命题大赛 云南德宏州芒市2025-2026学年高二数学下学期期末试卷

**基本信息** 高二下学期期末数学卷，以原创题（如复数象限判断、函数周期）和新定义题（双曲函数）为亮点，覆盖函数、几何、概率等核心知识，通过分层设计考查数学抽象、逻辑推理与模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、集合、向量、抽样方法|原创题结合基础概念，如第1题复平面点位置| |多选|3/18|圆锥性质、函数单调性、新定义函数|第11题引入双曲函数，考查信息迁移能力| |填空|3/15|抛物线焦点、等比数列求和、导数极值|第14题导数极值点，需分类讨论逻辑| |解答|5/77|解三角形、数列证明、立体几何翻折、概率应用、双曲线|第18题投篮比赛情境，融合概率计算与决策分析，体现数学建模|

Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 复数的几何意义（复平面） 0.9 2 单选题 5 集合运算、元素与集合关系 0.85 3 单选题 5 平面向量模长、数量积 0.85 4 单选题 5 分层抽样、组合计数 0.8 5 单选题 5 函数的周期性 0.8 6 单选题 5 椭圆性质、焦点三角形面积 0.7 7 单选题 5 三角恒等变换（同角、和差） 0.65 8 单选题 5 函数最值、导数 / 不等式 0.6 9 多选题 6 圆锥（侧面积、体积）、二面角、空间线面 0.7 10 多选题 6 三角函数性质（单调、奇偶、周期、最值） 0.6 11 多选题 6 双曲函数新定义综合（新定义函数、奇偶性、零点、不等式） 0.55 12 填空题 5 抛物线焦点弦、向量数量积 0.8 13 填空题 5 等比数列通项、前 n 项和 0.6 14 填空题 5 导数极值点、参数范围 0.4 15 解答题 13 解三角形（正弦 / 余弦定理、周长） 0.7 16 解答题 15 等差数列通项、前 n 项和、不等式证明 0.65 17 解答题 15 空间翻折、线面垂直、二面角（空间向量） 0.55 18 解答题 17 概率（独立事件）、最值、数学期望 0.4 18 解答题 17 双曲线方程、直线与双曲线、定直线证明 0.35 $ 应用场景：周测/单元测/月考/期中/期末/（如以上均不符合则自行添加） 高二下学期期末测试数学试卷 2019人教A版全部内容 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.（原创）在复平面内，对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2. 设集合，，若，则（ ）． A． B． C．1 D．2 3. 已知向量满足，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A． 种 B．种 C．种 D．种 5. （原创）已知函数的周期是2，则函数的周期是（ ）。 A. 2 B.4 C.6 D. 8 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）． A． B． C． D． 7. 已知为锐角，，则（ ）． A． B． C． D． 8. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）． A． 该圆锥的侧面积为 B．该圆锥的体积为 C．的面积为 D． 10. 对于函数，下列选项中正确的有（    ） A．在上单调递减 B．的图象关于原点对称 C．的最小正周期为 D．的最大值为2 11.（原创）（新定义题）已知函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是自然对数的底数．则下列结论正确的是（ ） A. B.函数的零点为 C.不等式的解集为 D.不成立 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，则________. 13.记为等比数列的前n项和，若，，则________. 14.已知函数，若是的极大值点，则实数a的取值范围是________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （13分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，，求的周长． 16.（15分）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． （1）求的通项公式； （2）证明：当时，． 17.（15分）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． （1）证明：； （2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 18.（17分） 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． （1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． （2）假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 19. （17分）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． （1）求C的方程； （2）记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明：点P在定直线上． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期期末测试数学试卷 2019人教A版全部内容 答案及解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D C C A C B A B BD AB ABC 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D 【解析】因为，， 则所求复数对应的点为，位于第四象限.故选：D. 2．【答案】C 【解析】因为，所以，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：C. 3．【答案】C 【解析】因为，所以，即， 又因为，所以，从而. 故选：C. 4．【答案】A 【解析】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种. 故选：A. 5．【答案】C 【解析】由周期函数定义得： ，即 令，则，所以的周期 又是由左移个单位得到，不改变其周期， 所以函数的周期是6. 故选：C. 6．【答案】B 【解析】将直线与椭圆联立，消去可得， 因为直线与椭圆相交于点，则，解得， 设到的距离到距离，易知， 则，， ，解得或（舍去）， 故选：B. 7．【答案】A 【解析】因为，而为锐角， 解得：． 故选：A． 8．【答案】B 【解析】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．【答案】BD 【解析】依题意，，，所以， A选项，圆锥的侧面积为，B选项错误； B选项，圆锥的体积为，A选项正确； C选项，，所以，D选项错误； D选项，设是的中点，连接， 则，所以是二面角的平面角， 则，所以， 故，则，C选项正确. 故选：BD.    10．【答案】AB 【解析】A.当时，，因为在单调递减， 所以在单调递减，故选项A正确； B.因为，所以为奇函数， 所以的图象关于原点对称．故选项B正确； C. 代入周期公式得，故选项C错误； D. ，的最大值为1，故选项D错误. 故选：AB． 11．【答案】ABC 【解析】A..A正确. B.，得函数的零点为.B正确. C.，.C正确. D.成立.D错误 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 【答案】 【解析】在中令，得，所以抛物线的焦点为，所以，所以， 故抛物线的方程为，则由，得或． 不妨设，，则由抛物线的定义，得. 13.【答案】 【解析】方法一(基本量法)：如果，则与题意不符合，所以， 由得，所以，则，解得.由已知而.方法二（性质法）：由等比数列性质：为等比数列，则依次成等比数列，当 时，成等比数列.设公比为， 所以,所以, ,所以, 所以 14.【答案】实数的取值范围是 【解析】令，解得，即函数的定义域为， 若，则， 因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则在上单调递减，在上单调递增， 故是的极小值点，不合题意，所以. 当时，令 因为， 且，所以函数在定义域内为偶函数， 由题意可得：， （i）当时，取，，则， 由（1）可得， 且， 所以， 即当时，，则在上单调递增， 结合偶函数的对称性可知：在上单调递减， 所以是的极小值点，不合题意； （ⅱ）当时，取，则， 由（1）可得， 构建， 则， 且，则对恒成立， 可知在上单调递增，且， 所以在内存在唯一的零点， 当时，则，且， 则， 即当时，，则在上单调递减， 结合偶函数的对称性可知：在上单调递增， 所以是的极大值点，符合题意； 综上所述：，即，解得或， 故a的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由可得，即，.................3分 由于，故，解得.................6分 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到，于是，........8分 ，.................10分 由正弦定理可得，，即， 解得，故的周长为.................13分 16.【答案】（1） （2）证明见解析 . 【解析】（1）设等差数列的公差为．； 由，得，，， 3分 则由，，得，解得， 6分 所以． 7分 （2）由（1）可得． 当为奇数时， ＝ ＝＝． 9分 当时，，所以．10分 当为偶数时， ＝ ＝ ＝ ＝． 13分 当时，， 所以．综上可知，当时，． 15分 17.【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1）由， 得，又，在中， 由余弦定理得, 3分 所以，则，即， 所以，又平面， 所以平面，又平面，故； 7分 （2）连接，由，则， 在中，，得， 所以，由（1）知，又平面， 所以平面，又平面， 9分 所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则， 由是的中点，得， 所以， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 令，得，所以， 11分 所以， 设平面和平面所成角为，则， 14分 即平面和平面所成角的正弦值为. 15分 18. 【答案】（1） （2）（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛； 【解析】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，比赛成绩不少于5分的概率. 5分 （2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 7分 ， ， 9分 ，应该由甲参加第一阶段比赛. 10分 (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， 13分 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， 同理 ， 15分 因为，则，， 则， 应该由甲参加第一阶段比赛. 17分 19. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】（1）设双曲线C的方程为，由已知，，， ∴，∴双曲线C的方程为． 5分 （2） 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：， 设，，， 消去y得：，∴ 又，， 8分 从而直线，直线的方程分别为，， 联立，消去y：，解得（*） 由，，得①， ②， ③， 12分 ④， 把①，②，③，④代入（*）得， ∴当存在时，点P在定直线上． 14分 （ⅱ）当不存在时，直线方程为，代入， 得，，又，， ∴直线，方程分别为，， 联立，得解得．此时P也在定直线上． 综上可得P在定直线上． 17分 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $