精品解析：黑龙江哈尔滨市第一一三中学校2025-2026学年下学期八年级期中学生学业水平阶段反馈数学试题

哈113中学2025-2026学年度下学期八年数学 期中学生学业水平阶段反馈 一、选择题（每题3分，共计30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 由线段a、b、c可以组成直角三角形的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 3. 某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形组成的一个大正方形，已知大正方形面积为25，，用a、b表示直角三角形的两直角边，下列选项中正确的是（ ） A. 小正方形的面积为4 B. C. D. 5. 对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 0 6. 若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，的中垂线交于点交延长线于点．若，，，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于长为半径作弧交于点P，作射线，过点D作的垂线交的延长线于点Q，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是_______________． 12. 计算：=________． 13. 在中，，则的度数为__________． 14. 直线的图象不经过第__________象限． 15. 已知一次函数的图像如图所示，不等式的解集是__________． 16. 某个一次函数的图像与直线平行，并且经过点，则这个一次函数解析式为_____； 17. 如图，在中，平分，于点E，点F是的中点，若，，则的长为__________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，正方形、、、…、的顶点、、、…、均在直线上，顶点、、、在x轴上，若点的坐标为，点的坐标为，那么点的坐标为__________． 19. 在中，，，点在边上，连接，若，则的面积为______． 20. 如图，中，，，，点为上一动点（不与点、重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、．有如下结论：①；②当时，；③当时，直线；④在点运动的过程中，周长的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是__________． 三、解答题（21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，方格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点．的三个顶点均在格点上．请用无刻度的直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹，体现作图过程） （1）在方格纸中，画出（点在格点上），满足与的面积相等； （2）画出的高； （3）直接写出的值． 23. 如图，一个正比例函数图象与一个一次函数（为常数，）的图象交于点，一次函数图象与轴、轴分别交于、两点，且． （1）求直线的解析式； （2）求的面积． 24. 筝形在几何学中定义为有两组邻边分别相等的凸四边形叫做筝形．如图1，在四边形中，若，，则四边形即为筝形．（注：画出四边形的任何一边所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸多边形．） （1）如图2，在菱形中，点E、F分别是边、上的两个点，，连接和．求证：四边形是筝形． （2）如图3，的方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点O、P均在格点上，，以点O为原点，点O、P所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若点M、N在格点上，且四边形为筝形，例如，如图3中所给出的点M即为所求，请直接写出网格中其它所有符合条件的点M的坐标． 25. 某学校采购体育用品，需要购买篮球和足球．购买一个篮球比购买一个足球多10元，购买两个足球比购买一个篮球多40元． （1）求购买一个篮球和一个足球分别需要多少元； （2）若该学校要购买篮球和足球共20个，且足球的个数不超过篮球个数的3倍，请问购买多少个足球时花费最少，最少费用是多少？ 26. 如图，在中，在上，连接． （1）如图1，连接，若平分，，，，求证：平分； （2）如图2，连接，在上，若，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，，，是锐角，求线段的长． 27. 在平面直角坐标系中，直线交x轴于点C，交y轴于点B，，． （1）如图1，求A的横坐标； （2）如图2，轴于点D，F是的中点，连接，设C的横坐标为m，若的面积为S，求S与m的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，设交于点K，，于H，轴于点B，与延长线交于点L，连接，与交于点M，P在上，轴，与交于点N，，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈113中学2025-2026学年度下学期八年数学 期中学生学业水平阶段反馈 一、选择题（每题3分，共计30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A. 中含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程，不合题意； B. 含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意； C. 整理后，消去得，不是一元二次方程，不合题意； D. 整理得，只含一个未知数的整式方程，且未知数最高次数为2，符合一元二次方程的定义，符合题意． 2. 由线段a、b、c可以组成直角三角形的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，判断直角三角形需验证两短边平方和是否等于最长边平方． 【详解】解：A．最长边为，由得，不能组成直角三角形； B．最长边为，由得，能组成直角三角形； C．，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形； D．最长边为，由得，不能组成直角三角形． 3. 某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可设这两年平均每年的增长率为x，因为经过两年时间，让市区绿地面积增加44%，则有（1+x）2=1+44%，解这个方程即可求出答案． 【详解】设这两年平均每年的绿地增长率为x，根据题意得， （1+x）2=1+44%， 解得x1=-2.2（舍去），x2=0.2． 答：这两年平均每年绿地面积的增长率为20%． 故选A． 【点睛】本题考查了增长率的问题，一般公式为：原来的量×（1±x）2=现在的量，增长用+，减少用-．但要注意解的取舍，及每一次增长的基础． 4. 如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形组成的一个大正方形，已知大正方形面积为25，，用a、b表示直角三角形的两直角边，下列选项中正确的是（ ） A. 小正方形的面积为4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理解答即可． 【详解】解：根据题意可得：，故B错误， ， ，故D错误， ，故A错误， ， ∴， ，故C正确； 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键学会用整体恒等变形的思想，属于中考常考题型． 5. 对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据新运算定义整理得到关于x的一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式求出m的取值范围，再选出符合条件的选项即可． 【详解】解：由新运算定义可得， 因此方程可化为， 整理得， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 化简得， 解得， 观察选项，仅有D选项的满足． 6. 若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．根据一次函数的增减性可知一次函数中随的增大而减小，再结合图象上点的特征即可解答． 【详解】解：， 一次函数中随的增大而减小， 又， ． 故选：B． 7. 如图，在中，的中垂线交于点交延长线于点．若，，，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明△BCF是等边三角形，得出CF=BC=2，∠BCF=60°，求出CD，再证明四边形BCDE是矩形，即可求出面积． 【详解】解：连接CF，如图所示： ∵DE是AC的中垂线， ∴AF=CF，∠CDE=90°， ∴∠ACF=∠A=30°， ∴∠CFB=∠A+∠ACF=60°， ∵AF=BF， ∴CF=BF， ∴△BCF是等边三角形， ∴CF=BC=2，∠BCF=60°， ∴，， ∵BE⊥DF， ∴∠E=90°， ∴四边形BCDE是矩形， ∴四边形BCDE的面积=BC•CD=2×=2； 故选A． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角函数以及等边三角形的判定与性质；证明等边三角形和矩形是解决问题的关键． 8. 如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由折叠的性质可知，，，再根据菱形的性质，得出，从而求出，则，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， 在菱形中，， ，， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，分母有理化等知识，掌握菱形的性质是解题关键． 9. 如图，在矩形中，，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于长为半径作弧交于点P，作射线，过点D作的垂线交的延长线于点Q，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】令与的交点为，由矩形的性质，得到，由作法可知，平分，进而证明，推出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，令与的交点为， 在矩形中，，， ，， ， ， ， 由作法可知，平分， ， 又， ， ， ， 在中，． 10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出0≤x≤4、4＜x＜7时函数表达式，即可求解． 【详解】解：由题意当0≤x≤4时， y＝×AD×AB＝×3×4＝6， 当4＜x＜7时， y＝×PD×AD＝×（7﹣x）×4＝14﹣2x． 故选：D． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 二、填空题（每题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，分母不能为0，据此求解自变量的取值范围； 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不为0， ∴在函数中，分母， 解得． 12. 计算：=________． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式=． 故答案为． 13. 在中，，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由四边形内角和定理，结合得，再根据平行四边形对角相等，即可求解． 【详解】解：中，，， ， ， ． 14. 直线的图象不经过第__________象限． 【答案】三 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，通过k和b的符号判断直线经过的象限，即可得到直线不经过的象限. 【详解】解：∵ 一次函数中，，， ∴ 直线的图象经过第一、二、四象限， ∴ 直线的图象不经过第三象限. 15. 已知一次函数的图像如图所示，不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图像，熟练掌握一次函数的图像是解题的关键．根据一次函数的图像可知，函数值随的增大而减小，从而得到答案． 【详解】解：由图像可知：函数值随的增大而减小， 当时，， 故当时，， 故答案为：． 16. 某个一次函数的图像与直线平行，并且经过点，则这个一次函数解析式为_____； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式，掌握两条直线是平行的关系，则他们的自变量系数相同是解答本题的关键． 设直线的解析式为，根据两直线平行的问题得到，然后把点代入可计算出即可． 【详解】解：设直线的解析式为， ∵一次函数的图像与的图像平行， ∴， ∴， 把代入得， 解得， 故直线的解析式为． 故答案为：． 17. 如图，在中，平分，于点E，点F是的中点，若，，则的长为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】延长交于点M，构造等腰三角形，利用中位线定理得出线段长度． 【详解】解：如图，延长交于点M， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴为的中位线， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，正方形、、、…、的顶点、、、…、均在直线上，顶点、、、在x轴上，若点的坐标为，点的坐标为，那么点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出点、的坐标，代入求出解析式，依次求出点、、、的纵坐标及横坐标，得到规律即可得到答案 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴正方形的边长是1，正方形的边长是2， ∴，， 将点、的坐标代入得， 解得， ∴直线解析式是， ∴的纵坐标是，横坐标是， ∴的纵坐标是，横坐标是， ∴的纵坐标是，横坐标是， ∴的纵坐标是，横坐标是， ∴的纵坐标是，横坐标是，即 19. 在中，，，点在边上，连接，若，则的面积为______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】过点作交于点，由勾股定理和等腰三角形的性质得，分类讨论：当点在点左边时，当点在点右边时，求解即可． 【详解】解：过点作交于点， ， ， ， 当点在点左边时，如图 ， ， ； 当点在点右边时，如图 ， ； 综上，的面积为或． 20. 如图，中，，，，点为上一动点（不与点、重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、．有如下结论：①；②当时，；③当时，直线；④在点运动的过程中，周长的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是__________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据旋转的性质、等边三角形判定、全等三角形判定与性质、直角三角形性质、最短路径问题，需逐一推导每个结论． 【详解】解：已知中，，，， ，，， 由旋转性质得：，， ①证明， ，， 是等边三角形， ， ①正确； ②当时，证明 ， ， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ， ，②正确； ③当时，证明直线， 延长到点使，连接， 是等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中： ， ， ，， ， 延长交于点， ， ， ， ，③正确； ④在上取点使，连接，则是的中点， 是等边三角形， ，， ， ，即， 在和中： ， ， ， 周长，求周长最小值即为求的最小值， 作点关于的对称点交于点，连接，，过点作交延长线于点，连接， 则的最小值为的长度， , , 又是的中点， 是的中位线， , 又， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， 周长最小值，④错误； 综上，正确的结论为①②③． 三、解答题（21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】根据分式的运算法则化简原式，再根据负整数指数幂和零指数幂的计算法则求出的值，代入化简后的式子计算即可得到结果． 【详解】解： ， ， ∴原式． 22. 如图，方格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点．的三个顶点均在格点上．请用无刻度的直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹，体现作图过程） （1）在方格纸中，画出（点在格点上），满足与的面积相等； （2）画出的高； （3）直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用格点构造的平行线，根据平行线间的距离处处相等，可得与的面积相等； （2）取格点H，连接，与交于点E，根据，都为矩形对角线，结合图象即可得是的高； （3）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，根据三角形等面积法计算出，进而即可求解． 【小问1详解】 解：如图， 即为所求； 【小问2详解】 解：如图，取格点H，连接，与交于点E，即为所求； 【小问3详解】 解：由勾股定理得，，， ， ， 是直角三角形，， ， 又， ， ． 23. 如图，一个正比例函数图象与一个一次函数（为常数，）的图象交于点，一次函数图象与轴、轴分别交于、两点，且． （1）求直线的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）先根据直线的解析式求出点A的坐标，再根据三角形面积公式求解． 【小问1详解】 解：将，代入，得： ， 解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：令， 解得， ， ， ， ． 24. 筝形在几何学中定义为有两组邻边分别相等的凸四边形叫做筝形．如图1，在四边形中，若，，则四边形即为筝形．（注：画出四边形的任何一边所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸多边形．） （1）如图2，在菱形中，点E、F分别是边、上的两个点，，连接和．求证：四边形是筝形． （2）如图3，的方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点O、P均在格点上，，以点O为原点，点O、P所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若点M、N在格点上，且四边形为筝形，例如，如图3中所给出的点M即为所求，请直接写出网格中其它所有符合条件的点M的坐标． 【答案】（1）证明见解析 （2），， 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，得到，，即可证明，得到，即可根据筝形的定义证明结论； （2）分和两种情况讨论，分别求出满足条件的点M的坐标即可． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， 四边形是筝形； 【小问2详解】 解：当时，以点P为圆心，5为半径画弧，该弧恰经过，，，等4个格点， 且，； ，；，， 四边形、四边形、四边形都是筝形； 当时，也能得到，，，共4个格点，但都找不到对应的点M，使四边形为筝形； 所以网格中其它所有符合条件的点M的坐标是，，． 【点睛】本题考查了坐标与图形的综合问题，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间的距离公式，正确理解筝形的定义并能拓展应用是解题的关键． 25. 某学校采购体育用品，需要购买篮球和足球．购买一个篮球比购买一个足球多10元，购买两个足球比购买一个篮球多40元． （1）求购买一个篮球和一个足球分别需要多少元； （2）若该学校要购买篮球和足球共20个，且足球的个数不超过篮球个数的3倍，请问购买多少个足球时花费最少，最少费用是多少？ 【答案】（1）篮球的单价为60元，足球的单价为50元． （2）购买15个足球时花费最少，最少费用是1050元． 【解析】 【分析】（1）设篮球的单价为元，足球的单价为元，根据“购买一个篮球比购买一个足球多10元，购买两个足球比购买一个篮球多40元”这个关键条件，可列二元一次方程组求解； （2）首先设购买足球个，那么篮球为个；因为足球个数不超过篮球个数的3倍，所以可列出不等式确定的取值范围；再根据总价=单价×数量，建立总费用关于的一次函数，利用一次函数的性质求花费最少时的值和最少费用． 【小问1详解】 设篮球的单价为元，足球的单价为元， 根据题意得：，解得， 答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元． 【小问2详解】 设该学校购买足球个，则购买篮球个， 根据题意得：， 解得 的整数． 设学校要购买篮球、足球的总费用为元， 根据题意得：， ，随的增大而减小， 且为非负整数， 当时，最小，最小值为1050． 答：购买15个足球时花费最少，最少费用是1050元． 26. 如图，在中，在上，连接． （1）如图1，连接，若平分，，，，求证：平分； （2）如图2，连接，在上，若，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，，，是锐角，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先证是等边三角形，再证，推出，根据得，等量代换得，即可证明平分； （2）由，，推导出．根据以及三角形外角的性质，证明，即可得出； （3）在左侧构造，使得，在直线上，通过（2）中的条件和结论，先利用全等三角形说明，再利用（3）中的条件进行角度代换，通过等角对等边说明，最后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：中，，， ， 平分， ， ， ， 是等边三角形， ， 中，，， ， ， ， ， ， ， 平分； 【小问2详解】 证明：， ， 又， ． ，， ， ， ， ， 又， ， ； 【小问3详解】 解：如图，在左侧构造，使得，在直线上，连接，作，， 由作法，可知，，，，， 又由（2），得，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， 又， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∵，， 又， ∴，即， 解得． 27. 在平面直角坐标系中，直线交x轴于点C，交y轴于点B，，． （1）如图1，求A的横坐标； （2）如图2，轴于点D，F是的中点，连接，设C的横坐标为m，若的面积为S，求S与m的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，设交于点K，，于H，轴于点B，与延长线交于点L，连接，与交于点M，P在上，轴，与交于点N，，，求线段的长． 【答案】（1）10 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质构造勾股定理即可求解； （2）设C的横坐标为m，则可知，再根据中点坐标可知，再根据三角形的面积公式即可求出关系式； （3）延长至点,使得,连接,过点作,过点作, 证明，可得，然后证明，可知,根据点坐标可知的解析式，的解析式，进而可用来表示的坐标，构造方程即可求得的值． 【小问1详解】 解：过点作轴， ∵，， ∴， ∴, ∴, ∴ ∴， ∴A的横坐标为：， 【小问2详解】 解：过点作轴， 设C的横坐标为m，则， A的横坐标为：， ∴， ∵， ∴, ∴, ∴点， ∵F是的中点 ∴， ∴， ∴， ∴S与m的函数关系式为：， 【小问3详解】 解：延长至点,使得,连接, 过点作, 过点作, ∵F是的中点， ∴ 在和中， ∴， ∴, ∴, ∴， ∵， ∴, ∵,, ∴, ∴, 在和中， ∴， ∴, 由题可知：，,，，， ∴， 设直线解析式为：， 将点代入得：， 解得：， 则直线解析式为： 当时，， 则点， ∴， 当时，， 则点， 则点， 则， ∴， 设直线的解析式为： 将点代入得： 解得：， 则直线的解析式为： 当时， 则点 则， ∵ 解得：或， 当时，点为：，则,,则不成立； 当时，点为： 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $