本讲义聚焦简单随机抽样与分层抽样核心知识点，系统梳理抽签法、随机数表法的步骤与特征，明确分层抽样的必要性、比例分配方法及实施步骤，构建从抽样方法原理到实际应用的知识支架。 以数学抽象、数据分析素养为导向，通过对比表格明晰两种抽样方法异同，结合典例与变式训练强化应用，课中助教师高效授课，课后学生可通过即学即练查漏补缺，提升解决实际抽样问题的能力。

专题14.2 简单随机抽样与分层抽样 教学目标 1.通过实例，了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程．掌握两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数表法． 2.通过具体实例，了解分层抽样的概念、特点和适用范围，了解分层抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法． 3.能够区分简单随机抽样和分层抽样，并选择正确的方法进行抽样． 4.在生活问题数学化的过程中，发展数学抽象素养；在数学问题的解决过程中，发展数学建模素养；在利用抽签法和随机数表法抽取样本的过程中和分层抽样的实施过程中发展数据分析素养． 教学重难点 1.重点 运用简单随机抽样和分层抽样抽取样本． 2.难点 简单随机抽样的步骤，恰当选择抽样方法解决现实生活中的问题. 知识点01 简单随机抽样 1．抽签法 (1)抽签法的概念： 一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些号签放在一个不透明的盒，充分搅拌，最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的数量. (2)抽签法的步骤： 一般地，用抽签法从个体个数为N的总体中抽取一个容量为k的样本的步骤如下： ① 将总体中的N个个体编号； ② 将这N个号码写在形状﹑大小相同的号签上； ③ 将号签放在同一箱中，并搅拌均匀； ④ 从箱中每次抽出1个号签，连续抽取k次； ⑤ 将总体中与抽到的号签的编号一致的k个个体取出． 上述的步骤可用下图来表示． ―→―→―→―→ 2．随机数表法 (1)随机数表法的概念： 先把总体中的N个个体编号，用随机数工具产生1~N范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本.重复上述过程，直到抽足样本所需要的数量.如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的数量. (2)用随机数表法抽取样本的步骤： ① 对总体中的个体编号(每个号码位数一致)． ② 在随机数表中任选一个数． ③ 从选定的数开始按一定的方向读下去，若得到的号码在编号中，则取出；若得到的号码不在编号中或前面已经取出，则跳过．如此继续下去，直到取满为止． ④ 根据选定的号码抽取样本． 上述的步骤可用下图来表示． ———— (3)抽签法与随机数表法的异同点 抽签法 随机数表法 相同点 都是简单随机抽样，被抽取样本的总体的个体数有限 不同点 ① 抽签法比随机数表法简单 ② 适用于总体中个体数不多的情形 ① 要求编号的位数相同 ② 适用于总体中个体数相对较多的情形 3．简单随机抽样 (1)简单随机抽样的概念 一般地，从个体数为N的总体中逐步不放回地取出n个个体作为样本，如果每个个体都有相同的机会被取到，那么这样的抽样方法称为简单随机抽样. 抽签法和随机数表法都是简单随机抽样. (2)（不放回）简单随机抽样的特征 ① 被抽取样本的总体的个体数N是有限的，样本数n小于总体的个体数N. ② 从总体中逐个地进行抽取(不能一次性抽取)． ③ 是一种不放回的抽样． ④ 是一种等可能抽样，每个个体被抽到的可能性均为(如：挑个子最高的学生或成绩最好的学生，类似这些加限制性条件的抽样，都不是简单随机抽样)． 4．总体平均数与样本平均数 (1)概念 名称 定义 总体均值（总体平均数） 一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称为总体均值，又称总体平均数. 如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i=1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式. 样本均值（样本平均数） 如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称为样本均值，又称样本平均数. 说明：(1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数； (2)总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性（因为样本具有随机性）； (3)一般情况下，样本量越大，估计越准确. (2)求和符号∑的性质 ①； ②，其中k为常数. 【即学即练】 1．下面的抽样方法是简单随机抽样的是（　　） A．某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动 B．从20个零件中随机逐个抽取3个进行质量检验 C．一个儿童从玩具箱中的20件玩具中随意拿出一件来玩，玩后放回再拿下一件，连续玩了5件 D．从无限多个个体中抽取50个个体作为样本 2．从某班名同学中选出人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将名同学按，，，进行编号，然后从随机数表第行的第列和第列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第个同学的编号为（　　） (注：表为随机数表的第行与第行) A． B． C． D． 知识点02 分层抽样 1．分层抽样 (1)分层抽样的必要性 简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本，从而使得估计出现较大的误差，这时候我们可以考虑采取一种新的抽样方法——分层抽样. (2)分层抽样的概念 一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫作分层抽样，所分成的各个部分称为“层”. (3)比例分配 在分层抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.即： ①； ②. (4)分层抽样的步骤 ① 将总体按一定标准分层； ② 计算各层的个体数与总体的个体数的比； ③ 按各层的个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量(若按比例计算所得的个体数不是整数，可作适当的近似处理)； ④ 在每一层进行抽样(可用简单随机抽样)． 上述的步骤可用下图来表示． ―→―→―→ (5)简单随机抽样、分层抽样这两种抽样方法的共同点、相互联系及适用范围的区别： 特点及适用范围等如下表所示： 类别 特　　点 适用范围 共同点 相互联系 简单随机抽样 从总体中逐个抽取 总体中的个体数较少 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等 分层抽样中，各层抽样时可以采用简单随机抽样 分层抽样 将总体分成几层，按各层个体数之比抽取 总体由差异明显的几部分组成 2．分层抽样的平均数计算 在分层抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层、第2层的总体平均数分别为，第1层、第2层的样本平均数分别为，总体平均数为，样本平均数为，则. 由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此可以用估计总体平均数. 又， 所以. 因此，在比例分配的分层抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数. 3.使用分层抽样应遵循的原则 ① 将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则； ② 分层抽样为保证每个个体被抽到的可能性相等，可以在各层中进行简单随机抽样，每层样本量与每层个体数的比等于抽样比，即等于. 【即学即练】 1．某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适（　　） A．系统抽样法 B．简单随机抽样法 C．分层随机抽样法 D．随机数法 2．甲校有3600名学生,乙校有5400名学生,丙校有1800名学生,为统计三所学校学生某方面的情况,计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本,则在这三所学校抽取的学生数分别为（　　） A．30,45,15 B．20,30,15 C．15,45,30 D．30,45,25 3.下列问题中，采用怎样的抽样方法较为合理？ (1)从一个班级的30名学生中抽取5人做授课教师满意度问卷； (2)从动物园的所有动物中抽取10%的样本进行动物健康测试； (3)从某市的全体市民中抽取1%的样本调查通过电视收看新闻的时长． 题型01 简单随机抽样的特征及适用条件 【典例1】下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的为（　　） A.从无限多个个体中抽取100个个体作为样本． B.从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验． C.某班有56个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛． D.盒子中共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里． 1.(不放回)简单随机抽样的特征: (1)有限性：被抽取样本的总体中的个体数N是有限的； (2)逐一性：抽取的样本是从总体中逐个抽取的； (3)等可能性：简单随机抽样是一种等可能的抽样； (4)不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算． 如果以上特征有一个不满足，就不是简单随机抽样．　　 2.放回简单随机抽样的特点: (1)被抽取的样本的总体个数N是有限的． (2)逐个抽取n个个体作为样本． (3)抽取是放回的． (4)每个个体入样的可能性均为. 【变式1】下列抽样方法是简单随机抽样的是（　　） A．在某年明信片销售活动中，规定每100万枚为一个开奖组，号码的后四位是2709的为三等奖 B．某车间包装一种产品，在自动包装传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格 C．从8台电脑中逐个不放回地随机抽取2台，进行质量检验，假设8台电脑已编好号，对编号随机抽取 D．仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性就近抽取100支火炬进行质量检查 【变式2】下列抽样方法是简单随机抽样的是（　　） A．环保局人员取河水进行化验 B．用抽签的方法产生随机数表 C．福利彩票用摇奖机摇奖 D．老师抽取数学成绩最优秀的2名同学代表班级参加数学竞赛 【变式3】下列抽样方法中是简单随机抽样的是（　　）． A．从100个零件中随机依次抽取5个做质量检验 B．从100个零件中有放回地抽取5个做质量检验 C．从实数集中随机抽取10个数分析奇偶性 D．从100个运动员中挑选优秀的10人参加比赛 题型02 抽签法 【典例1】在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除一个人，再在剩余的100中随机抽取10人，那么下列说法正确的是（　　） A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 B．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等，因为每个人被剔除的可能性相等，那么，不被剔除的机会也是均等的 C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少 D．每个人被抽到的可能性不相等 抽签法的应用条件及注意点: (1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显．一般地，当样本容量和总体容量较小时，可用抽签法． (2)应用抽签法时应注意以下几点： ①分段时，如果已有分段可不必重新分段； ②签要求大小、形状完全相同； ③号签要均匀搅拌； ④要逐一不放回的抽取． 【变式1】下列抽样试验中，适合用抽签法的是（　　） A．从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验 B．从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验 C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验 D．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验 【变式2】某班有50名学生，现选取6名学生参加一个讨论会，每名学生被选到的机会相等．请用抽签法设计一个选取方案． 【变式2】某地区选拔运动会志愿者，最后阶段要从35名志愿者中去掉5名，由于每名志愿者都很优秀，决定采取抽签法，请写出用抽签法去掉5人的过程． 题型03 随机数表法 【典例1】“双色球”彩票中有33个红色球，每个球的编号分别为01，02，…，33．一位彩民用随机数表法选取6个号码作为6个红色球的编号，选取方法是从下面的随机数表中第1行第5列和第6列的数字开始，从左向右读数，则依次选出来的第5个红色球的编号为（　　） 7816 6572 0802 6314 0214 4319 9714 0198 3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181 A．01 B．02 C．14 D．19 1.随机数法解题步骤： 第一步,编号. 第二步,生成随机数. 第三步,记录样本编号. 第四步,抽取样本. 2．随机数法生成随机数的方法： (1)用随机试验生成随机数； (2)用信息技术生成随机数； ①用计算器生成随机数； ②用电子表格软件生成随机数； ③用R统计软件生成随机数．　　 【变式1】某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，，50，从中抽取6个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90 57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10 若从表中第1行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号是（　　） A．57 B．50 C．40 D．10 【变式2】某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（　　） 32  21  18  34  29  78  64  54  07  32  52  42  06  44  38  12  23  43  56  77  35  78 84  42  12  53  31  34  57  86  07  36  25  30  07  32  86  23  45  78  89  07  23  68 32  56  78  08  43  67  89  53  55  77  34  89  94  83  75  22  53  55  78  32  45  77 A．328 B．253 C．007 D．860 【变式3】某工厂利用随机数表对生产的40个零件进行抽样测试，先将40个零件进行编号，编号分别为，从中抽取8个样本，下面提供随机数表的第1行到第3行： 0347，4373，8636，9647，3661，4698，6371，6202 9774，2467，6242，8114，5720，4253，3237，3214 1676，0227，6656，5026，7107，3290，7978，5336 若从表中第2行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是__________ 题型04 计算简单随机抽样的概率 【典例1】用抽签法从学号为1到50的50名学生（其中含学生李华）中不放回抽取5名学生进行问卷调查，每次抽取一个号码，共抽取5次，设李华第一次被抽到的概率为，第五次被抽到的概率为，则（　　） A．a = ， B．a = ， C．a = ， D．a = ， 【变式1】已知一个总体中有个个体，用抽签法从中抽取一个容量为的样本，若每个个体被抽到的可能性是，则（　　） A．10 B．20 C．40 D．不确定 【变式2】采用简单随机抽样的方法，从含有6个个体的总体中抽取1个容量为2的样本，则某个个体被抽到的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式3】利用简单随机抽样的方法，从n个个体（）中抽取13个个体，若从第二次抽取开始时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性为_______ 题型05 利用样本平均数估计总体平均数 【典例1】从一群玩游戏的小孩子中随机抽取20人，一个分一个苹果，让他们返回继续游戏，过了一会儿，再从中抽取人，发现其中有个小孩曾分过苹果，估计参加游戏的小孩人数为_______ 1.样本平均数与总体平均数的关系： (1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数； (2)总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性； (3)一般情况下，样本容量越大，估计值越准确． 2.用样本平均数估计总体平均数的步骤： (1)求样本平均数：如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，y3，…，yn，则＝＝ (2)用样本平均数去估计总体平均数，即≈.　 【变式1】我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2020石（石，古代质量单位），验得米内夹谷，抽样取米一把，数得255粒内夹谷29粒，则这批米内夹谷约为（假设一粒谷和一粒米的质量近似相同）（　　） A．210石 B．220石 C．230石 D．240石 【变式2】某单位开展“党员在线学习”活动，统计某党员7月份学习得分情况，下表是随机抽取该党员七天学习得分情况： 日期 7月2日 7月6日 7月13日 7月15日 7月16日 7月19日 7月21日 得分 35 26 15 20 30 25 17 则所抽取的样本（七天学习得分）的均值为 ；据此，可以估计该党员7月份学习得分的均值为 . 【变式3】某学校有1200名学生，随机抽出300名进行调查研究，调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全相同的10个红球、10个绿球和10个白球的袋子．调查中有两个问题： 问题1：你的阳历生日月份是不是奇数？ 问题2：你是否抽烟？ 每个被调查者随机从袋中摸出1个球（摸出后再放回袋中）．若摸到红球就如实回答第一个问题；若摸到绿球，则不回答任何问题：若摸到白球，则如实回答第二个问题．所有回答“是”的调查者只需往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的被调查者什么也不用做．最后收集回来53个小石子，估计该学校吸烟的人数为___________． 题型06 分层抽样的特征及适用条件 【典例1】（多选）对下面三个事件最适宜采用的抽样方法判断正确的是（　　） ①从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验; ②在一次诗词朗读比赛中，有10人的成绩在91~100分，40人的成绩在81~90分，10人的成绩低于80分，现在从中抽取12人的成绩了解有关情况; ③运动会服务人员为参加400 m决赛的6名同学安排跑道. A．①②适宜采用分层随机抽样 B．②③适宜采用分层随机抽样 C．②适宜采用分层随机抽样 D．③适宜采用简单随机抽样 【变式1】某中学有青年教师95人，中年教师65人，老年教师20人，为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是（ ） A．抽签法 B．随机数法 C．分层随机抽样 D．简单随机抽样 【变式2】为了了解某县中小学生课外阅读时间情况，拟从该县的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该县小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，而男、女生的阅读时间差异不大，则最合理的抽样方法是（　　） A．按性别分层随机抽样 B．按学段分层随机抽样 C．抽签法 D．随机数表法 题型07 抽样方法的选取 【典例1】下列问题中，采用哪种抽样方法较为合理？ (1)某微波炉厂质量检查组为了解某批次1000台微波炉的使用寿命． (2)每年6月6日是“全国爱眼日”．某县卫生部门要调查该县中小学生视力保护情况，已知该县有小学生12000名，初中生10000名，高中生6000名． (3)某校要调查该校九年级400名学生身高和体重情况，以供该校营养师参考进而指导食堂伙食营养搭配． 【变式1】下列两项调查适宜采用的抽样方法依次是（　　） ①一项对“中兴事件”（2018年4月16日，美国对中兴通讯施行惩罚措施，引起国内关于国产芯片的讨论）影响的调查中有10000人认为这是美国贸易保护主义，对世界经济会产生比较负面的影响：有9000人认为这只是一个孤立事件，对世界经济大格局不会产生太大影响：有1000人没有发表自己的看法.现要从这20000人中随机抽取200人做进一步调查. ②从某中学高二年级的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况. A．①简单随机抽样，②分层抽样 B．①分层抽样，②简单随机抽样 C．①②都用简单随机抽样 D．①②都用分层抽样 【变式2】下列问题中，采用怎样的抽样方法较为合理？ (1) 从10台冰箱中抽取3台进行质量检查． (2) 某学校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本． (3) 某公司1个季度共有22984份运货单，这些运货单上的运费相差很大．现要对这个季度的运货单进行审计，从中抽取一定量的运货单加以审核． 题型08 抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【典例1】某学校高中部最近组织了一次野外郊游活动，活动分为登山看日出组和海边看日落组，且每位学生至多参加其中一组.在参加活动的学生中，高一学生占20%，高二学生占30%，登山组的学生占参加活动的总人数的，且该组高一学生占50%，高二学生占30%.为了了解各组不同年级的学生对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为80的样本. (1)求在海边看日落组中，高一学生、高二学生、高三学生分别所占的比例; (2)求在海边看日落组中，高三年级应抽取的人数. 分层随机抽样相关计算中的等量关系： (1)＝. (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比． (3)样本的平均数和各层的样本平均数的关系为： ＝＋＝＋. 【变式1】某高中有三个年级，其中高一学生900人，高二学生860人，现采用分层抽样的方法调查学生的视力情况，在抽取的样本中有高二学生43人、高三学生39人，则该高中的学生总人数应为（　　） A．2600 B．2580 C．2540 D．2500 【变式2】某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有50名，高二年级有30名.现用分层抽样的方法在这80名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了6名，则在高一年级的学生中应抽取的人数为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式3】五一期间，各大商场为促进消费，通过发送小礼品的方式吸引顾客.已知某商场五一发放了300件小礼品，其中老年人、中年人、青年人分别有150人、50人、100人，若按年龄的分层抽样从这300名顾客中随机抽取12人收集他们的意见，则被抽取的老年人比青年人多（　　） A．4人 B．3人 C．2人 D．1人 【变式4】某师范大学的数学学院、物理学院、化学学院、生物学院今年共录取本科新生5200人，且知四个学院录取的新生人数比为，现用分层抽样的方法从这些本科新生中抽取一个容量为260的样本，则物理学院应抽取学生_________人 【变式5】随着《哪吒2魔童闹海》的火爆，贵阳越界影城出圈．为调查影迷的年龄构成，对越界影城1000名观众进行调查，各年龄段人数如下表：已知在1000名观众中随机抽取1名，抽到青年男生的可能性是0.35． 少年（小于18岁） 青年（大于等于18，小于45岁） 中老年（大于等于45岁） 女性 150 150 n 男性 200 m r (1)求m的值； (2)现用分层抽样的方法在1000名观众中抽取100名观众，则应在中老年中抽取多少名观众？ 题型09 分层抽样的概率计算及其应用 【典例1】已知某车企从今年开始投产了A，B，C三种型号的新能源汽车，第一个月下线的台数依次为250，450，300，现用分层抽样的方法从中随机抽取20台车进行质量测试，则某一台B型号的新能源汽车被抽取的概率为___________． 【变式1】某校有700名高一学生，400名高二学生，400名高三学生，高一数学兴趣小组欲采用按比例分配的分层抽样的方法在全校抽取15名学生进行某项调查，则下列说法正确的是（　　） A．高一学生被抽到的概率最大 B．高三学生被抽到的概率最大 C．高三学生被抽到的概率最小 D．每位学生被抽到的概率相等 【变式2】从一个容量为100的总体中抽取容量为10的样本，选取简单随机抽样和分层随机抽样两种不同方法抽取样本.在简单随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为，某个体被抽中的概率为；在分层随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为，则（　　） A． B． C． D．之间没有关系 【变式3】某中学青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1，其中青年教师有120人．现采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本以了解教师的工作压力情况，则每位老年教师被抽到的概率为___________． 题型10 分层抽样的实际应用 【典例1】一批产品中，有一级品100个，二级品60个，三级品40个，从这批产品中抽取一个容量为20的样本，应如何抽取？ 【变式1】一批产品中有一级品个，二级品个，三级品个，用分层随机抽样法从这批产品中抽取一个容量为的样本．请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程． 【变式2】有以下两个案例： 案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋分别检测三聚氰胺的含量； 案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的有160人，具有中级职称的有320人，具有初级职称的有200人，其他人员120人，从中抽取容量为40的样本，了解他们的收入情况． (1)你认为这两个案例分别应采用怎样的抽样方式较为合适？ (2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程． 1．下列4个抽样中，简单随机抽样的是（　　） A.从无数个个体中抽取50个个体作为样本； B.仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查； C.某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的党员官兵赶赴某市参加抗震救灾工作； D.一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签. 2．从编号为01，02，…，49，50的50个个体中利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行第5列的数开始由左到右依次抽取，则选出来的第4个个体的编号为（　　） 7816 6572 0812 1463 0782 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A．14 B．07 C．32 D．43 3．某班级有名学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这名学生中抽取人进行家访，则同学被抽到的可能性为（　　） A． B． C． D． 4．为了解某地区居民使用手机扫码支付的情况，拟从该地区的居民中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异，而男、女使用手机扫码支付的情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的是（　　） A．抽签法 B．按性别分层随机抽样 C．按年龄段分层随机抽样 D．随机数法 5．现要完成下列3项抽样调查： ①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈；③某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，拟抽取一个容量为200的样本．较为合理的抽样方法分别是（　　） A．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样 B．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样 C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样 D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样 6．在一次羽毛球男子单打比赛中，运动员甲､乙进入了决赛.比赛规则是三局两胜制.根据以往战绩，每局比赛甲获胜概率为0.4，乙获胜概率为0.6.利用计算机模拟实验，产生内的整数随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜，现计算机产生15组随机数为：423，231，344，114，534，123，354，535，425，232，233，351，122，153，533，据此估计甲获得冠军的概率为（　　） A． B． C． D． 7．（多选）为了实现教育资源的均衡化，某地决定派遣480名教师志愿者（480名教师情况如图）轮流支援当地的教育工作．若第一批志愿者采用分层抽样的方法随机派遣150名教师，则（　　） A．派遣的青年男、女教师的人数之和与老年教师的人数相同 B．派遣的青年女教师的人数占派遣人员总数的10% C．派遣的老年教师有144人 D．派遣的青年女教师有15人 8．（多选）在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人持钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法正确的是（　　） A．甲应付51钱 B．乙应付32钱 C．丙应付16钱 D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少 9.（多选）某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为1~1000的1000名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题1：你的编号是否为奇数？问题2：你是否吸烟？被调查者从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球50个，红球50个）中摸出一个小球（摸完放回）：摸到白球则如实回答问题1，摸到红球则如实回答问题2，回答“是”的人在一张白纸上画一个“√”，回答“否”的人什么都不用做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾忌的给出真实的答案．最后统计得出，这1000人中，共有265人回答“是”，则下列表述正确的是（　　） A．估计被调查者中约有15人吸烟 B．估计约有15人对问题2的回答为“是” C．估计该地区约有3%的中学生吸烟 D．估计该地区约有1.5%的中学生吸烟 10．总体由编号为1，2，⋯，99，100的100个个体组成，现用随机数法选取60个个体，利用电子表格软件产生的若干个1~100范围内的整数随机数的开始部分数据，如下表，则选出来的第5个个体的编号为________. 8  44  2  17  8  31  57  4  55  6 88  8  31  47  7  21  76  33  50  63 11．为了估计某自然保护区中天鹅的数量，使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合；再从保护区中捕捉一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只.根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量为__________. 12．某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，如果样本按比例分配，那么讲师应抽取的人数为_______- 13．某电视台举行颁奖典礼，邀请20名甲､乙､丙地艺人演出，其中从30名丙地艺人中随机挑选10人，从18名甲地艺人中随机挑选6人，从10名乙地艺人中随机挑选4人.试用抽签法确定选中的艺人. 14．一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人.为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？ 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14.2 简单随机抽样与分层抽样 教学目标 1.通过实例，了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程．掌握两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数表法． 2.通过具体实例，了解分层抽样的概念、特点和适用范围，了解分层抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法． 3.能够区分简单随机抽样和分层抽样，并选择正确的方法进行抽样． 4.在生活问题数学化的过程中，发展数学抽象素养；在数学问题的解决过程中，发展数学建模素养；在利用抽签法和随机数表法抽取样本的过程中和分层抽样的实施过程中发展数据分析素养． 教学重难点 1.重点 运用简单随机抽样和分层抽样抽取样本． 2.难点 简单随机抽样的步骤，恰当选择抽样方法解决现实生活中的问题. 知识点01 简单随机抽样 1．抽签法 (1)抽签法的概念： 一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些号签放在一个不透明的盒，充分搅拌，最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的数量. (2)抽签法的步骤： 一般地，用抽签法从个体个数为N的总体中抽取一个容量为k的样本的步骤如下： ① 将总体中的N个个体编号； ② 将这N个号码写在形状﹑大小相同的号签上； ③ 将号签放在同一箱中，并搅拌均匀； ④ 从箱中每次抽出1个号签，连续抽取k次； ⑤ 将总体中与抽到的号签的编号一致的k个个体取出． 上述的步骤可用下图来表示． ―→―→―→―→ 2．随机数表法 (1)随机数表法的概念： 先把总体中的N个个体编号，用随机数工具产生1~N范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本.重复上述过程，直到抽足样本所需要的数量.如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的数量. (2)用随机数表法抽取样本的步骤： ① 对总体中的个体编号(每个号码位数一致)． ② 在随机数表中任选一个数． ③ 从选定的数开始按一定的方向读下去，若得到的号码在编号中，则取出；若得到的号码不在编号中或前面已经取出，则跳过．如此继续下去，直到取满为止． ④ 根据选定的号码抽取样本． 上述的步骤可用下图来表示． ———— (3)抽签法与随机数表法的异同点 抽签法 随机数表法 相同点 都是简单随机抽样，被抽取样本的总体的个体数有限 不同点 ① 抽签法比随机数表法简单 ② 适用于总体中个体数不多的情形 ① 要求编号的位数相同 ② 适用于总体中个体数相对较多的情形 3．简单随机抽样 (1)简单随机抽样的概念 一般地，从个体数为N的总体中逐步不放回地取出n个个体作为样本，如果每个个体都有相同的机会被取到，那么这样的抽样方法称为简单随机抽样. 抽签法和随机数表法都是简单随机抽样. (2)（不放回）简单随机抽样的特征 ① 被抽取样本的总体的个体数N是有限的，样本数n小于总体的个体数N. ② 从总体中逐个地进行抽取(不能一次性抽取)． ③ 是一种不放回的抽样． ④ 是一种等可能抽样，每个个体被抽到的可能性均为(如：挑个子最高的学生或成绩最好的学生，类似这些加限制性条件的抽样，都不是简单随机抽样)． 4．总体平均数与样本平均数 (1)概念 名称 定义 总体均值（总体平均数） 一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称为总体均值，又称总体平均数. 如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i=1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式. 样本均值（样本平均数） 如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称为样本均值，又称样本平均数. 说明：(1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数； (2)总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性（因为样本具有随机性）； (3)一般情况下，样本量越大，估计越准确. (2)求和符号∑的性质 ①； ②，其中k为常数. 【即学即练】 1．下面的抽样方法是简单随机抽样的是（　　） A．某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动 B．从20个零件中随机逐个抽取3个进行质量检验 C．一个儿童从玩具箱中的20件玩具中随意拿出一件来玩，玩后放回再拿下一件，连续玩了5件 D．从无限多个个体中抽取50个个体作为样本 【答案】B 【分析】根据简单随机抽样的概念依次判断即可求解. 【解析】对于A，抽取个子最高的5名，不是随机抽取，不是简单随机抽样，故A不符合题意； 对于B，从有限总体中进行随机、不放回抽样，符合简单随机抽样的特征，故B符合题意； 对于C，是有放回抽样，不是简单随机抽样，故C不符合题意； 对于D，总体个数是无限的，不是简单随机抽样，故D不符合题意. 故选：B． 2．从某班名同学中选出人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将名同学按，，，进行编号，然后从随机数表第行的第列和第列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第个同学的编号为（　　） (注：表为随机数表的第行与第行) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按要求两个数字为一个号，不大于60且前面未出现的数，依次写出即可 【解析】根据题意得：抽样编号依次为，，，，第个是. 故选：C 知识点02 分层抽样 1．分层抽样 (1)分层抽样的必要性 简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本，从而使得估计出现较大的误差，这时候我们可以考虑采取一种新的抽样方法——分层抽样. (2)分层抽样的概念 一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫作分层抽样，所分成的各个部分称为“层”. (3)比例分配 在分层抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.即： ①； ②. (4)分层抽样的步骤 ① 将总体按一定标准分层； ② 计算各层的个体数与总体的个体数的比； ③ 按各层的个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量(若按比例计算所得的个体数不是整数，可作适当的近似处理)； ④ 在每一层进行抽样(可用简单随机抽样)． 上述的步骤可用下图来表示． ―→―→―→ (5)简单随机抽样、分层抽样这两种抽样方法的共同点、相互联系及适用范围的区别： 特点及适用范围等如下表所示： 类别 特　　点 适用范围 共同点 相互联系 简单随机抽样 从总体中逐个抽取 总体中的个体数较少 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等 分层抽样中，各层抽样时可以采用简单随机抽样 分层抽样 将总体分成几层，按各层个体数之比抽取 总体由差异明显的几部分组成 2．分层抽样的平均数计算 在分层抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层、第2层的总体平均数分别为，第1层、第2层的样本平均数分别为，总体平均数为，样本平均数为，则. 由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此可以用估计总体平均数. 又， 所以. 因此，在比例分配的分层抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数. 3.使用分层抽样应遵循的原则 ① 将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则； ② 分层抽样为保证每个个体被抽到的可能性相等，可以在各层中进行简单随机抽样，每层样本量与每层个体数的比等于抽样比，即等于. 【即学即练】 1．某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适（　　） A．系统抽样法 B．简单随机抽样法 C．分层随机抽样法 D．随机数法 【答案】C 【分析】由分层抽样的适用条件即可判断； 【解析】由题意可知，总体由差异明显的三部分构成，所以选用分层随机抽样法． 故选：C. 2．甲校有3600名学生,乙校有5400名学生,丙校有1800名学生,为统计三所学校学生某方面的情况,计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本,则在这三所学校抽取的学生数分别为（　　） A．30,45,15 B．20,30,15 C．15,45,30 D．30,45,25 【答案】A 【分析】根据分层抽样公式计算得到答案. 【解析】在甲､乙､丙三所学校分别抽取学生 (人)， (人)， (人). 故选： 3.下列问题中，采用怎样的抽样方法较为合理？ (1)从一个班级的30名学生中抽取5人做授课教师满意度问卷； (2)从动物园的所有动物中抽取10%的样本进行动物健康测试； (3)从某市的全体市民中抽取1%的样本调查通过电视收看新闻的时长． 【答案】(1)简单随机抽样； (2)分层抽样； (3)分层抽样 【分析】（1）根据简单随机抽样的特征即可作出判断 （2）（3）根据分层抽样的使用对象和特征即可作出解答. 【解析】（1）就一个班级而言，对教师的授课满意度，学生间没有明显差异，适用简单随机抽样． （2）动物的饲养难度有较大不同，对环境的要求也有较大差异，这些都是影响健康的因素，适用分层抽样． （3）不同年龄段的市民在通过电视收看新闻的时间、习惯等方面都有较大差异，适用分层抽样． 题型01 简单随机抽样的特征及适用条件 【典例1】下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的为（　　） A.从无限多个个体中抽取100个个体作为样本． B.从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验． C.某班有56个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛． D.盒子中共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里． 【答案】B 【分析】按照简单随机抽样的定义判断即可. 【解析】选项A，从无限多个个体中抽取100个个体作为样本，不满足总体个数为有限个； 选项B，从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验，不满足逐个抽取； 选项C，某班有56个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛，不满足随机抽取； 选项D，盒子中共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验， 在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里，满足有放回简单随机抽样． 故选：D． 1.(不放回)简单随机抽样的特征: (1)有限性：被抽取样本的总体中的个体数N是有限的； (2)逐一性：抽取的样本是从总体中逐个抽取的； (3)等可能性：简单随机抽样是一种等可能的抽样； (4)不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算． 如果以上特征有一个不满足，就不是简单随机抽样．　　 2.放回简单随机抽样的特点: (1)被抽取的样本的总体个数N是有限的． (2)逐个抽取n个个体作为样本． (3)抽取是放回的． (4)每个个体入样的可能性均为. 【变式1】下列抽样方法是简单随机抽样的是（　　） A．在某年明信片销售活动中，规定每100万枚为一个开奖组，号码的后四位是2709的为三等奖 B．某车间包装一种产品，在自动包装传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格 C．从8台电脑中逐个不放回地随机抽取2台，进行质量检验，假设8台电脑已编好号，对编号随机抽取 D．仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性就近抽取100支火炬进行质量检查 【答案】C 【分析】利用简单随机抽样的定义，逐一分析各选项即可得解. 【解析】选项A：在明信片销售活动中规定特定号码为三等奖，不属于简单随机抽样，故A错误； 选项B：在自动包装传送带上每隔30分钟抽一包产品， 抽样间隔固定，属于系统抽样，不是简单随机抽样，故B错误； 选项C：从8台已编号的电脑中逐个不放回地随机抽取2台， 符合简单随机抽样中总体个数有限、逐个抽取、不放回抽样、等可能抽样的特点， 属于简单随机抽样，故C正确； 选项D：一次性就近抽取100支火炬，不具有等可能性，不属于简单随机抽样，故D错误； 故选：C. 【变式2】下列抽样方法是简单随机抽样的是（　　） A．环保局人员取河水进行化验 B．用抽签的方法产生随机数表 C．福利彩票用摇奖机摇奖 D．老师抽取数学成绩最优秀的2名同学代表班级参加数学竞赛 【答案】C 【解析】对于A,个体数无限，错误； 对于B，有放回的抽样，错误； 对于C，简单随机抽样要求总体中的个体数有限，每个个体有相同的可能性被抽到，正确； 对于D，不是等可能的抽样，错误； 故选：C. 【变式3】下列抽样方法中是简单随机抽样的是（　　）． A．从100个零件中随机依次抽取5个做质量检验 B．从100个零件中有放回地抽取5个做质量检验 C．从实数集中随机抽取10个数分析奇偶性 D．从100个运动员中挑选优秀的10人参加比赛 【答案】A 【分析】根据简单随机抽样的概念可判断A，简单随机抽样是不放回抽样，判断B; 简单随机抽样的个体是有限的，判断C; 简单随机抽样中每个个体被抽到的可能性都是相同的，判断D. 【解析】从100个零件中随机依次抽取5个做质量检验，符合简单随机抽样的要求， 故A是简单随机抽样 从100个零件中有放回地抽取5个做质量检验，而简单随机抽样式不放回抽样， 因此B不是简单随机抽样； 由于实数集里面有无限个实数，故从实数集中随机抽取10个数分析奇偶性， 故C不是简单随机抽样； 简单随机抽样是等可能抽样，而从100个运动员中挑选优秀的10人参加比赛不是等可能的， 故D不是简单随机抽样； 故选：A 题型02 抽签法 【典例1】在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除一个人，再在剩余的100中随机抽取10人，那么下列说法正确的是（　　） A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 B．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等，因为每个人被剔除的可能性相等，那么，不被剔除的机会也是均等的 C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少 D．每个人被抽到的可能性不相等 【答案】B 【分析】根据随机抽样的特征，即可判断出结果. 【解析】由于第一次剔除时采用抽签法，对每个人来说可能性相等，然后随机抽取10人对每个人的机会也是均等的，所以总的来说每个人的机会都是均等的，被抽到的可能性都是相等的. 故选：B. 抽签法的应用条件及注意点: (1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显．一般地，当样本容量和总体容量较小时，可用抽签法． (2)应用抽签法时应注意以下几点： ①分段时，如果已有分段可不必重新分段； ②签要求大小、形状完全相同； ③号签要均匀搅拌； ④要逐一不放回的抽取． 【变式1】下列抽样试验中，适合用抽签法的是（　　） A．从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验 B．从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验 C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验 D．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验 【答案】B 【分析】根据抽签法的适用条件，结合选项依次判断即可. 【解析】选项A，总体中的个体数较大，样本容量也较大，不适合用抽签法，故A不符合题意； 选项B，总体中的个体数较小，样本容量也较小， 且同厂生产的两箱产品可视为搅拌均匀了，可用抽签法，故B符合题意； 选项C，甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大， 不能满足搅拌均匀的条件，不能用抽签法，故C不符合题意； 选项D，总体中的个体数较大，不适合用抽签法，故D不符合题意. 故选：B. 【变式2】某班有50名学生，现选取6名学生参加一个讨论会，每名学生被选到的机会相等．请用抽签法设计一个选取方案． 【答案】答案见解析 【分析】利用抽签法的定义即可得解. 【解析】第一步，给50名学生编号，号码依次为01，02，03，，50， 第二步，将50名学生的编号写在形状、大小相同的小纸片上，并搡成小球，制成号签， 第三步，将得到的号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀， 第四步，从容器中不放回地逐个抽取6个号签，并记录上面的编号，对应这6个编号的学生，即为所选取的学生． 【变式2】某地区选拔运动会志愿者，最后阶段要从35名志愿者中去掉5名，由于每名志愿者都很优秀，决定采取抽签法，请写出用抽签法去掉5人的过程． 【答案】答案见解析 【分析】利用抽签法的定义即可得解. 【解析】利用抽签法抽取样本的具体步骤： ① 将这35人编号为1, 2, 3, …， 35； ② 将号码写在形状、大小相同的号签上； ③ 将号签放在同一箱中，并搅拌均匀； ④ 从箱中每次抽出1个号签，连续抽取5次； ⑤ 将与号签上的编号一致的人抽出来去掉即可. 题型03 随机数表法 【典例1】“双色球”彩票中有33个红色球，每个球的编号分别为01，02，…，33．一位彩民用随机数表法选取6个号码作为6个红色球的编号，选取方法是从下面的随机数表中第1行第5列和第6列的数字开始，从左向右读数，则依次选出来的第5个红色球的编号为（　　） 7816 6572 0802 6314 0214 4319 9714 0198 3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181 A．01 B．02 C．14 D．19 【答案】A 【分析】结合随机数表法定义，按照题意依次读出前个数即可. 【解析】分析：根据随机数表，依次进行选择即可得到结论． 解析：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于33的编号 去除重复，可知对应的数值为08，02，14，19，01，04； 则第5个个体的编号为01． 故选A． 1.随机数法解题步骤： 第一步,编号. 第二步,生成随机数. 第三步,记录样本编号. 第四步,抽取样本. 2．随机数法生成随机数的方法： (1)用随机试验生成随机数； (2)用信息技术生成随机数； ①用计算器生成随机数； ②用电子表格软件生成随机数； ③用R统计软件生成随机数．　　 【变式1】某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，，50，从中抽取6个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90 57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10 若从表中第1行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号是（　　） A．57 B．50 C．40 D．10 【答案】B 【分析】结合随机数表法定义，按照题意依次读出前个数即可. 【解析】从随机数表第1行的第6列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号， 符合条件的编号有03，46，40，11，10，50，所以选出来的第6个个体的编号为50. 故选：B. 【变式2】某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（　　） 32  21  18  34  29  78  64  54  07  32  52  42  06  44  38  12  23  43  56  77  35  78 84  42  12  53  31  34  57  86  07  36  25  30  07  32  86  23  45  78  89  07  23  68 32  56  78  08  43  67  89  53  55  77  34  89  94  83  75  22  53  55  78  32  45  77 A．328 B．253 C．007 D．860 【答案】A 【分析】根据随机数表读法，依次读取数据，判断结果. 【解析】从表中第5行第6列开始向右读取数据为：253，313，457（舍），860（舍），736（舍），253（舍），007，328，所以第四个数为328. 故选：A. 【变式3】某工厂利用随机数表对生产的40个零件进行抽样测试，先将40个零件进行编号，编号分别为，从中抽取8个样本，下面提供随机数表的第1行到第3行： 0347，4373，8636，9647，3661，4698，6371，6202 9774，2467，6242，8114，5720，4253，3237，3214 1676，0227，6656，5026，7107，3290，7978，5336 若从表中第2行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是__________ 【答案】16 【分析】根据随机数表法的应用，按照已知的要求选出五个三个数字组成编号即可． 【解析】依题意从第2行第7列开始的数为67（舍去），62（舍去），42（舍去），81（舍去），14， 57（舍去），20，42（舍去），53（舍去），32，37，32（舍去），14（舍去），16， 则满足条件的5个样本编号为14，20，32，37，16，则第5个编号为16． 故答案为：16. 题型04 计算简单随机抽样的概率 【典例1】用抽签法从学号为1到50的50名学生（其中含学生李华）中不放回抽取5名学生进行问卷调查，每次抽取一个号码，共抽取5次，设李华第一次被抽到的概率为，第五次被抽到的概率为，则（　　） A．a = ， B．a = ， C．a = ， D．a = ， 【答案】B 【分析】由题意结合简单随机抽样的特征即可确定实数，的值. 【解析】由简单随机抽样的定义知，每个个体在每次抽取中都有相同的可能性被抽到， 因为每次抽取一个号码，所以李华第一次被抽到的可能性为， 第五次被抽到的可能性为. 即李华同学在每次抽样中被抽到的可能性都是，所以，. 故选：B. 【变式1】已知一个总体中有个个体，用抽签法从中抽取一个容量为的样本，若每个个体被抽到的可能性是，则（　　） A．10 B．20 C．40 D．不确定 【答案】C 【分析】抽签法可知每个个体被抽到的可能性均为，即可得到方程，解得即可. 【解析】根据抽签法可知每个个体被抽到的可能性均为， 依题意可得，解得. 故选：C. 【变式2】采用简单随机抽样的方法，从含有6个个体的总体中抽取1个容量为2的样本，则某个个体被抽到的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据每个个体被抽到的概率相等，所以每个个体被抽到的概率是样本容量和总体数量的比值. 【解析】由于每个个体被抽到的概率相等，所以每个个体被抽到的概率是. 故选：B 【变式3】利用简单随机抽样的方法，从n个个体（）中抽取13个个体，若从第二次抽取开始时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性为_______ 【答案】 【分析】根据已知条件，结合简单随机抽样的定义，即可求解． 【解析】解：从第二次开始抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为， 则， 解得， 故在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性为． 故答案为：． 题型05 利用样本平均数估计总体平均数 【典例1】从一群玩游戏的小孩子中随机抽取20人，一个分一个苹果，让他们返回继续游戏，过了一会儿，再从中抽取人，发现其中有个小孩曾分过苹果，估计参加游戏的小孩人数为_______ 【答案】120 【分析】根据从中抽取人，发现其中有个小孩曾分过苹果，得到总体中分过苹果的小孩的比例求解. 【解析】设参加游戏的小孩人数为x， 由题意得：， 解得， 所以参加游戏的小孩人数为120， 故答案为：120. 1.样本平均数与总体平均数的关系： (1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数； (2)总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性； (3)一般情况下，样本容量越大，估计值越准确． 2.用样本平均数估计总体平均数的步骤： (1)求样本平均数：如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，y3，…，yn，则＝＝ (2)用样本平均数去估计总体平均数，即≈.　 【变式1】我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2020石（石，古代质量单位），验得米内夹谷，抽样取米一把，数得255粒内夹谷29粒，则这批米内夹谷约为（假设一粒谷和一粒米的质量近似相同）（　　） A．210石 B．220石 C．230石 D．240石 【答案】C 【分析】根据抽样取米一把，数得255粒内夹谷29粒，可计算出夹谷的频率，从而得解． 【解析】设这批米内夹谷约为石，根据样本的性质可得，求得， 即这批米内夹谷约为230石， 故选：C. 【变式2】某单位开展“党员在线学习”活动，统计某党员7月份学习得分情况，下表是随机抽取该党员七天学习得分情况： 日期 7月2日 7月6日 7月13日 7月15日 7月16日 7月19日 7月21日 得分 35 26 15 20 30 25 17 则所抽取的样本（七天学习得分）的均值为 ；据此，可以估计该党员7月份学习得分的均值为 . 【答案】 24. 24. 【解析】按平均数公式，即可求解，用样本估计总体，即可得出结论. 【解析】所抽取的样本的均值为， 据此，可以估计该党员7月份学习得分的均值为24. 故答案为:24，24. 【变式3】某学校有1200名学生，随机抽出300名进行调查研究，调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全相同的10个红球、10个绿球和10个白球的袋子．调查中有两个问题： 问题1：你的阳历生日月份是不是奇数？ 问题2：你是否抽烟？ 每个被调查者随机从袋中摸出1个球（摸出后再放回袋中）．若摸到红球就如实回答第一个问题；若摸到绿球，则不回答任何问题：若摸到白球，则如实回答第二个问题．所有回答“是”的调查者只需往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的被调查者什么也不用做．最后收集回来53个小石子，估计该学校吸烟的人数为___________． 【答案】36 【分析】根据题意估计出该校吸烟人数的比例，再用总人数乘以该比例即可得到答案. 【解析】由题意可知，每个学生从袋中摸出1个红球或1个绿球或1个白球的概率都是， 即大约有（人）回答了第一个问题，（人）不回答任何问题，（人）回答了第二个问题． 因为阳历生日月份是奇数的概率是， 所以回答第一个问题的100人中，大约有50人回答了“是”． 所以我们能推出，在回答第二个问题的100人中，大约有3人回答了“是”， 即估计该学校大约有3%的学生抽烟，也就是全校大约有36人抽烟． 故答案为：36. 题型06 分层抽样的特征及适用条件 【典例1】（多选）对下面三个事件最适宜采用的抽样方法判断正确的是（　　） ①从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验; ②在一次诗词朗读比赛中，有10人的成绩在91~100分，40人的成绩在81~90分，10人的成绩低于80分，现在从中抽取12人的成绩了解有关情况; ③运动会服务人员为参加400 m决赛的6名同学安排跑道. A．①②适宜采用分层随机抽样 B．②③适宜采用分层随机抽样 C．②适宜采用分层随机抽样 D．③适宜采用简单随机抽样 【答案】CD 【分析】根据分层抽样的适用条件，以及简单随机抽样的适用条件，即可容易判断. 【解析】①从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验，总体没有明显差异，不满足分层随机抽样的方法； ②总体由差异明显且互不重叠的几部分组成，若要从中抽取12人的成绩了解有关情况，适合采用分层随机抽样的方法； ③运动会服务人员为参加400 m决赛的6名同学安排跑道，具有随机性，适合用简单随机抽样. 故选：CD. 【变式1】某中学有青年教师95人，中年教师65人，老年教师20人，为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是（ ） A．抽签法 B．随机数法 C．分层随机抽样 D．简单随机抽样 【答案】C 【分析】根据样本的年龄特性确定抽样方法． 【解析】由于样本中年龄分为三个层次：老年，中年，青年，因此采取分层抽样方法． 故选：C． 【变式2】为了了解某县中小学生课外阅读时间情况，拟从该县的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该县小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，而男、女生的阅读时间差异不大，则最合理的抽样方法是（　　） A．按性别分层随机抽样 B．按学段分层随机抽样 C．抽签法 D．随机数表法 【答案】B 【分析】由分层抽样的概念即可判断； 【解析】因为男、女生的阅读时间差异不大，而小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，故应按照学段分层随机抽样． 故选：B． 题型07 抽样方法的选取 【典例1】下列问题中，采用哪种抽样方法较为合理？ (1)某微波炉厂质量检查组为了解某批次1000台微波炉的使用寿命． (2)每年6月6日是“全国爱眼日”．某县卫生部门要调查该县中小学生视力保护情况，已知该县有小学生12000名，初中生10000名，高中生6000名． (3)某校要调查该校九年级400名学生身高和体重情况，以供该校营养师参考进而指导食堂伙食营养搭配． 【答案】(1)随机数法； (2)先采用分层抽样，然后再在每层采用随机数法进行抽样 (3)先采用分层抽样，然后对男生和女生分别用抽签法进行抽样 【分析】根据随机数法，抽签法和分层抽样的概念与特征分析判断. 【解析】（1）由于总体容量较大，可采用随机数法进行抽样． （2）由于总体容量大，并且具有明显的分层性，因而应当先采用分层抽样，然后再在每层采用随机数法进行抽样． （3）由于总体容量较大，男女学生在身高和体重方面又有较大的差异，所以应当先采用分层抽样，然后对男生和女生分别用抽签法进行抽样． 【变式1】下列两项调查适宜采用的抽样方法依次是（　　） ①一项对“中兴事件”（2018年4月16日，美国对中兴通讯施行惩罚措施，引起国内关于国产芯片的讨论）影响的调查中有10000人认为这是美国贸易保护主义，对世界经济会产生比较负面的影响：有9000人认为这只是一个孤立事件，对世界经济大格局不会产生太大影响：有1000人没有发表自己的看法.现要从这20000人中随机抽取200人做进一步调查. ②从某中学高二年级的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况. A．①简单随机抽样，②分层抽样 B．①分层抽样，②简单随机抽样 C．①②都用简单随机抽样 D．①②都用分层抽样 【答案】B 【分析】由随机抽样的定义进行判断. 【解析】解：对于①，总体中明显存在差异，则用分层随机抽样； 对于②，总体个数较少，则用简单随机抽样， 故选：B. 【变式2】下列问题中，采用怎样的抽样方法较为合理？ (1) 从10台冰箱中抽取3台进行质量检查． (2) 某学校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本． (3) 某公司1个季度共有22984份运货单，这些运货单上的运费相差很大．现要对这个季度的运货单进行审计，从中抽取一定量的运货单加以审核． 【答案】(1)随机数法； (2)先采用分层抽样，然后按照各层运货单的数量比进行抽样 (3)先采用分层抽样，然后按照各层运货单的数量比进行抽样 【分析】根据随机数法，抽签法和分层抽样的概念与特征分析判断. 【解析】(1) 总体容量比较小，且无明显差异，用抽签法或随机数表法． (2) 用分层抽样．总体容量为160，故样本中教师人数应为20×＝15，行政人员人数应为20×＝2，后勤人员人数应为20×＝3. (3) 用分层抽样．根据运费的多少进行分层，然后按照各层运货单的数量比进行抽样． 题型08 抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【典例1】某学校高中部最近组织了一次野外郊游活动，活动分为登山看日出组和海边看日落组，且每位学生至多参加其中一组.在参加活动的学生中，高一学生占20%，高二学生占30%，登山组的学生占参加活动的总人数的，且该组高一学生占50%，高二学生占30%.为了了解各组不同年级的学生对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为80的样本. (1)求在海边看日落组中，高一学生、高二学生、高三学生分别所占的比例; (2)求在海边看日落组中，高三年级应抽取的人数. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设高一学生、高二学生、高三学生所占的比例分别为，根据题意，列出方程求得，求得的值； （2）由（1）可得高三学生所占的比例分别为，进而求得高三年级应抽取的人数. 【解析】（1）解：设登山看日出组的人数为x，在海边看日落组中， 设高一学生、高二学生、高三学生所占的比例分别为， 则，解得， 所以. 故在海边看日落组中，高一学生、高二学生、高三学生所占的比例分别为. （2）解：由（1）可得高三学生所占的比例分别为， 所以在海边看日落组中，高三年级应抽取的人数为人. 分层随机抽样相关计算中的等量关系： (1)＝. (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比． (3)样本的平均数和各层的样本平均数的关系为： ＝＋＝＋. 【变式1】某高中有三个年级，其中高一学生900人，高二学生860人，现采用分层抽样的方法调查学生的视力情况，在抽取的样本中有高二学生43人、高三学生39人，则该高中的学生总人数应为（　　） A．2600 B．2580 C．2540 D．2500 【答案】C 【分析】设高三有人，根据分层抽样的特点可得： ，从而得出答案. 【解析】设高三有人， 高二学生860人，在抽取的样本中有高二学生43人、高三学生39人，根据分层抽样的特点可得： ，得 所以该高中的学生总人数应为 故选：C 【变式2】某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有50名，高二年级有30名.现用分层抽样的方法在这80名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了6名，则在高一年级的学生中应抽取的人数为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】设共抽取人数N，根据高二所占总共人数比例以及所抽出的人数，可得结果. 【解析】设样本容量为N， 则,解得， 所以高一所抽人数为. 故选：C 【变式3】五一期间，各大商场为促进消费，通过发送小礼品的方式吸引顾客.已知某商场五一发放了300件小礼品，其中老年人、中年人、青年人分别有150人、50人、100人，若按年龄的分层抽样从这300名顾客中随机抽取12人收集他们的意见，则被抽取的老年人比青年人多（　　） A．4人 B．3人 C．2人 D．1人 【答案】C 【分析】根据题意，利用分层抽样的方法，分别求得抽取的老年人和青年人的人数，即可求解. 【解析】由题意知，老年人、中年人、青年人分别有150人、50人、100人， 可得老年人、中年人、青年人的比例分别为， 故抽取的12人中老年人抽取了人， 青年人抽取了人，则老年人比青年人多2人. 故选：C. 【变式4】某师范大学的数学学院、物理学院、化学学院、生物学院今年共录取本科新生5200人，且知四个学院录取的新生人数比为，现用分层抽样的方法从这些本科新生中抽取一个容量为260的样本，则物理学院应抽取学生_________人 【答案】80 【分析】利用分层抽样的比例关系可得到答案. 【解析】要用分层抽样的方法从这些本科新生中抽取一个容量为的样本， 且四个学院录取的新生人数比为， 则物理学院应抽取学生是人 故答案为：80 【变式5】随着《哪吒2魔童闹海》的火爆，贵阳越界影城出圈．为调查影迷的年龄构成，对越界影城1000名观众进行调查，各年龄段人数如下表：已知在1000名观众中随机抽取1名，抽到青年男生的可能性是0.35． 少年（小于18岁） 青年（大于等于18，小于45岁） 中老年（大于等于45岁） 女性 150 150 n 男性 200 m r (1)求m的值； (2)现用分层抽样的方法在1000名观众中抽取100名观众，则应在中老年中抽取多少名观众？ 【答案】(1)350； (2)15. 【分析】（1）由已知人数和概率求参数值； （2）应用分层抽样的等比例性质求中老年中抽取人数. 【解析】（1）在1000名观众中随机抽取1名，抽到青年男生的可能性是0.35，则． （2）由表知，少年一共有350名，由（1）得青年有500名，所以中老年一共有150名观众． 从1000名观众中抽100名观众的抽样比为，故中老年应抽取名观众． 题型09 分层抽样的概率计算及其应用 【典例1】已知某车企从今年开始投产了A，B，C三种型号的新能源汽车，第一个月下线的台数依次为250，450，300，现用分层抽样的方法从中随机抽取20台车进行质量测试，则某一台B型号的新能源汽车被抽取的概率为___________． 【答案】 【分析】根据分层抽样的概率，即可容易求得. 【解析】由题可知，型车辆与每一台新能源汽车被抽取的概率均相等， 则其概率. 故答案为：. 【变式1】某校有700名高一学生，400名高二学生，400名高三学生，高一数学兴趣小组欲采用按比例分配的分层抽样的方法在全校抽取15名学生进行某项调查，则下列说法正确的是（　　） A．高一学生被抽到的概率最大 B．高三学生被抽到的概率最大 C．高三学生被抽到的概率最小 D．每位学生被抽到的概率相等 【答案】D 【分析】根据分层抽样的定义和性质判断即可． 【解析】无论采取简单随机抽样，还是分层抽样，每个个体被抽取的概率都相同． 故选：D． 【变式2】从一个容量为100的总体中抽取容量为10的样本，选取简单随机抽样和分层随机抽样两种不同方法抽取样本.在简单随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为，某个体被抽中的概率为；在分层随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为，则（　　） A． B． C． D．之间没有关系 【答案】B 【分析】根据简单随机抽样、分层抽样的定义即可得到结论． 【解析】根据抽样调查的原理可得简单随机抽样，分层抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即. 故选：B. 【变式3】某中学青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1，其中青年教师有120人．现采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本以了解教师的工作压力情况，则每位老年教师被抽到的概率为___________． 【答案】 【分析】先利用人数比例和青年教师人数计算该校全部教师人数，再利用古典概型计算每位老年教师被抽到的概率即可. 【解析】由青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1， 知青年教师的人数比例为，故该校全部教师人数为：120÷＝300(人)． 采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本，则每位老年教师被抽到的概率为P＝＝. 故答案为：. 题型10 分层抽样的实际应用 【典例1】一批产品中，有一级品100个，二级品60个，三级品40个，从这批产品中抽取一个容量为20的样本，应如何抽取？ 【答案】答案见解析 【分析】根据给定条件，利用分层抽样方法求出样本中各品级的个数，再将各品级产品分别编号，利用随机数表法抽取. 【解析】采用分层抽样可按一、二、三级品的个数之比，从一级品中抽取10个，从二级品中抽取6个，从三级品中抽取4个， 抽取时，将一级品中100个产品按00，01，02，…，99编号；将二级品中的60个产品按00，01，02，…，59编号， 将三级品中的40个产品按00，01，02，…，39编号，用随机数表法分别抽取10个，6个，4个产品，这样取得一个容量为20的样本. 【变式1】一批产品中有一级品个，二级品个，三级品个，用分层随机抽样法从这批产品中抽取一个容量为的样本．请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程． 【答案】答案见解析 【分析】由题根据分层抽样的原理确定编号及抽取的比例即可解决问题. 【解析】第一步，确定抽样比，因为，所以， 第二步，确定各层抽取的样本数，一级品：，二级品：，三级品：， 第三步，将一级品的个产品按编号； 将二级品的个产品按编号； 将三级品的个产品按编号， 第四步，采用随机数法，分别从中抽取个，个，个，这样就得到一个容量为的样本. 【变式2】有以下两个案例： 案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋分别检测三聚氰胺的含量； 案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的有160人，具有中级职称的有320人，具有初级职称的有200人，其他人员120人，从中抽取容量为40的样本，了解他们的收入情况． (1)你认为这两个案例分别应采用怎样的抽样方式较为合适？ (2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程． 【答案】(1)案例一用简单随机抽样，案例二用分层抽样； (2)答案见解析 【分析】（1）由分层抽样和简单随机抽样的定义即可得出答案； （2）按照分层、确定抽样比、确定各层样本数、按简单随机抽样方式在各层确定相应的样本、汇总构成一个容量为40的样本的过程求解即可. 【解析】（1）案例一用简单随机抽样，案例二用分层抽样． （2）①分层，将总体分为具有高级职称、中级职称、初级职称及其他人员四层； ②确定抽样比； ③按抽样比确定各层应分别抽取的人数为8，16，10，6； ④按简单随机抽样的方法在各层确定相应的样本； ⑤汇总构成一个容量为40的样本． 1．下列4个抽样中，简单随机抽样的是（　　） A.从无数个个体中抽取50个个体作为样本； B.仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查； C.某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的党员官兵赶赴某市参加抗震救灾工作； D.一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签. 【答案】D 【分析】根据简单随机抽样的特点逐个判断. 【解析】A不是简单随机抽样.因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的. B不是简单随机抽样.虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”. C不是简单随机抽样.因为50名党员官兵是从中挑出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求. D是简单随机抽样.因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，等可能的抽样. 故选：D. 2．从编号为01，02，…，49，50的50个个体中利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行第5列的数开始由左到右依次抽取，则选出来的第4个个体的编号为（　　） 7816 6572 0812 1463 0782 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A．14 B．07 C．32 D．43 【答案】B 【分析】根据随机数表法一一列出即可. 【解析】依题意选出的个体编号依次为：，，，，……， 所以选出来的第4个个体的编号为. 故选：B. 3．某班级有名学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这名学生中抽取人进行家访，则同学被抽到的可能性为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用简单随机抽样的定义，即可求解. 【解析】总体有个个体，每个个体被抽到的概率相同，均为， 故选：D. 4．为了解某地区居民使用手机扫码支付的情况，拟从该地区的居民中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异，而男、女使用手机扫码支付的情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的是（　　） A．抽签法 B．按性别分层随机抽样 C．按年龄段分层随机抽样 D．随机数法 【答案】C 【分析】根据抽样方法确定正确答案. 【解析】依题意，“居民人数多”， “男、女使用手机扫码支付的情况差异不大”， “老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异”， 所以最合理的是按年龄段分层随机抽样. 故选：C. 5．现要完成下列3项抽样调查： ①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈；③某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，拟抽取一个容量为200的样本．较为合理的抽样方法分别是（　　） A．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样 B．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样 C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样 D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样 【答案】B 【分析】根据简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的定义和特点，以及适用范围，判断即可． 【解析】对于①，总体中的个体数较少，宜用简单随机抽样； 对于②，总体中的个体数较多，而且容易分成均衡的若干部分， 要选32名听众而刚好有32排，每排选一人，宜用系统抽样； 对于③，总体中的个体数较多，又是由差异明显的两部分组成，宜用分层抽样． 故选：B． 6．在一次羽毛球男子单打比赛中，运动员甲､乙进入了决赛.比赛规则是三局两胜制.根据以往战绩，每局比赛甲获胜概率为0.4，乙获胜概率为0.6.利用计算机模拟实验，产生内的整数随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜，现计算机产生15组随机数为：423，231，344，114，534，123，354，535，425，232，233，351，122，153，533，据此估计甲获得冠军的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由随机数组来确定胜负情况，根据15组数据中满足条件的数组个数，除以总数即可得解. 【解析】由计算机产生的组数据中， 甲获得冠军的数据有，，，，，共组， 据此估计甲获得冠军的概率为， 故选：C. 7．（多选）为了实现教育资源的均衡化，某地决定派遣480名教师志愿者（480名教师情况如图）轮流支援当地的教育工作．若第一批志愿者采用分层抽样的方法随机派遣150名教师，则（　　） A．派遣的青年男、女教师的人数之和与老年教师的人数相同 B．派遣的青年女教师的人数占派遣人员总数的10% C．派遣的老年教师有144人 D．派遣的青年女教师有15人 【答案】ABD 【分析】利用分层抽样结合各比例关系求解 【解析】因为， 所以派遣的青年男教师的数量占派遣总数的20%， 则派遣的青年女教师的人数占派遣人员总数的， 则派遣的青年男、女教师的人数之和与老年教师的人数相同，均占总数的30%，故A，B正确； 派遣的老年教师人数为，故C错误； 派遣的青年女教师的人数为，故D正确． 故选：ABD． 8．（多选）在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人持钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法正确的是（　　） A．甲应付51钱 B．乙应付32钱 C．丙应付16钱 D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少 【答案】ACD 【分析】先求出抽样比为，再利用分层抽样求解. 【解析】依题意，抽样比为. 由分层抽样知识可知，甲应付×560＝51钱，故A正确； 乙应付×350＝32钱，故B不正确； 丙应付×180＝16钱，故C正确. 显然51＞32＞16，故D正确. 故选：ACD. 9.（多选）某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为1~1000的1000名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题1：你的编号是否为奇数？问题2：你是否吸烟？被调查者从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球50个，红球50个）中摸出一个小球（摸完放回）：摸到白球则如实回答问题1，摸到红球则如实回答问题2，回答“是”的人在一张白纸上画一个“√”，回答“否”的人什么都不用做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾忌的给出真实的答案．最后统计得出，这1000人中，共有265人回答“是”，则下列表述正确的是（　　） A．估计被调查者中约有15人吸烟 B．估计约有15人对问题2的回答为“是” C．估计该地区约有3%的中学生吸烟 D．估计该地区约有1.5%的中学生吸烟 【答案】BC 【分析】先求出回答问题2且回答的“是”的人数，从而估计出该地区中学生吸烟人数的百分比，即得解. 【解析】随机抽出的1000名学生中，回答第一个问题的概率是，其编号是奇数的概率也是，所以回答问题1且回答的“是”的学生人数为， 回答问题2且回答的“是”的人数为， 从而估计该地区中学生吸烟人数的百分比为， 估计被调查者中吸烟的人数为. 故选：BC． 10．总体由编号为1，2，⋯，99，100的100个个体组成，现用随机数法选取60个个体，利用电子表格软件产生的若干个1~100范围内的整数随机数的开始部分数据，如下表，则选出来的第5个个体的编号为________. 8  44  2  17  8  31  57  4  55  6 88  8  31  47  7  21  76  33  50  63 【答案】31 【分析】根据题意，结合随机数表选取的规则，结合题意，即可求解. 【解析】根据随机数表的选取的规则是选出的样本编号为1~100范围内的整数， 且与前面重复的数据不再出现，所以前5个个体编号为：8  44  2  17  31， 所以选出来的第5个个体的编号为31. 故答案为：31. 11．为了估计某自然保护区中天鹅的数量，使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合；再从保护区中捕捉一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只.根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量为__________. 【答案】1500只 【分析】根据样本数据估计总体数据即可. 【解析】由题可设该自然保护区中天鹅的数量的估计值为， 从而可得，解得， 故该自然保护区中天鹅的数量估计值为1500只. 故答案为：1500只. 12．某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，如果样本按比例分配，那么讲师应抽取的人数为_______- 【答案】12 【分析】根据分层抽样的比例关系计算得到答案. 【解析】根据分层抽样的方法，样本按比例分配，讲师应抽取的人数为， 故答案为：12 13．某电视台举行颁奖典礼，邀请20名甲､乙､丙地艺人演出，其中从30名丙地艺人中随机挑选10人，从18名甲地艺人中随机挑选6人，从10名乙地艺人中随机挑选4人.试用抽签法确定选中的艺人. 【答案】答案见解析 【分析】先编号制作号签，然后放入小筒摇匀后从中逐个不放回地抽取即可. 【解析】解：（1）将30名丙地艺人从01到30编号，然后用相同的纸条做成30个号签，在每个号签上写上这些编号，揉成团，然后放入一个不透明小筒中摇匀，从中逐个不放回地抽出10个号签，则相应编号的艺人参加演出； （2）运用相同的办法分别从10名乙地艺人中抽取4人，从18名甲地艺人中抽取6人. 14．一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人.为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？ 【答案】答案见解析 【分析】根据分层随机抽样的步骤可得 【解析】用分层抽样来抽取样本，步骤如下： （1）分层，按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工. （2）确定每层抽取个体的数目.抽样比为， 则在不到35岁的职工中抽取（人）； 在35岁至49岁的职工中抽取（人）； 在50岁及50岁以上的职工中抽取（人）. （3）在各层分别用简单随机抽样来抽取样本. （4）汇总每层抽样，组成样本. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $