专题02 期末复习易错题42个考点（举一反三期末专项训练）七年级数学下学期新教材沪教版五四制

**基本信息** 聚焦期末易错题，以42个考点系统覆盖不等式、几何图形等核心知识，按概念-性质-应用逻辑编排，强化易错点突破，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式|7考点（3-4题/考点）|概念辨析、解法应用|从定义到性质，再到实际问题抽象与求解| |相交线与平行线|10考点（3-4题/考点）|角关系判断、判定与性质综合|从基本图形关系到逻辑推理应用| |三角形及全等|15考点（3-4题/考点）|性质应用、判定证明|从三角形要素到全等判定的递进| |等腰与等边三角形|10考点（3-4题/考点）|性质与判定综合、动态问题|特殊三角形性质与判定的关联应用|

专题02 期末复习易错题42个考点 【新教材沪教版五四制】 【考点1 认识不等式】 2 【考点2 不等式的基本性质】 3 【考点3 一元一次不等式（组）的定义】 5 【考点4 一元一次不等式（组）的解法】 6 【考点5 一元一次不等式（组）的整数解】 9 【考点6 由实际问题抽象出一元一次不等式（组）】 11 【考点7 一元一次不等式（组）的应用】 13 【考点8 对顶角】 18 【考点9 点到直线的距离】 20 【考点10 同位角、内错角、同旁内角】 22 【考点11 平行线的判定】 24 【考点12 平行线的性质】 27 【考点13 平行线的判定与性质】 32 【考点14 命题的改写】 38 【考点15 真假命题】 39 【考点16 举反例】 42 【考点17 互逆命题】 43 【考点18 构造命题并证明】 45 【考点19 三角形的相关概念】 48 【考点20 三角形的三边关系】 50 【考点21 三角形的稳定性】 52 【考点22 三角形的中线】 54 【考点23 三角形的角平分线】 57 【考点24 三角形的高】 59 【考点25 三角形的内角和定理】 62 【考点26 三角形的外角性质】 65 【考点27 全等图形】 68 【考点28 全等三角形的性质】 70 【考点29 全等三角形的判定SSS】 73 【考点30 全等三角形的判定SAS】 75 【考点31 全等三角形的判定ASA】 78 【考点32 全等三角形的判定AAS】 80 【考点33 全等三角形的判定与性质】 82 【考点34 等腰三角形的性质—等边对等角】 89 【考点35 等腰三角形的性质—三线合一】 91 【考点36 等腰三角形的判定—等角对等边】 94 【考点37 等腰三角形的判定与性质】 98 【考点38 等边三角形的性质】 104 【考点39 等边三角形的判定】 108 【考点40 等边三角形的判定与性质】 112 【考点41 含30°角的直角三角形的性质】 118 【考点42 线段的垂直平分线】 121 【考点1 认识不等式】 1．下列式子中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式，根据不等式的定义逐项判断即可求解，掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是代数式，该选项不合题意； 、是等式，该选项不合题意； 、是不等式，该选项符合题意； 、是代数式，该选项不合题意； 故选：． 2．用不等式可将“a与b的和的平方为非负数”表示为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列不等式、非负数的概念（非负数即大于等于 0 的数）以及代数式的正确表示；解题的关键是准确拆解文字表述中的数量关系，先确定 “a 与 b 和的平方” 对应的代数式，再结合 “非负数” 的符号特征列出不等式． 先分析文字表述：“a 与 b 的和” 表示为，“和的平方” 即对整体平方，为；“非负数” 表示该式的值大于等于 0，即，由此组合得到对应的不等式，再与选项对比确定答案． 【详解】解：A、选项表示 “a 的平方与 b 的平方的和为非负数”，并非 “a 与 b 和的平方”，此选项不符合题意； B、选项表示 “a 与 b 和的平方为非负数”，与文字表述完全一致，此选项符合题意； C、选项表示 “a 的平方与 b 的平方的和为正数”，既不是 “和的平方” 也排除了非负数中的 0，此选项不符合题意； D、选项表示 “a 与 b 的和的平方为正数”，虽为 “和的平方” 但排除了非负数中的 0，此选项不符合题意； 故选：B． 3．如图，是校园内限速标志，若用V表示速度，请用含字母V的不等式表示这个标志的实际意义 ． 【答案】 【分析】本题考查列不等式．正确的识图，是解题的关键． 根据题意，列出不等式即可． 【详解】解：由图可知：； 故答案为：． 4．据气象台报道，2024年6月28日双流区的最高气温为，最低气温为，则当天气温的变化范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列不等式，根据题意列出不等式即可求出答案，解题的关键是正确理解不等式的定义． 【详解】由于最高气温是，最低气温是， ∴， 故答案为：． 【考点2 不等式的基本性质】 1．如果，则a b（填“＞”、“＜”、“＝”）； 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不改变是解题的关键． 根据不等式的基本性质直接求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： ． 2．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）若，下列不等式变形正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质逐一判断即可． 【详解】A．由可得，原不等式变形错误； B．由可得，即，原不等式变形错误； C．当时，，原不等式变形错误； D．由可得，即，原不等式变形正确； 故选：D． 3．（24-25七年级下·上海·期末）如果的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据不等式的运算法则运算求解即可． 【详解】解：∵的解集为， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·江西上饶·期末）若，，当时，A与B的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算的应用，不等式的性质，利用作差法求解是解此题的关键． 利用作差法求得，然后根据利用不等式的性质求解即可． 【详解】解： ∴当时， ∴ ∴． 故答案为：． 【考点3 一元一次不等式（组）的定义】 1．（24-25七年级下·上海·月考）下列为一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．依此即可求解． 【详解】解：A、含有2个未知数，故A不符合题意； B、未知数的次数不是1，故B不符合题意； C、是一元一次方程，故C不符合题意； D、是一元一次不等式，故D符合题意． 故选D． 2．下列不是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式组的定义进行解答． 【详解】解：A、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； B、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； C、该不等式组中含有2个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项符合题意； D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组． 3．（24-25七年级下·重庆·期末）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．利用一元一次不等式的定义判断即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴，， 解得：， 故答案为：． 4．（2024·河南周口·三模）某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求不等式组解集的意义；由题意知，温度要同时适宜两种菌苗的生长，就是求这两个范围的公共部分． 【详解】解：这两个温度范围的公共部分是：； 故答案为：． 【考点4 一元一次不等式（组）的解法】 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）关于的一元一次方程的解是负数，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次不等式，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据原方程的解为负数，得到，解出m的取值范围即可． 【详解】解：， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， ∵的一元一次方程的解是负数， ∴， 即， 解得． 答：的取值范围． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于、的方程满足方程组 (1)用含的代数式表示； (2)若、均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为9，最小值为 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组的解、解二元一次方程组、不等式的性质等知识，掌握不等式组及方程组的解法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）运用加减消元法，解得，即可作答． （2）由，且根据已知易得，从而可得，最后进行计算即可解答； （3）利用（1）的结论代入可得，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ，得， 解得， ，得， 解得， 综上所述：，； （2）解：由（1）得， ∵均为非负数， ∴， 即， 解得； （3）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 即， ∴的最大值为9，最小值为． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，解题关键是掌握一元一次不等式组的解法． 先分别解不等式组中的每个不等式，再根据不等式组的解集确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·重庆·期中）若关于的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式的解集为，则所有满足条件的整数的积为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法、二元一次方程组的整数解，熟练掌握“根据不等式解集的符号确定系数的范围，结合方程组的整数解条件分析未知数的取值”是解题的关键． 先根据不等式的解集确定的范围，再解方程组得到的表达式，结合解为整数的条件确定的可能值，最后计算这些的积． 【详解】解：∵ 不等式的解集为， ∴， 解得， 解方程组，得，， ∵ 方程组的解为整数， ∴ 是整数，且是整数，故是4的倍数 ∵ ， ∴ ，即是负整数， 又∵ 是整数且为4的倍数， ∴ 是8的负约数，且是4的倍数， 当时，，（是4的倍数），（整数），符合条件， 当时，，（是4的倍数），（整数），符合条件， 当时，，（不是4的倍数），舍去， 当时，，（不是4的倍数），舍去， ∴符合条件的整数为、， ∴ 它们的积为， 故答案为：． 【考点5 一元一次不等式（组）的整数解】 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）关于的不等式的负整数解是，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式的解集求参数． 首先解不等式得到的取值范围，然后根据负整数解是和，确定和满足不等式，而不满足，从而得到关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：解不等式，得， 由于负整数解是，， 因此和满足不等式，即，得； 同时不满足不等式，即，得； 故的取值范围是． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查的是根据不等式组的整数解求解参数的取值范围，先求出不等式组的解集，再根据只有四个整数解的条件确定a的取值范围． 【详解】解：∵， 由①得： ； 由②得： ，即 ． ∴不等式组的解集为 ． 由于只有四个整数解，且，因此整数解为 1， 0， ， ． 为确保解集包含 但不包含 ， ∴． 故答案为： 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解问题，解题的关键是先解不等式，再根据正整数解的个数确定不等式的取值范围． 1．解不等式，得到； 2．根据“有且仅有三个正整数解”确定正整数解为1、2、3，进而列出关于的不等式； 3．解该不等式，得到的取值范围． 【详解】解： 有且仅有三个正整数解， 正整数解为 1， 2， 3． 且 由 ，得 ，即 ； 由 ，得 ，即 ． ． 故选C． 4．若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，首先确定不等式组的解集，利用含的式子表示出来，根据整数解的和就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围． 【详解】解：解不等式组得， 不等式组的所有整数解的和是18， 不等式组的整数解为6、5、4、3或6、5、4、3、2、1、0、、， 或 ， 故选：C． 【考点6 由实际问题抽象出一元一次不等式（组）】 1．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）某学校组织八年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是用不超过3小时的时间平整一块面积为的土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了土地．设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实际问题抽象出一元一次不等式，理解题意，找准不等关系是解此题的关键． 设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据“某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时”即可列出一元一次不等式． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， 故选：C． 2．某品牌运动鞋的进价为每双200元，售价为每双300元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于，如果将这种品牌的运动鞋打折销售，则能正确表示该商店的促销方式的不等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用——销售问题．熟练掌握打折销售，“利润售价进价”，运用不等关系列不等式，是解决问题的关键． 根据打x折销售，利润率不低于，列出不等式即可． 【详解】∵这种品牌的运动鞋售价为每双300元，打折销售， ∴打折后实际售价为每双元， ∵利润率不低于， ∴利润不低于元， ∴能正确表示该商店的促销方式的不等式是：． 故选：B． 3．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若设同学人数为x人，则植树的棵数为棵，根据“每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵”列一元一次不等式组即可． 【详解】解：若每人平均植树 9 棵，则位同学植树棵数为， ∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的总棵数为棵， ∴可列不等式组为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键． 4．某企业次定购买，两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表： 型 型 价格（万无台） 12 10 月污水处理能力（吨月） 200 160 经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低1380吨，该企业有哪些购买方案呢？这解决这个问题，高购买型污水处理设备台，所列不等式组正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8-x）台，根据企业最多支出89万元购买设备，要求月处理污水能力不低于1380吨，列出不等式组，然后找出最合适的方案即可． 【详解】设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8-x）台，根据题意，得： ， 故选A． 【点睛】考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是通过表格获取相关信息，在实际问题中抽象出不等式组． 【考点7 一元一次不等式（组）的应用】 1．（25-26八年级上·浙江温州·期中）班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次须奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 【答案】(1)A种奖品最多买了35件； (2)①；②36 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式以及一元一次不等式组的应用． （1）设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，根据最初购买的奖品总数不超过100件，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再将x的最大整数值代入中，即可求出结论； （2）①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，利用颁发A，B两种奖品的总数量=颁发A种奖品的数量+颁发B种奖品的数量，可用含x的代数式表示出颁发A，B两种奖品的总数量； ②根据颁发A，B两种奖品的总数量不低于45件且不超过件，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x，均为正整数，可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为7， ∴（件）． 答：A种奖品最多买了35件； （2）解：①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， ∴此次颁奖，共颁发了A，B两种奖品（件）． 故答案为：； ②根据题意得：， 解得：， 即， 又∵x，均为正整数， ∴， ∴． 答：全班有36位同学获得了B种奖品． 2．（25-26七年级上·福建厦门·期中）甲、乙两家复印社复印纸张的收费标准如下： 甲复印社：无论复印多少页，每页收费0.2元． 乙复印社：当复印的页数不超过20页时，每页收费0.3元；当复印的页数超过20页时，超过的部分每页收费0.15元． (1)若要复印50页，请问选择哪家复印社比较省钱，并说明理由； (2)设复印的页数为x页（x超过20页），分别求出甲、乙两家复印社的收费（用含x的代数式表示）； (3)当复印的页数超过______页时，乙复印社的收费会比甲复印社便宜． 【答案】(1)选择甲复印社比较省钱，因为甲收费10元，乙收费10.5元。 (2)甲复印社收费：元；乙复印社收费：元。 (3)60 【分析】此题考查了一元一次不等式及列代数式的应用，找出题中的数量关系是解本题的关键． （1）根据甲、乙两家复印社收费标准即可求解； （2）根据题意，分别求出甲、乙两家复印社的收费即可； （3）根据题意列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：复印50页时： 甲复印社收费：(元) 乙复印社收费：前20页每页0.3元，超过部分每页0.15元， 即(元)， 因为， 所以选择甲复印社比较省钱． （2）解：设复印张数为页 甲复印社收费：元． 乙复印社收费：元． （3）解：要使乙复印社收费比甲便宜，需满足： 解不等式得： 所以当复印的页数超过60页时，乙复印社的收费会比甲复印社便宜． 故答案为：60． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）一个车间有20名工人，每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元．在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余人去制造乙种零件． (1)写出此车间每天所获利润y元与x名工人之间的函数表达式； (2)如果要车间每天所获利润不低于24000元，至少应安排多少工人去制造乙种零件？ 【答案】(1)（，且x为整数） (2)至少应安排15名工人去制造乙种零件 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式（组）的应用，正确建立函数关系式是解题关键． （1）先求出有名工人制造乙种零件，再根据利润计算公式即可得； （2）根据建立不等式，解不等式，从而求出，由此即可得． 【详解】（1）解：车间每天安排名工人制造甲种零件，则有名工人制造乙种零件， 则此车间每天所获利润， ∵， ∴， 所以此车间每天所获利润元与名工人之间的函数表达式为（，且x为整数）． （2）解：由题意得：，即， 解得， 则， 答：至少应安排15名工人去制造乙种零件． 4．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）中秋节前，某超市第一次购进A，B两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价： 进价（元/个） 售价（元/个） A礼盒 150 220 B礼盒 100 140 (1)根据上表，求该超市第一次购进A，B礼盒各多少个； (2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进A，B两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于A礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进A礼盒m个，A礼盒的售价比第一次的售价提高20元，B礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？ 【答案】(1)第一次购进A礼盒20个，B礼盒80个 (2)该超市有8种进货方案 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设该超市第一次购进x个A礼盒，则购进个B礼盒，根据该超市第一次购进的A，B两种礼盒全部售出后共获利4600元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即该超市第一次购进A礼盒的数量），再将其代入中，即可求出该超市第一次购进B礼盒的数量； （2）根据“第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出该超市共有8种进货方案． 【详解】（1）解：设A种礼盒x个，则B种礼盒个，由题意得： 解得， 则 答：第一次购进A礼盒20个，B礼盒80个； （2）解：由题意得 解得， ∴该超市有8种进货方案． 【考点8 对顶角】 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）下列图形中，与是对顶角的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对顶角定义即可求解． 【详解】解：、选项中与不是对顶角，不符合题意； 、选项中与是对顶角，符合题意； 、选项中与不是对顶角，不符合题意； 、选项中与不是对顶角，不符合题意． 2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，如果，则_____ 【答案】 【详解】解：由图可知 与是对顶角，根据对顶角相等可得， 因为 ， 所以 ， 又因为 与 互为邻补角， 所以， 所以 3．（25-26七年级下·北京·期中）如图，直线相交于点O，，，求的度数． 【答案】 【分析】由对顶角相等、邻补角互补可得、，则，再根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 4．如图，已知直线、相交于点，，平分，于点． (1)求的度数； (2)试判断射线是否平分？并说明理由． 【答案】(1) (2)射线平分，理由见解析 【分析】（1）根据对顶角相等得出，再由角平分线得出，结合垂直及图形即可求解； （2）根据题意得出，确定，再由角平分线的定义即可得出结果． 【详解】（1）解：， ． 平分， ． 又， ． ． （2）射线平分，理由如下： ∵， ． ， 又 ． 射线平分． 【考点9 点到直线的距离】 1．如图，点，在直线上，点在直线外，连接，，若，，则点到直线的距离可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据垂线段最短判断即可． 【详解】解：因为垂线段最短， ∴点P到直线l的距离小于3， 观察四个选项，只有选项A符合题意． 2．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足为点B，，则下列正确的语句是（　　） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．线段的长是点C到直线的距离 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【答案】B 【分析】此题主要考查了点到直线的距离，掌握知识点是解题的关键． 根据 “从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答． 【详解】解：A、线段的长是点C到直线的距离，故此选项不符合题意； B、线段的长是点C到直线的距离，故此选项符合题意； C、线段的长是点A到直线的距离，故此选项不符合题意； D、线段的长是点C到直线的距离，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】过点作于点，利用等面积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点与点重合时，最小． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， 解得， 垂线段最短， 当点与点重合时，最小，即最小值为． 4．如图，，于，，，，则点到的距离是______，点到的距离是______，的依据是______． 【答案】 垂线段最短 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，由，求出，然后根据点到直线的距离，垂线段最短即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离是，点到的距离是， ∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴， 故答案为：，，垂线段最短． 【考点10 同位角、内错角、同旁内角】 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）下列图形中，与的位置关系属于同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握以上知识点是解题的关键．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断． 【详解】解：A、与是同位角，不是同旁内角，故本选项不符合题意； B、与是内错角，不是同旁内角，故本选项不符合题意； C、与是同旁内角，故本选项符合题意； D、与不是同旁内角，故本选项不符合题意； 故选C． 2．若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有_______对内错角． 【答案】24 【分析】本题考查了内错角的定义与计数，解题的关键是先确定线段数量，再根据每条线段两侧内错角的对数计算总对数． 先根据4条直线两两相交且无三线共点，求出线段数量，再结合每条线段两侧内错角的对数，计算内错角的总对数． 【详解】∵平面上4条直线两两相交且无三线共点， ∴共有条线段． 又∵每条线段两侧各有一对内错角， ∴共有内错角对． 故答案为：24． 3．如图所示，同位角有对，内错角有对，同旁内角有对，则的值是____________ 【答案】6 【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义分别得到a，b，c的值，即可求解． 【详解】∵同位角有：∠8与∠4，∠5与∠1，∠7与∠3，∠6与∠2，∠4与∠9，∠7与∠9，共6对；内错角有：∠7与∠1，∠6与∠4，∠5与∠9，∠2与∠9，共4对，同旁内角有：∠7与∠4，∠6与∠1，∠1与∠9，∠6与∠9共4对， ∴a=6，b=4,c=4， ∴=6， 故答案是：6． 【点睛】本题主要考查同位角，内错角，同旁内角的定义，掌握它们的定义，是解题的关键． 4．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，已知直线与交于点M，与交于点O，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 【答案】(1) (2)的所有内错角为，，同旁内角， 【分析】（1）根据对顶角相等，得，结合平分， 求的度数即可； （2）确定的所有内错角，同旁内角，计算各角的度数，再求和即可． 本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：根据对顶角相等，得， ∵平分， ∴． （2）解：根据题意，得的所有内错角为，， 同旁内角， ∵， ∴， ∴， ∴． 【考点11 平行线的判定】 1．（25-26七年级上·河南周口·期末）若，则下列图形一定能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、不能推出，不符合题意； B、不能推出，不符合题意； C、∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），符合题意； D、不能推出，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，若，则下列条件中，不能判定 的是（    ） A． B． C．和互余且和互余 D．平分，且平分 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线的判定，根据，结合各选项的条件逐一分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴；故A不符合题意； ∵，， ∴不一定相等， ∴不能得到；故B符合题意； ∵．和互余且和互余， ∴， ∴， ∴；故C不符合题意； ∵，平分，且平分， ∴， ∴；故D不符合题意； 故选：B 3．如图，在中，，，边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转过程中，点B的对应点为，旋转角为，当时，旋转角为______． 【答案】70或250/250或70 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的判定，三角形内角和定理．当时，或时，，画出图形，即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 当时，分两种情况： 当时，，此时； 当时，，此时； 故答案为：70或250． 4．（24-25七年级下·江西赣州·月考）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明； （2）利用，结合已知求得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴． 【考点12 平行线的性质】 1．如图，已知​，​直角顶点在​上，已知​，则​（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 【答案】C 【分析】由平角和直角三角形的定义可求得的度数，再由平行线的性质即可得解． 【详解】解：直角顶点在上， ，， ， ， ． 2．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，某煤气公司装煤气管道，他们从点处铺设到点处时，由于有一个人工湖挡了去路，需要改变方向经过点，再拐到点，然后沿与平行的方向继续铺设，如果，则______． 【答案】 【分析】延长交于点，如图所示，先由平行线性质得到，在中，由三角形内角和定理及外角性质列等式求解即可得到答案． 【详解】解：延长交于点，如图所示： ， ， 在中，，，， ． 3．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，点C在点A北偏东方向，点C在点B北偏西方向，则的度数为______． 【答案】/81度 【分析】过点作，可得，根据两直线平行内错角相等可得，，再根据角的和差即可求解． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 4．探索下面不同的情境，回答问题： (1)【探索发现】已知：如图，，点在，之间，连接，． 易证：． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图，过点作． 小红：如图，延长交于点． 请你选择一位同学的方法，并进行证明； (2)【深入思考】如图，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：； (3)【拓展延伸】如图，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，若，，．求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）小刚的证明：过点作，可得，再根据平行线的性质证明即可求证；小红的证明：延长交于点，可得，再利用三角形内角和定理即可求证； （2）利用三角形内角和定理证明即可求证； （3）由角平分线的定义得，设，则，得，再根据（2）的条件得，解得，设，同理可得，即可求解； 【详解】（1）解：小刚的证明如下： 如图2，过点作， ， ， ，， ， 即； 小红的证明如下： 如图3，延长交于点， ， ， ∵，， ， 即； （2）证明：∵，， ， ， ， ； （3）解：∵平分，， ∴， 设，则， ， ∵在（2）的条件下， ， ， 解得， ， 设， ∵平分， ， ， ， ， ， ∵在（）的条件下， ， 同理可得，，即， 解得， ． 【考点13 平行线的判定与性质】 1．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，将长方形沿折叠，点，分别落在，的位置，的延长线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及折叠的性质，注意掌握折叠前后图形的对应关系是解题的关键． 由折叠可得，，，可得，根据可得，过点作，则，可得，则可得． 【详解】解：如图，过点作， ∵四边形是长方形， ∴，， ∴， 由折叠可得，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，已知，，且，则下列结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先结合邻补角互补以及得，故，又因为对顶角相等得，进行等量代换得，故，运用平行线的性质进行分析，即可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故①符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴， 故②符合题意； ∵， ∴， 故③符合题意； ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 故④符合题意； 故选：D 3．如图，直线与直线、分别交于点、，的平分线交于点，是直线上一点，若，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）求得，即可得到； （2）根据三角形的外角性质求得，再根据，求得，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：的平分线交于点，， ， ，， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ． 4．如图1，E点在上，，． (1)求证：； (2)如图2，，平分，与的平分线交于H点，若比大，请直接写出的度数． (3)保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分 平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)的度数不变，理由见解析 【分析】（1）先根据同角的补角相等得再根据“内错角相等，两直线平行”得，然后根据平行线的性质说明，最后根据“同旁内角互补，两直线平行”得出答案； （2）作，根据平行线的性质得,再结合角平分线的定义和平行线的性质说明，然后推导出，接下来设 ，再结合题意可得最后联立求出答案即可； （3）作设直线和直线相交于点G，先根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质得，然后由（2）可知，即可得出，接下来根据平行线的性质得，最后根据 得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：作， ∵， ∴， ∴, ∴平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 设 ． ∵比大， ∴ ∴， 解得， 所以的度数是； （3）解：的度数不变，理由如下： 如图，过点E作设直线和直线相交于点G， ∵平分，平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 由（2）可知， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴， ． 【考点14 命题的改写】 1．（25-26八年级上·河南郑州·期末）“过一点作已知直线的平行线”这句话 _____命题．（选填“是”或“不是”） 【答案】不是 【分析】根据命题的定义即可判断． 【详解】解：“过一点作已知直线的平行线”没有对一件事情作出判断，不是一个命题， 故答案为：不是． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题的定义，即判断一件事情的语句叫命题． 2．（25-26七年级下·山西大同·月考）将命题“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是：如果________，那么________． 【答案】 两个角是同一个角的余角 这两个角相等 【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论，由此即可得解． 【详解】解：将命题“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 3．（25-26七年级·湖北黄冈·月考）请写出命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行”的题设和结论： 题设：____________________， 结论：____________________． 【答案】 在同一平面内两条直线垂直于同一条直线 这两条直线平行 【分析】命题常常可以写为“如果……那么……”的形式，如果后面接题设，而那么后面接结论；根据上步的知识，从命题的定义出发，寻找题设和结论即可解答． 【详解】解：∵可改写为：如果在同一平面内两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． ∴题设是在同一平面内两条直线垂直于同一条直线，结论是：这两条直线平行． 故答案为：在同一平面内两条直线垂直于同一条直线，这两条直线平行． 【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，找到相应的条件和结论是解答本题的关键． 【考点15 真假命题】 1．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）下列命题是真命题的是（      ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．若，，则 C．对顶角相等 D．相等的两个角是对顶角 【答案】C 【分析】分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】解：、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，故本选项不符合题意； 、若，，则，原命题是假命题，故本选项不符合题意； 、对顶角相等，原命题是真命题，故本选项符合题意； 、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，故本选项不符合题意． 2．（25-26八年级上·广东深圳·期末）下列命题：①两点之间，线段最短；②两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；③若，则；④若，，则．其中真命题有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了判断命题真假，逐一判断命题真假：①为公理，是真命题；②为平行线判定定理，是真命题；③存在反例，是假命题；④存在反例，，，是假命题.，故真命题共2个，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①两点之间线段最短，是真命题； ②两条直线被第三条直线所截，同位角相等则两直线平行，是真命题； ③取，则但，故是假命题； ④取，，，则且但，故是假命题； 故真命题有2个， 故选：B． 3．（25-26七年级下·河南信阳·期末）用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可． 【详解】解：命题①，如果，，那么， ∵，∴， ∵， ∴，整理得， ∴该命题是假命题； 命题②，如果，，那么， ∵， ∴，整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； 命题③，如果，，那么， ∵， ∴，整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； 综上分析可知，组成真命题的个数为0，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键． 4．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）“在同一平面内，若与的两边分别平行，且比的2倍少，则为”这个命题是_____（填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【分析】本题考查了命题真假的判断，平行线的性质，二元一次方程的解法．根据题意，作图分析，再建立方程组即可求解． 【详解】解：第一种情况，根据题意，作图如下， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得:， ∴； 第二种情况，如图所示， ∵，， ∴，， ∴，且， ∴， 解得:， ∴； 综上所述，的度数为或. 故答案为：假 ． 【考点16 举反例】 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）对于命题“如果，那么”，能说明该命题为假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的性质、举反例，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．找出满足，但的选项即可得． 【详解】解：A、此项中，且，不能作为反例，则此项不符合题意； B、此项中，且，不能作为反例，则此项不符合题意； C、此项中，但，能作为反例，则此项符合题意； D、此项中，不能作为反例，则此项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）写出一个能说明命题“有两个角是锐角的三角形是锐角三角形，”是假命题的反例：______． 【答案】中，，，则是钝角三角形．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了举例说明命题为假命题，解题关键是熟练掌握三角形内角和定理和三角形形状． 【详解】解：若中，，，则中有两个锐角，但是钝角三角形． 故答案为：中，，，则是钝角三角形．（答案不唯一） 3．（25-26七年级下·江苏·期末）用一个整数的值说明命题“代数式的值一定大于代数式的值.”是错误的，这个整数的值可以是______.（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】根据题意找到一个使得命题不成立的m的值即可． 【详解】解：当m=0时，2m2-5=-5，m2-1=-1， 此时2m2-5＜m2-1， 故答案为m=0（答案不唯一） 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够根据题意举出反例，难度不大． 4．（25-26八年级上·河南南阳·期末）为说明命题“如果a＞b，那么”是假命题，你举出的反例是_____． 【答案】当a=2，b=1时，a＞b，但． 【分析】为说明此命题是假命题，举反例时要在a＞b的前提下寻找，还要让小于即不支持命题的结论． 【详解】解：当a=2，b=1时，满足命题的题设a＞b的要求， 而=， =1，显然，不支持原命题的结论， 故填当a=2，b=1时，a＞b，但． 【点睛】举反例说明命题是假命题时，在反例的选取上要注意遵循这么一个原则：反例的选取一定要满足所给命题的题设的要求，而不能满足命题的结论． 【考点17 互逆命题】 1．（25-26七年级下·吉林白城·期末）命题“若，则”的逆命题是________． 【答案】若a<b，则-3a>-3b 【分析】根据逆命题睥定义求解即可． 【详解】解：若，则的逆命题是若a<b，则-3a>-3b， 故答案为：若a<b，则-3a>-3b． 【点睛】本题考查逆命题，熟练掌握逆命题的定义“一个命题的题设是另一个命题结论，结论是另一个命题的题设，这样的两个命题互为逆命题”是解题的关键． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）下列命题内错角相等，两直线平行；若，则；末位数字是的数，能被整除；对顶角相等．原命题和逆命题均是真命题的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了原命题，逆命题，正确判断命题的真假是解题的关键．根据逆命题、原命题，和学习的数学知识，判断解答即可即可，判断一个命题是假命题，只要举反例即可． 【详解】解：内错角相等，两直线平行，是真命题， 它的逆命题是：两直线平行，内错角相等，也是真命题， 故符合题意； 若，则，是真命题， 它的逆命题是：若，则， 举反例：若，但是， 逆命题是假命题， 故不符合题意； 末位数字是的数，能被整除，是真命题， 它的逆命题是：能被整除的数，末位数字是， 举反例：能被整除，末位数字不是， 逆命题是假命题， 故不符合题意； 命题：对顶角相等，是真命题， 它的逆命题是：相等的角是对顶角， 举反例：如下图所示， ， 但是和不是对顶角， 逆命题是假命题， 故不符合题意． 综上所述，原命题和逆命题均是真命题的个数是个． 故选：A． 3．（25-26八年级上·广西桂林·期末）下列命题：①若，则；②两直线平行，内错角相等；③对顶角相等.它们的逆命题一定成立的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再根据性质定理进行判断，即可得出答案． 【详解】①若x=y，则|x|=|yt|的逆命题是如果|x|=|y|，则x=y，错误； ②两直线平行,内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，正确； ③对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，错误. 故选B. 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 【考点18 构造命题并证明】 1．（25-26七年级上·江苏南通·期末）一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理的过程叫做证明，对于命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”如何来证明？小明通过画图，写出已知，求证，并加以证明，具体如下： 已知：如图，在同一平面内直线，①_____． 求证：②_____． 证明：∵（已知），∴③_____（④_____）． ∵⑤_____（已知），∴⑥_____（⑦_____）， ∴⑧_____（等式的基本事实）， ∴⑨_____（⑩_____）． 请把小明的说明过程补充完整． 【答案】①；②；③；④垂直的定义；⑤；⑥；⑦两直线平行，同位角相等；⑧；⑨；⑩垂直的定义 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂直的定义，根据得到，再由，得到，即可证明． 【详解】已知：如图，在同一平面内直线，①． 求证：②． 证明：∵（已知）， ∴③（④垂直的定义）． ∵⑤（已知）， ∴⑥（⑦两直线平行，同位角相等）， ∴⑧（等式的基本事实）， ∴⑨（⑩垂直的定义）． 2．（25-26七年级下·江苏南京·期末）请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明． 定理：三角形的外角等于_____________________的和． 已知： 求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和，据此补全定理，再写出对应的已知和求证，根据三角形内角和定理和平角的定义证明即可． 【详解】定理：三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和． 已知：是的一个外角． 求证：． 证明：如图所示，在中，， ∵， ∴． 3．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）命题：直角三角形的两锐角互余．    (1)将此命题写成“如果…，那么…”：______； (2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程． 【答案】(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 (2)该命题是真命题，详见解析 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，逆命题的概念： （1）根据逆命题的概念写出原命题的逆命题； （2）根据三角形内角和定理计算，即可证明． 【详解】（1）解：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余； 故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 （2）解：该命题是真命题 已知：如图，在中， 求证： 证明： ． 4．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 【答案】①②③；④，证明见解析 【分析】本题考查了命题，平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义； 选择①②③为条件，④为结论组成一个命题．先由①得到 ，则根据平行线的性质得到，，再有②得到，所以，接着由③得到 ，然后根据平行线的性质得到，然后利用等量代换得到． 【详解】解：选择的条件：①②③，结论：④． 证明如下：， ， ，， 平分， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：①②③；④． 【考点19 三角形的相关概念】 1．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）如图是三角形的两种分类，下列判断正确的是（   ） A．①对，②不对 B．①不对，②对 C．①、②都不对 D．①、②都对 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的分类，掌握三角形的分类方法是解题的关键． 按角分类为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边的相等关系分为不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）；据此即可解答． 【详解】解：按角分类：直角三角形，锐角三角形和钝角三角形，即①正确． 按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．即②的分类不正确． 故选：A． 2．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，一把不透明的尺子挡住了三角形的一部分，则这个三角形的类别为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类，属于基础题型，掌握其分类的方法是做题的关键．根据题意与图可得，这个三角形为锐角三角形． 【详解】解：根据题意与图可得，这个三角形为锐角三角形． 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）图中以为边的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了对三角形的认识，正确理解三角形的定义是解题的关键．观察图形，根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：以为边的三角形有：、、，共个． 故选：C ． 4．（24-25七年级下·北京·开学考试）图中有 个三角形． 【答案】14 【分析】本题考查了三角形．分层计算即可求解． 【详解】解：单独的小三角形有8个， 两层小三角形有4个， 三层小三角形有2个， 共有个， 故答案为：14． 【考点20 三角形的三边关系】 1．（25-26八年级上·山东滨州·期中）下列每组数分别是三根小棒的长度，用它们能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，通过计算每组中较小两数之和与第三边比较，判断是否能组成三角形. 【详解】解：∵ 三角形三边关系：任意两边之和大于第三边； 对于A：，，，∵ ，∴ 不能组成三角形； 对于B：，，，∵ ，∴ 不能组成三角形； 对于C：，，，∵ ，且，且，∴ 能组成三角形； 对于D：，，，∵，∴ 不能组成三角形； 故选： C. 2．（25-26八年级上·福建南平·期中）一个三角形三条边的长度分别为2厘米，3厘米，厘米，则可能是（    ） A．1 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，利用三角形三边关系得出a的范围，再结合选项判断． 【详解】解：∵一个三角形三边长分别为2厘米，3厘米，厘米， ∴，即， ∴a可能是4． 故选：B． 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）在等腰三角形的周长为9，，则的长为 ． 【答案】1或2.5 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边的关系等知识，分两种情况讨论：当为腰时，或当为底边时，分别计算的长，并验证是否满足三角形三边关系定理． 【详解】解：∵三角形中，，周长为9， ∴， 情况一：当为腰时，则， ∴． 此时三边长为4、4、1，满足三角形三边关系定理（任意两边之和大于第三边）． 情况二：当为底边时，则， 设， 则， 解得， 故． 此时三边长为4、2.5、2.5，满足三角形三边关系定理． 故的长为1或2.5． 故答案为：1或2.5． 4．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）已知三根小棒的长分别是，，，若这三根小棒首尾相连能构成三角形，则正整数的值可以为 ．（写出一个即可） 【答案】 2（答案不唯一，如3、4等均可） 【分析】本题考查三角形的三边关系，一元一次不等式，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此列不等式，再根据不等式解集取值即可． 【详解】解：三根小棒的长分别为 、、，为正整数，故 为最长边， 根据三角形三边关系（两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度），需满足 ，即 ， 解得 ， 由于 为正整数，因此 ，可取 ． 故答案为： 2（答案不唯一，如3、4等均可）． 【考点21 三角形的稳定性】 1．（25-26八年级上·河南·阶段练习）2025年底，河南省第一大跨径斜拉桥——丹江小三峡特大桥预计建成通车，其中斜拉设计结构稳固，蕴含的数学道理是（    ） A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形内角和等于180° 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性，由三角形的稳定性，即可得到答案，掌握三角形的稳定性是解题的关键． 【详解】解：如图所示的斜拉桥结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性． 故选：A． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）小明做了一个如图的方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最不易变形的加固方案（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，理解三角形的稳定性是解题的关键． 根据三角形具有稳定性，可在框架里加根木条，构成三角形的形状，据此即可解答． 【详解】解：因为三角形具有稳定性，只有C构成了三角形的结构． 故选：C． 3．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）平板是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架，如图所示，平板电脑放在支架上就很方便地使用了，这些应用的几何原理是： ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性的应用，根据三角形具有稳定性即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：平板电脑放在支架上就很方便地使用了，这些应用的几何原理是：三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 4．（25-26八年级上·山西阳泉·期中）下列物体的某些结构都是三角形，其中没有运用三角形稳定性的是 ．（填物体名称） 【答案】警示牌 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键；因此此题可根据三角形的稳定性进行求解即可． 【详解】解：没有运用三角形稳定性的是警示牌； 故答案为：警示牌． 【考点22 三角形的中线】 1．（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，是的中线，的周长比的周长多，且，则的长为（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的中线，解题的关键是掌握三角形的顶点和对边中点的连线是三角形的中线． 根据三角形中线的定义得出，再根据“的周长比的周长大4”，推出，即可求解． 【详解】解：∵为边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长大2， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，是的中线，是的中线，是的中线，如果的面积是12，那么的面积为（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分面积，进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴； 故选C． 3．（24-25七年级下·上海闵行·月考）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成了和两部分，则这个等腰三角形的底边长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形定义和三角形中线的特点，理解三角形一边中线将三角形周长分得的两部分之差就是三角形剩余相邻两边之差，并注意分类讨论和将求得的边长结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可解题． 【详解】解：等腰三角形一腰上的中线，将这个等腰三角形的周长分成和两部分． 又， 等腰三角形的腰与底边相差， 下面分两类讨论： ①腰比底边大， 设腰长为 ，则底边长为． 由题意得，解得， 当时，等腰三角形腰长，底边长为，三角形三边分别为，满足三角形三边关系，可以构成三角形．    ②底边比腰大， 若腰长为，则底边长为． 由题意得，解得， 当时，等腰三角形腰长，底边长为，三角形三边分别为，满足三角形三边关系，能构成三角形． 综上所述，这个等腰三角形的底边长为或． 故答案为：或． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，点D，E，F分别在三边上，E是的中点，交于一点G，，，，则的面积是 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查了三角形的中线的特征，解答此题的关键是要明确：①三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；②两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边之比． 首先根据三角形的中线的特征，以及两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边的比，求出，的大小，进而求出的大小；然后根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，即可求出△ABC的面积． 【详解】解： E是的中点，， ，， ，， ， ， 的面积； 故答案为：． 【考点23 三角形的角平分线】 1．（25-26八年级上·河南新乡·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F． 若，，则的周长是 ． 【答案】20 【分析】本题考查平行线的性质、角平线的定义、等角对等边；综合运用平行线性质及角平线定义可得，，由等角对等边可得，，于是，由此可解． 【详解】解： ，的平分线交于点D， ，， ， ，， ，， ，， ， 即的周长是20， 故答案为：20． 2．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，在中是的平分线，，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形角平分线的定义，三角形外角的性质． 首先由角平分线得到，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：是的平分线，， ， 又， ． 故选：C． 3．如图，中，分别是的高和角平分线，若，，则 °． 【答案】 【分析】根据，分别是的高和角平分线，得，；根据三角形的外角，得，，即可． 【详解】∵，分别是的高和角平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的知识，三角形的外角和定理，角平分线的定义，高线的定义，解题的关键是掌握三角形的外角和定理，三角形角平分线和高线的性质． 4．如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，解题的关键是掌握三角形的角平分线将三角形的内角平均分为两份． 【考点24 三角形的高】 1．如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义判断即可． 【详解】解：的边上的高是经过点C与垂直的线段， A、是边上的高，故此选项不符合题意； B、是边上的高，故此选项符合题意； C、不是边上的高，故此选项不符合题意； D、是边上的高，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．如阁，、分别是的高，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查利用面积法求三角形的高．利用三角形的面积公式，表示出的面积，即，便可求出的长． 【详解】解：、分别是的高，， ∴， ∴． 故选：C． 3．如图，中，是高，是角平分线，且，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质以及高的性质，解题的关键是熟练运用这些知识求出相关角的度数． 先根据三角形内角和定理求出的度数，再利用角平分线的性质求出的度数．再利用高的性质求出的度数，最后通过求出结果． 【详解】解：在中，， ， ． 是角平分线， ， 是高， ， 在中，， ． 4．（25-26八年级上·山东威海·期中）如图．在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高性质、角形内角和定理是解题的关键． 根据三角形中线的性质可判断A选项； 根据角平分线平分角、同角的余角相等，以及对顶角相等可判断B选项；利用等面积法可判断C选项；先说明，，即，即可判断D选项． 【详解】解：A．∵是的线， ∴， ∴ (等底等高的两个三角形面积相等)，故A正确，不符合题意； B．∵是角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即B选项正确； C．∵， ∴，解得：，即C选项正确； D．∵， ∴， ∵， ∴，即，故D选项，错误，符合题意． 故选：D． 【考点25 三角形的内角和定理】 1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 2．（24-25七年级下·四川泸州·月考）数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解． 【详解】解：如图，标注三角形的三个顶点A、、． ． 图案是由一张等宽的纸条折成的， ， 又纸条的长边平行， ， ． 故选：C． 3．（25-26八年级上·河北沧州·月考）如图，将纸片先沿折叠，再沿折叠，小高说：“知道的度数，就能求出的度数”，若，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质等知识，由三角形内角和定理得出，由折叠的性质可知：，，进而可得出，进而可得出，再根据邻补角的定义即可求出答案． 【详解】解：在中，， 则， 由折叠的性质可知：，， ， ， ， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，α与β为“准互余角”． (1)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，______． (2)如图，在中，，若AD平分，试说明是“准互余三角形”． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，外角的性质，理解准互余三角形定义是解题关键． （1）根据题意求出，根据内角和即可求解； （2）根据角平分线和外角的性质即可解答． 【详解】（1）解： 为“准互余三角形”， ，和是“准互余角”， ， 根据内角和可得； 故答案为：； （2）证明：平分， ， 是的外角，， ， ， 是“准互余三角形”． 【考点26 三角形的外角性质】 1．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，是的角平分线，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的定义及三角形内角和定理，解题的关键是利用外角性质求出，再结合角平分线与内角和计算． 【详解】解：∵是的外角， ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴． 答：的度数为． 2．（25-26八年级上·山西吕梁·期中）如图，与是的外角，，，若，则 ．（用含、的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，根据三角形外角的性质可得，结合三角形内角和定理可得，再求出，则由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵与是的外角， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·湖北黄石·期中）把一块直尺与一块直角三角板如图放置，则的度数为 【答案】/270度 【分析】本题考查三角形外角的性质． 由三角形外角的性质推出，，即可求出． 【详解】解：如图， ∵，， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，中，，，、、、、…都在的延长线上，、、、、…分别在、、、、…上，且满足，，，，…依次类推， ． 【答案】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形的外角性质，找到到角度的变化规律是解题的关键．由题意得；根据得，结合得，以此类推，即可找到一般规律． 【详解】解：∵，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； 同理可得：，，，， ∴， 故答案为：． 【考点27 全等图形】 1．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，给出的四对图形中是全等形的有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是全等形，根据能够完全重合的两个图形是全等形对各选项分析即可得解． 【详解】解：观察发现，①中两个图形大小不一样，不可能完全重合，不是全等形； ②中的两个图形可以完全重合，是全等形； ③中两个图形形状不一样，不可能完全重合，不是全等形； ④中的两个图形可以完全重合，是全等形； 则给出的四对图形中是全等形的有2对． 故选：B． 2．如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键．观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解． 【详解】解：观察图形可知与所在的直角三角形全等（两直角边分别为1和2）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用全等图形的概念进而得出答案． 【详解】解：图形分割成两个全等的图形，如图所示： 故选B． 【点睛】此题主要考查全等图形的识别，解题的关键是熟知全等的性质. 4．（25-26八年级上·天津河西·阶段练习）对于两个图形，给出下列结论： ①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长相等且面积相等；④两个图形的形状相同且面积相等． 其中，能得到这两个图形全等的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查全等图形的定义，需同时满足形状和大小相同，缺一不可． 全等图形必须形状和大小完全相同．分析各结论：①周长相等不一定形状相同；②面积相等不一定形状相同；③周长和面积都相等不一定形状相同；④形状相同且面积相等则大小相同，因此全等．只有④能保证全等． 【详解】解：∵全等图形要求形状和大小都相同； ①周长相等不一定形状相同（如正方形和圆周长相等但形状不同）， ∴①不能保证全等； ②面积相等不一定形状相同（如长方形和三角形面积相等但形状不同）， ∴②不能保证全等； ③周长和面积都相等不一定形状相同（如不同形状的多边形可能周长面积相等但形状不同）， ∴③不能保证全等； ④形状相同且面积相等，则大小相同， ∴④能保证全等； ∴只有1个结论能保证全等， 故选：A． 【考点28 全等三角形的性质】 1．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查对全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，根据全等三角形的性质得出，，根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故选D． 2．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，，点、在一条直线上，若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质求出，然后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又， ∴， 故答案为：4． 3．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，已知，点在上，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形对应角相等，是解题的关键．根据三角形内角和定理得出，再根据全等三角形的性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 4．（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，于点，是上的一点．若，，，则的周长为 ．    【答案】16 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 由全等三角形的性质可得，，即可得的周长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为 ． 故答案为：． 【考点29 全等三角形的判定SSS】 1．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要说明，需要证明和全等，则这两个三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作一个角等于已知角的作法，理解作法的依据是关键；根据作法过程即可作出判断． 【详解】解：由作法知：，， ∴， ∴， 即； 故选：B． 2．如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（    ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【答案】A 【分析】根据全等三角形的SSS判定条件解答即可． 【详解】解：∵AE=FB， ∴AE+BE=FB+BE， ∴AB=FE， 在△ABC和△FED中， ， ∴△ABC≌△FED（SSS）， ∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE， ∴可利用的是①或②， 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键． 3．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 首先得出，再利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴，即 在和中 ∴． 4．如图，点D在内部，，．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定、等腰三角形的判定，由，可知，再利用即可证明结论，熟练掌握全等三角形的判定是解答的关键． 【详解】证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴． 【考点30 全等三角形的判定SAS】 1．（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）如图，，，能直接判定的方法是“ ”． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键．根据，，可得，利用证明即可． 【详解】解： ，， ，即， 在和中， ， ， 故答案为：． 2．（2024·广东·模拟预测）如图，中，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，若点的运动速度为，则当与全等时，的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定，利用，分两种情况进行讨论求出即可． 【详解】解：∵，点为的中点， ∴，， ∴当时，， ∵点，点同时运动， ∴点的运动速度与点的相同， ∴； 当时，， 此时，， ∴； 综上：或； 故答案为：2或 3．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图所示的四个三角形中，能够全等的两个三角形是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定（），解题的关键是识别三角形的两边及其夹角是否对应相等． 根据判定定理，判断各三角形的两边及夹角是否对应相等，进而确定全等的三角形． 【详解】解：A、①的两边为、，夹角；②的两边为、，夹角，由可知①②全等，此选项符合题意； B、C、D选项均不满足判定两三角形全等的条件； 故选：A． 4．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，相交于点F，若． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理， （1）先证明，利用证明即可； （2）由全等得出，再根据及三角形内角和定理求出结论即可． 【详解】（1）证明：， ∴， ， ， ； （2）解：∵， ， 设与交于点O， ， ， ， ． 【考点31 全等三角形的判定ASA】 1．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，，点，分别在，上，，交于点，根据“”证明，还需添加的一个条件是：_____． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能理解全等三角形的判定定理是解此题的关键． 由题目得到一对等边和一对等角，根据“”判定定理，还需一组夹边的另一组角相等． 【详解】解：要根据“”（两角及其夹边对应相等）证明， 结合已知条件，（一组边），（公共角）， 根据“”判定定理，还需一组夹边的另一组角相等， 即； 在和中， ． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，在中，将对折，使和在同一直线上，折痕为，延长至点D，使得，连接，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形全等的判定与性质、等边对等角，由折叠的性质可得，证明，得出，由等边对等角可得，再由邻补角的定义即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据即可解答． 【详解】解：由图可以看出这个三角形还能明显看到的条件为两个角和一条边，且是两角及其夹边， 因此符合． 故选：D． 4．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，．求证： 【答案】见详解 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先证明，结合，，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴． 【考点32 全等三角形的判定AAS】 1．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，，，，则的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．先求得，再利用证明即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， 故选：D． 2．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，点B、C在的边、上，，点E，F在内部的射线上，已知，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形外角的性质、全等三角形的判定，熟练掌握三角形外角的性质和全等三角形的判定是解题的关键． 先证明，，然后根据可证． 【详解】证明：∵∠1是的一个外角， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知点在同一直线上，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，由平行线的性质得，又由得，进而根据判定定理“”即可求证，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 4．（25-26八年级上·山东威海·期中）如图，在中，，，于点E，于点D，且D，C，E在同一直线上，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，余角的性质，根据余角的性质得出是解题的关键．先根据余角的性质得出，然后根据证明即可． 【详解】证明：，， ，                        ，， ， 在和中， ， ． 【考点33 全等三角形的判定与性质】 1．已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD． (1)如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．直接写出BD和CE数量关系和位置关系． (2)如图2，当点D在线段BC延长线上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE，画出图形．（1）的结论还成立吗?若成立，请证明； 若不成立，说明理由． 【答案】(1)BD和CE的数量关系是相等，位置关系是互相垂直，理由见详解； (2)成立，理由见详解． 【分析】（1）由题意易得AB=AC，∠BAC=∠DAE=90°，AD=AE，则有∠BAD=∠CAE，然后可证△ABD≌△ACE，进而问题可求解； （2）如图，然后根据（1）中的证明过程可进行求解． 【详解】（1）解：BD⊥CE且BD=CE，理由如下： ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AB=AC，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°， 由旋转的性质可得：∠DAE=90°，AD=AE， ∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC =90°， ∴∠BAD=∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE， ∴∠ACE+∠ACB=90°，即∠BCE=90°， ∴BD⊥CE； （2）解：（1）中结论仍成立，理由如下： 由题意可得如图所示： ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AB=AC，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°， 由旋转的性质可得：∠DAE=90°，AD=AE， ∴∠BAC+∠DAC=∠EAD+∠DAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE， ∴∠ACE+∠ACB=90°，即∠BCE=90°， ∴BD⊥CE． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 2．如图，在中，交于点D，点E是的中点，交的延长线于点F，交于点G，．求证：为的角平分线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形中的倍长中线模型，延长到M，使，连接，证即可． 【详解】证明：如图，延长到M，使，连接 ∵点E是的中点 ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 即为的角平分线 3．（25-26八年级上·广东广州·期中）已知中，，，点是上的一点，过点作于点． (1)如图1，______．（用含的式子表示） (2)如图2，是边上的高，点为的角平分线与的交点，交于点． ①求证：； ②连接，求的度数． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，再根据直角三角形的性质即可求解； （2）①根据三角形内角和定理推出，利用角的和差得到，根据角平分线的定义得到，得到，推出是等腰直角三角形，即可证明； ②在上截取，连接，先证明，得到，，进而证出是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①证明：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，，， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②解：如图，在上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴． 4．（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知直线m，n相交于点B，点A，C分别为直线m，n上的点，，且，点E是直线m上的一个动点，点D是直线n上的一个动点，运动过程中始终满足．如图当点E在线段上运动，点D在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析． 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点作交于点，可得是等边三角形，得，结合利用全等三角形判定定理证出，得出，最后通过等量代换即可完成证明． 【详解】解：，理由如下： 过点作交于点， ，， 是等边三角形， ， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ，   ， ， ， ，            在和中， ， ， ， ， ． 【考点34 等腰三角形的性质—等边对等角】 1．（25-26七年级上·上海·月考）如图，将绕点逆时针旋转，若点的对应点恰好落在线段的延长线上大小为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求解是解题的关键．根据旋转的性质可得出，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解． 【详解】解：根据旋转的性质，可得：， ． 故选：D． 2．（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图所示，已知，．如果，， ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质；根据等腰三角形的性质得到，得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，中，，点为的中点，过点分别作于于． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）由等边对等角得，再证，即可得出； （2）由得，结合，可得． 【详解】（1）证明：， ， 为中点， ， 又， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：由（1）得：， ， 又， ， ． 4．（2024·陕西西安·一模）如图，的边与的边在一条直线上，点A恰好在边的延长线上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明，得出即可． 【详解】证明：， ， 又， ， 在和中，， ， ． 【考点35 等腰三角形的性质—三线合一】 1．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期中）如图，在等腰三角形中，，过点 C 作且，连接，若，则的面积为（    ） A． B．9 C．18 D．36 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，则，根据垂直的性质证得，进而证得，根据全等三角形的性质证得，进而计算的面积即可． 【详解】解：过点作于点，过点作于点 、 在和中 ， 故选：B． 2．（25-26八年级上·山西大同·期中）如图，在中，，小珍将一把直尺按如图所示的方式摆放，取的中点．连接，则为的平分线，她这样做的依据是（   ） A．垂线段最短 B．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 C．等腰三角形“三线合一” D．角的平分线上的点到角两边的距离相等 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）． 根据等腰三角形“三线合一”作答即可． 【详解】解：在中，，小珍将一把直尺按如图所示的方式摆放，取的中点．连接，则为的平分线， 她这样做的依据是等腰三角形“三线合一”． 故选：C． 3．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，是边上的高，点E，F是的三等分点，若的面积为12，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了三线合一定理，三角形中线的性质，根据三线合一定理得到，则由三角形中线平分三角形面积可得；可证明，则根据图形面积之间的关系可得． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴； ∴； ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，在三角形中，在上截取，作的平分线与相交于点P，连接，若的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考据等腰三角形的性质．掌握等腰三角形“三线合一”是解答本题的关键． 根据等腰三角形三线合一的性质即可得出，即得出和是等底同高的三角形，和是等底同高的三角形，即可推出，即可求出答案． 【详解】解：∵是的角平分线， ， ∴和是等底同高的三角形，和是等底同高的三角形， ， ， ， 故答案为：． 【考点36 等腰三角形的判定—等角对等边】 1．如图，已知在中，平分，平分，且，，若，则的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线，平行线的性质，可得是等腰三角形，将的周长转换为的长，由此即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴是等腰三角形，即， ∴的周长是， 故选：． 【点睛】本题主要考查角平分线，平行线，等腰三角形的综合，掌握角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 2．（25-26八年级上·全国·期中）将一张长方形纸片按如图所示折叠，若，点到距离为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质和等腰三角形的判定，掌握折叠的性质和等角对等边是解题的关键． 首先根据平行线的性质得出，然后根据折叠的性质得出，通过等量代换得出，从而得出，最后利用三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ， ∵点到距离为， 则． 故答案为：12． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在等腰中，，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、，若的周长为，则的长是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质及角平分线的定义，利用平行线与角平分线推出是解题的关键．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明，再由等角对等边得，则的周长，由此即可解决问题． 【详解】解：在中，与的平分线相交于点， ， ， ， ， ， 的周长是：， ∵， ． 故选：B． 4．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，在Rt中，，，点是边上一点且不与点重合，点是边上一点且不与点重合，的延长线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，外角的性质． （1）先由直角三角形的性质得，再由等边对等角得，进而得，即可得出结论； （2）先由等腰直角三角形的性质得，再利用外角的性质得，再结合（1）的结论得，最后根据外角的性质得，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：在中，， ， ， ， ， ； （2）解：在中，， ， ， 由（1）得，， ， ． 【考点37 等腰三角形的判定与性质】 1．（25-26八年级上·广东江门·期中）在中，，点是和平分线的交点，点在外且满足，，设． (1)证明：． (2)证明：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）根据已知设，则，利用角平分线定义，等边对等角，可表示出和，再利用三角形内角和分别表示出与，即可得出结论； （2）在上取，结合（1）中的结论，证明，可以推导出，从而得到． 【详解】（1）证明：， 设，则， 平分， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ； （2）证明：如图，在上取， 由（1）得，， ， 在与中， ， ，， ，， ， ， ． 2．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）已知在中，，点是边上一点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作，垂足为点，与相交于点．求证：； (3)在（2）的条件下， ①尺规作图：作的平分线，与边相交于点；（要求保留作图痕迹，不用写作图过程） ②在①的基础上，探索，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)①见解析；②，证明见解析 【分析】（1）根据，得出，根据，，，得出，从而得，即可证明； （2）根据，得出，设，则，则，根据三角形内角和定理求出，即可得； （3）①根据尺规作图方法作图即可． ②在上取点，使，根据作图得出，证明，得出，，再证明，即可得． 【详解】（1）证明：， ， ，，， ， ， ； （2）解：， ， ， 设，则， ， ， ； （3）解：①如图所示 ②． 在上取点，使， 平分， ， ， ， ，， ，， ， ， ． 【点睛】该题考查了全等三角形的性质和判定，尺规作图，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E． (1)当等于多少时，，请说明理由： (2)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求度数．若不可以，请说明理由． 【答案】(1)当时，，理由见解析 (2)可以；当的度数为或时，的形状是等腰三角形 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识： （1）当时，利用，，求出，再利用，即可得出． （2）分三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算． 【详解】（1）解：当时，，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴； （2）解：可以；当的度数为或时，的形状是等腰三角形， 当时，， ∴； 当时，， ∴， 此时，点D与点B重合，不合题意； 当时，， ∴． 综上，当的度数为或时，的形状是等腰三角形． 4．（25-26八年级上·河南周口·期中）已知在中，，点是边上一点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作，垂足为点，与相交于点．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，然后根据等量代换可得．再根据等角对等边可得，即可解答． （2）过点A作，垂足为H，利用等腰三角形的三线合一性质得出，利用余角的性质证明，即可得证． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：过点A作，垂足为H． ∵， ∴． ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴． 即． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理及外角的性质，掌握等腰三角形的判定及性质是解决问题的关键． 【考点38 等边三角形的性质】 1．（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，在中，，，在．上分别取点，，使，连接，交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明是等边三角形，得，再证明，运用三角形的外角性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ， ， ∵ ∴ ， ． 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，是边长为2的等边三角形，点是延长线上一点，在右侧作等边，连接，若，则的长为 ． 【答案】5 【分析】考查等边三角形的性质、全等三角形的判定（）与性质．解题关键是利用等边三角形的边、角条件，通过“角的和差”构造全等三角形的对应角，进而证明全等实现线段转化；易错点是混淆全等三角形的对应边、对应角，或遗漏角的和差推导步骤． 先根据等边三角形的性质，得到、及；再通过角的和差关系，推出，满足全等条件；然后证明，利用全等对应边相等得；最后结合的线段和关系，代入已知长度计算出． 【详解】已知和均为等边三角形，因此： ，； ． 由，可得： ． 在和中： ， ． ． 又；，且，因此： 结合，得． 故答案为：5． 3．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，是等边三角形，点是内部一点，连接，，，以为边向右侧作等边三角形，连接，当是以为腰的等腰三角形，且时，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】证明，则，得到，则，求出，再分和两种情况进行解答即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵以为边向右侧作等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时， ， ∴， 当时，， ∴， 综上可知，的度数为或． 故答案为：或 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、多边形内角和、等边对等角、等边三角形的性质等知识，证明是解题的关键． 4．（25-26八年级上·河南新乡·期中）（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．若，则的度数是________． （2）如图2，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．求证：． （3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，于点，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，掌握相关结论是解题关键； （1）由题意得，结合即可求解； （2）证即可求解； （3）证，得，；推出，；根据，得；进而得，即可求解； 【详解】解：（1）∵都是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）由题意得： ， ∴，即， ∴， ∴，； ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 【考点39 等边三角形的判定】 1．下列条件中，不能得到等边三角形的是（   ） A．有两个内角是的三角形 B．三边都相等的三角形 C．有一个角是的等腰三角形 D．有两个外角相等的等腰三角形 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、有两个内角是的三角形是等边三角形，故本选项不符合题意； B、三边都相等的三角形是等边三角形，故本选项不符合题意； C、有一个内角是的等腰三角形是等边三角形，故本选项不符合题意； D、反例：若两个外角都为，则此等腰三角形三个角，此等腰三角形不是等边三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 2．已知：如图，在中，，，于点，且，则是 三角形．    【答案】等边 【分析】本题考查等腰三角形的性质和等边三角形的判定，解答时先由三线合一得到，再证明可得到，进而证明为等边三角形． 【详解】解：∵中，，，于点， ∴，， ∵，， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴为等边三角形． 故答案为：等边 3．（25-26八年级上·广东韶关·期中）如图，点，，在同一条直线上，和都是等边三角形，交于点F，交于点H，连接．求证： (1)； (2)； (3)是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关性质． （1）根据题意可得，，，从而得到，即可求证； （2）根据点，，在同一条直线上以及可得，从而得到，即可求证； （3）由（2）可得，，即可求证． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（1）可得， ∴， ∵点，，在同一条直线上， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）证明：由（2）可得，， ∴是等边三角形． 4．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）数学小组开展了判定等边三角形的探究活动 探究（1）：如果一个等腰三角形一腰上的高也是这腰上的中线，那么这个等腰三角形是等边三角形． 数学小组根据这个文字命题，画出了图形，并写出了已知和求证，请你完成证明过程； 如图，已知：在中，，是边上的高，且是边上的中线． 求证：是等边三角形． 探究（2）如果在等腰三角形中，一腰上的高与底边上的高相等，那么这个等腰三角形是等边三角形． 下图是数学小组同学根据这个文字命题画的图形，请结合这个图形写出已知、求证，并完成证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定，解题的关键是利用已知条件推导等腰三角形的腰与底边相等． （1）利用中线性质得线段相等，结合高的垂直性质证明三角形全等，进而推出腰与底边相等，判定等边三角形； （2）根据三角形面积公式或全等三角形判定，由高相等推导腰与底边相等，再结合等腰三角形性质判定等边三角形． 【详解】探究（1） 证明：∵是上的中线， ∴． ∵是上的高， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴是等边三角形． 探究（2） 解：已知：在中，，是腰上的高，是底边上的高，且， 求证：是等边三角形． 证明：∵是上的高，是上的高， ∴， ∵， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形． 【考点40 等边三角形的判定与性质】 1．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知：如图，在中，，以为边向外作等边三角形，把绕着点D按顺时针方向旋转后得到，且，，三点共线，若，，求的度数与的长． 【答案】；5 【分析】本题主要考查旋转的性质以及等边三角形的性质，通过图形旋转得到等边三角形是解题的关键．由旋转的性质可得出，，进而可得出为等边三角形以及，可得出；由点，，在一条直线上可得出，根据旋转的性质可得出，结合，可得出的长度，再根据等边三角形的性质即可得出的长度． 【详解】解： 绕着点D按顺时针方向旋转后得到， ，， 为等边三角形， ， ， 点，，在一条直线上， ， 绕着点D按顺时针方向旋转后得到， ， ， 为等边三角形， ． 2．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，和是等边三角形，连接交于点P，交于点Q．点F为线段上一点，且． 求证： (1)； (2)是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理，等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，再证明，据此可利用证明； （2）由全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理可证明，据此可证明结论． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 3．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，是等边三角形外部一点，连接，，且，过点作交于点，交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了等边三角形、全等三角形的性质和判定，关键是灵活运用知识点进行论证求解； （1）根据三个角都是的三角形是等边三角形进行论证即可； （2）利用全等可得平分，进而可得，从而得到． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）在中，，，点是边上一点，点为边上一点，连接，．    (1)如图1，，点为中点，，，直接写出的长； (2)如图2，，，，连接交于点，延长至点，使，连接． ①依题意补全图形；判定的形状，并说明理由； ②直接用等式表示线段，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①图见解析，为等边三角形，理由见解析；② 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先根据线段中点的定义可得，计算，再由含角的直角三角形的性质可得，从而可得的长； （2）①依题意补全图形即可；先证明 ，则可证明，继而可证明，又因为，则可判断的形状； ②利用可证明 ，即可得到，又因为，由代换可得． 【详解】（1）解：，， 是等边三角形， 为中点， ， ， ， ， ； （2）解：①如图所示：为等边三角形   ，， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； ②解：，证明如下：    ∵是等边三角形， ，， ∴ ，， ， 在和中， ， ， ， ． 【考点41 含30°角的直角三角形的性质】 1．（25-26八年级上·河南许昌·期中）如图，在等边三角形中，， 与交于点P，，垂足为Q．的度数为 ，若，，则的长为 ． 【答案】 7 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，含直角三角形的性质，三角形外角的性质， 先根据等边三角形的性质证明，可得，再证明，然后根据三角形外角的性质求出；先根据直角三角形的性质求出，进而得出，最后根据全等三角形的对应边相等得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴； 在中，，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：，7． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，为边上的高，点从点出发在射线上以的速度移动，设运动时间为，当时，的值为 ． 【答案】1或5 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是求出；先根据含30度角的直角三角形的性质求出，再分两种情况求出的长，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 当点E在线段上时， ∵， ∴， ∴； 当点E在线段延长线上时， ∴， ∴； 故答案为：1或5． 3．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图1是某地铁站入口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．过作于，过作于，则可求和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【详解】解：如图所示，过作于，过作于， ， 则中，()， 同理可得，， 又点与之间的距离为， 通过闸机的物体的最大宽度为()， 故选：A． 4．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，线段，点C是线段上一动点，以为边作等边，以为底边作等腰，则最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质．连接，利用证明，求得，推出点在的角平分线上，当时，取得最小值，据此求解即可． 【详解】解：连接， ∵等边，以为底边的等腰， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴点在的角平分线上， ∴当时，取得最小值，则的最小值， 故答案为：6． 【考点42 线段的垂直平分线】 1．（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，中，，使，那么符合要求的作图痕迹是（  ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 由和可得，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点在的垂直平分线上，进而得出结论． 【详解】解：，， ， 点在的垂直平分线上， 即点为的垂直平分线与的交点． 故选：D． 2．（25-26八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，点，过这两个点作直线，交于点，连接．若，，则的长为_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、尺规作图等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 首先求出，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴． 故答案为：4． 3．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为______． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，由是的垂直平分线，可得，，又的周长为，可得，然后通过的周长为即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即， ∴的周长为， 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 期末复习易错题42个考点 【新教材沪教版五四制】 【考点1 认识不等式】 2 【考点2 不等式的基本性质】 2 【考点3 一元一次不等式（组）的定义】 3 【考点4 一元一次不等式（组）的解法】 3 【考点5 一元一次不等式（组）的整数解】 3 【考点6 由实际问题抽象出一元一次不等式（组）】 4 【考点7 一元一次不等式（组）的应用】 5 【考点8 对顶角】 6 【考点9 点到直线的距离】 6 【考点10 同位角、内错角、同旁内角】 7 【考点11 平行线的判定】 8 【考点12 平行线的性质】 9 【考点13 平行线的判定与性质】 11 【考点14 命题的改写】 12 【考点15 真假命题】 12 【考点16 举反例】 13 【考点17 互逆命题】 13 【考点18 构造命题并证明】 13 【考点19 三角形的相关概念】 15 【考点20 三角形的三边关系】 15 【考点21 三角形的稳定性】 16 【考点22 三角形的中线】 17 【考点23 三角形的角平分线】 17 【考点24 三角形的高】 18 【考点25 三角形的内角和定理】 19 【考点26 三角形的外角性质】 20 【考点27 全等图形】 21 【考点28 全等三角形的性质】 22 【考点29 全等三角形的判定SSS】 23 【考点30 全等三角形的判定SAS】 24 【考点31 全等三角形的判定ASA】 25 【考点32 全等三角形的判定AAS】 26 【考点33 全等三角形的判定与性质】 27 【考点34 等腰三角形的性质—等边对等角】 28 【考点35 等腰三角形的性质—三线合一】 29 【考点36 等腰三角形的判定—等角对等边】 31 【考点37 等腰三角形的判定与性质】 32 【考点38 等边三角形的性质】 33 【考点39 等边三角形的判定】 34 【考点40 等边三角形的判定与性质】 35 【考点41 含30°角的直角三角形的性质】 37 【考点42 线段的垂直平分线】 38 【考点1 认识不等式】 1．下列式子中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．用不等式可将“a与b的和的平方为非负数”表示为(   ) A． B． C． D． 3．如图，是校园内限速标志，若用V表示速度，请用含字母V的不等式表示这个标志的实际意义 ． 4．据气象台报道，2024年6月28日双流区的最高气温为，最低气温为，则当天气温的变化范围是 ． 【考点2 不等式的基本性质】 1．如果，则a b（填“＞”、“＜”、“＝”）； 2．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）若，下列不等式变形正确的是（  ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·上海·期末）如果的解集为，则的取值范围是 ． 4．（24-25七年级下·江西上饶·期末）若，，当时，A与B的大小关系是 ． 【考点3 一元一次不等式（组）的定义】 1．（24-25七年级下·上海·月考）下列为一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列不是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·重庆·期末）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 4．（2024·河南周口·三模）某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ． 【考点4 一元一次不等式（组）的解法】 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）关于的一元一次方程的解是负数，求的取值范围． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于、的方程满足方程组 (1)用含的代数式表示； (2)若、均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为 ． 4．（24-25八年级上·重庆·期中）若关于的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式的解集为，则所有满足条件的整数的积为 ． 【考点5 一元一次不等式（组）的整数解】 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）关于的不等式的负整数解是，，则的取值范围是 ． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范围 ． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【考点6 由实际问题抽象出一元一次不等式（组）】 1．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）某学校组织八年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是用不超过3小时的时间平整一块面积为的土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了土地．设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 2．某品牌运动鞋的进价为每双200元，售价为每双300元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于，如果将这种品牌的运动鞋打折销售，则能正确表示该商店的促销方式的不等式是（   ） A． B． C． D． 3．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是(   ) A． B． C． D． 4．某企业次定购买，两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表： 型 型 价格（万无台） 12 10 月污水处理能力（吨月） 200 160 经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低1380吨，该企业有哪些购买方案呢？这解决这个问题，高购买型污水处理设备台，所列不等式组正确的是　　 A． B． C． D． 【考点7 一元一次不等式（组）的应用】 1．（25-26八年级上·浙江温州·期中）班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次须奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 2．（25-26七年级上·福建厦门·期中）甲、乙两家复印社复印纸张的收费标准如下： 甲复印社：无论复印多少页，每页收费0.2元． 乙复印社：当复印的页数不超过20页时，每页收费0.3元；当复印的页数超过20页时，超过的部分每页收费0.15元． (1)若要复印50页，请问选择哪家复印社比较省钱，并说明理由； (2)设复印的页数为x页（x超过20页），分别求出甲、乙两家复印社的收费（用含x的代数式表示）； (3)当复印的页数超过______页时，乙复印社的收费会比甲复印社便宜． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）一个车间有20名工人，每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元．在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余人去制造乙种零件． (1)写出此车间每天所获利润y元与x名工人之间的函数表达式； (2)如果要车间每天所获利润不低于24000元，至少应安排多少工人去制造乙种零件？ 4．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）中秋节前，某超市第一次购进A，B两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价： 进价（元/个） 售价（元/个） A礼盒 150 220 B礼盒 100 140 (1)根据上表，求该超市第一次购进A，B礼盒各多少个； (2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进A，B两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于A礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进A礼盒m个，A礼盒的售价比第一次的售价提高20元，B礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？ 【考点8 对顶角】 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）下列图形中，与是对顶角的是（    ） A．B． C． D． 2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，如果，则_____ 3．（25-26七年级下·北京·期中）如图，直线相交于点O，，，求的度数． 4．如图，已知直线、相交于点，，平分，于点． (1)求的度数； (2)试判断射线是否平分？并说明理由． 【考点9 点到直线的距离】 1．如图，点，在直线上，点在直线外，连接，，若，，则点到直线的距离可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足为点B，，则下列正确的语句是（　　） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．线段的长是点C到直线的距离 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 3．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点，则的最小值为_______． 4．如图，，于，，，，则点到的距离是______，点到的距离是______，的依据是______． 【考点10 同位角、内错角、同旁内角】 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）下列图形中，与的位置关系属于同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 2．若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有_______对内错角． 3．如图所示，同位角有对，内错角有对，同旁内角有对，则的值是____________ 4．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，已知直线与交于点M，与交于点O，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 【考点11 平行线的判定】 1．（25-26七年级上·河南周口·期末）若，则下列图形一定能得到的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，若，则下列条件中，不能判定 的是（    ） A． B． C．和互余且和互余 D．平分，且平分 3．如图，在中，，，边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转过程中，点B的对应点为，旋转角为，当时，旋转角为______． 4．（24-25七年级下·江西赣州·月考）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 【考点12 平行线的性质】 1．如图，已知​，​直角顶点在​上，已知​，则​（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 2．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，某煤气公司装煤气管道，他们从点处铺设到点处时，由于有一个人工湖挡了去路，需要改变方向经过点，再拐到点，然后沿与平行的方向继续铺设，如果，则______． 3．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，点C在点A北偏东方向，点C在点B北偏西方向，则的度数为______． 4．探索下面不同的情境，回答问题： (1)【探索发现】已知：如图，，点在，之间，连接，． 易证：． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图，过点作． 小红：如图，延长交于点． 请你选择一位同学的方法，并进行证明； (2)【深入思考】如图，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：； (3)【拓展延伸】如图，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，若，，．求的度数． 【考点13 平行线的判定与性质】 1．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，将长方形沿折叠，点，分别落在，的位置，的延长线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，已知，，且，则下列结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，直线与直线、分别交于点、，的平分线交于点，是直线上一点，若，，． (1)求证：； (2)求的度数． 4．如图1，E点在上，，． (1)求证：； (2)如图2，，平分，与的平分线交于H点，若比大，请直接写出的度数． (3)保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分 平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【考点14 命题的改写】 1．（25-26八年级上·河南郑州·期末）“过一点作已知直线的平行线”这句话 _____命题．（选填“是”或“不是”） 2．（25-26七年级下·山西大同·月考）将命题“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是：如果________，那么________． 3．（25-26七年级·湖北黄冈·月考）请写出命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行”的题设和结论： 题设：____________________， 结论：____________________． 【考点15 真假命题】 1．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）下列命题是真命题的是（      ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．若，，则 C．对顶角相等 D．相等的两个角是对顶角 2．（25-26八年级上·广东深圳·期末）下列命题：①两点之间，线段最短；②两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；③若，则；④若，，则．其中真命题有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26七年级下·河南信阳·期末）用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 4．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）“在同一平面内，若与的两边分别平行，且比的2倍少，则为”这个命题是_____（填“真”或“假”）命题． 【考点16 举反例】 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）对于命题“如果，那么”，能说明该命题为假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）写出一个能说明命题“有两个角是锐角的三角形是锐角三角形，”是假命题的反例：______． 3．（25-26七年级下·江苏·期末）用一个整数的值说明命题“代数式的值一定大于代数式的值.”是错误的，这个整数的值可以是______.（写出一个即可） 4．（25-26八年级上·河南南阳·期末）为说明命题“如果a＞b，那么”是假命题，你举出的反例是_____． 【考点17 互逆命题】 1．（25-26七年级下·吉林白城·期末）命题“若，则”的逆命题是________． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）下列命题内错角相等，两直线平行；若，则；末位数字是的数，能被整除；对顶角相等．原命题和逆命题均是真命题的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（25-26八年级上·广西桂林·期末）下列命题：①若，则；②两直线平行，内错角相等；③对顶角相等.它们的逆命题一定成立的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【考点18 构造命题并证明】 1．（25-26七年级上·江苏南通·期末）一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理的过程叫做证明，对于命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”如何来证明？小明通过画图，写出已知，求证，并加以证明，具体如下： 已知：如图，在同一平面内直线，①_____． 求证：②_____． 证明：∵（已知），∴③_____（④_____）． ∵⑤_____（已知），∴⑥_____（⑦_____）， ∴⑧_____（等式的基本事实）， ∴⑨_____（⑩_____）． 请把小明的说明过程补充完整． 2．（25-26七年级下·江苏南京·期末）请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明． 定理：三角形的外角等于_____________________的和． 已知： 求证： 3．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）命题：直角三角形的两锐角互余．    (1)将此命题写成“如果…，那么…”：______； (2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程． 4．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 【考点19 三角形的相关概念】 1．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）如图是三角形的两种分类，下列判断正确的是（   ） A．①对，②不对 B．①不对，②对 C．①、②都不对 D．①、②都对 2．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，一把不透明的尺子挡住了三角形的一部分，则这个三角形的类别为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法判断 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）图中以为边的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（24-25七年级下·北京·开学考试）图中有 个三角形． 【考点20 三角形的三边关系】 1．（25-26八年级上·山东滨州·期中）下列每组数分别是三根小棒的长度，用它们能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26八年级上·福建南平·期中）一个三角形三条边的长度分别为2厘米，3厘米，厘米，则可能是（    ） A．1 B．4 C．5 D．6 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）在等腰三角形的周长为9，，则的长为 ． 4．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）已知三根小棒的长分别是，，，若这三根小棒首尾相连能构成三角形，则正整数的值可以为 ．（写出一个即可） 【考点21 三角形的稳定性】 1．（25-26八年级上·河南·阶段练习）2025年底，河南省第一大跨径斜拉桥——丹江小三峡特大桥预计建成通车，其中斜拉设计结构稳固，蕴含的数学道理是（    ） A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形内角和等于180° 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）小明做了一个如图的方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最不易变形的加固方案（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）平板是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架，如图所示，平板电脑放在支架上就很方便地使用了，这些应用的几何原理是： ． 4．（25-26八年级上·山西阳泉·期中）下列物体的某些结构都是三角形，其中没有运用三角形稳定性的是 ．（填物体名称） 【考点22 三角形的中线】 1．（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，是的中线，的周长比的周长多，且，则的长为（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 2．（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，是的中线，是的中线，是的中线，如果的面积是12，那么的面积为（   ） A．6 B．3 C． D． 3．（24-25七年级下·上海闵行·月考）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成了和两部分，则这个等腰三角形的底边长为 ． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，点D，E，F分别在三边上，E是的中点，交于一点G，，，，则的面积是 ． 【考点23 三角形的角平分线】 1．（25-26八年级上·河南新乡·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F． 若，，则的周长是 ． 2．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，在中是的平分线，，，那么（   ） A． B． C． D． 3．如图，中，分别是的高和角平分线，若，，则 °． 4．如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【考点24 三角形的高】 1．如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如阁，、分别是的高，，，，则（    ）    A． B． C． D． 3．如图，中，是高，是角平分线，且，．求的度数． 4．（25-26八年级上·山东威海·期中）如图．在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【考点25 三角形的内角和定理】 1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川泸州·月考）数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北沧州·月考）如图，将纸片先沿折叠，再沿折叠，小高说：“知道的度数，就能求出的度数”，若，则的度数为 ． 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，α与β为“准互余角”． (1)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，______． (2)如图，在中，，若AD平分，试说明是“准互余三角形”． 【考点26 三角形的外角性质】 1．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，是的角平分线，，．求的度数． 2．（25-26八年级上·山西吕梁·期中）如图，与是的外角，，，若，则 ．（用含、的式子表示） 3．（25-26八年级上·湖北黄石·期中）把一块直尺与一块直角三角板如图放置，则的度数为 4．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，中，，，、、、、…都在的延长线上，、、、、…分别在、、、、…上，且满足，，，，…依次类推， ． 【考点27 全等图形】 1．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，给出的四对图形中是全等形的有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 2．如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为 ． 3．下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·天津河西·阶段练习）对于两个图形，给出下列结论： ①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长相等且面积相等；④两个图形的形状相同且面积相等． 其中，能得到这两个图形全等的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点28 全等三角形的性质】 1．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，，点、在一条直线上，若，，则的长为 ． 3．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，已知，点在上，，求的度数． 4．（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，于点，是上的一点．若，，，则的周长为 ．    【考点29 全等三角形的判定SSS】 1．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要说明，需要证明和全等，则这两个三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 2．如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（    ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 3．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 4．如图，点D在内部，，．求证：．    【考点30 全等三角形的判定SAS】 1．（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）如图，，，能直接判定的方法是“ ”． 2．（2024·广东·模拟预测）如图，中，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，若点的运动速度为，则当与全等时，的值为 ． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图所示的四个三角形中，能够全等的两个三角形是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 4．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，相交于点F，若． (1)求证：； (2)求的度数． 【考点31 全等三角形的判定ASA】 1．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，，点，分别在，上，，交于点，根据“”证明，还需添加的一个条件是：_____． 2．（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，在中，将对折，使和在同一直线上，折痕为，延长至点D，使得，连接，若，则 ． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，．求证： 【考点32 全等三角形的判定AAS】 1．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，，，，则的依据是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，点B、C在的边、上，，点E，F在内部的射线上，已知，且．求证：． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知点在同一直线上，．求证：． 4．（25-26八年级上·山东威海·期中）如图，在中，，，于点E，于点D，且D，C，E在同一直线上，求证：． 【考点33 全等三角形的判定与性质】 1．已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD． (1)如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．直接写出BD和CE数量关系和位置关系． (2)如图2，当点D在线段BC延长线上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE，画出图形．（1）的结论还成立吗?若成立，请证明； 若不成立，说明理由． 2．如图，在中，交于点D，点E是的中点，交的延长线于点F，交于点G，．求证：为的角平分线． 3．（25-26八年级上·广东广州·期中）已知中，，，点是上的一点，过点作于点． (1)如图1，______．（用含的式子表示） (2)如图2，是边上的高，点为的角平分线与的交点，交于点． ①求证：； ②连接，求的度数． 4．（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知直线m，n相交于点B，点A，C分别为直线m，n上的点，，且，点E是直线m上的一个动点，点D是直线n上的一个动点，运动过程中始终满足．如图当点E在线段上运动，点D在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由． 【考点34 等腰三角形的性质—等边对等角】 1．（25-26七年级上·上海·月考）如图，将绕点逆时针旋转，若点的对应点恰好落在线段的延长线上大小为 （    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图所示，已知，．如果，， ． 3．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，中，，点为的中点，过点分别作于于． (1)求证：； (2)求证：． 4．（2024·陕西西安·一模）如图，的边与的边在一条直线上，点A恰好在边的延长线上，且，求证：． 【考点35 等腰三角形的性质—三线合一】 1．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期中）如图，在等腰三角形中，，过点 C 作且，连接，若，则的面积为（    ） A． B．9 C．18 D．36 2．（25-26八年级上·山西大同·期中）如图，在中，，小珍将一把直尺按如图所示的方式摆放，取的中点．连接，则为的平分线，她这样做的依据是（   ） A．垂线段最短 B．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 C．等腰三角形“三线合一” D．角的平分线上的点到角两边的距离相等 3．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，是边上的高，点E，F是的三等分点，若的面积为12，则图中阴影部分的面积是 ． 4．如图，在三角形中，在上截取，作的平分线与相交于点P，连接，若的面积为，则的面积为 ． 【考点36 等腰三角形的判定—等角对等边】 1．如图，已知在中，平分，平分，且，，若，则的周长是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·期中）将一张长方形纸片按如图所示折叠，若，点到距离为，则 ． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在等腰中，，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、，若的周长为，则的长是（ ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，在Rt中，，，点是边上一点且不与点重合，点是边上一点且不与点重合，的延长线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【考点37 等腰三角形的判定与性质】 1．（25-26八年级上·广东江门·期中）在中，，点是和平分线的交点，点在外且满足，，设． (1)证明：． (2)证明：． 2．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）已知在中，，点是边上一点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作，垂足为点，与相交于点．求证：； (3)在（2）的条件下， ①尺规作图：作的平分线，与边相交于点；（要求保留作图痕迹，不用写作图过程） ②在①的基础上，探索，，之间的数量关系，并证明． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E． (1)当等于多少时，，请说明理由： (2)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求度数．若不可以，请说明理由． 4．（25-26八年级上·河南周口·期中）已知在中，，点是边上一点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作，垂足为点，与相交于点．求证：． 【考点38 等边三角形的性质】 1．（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，在中，，，在．上分别取点，，使，连接，交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，是边长为2的等边三角形，点是延长线上一点，在右侧作等边，连接，若，则的长为 ． 3．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，是等边三角形，点是内部一点，连接，，，以为边向右侧作等边三角形，连接，当是以为腰的等腰三角形，且时，则的度数为 ． 4．（25-26八年级上·河南新乡·期中）（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．若，则的度数是________． （2）如图2，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．求证：． （3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，于点，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系． 【考点39 等边三角形的判定】 1．下列条件中，不能得到等边三角形的是（   ） A．有两个内角是的三角形 B．三边都相等的三角形 C．有一个角是的等腰三角形 D．有两个外角相等的等腰三角形 2．已知：如图，在中，，，于点，且，则是 三角形．    3．（25-26八年级上·广东韶关·期中）如图，点，，在同一条直线上，和都是等边三角形，交于点F，交于点H，连接．求证： (1)； (2)； (3)是等边三角形． 4．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）数学小组开展了判定等边三角形的探究活动 探究（1）：如果一个等腰三角形一腰上的高也是这腰上的中线，那么这个等腰三角形是等边三角形． 数学小组根据这个文字命题，画出了图形，并写出了已知和求证，请你完成证明过程； 如图，已知：在中，，是边上的高，且是边上的中线． 求证：是等边三角形． 探究（2）如果在等腰三角形中，一腰上的高与底边上的高相等，那么这个等腰三角形是等边三角形． 下图是数学小组同学根据这个文字命题画的图形，请结合这个图形写出已知、求证，并完成证明． 【考点40 等边三角形的判定与性质】 1．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知：如图，在中，，以为边向外作等边三角形，把绕着点D按顺时针方向旋转后得到，且，，三点共线，若，，求的度数与的长． 2．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，和是等边三角形，连接交于点P，交于点Q．点F为线段上一点，且． 求证： (1)； (2)是等边三角形． 3．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，是等边三角形外部一点，连接，，且，过点作交于点，交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)连接，若，，求的长． 4．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）在中，，，点是边上一点，点为边上一点，连接，．    (1)如图1，，点为中点，，，直接写出的长； (2)如图2，，，，连接交于点，延长至点，使，连接． ①依题意补全图形；判定的形状，并说明理由； ②直接用等式表示线段，，之间的数量关系． 【考点41 含30°角的直角三角形的性质】 1．（25-26八年级上·河南许昌·期中）如图，在等边三角形中，， 与交于点P，，垂足为Q．的度数为 ，若，，则的长为 ． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，为边上的高，点从点出发在射线上以的速度移动，设运动时间为，当时，的值为 ． 3．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图1是某地铁站入口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，线段，点C是线段上一动点，以为边作等边，以为底边作等腰，则最小值为 ． 【考点42 线段的垂直平分线】 1．（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，中，，使，那么符合要求的作图痕迹是（  ） A．B．C．D． 2．（25-26八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，点，过这两个点作直线，交于点，连接．若，，则的长为_____． 3．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $