精品解析：湖南长沙市望城区第二中学2026届高三5月阶段性训练数学试卷

2026届高三5月阶段性训练数学试卷 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，若，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量，，满足，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ） A. B. C. 6 D. 5 5. 已知椭圆与双曲线有相同的左焦点和右焦点，P为椭圆与双曲线在第一象限内的一个公共点，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，且，若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知分别为随机事件的对立事件，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 若互斥，则 D. 若独立，则 7. 已知正四面体的四个顶点均在球的表面上，若球的半径为3，则正四面体的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（，）在上恰有2个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二.多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在一次比赛中，7名裁判员对运动员甲的评分分别为8.0，8.5，9.0，8.0，8.5，5.5，8.5，关于这组数据，下列说法正确的有（ ） A. 这组数据的中位数大于平均数 B. 这组数据的80%分位数为8.5 C. 这组数据的众数为8.0 D. 去掉一个最低分和一个最高分后，新的一组数据的平均数会变大 10. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于两点，则（） A. 抛物线C的准线方程为 B. 若，则 C. 的最小值为16 D. 为钝角 11. 已知数列满足，，设，记数列，的前项和分别为，，则（ ） A. 是，的等比中项 B. C. 存在常数，，使得数列和是首项，公比均相同的等比数列 D. 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数的图象在点处的切线过点，则________． 13. 已知，则的值为________．（用数字作答） 14. 已知函数，若关于的方程的实数根不少于个，则实数的取值范围是__________. 四.解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足 （1）求数列，的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 16. 一袋中有3个白球和4个黑球.从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中.在重复n次这样的操作后，记袋中白球的个数为. （1）求的数学期望； （2）设，，求（用和k表示）. 17. 如图，三棱台中，侧面四边形为等腰梯形，底面三角形为正三角形，且，设为棱上的点. （1）若为棱的中点，求证； （2）若三棱台两底面间的距离为，且侧面底面，试探究是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 18. 已知双曲线的左、右焦点为，圆上一动点与两个焦点组成的三角形面积最大值为. （1）求双曲线的标准方程； （2）过不在双曲线上的一点P，作双曲线的两条互相垂直的切线，切点分别为，. （i）求点的轨迹方程； （ii）求面积的最小值. 19. 设函数， （1）若有极值点、无零点，求的取值范围； （2）若的图象在区间内存在两条互相垂直的切线，求的取值范围； （3）设，若方程有两个实数根、，且，求证：，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三5月阶段性训练数学试卷 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，若，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合的包含关系得不等式组，解不等式组即可． 【详解】由题意，因为，则. 故选：C． 2. 已知是虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，. 3. 已知空间向量，，满足，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件可得两边同时平方化简可得，再计算可得，从而求出答案． 【详解】因为，所以， 所以， 因为， 所以，即， 因为， 所以，即与的夹角为． 故选：D． 4. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ） A. B. C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理可得，即可求出，再由余弦定理计算可得； 【详解】解：因为，由正弦定理可得，又，所以，， 因为 所以，即，解得， 故选：B 5. 已知椭圆与双曲线有相同的左焦点和右焦点，P为椭圆与双曲线在第一象限内的一个公共点，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，且，若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设椭圆及双曲线的方程，根据椭圆及双曲线的离心率公式及定义，求得，进而得，，利用余弦定理即可求得，根据双曲线的渐近线方程，即可求得答案． 【详解】设椭圆的方程：，双曲线的方程：，， 焦点，， 由，，由，则，则， 由定义：，， 则，， 由余弦定理可知：， 则， ，，则， 双曲线的渐近线方程， 6. 已知分别为随机事件的对立事件，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 若互斥，则 D. 若独立，则 【答案】C 【解析】 【分析】结合互斥事件、对立事件的定义，根据条件概率公式判断即可． 【详解】A中：由对立事件定义可知，故正确； 中：， 故B正确； C中：A，B互斥，，而， 所以，故C错误； D中：A，B独立，则，则，故D正确. 故选：C. 7. 已知正四面体的四个顶点均在球的表面上，若球的半径为3，则正四面体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将正四面体补形为正方体，得正四面体的外接球与对应正方体的外接球为同一个球，通过正方体的外接球半径推导正四面体棱长与外接球半径的关系，求出正四面体的棱长；由正四面体的四个面为全等的正三角形，求得正四面体的表面积. 【详解】以正四面体的棱为正方体的面的对角线，将正四面体扩展为正方体，如图所示，则正方体的外接球与正四面体的外接球为同一个球. 设正方体的边长为，则正四面体的棱长为，外接球的半径； 球的半径为3，，得. 正四面体的棱长为. ，即正四面体的表面积为. 8. 已知函数（，）在上恰有2个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，求出时，相位所在区间，再利用正弦函数性质求解作答. 【详解】由题意，， 因为，， 所以， 因为在上恰有2个零点，则， 所以，解得. 故的取值范围为. 故选：D. 二.多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在一次比赛中，7名裁判员对运动员甲的评分分别为8.0，8.5，9.0，8.0，8.5，5.5，8.5，关于这组数据，下列说法正确的有（ ） A. 这组数据的中位数大于平均数 B. 这组数据的80%分位数为8.5 C. 这组数据的众数为8.0 D. 去掉一个最低分和一个最高分后，新的一组数据的平均数会变大 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平均数、80%分位数、众数的意义依次求解判断. 【详解】给定数据由小到大排列为， 对于A，平均数，中位数8.5，A正确； 对于B，由，得这组数据的80%分位数为8.5，B正确； 对于C，这组数据的众数为8.5，C错误； 对于D，新数据组的平均数为，D正确. 故选：ABD 10. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于两点，则（） A. 抛物线C的准线方程为 B. 若，则 C. 的最小值为16 D. 为钝角 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合抛物线的定义、韦达定理及向量数量积的性质，逐一分析各选项的正确性. 【详解】选项A：抛物线，，准线方程为，A错误. 选项B：由抛物线定义，抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离， 故.若，则，B正确. 选项C：过焦点的直线与抛物线交于、， 当直线垂直轴时，，，此时； 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 由消去并化简得， ， 由韦达定理得，， 而，， 故 . 综上所述，，故最小值为16，C正确. 选项D：向量，， ，而，所以， 故，且不共线，故为钝角，D正确. 故选：BCD. 11. 已知数列满足，，设，记数列，的前项和分别为，，则（ ） A. 是，的等比中项 B. C. 存在常数，，使得数列和是首项，公比均相同的等比数列 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，求出，，得到，从而得到结论；对于B，，将分别用表示，从而得到结论；对于C，利用等比数列的定义求解；对于D，利用等比数列的定义和等比数列的前项和的公式求解. 【详解】对于A，因为数列满足，， 所以，，所以，故A正确； 对于B，因为数列满足 所以 ，故B错误； 对于C，当时，， 所以， 即，又因为，所以当时，， 所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列； 又因为，，， 所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列，故C正确； 对于D，因为数列是以3为首项，2为公比的等比数列， 所以， 所以 又因为，所以，故D正确． 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数的图象在点处的切线过点，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求切线方程，再由点在切线上求参数即可. 【详解】由题设，且，则， 所以切线方程为过点， 所以，则. 故答案为：5 13. 已知，则的值为________．（用数字作答） 【答案】121 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项公式得出系数的代数计算公式即可求出得解. 【详解】二项式展开式的通项公式为，所以， 故，，， 所以. 14. 已知函数，若关于的方程的实数根不少于个，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由可得或，则直线、与函数图象交点个数至少为，对实数的取值进行分类讨论，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】由可得， 所以或， 由题意可知，直线、与函数图象交点个数至少为， 由图可知， ①当时，则直线与函数图象有个交点， 则直线与函数图象至少有个交点，则，解得， 此时； ②当时，直线与函数的图象有个交点， 直线与函数的图象有个交点， 则关于的方程的实数根的个数为，符合题意； ③当时，直线与函数的图象有个交点， 直线与函数的图象至少有个交点， 则关于的方程的实数根的个数至少为，符合题意； ④当时，直线与函数的图象至多有个交点， 直线与函数的图象只有个交点， 则关于的方程的实数根的个数至多为，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 四.解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足 （1）求数列，的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1），bn （2） 【解析】 【分析】（1）需先根据数列前项和公式求的通项公式，再利用函数性质及倒序相加法求的通项公式； （2）先得出的表达式，再用错位相减法求前项和. 【小问1详解】 由题意，当时，， 当时，， ∵当时，也满足上式， ∴，， 对于数列：由， 可得 两式相加， 可得 ，. 【小问2详解】 由（1），可得， 则 两式相减， 可得 ∴. 16. 一袋中有3个白球和4个黑球.从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中.在重复n次这样的操作后，记袋中白球的个数为. （1）求的数学期望； （2）设，，求（用和k表示）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意分析可知的可能取值为，结合独立事件概率乘法公式求分布列，进而可求期望； （2）分和两种情况，根据题意结合独立事件概率乘法公式运算求解. 【小问1详解】 当时，取出的是白球的概率为，取出的是黑球的概率为， 由题意可知：的可能取值为，则有： ， 所以的分布列为 3 4 5 的数学期望. 【小问2详解】 ①当时，即第n次操作后袋中有3个白球，黑球4个， 所以； 当时，第次操作后袋中有个白球的可能性有两种： 第n次操作后袋中有个白球，黑球个， 第次取出来的也是白球，这种情况发生的概率为； ②第n次操作后袋中有个白球，黑球个， 第次取出来的是黑球，这种情况发生的概率为； 故； 综上所述：. 17. 如图，三棱台中，侧面四边形为等腰梯形，底面三角形为正三角形，且，设为棱上的点. （1）若为棱的中点，求证； （2）若三棱台两底面间的距离为，且侧面底面，试探究是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 如图：取中点，连接， 因为四边形为等腰梯形，且为中点，所以. 又为正三角形，所以， 平面，所以平面， 又平面，所以. （2）存在，与点重合 【解析】 【分析】(1)利用线面垂直证明线线垂直； (2)解法1：设直线与平面所成角为，,到平面的距离是，利用求出，确定的位置. 解法2：建立空间直角坐标系，利用坐标法求直线与平面所成角的正弦值为时点的位置. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法1：延长三棱台侧棱交于点，补成三棱锥， 取中点，中点，连接； 侧面为等腰梯形，故； 侧面底面，交线为，平面， 因此平面； 已知两底面距离为，即； 由相似比，得； 底面为正三角形，，则，； 在中，； 在中，； 设点到平面（即平面 ）的距离， 由，即， ，， 代入得：，解得； 设点到平面的距离， 由相似比，得； 设，点到平面的距离，由相似性：，、 得，其中； 作于，则，，， 由余弦定理：， ， 设直线与平面所成角为，则， 代入得：，化简得， 解得或（舍去），即点与重合, 所以存在点，当与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为. 解法2：设中点为，连接，则， 又侧面底面，侧面底面侧面， 所以底面， 又底面，所以， 又，所以两两垂直， 故可以为原点，所在的直线分别为轴建立如图空间直角坐标系. 因为三棱台两底面间的距离为，即， 又三角形为正三角形，且， 则，设， 则， 设平面的法向量为， 则， 可取 设直线与平面所成的角为， 则， 由， 所以，故或（因为，故舍去）， 此时与点重合， 所以存在点，当与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知双曲线的左、右焦点为，圆上一动点与两个焦点组成的三角形面积最大值为. （1）求双曲线的标准方程； （2）过不在双曲线上的一点P，作双曲线的两条互相垂直的切线，切点分别为，. （i）求点的轨迹方程； （ii）求面积的最小值. 【答案】（1）y2＝1 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）借助双曲线与圆的对称性，利用焦点三角形面积最大值求出，结合双曲线关系式算出，进而得出双曲线标准方程. （2）（i）设切线方程并联立双曲线方程，由相切得判别式为零推出关系，结合切线过点代入化简得到关于斜率的一元二次方程，依据两切线垂直斜率乘积为，整理求得点的轨迹方程. （ii）先写出点对应的双曲线切点弦方程，求出点到弦的距离，联立直线与双曲线借助韦达定理表示弦长，推出三角形面积表达式，换元构造函数，分区间利用导数判断单调性，分别求出区间内面积最值，最终确定面积最小值. 【小问1详解】 根据双曲线与圆的对称性可知圆上一动点与两个焦点组成的三角形面积最大值为，所以. 所以，所以，所以双曲线的标准方程为; 【小问2详解】 （i）设，双曲线切线方程为 联立，得： 判别式，即. 即，切线过，故. 代入得. 两条切线互相垂直，故斜率之积. 整理得，即点的轨迹方程为; （ii）设，则切点弦的方程为. 点到的距离. 联立方程与双曲线方程. 消去整理得. 设，则， 的面积， 令，则， 当时，， 则在上单调递增， 所以当时，取得最小值为1;当时，， 则在上单调递减，所以当时，取得最小值为4， 综上，的面积的最小值为1. 19. 设函数， （1）若有极值点、无零点，求的取值范围； （2）若的图象在区间内存在两条互相垂直的切线，求的取值范围； （3）设，若方程有两个实数根、，且，求证：，且． 【答案】（1） （2） （3） 设，则， 因为，所以． 当时，，在上单调递增，不符合题意，所以． 由，得． 设，则，所以在上单调递增． 又因，所以， 所以，所以， 所以，所以， 设，则， 因为当时，，所以在上单调递减， 又因为，所以当时，，即． 因为，所以，即， 又因，所以，所以， 又因为，，所以． 【解析】 【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，结合函数极值点的定义可得出实数的取值范围，求出该函数的极小值，根据函数无零点可得出关于的不等式，综合可解得实数的取值范围； （2）分析可知，存在、使得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，可得出，即可解出实数的取值范围； （3）分析可知，证明出，可得出，所以，再证明出，即可得出，再结合不等式的基本性质可证得结论成立. 【小问1详解】 因为，则， 当时，，此时函数在上单调递增，函数无极值点，不符合题意； 当时，由可得，由可得， 此时函数在上单调递减，在上单调递增， 则函数有极小值点，故的极小值为， 因为函数无零点，所以，即，即，解得， 综上，的取值范围为． 【小问2详解】 由的图象在区间内存在两条互相垂直的切线， 可知存在、使得． 当，则，不符合题意． 当时，在上单调递增． 所以在内的值域为． 所以，由题意可得， 整理可得，解得， 因此，的取值范围为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $