精品解析：安徽安庆市2025-2026学年度第二学期八年级教学质量检测 数学试题

2025—2026学年度第二学期八年级教学质量检测 数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．） 1. 扎染是民间传统而独特的染色工艺，织物在染色时部分结扎起来使之不能着色的一种染色方法，是中国传统的手工染色技术之一．佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个外角均是的正多边形图案，这个正多边形的边数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2. 如果，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的两个实数根分别是、，则（ ） A. B. C. 7 D. 10 4. 若一个三角形的三边长分别为，，，且满足等式，则该三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判定 5. 如图，在中，，则数轴上点所表示的数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知等腰三角形的腰和底边的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长为（ ） A. 12或10 B. 12 C. 8或10 D. 10 7. 我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．下图是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 8. 如图，已知菱形的边长为，于点，交于点，且，是对角线上的一动点，连接，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为 9. 如图，在中，，，，于点D，动点P从点A出发以每秒的速度在线段上向终点D运动．设动点运动的时间为t秒，动点M从点C出发以每秒的速度在射线上运动．若点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动，若存在t，使得，则t的值为（ ） A. 2或 B. 2或 C. 2或 D. 2或12.5 10. 如图，在矩形中，，的平分线交于点E，于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O，则下列结论中错误的是（　　） A. 平分 B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 与最简二次根式是同类二次根式，则______． 12. 如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为______． 13. 用配方法解一元二次方程得，则的值为__________． 14. 如图，在中，，，，点E是边上的一动点，以为边，在的右侧作正方形请完成下列探究： （1）若平分，则______； （2）连接，若，则的面积为______． 三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 计算： （1）； （2） 16. 如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，平分，求的长． 17. 已知的一条边的长为3，另两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 18. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为；求：此三角形最长边上的高． 19. 如图，在中，是的中点，延长至，使得，连接，延长至点，使得，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接交于点，若，求的周长． 20. 如图，在平行四边形中，平分交AD于点E，，交于点G，连接交于点F，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 21. 按要求解答下列各题： （1）问题再现：数学探究课时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题．如，“求代数式的最小值”，小明同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作是两直角边分别为和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长．求的最小值 （2）类比迁移：已知，均为正数，且，求的最小值 22. 某农户计划利用现有的一道墙（墙长为米），另三边用总长为米的铁丝网围成一个长方形养鸡场，其中平行于墙的一边留出米宽的门（门不用铁丝网），围成的长方形养鸡场总面积为平方米． （1）当时，养鸡场平行于墙的一边的长是多少? （2）若要保证能围成符合要求的养鸡场，且仅存在一种围法，求墙长的取值范围； （3）若农户想将养鸡场面积扩大到平方米，在铁丝网长度不变且墙足够长的条件下，能否实现?若能，求出此时垂直于墙的边的长度；若不能，请说明理由． 23. 已知四边形是正方形，点E是延长线上一点，点F是上一点，． （1）如图1，求证：； （2）连接交于点G，连接． ①如图2，求证：； ②如图3，若点F是的中点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期八年级教学质量检测 数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．） 1. 扎染是民间传统而独特的染色工艺，织物在染色时部分结扎起来使之不能着色的一种染色方法，是中国传统的手工染色技术之一．佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个外角均是的正多边形图案，这个正多边形的边数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的内角和外角，根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，即可求得边数． 【详解】解：正多边形的一个外角等于，且外角和为， 则这个正多边形的边数是：． 故选：C． 2. 如果，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：可知：， 所以， 解得， 故选：B． 3. 一元二次方程的两个实数根分别是、，则（ ） A. B. C. 7 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次变形，再结合一元二次方程两根之和的关系计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别是、， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 4. 若一个三角形的三边长分别为，，，且满足等式，则该三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判定 【答案】B 【解析】 【分析】利用完全平方公式展开等式，整理得到三边的平方关系，再根据勾股定理的逆定理即可判断三角形形状 【详解】解：∵ ， ∴ ， 整理得：， ∴该三角形是直角三角形． 5. 如图，在中，，则数轴上点所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出的长，进而可求出A点表示的数． 【详解】解：∵在中，． ，， ∴， ， 点表示的数是． 6. 已知等腰三角形的腰和底边的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长为（ ） A. 12或10 B. 12 C. 8或10 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】先求出一元二次方程的解，再根据三角形三边关系定理即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， 当腰长为2，底边长为4时，，不符合三角形三边关系定理， 当腰长为4，底边长为2时，，符合三角形三边关系定理， ∴该等腰三角形的周长为． 7. 我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．下图是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】设每一个直角三角形的面积为，根据图形得到，，即可得到答案． 【详解】解：设每一个直角三角形的面积为， ，， ， ， ， 解得． 8. 如图，已知菱形的边长为，于点，交于点，且，是对角线上的一动点，连接，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形及含30度角的直角三角形的性质，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键 根据菱形的性质及含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定等依次判断各选项即可 【详解】解：于点，， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∵对角线， ∴，故A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴，故B正确，不符合题意； 当点P与点F重合时，取得最小值， ∵菱形的边长为， ∴， 由B选项得：， ∴， ∴，选项C错误，符合题意； ∵菱形， ∴点A与点C关于BD对称， ∴， 当点A、P、E三点共线时，取得最小值即为AE， ∵， ∴， 即的最小值为，选项D正确，不符合题意； 故选：C 9. 如图，在中，，，，于点D，动点P从点A出发以每秒的速度在线段上向终点D运动．设动点运动的时间为t秒，动点M从点C出发以每秒的速度在射线上运动．若点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动，若存在t，使得，则t的值为（ ） A. 2或 B. 2或 C. 2或 D. 2或12.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，分两种情况：当点M在点D左侧时，当点M在点D右侧时，分别列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点M在点D左侧时，， 解得：或（舍去）； 当点M在点D右侧时，， 解得：； 综上，t的值为2或． 10. 如图，在矩形中，，的平分线交于点E，于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O，则下列结论中错误的是（　　） A. 平分 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质等知识；根据角平分线的定义可得，可得出是等腰直角三角形，证出，证明，可得，求出，从而判断出选项A正确；求出，，然后根据等角对等边可得，判断出选项B正确；求出，，证明，可得，判断出选项C正确；根据全等三角形对应边相等可得，根据，，整理得，判断出选项D错误． 【详解】解：在矩形中，平分， ， 是等腰直角三角形， ∴ ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 平分， 故选项A正确，不符合题意； ，， ， ， ，， ， ， ， ， 故选项B正确；不符合题意； ， ， 又，， 在和中， ， ， ，， 故选C正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选项D错误，符合题意． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 与最简二次根式是同类二次根式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先将化为最简二次根式，根据同类二次根式的概念得到关于的一元一次方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：，且与最简二次根式是同类二次根式， ， 移项得， 系数化为得． 12. 如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】设，则，由折叠的性质得到，在中，，解得，即可求得三角形的面积． 【详解】解：长方形纸片中，， 设，则， 将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合， ， 在中，， ， 解得， ， ． 13. 用配方法解一元二次方程得，则的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据配方法得到的结果还原出一元二次方程的一般形式为，再通过对比系数求出的值． 【详解】解：用配方法解得， 两边平方得， 展开左边得， 整理得， 原方程为 对比系数，可得． 14. 如图，在中，，，，点E是边上的一动点，以为边，在的右侧作正方形请完成下列探究： （1）若平分，则______； （2）连接，若，则的面积为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）如图，过作于，在上取点，使，证明，，设，则，，可得，再进一步求解即可； （2）如图，连接，过作于，过作于，求解，，，设，可得，求解，证明，可得，进一步求解即可. 【详解】解：（1）如图，过作于，在上取点，使， ∵在中，，，， ∴，，， ∴， ∵正方形，平分， ∴， ∴，，， ∴， 设，则，， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图，连接，过作于，过作于， 由（1）得：， ∴，而， ∴，， ∴， ∵，正方形， ∴设， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，一元二次方程的解法，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可； （2）先移项，然后进行因式分解，求出方程的解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：；． 16. 如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，平分，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，掌握这些知识是解题的关键； （1）由平行四边形的性质得，再结合，，即可证明； （2）由平行四边形的性质得；由平分，得，由（1）知，则，可得，由即可求解． 【小问1详解】 证明：在平行四边形中，， ∴； ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：在平行四边形中，； ∵平分， ∴； 由（1）知， ∴， ∴， ∴． 17. 已知的一条边的长为3，另两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 【答案】（1）见解析 （2），周长为7 ，周长为8 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式解答即可； （2）先求出方程的两个根，再根据等腰三角形的性质分两种情况讨论得出答案． 【小问1详解】 解： ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解方程得：，； 是等腰三角形， 或 ①若；则； ，三边为2，2，3,满足三角形三边关系，此时周长为； ②若；则； ，三边为3，3，2，满足三角形三边关系，此时周长为． 18. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为；求：此三角形最长边上的高． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析，三角形最长边上的高为2 【解析】 【分析】（1）画出一个边长为的正方形即可； （2）根据要求结合勾股定理画出三角形，等积法求出三角形最长边上的高即可． 【小问1详解】 解：如图1，正方形即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示：三角形三边长分别为； 设此三角形最长边上的高为， ，， 此三角形是直角三角形； 则由三角形面积可得：， 解得：， 故三角形最长边上的高为2． 19. 如图，在中，是的中点，延长至，使得，连接，延长至点，使得，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接交于点，若，求的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明是的中位线，得，即，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由是的中位线，得，，，由勾股定理求出，故，，由四边形为平行四边形得，，再由勾股定理求出，即，最后由的周长为即可求解． 【小问1详解】 证明：， 是的中点， 又是的中点， ∴是的中位线， ， 点在的延长线上， ， 又， ∴四边形为平行四边形． 【小问2详解】 解：， ，且， ， 于点， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， 的周长为：． 20. 如图，在平行四边形中，平分交AD于点E，，交于点G，连接交于点F，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定，平行四边形的性质和菱形的判定定理即可得到结论； （2）过点F作于点M，由菱形的性质得出，在中，利用勾股定理求出的长，利用三角形面积求出的长，再利用勾股定理求出，得出，中，由勾股定理即可得出的长． 【小问1详解】 证明：平分， ， 四边形是平行四边形， 且， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：过点F作于点M，如图所示： 四边形是菱形， ， 在中，， ， ，即， 解得：， ， 中，． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、含30度角的直角三角形的特征、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 21. 按要求解答下列各题： （1）问题再现：数学探究课时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题．如，“求代数式的最小值”，小明同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作是两直角边分别为和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长．求的最小值 （2）类比迁移：已知，均为正数，且，求的最小值 【答案】（1）13； （2）17． 【解析】 【分析】（1）利用给出的图形，标上必要的字母，可以推出，，根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可； （2）过点B作交AC延长线于点F，根据，，，，可推出的值最小，需的值最小，即当，，三点共线时，的值最小，最小值为，先证明四边形为长方形，再运用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图， 在中， 由勾股定理，可得， 在中， 由勾股定理，可得， ∵， ∴的最小值为的长， 在中， 由勾股定理，可得， ∴的最小值是13； 【小问2详解】 解：过点B作交延长线于点F，如图， ∵，，，， ∴在中，； 在中，， ∴， ∴当A，D，B三点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵，，， ∴四边形为长方形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为17． 22. 某农户计划利用现有的一道墙（墙长为米），另三边用总长为米的铁丝网围成一个长方形养鸡场，其中平行于墙的一边留出米宽的门（门不用铁丝网），围成的长方形养鸡场总面积为平方米． （1）当时，养鸡场平行于墙的一边的长是多少? （2）若要保证能围成符合要求的养鸡场，且仅存在一种围法，求墙长的取值范围； （3）若农户想将养鸡场面积扩大到平方米，在铁丝网长度不变且墙足够长的条件下，能否实现?若能，求出此时垂直于墙的边的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1）当时，养鸡场平行于墙的一边的长是米； （2）墙长的取值范围是； （3）不能实现，理由见解析． 【解析】 【分析】（）设养鸡场垂直于墙的一边的长是米，则平行于墙的一边的长是米，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）由（）得平行于墙的一边的长是米或是米，然后分当时；当时；当时，进行讨论即可； （）设养鸡场垂直于墙的一边的长是米，则平行于墙的一边的长是米，根据题意得，整理得，由即可判断． 【小问1详解】 解：设养鸡场垂直于墙的一边的长是米，则平行于墙的一边的长是米， 根据题意得， 整理得：， 解得：，， 当时，平行于墙的一边的长是，不符合题意； 当时，平行于墙的一边的长是，符合题意； 答：当时，养鸡场平行于墙的一边的长是米； 【小问2详解】 解：由（）得平行于墙的一边的长是米或是米， 当时，两边都不超过墙长，有种围法； 当时，两边都不超过墙长，有种围法； 当时，两边都超过墙长，无法围成； ∴墙长的取值范围是； 【小问3详解】 解：不能实现，理由， 设养鸡场垂直于墙的一边的长是米，则平行于墙的一边的长是米， 根据题意得， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数根， 即围成养鸡场的面积不能达到平方米， ∴不能实现． 23. 已知四边形是正方形，点E是延长线上一点，点F是上一点，． （1）如图1，求证：； （2）连接交于点G，连接． ①如图2，求证：； ②如图3，若点F是的中点，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）①证明见解析，② 【解析】 【分析】（1）证根据正方形的性质得到，，求得，证明根据全等三角形的性质得到； （2）①如图1，过点F作交于H，则，是等腰直角三角形，求得，由（1）可知，则，证明，根据全等三角形的性质得到，求得，根据勾股定理得到； ②设，则，，，根据勾股定理得到，由①可知，则，同理①，过点F作交于H，如图2．得到，求得，由（1）知，，证明，根据全等三角形的性质得到，，则，进而可得答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 则， 即， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①证明：如图1，过点F作交于H，则，是等腰直角三角形， ∴， 由（1）可知，则， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的斜边上的中线， ∴， 在中，，则， ∴， ∴； ②解：设，则，，， ∴， 由①可知，则， 同理①，过点F作交于H，如图2， ∵F是的中点，是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，则， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $