浙江省2026年初中学业水平模拟考试数学卷

**基本信息** 浙江省2026年初中学业水平考试模拟数学卷，以交通安全、反向春运等时代情境，墨子小孔成像、黄金分割等文化素材，及海豚跳跃轨迹等实践问题，构建基础巩固与创新应用的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题30分|绝对值、轴对称图形、科学记数法等|第2题以交通安全标志考轴对称，第3题用反向春运数据考科学记数法，体现数学眼光| |填空题|6题18分|二次根式意义、相似、一次函数特征数等|第12题墨子小孔成像考相似，第14题黄金分割考比例，渗透文化传承| |解答题|8题72分|方程、统计、几何综合、二次函数应用等|第21题海豚跳跃轨迹考二次函数建模，第24题综合实践考全等与翻折，发展推理能力与模型意识|

浙江省2026年初中学业水平考试模拟考试 数 学 卷 注意事项： 1、本试卷共三大题，满分120分，时间120分。 2、答题前，请考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡和试卷规定的位置上。 3、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。非选择题用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上作答，在试卷上作答无效。 4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分 选择题 一、选择题（共30分） 1．的绝对值是（    ） A．2026 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，进行计算即可． 【详解】解：∵ 负数的绝对值等于它的相反数，且， ∴ ． 2．每年12月2日是“全国交通安全日”，确定12月2日为交通安全日主要考虑数字“122”作为我国道路交通事故报警电话，方便群众记忆和宣传．下列指示标志图案中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（     ） A．直行 B．向左转弯 C．向右转弯 D．直行和向左转弯 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，对各选项分析判断即可． 【详解】解：、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 3．古人云“车马很慢，书信很远”，曾几何时，春运“一票难求”是无数人的共同记忆，而如今，发达的铁路网让“千里归乡一日还”成为现实．2026年春节，深圳成为“反向春运”的热门目的地，深圳铁路累计发送旅客万人次．数据“万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可. 【详解】解：. 4．如图是由相同的小正方体组成的立体图形，从1，2，3，4号小正方体中取走一个，该立体图形的主视图没有改变的是（    ） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 【答案】B 【分析】主视图是从正面看得到的平面图形，反映物体的长和高．观察立体图形可知，其主视图从左到右共有列，每列小正方形的个数分别为，，．若取走一个小正方体后主视图不变，说明该小正方体不是决定主视图轮廓的关键部分，或者取走后该位置有其他小正方体填补． 【详解】解：观察图形可知，该立体图形的主视图从左往右分列，高度分别为层，层，层． 号小正方体位于左列最上方，取走后左列高度变为层， 主视图发生改变，故A不符合题意； 号小正方体位于右列最上方，取走后右列高度变为层， 主视图发生改变，故C不符合题意； 号小正方体位于右列下方，取走后号小正方体失去支撑，右列高度改变， 主视图发生改变，故D不符合题意； 号小正方体位于左列中间，其后方有小正方体（支撑号），取走号后，后方小正方体显露，左列高度仍为层， 主视图没有改变，故B符合题意． 5．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘、除法，幂的乘方，整式的加法，根据运算法则逐一验证各选项的正确性即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、 ，计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 6．如图是某地铁站的进站口，共有3个闸机检票通道口，若甲、乙两人各随机选择一个闸机检票口进站，则甲、乙两人从同一个闸机检票通道口进站的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到甲、乙两人从同一个闸机检票通道口进站的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设三个闸口分别用A、B、C表示，列表如下： A B C A （A，A） （B，A） （C，A） B （A，B） （B，B） （C，B） C （A，C） （B，C） （C，C） 由表格可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲、乙两人从同一个闸机检票通道口进站的结果数有3种， ∴甲、乙两人从同一个闸机检票通道口进站的概率为． 7．如图，已知，将一块直角三角板按如图的位置放置，使直角顶点在直线上，若，则的度数为​（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质和平角的定义即可得到结论． 【详解】解：如图， ∵， ， ， ， 故选：B． 8．计算某一组数据的方差算式如下：，根据该算式，得到下列结论：①一共有5个数据；②该数据的平均数是10；③该数据的标准差是；④若添加一个数据10，新数据的方差不变，其中正确的结论有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据方差、平均数、标准差的定义逐一判断每个结论的正误即可． 【详解】解：①原式中共有5个数据项，分母为5，因此一共有5个数据，①正确； ②方差公式中每个数据减去的是平均数，原式中每个项均为，因此平均数为10，②正确； ③已知方差，标准差为方差的算术平方根，因此标准差为，③正确； ④由原方差得原平方和为，添加数据10后，新数据总和为，新数据个数为6，因此新平均数为，新平方和为，新方差为，因此方差改变，④错误． 综上，正确的结论共3个，因此选C． 9．若点，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的符号判断函数图象所在象限，再结合各象限内随的变化规律比较大小即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴点，都在第二象限， ∴， ∵， ∴点在第四象限， ∴， 综上可得． 10．如图，点在反比例函数图象上，连接，过点作，垂足为点，与反比例函数的图象相交于点，若，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，相似三角形的判定和性质，过点作轴于，过点作于，可证，得到，即得，，进而由得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作于，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象位于二、四象限， ∴， 故选：． 二、填空题（共18分） 11．要使式子有意义，则x的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】2（答案不唯一，即可） 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．根据二次根式的被开方数非负和分母不为零，得出x的取值范围． 【详解】解：要使式子 有意义，必须满足： ，且， 解得：，且． 由于 时，自动成立， ∴ ． 因此，x的值可以是2． 故答案为：2． 12．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的试验如图①，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”在如图②所示的小孔成像试验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质进行求解． 【详解】解：根据题意得，利用相似三角形的性质可得，设蜡烛火焰的高度为， ∴， 解得， ∴蜡烛火焰的高度是． 13．定义为一次函数的特征数，若点在特征数是的一次函数上，则的值是_________． 【答案】3 【分析】根据特征数的定义得到对应一次函数的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，代入点的坐标计算得到的值． 【详解】解：由题意得，特征数对应的一次函数为， ∵点在该一次函数图象上， ∴将代入函数解析式得， 解得． 14．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例．是自然界最奖的鬼斧神工，如图，P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为_____．    【答案】 【分析】根据黄金分割的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：P是的黄金分割点，， ， 故答案为：． 15．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，点，，，，都在格点（小正方形的顶点）上，和所在圆的圆心均为点，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】由图形可知，借助网格求出扇形的半径，根据扇形的面积公式即可求出结果． 【详解】解：由图可知， ，，， 在和中，， ∴， ， ． 16．如图，在矩形纸片中，点，分别是边，上的点，连接，将四边形沿折叠，点的对应点恰好落在边上，点的对应点为点，连接．若，，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】连接，过作，交于，延长至，使，连接，可得，再证，可求，由当、、三点共线时，最小，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过作，交于，延长至，使，连接，      ，，， ， 四边形是矩形， ， ，， 由折叠得：，，，， ， ， ， ， ， ， ； 当、、三点共线时，最小， 当时最小， ． 三、解答题（共72分） 17．（8分）解方程：（1）    （2） 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）利用配方法将式子凑成完全平方式，即可求解； （2）先通分将分式方程化为一元一次方程，解方程，得出结果后注意要检验； 【详解】（1） 解得：，； （2） 经检验：是分式方程的解． 18．（8分）数学课上，老师在黑板上书写了、两个整式：；． (1)通过计算的结果，比较与的大小； (2)若，说理：不可能小于0． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用作差法比较M，N的大小； （2）直接列式计算，并将结果化为完全平方的形式进行判断． 本题主要考查了整式的运算．核心素养表现为运算能力和推理能力． 【详解】（1）解： ， 因为，即， 所以， （2）解：因为， 所以 即， 所以不论为何值时，一定大于或等于0， 所以不可能小于0． 19．（8分）某景区管理处为了解景区的服务质量，现从该景区4月份的游客中随机抽取50人对景区的服务质量进行评分，评分结果用x表示（单位：分），将全部评分结果按以下五组进行整理，并绘制统计表，部分信息如下： 组别 A B C D E 分组 人数 3 3 17 a 10 请根据以上信息，完成下列问题： (1)________； (2)这50名游客对该景区服务质量评分的中位数落在________组； (3)若游客评分的平均数不低于75，则认定该景区的服务质量良好．分别用50，60，70，80，90作为A，B，C，D，E这五组评分的平均数，估计该景区4月份的服务质量是否良好，并说明理由． 【答案】(1)17 (2)D (3)该景区的服务质量良好，理由见解析 【分析】本题主要考查了中位数，平均数的概念与计算． （1）根据参与评分的一共50人，结合表格数据，求得a的值； （2）根据参与评分的一共50人，结合中位数的定义，得出第25人和第26人评分的平均数即为中位数，再根据A组、B组、C组的总人数为：（人），即可求出这50名游客对该景区服务质量评分的中位数落在D组； （3）先计算出总分数，再计算游客评分的平均数，将平均数与75作比较，得出结论． 【详解】（1）解：∵参与评分的一共50人， ∴． （2）解：∵参与评分的一共50人， ∴将所有人的评分从低到高排列后，第25人和第26人评分的平均数即为中位数， ∵A组、B组、C组的总人数为：（人）， ∴这50名游客对该景区服务质量评分的中位数落在D组． （3）解：∵50名游客对该景区服务质量的总评分为： （分）， ∴游客评分的平均数为：（分）， ∵， ∴该景区4月份的服务质量良好． 20．（8分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点D是边与网格线的交点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，在边上找到一点E，连结，使； (2)在图②中，在边上找到一点E，连结，使； (3)在图中，作平行四边形，使点E在边上，点P在边上，点G在边上，且． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查作图——应用与设计作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）利用网格特征作出，的中点E，D，连结即可； （2）取格点P，Q，连接交于点E，取的中点D，连结即可； （3）同法作出的中点G，的中点F，连接，连接与网格线交于点J，连接，延长交于点E，连接，四边形即为所求． 【详解】（1）解：如图①中，线段即为所求； （2）如图，线段即为所求； （3）如图中，平行四边形即为所求． 21．（8分）综合与实践 问题情境：海豚是一种聪明、情感丰富、拥有非凡水下感知能力的海洋哺乳动物，它们被称为海洋中的“微笑天使”．如图①所示为海洋馆中海豚从水面跳出的一个瞬间．如图②所示，以海豚的出水点为原点，以水面为轴，建立平面直角坐标系．如果一只海豚的跳跃轨迹可以看作抛物线的一部分，从跳出水面到入水的过程中，海豚的竖直高度(单位：米)与水平距离(单位：米)近似满足二次函数关系． 解决问题： (1)第一次跳跃时，海豚的水平距离与竖直高度的几组数据如下表： 水平距离/米 竖直高度米 根据表中数据，直接写出的值为___________，的值为___________． (2)在（1）的条件下，海豚在向上跳跃时，需要钻过圆形呼啦圈，且海豚在钻圈时，恰好从呼啦圈的圆心通过．已知呼啦圈的圆心与水面的距离为米，求呼啦圈的圆心与海豚出水点的水平距离． 【答案】(1)，； (2)呼啦圈的圆心与海豚出水点的水平距离为米． 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）由表中数据可知和对称，故对称轴为直线，得出顶点坐标为，并且推出和对称，故，再把顶点坐标，点代入解析式即可求出； （2）当时，，求出的值即可解答； 【详解】（1）解：∵由表中数据可知和对称， ∴对称轴为直线， ∴顶点坐标为， ∵由表格数据可知和到对称轴的距离相等， ∴和对称，故； 把顶点坐标，点代入 得， 解得． 故答案为：3，； （2）第一次跳跃时的函数解析式为 当时，， 解得或（不合题意，舍去）， ∴呼啦圈的圆心与海豚出水点的水平距离为米． 22．（10分）如图1，在菱形中，，对角线，点为对角线交点． (1)求菱形的面积； (2)如图2，已知菱形的边长为8，为边的中点，连接交对角线于点，于点，有，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，等面积法等知识，掌握等面积法求高是解题的关键． （1）利用勾股定理得到，再由菱形的面积直接计算即可； （2）连接交于点，利用等腰三角形的性质可得，进而得到，再利用等面积法求的长即可． 【详解】（1）解：∵菱形对角线互相垂直且平分， ∴， ∴对角线， ∴面积； （2）解：如图2，连接交于点， ∵， ∴， ∵四边形是菱形边长为8，且点为边中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 23．（10分）如图，在中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A、D的分别交于点E、F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径； (3)在（2）的条件下，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3) 【分析】（1）先判断出，得出，即可得出结论； （2）由锐角三角函数可得，即可求解； （3）由锐角三角函数可求的长，通过证明，可得，可得结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， 则， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点D在上， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的半径为5； （3）如图2，连接， 、 ∵是直径， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．（12分）综合与实践 【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题： 如图1，点是等边三角形外一点，连接，，，且．求的度数； 小明通过挖掘已知条件，获得，，这样本题就具备了“一边等一角等”的图形特征，所以小明在上截取，构造出全等三角形，从而使问题得以解决． 【独立思考】 (1)请按照小明的思路完成解答，求出的度数； 【实践探究】 (2)王老师改变了条件，并提出新问题，请你借鉴小明的做题方法或者自己的不同的解答方法，完成下题解答． 如图2，已知等腰中，，，点在边上，过点作于点，若，求的值； 【问题解决】 (3)如图3，在（2）的条件下，将沿直线翻折得到，点的对应点为点，延长，相交于点，过点作交于点，交于点．若，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）如图在上截取，连接，利用相似三角形的判定和性质得出，，再由全等三角形的判定和性质得出，，结合图形得出是等边三角形，即可求解； （2）过点B作于点H，利用全等三角形的判定和性质得出，，再由相似三角形的判定和性质得出，，即可求解； （3）根据折叠的性质，得，利用相似三角形的判定和性质得出，，确定，设，，得出，确定，然后求面积即可． 【详解】（1）解：如图在上截取，连接， ∵ ， ， 又∵是等边三角形， ∴ ， ， ∴ ，即. 又∵， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：如图，过点B作于点H， ∵ ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：∵， ， 根据折叠的性质，得， ∴ ， ， ， ， ， ∵， ， 设， ∴. ∵， ， ∴ ， ， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省2026年初中学业水平考试模拟考试 数 学 卷 注意事项： 1、本试卷共三大题，满分120分，时间120分。 2、答题前，请考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡和试卷规定的位置上。 3、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。非选择题用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上作答，在试卷上作答无效。 4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分 选择题 一、选择题（共30分） 1．的绝对值是（    ） A．2026 B． C． D． 2．每年12月2日是“全国交通安全日”，确定12月2日为交通安全日主要考虑数字“122”作为我国道路交通事故报警电话，方便群众记忆和宣传．下列指示标志图案中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（     ） A．直行 B．向左转弯 C．向右转弯 D．直行和向左转弯 3．古人云“车马很慢，书信很远”，曾几何时，春运“一票难求”是无数人的共同记忆，而如今，发达的铁路网让“千里归乡一日还”成为现实．2026年春节，深圳成为“反向春运”的热门目的地，深圳铁路累计发送旅客万人次．数据“万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．如图是由相同的小正方体组成的立体图形，从1，2，3，4号小正方体中取走一个，该立体图形的主视图没有改变的是（    ） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 5．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图是某地铁站的进站口，共有3个闸机检票通道口，若甲、乙两人各随机选择一个闸机检票口进站，则甲、乙两人从同一个闸机检票通道口进站的概率是（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知，将一块直角三角板按如图的位置放置，使直角顶点在直线上，若，则的度数为​（　　） A． B． C． D． 8．计算某一组数据的方差算式如下：，根据该算式，得到下列结论：①一共有5个数据；②该数据的平均数是10；③该数据的标准差是；④若添加一个数据10，新数据的方差不变，其中正确的结论有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 9．若点，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 10．如图，点在反比例函数图象上，连接，过点作，垂足为点，与反比例函数的图象相交于点，若，则的值为（    ）． A． B． C． D． 第二部分 非选择题 二、填空题（共18分） 11．要使式子有意义，则x的值可以是________．（写出一个即可） 12．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的试验如图①，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”在如图②所示的小孔成像试验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是________． 13．定义为一次函数的特征数，若点在特征数是的一次函数上，则的值是_________． 14．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例．是自然界最奖的鬼斧神工，如图，P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为_____．    15．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，点，，，，都在格点（小正方形的顶点）上，和所在圆的圆心均为点，则阴影部分的面积为______． 16．如图，在矩形纸片中，点，分别是边，上的点，连接，将四边形沿折叠，点的对应点恰好落在边上，点的对应点为点，连接．若，，则的最小值是_____． 三、解答题（共72分） 17．（8分）解方程：（1）    （2） 18．（8分）数学课上，老师在黑板上书写了、两个整式：；． (1)通过计算的结果，比较与的大小； (2)若，说理：不可能小于0． 19．（8分）某景区管理处为了解景区的服务质量，现从该景区4月份的游客中随机抽取50人对景区的服务质量进行评分，评分结果用x表示（单位：分），将全部评分结果按以下五组进行整理，并绘制统计表，部分信息如下： 组别 A B C D E 分组 人数 3 3 17 a 10 请根据以上信息，完成下列问题： (1)________； (2)这50名游客对该景区服务质量评分的中位数落在________组； (3)若游客评分的平均数不低于75，则认定该景区的服务质量良好．分别用50，60，70，80，90作为A，B，C，D，E这五组评分的平均数，估计该景区4月份的服务质量是否良好，并说明理由． 20．（8分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点D是边与网格线的交点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，在边上找到一点E，连结，使； (2)在图②中，在边上找到一点E，连结，使； (3)在图中，作平行四边形，使点E在边上，点P在边上，点G在边上，且． 21．（8分）综合与实践 问题情境：海豚是一种聪明、情感丰富、拥有非凡水下感知能力的海洋哺乳动物，它们被称为海洋中的“微笑天使”．如图①所示为海洋馆中海豚从水面跳出的一个瞬间．如图②所示，以海豚的出水点为原点，以水面为轴，建立平面直角坐标系．如果一只海豚的跳跃轨迹可以看作抛物线的一部分，从跳出水面到入水的过程中，海豚的竖直高度(单位：米)与水平距离(单位：米)近似满足二次函数关系． 解决问题： (1)第一次跳跃时，海豚的水平距离与竖直高度的几组数据如下表： 水平距离/米 竖直高度米 根据表中数据，直接写出的值为___________，的值为___________． (2)在（1）的条件下，海豚在向上跳跃时，需要钻过圆形呼啦圈，且海豚在钻圈时，恰好从呼啦圈的圆心通过．已知呼啦圈的圆心与水面的距离为米，求呼啦圈的圆心与海豚出水点的水平距离． 22．（10分）如图1，在菱形中，，对角线，点为对角线交点． (1)求菱形的面积； (2)如图2，已知菱形的边长为8，为边的中点，连接交对角线于点，于点，有，求的长． 23．（10分）如图，在中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A、D的分别交于点E、F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径； (3)在（2）的条件下，求的长． 24．（12分）综合与实践 【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题： 如图1，点是等边三角形外一点，连接，，，且．求的度数； 小明通过挖掘已知条件，获得，，这样本题就具备了“一边等一角等”的图形特征，所以小明在上截取，构造出全等三角形，从而使问题得以解决． 【独立思考】 (1)请按照小明的思路完成解答，求出的度数； 【实践探究】 (2)王老师改变了条件，并提出新问题，请你借鉴小明的做题方法或者自己的不同的解答方法，完成下题解答． 如图2，已知等腰中，，，点在边上，过点作于点，若，求的值； 【问题解决】 (3)如图3，在（2）的条件下，将沿直线翻折得到，点的对应点为点，延长，相交于点，过点作交于点，交于点．若，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $