第七章 重点突破4 二项分布与超几何分布的综合问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦二项分布与超几何分布的区别联系、均值方差计算及综合应用，通过题型示例（二项分布实际应用、超几何分布实际应用、两者综合应用）和对点练，构建从基础理解到综合运用的学习支架。 资料以“碳中和”“延迟退休”等现实情境设计例题，培养数学建模能力，通过分布列与均值方差计算提升数学运算素养，对比两种分布深化数学抽象。课中助力教师系统教学，课后练习题及解析帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

学习目标 1.进一步了解二项分布与超几何分布的区别与联系.　2.进一步掌握超几何分布、二项分布的均值和方差的计算.　3.通过二项分布与超几何分布的综合应用，进一步提升数学抽象、数学建模、数学运算的核心素养. 题型一　二项分布的实际应用 我国承诺2030年前“碳达峰”，2060年前“碳中和”，“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；“碳中和”是指针对排放的二氧化碳要采取植树、节能减排等各种方式全部抵消掉.做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.某中学利用班会课时间组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛.首先出战的是第一组、第二组、第三组，已知第一组、第二组通过初赛和复赛获胜的概率均为，第三组通过初赛和复赛的概率分别为p和－p，其中0＜p≤，三组是否通过初赛和复赛互不影响. (1)求p取何值时，第三组进入决赛的概率最大； (2)在(1)的条件下，求进入决赛的队伍数X的分布列和均值. 解：(1)依题意，知第三组通过初赛和复赛的概率p0＝p(－p)＝－p2＋p＝－(p－)2＋， 又因为≤p≤， 所以，当p＝时，第三组进入决赛的概率最大，最大为. (2)由(1)知：第一组、第二组、第三组进入决赛的概率均为×＝. 因为进入决赛的队伍数X～B(3，)， 所以P(X＝0)＝×(1－)3＝； P(X＝1)＝××(1－)2＝＝； P(X＝2)＝×()2×(1－)＝＝； P(X＝3)＝×()3＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 二项分布实际应用问题的解题思路 根据题意设出随机变量；分析出随机变量服从二项分布；找到参数n(试验的次数)和p(事件发生的概率)；写出二项分布的分布列，利用公式求解均值、方差等. 对点练1.甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？ 解：法一：采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2∶0或2∶1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜.因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为p1＝0.62＋×0.62×0.4＝0.648. 类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有三种可能的比分3∶0，3∶1或3∶2.因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为p2＝0.63＋×0.63×0.4＋×0.63×0.42＝0.682 56. 因为p2＞p1，所以5局3胜制对甲有利. 法二：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X～B(3，0.6).甲最终获胜的概率为p1＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝×0.62×0.4＋×0.63＝0.648. 采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，则X～B(5，0.6).甲最终获胜的概率为p2＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5) ＝×0.63×0.42＋×0.64×0.4＋×0.65＝0.682 56. 因为p2＞p1，所以5局3胜制对甲有利. 题型二　超几何分布的实际应用 每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2025年1月1日开始，我国执行延迟退休新政.为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表： 年龄段 (单位：岁) [15，25) [25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65，75] 被调查的人数 10 15 20 m 25 5 赞成的人数 6 12 n 20 12 2 学生用书⬇第61页 (1)从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此年龄在[35，45)的概率为，求出表格中m，n的值； (2)若从年龄在[45，55)的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为X，求X的分布列及均值. 解：(1)因为总共抽取100人进行调查，所以m＝100－10－15－20－25－5＝25， 因为从赞成“延迟退休”的人中任选1人，其年龄在[35，45)的概率为＝，所以n＝13. (2)从年龄在[45，55)中按分层抽样抽取10人，赞成的抽取10×＝8人，不赞成的抽取2人，再从这10人中随机抽取4人，则随机变量X的可能取值为2，3，4. 则P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝. 所以X的分布列为 X 2 3 4 P 所以E(X)＝2×＋3×＋4×＝. 超几何分布的求解策略 1.辨模型：结合实际情境分析所求概率分布问题是否由具有明显特征的两部分组成，如“男生、女生”“正品、次品”“优劣”等，或可转化为明显的两部分.具有该特征的概率模型为超几何分布模型. 2.算概率：可以直接借助公式P(X＝k)＝求解，也可以利用排列、组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M，N，n，k的含义. 3.列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来. 对点练2.生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收1吨废纸可再造出0.8吨好纸，降低造纸的污染排放，节省造纸能源消耗.某环保小组调查了北京市某垃圾处理厂2024年6月至12月生活垃圾回收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量(单位：吨)的折线图如图所示： (1)现从2024年6月至12月中随机选取1个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨的概率； (2)从2024年6月至12月中任意选取2个月，记X为选取的这2个月中废纸的回收量超过3.7吨的月份的个数.求X的分布列及均值. 解：(1)记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”为事件A， 由图知，只有8月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨， 所以P(A)＝. (2)6月至12月废纸的回收量超过3.7吨的月份有7月、8月、10月，共3个月. 所以X的可能取值为0，1，2. 所以P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 题型三　二项分布与超几何分布的综合应用 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：g)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515].由此得到样本的频率分布直方图(如图). 学生用书⬇第62页 (1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量； (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505 g的产品数量，求X的分布列； (3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505 g的产品数量，求Y的分布列. 解：(1)质量超过505 g的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3， 所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12. (2)质量超过505 g的产品数量为12，则质量未超过505 g的产品数量为28，X的取值为0，1，2，X服从超几何分布. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P (3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505 g的概率为＝. 从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505 g的件数Y的可能取值为0，1，2，且Y～B， P(Y＝k)＝，k＝0，1，2. 所以P(Y＝0)＝×＝， P(Y＝1)＝××＝， P(Y＝2)＝×＝. 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 P 1.根据题意，确定是二项分布还是超几何分布模型. 2.根据超几何分布与二项分布的分布列和性质求出随机变量的均值和方差. 3.利用均值与方差的意义进行决策判断. 对点练3.某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成2题便可通过，已知6道备选题中甲生有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，求： (1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算均值； (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力. 解：(1)设考生甲正确完成实验操作的题数为ξ，则ξ的可能取值是1，2，3. 所以P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝. 所以ξ的分布列为 ξ 1 2 3 P 所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2. 设考生乙正确完成实验操作的题数为η， 易知η～B(3，)， 所以P(η＝0)＝(1－)3＝， P(η＝1)＝)1(1－)2＝， P(η＝2)＝)2(1－)1＝， P(η＝3)＝)3＝. 所以η的分布列为 η 0 1 2 3 P 所以E(η)＝3×＝2. (2)由(1)知E(ξ)＝E(η)＝2， D(ξ)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝， D(η)＝3××(1－)＝， P(ξ≥2)＝＋＝，P(η≥2)＝＋＝， 所以D(ξ)＜D(η)，P(ξ≥2)＞P(η≥2)， 故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当； 从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定； 从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大. 1.设随机变量X服从二项分布B(n，)，若P(X≥1)＝0.998 4，则D(X)＝(　　) A.0.16 B.0.32 C.0.64 D.0.84 答案：C 解析：P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－)0()n＝1－()n＝0.998 4，解得n＝4，所以X～B(4，)，则D(X)＝np(1－p)＝4××＝＝0.64.故选C. 2.一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选3人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量X，男生人数为变量Y，则P(X＝2)＋P(Y＝2)等于(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：因为P(X＝2)＝，P(Y＝2)＝，所以P(X＝2)＋P(Y＝2)＝.故选C. 学生用书⬇第63页 3.某一零件加工厂在最后包装的环节中，由于操作失误，在8个装盒的零件中不慎混入了2个次品.现从中不放回地任选2个零件，则取到次品零件个数的均值为　　　　. 答案： 解析：由题意设取到次品零件个数为ξ，ξ的可能取值为0，1，2，且P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，所以取到次品零件个数的均值为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 4.一次掷两枚骰子，若两枚骰子点数之和为4或5或6，则称这是一次成功试验.现进行四次试验，则恰出现一次成功试验的概率为　　　　. 答案： 解析：一次掷两枚骰子，两枚骰子点数之和为4的情况有3种， 两枚骰子点数之和为5的情况有4种，两枚骰子点数之和为6的情况有5种，在一次试验中，出现成功试验的概率P＝＝，设出现成功试验的次数为X，则X～B(4，)，所以重复做这样的试验4次，则恰出现一次成功试验的概率为P(X＝1)＝×()×(1－)3＝. 学科网（北京）股份有限公司 $