精品解析：河南郑州市外国语学校2026届高三下学期一模考试数学试题

数　学 （120分钟 150 分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数（ ） A. B. 2 C. 1 D. 3. 设非零向量，，则“或”，是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 某地个贫困村中有个村是深度贫困，现从中任意选个村，下列事件中概率等于的是（ ） A. 至少有个深度贫困村 B. 有个或个深度贫困村 C. 有个或个深度贫困村 D. 恰有个深度贫困村 7. 若曲线上存在两点到直线的距离为3，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知对恒成立，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设为坐标原点，若对于区域中任意两点，都有，则称为“凸集”，则下列不等式所表示的区域中，是凸集的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 是偶函数 C. 在上单调递增 D. 有且仅有2个零点 11. 如图1，在长方形中，是边上一点，且．将沿着翻折至，连接，得到如图2所示的四棱锥，则下列结论正确的是（ ） A. 四棱锥体积的最大值为 B. 当平面平面时，三棱锥的外接球的表面积为 C. 在翻折的过程中，与始终不垂直 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 等比数列的前n项和为 ， 已知成等差数列，则 的公比为________________. 13. 已知，是双曲线E：的左、右焦点，点M为双曲线E右支上一点，点N在x轴上，满足，若，则双曲线E的离心率为 __． 14. 已知实数，满足，则的最大值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某市近6年的新能源汽车保有量数据如下表 年份代号x 1 2 3 4 5 6 保有量y（万辆） 1 1.8 2.7 4 5.9 9.2 （1）从这6年中任意选取2年，在已知至少有1年的新能源汽车保有量大于3万辆的前提下，求这2年的新能源汽车保有量全都大于3万辆的概率； （2）用函数模型对变量x，y的关系进行拟合，根据表中数据求出y关于x的回归方程（参数d的估计值精确到0.01）． 参考数据：，，，； 设，， 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， 16. 如图，在等腰中，，，D为边AB上的一动点，连接CD，作，垂足为E，且E在线段CD上（不包括端点C，D）． （1）若，求AD的长度； （2）求的取值范围． 17. 已知为圆上一动点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为 ，，连接 并延长至点，使得，点的轨迹记为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若过右焦点的直线与曲线交于不同的，两点，且，当，时，求直线在轴上的截距的取值范围． 18. 如图，四棱锥中，平面，， ，. （1）求证： ； （2）若为的重心， （i）求与平面所成角的正弦值； （ii）若交平面于，求的值. 19. 已知函数定义域为，，若对任意 ，存在，当时，都有．则称为在上的“点”． （1）设函数求在上的最大“点”； （2）判断函数在上是否存在“点”，并说明理由； （3）若函数在 上不存在“点”，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数　学 （120分钟 150 分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 所以，， 故ACD错误，B正确. 2. 已知为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用待定系数法结合复数乘法、复数相等的充要条件即可求解. 【详解】设，则， 所以，所以，所以 ． 故选：B． 3. 设非零向量，，则“或”，是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】因为 . 若或可得； 但不能得到或. 所以“或”，是“”的充分不必要条件. 4. 已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和函数值的正负，结合赋值法逐项分析判断即可. 【详解】由图象可知，该函数为奇函数，定义域为 ，当时，. 选项A：函数应满足，因为 与的图象有交点，故定义域不为 .A错误. 选项B：当时，，无意义.B错误. 选项C：令，定义域为 ， 又，所以为偶函数. 当时，. 当时，，，所以. 当时，， ，所以. 综上，函数的定义域为 . 又，为奇函数.故函数图象可能为C. 选项D：因为，所以定义域为 . 又，该函数为偶函数.D错误. 故选：C. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以， 得，所以， 所以． 6. 某地个贫困村中有个村是深度贫困，现从中任意选个村，下列事件中概率等于的是（ ） A. 至少有个深度贫困村 B. 有个或个深度贫困村 C. 有个或个深度贫困村 D. 恰有个深度贫困村 【答案】B 【解析】 【分析】用表示这个村庄中深度贫困村数，则服从超几何分布，故，分别求得概率，再验证选项. 【详解】用表示这个村庄中深度贫困村数，服从超几何分布， 故， 所以， ， ， ， . 故选：B 【点睛】本题主要考查超几何分布及其应用，属于基础题. 7. 若曲线上存在两点到直线的距离为3，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由表示圆的上半部分，数形结合确定直线到的距离大于3，到的距离小于等于3，再应用平行线的距离公式列不等式求参数范围. 【详解】由，可得， 即表示圆的上半部分（包含与x轴交点），如下图， 当圆心到直线的距离， 可得 或 ， 若 时，和半圆相切， 若 时，和半圆相切， 当直线过点时，有，可得，此时， 结合图知，要使曲线上存在两个点与直线的距离为3，且， 则直线必在的右下方，且与x轴、y轴的正半轴相交， 所以直线到的距离大于3，到的距离小于等于3， 即与的距离，则 ， 与的距离，则， 所以. 8. 已知对恒成立，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先分析函数在区间的零点和正负区间，再根据不等式分析函数的零点，利用韦达定理表示 关系，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】当，，则， 当，， 当，，， 当，， 当，，， 若对恒成立， 则，并且函数的两个零点分别是1和7， 则，则 ，，， 所以， 当，，即时，等号成立， 所以的最小值为6. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是转化为分析两个函数和 的零点. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设为坐标原点，若对于区域中任意两点，都有，则称为“凸集”，则下列不等式所表示的区域中，是凸集的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先明确每个不等式所表示的区域，再判断区域内任意两点的连线是否在区域内即可. 【详解】对于A：它表示的是一个菱形区域，任意两点的连线都在区域内，是凸集； 对于B：它表示的是椭圆及其内部，任意两点的连线都在椭圆内，是凸集； 对于C：它表示的是双曲线的两支及其外侧，分别取两支上的一点，连线会穿过中间空白区域，不是凸集； 对于D：它表示的是开口向上的抛物线及其内部，任意两点连线都在区域内，是凸集. 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 是偶函数 C. 在上单调递增 D. 有且仅有2个零点 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A，解不等式即得的定义域；选项B，利用偶函数的定义求解；选项C，利用导数求解；选项D，根据的定义域，当，讨论时的情况即可，设，求出是偶函数，分别按照，，这三种情况讨论求解，用导数的单调性和零点存在性定理即可得到结论.当且时，，利用偶函数的性质得解. 【详解】选项A，，， 故的定义域为，故选项A错误； 选项B，，， 故选项B正确； 选项C，，， ， 故在上是单调递减函数，故选项C错误； 选项D，的定义域为， 当时，， 设，则， 故是偶函数， 当时，设， ， 则在上单调递减， ， 当时，，故存在，使得， 故有1个零点， 当时，，此时无零点， 当时，根据偶函数的性质得到有1个零点， 当时，因为是偶函数，只需考虑且的情况， 当时，，此时无零点， 根据偶函数的性质，当时，无零点， 综上可知，有且仅有2个零点，故选项D正确. 11. 如图1，在长方形中，是边上一点，且．将沿着翻折至，连接，得到如图2所示的四棱锥，则下列结论正确的是（ ） A. 四棱锥体积的最大值为 B. 当平面平面时，三棱锥的外接球的表面积为 C. 在翻折的过程中，与始终不垂直 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】过点作，求出 再利用体积公式计算可判断A；记外接圆的圆心为的中点，利用余弦定理计算三棱锥外接球的半径判断B；过点作，并与交于点，求证平面，进而求证判断C；在上取靠近点处的四等分点，利用勾股定理计算判断D. 【详解】当平面平面时，四棱锥的体积取得最大值． 过点作，垂足为，则， 则四棱锥体积的最大值为，A正确； 连接，记外接圆的圆心为的中点，连接， 因为， 所以， 因为，， 则， 则， 则三棱锥外接球的半径为， 则三棱锥的外接球的表面积为，B正确； 连接，因为， 所以，则， 因为平面，，所以 平面， 又 平面，所以平面 平面， 则点在平面上的射影在直线上， 过点作，并与交于点，连接， 若点在平面上的射影为，即平面， 由 平面，得, 又，平面，则平面， 因为平面，所以，故C错误； 在上取靠近点处的四等分点，连接， 因为，所以，且， 从而四边形为平行四边形，则，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 等比数列的前n项和为 ， 已知成等差数列，则 的公比为________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据为等差数列，可得，结合等比数列的前n项和公式可得公比. 【详解】因为已知成等差数列，所以； 即，化简得到； 所以或 （舍去）. 故答案为：. 13. 已知，是双曲线E：的左、右焦点，点M为双曲线E右支上一点，点N在x轴上，满足，若，则双曲线E的离心率为 __． 【答案】 【解析】 【分析】由以及得到以为邻边的平行四边形为菱形，从而得到的等量关系，根据双曲线定义可得，进而在中，余弦定理得的等式即可求解. 【详解】， 以为邻边作平行四边形，以为起点的对角线对应的向量与共线， ， 为的角平分线， 以为邻边的平行四边形为菱形， ， 点为双曲线E右支上一点，， ， 在中，， 则有， 即，即， 即，即，即，故双曲线E的离心率为. 14. 已知实数，满足，则的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，设，求得是递增函数，得到，得出，设，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解. 【详解】由，可得， 设函数，可得，所以是单调递增函数， 所以，即， 则，其中 ， 设，可得， 当时， ，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，当时，函数取得极大值，也是最大值，最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用同构法得到，从而构造函数，由此得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某市近6年的新能源汽车保有量数据如下表 年份代号x 1 2 3 4 5 6 保有量y（万辆） 1 1.8 2.7 4 5.9 9.2 （1）从这6年中任意选取2年，在已知至少有1年的新能源汽车保有量大于3万辆的前提下，求这2年的新能源汽车保有量全都大于3万辆的概率； （2）用函数模型对变量x，y的关系进行拟合，根据表中数据求出y关于x的回归方程（参数d的估计值精确到0.01）． 参考数据：，，，； 设，， 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先确定保有量大于3万辆的年份数量，用对立事件求至少1年大于3万辆的概率，再结合2年都大于3万辆的概率，通过条件概率公式计算结果； （2）将非线性回归模型取对数转化为线性回归模型，利用给定数据计算斜率和截距，再还原得到原模型的参数. 【小问1详解】 保有量大于3万辆的年份有第4，5，6年，共3年， 保有量不大于3万辆的年份有第1，2，3年，共3年， 设至少有1年保有量大于3万辆为事件，2年保有量全都大于3万辆为事件， 事件的对立事件为2年都不大于3万辆，总选法有， 两年都不大于3万辆的选法为，所以， 两年都大于3万辆的选法为，所以， 则. 【小问2详解】 已知模型，两边取对数得， 令，则，即转化为线性回归方程， 其中，由题意得， 则， ， 因为，所以， 则. 16. 如图，在等腰中，，，D为边AB上的一动点，连接CD，作，垂足为E，且E在线段CD上（不包括端点C，D）． （1）若，求AD的长度； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式求解； （2）由正弦定理、三角形的面积公式及三角恒等变换求解. 【小问1详解】 在中，，， 由正弦定理可得，， ∴. 【小问2详解】 不妨设，则，，， 在中，由正弦定理得， 则， 由于，得，∴， ∴，∴. 17. 已知为圆上一动点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，连接 并延长至点，使得，点的轨迹记为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若过右焦点的直线与曲线交于不同的，两点，且，当，时，求直线在轴上的截距的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)设动点，通过条件转化得到，从而求得点为，代入所在圆的方程得到的关系式，也就是曲线的方程； (2) 设直线，从而直线在轴上的截距为，只要找到的取值范围即可.通过建立与的关系，从而求出取值范围. 【小问1详解】 设，,，则,，， 由题意知 ，并结合P在圆上得， 所以，得，，，所以 因为，得，故曲线的方程为． 【小问2详解】 设直线，,，,，联立方程组， 消去得 ，所以①，， 由得③， 由①③可得，，， 代入②化简得，， 即， 由，得，即， 解得，即， 从而直线在轴上的截距为． 18. 如图，四棱锥中，平面，， ，. （1）求证： ； （2）若为的重心， （i）求与平面所成角的正弦值； （ii）若交平面于，求的值. 【答案】（1）在中， ，， ， ， 平面，平面， ， ，平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， ； （2）， 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得到 ，利用线面垂直的定义得到，利用线面垂直的判定定理得到 平面 ，利用线面垂直的定义得到 ； （2）（i）以为原点， 分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，求出平面的法向量，设与平面所成的角为 ，利用公式 得到线与平面所成角的正弦值； （ii）设 ，则，由得到 ，利用数量积的坐标公式得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）以为原点， 分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， ， ，. ， ， ， ， ， ， ， 为的重心， ， ， 设平面的法向量为， 则，，， 取 ，则 ，即 ， ，， ， 设与平面所成的角为 ， 则， 故与平面所成角的正弦值为； （ii）由（i）知， ， ， 设 ，则 ， ， 由（i）知，平面的法向量为 ， 则，即 ，则 ，解得， 即. 19. 已知函数定义域为，，若对任意 ，存在，当时，都有．则称为在上的“点”． （1）设函数求在上的最大“点”； （2）判断函数在上是否存在“点”，并说明理由； （3）若函数在 上不存在“点”，求的取值范围. 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先利用导数分析函数在上的单调区间，从而找到最大值，即可确定最大“点”； （2）通过导数求出在上的最大值，不满足“点”的条件，即可作出判断； （3）将不存在“点”转化为在上恒成立，通过导数分析 的单调性，分和的不同情况讨论，最终求得的取值范围. 【小问1详解】 因为，， 所以，令，解得 ， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以在处取得极大值，也是在的最大值， 所以在上的最大“点”为. 【小问2详解】 不存在“点”，理由如下： 因为，令 得， 则当时，，单调递减， 当时， ，单调递增， 而， 所以是在上的最大值， 所以对任意，都有，所以在上不存在“点”. 【小问3详解】 由函数在上不存在“点”， 得在上恒成立， 求导得，令， 求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递减， 则， 因此函数在上单调递减，，符合要求； 当时，令，则， ①当，即时，，即在上单调递增， 则， 所以函数在上单调递增，，不符合要求； ②当，即时，恒成立，函数在上单调递减， 则， 函数在上单调递减，此时，符合要求； ③当，即时， 若，，若，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 而， 若，则在上恒成立，在上单调递减， 此时， 若，则存在 ，使得， 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 则要恒成立，只需，解得， 由，得， 由，得 即当时，符合要求. 综上，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $