专题02 期末复习易错题41个考点（举一反三期末专项训练）七年级数学下学期新教材湘教版

**基本信息** 聚焦期末易错题，41个考点系统覆盖整式乘除、实数、不等式、几何变换及统计图表，以真题为载体强化易错点突破，培养数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数（整式/实数/不等式）|19考点|计算/应用/辨析|概念（幂运算/平方根）→性质（公式逆用/不等式性质）→综合应用（实际问题建模）| |几何（图形性质与变换）|16考点|证明/作图/计算|基础（对顶角/距离）→变换（平移/旋转/对称）→性质应用（平行线判定与性质）| |统计（数据收集与图表）|6考点|图表分析/决策|调查方法→数据整理（统计表）→图表解读（条形/扇形/折线图）|

专题02 期末复习易错题41个考点 【新教材湘教版】 【考点1 同底数幂的乘法及其逆用】 2 【考点2 幂的乘方及其逆用】 3 【考点3 积的乘方及其逆用】 5 【考点4 整式的乘法】 6 【考点5 平方差公式】 9 【考点6 平方差公式的几何背景】 12 【考点7 完全平方公式】 15 【考点8 完全平方公式的几何背景】 18 【考点9 平方根、算术平方根】 23 【考点10 立方根】 25 【考点11 实数的分类】 26 【考点12 无理数】 28 【考点13 认识不等式】 31 【考点14 不等式的基本性质】 32 【考点15 一元一次不等式（组）的定义】 34 【考点16 一元一次不等式（组）的解法】 35 【考点17 一元一次不等式（组）的整数解】 38 【考点18 由实际问题抽象出一元一次不等式（组）】 41 【考点19 一元一次不等式（组）的应用】 43 【考点20 对顶角】 47 【考点21 点到直线的距离】 49 【考点22 同位角、内错角、同旁内角】 51 【考点23 平行线的判定】 54 【考点24 平行线的性质】 57 【考点25 平行线的判定与性质】 61 【考点26 平移的性质】 67 【考点27 作图-平移变换】 69 【考点28 轴对称图形】 72 【考点29 轴对称的性质】 73 【考点30 作图-轴对称变换】 75 【考点31 生活中的旋转现象】 76 【考点32 旋转的性质】 78 【考点33 作图-旋转变换】 79 【考点34 中心对称和中心对称图形】 81 【考点35 图案设计】 84 【考点36 全面调查与抽样调查】 87 【考点37 总体、个体、样本、样本容量】 88 【考点38 统计表】 90 【考点39 条形统计图】 92 【考点40 扇形统计图】 94 【考点41 折线统计图】 97 【考点1 同底数幂的乘法及其逆用】 1．（25-26八年级上·北京·期中）已知，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆运算，根据即可求解． 【详解】解：已知 ，， 由同底数幂的乘法法则，得 ， 故答案为： 6． 2．（25-26八年级上·广东广州·期中）若，则的值为 . 【答案】45 【分析】本题考查了同底数幂的乘法．逆用同底数幂的乘法法则，将转化为，再代入已知条件求解． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：45． 3．（24-25七年级下·湖南·期末）已知为整数，且，则的大小关系不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，正确变形、熟练掌握同底数幂的乘法的逆运算法则是解题关键． 根据同底数幂的乘法的逆运算，则把x、y、z进行变形，然后比较即可． 【详解】解：∵， ∴，无法确定z与y的关系； ∴的大小关系不可能是， 故选：B． 4．（25-26八年级上·福建厦门·期中）规定：若实数a，b，c满足（且，），则记作．例如：，则．若，，，且，则p的值是（   ） A． B． C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算，同底数幂的乘法，掌握相关知识是解决问题的关键．根据规定将符号转化为指数形式，再利用 和同底数幂相乘的法则求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ； 又 ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 故选：A． 【考点2 幂的乘方及其逆用】 1．（25-26八年级上·山西晋城·期中）若，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是幂的乘方，灵活运用幂的乘方运算法则是解题的关键．根据幂的乘方公式，将、、的指数化为相同，进而比较底数大小得出三者的大小关系． 【详解】，，， 且， ． 故选：． 2．（25-26八年级上·四川内江·月考）已知，，，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握运算法则，是解题的关键．先根据，，，得出，，，根据，得出，根据同底数幂乘法得出，即可得出答案． 【详解】解： ，，， ∴，，， 即，，， ∵， ∴， ∴， ， 故选：C． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如果，，那么用的代数式表示y为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运用以及完全平方公式，由，，得，，然后消去即可求解，熟练掌握幂的乘方和完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 4．（24-25七年级下·浙江·期中）如果，（为整数），那么用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方及其逆运算，掌握计算公式并灵活运用是解题的关键． 先将化为，再由幂的乘方及其逆运算将化为，再代入即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【考点3 积的乘方及其逆用】 1．（2025·四川泸州·二模）已知，，则可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，将原式进行正确地变形是解题的关键．逆用幂的乘方与积的乘方法则将原式变形后即可解答． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：A． 2．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）若，则 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 将方程两边化为同底数幂的形式，利用指数相等求解． 【详解】解：∵ ， ∴， ， 解得：． 故答案为：6． 3．（25-26八年级上·四川内江·阶段练习）计算是（      ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，掌握其运算法则是关键． 根据积的乘方的逆运算计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 4．（25-26八年级上·湖北·期中）求值： (1)已知，求的值； (2)已知是正整数，且，求的值． 【答案】(1)x的值为1 (2)184 【分析】本题考查了代数式求值、积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，将原式化为，进而即可求出的值； （2）根据幂的乘方的逆运算化简，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ， 即， ， 解得； （2）解： ， ， 原式 ． 【考点4 整式的乘法】 1．已知(－2x)·(5－3x＋mx2－nx3)的结果中不含x3项，则m的值为(　　) A．1 B．－1 C．－ D．0 【答案】D 【分析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，根据整式不含x3项，可得三次项的系数为零． 【详解】（-2x）•（5-3x+mx2-nx3）=-10x+6x2-2mx3+2nx4， 由（-2x）•（5-3x+mx2-nx3）的结果中不含x3项，得-2m=0， 解得m=0， 故选D． 【点睛】本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意符号的处理． 2．（25-26八年级上·北京·期中）若，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法运算与代数式求值，运用整体代入思想，先化简代数式，再结合已知条件整体代入． 先将代数式化简为含的形式，再由已知条件得出的值，整体代入化简后的式子求值． 【详解】解： ∵ ∴ 则原式 ． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，在长方形中放置两个边长都为5的正方形与正方形，设长方形的面积为，阴影部分的面积之和为．若，则长方形的周长是 ． 【答案】24 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，解答此题的关键是要明确：有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 根据图形中各线段的关系，用、的代数式表示相关线段的长，再根据，由矩形面积公式列出、的方程，求得便可求解． 【详解】设， 则， ， ， ， 整理得， 则长方形的周长是24， 故答案为：24． 4．（25-26八年级上·福建厦门·期中）定义：对于依次排列的多项式（是常数），当它们满足：，且为常数时，则称是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．例如：对于多项式，因为 ，所以2，1，6，5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子． (1)已知2，4，7，9是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子； (2)若是一组平衡数，且，请直接写出与的数量关系： (3)若是一组平衡数（n是常数）且平衡因子为14，求的值． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了平衡数与平衡因子概念，整式的混合运算，解题的关键在于正确理解平衡数与平衡因子概念． （1）根据建立等式求解，即可解题； （2）利用整式的混合运算法则，结合，整理得到 ，再根据，且为常数，推出一次项系数为零，即可解题； （3）根据题意列式，再进行整理得到，进而即可计算出的值． 【详解】（1）解：由题知， ； （2）解： ， ， 上式， ，且为常数， ， 整理得； （3）解：由题知， ， ， ， ， 则， 则． 【考点5 平方差公式】 1．（25-26八年级上·江西·期末）下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式的特点：，是解题的关键． 根据平方差公式，判断是否具有使用公式的条件，即看乘积中是否能写成的形式，是否可以整理或转化成这种形式，注意这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． 【详解】解：A、，x相同，a与互为相反数，符合公式，故能用平方差公式进行计算； B、，两项都互为相反数，无相同项，不符合公式，故不能用平方差公式进行计算； C、，中x相同，b与互为相反数，符合公式，故能用平方差公式进行计算； D、，m相同，b与互为相反数，符合公式，故能用平方差公式进行计算． 故选：B． 2．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知，那么 ． 【答案】17 【分析】本题考查了平方差公式的应用，求代数式的值，利用换元法，设，将原方程转化为关于的方程，进而求解的值，即可得解，正确利用换元法是解此题的关键． 【详解】解：设，则， 代入原方程可得， 整理得：， ∴， ∴，即， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·广东广州·期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“凤凰数”，如：，所以8，……都是“凤凰数”，下列整数是“凤凰数”的为（   ） A．86 B．230 C．462 D．480 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式． 设两个连续奇数为和（为正整数），，根据题意可知，“凤凰数”是正整数，且为的倍数，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：设两个连续奇数为和（为正整数）， ∵， 根据题意可知，“凤凰数”是正整数，且为8的倍数， A．，不是“凤凰数”，不符合题意； B．，不是“凤凰数”，不符合题意； C．，不是“凤凰数”，不符合题意； D．，是“凤凰数”，符合题意． 故选：D． 4．（25-26七年级上·上海崇明·期中）阅读材料：计算： 运用上述方法求 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，通过观察原式，仿照阅读材料的方法，将原式乘以和除以，利用平方差公式逐步化简，最终得到结果． 【详解】 ． 故答案为：2． 【考点6 平方差公式的几何背景】 1．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）如图“L”形的图形的面积有如下四种表示方法：①；②；③；④．其中正确的表示方法有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】B 【分析】此题主要考查平方差公式、多项式乘法的几何背景，掌握组合图形的拼接方法与面积的计算方法是解决问题的关键． 利用割补的方法将原图形进行转化，结合面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图①，图①中，大正方形面积为，小正方形面积为，所以整个图形的面积为； 如图②，一个长方形的面积是，另一个长方形的面积是，所以整个图形的面积为； 如图③，在图③中，拼成一个长方形，长为，宽为，则面积为． 综上所述：“L”形的图形的面积为①；②；③；共3种方法正确． 故选：B． 2．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，阴影部分是在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼形成新的图形，下列四种割拼方法，能够验证平方差公式的有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，熟练掌握各图形的面积之间的联系是解题关键． 图①：根据阴影部分的面积等于1个长方形（长为、宽为）的面积即可得；图②：根据阴影部分的面积等于1个平行四边形的面积之和即可得；图③：根据阴影部分的面积等于1个长方形（长为、宽为）的面积即可得；图④：根据阴影部分的面积等于1个平行四边形的面积之和即可得． 【详解】解：图①：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分面积为， 则有； 图②：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分是一边长为，这条边上的高为的平行四边形，其面积为， 则有； 图③：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分面积为， 则有； 图④：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分是一边长为，这条边上的高为的平行四边形，其面积为， 则有； 综上，能够验证平方差公式的有4个， 故选：D． 3．（25-26七年级上·天津和平·期中）如下左图是在一个边长为的大正方形正中心挖去一个边长为的小正方形，把剩下的部分按照图中的虚线分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成右图中的一个大平行四边形． （I）用两种方法表示右图平行四边形的面积，方法一： ，方法二： （均用含，的代数式表示）； （II）计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的知识点是平方差公式的几何背景及应用． 在（I）中，通过图形的剪拼，用两种方法表示平行四边形的面积，直观地推导得出平方差公式，体现了平方差公式的几何意义，即从图形面积的角度理解公式； 在（II）中，运用（I）中得到的平方差公式，对进行简便计算，体现了平方差公式在数的运算中的应用，利用公式可以快速计算两个数的平方差． 【详解】（I）解：方法一 ∵大正方形的边长为，面积是；小正方形的边长为，面积是， 又∵平行四边形是由大正方形挖去小正方形后剩余部分拼成的， ∴平行四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积， 即． 方法二 观察拼成的大平行四边形，它的底边长为，高为.根 ∴据平行四边形的面积公式：面积底高， 可得其面积为 （II）根据（I）中得出的， 可将，代入公式， 则 ． 4．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）【知识生成】 （1）如图①，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，按如图②所示进行拼接．图①中阴影部分的面积可表示为_____________，图②中阴影部分的面积可表示为_____________，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可以得到恒等式：_____________； 【知识应用】 （2）通过计算几何体的体积也可以表示一些代数恒等式，如图③表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图③中图形的变化关系，写出一个代数恒等式． 【答案】（1）；；；（2） 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，解题的关键是分别表示出图①和图②中阴影部分的面积． （1）分别计算图①、图②阴影面积，根据面积相等得出恒等式． （2）分别算出原几何体（正方体挖去小长方体）和新长方体的体积，根据体积相等得恒等式． 【详解】解：（1）图①中阴影部分的面积可表示为， 图②中阴影部分的面积可表示为， 恒等式， 故答案为：，，； （2）根据题意，得新长方体的长为，宽为x，高为， 新长方体体积为， 正方体挖去一个小长方体后的体积为， 根据变化前后几何体的体积相等， 可得， 代数恒等式为； 【考点7 完全平方公式】 1．（25-26七年级上·上海·期中）已知，则的值是（   ） A．24 B．25 C．26 D．27 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式混合运算，结合完全平方公式计算是解题的关键． 通过引入中间变量，将原方程转化为关于的方程，简化后直接求解． 【详解】 ，且， 。 设，则，， 代入得：， 展开：左边， 右边， ， 移项得：， 即， ，， ， ． 故选． 2．（25-26八年级上·四川内江·期中）已知，，，则代数式的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查代数式的化简求值，解题的关键是利用完全平方公式的变形对代数式进行转化，再代入计算． 先求出的值，再利用恒等式 进行计算． 【详解】解：已知， 则， ， ， 根据恒等式，将上述值代入可得： ． 故选：A． 3．（25-26八年级上·北京·期中）已知．若，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的应用是解题关键． 根据题意将用含的式子表示，代入，利用完全平方公式建立等式求解即可． 【详解】，，， ，， ， ， ， ， ． 4．（25-26八年级上·河南南阳·期中）（1）已知，，求下列各式的值： ①； ②． （2）代数推理：请运用所学知识，说明下列结论的正确性． ①两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．为什么？ ②任意两个不同奇数的平方差一定是8的倍数．为什么？ 【答案】（1）①；②；（2）①一定，见解析；②一定，见解析 【分析】本题考查了代数式的求值，平方差公式，完全平方公式，掌握完全平方公式的变换，奇数用代数式如何表示是解题的关键． （1）①根据完全平方公式变换即可求解；②根据完全平方公式和变换即可求解． （2）①用含n的式子将两个连续奇数表示出来，计算出平方差，即可求解；②用含n、m的式子将两个奇数表示出来，计算出平方差，再根据n、m的奇偶分类讨论，即可求解． 【详解】解：（1）①，， ； ②，， ． （2）①设这两个连续奇数分别为，（为整数）， 则 ， 为整数， 一定能被8整除，即两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．             ②设这两个不同奇数分别为，（，均为整数，且）， ． 当、都为偶数时，则为奇数，为偶数，则一定为偶数； 当、都为奇数时，则为奇数，为偶数，则一定为偶数； 当、为一奇数一偶数时，则为偶数，为奇数，则一定为偶数； 综上所述，一定能被8整除． 即任意两个不同奇数的平方差一定是8的倍数． 【考点8 完全平方公式的几何背景】 1．（25-26八年级上·福建泉州·期中）我们已知道可以用一些长方形（或正方形）硬纸片拼成的图形面积来解释代数恒等式． (1)如图1，根据标注，可解释的代数恒等式是 ； (2)如图2，点在上，以，为边分别作正方形和正方形，它们的面积分别为和．若，，求的面积． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了完全平方公式的几何应用． （1）用两种方法表示面积，列出等式即可； （2）设正方形，的边长分别为，，可得，，代入（1）中结论求出，进而根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：图1面积可表示为、， 即， 故答案为：； （2）解：设正方形，的边长分别为，， ，， ，， ， 即， ， ． 2．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．因此我们解决有关“数”的问题时，可以借助“形”，让问题变的直观． 【教材回顾】选自教材图 （1）根据情境中的等量关系列出一个等式：如图，一张正方形纸片被分割成四个部分．从图中可以直观的看出正方形的面积表示为，还可以表示为______，所得等式为：__________________； 【探索活动】（2）简便计算：； 【拓展应用】（3）． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何应用、列代数式、完全平方公式的简便运算等知识点，灵活运用完全平方公式以及数形结合思想是解题的关键． （1）结合图形列代数式即可解答； （2）将写成，然后用完全平方公式求解即可； （3）将写成，然后解答即可． 【详解】解：（1）正方形的面积还可以表示为， 所得等式为：． 故答案为：，． （2） ． （3） ． 3．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）【问题背景】七年级数学兴趣小组在一次数学活动课上，探索利用如图1所示的两个长方形和两个正方形拼接成一个大正方形，并探究相关问题． 【问题探究】（1）甲小组拼成了如图2所示的大正方形，发现大正形的面积有两种表示方法，请你帮他完成这两种表示方法． 方法1：______； 方法2：______； 【发现结论】（2）由上述“方法1”与“方法2”可列等式：______； 【尝试应用】（3）乙小组拼成了如图3所示的大正方形，若，，求出图3中阴影部分的面积． 【答案】（1）；；（2）；（3）21 【分析】此题考查了完全平方公式的几何背景，能从整体和部分两个角度求出图形的面积是解题的关键． （1）图2分别看成一个大正方形的面积和边长为a的正方形的面积加上4个长为a宽为b的长方形的面积，再加4个边长为b的正方形的面积，即可求得答案； （2）由（1）中的表示方法即可得到答案； （3）首先求出，然后表示出阴影部分的面积，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）方法1：； 方法2：； （2）由（1）中面积的两种不同表示方法可得到等式为：； （3）∵，， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积 ． 4．（25-26八年级上·山东泰安·期中）如图1，正方形是由两个长为、宽为的长方形和两个边长分别为、的正方形拼成的． (1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是______； (2)若将正方形的边、分别与图1中的、重叠，如图2所示，已知，，长方形的面积等于80，且，求正方形与正方形的面积之差． 【答案】(1) (2)384 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积问题，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键： （1）利用2种方法表示出正方形的面积，即可得出结论； （2）设正方形的边长为，则，由，代入后利用完全平方公式即可求解正方形的面积，设，则，而，进而求出的长，再根据正方形与正方形的面积之差为进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的面积等于边长的平方，即， 也等于两个小正方形的面积＋两个小长方形的面积，即， 故答案为：； （2）解：设正方形的边长为， 则 ， 设，则：正方形的边长为， ∵， ∴， ∵长方形的面积等于80， ∴， ∴， ∴， ∴正方形与正方形的面积之差为． 【考点9 平方根、算术平方根】 1．（24-25七年级下·云南丽江·期末）已知正数x的两个不同的平方根是和，则 ． 【答案】25 【分析】本题考查平方根定义和性质，根据平方根的性质：一个正数有两个不同的平方根，它们互为相反数，可得和互为相反数，再根据互为相反数的两个数和为0，求得m的值，再得出的值，从而得出x的值. 【详解】解：∵正数x的两个不同的平方根是和 ∴和互为相反数 ∴ 解得 则 ∴. 故答案为25. 2．的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， ∴的算术平方根是， 故答案为：． 3．（2025·湖北·模拟预测）已知、均为实数且与互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了非负数的性质，相反数的性质，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 根据相反数的性质得，再根据算术平方根的非负性和非负数的性质得出，，从而可求出a 、b的值，进而可求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ ∴，， 解得：，． ∴． 故选：B． 4．（24-25七年级下·重庆·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵． 根据数阵规律，第八行第十三个数是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字的变化规律，根据数字的变化找出规律求值是解本题的关键．找出规律，计算求值即可． 【详解】解：第一行有个数， 第二行有个数， 第三行有个数， ， 第行有个数， 前行包含第行数的总个数为：， 第八行数的个数为：， 前八行包含第八行数的总个数为：， 根据规律，可知第八行的最后一个数为：， ，， 第八行第十三个数是 故选：D． 【考点10 立方根】 1．（24-25七年级下·广东汕头·期中）已知，则，则 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根的性质，根据被开方数的小数点每向左或向右移动3位，立方根的小数点向左或向右移动1位，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：． 2．（2024七年级下·上海·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，看懂运算程序是解题的关键． 【详解】解：当时，算术平方根为，是有理数， 再取立方根，是有理数， 倒回再取的算术平方根为，是无理数， ∴输出的值为， 故选：B． 4．已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】此题考查了平方根和立方根的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识，并能进行正确地计算． （1）运用平方根知识列出方程并求解； （2）将该方程变形后，运用立方根知识进行求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 解得， ∴； （2）解：由（1）所求， ∴关于x的方程为， 移项，得， 化系数为1，得， 开立方，得． 【考点11 实数的分类】 1．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列说法错误的是（   ） A．实数可分为正实数和负实数两类 B．正实数包括正有理数和正无理数 C．实数在数轴上都有唯一对应的点 D．数轴上任一点都有唯一对应的实数 【答案】A 【分析】本题考查了实数的分类和实数与数轴的对应关系，解题的关键是掌握实数的有关基础知识． 根据实数的分类，实数与数轴的对应关系对选项逐个判断即可． 【详解】解：A，实数包括正实数、负实数和零，零既不是正实数也不是负实数，选项错误，符合题意； B，正实数包括正有理数和正无理数，选项正确，不符合题意； C：实数与数轴上的点一一对应，每个实数都有唯一对应的点，选项正确，不符合题意；； D：数轴上的每个点都有唯一对应的实数，选项正确，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）下列计算结果是有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的分类，熟知有理数是有限小数或无线循环小数是解题的关键． 根据有理数和无理数的定义，只有选项A是有理数，其他选项均为无理数． 【详解】A、是有理数，故A符合题意； B、是无理数，故B不符合题意； C、是无理数，故C不符合题意； D、是无理数，故D不符合题意． 故选：A． 3．在①  ②  ③0  ④3.14  ⑤  ⑥0.3  ⑦  ⑧  ⑨ 属于有理数的有：________________；（填序号） 属于无理数的有：________________；（填序号） 属于实数的有：________________．（填序号） 【答案】见解析 【分析】根据有理数、无理数和实数的定义分别填空即可． 【详解】解：∵=-7，=1.1， ∴属于有理数的有：①③④⑥⑦⑧⑨； 属于无理数的有：②⑤； 属于实数的有：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨． 【点睛】本题考查了实数，无理数是无限不循环小数，有理数是无限循环小数或有限小数，大于零的实数是正实数，小于零的实数是负实数． 4．把下列各数分别填入相应的集合中： ，，，，，，，，，相邻的两个之间依次多一个． (1)无理数集合：________________________________________ (2)有理数集合：________________________________________． (3)分数集合：_______________________． (4)负无理数集合：_____________． 【答案】(1)，，，，相邻的两个之间依次多一个 (2)，，，， (3)，， (4)， 【分析】此题考查了实数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．根据无理数，有理数，分数，负无理数的定义求解即可． 【详解】（1）无理数集合： ，，，，相邻的两个之间依次多一个， 故答案为：，，，，相邻的两个之间依次多一个， （2）有理数集合： ，，，，， 故答案为：，，，，， （3）分数集合： ，，， 故答案为：，，， （4）负无理数集合： ，， 故答案为：，， 【考点12 无理数】 1．（25-26八年级上·上海·月考）如果，那么整数 ． 【答案】3 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． 根据算术平方根的定义，比较与相邻的完全平方数，确定其取值范围，从而得到答案． 【详解】∵ ，，且 ， ∴ ． 又∵a为正整数， ∴． 故答案为3． 2．（25-26八年级上·上海松江·期中）在实数，，，，、，（位数无限且相邻两个“2”之间依次增加1个“7”）中，无理数共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查无理数的概念，即无限不循环小数．逐一判断给定实数中哪些是无理数即可．掌握无理数的定义是关键，注意区分有限小数、循环小数和无限不循环小数． 【详解】解：0是整数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； （位数无限且相邻两个“2”之间依次增加1个“7”）是无限不循环小数，属于无理数． ∴ 无理数有 、、（位数无限且相邻两个“2”之间依次增加1个“7”），共3个． 故选：B． 3．已知是的整数部分，是的整数部分，的值是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算，包括利用算术平方根的大小比较确定无理数的整数部分，解决本题的关键是对无理数估算方法的运用． 要确定的整数部分和的整数部分，需通过比较被开方数与相邻完全平方数的大小，得出无理数的范围，进而确定其整数部分，核心是对无理数估算方法的运用． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为1，即， 又∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为3，即， ∴． 故选：D ． 4．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此​的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示​的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为​的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ​，即 的整数部分为2，小数部分为 请解答： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值 (2)已知其中x是整数，且求的相反数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是无理数的估算，无理数的整数部分与小数部分的理解，熟练的确定无理数的范围是解本题的关键． （1）求出，得到的整数部分是2，的小数部分是，的小数部分为a，则，求出，得到的整数部分是3，的小数部分是，的整数部分为b，则，代入即可得到答案； （2）求出，则，由，其中x是整数，得到，，则，即可得到的相反数． 【详解】（1）∵， ∴， ∵的小数部分为a， ∴， ∵， ∴， ∵的整数部分为b， ∴， ∴． （2）∵ ，其中x是整数，且， ∴x是的整数部分，y是的小数部分， ∵， ∴， ∴，， ∴， 所以的相反数为． 【考点13 认识不等式】 1．下列式子中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式，根据不等式的定义逐项判断即可求解，掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是代数式，该选项不合题意； 、是等式，该选项不合题意； 、是不等式，该选项符合题意； 、是代数式，该选项不合题意； 故选：． 2．用不等式可将“a与b的和的平方为非负数”表示为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列不等式、非负数的概念（非负数即大于等于 0 的数）以及代数式的正确表示；解题的关键是准确拆解文字表述中的数量关系，先确定 “a 与 b 和的平方” 对应的代数式，再结合 “非负数” 的符号特征列出不等式． 先分析文字表述：“a 与 b 的和” 表示为，“和的平方” 即对整体平方，为；“非负数” 表示该式的值大于等于 0，即，由此组合得到对应的不等式，再与选项对比确定答案． 【详解】解：A、选项表示 “a 的平方与 b 的平方的和为非负数”，并非 “a 与 b 和的平方”，此选项不符合题意； B、选项表示 “a 与 b 和的平方为非负数”，与文字表述完全一致，此选项符合题意； C、选项表示 “a 的平方与 b 的平方的和为正数”，既不是 “和的平方” 也排除了非负数中的 0，此选项不符合题意； D、选项表示 “a 与 b 的和的平方为正数”，虽为 “和的平方” 但排除了非负数中的 0，此选项不符合题意； 故选：B． 3．如图，是校园内限速标志，若用V表示速度，请用含字母V的不等式表示这个标志的实际意义 ． 【答案】 【分析】本题考查列不等式．正确的识图，是解题的关键． 根据题意，列出不等式即可． 【详解】解：由图可知：； 故答案为：． 4．据气象台报道，2024年6月28日双流区的最高气温为，最低气温为，则当天气温的变化范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列不等式，根据题意列出不等式即可求出答案，解题的关键是正确理解不等式的定义． 【详解】由于最高气温是，最低气温是， ∴， 故答案为：． 【考点14 不等式的基本性质】 1．如果，则a b（填“＞”、“＜”、“＝”）； 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不改变是解题的关键． 根据不等式的基本性质直接求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： ． 2．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）若，下列不等式变形正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质逐一判断即可． 【详解】A．由可得，原不等式变形错误； B．由可得，即，原不等式变形错误； C．当时，，原不等式变形错误； D．由可得，即，原不等式变形正确； 故选：D． 3．（24-25七年级下·上海·期末）如果的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据不等式的运算法则运算求解即可． 【详解】解：∵的解集为， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·江西上饶·期末）若，，当时，A与B的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算的应用，不等式的性质，利用作差法求解是解此题的关键． 利用作差法求得，然后根据利用不等式的性质求解即可． 【详解】解： ∴当时， ∴ ∴． 故答案为：． 【考点15 一元一次不等式（组）的定义】 1．（24-25七年级下·上海·月考）下列为一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．依此即可求解． 【详解】解：A、含有2个未知数，故A不符合题意； B、未知数的次数不是1，故B不符合题意； C、是一元一次方程，故C不符合题意； D、是一元一次不等式，故D符合题意． 故选D． 2．下列不是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式组的定义进行解答． 【详解】解：A、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； B、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； C、该不等式组中含有2个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项符合题意； D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组． 3．（24-25七年级下·重庆·期末）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．利用一元一次不等式的定义判断即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴，， 解得：， 故答案为：． 4．（2024·河南周口·三模）某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求不等式组解集的意义；由题意知，温度要同时适宜两种菌苗的生长，就是求这两个范围的公共部分． 【详解】解：这两个温度范围的公共部分是：； 故答案为：． 【考点16 一元一次不等式（组）的解法】 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）关于的一元一次方程的解是负数，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次不等式，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据原方程的解为负数，得到，解出m的取值范围即可． 【详解】解：， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， ∵的一元一次方程的解是负数， ∴， 即， 解得． 答：的取值范围． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于、的方程满足方程组 (1)用含的代数式表示； (2)若、均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为9，最小值为 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组的解、解二元一次方程组、不等式的性质等知识，掌握不等式组及方程组的解法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）运用加减消元法，解得，即可作答． （2）由，且根据已知易得，从而可得，最后进行计算即可解答； （3）利用（1）的结论代入可得，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ，得， 解得， ，得， 解得， 综上所述：，； （2）解：由（1）得， ∵均为非负数， ∴， 即， 解得； （3）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 即， ∴的最大值为9，最小值为． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，解题关键是掌握一元一次不等式组的解法． 先分别解不等式组中的每个不等式，再根据不等式组的解集确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·重庆·期中）若关于的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式的解集为，则所有满足条件的整数的积为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法、二元一次方程组的整数解，熟练掌握“根据不等式解集的符号确定系数的范围，结合方程组的整数解条件分析未知数的取值”是解题的关键． 先根据不等式的解集确定的范围，再解方程组得到的表达式，结合解为整数的条件确定的可能值，最后计算这些的积． 【详解】解：∵ 不等式的解集为， ∴， 解得， 解方程组，得，， ∵ 方程组的解为整数， ∴ 是整数，且是整数，故是4的倍数 ∵ ， ∴ ，即是负整数， 又∵ 是整数且为4的倍数， ∴ 是8的负约数，且是4的倍数， 当时，，（是4的倍数），（整数），符合条件， 当时，，（是4的倍数），（整数），符合条件， 当时，，（不是4的倍数），舍去， 当时，，（不是4的倍数），舍去， ∴符合条件的整数为、， ∴ 它们的积为， 故答案为：． 【考点17 一元一次不等式（组）的整数解】 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）关于的不等式的负整数解是，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式的解集求参数． 首先解不等式得到的取值范围，然后根据负整数解是和，确定和满足不等式，而不满足，从而得到关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：解不等式，得， 由于负整数解是，， 因此和满足不等式，即，得； 同时不满足不等式，即，得； 故的取值范围是． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查的是根据不等式组的整数解求解参数的取值范围，先求出不等式组的解集，再根据只有四个整数解的条件确定a的取值范围． 【详解】解：∵， 由①得： ； 由②得： ，即 ． ∴不等式组的解集为 ． 由于只有四个整数解，且，因此整数解为 1， 0， ， ． 为确保解集包含 但不包含 ， ∴． 故答案为： 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解问题，解题的关键是先解不等式，再根据正整数解的个数确定不等式的取值范围． 1．解不等式，得到； 2．根据“有且仅有三个正整数解”确定正整数解为1、2、3，进而列出关于的不等式； 3．解该不等式，得到的取值范围． 【详解】解： 有且仅有三个正整数解， 正整数解为 1， 2， 3． 且 由 ，得 ，即 ； 由 ，得 ，即 ． ． 故选C． 4．若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，首先确定不等式组的解集，利用含的式子表示出来，根据整数解的和就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围． 【详解】解：解不等式组得， 不等式组的所有整数解的和是18， 不等式组的整数解为6、5、4、3或6、5、4、3、2、1、0、、， 或 ， 故选：C． 【考点18 由实际问题抽象出一元一次不等式（组）】 1．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）某学校组织八年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是用不超过3小时的时间平整一块面积为的土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了土地．设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实际问题抽象出一元一次不等式，理解题意，找准不等关系是解此题的关键． 设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据“某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时”即可列出一元一次不等式． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， 故选：C． 2．某品牌运动鞋的进价为每双200元，售价为每双300元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于，如果将这种品牌的运动鞋打折销售，则能正确表示该商店的促销方式的不等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用——销售问题．熟练掌握打折销售，“利润售价进价”，运用不等关系列不等式，是解决问题的关键． 根据打x折销售，利润率不低于，列出不等式即可． 【详解】∵这种品牌的运动鞋售价为每双300元，打折销售， ∴打折后实际售价为每双元， ∵利润率不低于， ∴利润不低于元， ∴能正确表示该商店的促销方式的不等式是：． 故选：B． 3．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若设同学人数为x人，则植树的棵数为棵，根据“每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵”列一元一次不等式组即可． 【详解】解：若每人平均植树 9 棵，则位同学植树棵数为， ∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的总棵数为棵， ∴可列不等式组为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键． 4．某企业次定购买，两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表： 型 型 价格（万无台） 12 10 月污水处理能力（吨月） 200 160 经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低1380吨，该企业有哪些购买方案呢？这解决这个问题，高购买型污水处理设备台，所列不等式组正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8-x）台，根据企业最多支出89万元购买设备，要求月处理污水能力不低于1380吨，列出不等式组，然后找出最合适的方案即可． 【详解】设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8-x）台，根据题意，得： ， 故选A． 【点睛】考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是通过表格获取相关信息，在实际问题中抽象出不等式组． 【考点19 一元一次不等式（组）的应用】 1．（25-26八年级上·浙江温州·期中）班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次须奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 【答案】(1)A种奖品最多买了35件； (2)①；②36 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式以及一元一次不等式组的应用． （1）设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，根据最初购买的奖品总数不超过100件，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再将x的最大整数值代入中，即可求出结论； （2）①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，利用颁发A，B两种奖品的总数量=颁发A种奖品的数量+颁发B种奖品的数量，可用含x的代数式表示出颁发A，B两种奖品的总数量； ②根据颁发A，B两种奖品的总数量不低于45件且不超过件，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x，均为正整数，可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为7， ∴（件）． 答：A种奖品最多买了35件； （2）解：①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， ∴此次颁奖，共颁发了A，B两种奖品（件）． 故答案为：； ②根据题意得：， 解得：， 即， 又∵x，均为正整数， ∴， ∴． 答：全班有36位同学获得了B种奖品． 2．（25-26七年级上·福建厦门·期中）甲、乙两家复印社复印纸张的收费标准如下： 甲复印社：无论复印多少页，每页收费0.2元． 乙复印社：当复印的页数不超过20页时，每页收费0.3元；当复印的页数超过20页时，超过的部分每页收费0.15元． (1)若要复印50页，请问选择哪家复印社比较省钱，并说明理由； (2)设复印的页数为x页（x超过20页），分别求出甲、乙两家复印社的收费（用含x的代数式表示）； (3)当复印的页数超过______页时，乙复印社的收费会比甲复印社便宜． 【答案】(1)选择甲复印社比较省钱，因为甲收费10元，乙收费10.5元。 (2)甲复印社收费：元；乙复印社收费：元。 (3)60 【分析】此题考查了一元一次不等式及列代数式的应用，找出题中的数量关系是解本题的关键． （1）根据甲、乙两家复印社收费标准即可求解； （2）根据题意，分别求出甲、乙两家复印社的收费即可； （3）根据题意列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：复印50页时： 甲复印社收费：(元) 乙复印社收费：前20页每页0.3元，超过部分每页0.15元， 即(元)， 因为， 所以选择甲复印社比较省钱． （2）解：设复印张数为页 甲复印社收费：元． 乙复印社收费：元． （3）解：要使乙复印社收费比甲便宜，需满足： 解不等式得： 所以当复印的页数超过60页时，乙复印社的收费会比甲复印社便宜． 故答案为：60． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）一个车间有20名工人，每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元．在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余人去制造乙种零件． (1)写出此车间每天所获利润y元与x名工人之间的函数表达式； (2)如果要车间每天所获利润不低于24000元，至少应安排多少工人去制造乙种零件？ 【答案】(1)（，且x为整数） (2)至少应安排15名工人去制造乙种零件 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式（组）的应用，正确建立函数关系式是解题关键． （1）先求出有名工人制造乙种零件，再根据利润计算公式即可得； （2）根据建立不等式，解不等式，从而求出，由此即可得． 【详解】（1）解：车间每天安排名工人制造甲种零件，则有名工人制造乙种零件， 则此车间每天所获利润， ∵， ∴， 所以此车间每天所获利润元与名工人之间的函数表达式为（，且x为整数）． （2）解：由题意得：，即， 解得， 则， 答：至少应安排15名工人去制造乙种零件． 4．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）中秋节前，某超市第一次购进A，B两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价： 进价（元/个） 售价（元/个） A礼盒 150 220 B礼盒 100 140 (1)根据上表，求该超市第一次购进A，B礼盒各多少个； (2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进A，B两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于A礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进A礼盒m个，A礼盒的售价比第一次的售价提高20元，B礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？ 【答案】(1)第一次购进A礼盒20个，B礼盒80个 (2)该超市有8种进货方案 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设该超市第一次购进x个A礼盒，则购进个B礼盒，根据该超市第一次购进的A，B两种礼盒全部售出后共获利4600元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即该超市第一次购进A礼盒的数量），再将其代入中，即可求出该超市第一次购进B礼盒的数量； （2）根据“第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出该超市共有8种进货方案． 【详解】（1）解：设A种礼盒x个，则B种礼盒个，由题意得： 解得， 则 答：第一次购进A礼盒20个，B礼盒80个； （2）解：由题意得 解得， ∴该超市有8种进货方案． 【考点20 对顶角】 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）下列图形中，与是对顶角的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对顶角定义即可求解． 【详解】解：、选项中与不是对顶角，不符合题意； 、选项中与是对顶角，符合题意； 、选项中与不是对顶角，不符合题意； 、选项中与不是对顶角，不符合题意． 2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，如果，则_____ 【答案】 【详解】解：由图可知 与是对顶角，根据对顶角相等可得， 因为 ， 所以 ， 又因为 与 互为邻补角， 所以， 所以 3．（25-26七年级下·北京·期中）如图，直线相交于点O，，，求的度数． 【答案】 【分析】由对顶角相等、邻补角互补可得、，则，再根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 4．如图，已知直线、相交于点，，平分，于点． (1)求的度数； (2)试判断射线是否平分？并说明理由． 【答案】(1) (2)射线平分，理由见解析 【分析】（1）根据对顶角相等得出，再由角平分线得出，结合垂直及图形即可求解； （2）根据题意得出，确定，再由角平分线的定义即可得出结果． 【详解】（1）解：， ． 平分， ． 又， ． ． （2）射线平分，理由如下： ∵， ． ， 又 ． 射线平分． 【考点21 点到直线的距离】 1．如图，点，在直线上，点在直线外，连接，，若，，则点到直线的距离可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据垂线段最短判断即可． 【详解】解：因为垂线段最短， ∴点P到直线l的距离小于3， 观察四个选项，只有选项A符合题意． 2．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足为点B，，则下列正确的语句是（　　） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．线段的长是点C到直线的距离 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【答案】B 【分析】此题主要考查了点到直线的距离，掌握知识点是解题的关键． 根据 “从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答． 【详解】解：A、线段的长是点C到直线的距离，故此选项不符合题意； B、线段的长是点C到直线的距离，故此选项符合题意； C、线段的长是点A到直线的距离，故此选项不符合题意； D、线段的长是点C到直线的距离，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】过点作于点，利用等面积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点与点重合时，最小． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， 解得， 垂线段最短， 当点与点重合时，最小，即最小值为． 4．如图，，于，，，，则点到的距离是______，点到的距离是______，的依据是______． 【答案】 垂线段最短 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，由，求出，然后根据点到直线的距离，垂线段最短即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离是，点到的距离是， ∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴， 故答案为：，，垂线段最短． 【考点22 同位角、内错角、同旁内角】 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）下列图形中，与的位置关系属于同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握以上知识点是解题的关键．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断． 【详解】解：A、与是同位角，不是同旁内角，故本选项不符合题意； B、与是内错角，不是同旁内角，故本选项不符合题意； C、与是同旁内角，故本选项符合题意； D、与不是同旁内角，故本选项不符合题意； 故选C． 2．若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有_______对内错角． 【答案】24 【分析】本题考查了内错角的定义与计数，解题的关键是先确定线段数量，再根据每条线段两侧内错角的对数计算总对数． 先根据4条直线两两相交且无三线共点，求出线段数量，再结合每条线段两侧内错角的对数，计算内错角的总对数． 【详解】∵平面上4条直线两两相交且无三线共点， ∴共有条线段． 又∵每条线段两侧各有一对内错角， ∴共有内错角对． 故答案为：24． 3．如图所示，同位角有对，内错角有对，同旁内角有对，则的值是____________ 【答案】6 【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义分别得到a，b，c的值，即可求解． 【详解】∵同位角有：∠8与∠4，∠5与∠1，∠7与∠3，∠6与∠2，∠4与∠9，∠7与∠9，共6对；内错角有：∠7与∠1，∠6与∠4，∠5与∠9，∠2与∠9，共4对，同旁内角有：∠7与∠4，∠6与∠1，∠1与∠9，∠6与∠9共4对， ∴a=6，b=4,c=4， ∴=6， 故答案是：6． 【点睛】本题主要考查同位角，内错角，同旁内角的定义，掌握它们的定义，是解题的关键． 4．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，已知直线与交于点M，与交于点O，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 【答案】(1) (2)的所有内错角为，，同旁内角， 【分析】（1）根据对顶角相等，得，结合平分， 求的度数即可； （2）确定的所有内错角，同旁内角，计算各角的度数，再求和即可． 本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：根据对顶角相等，得， ∵平分， ∴． （2）解：根据题意，得的所有内错角为，， 同旁内角， ∵， ∴， ∴， ∴． 【考点23 平行线的判定】 1．（25-26七年级上·河南周口·期末）若，则下列图形一定能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、不能推出，不符合题意； B、不能推出，不符合题意； C、∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），符合题意； D、不能推出，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，若，则下列条件中，不能判定 的是（    ） A． B． C．和互余且和互余 D．平分，且平分 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线的判定，根据，结合各选项的条件逐一分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴；故A不符合题意； ∵，， ∴不一定相等， ∴不能得到；故B符合题意； ∵．和互余且和互余， ∴， ∴， ∴；故C不符合题意； ∵，平分，且平分， ∴， ∴；故D不符合题意； 故选：B 3．如图，在中，，，边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转过程中，点B的对应点为，旋转角为，当时，旋转角为______． 【答案】70或250/250或70 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的判定，三角形内角和定理．当时，或时，，画出图形，即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 当时，分两种情况： 当时，，此时； 当时，，此时； 故答案为：70或250． 4．（24-25七年级下·江西赣州·月考）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明； （2）利用，结合已知求得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴． 【考点24 平行线的性质】 1．如图，已知​，​直角顶点在​上，已知​，则​（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 【答案】C 【分析】由平角和直角三角形的定义可求得的度数，再由平行线的性质即可得解． 【详解】解：直角顶点在上， ，， ， ， ． 2．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，某煤气公司装煤气管道，他们从点处铺设到点处时，由于有一个人工湖挡了去路，需要改变方向经过点，再拐到点，然后沿与平行的方向继续铺设，如果，则______． 【答案】 【分析】延长交于点，如图所示，先由平行线性质得到，在中，由三角形内角和定理及外角性质列等式求解即可得到答案． 【详解】解：延长交于点，如图所示： ， ， 在中，，，， ． 3．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，点C在点A北偏东方向，点C在点B北偏西方向，则的度数为______． 【答案】/81度 【分析】过点作，可得，根据两直线平行内错角相等可得，，再根据角的和差即可求解． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 4．探索下面不同的情境，回答问题： (1)【探索发现】已知：如图，，点在，之间，连接，． 易证：． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图，过点作． 小红：如图，延长交于点． 请你选择一位同学的方法，并进行证明； (2)【深入思考】如图，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：； (3)【拓展延伸】如图，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，若，，．求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）小刚的证明：过点作，可得，再根据平行线的性质证明即可求证；小红的证明：延长交于点，可得，再利用三角形内角和定理即可求证； （2）利用三角形内角和定理证明即可求证； （3）由角平分线的定义得，设，则，得，再根据（2）的条件得，解得，设，同理可得，即可求解； 【详解】（1）解：小刚的证明如下： 如图2，过点作， ， ， ，， ， 即； 小红的证明如下： 如图3，延长交于点， ， ， ∵，， ， 即； （2）证明：∵，， ， ， ， ； （3）解：∵平分，， ∴， 设，则， ， ∵在（2）的条件下， ， ， 解得， ， 设， ∵平分， ， ， ， ， ， ∵在（）的条件下， ， 同理可得，，即， 解得， ． 【考点25 平行线的判定与性质】 1．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，将长方形沿折叠，点，分别落在，的位置，的延长线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及折叠的性质，注意掌握折叠前后图形的对应关系是解题的关键． 由折叠可得，，，可得，根据可得，过点作，则，可得，则可得． 【详解】解：如图，过点作， ∵四边形是长方形， ∴，， ∴， 由折叠可得，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，已知，，且，则下列结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先结合邻补角互补以及得，故，又因为对顶角相等得，进行等量代换得，故，运用平行线的性质进行分析，即可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故①符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴， 故②符合题意； ∵， ∴， 故③符合题意； ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 故④符合题意； 故选：D 3．如图，直线与直线、分别交于点、，的平分线交于点，是直线上一点，若，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）求得，即可得到； （2）根据三角形的外角性质求得，再根据，求得，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：的平分线交于点，， ， ，， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ． 4．如图1，E点在上，，． (1)求证：； (2)如图2，，平分，与的平分线交于H点，若比大，请直接写出的度数． (3)保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分 平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)的度数不变，理由见解析 【分析】（1）先根据同角的补角相等得再根据“内错角相等，两直线平行”得，然后根据平行线的性质说明，最后根据“同旁内角互补，两直线平行”得出答案； （2）作，根据平行线的性质得,再结合角平分线的定义和平行线的性质说明，然后推导出，接下来设 ，再结合题意可得最后联立求出答案即可； （3）作设直线和直线相交于点G，先根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质得，然后由（2）可知，即可得出，接下来根据平行线的性质得，最后根据 得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：作， ∵， ∴， ∴, ∴平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 设 ． ∵比大， ∴ ∴， 解得， 所以的度数是； （3）解：的度数不变，理由如下： 如图，过点E作设直线和直线相交于点G， ∵平分，平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 由（2）可知， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴， ． 【考点26 平移的性质】 1．（25-26七年级下·湖南娄底·期末）如图，将三角形平移一定的距离得到三角形，则下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵将三角形平移一定的距离得到三角形， ∴，，，， 故A，B，D选项正确，不符合题意；C选项错误，符合题意． 2．（25-26七年级下·四川泸州·期末）有一个长方形花圃，为方便行人观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路（如图）．花圃长50米，宽30米．那么，种花的面积是（   ）平方米 A．1440 B．1400 C．1344 D．1200 【答案】C 【分析】利用平移的思想，把人行道路靠边集中放置，计算处理后图形的长与宽，然后可得面积． 【详解】解：将人行道路横向和纵向分别平移到长方形花圃的边上， 可得种花部分为长米，宽米的长方形， 所以种花的面积是平方米． 3．（25-26七年级下·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点E，若，，则阴影部分的面积为_____． 【答案】13 【分析】根据平移的性质得到，，，，则可证明，再利用梯形面积公式求解即可． 【详解】解：由平移的性质得，，，， ∵，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴． 【考点27 作图-平移变换】 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）图中的图形2可以看作由图形1向下平移______ 格，再向左平移______ 格得到的． 【答案】 2 1 【详解】分析：将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移.平移不改变图形的形状和大小,只改变图形位置. 详解：根据平移的定义，图中的图形2可以看作由图形1向下平移2格，再向左平移1 格得到的． 故答案为：2，1. 点睛：本题考核知识点：平移. 解题关键点：理解平移的定义. 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，把网格图中的五角星先向右平移6格，再把向右平移后的图形向下平移7格．请画出每次平移后的图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平移“某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移”，熟练掌握平移的定义是解题关键．根据平移的定义作图即可得． 【详解】解：画出每次平移后的图形如下： 3．（25-26七年级下·广东肇庆·月考）在网格中的位置如图所示，请根据下列要求作图． (1)过点A作的垂线段，垂足为； (2)将向下平移5格，再向右平移2格，画出平移后的； (3)的面积为_______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)15 【分析】（1）根据垂直的定义，借助网格即可作图； （2）把分别向下平移5格，向右平移两格，得到，连接即可； （3）根据三角形面积公式即可计算． 【详解】（1） （2）把分别向下平移5格，向右平移2格，得到，连接即可： （3） 由图可知，的面积为． 故答案为：15． 【考点28 轴对称图形】 1．（25-26七年级上·湖南张家界·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：是轴对称图形； 是轴对称图形； 是轴对称图形； 不是轴对称图形． 2．（25-26九年级下·天津·期末）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 3．（25-26八年级上·山东滨州·期末）下列图形：线段、角、正方形、圆，其中轴对称图形的个数为_____． 【答案】4 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，判断每个图形是否为轴对称图形即可，轴对称图形的关键是确定对称轴． 【详解】解：线段是轴对称图形，有两条对称轴；角是轴对称图形，有一条对称轴；正方形是轴对称图形，有四条对称轴；圆是轴对称图形，有无数条对称轴．因此，所有四个图形都是轴对称图形，故个数为4． 故答案为：4 【考点29 轴对称的性质】 1．（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图1是山西博物院主馆，整体外观造型“如斗似鼎”．小明绘制了从正面看到的主馆图（图2），该图形是一个轴对称图形，直线是它的对称轴，则下列说法错误的是（   ） A． B．线段被直线垂直平分 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称图形，熟知关于轴对称图形的相关性质是解题的关键，利用性质逐一对选项进行判断． 【详解】A选项，轴对称图形对应角相等A选项，所以，故A正确； B选项，轴对称图形对应点所连线段被对称轴垂直平分，因为，是对应点，所以线段被直线垂直平分，故B正确； C选项，由图可知，和为一组对应角，所以，故C错误； D选项，轴对称图形对应线段相等，所以，故D正确． 故答案选：C． 2．（25-26八年级上·北京·期中）将一个正方形纸片依次按图（1），图（2）方式对折，然后沿图（3）中的虚线裁剪，最后将图（4）的纸再展开铺平，所看到的图案是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，根据图示的裁剪，判定左上角，左下角，右下角的图示形状即可求解． 【详解】解：根据裁剪结合图示可得，左上角，即正方形垂直方向上是含有线段的图形，左下角，即正方形中间部分是含有线段的图形，右下角，即正方形水平方向是含有曲线的图形， ∴只有D选项符合题意， 故选：D ． 3．（25-26七年级上·广东茂名·期末）如图，在长方形中，E为边上的一点，沿线段对折后，若比大，则的度数是______． 【答案】/24度 【分析】本题考查角的和差计算以及用一元一次方程解决几何问题，关键是利用折叠的性质得到相等的角，结合直角的度数建立方程求解． 【详解】解：设， ∵沿线段对折， ∴； 又∵比大， ∴； ∵四边形是长方形， ∴，即， ∴，解得； 故答案为： 【考点30 作图-轴对称变换】 1．（25-26八年级上·广西崇左·月考）请按下列要求画图：在图中，直线m是一个轴对称图形的对称轴，画出这个轴对称图形的另一半． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，根据轴对称的性质画出图形即可． 【详解】解：如图，即为所求． 2．（25-26八年级上·江苏常州·期中）在镜子中看到的数字，则实际数字是___________ 【答案】 【分析】利用作轴对称图形即可求解． 【详解】解：如图所示：实际数字是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称，解题关键是会作轴对称图形． 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有 _____个． 【答案】13 【分析】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 直接利用轴对称图形的性质结合题意得出答案． 【详解】解：如图所示：都是符合题意的图形． 故答案为：13． 【考点31 生活中的旋转现象】 1．（25-26七年级下·江苏南京·期中）电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（    ） A．轴对称，平移，旋转 B．旋转，轴对称，平移 C．轴对称，旋转，平移 D．平移，旋转，轴对称 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和图形的旋转“把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转”、平移“某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移”，熟记图形的旋转、轴对称图形、平移的定义是解题关键．根据图形的旋转、轴对称图形、平移的定义进行判断即可得． 【详解】解：由图可知，第一次为轴对称，第二次为平移，第三次为旋转， 故选：A． 2．（25-26九年级上·河北邢台·期中）下列情境属于旋转的是（  ） A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动 C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，根据旋转的定义（在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转），逐一判断即可解答． 【详解】解：A、电流表指针来回摆动可看作是平面图形绕一个点转动，是旋转，故A符合题意； B、滑动变阻器的滑片来回移动，不属于旋转，故B不符合题意； C、热气球缓慢上升，不属于旋转，故C不符合题意； D、打针时推动针管，不属于旋转，故D不符合题意； 故选：A． 3．（25-26七年级上·上海·期末）在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以________（填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着________（填“顺”或“逆”）时针方向旋转________度． 【答案】 脚跟 顺 90 【分析】本题考查了旋转的相关概念，掌握旋转的相关概念，结合生活经验解决问题是解题的关键．根据旋转的相关概念，结合生活经验即可解答． 【详解】解：在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以脚跟为旋转中心，沿着顺时针方向旋转90度． 故答案为：脚跟；顺；90． 【考点32 旋转的性质】 1．（25-26七年级上·河北沧州·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，根据将绕点逆时针旋转得到，得出，又因为，故进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，在的正方形网格中，格点绕某点旋转一定角度，可得格点，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故选：B． 3．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图2中的图案是由图1中的基本图形以点为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角度，依次旋转若干次而组成的，则旋转角的度数最小为_____度． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质． 由图可知，将图1无缝旋转5次得到图2，进而用除以即可． 【详解】解：由图可知，将图1无缝旋转5次得到图2， 即旋转角的度数最小为． 故答案为：． 【考点33 作图-旋转变换】 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，绕点旋转后，顶点的对应点为点，试确定顶点的对应点的位置以及旋转后的三角形．    【答案】见解析 【分析】根据旋转的性质，作图即可． 【详解】解：设点的对应点为点，连接，则即为旋转角，作，且，如图，顶点的对应点的位置在点处，为绕点旋转后得到的三角形．    【点睛】本题考查旋转作图，熟练掌握旋转的三要素，是解题的关键． 2．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图所示，正方形网格中，为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）． (1)把沿方向平移后，点移到点，在网格中画出平移后得到的； (2)把绕点按逆时针方向旋转，在网格中画出旋转后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平移的性质画图，即对应点都移动相同的距离； （2）利用旋转的性质画图，对应点都旋转相同的角度． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）如图所示：即为所求． 【点睛】本题主要考查了平移变换、旋转变换作图，做这类题时，理解平移、旋转的性质是关键． 3．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知△ABC的顶点A、B、C在格点上，按下列要求在网格中画图．    (1)△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C； (2)画△A1B1C关于点O的中心对称图形△A2B2C2． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分别作出A、B、的对应点A1、B1即可； （2）分别作出A1、B1、C的对应点A2、B2、C2即可； 【详解】（1）解：△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C如图所示；    （2）解：△A1B1C关于点O的中心对称图形△A2B2C2如图所示； 【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换、中心对称的性质，属于中考常考题型． 【考点34 中心对称和中心对称图形】 1．（25-26九年级上·河南商丘·期中）以下奥运比赛项目图标中，不是中心对称图形的是（　　） A．乒乓球 B．篮球 C．排球 D．冲浪 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，解题的关键是依据“绕某点旋转180°后与原图形重合的图形是中心对称图形”逐一判断． 根据中心对称图形的定义，依次判断各选项图标绕某点旋转180°后是否与原图形重合，找出不重合的选项． 【详解】解：选项A（乒乓球）：绕某点旋转180°后与原图形重合，是中心对称图形； 选项B（篮球）：绕某点旋转180°后与原图形重合，是中心对称图形； 选项C（排球）：绕某点旋转180°后与原图形重合，是中心对称图形； 选项D（冲浪）：绕某点旋转180°后，图形的“叶片”方向与原图形不一致，无法重合，不是中心对称图形． 故选D． 2．（25-26七年级下·江苏常州·期末）如图，记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为（    ） A．点B B．点C C．点D D．点E 【答案】C 【分析】此题考查了中心对称图形．点A绕点O旋转即可与点D重合，根据中心对称图形的定义进行解答即可． 【详解】解：记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为D， 故选：C 3．（25-26九年级·河北邯郸·月考）如图， 与 关于点 成中心对称，则下列结论不成立的是（   ）    A．点与点是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称的性质判断即可． 【详解】解：与关于点成中心对称， 点与是一组对称点，，，， ，都不合题意； ∴， ∴ ∴， C不符合题意； 与不是对应角， 不成立， D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查中心对称的性质，掌握中心对称的性质是求解本题的关键． 4．（25-26七年级上·上海·期末）如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发_______秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 【答案】 【分析】本题考查动点问题和中心对称，正确掌握动点问题的解题思路是解题的关键． 设运动时间为秒，根据长方形被线段分成的两个图形成中心对称，得到，列出方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，则 ， ， ， 当时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称， 则，解得． 故答案为：． 【考点35 图案设计】 1．如图①是正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形的中心旋转能重合的图案都视为同一种，例②中四幅图就视为同一种，则得到不同共有 种 【答案】6 【分析】根据轴对称的定义及题意要求画出所有图案后即可得出答案．根据折叠图形的性质可得可以添加的图形有6种不同的情况. 【详解】解：得到的不同图案有： 共6种． 故答案为：6． 2．小明有一个俯视图为等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图所示的九个空格，下面列有积木的四种搭配方式，其中恰好能放入盒中空格的有（  ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】把这四种搭配进行组合，可得出如图的九个空格的形状，即为本题的选项． 【详解】解：∵将搭配①②③④组合在一起，正好能组合成九个空格的形状， ∴恰好能放入的有①②③④． 故选：D． 【点睛】本题考查了图形的剪拼，解题关键是培养学生的空间想象能力以及组合意识． 3．（25-26九年级上·山西大同·期中）图1和图2都是由连接正八边形部分顶点或部分对边中点构成的图案，每个图案可看作由4个全等的直角三角形、8个全等的小矩形和4个全等的小正方形组成．按下列要求涂阴影． (1)在图1中，选择两个直角三角形、两个小矩形和两个小正方形涂上阴影，使阴影部分组成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)在图2中，选择两个直角三角形、两个小矩形和两个小正方形涂上阴影，使阴影部分组成的图案是中心对称图形，但不是轴对称图形． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 【分析】本题考查图形设计，熟记轴对称图形、中心对称图形的定义是解决问题的关键． （1）由轴对称图形、中心对称图形的定义来设计即可得到答案； （2）由轴对称图形、中心对称图形的定义来设计即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示（答案不唯一）： ； （2）解：如图所示（答案不唯一）： ． 4．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取3个涂上阴影． (1)使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形而非中心对称图形． (2)使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形而非轴对称图形． （请将两小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析； 【分析】本题考查了利用轴对称和中心对称设计图案，掌握轴对称和中心对称图形的概念是解题的关键． （1）根据轴对称图形的定义画出图形，同时保证非中心对称图形即可（答案不唯一）； （2）根据中心对称图形的定义画出图形构成一个平行四边形即可（答案不唯一）； 【详解】（1）组成一个轴对称图形而非中心对称图形如图所示， （2）组成一个中心对称图形而非轴对称图形如图所示， 【考点36 全面调查与抽样调查】 1．（25-26九年级上·重庆潼南·月考）下列调查中，适合采用全面调查（全面调查）方式的是（   ） A．对我市中学生观看电影《南京照相馆》情况的调查 B．调查琼江河的水质情况 C．调查某班学生视力情况 D．调查全国初一中学生的平均身高 【答案】C 【分析】本题考查了全面调查，全面调查（全面调查）适用于调查对象数量较少、易于全面进行的情况．选项C中，某班学生数量有限，适合全面调查；其他选项调查范围广、对象多，适合抽样调查． 【详解】解：∵全面调查需要对所有调查对象进行逐一调查， ∴适用于对象数量少、调查简便的情况． 选项A（全市中学生）、B（整条河流）、D（全国初一中学生）对象数量多或范围广，全面调查成本高、难度大，不适合；选项C（某班学生）对象数量少，易于全面调查， 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列调查中，最适合采用抽样调查的是（   ） A．了解我校七年级（1）班全体同学周末时间安排情况 B．乘坐飞机时对旅客行李的检查 C．调查某班名同学的视力情况 D．了解一批汽车的抗撞击能力 【答案】D 【分析】本题考查抽样调查与全面调查的适用情况，掌握相关知识是解决问题的关键．全面调查适用于对象数量少、精确要求高或非破坏性调查；抽样调查适用于对象数量多、破坏性调查或全面调查不现实的情况． 【详解】解： A：班级人数较少，宜采用全面调查； B：行李检查涉及安全，必须全面检查； C：班级人数较少，宜采用全面调查； D：抗撞击能力测试具有破坏性，宜采用抽样调查． 故选：D． 3．木王森林公园位于商洛市镇安县境内，是秦岭南坡仅有的两个国家森林公园之一，被誉为“植物的世界，动物的王国”．为调查园内的水质情况，管理人员适合采用 调查．（填“全面”或“抽样”） 【答案】抽样 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择全面调查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行全面调查、全面调查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查．根据全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答． 【详解】解：为调查园内的水质情况，管理人员适合采用抽样调查． 故答案为：抽样． 4．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）下列调查：①调查洗衣机的使用寿命；②调查“神舟十四号载人飞船”的零部件；③调查人们保护地球环境的意识；④调查全国初中生的视力情况．其中适合全面调查的是（填序号） ． 【答案】② 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查，由全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 【详解】解：①调查洗衣机的使用寿命，适合抽样调查； ②调查“神舟十四号载人飞船”的零部件，适合全面调查； ③调查人们保护地球环境的意识，适合抽样调查； ④调查全国初中生的视力情况，适合抽样调查； 所以适合全面调查的是②． 故答案为：②． 【考点37 总体、个体、样本、样本容量】 1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）为了了解我县参加中考的名学生的体重情况，随机抽取了其中名学生的体重进行统计分析，下面叙述正确的有（    ）个 ①总体是3000名学生； ②样本是200名学生的体重； ③样本容量是200； ④以上是抽样调查． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查总体、个体、样本、以及全面调查和抽样调查，根据题意，利用总体、个体、样本的意义进行判断即可． 【详解】解：总体是名学生的体重，原说法错误； 样本是名学生的体重，说法正确； 样本容量是，说法正确； 以上是抽样调查，说法正确． 所以叙述正确的有个． 故选：C． 2．为了解全校九年级300名学生的视力情况，从中抽取50名九年级学生进行视力测量调查，在这个调查中，样本容量是 ． 【答案】50 【分析】本题考查了样本容量的定义，指一个样本中包含的个体数目，本题中，总体是九年级300名学生的视力情况，样本是从中抽取的50名学生的视力情况，从而得出样本容量． 【详解】解：样本为抽取的50名学生的视力情况， 样本容量是50， 故答案为：50． 3．（24-25七年级下·重庆荣昌·期末）为了掌握我校七年级男同学身高情况，从中抽测了50名男同学的身高，这个问题中的样本是 ． 【答案】抽测的50名男同学的身高 【分析】本题考查统计知识的样本概念，根据总体是所要考查对象的全体，样本是从总体中抽取的部分个体，即可解答． 【详解】∵为了掌握我校七年级男同学身高情况，从中抽测了50名男同学的身高， ∴这个问题中的样本是抽测的50名男同学的身高． 故答案为：抽测的50名男同学的身高． 4．为了解我市中学生中15岁女生的身高状况，随机抽查了10个学校的200名15岁女生的身高，则下列表述正确的是 A．总体指我市全体15岁的女中学生 B．个体是200名女生的身高 C．个体是10个学校的女生 D．抽查的200名女生的身高是总体的一个样本 【答案】D 【分析】本题考查的是确定总体．解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数据，而非考查的事物．”我们在区分总体、个体、样本、样本容量这四个概念时，首先找出考查的对象．本题中的研究对象是：我市中学生中15岁女生的身高． 【详解】解：本题中的总体是某总体指我市全体15岁的女中学生的身高状况，不是指“我市全体15岁的女中学生”故A错误； 个体是这10个学校中每名15岁女生的身高，而非指“10个学校的女生“，故B和C错误． 故选D． 【点睛】本题考查的是确定总体、个体和样本．解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数据，而非考查的事物．”A、B、C对概念理解不准确． 【考点38 统计表】 1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）某市为了解初中学生的视力情况，随机抽取200名初中学生进行调查，整理样本数据如下表．根据抽样调查结果，估计该市16000名初中学生中，视力不低于4.8的人数是（　　） 视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上 人数 39 41 33 40 47 A．120 B．200 C．6960 D．9600 【答案】D 【分析】本题考查的是统计表，用样本估计总体，求出不低于4.8的人数所占的百分比是解决此题的关键．求出不低于4.8的人数所占的百分比再乘16000即可求出结论． 【详解】解：， ∴视力不低于4.8的人数是9600， 故选：D． 2．为了解学生心理健康情况，某学校在全校七、八、九三个年级共1000名学生中开展心理健康知识竞赛活动，根据竞赛成绩将各年级合格人数绘制了如图所示的统计表，则下列说法正确的是（    ） 各年级合格人数统计表 年级 七年级 八年级 九年级 合格人数（人） 337 330 322 A．七年级学生的合格率最高 B．九年级学生的合格人数最少 C．八年级学生的人数为330人 D．九年级学生的合格率为 【答案】B 【分析】本题考查统计应用，涉及百分比、合格率计算，读懂题意，结合选项逐项判断即可得到答案，掌握统计知识的应用是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知： A、由于全校七、八、九三个年级共1000名学生中开展心理健康知识竞赛活动，无法计算七年级学生的合格率，该选项说法错误，不符合题意； B、由表可知，九年级学生的合格人数最少，该选项说法正确，符合题意； C、由于全校七、八、九三个年级共1000名学生中开展心理健康知识竞赛活动，无法计算八年级学生的人数，该选项说法错误，不符合题意； D、由于全校七、八、九三个年级共1000名学生中开展心理健康知识竞赛活动，无法计算九年级学生的合格率，该选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级上·四川成都·期末）下面是A，B两球从不同高度自由下落到地面后反弹高度的统计表．小明想要购买弹性较大的球，他应该选择 球． 起始高度 24 32 45 67 78 96 A球反弹高度 11 21 31 48 53 58 B球反弹高度 16 26 40 57 64 70 【答案】B 【分析】本题考查了统计表，正确阅读统计表信息是解答本题的关键．根据统计表数据判断即可． 【详解】解：由统计表可知，在起始高度相同的情况下，B球反弹高度比A球高， 所以小明想要购买弹性较大的球，他应该选择B球． 故答案为：B． 4．（24-25八年级下·河北保定·期末）在曲阳县2025年中学生运动会跳高比赛中，各年龄组的参赛人数情况如下表所示：若小明所在年龄组的参赛人数占全体参赛人数的，则小明所在的年龄组是 年龄组 13岁 14岁 15岁 16岁 参赛人数 5 19 12 14 【答案】14岁 【分析】本题主要考查数据统计与调查，关键是根据表格得到各年龄组的参赛人数，然后进行求解即可． 设小明所在年龄组的参赛人数为，则可根据题中的等量关系列出一元一次方程，解之即可． 【详解】解：根据各年龄组的参赛人数情况表可知： 参赛总人数， 设小明所在年龄组的参赛人数为， 根据题意可得：， 去分母，得：， 故小明所在的年龄组是岁， 故答案为：14岁． 【考点39 条形统计图】 1．（24-25六年级上·山东泰安·期末）学校期中考试后，随机抽取部分同学测试的成绩为样本（成绩为整数），绘制的成绩统计图如图所示，若这次测试成绩80分以上（不含80分）为优秀，则优秀率为 %． 【答案】 【分析】此题考查了条形统计图的相关知识，用优秀人数除以总人数并乘以即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，， 即优秀率为， 故答案为：． 2．某校随机调查了若干名家长与中学生对中学生带手机进校园的态度，并绘制了如图所示的统计图，已知调查家长的人数与调查学生的人数相等，则家长反对学生带手机进校园的人数有（   ） A．140 B．120 C．220 D．100 【答案】C 【分析】本题考查的是条形统计图．根据调查家长的人数与调查学生的人数相等，进而解答即可． 【详解】解：因为调查家长的人数与调查学生的人数相等，所以家长反对学生带手机进校园的人数有：（人）， 故选：C． 3．（24-25六年级下·上海青浦·期末）2024届巴黎奥运会落下帷幕，中国健儿斩获了境外奥运会的最好成绩．获奖情况如图所示，获得的金牌数占总奖牌数的 （填百分之几，百分号前保留一位小数）． 【答案】 【分析】本题考查了条形统计图，根据图中信息得总奖牌数为，依题意，计算，即可作答． 【详解】解：由图得出，总奖牌数 ∴ 即获得的金牌数占总奖牌数的， 故答案为：． 4．某次考试中，某班级的数学成绩被绘制成了如图所示的频数直方图．下列说法错误的是（    ） A．得分在70～80分之间的人数最多 B．及格（不低于60分）的人数为26 C．得分在90～100分之间的人数占总人数的5% D．该班的总人数为40 【答案】B 【分析】根据频数直方图得出各分数段内的人数，再据此对各选项逐一判断即可． 【详解】A．得分在70～80分之间的人数最多，有14人，故此选项正确，不符合题意， B．及格（不低于60分）的人数为12＋14＋8＋2＝36（人），故此选项错误，符合题意， C．∵总人数为4＋12＋14＋8＋2＝40（人），得分在90～100分之间的人数为2人， ∴得分在90～100分之间的人数占总人数的百分比为×100%＝5%，故此选项正确，不符合题意； D．该班的总人数为40，故此选项正确，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查条形统计图，正确提取图中信息是解题关键． 【考点40 扇形统计图】 1．某班学生最喜欢的一项球类运动的统计表和扇形统计图如图所示，其中统计表不小心被撕掉一部分，下列推断不正确的是（   ） A．足球所在扇形的圆心角度数为 B．该班喜欢乒乓球的人数占总人数的 C．m与n的和为52 D．该班喜欢羽毛球的人数不超过13人 【答案】D 【分析】本题考查了扇形统计图与统计表信息关联，从扇形统计图与统计表中获取信息是解题的关键．根据乒乓球的人数与扇形统计图圆心角的度数求得总人数，根据足球的人数比上总人数，即可判断B选项，判断出足球所在扇形的圆心角度数，即可判断出A选项， 足球与乒乓球的人数的占比即可判断C选项，根据扇形统计图可知，进而即可判断D选项． 【详解】解：乒乓球的人数有14人，扇形统计图中圆心角的度数为，则总人数为：人， ，故B选项正确 足球有10人，则足球所在扇形的圆心角度数为，故A选项正确， ∴，故C选项正确， 根据扇形统计图可知， 所以该班喜欢羽毛球的人数超过人，故D选项不正确， 故选D． 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）某学校全体学生来自A、B、C三个街道，其人数比为1：2：2．如图用扇形统计图来表示来自三个街道的学生所占的百分比，则来自A街道对应扇形的圆心角度数为 【答案】 【分析】本题考查了求扇形统计图的圆心角，根据乘以来自A街道对应的占比，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 3．幸福街道组织45岁以上居民进行慢性病筛查，根据筛查所得数据绘制的扇形统计图如图所示，其中患高血脂的有171人，该区45岁以上参加这次慢性病筛查的人中，患高血压的比患高血脂的多 人． 【答案】741 【分析】本题考查了扇形统计图，先求出患高血脂人占总调查人数的比例为，据此得出这次调查的总人数，进而可求出患高血压的比患高血脂的多的人数． 【详解】解：∵患高血脂的有171人，占总调查人数的比例为：， ∴这次调查的总人数为：（人）， ∴患高血压的比患高血脂的多的人数为：（人）， 故答案为：741． 4．某学校开设多门课外活动，为了解学生参与情况，进行了随机抽查．现将数据收集并整理后，绘制出如下不完整的统计图．经调查发现，选择面塑和中国结的学生人数相同，共40人，以下结论错误的是（     ） A． B．样本容量为100 C．选择中国结所对应的扇形圆心角为 D．选择面塑的学生比选择打印的学生数少10人 【答案】D 【分析】本题考查扇形统计图，根据统计图中的数据可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：∵选择面塑和中国结的学生人数相同，共40人，即选择面塑和中国结的学生人数均为20人， ∴样本容量为，故B选项正确； ，即，故A选项正确； 选择中国结所对应的扇形圆心角为，故C选项正确； 选择面塑的学生比选择打印的学生数少人，故D选项错误， 故选：D． 【考点41 折线统计图】 1．某购物中心对今年7-12月份中顾客使用“支付宝支付”和“微信支付”这两种支付方式的情况进行统计，得到如图所示的折线统计图．根据统计图中的信息，得出以下四个推断，其中说法不合理的是（   ） A．6个月中11月份使用手机支付的总次数最多 B．6个月中使用“微信支付”的总次数比使用“支付宝支付”的总次数多 C．6个月中使用“微信支付”的消费总额比使用“支付宝支付”的消费总额大 D．9月份平均每天使用手机支付的次数为0.314万次 【答案】C 【分析】本题考查了折线统计图；从折线统计图中得到每个月使用“微信支付”的次数、使用“支付宝支付”的次数，计算后即可判断． 【详解】解：月份每月使用手机支付的总次数分别为万次，万次，万次，万次，万次，万次， 月份使用手机支付的总次数最多，A项说法合理； 由折线统计图可看出， 个月中使用“微信支付”的总次数为（万次）， 个月中使用“支付宝支付”的总次数为（万次）， 所以个月中使用“微信支付”的总次数比使用“支付宝支付”的总次数多，B项说法合理； 从统计图中不能得到消费总额的信息，C项说法不合理； 月份平均每天使用手机支付的次数为（万次），D项说法合理 故选：C． 2．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图是某地某日至的气温变化趋势图，由此可估计当天时的气温约为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折线统计图的运用，根据折线图信息，可估计当天时的气温约为，从折线图中得到必要的信息是解题的关键． 【详解】解：某地某日至的气温变化趋势图，由此可估计当天时的气温约为， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图是某班学生一周参加体育锻炼情况的折线统计图，则一周参加体育锻炼时间中人数最多的锻炼时间是 小时． 【答案】9 【分析】本题考查了折线统计图，从统计图中获取信息是解题的关键．折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况． 根据折线统计图可得一周参加体育锻炼人数最多的锻炼时间是9小时． 【详解】解：由图可知，一周参加体育锻炼的人数最多的锻炼时间是9小时， 故答案为：9． 4．（24-25七年级下·甘肃定西·期末）甲、乙两家汽车销售公司2022年到2024年的销售量分别如图：从2022年到2024年的变化趋势可以得出，这两家公司销售量增长较快的是 公司． 【答案】甲 【分析】本题考查折线统计图的应用，关键是通过读取统计图中对应年份的销售量数据，计算增长量来比较增长快慢，折线统计图能直观反映数据的变化趋势．要判断甲、乙两家公司销售量增长快慢，需分别计算两家公司2022年到2024年销售量的增长量，通过比较增长量大小确定增长较快的公司． 【详解】甲公司销售量增长量 ：2022年销售量为100辆，2024年销售量为500辆， 增长量 2024年销售量 2022年销售量（辆）； 乙公司销售量增长量 ：观察乙公司统计图，2022年销售量为100辆，2024年销售量为400辆，增长量 2024年销售量 2022年销售量（辆）； 甲公司增长量为400辆，乙公司增长量为300辆，因为 ， 甲公司销售量增长较快． 故答案为：甲． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 期末复习易错题41个考点 【新教材湘教版】 【考点1 同底数幂的乘法及其逆用】 2 【考点2 幂的乘方及其逆用】 2 【考点3 积的乘方及其逆用】 2 【考点4 整式的乘法】 3 【考点5 平方差公式】 4 【考点6 平方差公式的几何背景】 4 【考点7 完全平方公式】 6 【考点8 完全平方公式的几何背景】 6 【考点9 平方根、算术平方根】 8 【考点10 立方根】 8 【考点11 实数的分类】 9 【考点12 无理数】 9 【考点13 认识不等式】 10 【考点14 不等式的基本性质】 10 【考点15 一元一次不等式（组）的定义】 11 【考点16 一元一次不等式（组）的解法】 11 【考点17 一元一次不等式（组）的整数解】 11 【考点18 由实际问题抽象出一元一次不等式（组）】 12 【考点19 一元一次不等式（组）的应用】 13 【考点20 对顶角】 14 【考点21 点到直线的距离】 14 【考点22 同位角、内错角、同旁内角】 15 【考点23 平行线的判定】 16 【考点24 平行线的性质】 17 【考点25 平行线的判定与性质】 19 【考点26 平移的性质】 20 【考点27 作图-平移变换】 21 【考点28 轴对称图形】 22 【考点29 轴对称的性质】 22 【考点30 作图-轴对称变换】 23 【考点31 生活中的旋转现象】 23 【考点32 旋转的性质】 24 【考点33 作图-旋转变换】 25 【考点34 中心对称和中心对称图形】 26 【考点35 图案设计】 27 【考点36 全面调查与抽样调查】 28 【考点37 总体、个体、样本、样本容量】 29 【考点38 统计表】 29 【考点39 条形统计图】 30 【考点40 扇形统计图】 31 【考点41 折线统计图】 33 【考点1 同底数幂的乘法及其逆用】 1．（25-26八年级上·北京·期中）已知，则 ． 2．（25-26八年级上·广东广州·期中）若，则的值为 . 3．（24-25七年级下·湖南·期末）已知为整数，且，则的大小关系不可能是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·福建厦门·期中）规定：若实数a，b，c满足（且，），则记作．例如：，则．若，，，且，则p的值是（   ） A． B． C． D．9 【考点2 幂的乘方及其逆用】 1．（25-26八年级上·山西晋城·期中）若，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·四川内江·月考）已知，，，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D．3 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如果，，那么用的代数式表示y为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江·期中）如果，（为整数），那么用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【考点3 积的乘方及其逆用】 1．（2025·四川泸州·二模）已知，，则可以表示为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）若，则 ． 3．（25-26八年级上·四川内江·阶段练习）计算是（      ） A．8 B． C． D． 4．（25-26八年级上·湖北·期中）求值： (1)已知，求的值； (2)已知是正整数，且，求的值． 【考点4 整式的乘法】 1．已知(－2x)·(5－3x＋mx2－nx3)的结果中不含x3项，则m的值为(　　) A．1 B．－1 C．－ D．0 2．（25-26八年级上·北京·期中）若，求代数式的值． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，在长方形中放置两个边长都为5的正方形与正方形，设长方形的面积为，阴影部分的面积之和为．若，则长方形的周长是 ． 4．（25-26八年级上·福建厦门·期中）定义：对于依次排列的多项式（是常数），当它们满足：，且为常数时，则称是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．例如：对于多项式，因为 ，所以2，1，6，5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子． (1)已知2，4，7，9是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子； (2)若是一组平衡数，且，请直接写出与的数量关系： (3)若是一组平衡数（n是常数）且平衡因子为14，求的值． 【考点5 平方差公式】 1．（25-26八年级上·江西·期末）下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知，那么 ． 3．（25-26八年级上·广东广州·期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“凤凰数”，如：，所以8，……都是“凤凰数”，下列整数是“凤凰数”的为（   ） A．86 B．230 C．462 D．480 4．（25-26七年级上·上海崇明·期中）阅读材料：计算： 运用上述方法求 ． 【考点6 平方差公式的几何背景】 1．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）如图“L”形的图形的面积有如下四种表示方法：①；②；③；④．其中正确的表示方法有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 2．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，阴影部分是在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼形成新的图形，下列四种割拼方法，能够验证平方差公式的有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 3．（25-26七年级上·天津和平·期中）如下左图是在一个边长为的大正方形正中心挖去一个边长为的小正方形，把剩下的部分按照图中的虚线分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成右图中的一个大平行四边形． （I）用两种方法表示右图平行四边形的面积，方法一： ，方法二： （均用含，的代数式表示）； （II）计算 ． 4．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）【知识生成】 （1）如图①，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，按如图②所示进行拼接．图①中阴影部分的面积可表示为_____________，图②中阴影部分的面积可表示为_____________，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可以得到恒等式：_____________； 【知识应用】 （2）通过计算几何体的体积也可以表示一些代数恒等式，如图③表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图③中图形的变化关系，写出一个代数恒等式． 【考点7 完全平方公式】 1．（25-26七年级上·上海·期中）已知，则的值是（   ） A．24 B．25 C．26 D．27 2．（25-26八年级上·四川内江·期中）已知，，，则代数式的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．（25-26八年级上·北京·期中）已知．若，则的值是 ． 4．（25-26八年级上·河南南阳·期中）（1）已知，，求下列各式的值： ①； ②． （2）代数推理：请运用所学知识，说明下列结论的正确性． ①两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．为什么？ ②任意两个不同奇数的平方差一定是8的倍数．为什么？ 【考点8 完全平方公式的几何背景】 1．（25-26八年级上·福建泉州·期中）我们已知道可以用一些长方形（或正方形）硬纸片拼成的图形面积来解释代数恒等式． (1)如图1，根据标注，可解释的代数恒等式是 ； (2)如图2，点在上，以，为边分别作正方形和正方形，它们的面积分别为和．若，，求的面积． 2．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．因此我们解决有关“数”的问题时，可以借助“形”，让问题变的直观． 【教材回顾】选自教材图 （1）根据情境中的等量关系列出一个等式：如图，一张正方形纸片被分割成四个部分．从图中可以直观的看出正方形的面积表示为，还可以表示为______，所得等式为：__________________； 【探索活动】（2）简便计算：； 【拓展应用】（3）． 3．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）【问题背景】七年级数学兴趣小组在一次数学活动课上，探索利用如图1所示的两个长方形和两个正方形拼接成一个大正方形，并探究相关问题． 【问题探究】（1）甲小组拼成了如图2所示的大正方形，发现大正形的面积有两种表示方法，请你帮他完成这两种表示方法． 方法1：______； 方法2：______； 【发现结论】（2）由上述“方法1”与“方法2”可列等式：______； 【尝试应用】（3）乙小组拼成了如图3所示的大正方形，若，，求出图3中阴影部分的面积． 4．（25-26八年级上·山东泰安·期中）如图1，正方形是由两个长为、宽为的长方形和两个边长分别为、的正方形拼成的． (1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是______； (2)若将正方形的边、分别与图1中的、重叠，如图2所示，已知，，长方形的面积等于80，且，求正方形与正方形的面积之差． 【考点9 平方根、算术平方根】 1．（24-25七年级下·云南丽江·期末）已知正数x的两个不同的平方根是和，则 ． 2．的算术平方根是 ． 3．（2025·湖北·模拟预测）已知、均为实数且与互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·重庆·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵． 根据数阵规律，第八行第十三个数是( ) A． B． C． D． 【考点10 立方根】 1．（24-25七年级下·广东汕头·期中）已知，则，则 ． 2．（2024七年级下·上海·专题练习）计算： ． 3．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（    ） A． B． C． D． 4．已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 【考点11 实数的分类】 1．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列说法错误的是（   ） A．实数可分为正实数和负实数两类 B．正实数包括正有理数和正无理数 C．实数在数轴上都有唯一对应的点 D．数轴上任一点都有唯一对应的实数 2．（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）下列计算结果是有理数的是（   ） A． B． C． D． 3．在①  ②  ③0  ④3.14  ⑤  ⑥0.3  ⑦  ⑧  ⑨ 属于有理数的有：________________；（填序号） 属于无理数的有：________________；（填序号） 属于实数的有：________________．（填序号） 4．把下列各数分别填入相应的集合中： ，，，，，，，，，相邻的两个之间依次多一个． (1)无理数集合：________________________________________ (2)有理数集合：________________________________________． (3)分数集合：_______________________． (4)负无理数集合：_____________． 【考点12 无理数】 1．（25-26八年级上·上海·月考）如果，那么整数 ． 2．（25-26八年级上·上海松江·期中）在实数，，，，、，（位数无限且相邻两个“2”之间依次增加1个“7”）中，无理数共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．已知是的整数部分，是的整数部分，的值是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 4．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此​的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示​的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为​的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ​，即 的整数部分为2，小数部分为 请解答： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值 (2)已知其中x是整数，且求的相反数． 【考点13 认识不等式】 1．下列式子中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．用不等式可将“a与b的和的平方为非负数”表示为(   ) A． B． C． D． 3．如图，是校园内限速标志，若用V表示速度，请用含字母V的不等式表示这个标志的实际意义 ． 4．据气象台报道，2024年6月28日双流区的最高气温为，最低气温为，则当天气温的变化范围是 ． 【考点14 不等式的基本性质】 1．如果，则a b（填“＞”、“＜”、“＝”）； 2．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）若，下列不等式变形正确的是（  ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·上海·期末）如果的解集为，则的取值范围是 ． 4．（24-25七年级下·江西上饶·期末）若，，当时，A与B的大小关系是 ． 【考点15 一元一次不等式（组）的定义】 1．（24-25七年级下·上海·月考）下列为一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列不是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·重庆·期末）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 4．（2024·河南周口·三模）某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ． 【考点16 一元一次不等式（组）的解法】 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）关于的一元一次方程的解是负数，求的取值范围． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于、的方程满足方程组 (1)用含的代数式表示； (2)若、均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为 ． 4．（24-25八年级上·重庆·期中）若关于的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式的解集为，则所有满足条件的整数的积为 ． 【考点17 一元一次不等式（组）的整数解】 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）关于的不等式的负整数解是，，则的取值范围是 ． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范围 ． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【考点18 由实际问题抽象出一元一次不等式（组）】 1．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）某学校组织八年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是用不超过3小时的时间平整一块面积为的土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了土地．设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 2．某品牌运动鞋的进价为每双200元，售价为每双300元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于，如果将这种品牌的运动鞋打折销售，则能正确表示该商店的促销方式的不等式是（   ） A． B． C． D． 3．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是(   ) A． B． C． D． 4．某企业次定购买，两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表： 型 型 价格（万无台） 12 10 月污水处理能力（吨月） 200 160 经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低1380吨，该企业有哪些购买方案呢？这解决这个问题，高购买型污水处理设备台，所列不等式组正确的是　　 A． B． C． D． 【考点19 一元一次不等式（组）的应用】 1．（25-26八年级上·浙江温州·期中）班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次须奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 2．（25-26七年级上·福建厦门·期中）甲、乙两家复印社复印纸张的收费标准如下： 甲复印社：无论复印多少页，每页收费0.2元． 乙复印社：当复印的页数不超过20页时，每页收费0.3元；当复印的页数超过20页时，超过的部分每页收费0.15元． (1)若要复印50页，请问选择哪家复印社比较省钱，并说明理由； (2)设复印的页数为x页（x超过20页），分别求出甲、乙两家复印社的收费（用含x的代数式表示）； (3)当复印的页数超过______页时，乙复印社的收费会比甲复印社便宜． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）一个车间有20名工人，每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元．在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余人去制造乙种零件． (1)写出此车间每天所获利润y元与x名工人之间的函数表达式； (2)如果要车间每天所获利润不低于24000元，至少应安排多少工人去制造乙种零件？ 4．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）中秋节前，某超市第一次购进A，B两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价： 进价（元/个） 售价（元/个） A礼盒 150 220 B礼盒 100 140 (1)根据上表，求该超市第一次购进A，B礼盒各多少个； (2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进A，B两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于A礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进A礼盒m个，A礼盒的售价比第一次的售价提高20元，B礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？ 【考点20 对顶角】 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）下列图形中，与是对顶角的是（    ） A．B． C． D． 2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，如果，则_____ 3．（25-26七年级下·北京·期中）如图，直线相交于点O，，，求的度数． 4．如图，已知直线、相交于点，，平分，于点． (1)求的度数； (2)试判断射线是否平分？并说明理由． 【考点21 点到直线的距离】 1．如图，点，在直线上，点在直线外，连接，，若，，则点到直线的距离可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足为点B，，则下列正确的语句是（　　） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．线段的长是点C到直线的距离 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 3．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点，则的最小值为_______． 4．如图，，于，，，，则点到的距离是______，点到的距离是______，的依据是______． 【考点22 同位角、内错角、同旁内角】 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）下列图形中，与的位置关系属于同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 2．若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有_______对内错角． 3．如图所示，同位角有对，内错角有对，同旁内角有对，则的值是____________ 4．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，已知直线与交于点M，与交于点O，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 【考点23 平行线的判定】 1．（25-26七年级上·河南周口·期末）若，则下列图形一定能得到的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，若，则下列条件中，不能判定 的是（    ） A． B． C．和互余且和互余 D．平分，且平分 3．如图，在中，，，边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转过程中，点B的对应点为，旋转角为，当时，旋转角为______． 4．（24-25七年级下·江西赣州·月考）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 【考点24 平行线的性质】 1．如图，已知​，​直角顶点在​上，已知​，则​（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 2．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，某煤气公司装煤气管道，他们从点处铺设到点处时，由于有一个人工湖挡了去路，需要改变方向经过点，再拐到点，然后沿与平行的方向继续铺设，如果，则______． 3．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，点C在点A北偏东方向，点C在点B北偏西方向，则的度数为______． 4．探索下面不同的情境，回答问题： (1)【探索发现】已知：如图，，点在，之间，连接，． 易证：． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图，过点作． 小红：如图，延长交于点． 请你选择一位同学的方法，并进行证明； (2)【深入思考】如图，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：； (3)【拓展延伸】如图，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，若，，．求的度数． 【考点25 平行线的判定与性质】 1．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，将长方形沿折叠，点，分别落在，的位置，的延长线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，已知，，且，则下列结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，直线与直线、分别交于点、，的平分线交于点，是直线上一点，若，，． (1)求证：； (2)求的度数． 4．如图1，E点在上，，． (1)求证：； (2)如图2，，平分，与的平分线交于H点，若比大，请直接写出的度数． (3)保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分 平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【考点26 平移的性质】 1．（25-26七年级下·湖南娄底·期末）如图，将三角形平移一定的距离得到三角形，则下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·四川泸州·期末）有一个长方形花圃，为方便行人观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路（如图）．花圃长50米，宽30米．那么，种花的面积是（   ）平方米 A．1440 B．1400 C．1344 D．1200 3．（25-26七年级下·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点E，若，，则阴影部分的面积为_____． 【考点27 作图-平移变换】 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）图中的图形2可以看作由图形1向下平移______ 格，再向左平移______ 格得到的． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，把网格图中的五角星先向右平移6格，再把向右平移后的图形向下平移7格．请画出每次平移后的图形． 3．（25-26七年级下·广东肇庆·月考）在网格中的位置如图所示，请根据下列要求作图． (1)过点A作的垂线段，垂足为； (2)将向下平移5格，再向右平移2格，画出平移后的； (3)的面积为_______． 【考点28 轴对称图形】 1．（25-26七年级上·湖南张家界·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·天津·期末）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东滨州·期末）下列图形：线段、角、正方形、圆，其中轴对称图形的个数为_____． 【考点29 轴对称的性质】 1．（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图1是山西博物院主馆，整体外观造型“如斗似鼎”．小明绘制了从正面看到的主馆图（图2），该图形是一个轴对称图形，直线是它的对称轴，则下列说法错误的是（   ） A． B．线段被直线垂直平分 C． D． 2．（25-26八年级上·北京·期中）将一个正方形纸片依次按图（1），图（2）方式对折，然后沿图（3）中的虚线裁剪，最后将图（4）的纸再展开铺平，所看到的图案是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·广东茂名·期末）如图，在长方形中，E为边上的一点，沿线段对折后，若比大，则的度数是______． 【考点30 作图-轴对称变换】 1．（25-26八年级上·广西崇左·月考）请按下列要求画图：在图中，直线m是一个轴对称图形的对称轴，画出这个轴对称图形的另一半． 2．（25-26八年级上·江苏常州·期中）在镜子中看到的数字，则实际数字是___________ 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有 _____个． 【考点31 生活中的旋转现象】 1．（25-26七年级下·江苏南京·期中）电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（    ） A．轴对称，平移，旋转 B．旋转，轴对称，平移 C．轴对称，旋转，平移 D．平移，旋转，轴对称 2．（25-26九年级上·河北邢台·期中）下列情境属于旋转的是（  ） A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动 C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管 3．（25-26七年级上·上海·期末）在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以________（填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着________（填“顺”或“逆”）时针方向旋转________度． 【考点32 旋转的性质】 1．（25-26七年级上·河北沧州·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，在的正方形网格中，格点绕某点旋转一定角度，可得格点，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图2中的图案是由图1中的基本图形以点为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角度，依次旋转若干次而组成的，则旋转角的度数最小为_____度． 【考点33 作图-旋转变换】 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，绕点旋转后，顶点的对应点为点，试确定顶点的对应点的位置以及旋转后的三角形．    2．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图所示，正方形网格中，为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）． (1)把沿方向平移后，点移到点，在网格中画出平移后得到的； (2)把绕点按逆时针方向旋转，在网格中画出旋转后的． 3．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知△ABC的顶点A、B、C在格点上，按下列要求在网格中画图．    (1)△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C； (2)画△A1B1C关于点O的中心对称图形△A2B2C2． 【考点34 中心对称和中心对称图形】 1．（25-26九年级上·河南商丘·期中）以下奥运比赛项目图标中，不是中心对称图形的是（　　） A．乒乓球 B．篮球 C．排球 D．冲浪 2．（25-26七年级下·江苏常州·期末）如图，记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为（    ） A．点B B．点C C．点D D．点E 3．（25-26九年级·河北邯郸·月考）如图， 与 关于点 成中心对称，则下列结论不成立的是（   ）    A．点与点是对称点 B． C． D． 4．（25-26七年级上·上海·期末）如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发_______秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 【考点35 图案设计】 1．如图①是正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形的中心旋转能重合的图案都视为同一种，例②中四幅图就视为同一种，则得到不同共有 种 2．小明有一个俯视图为等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图所示的九个空格，下面列有积木的四种搭配方式，其中恰好能放入盒中空格的有（  ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 3．（25-26九年级上·山西大同·期中）图1和图2都是由连接正八边形部分顶点或部分对边中点构成的图案，每个图案可看作由4个全等的直角三角形、8个全等的小矩形和4个全等的小正方形组成．按下列要求涂阴影． (1)在图1中，选择两个直角三角形、两个小矩形和两个小正方形涂上阴影，使阴影部分组成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)在图2中，选择两个直角三角形、两个小矩形和两个小正方形涂上阴影，使阴影部分组成的图案是中心对称图形，但不是轴对称图形． 4．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取3个涂上阴影． (1)使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形而非中心对称图形． (2)使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形而非轴对称图形． （请将两小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） 【考点36 全面调查与抽样调查】 1．（25-26九年级上·重庆潼南·月考）下列调查中，适合采用全面调查（全面调查）方式的是（   ） A．对我市中学生观看电影《南京照相馆》情况的调查 B．调查琼江河的水质情况 C．调查某班学生视力情况 D．调查全国初一中学生的平均身高 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列调查中，最适合采用抽样调查的是（   ） A．了解我校七年级（1）班全体同学周末时间安排情况 B．乘坐飞机时对旅客行李的检查 C．调查某班名同学的视力情况 D．了解一批汽车的抗撞击能力 3．木王森林公园位于商洛市镇安县境内，是秦岭南坡仅有的两个国家森林公园之一，被誉为“植物的世界，动物的王国”．为调查园内的水质情况，管理人员适合采用 调查．（填“全面”或“抽样”） 4．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）下列调查：①调查洗衣机的使用寿命；②调查“神舟十四号载人飞船”的零部件；③调查人们保护地球环境的意识；④调查全国初中生的视力情况．其中适合全面调查的是（填序号） ． 【考点37 总体、个体、样本、样本容量】 1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）为了了解我县参加中考的名学生的体重情况，随机抽取了其中名学生的体重进行统计分析，下面叙述正确的有（    ）个 ①总体是3000名学生； ②样本是200名学生的体重； ③样本容量是200； ④以上是抽样调查． A．个 B．个 C．个 D．个 2．为了解全校九年级300名学生的视力情况，从中抽取50名九年级学生进行视力测量调查，在这个调查中，样本容量是 ． 3．（24-25七年级下·重庆荣昌·期末）为了掌握我校七年级男同学身高情况，从中抽测了50名男同学的身高，这个问题中的样本是 ． 4．为了解我市中学生中15岁女生的身高状况，随机抽查了10个学校的200名15岁女生的身高，则下列表述正确的是 A．总体指我市全体15岁的女中学生 B．个体是200名女生的身高 C．个体是10个学校的女生 D．抽查的200名女生的身高是总体的一个样本 【考点38 统计表】 1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）某市为了解初中学生的视力情况，随机抽取200名初中学生进行调查，整理样本数据如下表．根据抽样调查结果，估计该市16000名初中学生中，视力不低于4.8的人数是（　　） 视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上 人数 39 41 33 40 47 A．120 B．200 C．6960 D．9600 2．为了解学生心理健康情况，某学校在全校七、八、九三个年级共1000名学生中开展心理健康知识竞赛活动，根据竞赛成绩将各年级合格人数绘制了如图所示的统计表，则下列说法正确的是（    ） 各年级合格人数统计表 年级 七年级 八年级 九年级 合格人数（人） 337 330 322 A．七年级学生的合格率最高 B．九年级学生的合格人数最少 C．八年级学生的人数为330人 D．九年级学生的合格率为 3．（24-25七年级上·四川成都·期末）下面是A，B两球从不同高度自由下落到地面后反弹高度的统计表．小明想要购买弹性较大的球，他应该选择 球． 起始高度 24 32 45 67 78 96 A球反弹高度 11 21 31 48 53 58 B球反弹高度 16 26 40 57 64 70 4．（24-25八年级下·河北保定·期末）在曲阳县2025年中学生运动会跳高比赛中，各年龄组的参赛人数情况如下表所示：若小明所在年龄组的参赛人数占全体参赛人数的，则小明所在的年龄组是 年龄组 13岁 14岁 15岁 16岁 参赛人数 5 19 12 14 【考点39 条形统计图】 1．（24-25六年级上·山东泰安·期末）学校期中考试后，随机抽取部分同学测试的成绩为样本（成绩为整数），绘制的成绩统计图如图所示，若这次测试成绩80分以上（不含80分）为优秀，则优秀率为 %． 2．某校随机调查了若干名家长与中学生对中学生带手机进校园的态度，并绘制了如图所示的统计图，已知调查家长的人数与调查学生的人数相等，则家长反对学生带手机进校园的人数有（   ） A．140 B．120 C．220 D．100 3．（24-25六年级下·上海青浦·期末）2024届巴黎奥运会落下帷幕，中国健儿斩获了境外奥运会的最好成绩．获奖情况如图所示，获得的金牌数占总奖牌数的 （填百分之几，百分号前保留一位小数）． 4．某次考试中，某班级的数学成绩被绘制成了如图所示的频数直方图．下列说法错误的是（    ） A．得分在70～80分之间的人数最多 B．及格（不低于60分）的人数为26 C．得分在90～100分之间的人数占总人数的5% D．该班的总人数为40 【考点40 扇形统计图】 1．某班学生最喜欢的一项球类运动的统计表和扇形统计图如图所示，其中统计表不小心被撕掉一部分，下列推断不正确的是（   ） A．足球所在扇形的圆心角度数为 B．该班喜欢乒乓球的人数占总人数的 C．m与n的和为52 D．该班喜欢羽毛球的人数不超过13人 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）某学校全体学生来自A、B、C三个街道，其人数比为1：2：2．如图用扇形统计图来表示来自三个街道的学生所占的百分比，则来自A街道对应扇形的圆心角度数为 3．幸福街道组织45岁以上居民进行慢性病筛查，根据筛查所得数据绘制的扇形统计图如图所示，其中患高血脂的有171人，该区45岁以上参加这次慢性病筛查的人中，患高血压的比患高血脂的多 人． 4．某学校开设多门课外活动，为了解学生参与情况，进行了随机抽查．现将数据收集并整理后，绘制出如下不完整的统计图．经调查发现，选择面塑和中国结的学生人数相同，共40人，以下结论错误的是（     ） A． B．样本容量为100 C．选择中国结所对应的扇形圆心角为 D．选择面塑的学生比选择打印的学生数少10人 【考点41 折线统计图】 1．某购物中心对今年7-12月份中顾客使用“支付宝支付”和“微信支付”这两种支付方式的情况进行统计，得到如图所示的折线统计图．根据统计图中的信息，得出以下四个推断，其中说法不合理的是（   ） A．6个月中11月份使用手机支付的总次数最多 B．6个月中使用“微信支付”的总次数比使用“支付宝支付”的总次数多 C．6个月中使用“微信支付”的消费总额比使用“支付宝支付”的消费总额大 D．9月份平均每天使用手机支付的次数为0.314万次 2．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图是某地某日至的气温变化趋势图，由此可估计当天时的气温约为 ． 3．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图是某班学生一周参加体育锻炼情况的折线统计图，则一周参加体育锻炼时间中人数最多的锻炼时间是 小时． 4．（24-25七年级下·甘肃定西·期末）甲、乙两家汽车销售公司2022年到2024年的销售量分别如图：从2022年到2024年的变化趋势可以得出，这两家公司销售量增长较快的是 公司． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $