专题01 一元线性回归模型8种难点常考题型（高效培优专项训练）数学苏教版高二选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦一元线性回归全链条，14类题型系统覆盖从概念辨析到综合应用，以题载知，逻辑递进，培养数据观念与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念基础|3题|辨析相关关系与函数关系|从确定性到不确定性关系认知| |相关分析|10题|判断相关性、正负相关及相关系数应用|从定性描述到定量刻画| |回归方程|12题|求解方程、样本中心点及残差计算|模型构建与参数估计| |应用拓展|13题|非线性回归及跨章节融合|从线性到非线性，单一到综合应用|

专题01 一元线性回归模型14种常考题型 题型一：相关关系与函数关系的辨析 题型二：判断两个变量是否有相关关系 题型三：判断正、负相关 题型四：样本相关系数大小对变量相关性的影响 题型五：相关系数的计算及其应用 题型六：利用散点图研究近似回归直线 题型七：求回归直线方程 题型八：样本中心点及其应用 题型九：残差的计算及其应用 题型十：刻画回归效果的方式 题型十一：线性回归分析 题型十二：线性回归直线方程的实际应用 题型十三：非线性回归问题 题型十四：线性回归方程与其他章节的融合 题型一：相关关系与函数关系的辨析 1．下列说法正确的是（  ） A．中的x，y是具有相关关系的两个变量 B．正四面体的体积与棱长具有相关关系 C．电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系 D．传染病医院感染传染病的医务人员数与医院收治的传染病人数是具有相关关系的两个变量 【答案】D 【分析】根据相关关系的定义、函数的定义即可判断 【解析】A，B均为函数关系，故A、B错误；C，D为相关关系，故C错，D对. 故选：D. 2.下面变量之间是相关关系的是（  ） A．出租车费与行驶的里程 B．正方形面积与边长 C．人的身高与体重 D．铁的体积与质量 【答案】C 【分析】根据相关关系的概念逐项判断即可. 【解析】由相关关系可知C选项是相关关系，ABD选项都是函数关系. 故选：C. 3.下列说法正确的是（  ） A．圆的面积与半径之间的关系是相关关系 B．粮食产量与施肥量之间的关系是函数关系 C．一定范围内，学生的成绩与学习时间成正相关关系 D．人的体重与视力成负相关关系 【答案】C 【分析】函数关系是变量之间的确定关系，相关关系是变量之间确实存在关系但不具有确定性，据此判断即可. 【解析】解：对于A，圆的面积与半径之间的关系是确定的关系，是函数关系，所以A错误； 对于B，粮食产量与施肥量之间的关系是不是函数关系，是相关关系，所以B错误； 对于C，一定范围内，学生的成绩与学习时间是成正相关关系的，所以C正确； 对于D，人的体重与视力是没有相关关系的，所以D错误. 故选：C. 题型二：判断两个变量是否有相关关系 4．下图中的两个变量，具有相关关系的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相关关系的概念逐项分析判断. 【解析】相关关系是一种非确定性关系. 对于A、C：两个变量具有函数关系，是一种确定性关系，故A、C错误； 对于D：图中的散点分布没有什么规律，故两个变量之间不具有相关关系，故D错误； 对于B：图中的散点分布在从左下角区域到右上角区域，两个变量具有相关关系，故B正确； 故选：B. 5.在下列各图中，两个变量具有相关关系的是（  ）． A．①② B．①③ C．② D．②③ 【答案】D 【分析】根据函数关系和相关关系的概念，结合图象作出判断. 【解析】对于①，所有的点都在曲线上，具有函数关系； 对于②，所有的散点分布在一条直线附近，具有相关关系： 对于③，所有的散点分布在一条曲线附近，具有相关关系； 对于④，所有的散点杂乱无章，不具有相关关系， 故选：D． 6.下列两个变量中能够具有相关关系的是（  ） A．人的身高与受教育的程度 B．人的体重与眼睛的近视程度 C．企业员工的工号与工资 D．儿子的身高与父亲的身高 【答案】D 【分析】根据相关关系的定义判断即可. 【解析】对于A：人的身高与受教育的程度不具有相关关系，故A错误； 对于B：人的体重与眼睛的近视程度不具有相关关系，故B错误； 对于C：企业员工的工号与工资不具有相关关系，故C错误. 对于D：儿子的身高与父亲的身高具有相关关系，故D正确. 故选：D. 7.下列各关系不属于相关关系的是（  ） A．产品的成本与生产数量 B．球的表面积与体积 C．家庭的支出与收入 D．人的年龄与体重 【答案】B 【分析】根据相关关系的定义判断． 【解析】对于A：产品的成本与生产数量是相关关系，故A正确； 对于B：设球的半径为，球的表面积为、体积为， 则，所以，而， 所以球的表面积与体积是一种函数关系，故B错误； 对于C：家庭的支出与收入是相关关系，故C正确； 对于D：人的年龄与体重是相关关系，故D正确. 故选：B. 题型三：判断正、负相关 8．为制定某种产品的生产计划，某工厂统计得到生产线条数与该种产品产量的数据如下表： 生产线条数 1 2 3 4 5 产量 21 39 64 87 104 则下列说法正确的是（  ） A．与负相关 B．与正相关 C．与不相关 D．与成正比例关系 【答案】B 【分析】由正、负相关的概念即可判断. 【解析】由题中数据可知，y随x的增大而增大，且不成比例关系，故y与x正相关． 故选：B. 9.下图是两个分类变量x，y取值绘制成的散点图，则图中变量x，y具有负相关关系的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据散点图的特征得到答案. 【解析】A中的散点杂乱无章，无规律可言，看不出两个变量有什么相关性； B中呈正相关关系，C中两个变量具有负相关关系； D中两个变量具有相关性，但不是正相关，也不是负相关. 故选：C． 10.下列散点图中，两个变量呈负相关的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由正、负相关的概念逐项判断即可. 【解析】从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则这两个变量为负相关． 结合散点图可知，①②满足题意，即两个变量呈负相关的个数为2个． 故选：B. 11.对变量，有观测数据，得散点图；对变量，有观测数据，得散点图2．由这两个散点图可以判断（  ） A．变量与正相关，与正相关 B．变量与正相关，与负相关 C．变量与负相关，与正相关 D．变量与负相关，与负相关 【答案】B 【分析】根据散点图点的变化关系确定正负相关性即可. 【解析】由变量，的散点图，知随增大，也增大，变量与正相关， 由变量，的散点图，知随增大，减小，与负相关. 故选：B. 12.对变量、有观测数据，得散点图1；对变量、有观测数据，得散点图2.分别用、表示变量与、与之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（  ）.    A．变量与呈现正相关，且 B．变量与呈现负相关，且 C．变量与呈现正相关，且 D．变量与呈现负相关，且 【答案】D 【分析】根据散点图点的变化关系确定正负相关性即可. 【解析】对于图1，散点总体斜向上分布，故变量与呈现正相关，故排除B； 对于图2，散点总体斜向上分布，故变量与呈现负相关，故排除C； 图1中散点图分布较为集中，图2中的散点图分布较为分散，故， 故选：D. 13.（多选）下图是两个分类变量x，y取值绘制成的散点图，则图中变量x，y具有线性相关关系的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据散点图的特征逐一验证即可得到答案. 【解析】由题意， 对于A：散点杂乱无章，无规律可言，看不出两个变量有什么相关性；故A错误； 对于B：呈正相关关系，分布在一条直线附近，具有线性相关关系；故B正确； 对于C：两个变量具有负相关关系，分布在一条直线附近，具有线性相关关系；故C正确； 对于D：两个变量具有相关性，但不是正相关，也不是负相关，故D错误. 故选：BC. 题型四：样本相关系数大小对变量相关性的影响 14．对四组数据进行统计，获得以下散点图，将四组数据对应的相关系数进行比较，则（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的散点图，结合相关系数的意义判断即得. 【解析】由图知，对应的与负相关，且对应的相关性更强，即； 对应的与正相关，且对应的相关性更强，即， 所以. 故选：A. 15.下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数分别是，其中最大的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据散点图中点的分布，即可判断答案. 【解析】由散点图可知，并且第一个图中的点更为集中，更贴近某条直线分布， 第三、四个图中的点的分布更为分散， 因此更接近于1，的绝对值更接近于0， 即最大的是， 故选：A. 16.对四组数据进行统计，获得如图散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据散点图和相关系数的概念和性质辨析即可. 【解析】由散点图可知，相关系数所在散点图呈负相关，所在散点图呈正相关， 所以都为正数，都为负数. 所在散点图近似一条直线上，线性相关性比较强，相关系数的绝对值越接近1， 而所在散点图比较分散，线性相关性比较弱，相关系数的绝对值越远离1. 综上可得：. 故选：A. 17.对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相关系数的概念即可判断. 【解析】由图可知图（1）和图（3）是正相关，故相关系数为正，又因为图（1）的点较图（3）的点分布密集，故相关性图（1）更好，相关系数较大，即； 图（2）和图（4）是负相关，故相关系数为负，又因为图（2）的点较图（4）的点分布密集，故相关性图（2）更好，相关系数的绝对值较大，即，故； 综上可知：， 故选：A. 18.对两个变量x，y进行线性相关性检验，得线性相关系数，对两个变量u，v进行线性相关性检验，得线性相关系数，则下列判断正确的是（　　） A．变量x与变量y正相关，变量u与变量v负相关，变量x与变量y的线性相关性更强 B．变量x与变量y负相关，变量u与变量v正相关，变量x与变量y的线性相关性更强 C．变量x与变量y负相关，变量u与变量v正相关，变量u与变量v的线性相关性更强 D．变量x与变量y正相关，变量u与变量v负相关，变量u与变量v的线性相关性更强 【答案】D 【分析】根据相关系数的正负判断正负相关，并根据相关系数绝对值大小得到相关性强弱. 【解析】由线性相关系数知x与y正相关， 由线性相关系数知u与v负相关， 又，所以变量u与变量v的线性相关性比变量x与变量y的线性相关性更强. 故选：D. 19.已知四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为，，则线性相关程度最强的是（　　） A．A组 B．B组 C．C组 D．D组 【答案】B 【分析】根据相关系数的定义和意义进行辨析即可. 【解析】线性相关系数的绝对值越接近于1，相关程度就越强， 因为， 经过比较可知，最大，所以组的线性相关程度最强. 故选：B. 20.调研某工厂的生产投入（生产工时/天）对产量（件/天）和每件产品的平均能源消耗（千瓦时/件）的影响，得到如下数据： （生产工时/天） 10 20 30 40 50 60 （件/天） 50 101 149 202 248 301 （千瓦时/件） 19.8 19.1 15.2 14.5 13.0 9.2 现在对与，与分别进行相关性分析，得到相关系数分别为，，则下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据所给数据及相关系数的概念及性质判断即可. 【解析】由表格数据可知增大也增大，即与呈正相关，所以，故A正确； 因为增大时反而越来越少，所以与呈负相关，所以，故B错误； 因为每增加，增加的量分别为，，，，，增加的量接近且偏差不大， 而每增加，减少的量分别为，，，，，偏差较大， 即与的相关性更强，所以，即，所以，故C正确，D错误. 故选：AC 题型五：相关系数的计算及其应用 21．某景区对2017-2022年景区内农家乐接待人数（单位：万人）进行了统计，得到数据如下表： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 年份编号 1 2 3 4 5 6 接待人数万人 4.5 5.6 6.1 6.4 6.8 7.2 则接待人数与年份的相关系数约为（  ）（参考数据：） A．0.65 B．0.71 C．0.89 D．0.97 【答案】D 【分析】根据相关系数公式计算即可求解. 【解析】由题得， 所以， 故接待人数与年份的相关系数约为0.97． 故选：D. 22.最近7年，我国生活垃圾无害处理量如下表： 年份序号 1 2 3 4 5 6 7 处理量 通过计算得，，，，则样本相关系数（  ） A．0.99 B．0.95 C．0.9 D．0.85 【答案】A 【分析】根据相关系数公式计算即可求解. 【解析】，， ， ． 故选：A. 23.某景区对2017-2022年景区内农家乐接待人数（单位：万人）进行了统计，得到数据如下表： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 年份编号 1 2 3 4 5 6 接待人数万人 4.5 5.6 6.1 6.4 6.8 7.2 则接待人数与年份的相关系数约为（  ）（参考数据：） A．0.65 B．0.71 C．0.89 D．0.97 【答案】D 【分析】根据已知数据分别计算各个量得出的值即可. 【解析】由题得， 所以， 故接待人数与年份的相关系数约为0.97． 故选：D. 24.下列四组成对数据：①，，，，；②，，，，；③，，，，；④，，，，.其中样本相关系数最小的是（   ）（附：样本相关系数） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】观察数据，对于①，样本相关系数为1，对于③，样本相关系数为-1，再对②和④进行观察和计算，最终可得答案. 【解析】对于①，数据均在上，故样本相关系数为1， 对于③，数据均在上，故样本相关系数为-1， 对于②，可看出其数据为正相关，故样本相关系数大于0， 对于④，显然所有数据无法落在某一个一次函数上，故， 事实上， ， 其中，故， 故， 综上，样本相关系数最小的是③. 故选：C 25.研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班50位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量．若的样本相关系数为，的样本相关系数为，则的样本相关系数的最大值为（    ） 附：样本相关系数 A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】设，，，，，，与的夹角为，与的夹角为，再由相关系数可知，则与夹角的余弦值的最大值为，利用余弦差角公式求值即可. 【解析】设，，， ，，， 由样本相关系数公式可知，， 设与的夹角为，与的夹角为，则有， 易知均为锐角且， 与夹角的余弦值的最大值为，此时与样本相关系数最大， ， 故的样本相关系数的最大值为. 故选：B． 26.某景区试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示： 12 12.5 13 13.5 14 14 13 11 9 8 (1)求该纪念品定价的平均值和销量的平均值； (2)计算与的相关系数； (3)由（2）的计算结果，判断能否用线性回归模型拟合与的关系，并说明理由. 参考数据：. 参考公式：相关系数. 【答案】(1)13；11；(2)； (3)可以用线性回归模型拟合与之间的关系，理由见解析 【分析】（1）根据已知数据直接求平均值即可； （2）分别求出和，再代入公式即可求解； （3）根据相关系数的绝对值大于0.75且非常接近1判断即可. 【解析】（1）由题可知，； （2）计算得， 故； （3）由（2）可知，与的相关系数的绝对值近似为0.992，大于0.75且非常接近1， 说明与的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合与之间的关系. 27.深圳欢乐谷试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示： 12 12.5 13 13.5 14 14 13 11 9 8 (1)求该纪念品定价的平均值和销量的平均值. (2)计算与的相关系数；判断能否用线性回归模型拟合与的关系，并说明理由. 参考数据：，. 参考公式：相关系数.若，则与的线性相关性很强. 【答案】(1)， (2)，可以用线性回归模型拟合与之间的关系，理由见解析 【分析】（1）根据已知数据直接求平均值即可； （2）分别求出和，再代入公式即可求解，再根据相关系数的绝对值大于0.75且非常接近1判断即可. 【解析】（1）由题可知，； （2）因为， ， 故； 因为与的相关系数的绝对值近似为，大于且非常接近， 说明与的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合与之间的关系. 题型六：利用散点图研究近似回归直线 28．若两个变量的散点图如图，可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图可知函数的函数值既可以为正，也可为负，结合选项分析即可得到答案. 【解析】由散点图可知，此曲线类似对数函数型曲线，因此可用函数模型进行拟合，而选项A、B、D中函数值只能为负或只能为正，所以不符合散点图. 故选：C. 29.某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表： 身高（单位： 167 173 175 177 178 180 181 体重（单位： 90 54 59 64 67 72 76 由表格制作成如图所示的散点图：    由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，其相关系数为；经过残差分析，点对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为.则下列选项正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的特点判断斜率和截距；由于去掉，其它点的线性关系更强，从而可判断相关系数． 【解析】身高的平均数为， 因为离群点的横坐标167小于平均值176，纵坐标90相对过大， 所以去掉后经验回归直线的截距变小而斜率变大，故 去掉后相关性更强，拟合效果也更好，且还是正相关， ， 故选：A． 30.变量x，y的散点图如图所示，根据散点图，下面四个回归方程类型中最适宜作为y和x的回归方程类型的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据散点图据曲线形状结合一次函数，二次函数，反比例函数及幂函数的性质判断即得． 【解析】由散点图可以看出y随着x的增长速度越来越快，结合一次函数，二次函数，反比例函数及幂函数的性质可知， 最适宜作为y和x的回归方程类型的是：． 故选：B. 31.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售量y（单位：吨）和年利润z（单位：万元）的影响.对近8年的年宣传费和年销售量数据进行初步处理后，得到下面的散点图及一些统计量的值. 有下列5个曲线类型：①；②；③；④；⑤，则较适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程的是（  ） A．①② B．②③ C．②④ D．③⑤ 【答案】B 【分析】先根据散点图确定函数图象的趋势，再结合5个函数图象，进行判断选择. 【解析】从散点图知，样本点分布在抛物线上或对数型曲线上，结合所给5个的曲线类型，所以或较适宜. 故选：B 32.（多选）以下四个散点图中，两个变量的关系适合用线性回归模型刻画的是（  ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据线性回归模型的特点进行求解即可. 【解析】四个选项中只有选项AC中的点分布在一条直线附近，适合线性回归模型， 故选：AC 33.根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量（百千克）与某种液体肥料每亩的使用量（千克）之间的对应数据的散点图如图所示. (1)从散点图可以看出，可用线性回归方程拟合与的关系，请计算样本相关系数并判断它们的相关程度； (2)求关于的线性回归方程，并预测液体肥料每亩的使用量为12千克时西红柿亩产量的增加量. 附：，，. 【答案】(1)答案见解析； (2)，9.9 【分析】（1）由散点图中的数据求得相关数据，代入相关系数计算公式计算，即可判断；. （2）根据相关公式求出，即得回归直线方程，代入数据计算即可预测结果. 【解析】（1）由题知，，， 所以，，， 所以， 所以与成正线性相关，且相关程度很强. （2）因为，， 所以关于的线性回归方程为， 当时，， 所以可预测液体肥料每亩的使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为9.9百千克. 题型七：求回归直线方程 34．为预测某种产品的回收率，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，若已知与之间存在线性相关关系，现取了8组观察值，计算知，，，，则关于的经验回归方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据公式可求得结果. 【解析】由题可得，， 由， ， 所以所求经验回归方程为． 故选：A. 35.已知变量x和y的统计数据如下表： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 若x和y线性相关，则y关于x的线性回归方程为（  ） （附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知数据求，代入回归直线方程即可求解. 【解析】由题意得. ，， 所以， 故线性回归方程为. 故选：D. 36.假设变量与变量的对观测数据为，两个变量满足一元线性回归模型.要利用成对样本数据求参数的最小二乘估计，即求使取最小值时的的值，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简为二次函数形式，根据二次函数性质得到最值. 【解析】因为 ， 上式是关于的二次函数， 因此要使取得最小值，当且仅当的取值为. 故选：A. 37.随机抽取5家超市，得到其广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下： 超市 A B C D E 广告支出x 1 2 4 6 7 销售额y 20 30 40 44 46 （参考公式：，，参考数据：样本相关系数），则下列判断正确的是（  ） A．y与x呈负相关关系 B．经验回归直线经过点 C．经验回归方程为 D．y与x的线性相关程度较强 【答案】D 【分析】利用正负相关的概念即可作出选项A的判断，利用经验回归直线经过样本中心点，可通过计算判断B，利用公式求参数和，即可判断C，利用相关系数接近于1可判断D. 【解析】由样本相关系数可得y与x呈正相关关系，故A错误； 由数据可得: , 故经验回归直线经过点，故B错误； 由， 则，故经验回归方程为，故C错误； 由于样本相关系数较接近于1，则y与x的线性相关程度较强，故D正确； 故选：D. 题型八：样本中心点及其应用 38．某专营店统计了新产品A上市后第天到该专营店购物的人数y（单位：人）． x 1 2 3 4 5 y 15 20 35 80 150 根据表中数据，可知y与x的经验回归方程为，则（  ） A． B．22 C． D．39 【答案】C 【分析】根据经验回归方程过定点，带入求参数. 【解析】根据题意可知，， 把带入，得，解得. 故选：C. 39.已知某一家旗舰店近五年“五一”黄金周期间的成交额如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 5 成交额（万元） 50 60 70 80 100 若关于的线性回归方程为，则根据回归方程预测该店2025年“五一”黄金周的成交额是（  ） A．84万元 B．96万元 C．108万元 D．120万元 【答案】C 【分析】求出，，根据回归直线方程必过样本中心点求出，即可求出回归直线方程，再代入计算可得. 【解析】依题意，， 又线性回归方程为必过点， 所以，解得，所以， 2025年的年份代号为，所以当时，， 所以根据回归方程预测该店2025年“五一”黄金周的成交额是108万元. 故选：C. 40.某饮料店某5天的日销售收入（单位：百元）与当天平均气温（单位：℃）之间的数据如下表： 0 1 2 5 4 2 2 1 若与之间是线性相关关系，且关于的经验回归方程是，则实数的值是（  ） A．3 B．2.8 C．2.6 D．2.4 【答案】B 【分析】根据表格中的数据，求得样本点的中心是，将其代入回归方程，即可求解. 【解析】由统计表格中的数据，可得，， 所以统计数据的样本点的中心为， 因为关于的经验回归方程是， 代入可得，解得． 故选：B． 41.稀土被誉为工业的维生素，具有无法取代的优异磁、光、电性能，对改善产品性能，增加产品品种，提高生产效率起到了巨大的作用.右表是2024年前5个月某国稀土出口均价（单位：万元吨）与月份的统计数据.若与的线性回归方程为，则的值为___________- 1 2 3 4 5 1.7 2.4 2.0 1.6 【答案】1.5 【分析】根据线性回归方程为过样本中心点求解即可． 【解析】由题意可知，， 因为线性回归方程为过样本中心点， 所以， 所以，解得. 故答案为：. 42.近年来，我国电动汽车产业发展迅猛，某品牌汽车市场也异常火爆，销售量逐年上升．现统计某汽车专卖店5月份前5天每天电动汽车的实际销量，结果如下表所示． 日期编号 1 2 3 4 5 销量/部 8 a 12 b 23 与有较强的线性相关关系，且线性回归方程为，则等于______ 【答案】33 【分析】求出、，根据回归直线方程必过样本中心点，代入计算可得. 【解析】依题意，， 又回归直线方程过点，所以， 解得. 故答案为：33. 题型九：残差的计算及其应用 43．已知变量和的成对样本数据的经验回归方程为，且，当增加1个样本数据后，重新得到的经验回归方程的斜率为，则在新的经验回归方程的估计下，样本数据所对应的残差为（  ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】先计算新的数据的平均值，后得到经验回归方程，再结合残差概念计算即可. 【解析】由，可得增加1个样本数据后的平均数为， 因为，所以， 则增加1个样本数据后的平均数为， 所以，解得， 所以新的经验回归方程为， 则当时，， 样本点的残差为. 故选：B. 44.已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为.若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差的绝对值为（  ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】A 【分析】根据已知求原数据的样本中心，再确定增加数据后的样本中心，进而得到修正后的回归直线，估计的对应值，最后由残差的定义求解. 【解析】由题设，则， 增加数据后，，，且回归直线为， 所以，则， 所以，有，故残差的绝对值为. 故选：A. 45.已知变量，线性相关，其一组样本数据满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为，若增加一个数据后，得到新的经验回归方程，则此时数据的残差为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据已知数据求原数据的样本中心，再确定新数据的样本中心，进而得出新的回归直线方程，再结合残差的定义计算即可. 【解析】由题意可知，旧数据，则， 增加数据后，，， 将点代入中得， ，即，则， 当时，，故残差为. 故选：B. 46.（多选）已知在一定范围内，水稻对氮元素的吸收量与它的根长度具有线性相关关系．某盆栽水稻实验中，在确保土壤肥力及灌溉条件相对稳定的情况下，统计了根长度（单位：cm）与氮元素吸收量（单位：mg/天）的相关数据，如下表所示： 9.9 12.1 14.8 18.2 19.9 21.8 25.1 27.7 30.4 32.1 0.30 0.34 0.42 0.50 0.55 0.60 0.71 0.74 0.78 0.86 根据表中数据可得及经验回归方程为，则（  ） A． B．变量和变量的样本相关系数 C．当时，残差为0 D．水稻根长度每增加1cm，一天的氮元素吸收量一定增加mg 【答案】BC 【分析】利用样本中心在回归直线上求参数判断A；根据回归直线一次项系数判断B；计算残差判断C；由回归直线的实际意义判断D. 【解析】由题设，所以，可得，故A错误； 所以，又，即与正相关，则样本相关系数，故B正确； 由时，，残差为，故C正确； 由回归方程说明随变化值的变化趋势，不能说变量每增加一个单位，的值一定增加个单位，故D错误. 故选：BC. 47.已知回归方程，而试验得到一组数据是(2，4.9)，(3，7.1)，(4，9.1)，则残差平方和是 ． 【答案】0.03/ 【分析】由回归方程分别求出残差，从而可得残差的平方和. 【解析】解：当时，，， 当时，， 当时，， 所以， 故答案为:0.03. 48.人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，AI技术加持的电脑（以下简称AI电脑）也在全国各地逐渐热销起来.下表为市统计的2024年11月至2025年3月这5个月该市AI电脑的月销量，其中为月份代号，（单位：万台）为AI电脑的月销量. 月份 2024年11月 2024年12月 2025年1月 2025年2月 2025年3月 月份代号 1 2 3 4 5 月销量 0.5 0.9 1 1.2 1.4 经过分析，与线性相关，且其线性回归方程为，则2025年3月的残差为________（实际值与预计值之差） 【答案】 【分析】求出样本中心点，带入回归方程求出，在求出对应的月销量预测值，结合月销量求出残差 【解析】因为， 所以，所以关于的线性回归方程为， 2025年3月对应的，故此时残差为. 故答案为: 49.对于数据组，如果由线性回归方程得到的对应于自变量的估计值是，那么将称为相应于点的残差．某工厂为研究某种产品产量（吨）与所需某种原材料吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据如下表所示： 3 4 5 6 2.5 3 4 根据表中数据，得出关于的线性回归方程为，据此计算出样本点（4，3）处的残差为－0.15，则表中的值为_______- 【答案】4.5 【分析】先计算新的数据的平均值，后得到经验回归方程，再结合残差概念计算即可. 【解析】由题意可知，在样本（4，3）处的残差－0.15，则，即， 解得，即， 又，且线性方程过样本中心点（，）， 则，则， 解得. 故答案为：4.5 题型十：刻画回归效果的方式 50．在线性回归模型中，能说明模型的拟合效果越好的是（  ） A．残差图带状区域越宽 B．残差和越小 C．决定系数越大 D．相关系数r越大 【答案】C 【分析】根据各个变量的意义作出判断，得到答案. 【解析】A选项，残差图带状区域越宽，说明误差大，模型的拟合效果越差，A错误； B选项，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，B错误； C选项，决定系数越大，模型的拟合效果越好，C正确； D选项，相关系数越大，说明两个变量线性相关性越强，与模型的拟合效果无关，D错误. 故选：C. 51.下列说法中正确的有（  ） ①线性回归方程至少经过一个样本点； ②可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大则两个变量的相关程度越强； ③在回归分析中，决定系数的模型比的模型拟合效果要好； ④残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据线性回归方程和相关系数及残差分析即可判断正误. 【解析】线性回归方程可以不经过任何一个样本点，①错， 值越大则两个变量的相关程度越强，②错， 决定系数越大，模型拟合效果越好，③对， 残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，④对. 故选：B. 52.某水文站为了研究所在河段降雨量（单位：）与水位增长量（单位：）之间的关系，记录了9次相关数据，绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合. 若将图中9个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（  ） A．决定系数变小 B．相关系数的值变小 C．残差平方和变小 D．解释变量与预报变量相关性变弱 【答案】C 【分析】结合题意，由决定系数、相关系数、残差平方和及相关性的概念和性质作出判断. 【解析】从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，故去掉点后，回归效果更好， 对于A：决定系数越接近1，拟合的回归方程越优， 故去掉点后变大，越趋于1，故A错误； 对于B：相关系数越趋于1，拟合的回归方程越优， 由图可得与正相关，故会越接近1，即相关系数的值变大，故B错误； 对于C：残差平方和变小，拟合效果越好，故C正确； 对于D：解释变量与预报变量相关性增强，故D错误. 故选：C. 53.（多选）以下说法正确的是（  ） A．用样本相关系数来刻画成对样本数据的相关程度时，若越大，则成对样本数据的线性相关程度越强 B．经验回归方程一定经过点 C．用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好 D．用决定系数来刻画模型的拟合效果时，若越小，则相应模型的拟合效果越好 【答案】ABC 【分析】根据回归分析的相关性质依次讨论各选项即可得答案. 【解析】对于A，用样本相关系数来刻画成对样本数据的相关程度时，若越大， 则成对样本数据的线性相关程度越强，故A正确； 对于B，经验回归方程一定经过点，故B正确； 对于C，用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小， 则相应模型的拟合效果越好，故C正确； 对于D，用决定系数来刻画模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好，故D错误. 故选：ABC. 54.（多选）某同学研究两个变量与的关系，收集了以下5组数据： 1 2 3 4 5 1 4 1 9 10 根据上表数据，求得相关系数为，经验回归方程为，决定系数为．后经检查发现当时记录的有误，实际值应为，修正数据后，求得新相关系数为，新回归方程为，新决定系数为，则以下结论正确的是（  ） 参考公式：相关系数，经验回归方程为，其中，，． A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，求出数据修正前后的相关量，再比较大小即得. 【解析】数据修正前： ， ，， ， ，， 数据修正后： ， ，， ， ，， 因此，，，而，则，ABD正确，C错误. 故选：ABD 题型十一：线性回归分析 55．已知某一家旗舰店近五年“五一”黄金周期间的成交额如下表：若y关于t的线性回归方程为，则根据回归方程预测该店2025年“五一”黄金周的成交额是（  ） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号t 1 2 3 4 5 成交额y（万元） 50 60 70 80 100 A．84万元 B．96万元 C．108万元 D．120万元 【答案】C 【分析】根据线性回归直线过样本中心点这一性质进行求解即可. 【解析】依题意， 又线性回归方程为必过点， 所以，解得，所以， 2025年的年份代号为6，所以当时，， 所以根据回归方程预测该店2025年“五一”黄金周的成交额是108万元． 故选：C． 56.某公司研发新产品投入金额（单位：万元）与该产品的收益（单位：万元）的5组统计数据如下表所示．由表中数据用最小二乘法求得投入金额与收益满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（   ） 5 7 8 9 11 16 22 24 27 31 A． B．时，残差为 C．与有正相关关系 D．当新产品投入金额为5万元时，该产品的收益大约为万元 【答案】B 【分析】根据线性回归和最小二乘法知识进行求解即可. 【解析】根据表中数据可求得： ，. 因为经验回归方程经过点，得. 解得，所以A正确； 所以经验回归方程为. 当时，， 所以残差为，所以B错误； 因为经验回归方程为，，所以正相关，所以C正确； 令，则，所以D正确. 故选：B. 57.（多选）关于线性回归方程的分析，下列哪些选项是正确的有（  ） A．相关系数与回归系数的符号相同 B．回归直线一定经过样本中心点 C．线性回归方程中的越大，则两组变量的相关性越强 D．若相关系数，则说明与的线性关系足够强，适合用该回归方程进行预测 【答案】ABD 【分析】根据线性回归方程的相关性质，对每个选项逐一进行分析. 【解析】对于选项A，相关系数的计算公式为，回归系数的计算公式为. 在这两个公式中，分子均为，分母均为正数，所以与的符号由决定，二者符号相同.选项A正确. 对于选项B，对于线性回归方程，回归直线一定经过样本中心点.选项B正确. 对于选项C，线性回归方程中的表示回归直线的斜率，它反映的是自变量每变化一个单位时，因变量的平均变化量；而变量的相关性强弱是由相关系数来衡量的，越接近，两组变量的相关性越强.因此，的大小与两组变量的相关性强弱无关，选项C错误. 对于选项D，相关系数的绝对值越接近，表明两个变量的线性相关性越强. 当时，非常接近，说明与的线性关系足够强，此时适合用该回归方程进行预测.选项D正确. 故选：ABD. 58.研究变量x，y得到n组成对数据，，2，…，n，先进行一次线性回归分析，接着增加一组成对数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（  ） A．相关系数不变 B．变量x与y的相关性变强 C．线性回归方程不变 D．回归系数不变 【答案】ACD 【分析】设，，得到，，根据相关系数的计算公式，可得判定A正确，B错误；根据回归系数的计算公式，可得判定C和D正确，即可得到答案. 【解析】设，，则，，所以，. 对于A、B中，由， ，， 则相关系数， 可得相关系数不变，所以变量x与y的相关性不变，故A正确，B错误； 对于C、D中，因为， 且回归直线过点，所以均不变，所以线性回归方程不变，故C和D都正确. 故选：ACD. 59.（多选）下列说法正确的是（  ） A．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1 B．经验回归方程为时，变量x和y负相关 C．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高 D．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据，，，，其经验回归方程必过点，则 【答案】BCD 【解析】对于A，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近于1，故A不正确； 对于B，因为斜率小于，所以变量x和y负相关，故B正确； 对于C，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，故C正确； 对于D，因为经验回归方程必过点，所以，，所以，故D正确. 故选：BCD 题型十二：线性回归直线方程的实际应用 60．根据统计数据和研究报告，2025年中国新能源汽车产销呈现强劲增长态势，渗透率（渗透率=新能源汽车销量÷当月汽车总销量）持续攀升，行业格局加速分化．2025年3月新能源汽车渗透率首次超过，2025年1月至6月，全国新能源汽车的渗透率统计如下： 2025年1月至6月新能源汽车渗透率统计表 月份 1 2 3 4 5 6 渗透率 41.4 49.4 51.1 51.5 53.0 53.3 (1)2025年6月全国汽车销量为208.4万辆，计算该月新能源汽车的销量（精确到0.1）． (2)根据以上数据，建立y关于月份x的经验回归方程，并预测2025年7月新能源汽车的渗透率． (3)实际7月新能源汽车的渗透率为，请： ①结合预测值分析误差原因； ②提出改进模型的建议. （参考数据及公式：，．） 【答案】(1)111.1万辆; (2)，; (3)①答案见解析；②答案见解析 【分析】（1）根据条件，利用新能源汽车销量汽车总销量渗透率，即可求解； （2）先计算出，结合条件，可求出，即可求解； （3）①结合（2）中结果和实际情况，即可作出判断；②根据实际情况，即可提出建议. 【解析】（1）因为新能源汽车销量汽车总销量渗透率，则（万辆）， 所以2025年6月新能源汽车的销量约为111.1万辆． （2）因为， 又，所以， 所以回归方程为， 令，则， 所以7月新能源汽车的渗透率的估计值为． （3）①估计值与实际值的绝对误差为，估计值偏高， 产生误差的原因是：模型局限性；渗透率超过后，增长自然放缓； 线性模型假设“增速永远不变”，但实际增长会先快后慢． ②改进建议：用非线性模型替代线性回归模型（例：，逻辑函数模型等）； 用减速增长模型，体现“先快后慢”规律． 61.新型抗生素是近年来针对耐药菌感染研发的抗菌药物.通过创新机制或结构改良，对抗传统抗生素难以治疗的超级细菌.实验人员用感染肺炎的小白鼠对一种新型抗生素进行实验，并对使用该种抗生素后，小白鼠血液中的肺炎链球菌值（单位：个/）进行检验，并统计得到了下表： 第15题表 第天 1 2 3 4 5 肺炎链球菌值（个/） 66 57 50 41 36 并计算得： (1)计算变量和变量的样本相关系数，并说明两变量线性的相关程度（结果保留两位小数）； (2)若小白鼠血液中的肺炎链球菌值在区间内，则说明肺炎已治愈，用最小二乘法求关于的经验回归方程，并预测该小白鼠至少需要服药多少天才能痊愈. 参考数据及公式：样本数据的相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为： 【答案】(1)，两变量线性的相关程度很强; (2)，8天 【分析】（1）利用样本相关系数公式直接求解，然后根据相关系数的性质判断即可. （2）利用最小二乘法求得回归直线方程，令，解不等式即可得解. 【解析】（1）因为， 所以， 又 所以， 因为非常接近1，所以两变量线性的相关程度很强. （2）由题，， ，， 所以， ， 所以关于的经验回归方程为， 令，解得， 所以该小白鼠至少需要服药8天才能痊愈. 62.已知某产品近5年的市场销售单价（单位：元）如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份编号 1 2 3 4 5 市场销售单价 2.0 2.2 2.4 3.6 4.8 (1)已知和线性相关，用最小二乘法求出关于的经验回归方程； (2)试预测该产品2026年的市场销售单价． 附：经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，. 【答案】(1)；(2)元 【分析】（1）根据表中数据计算出，再结合参考数据利用公式即可计算出，进而得出线性回归方程； （2）将代入即可预测. 【解析】（1）由题意得，. 因为， . 所以，. 故经验回归方程为. （2）由已知2026年对应的年份编号为7，令，则. 故预测该产品2026年的市场销售单价为元. 63.新型抗生素是近年来针对耐药菌感染研发的抗菌药物.通过创新机制或结构改良，对抗传统抗生素难以治疗的超级细菌.实验人员用感染肺炎的小白鼠对一种新型抗生素进行实验，并对使用该种抗生素后，小白鼠血液中的肺炎链球菌值（单位：个/）进行检验，并统计得到了下表： 第15题表 第天 1 2 3 4 5 肺炎链球菌值（个/） 66 57 50 41 36 并计算得： (1)计算变量和变量的样本相关系数，并说明两变量线性的相关程度（结果保留两位小数）； (2)若小白鼠血液中的肺炎链球菌值在区间内，则说明肺炎已治愈，用最小二乘法求关于的经验回归方程，并预测该小白鼠至少需要服药多少天才能痊愈. 参考数据及公式：样本数据的相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为： 【答案】(1)，两变量线性的相关程度很强； (2)，8天 【分析】（1）利用样本相关系数公式直接求解，然后根据相关系数的性质判断即可. （2）利用最小二乘法求得回归直线方程，令，解不等式即可得解. 【解析】（1）因为， 所以， 又 所以， 因为非常接近1，所以两变量线性的相关程度很强. （2）由题，， ，， 所以， ， 所以关于的经验回归方程为， 令，解得， 所以该小白鼠至少需要服药8天才能痊愈. 64.为了促进锂电产业发展，市创新研究院课题组对企业研发经费的投入和企业当年的销售收入的关系进行了研究，他们收集了上一年不同企业销售收入y（单位：10万元）与一定范围内的研发经费x（单位：10万元）的数据，根据收集的13组观测数据，得到如下的散点图，分别利用或建立y关于x的回归方程，令，得到如下数据，且与的相关系数分别为，，且． 10.15 108.40 3.04 0.16 14.00 －2.10 11.67 0.21 21.22 (1)用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适； (2)根据（1）的结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； (3)已知企业的利润z满足，试根据回归方程求出企业利润的最大值． 参考数据和公式：，，，对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，相关系数． 【答案】(1)模型建立与的回归方程更合适; (2); (3)万元 【分析】（1）求出相关系数，比较大小，越接近1回归方程更适合. （2）先换元用公式，求出线性回归方程，再回代求出非线性回归方程即可. （3）用（2）的方程代入利润方程得出利润z关于研发经费x的函数关系式，再用基本不等式可解决. 【解析】（1）由题意知， ， 因为，所以用模型建立与的回归方程更合适. （2）令，回归方程为， 因为， ， 所以关于的回归方程为，即. （3）由题意知 ，当且仅当，即时取等号, 则 ，所以.当且仅当时等号成立， 所以当研发经费投入为60万元时企业生产的利润最大，最大利润为万元. 题型十三：非线性回归问题 65．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度（单位：）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图： 由此散点图，在10℃至35℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据散点图的变化规律，寻求合适的特征函数. 【解析】由图可知，随着温度的增加，发芽率的增长速度越来越慢，符合对数型函数的特征. 故选：D. 66.已知变量y与x的一组数据如表所示，根据数据得到y关于x的经验回归方程为． x 2 3 4 5 y 若，则（  ） A．6.8 B．7.8 C．8.8 D．9.8 【答案】D 【分析】求解样本中心，代入线性回归方程中可得，即可代入求解. 【解析】由题意可得 x 2 3 4 5 2 3 5 6 由表中数据可得，， 故在上，故，故，则 当时，即，则，解得， 故选：D 67.某学校数学兴趣小组在探究姜撞奶随着时间变化的降温及凝固情况的数学建模活动中，将时间分钟与温度（摄氏度）的关系用模型（其中为自然对数的底数）拟合.设，变换后得到一组数据： 2 2.5 3 3.5 4 4.04 4.01 3.98 3.96 3.91 由上表可得线性回归方程，则等于（  ） A．-4 B． C．4.16 D． 【答案】D 【分析】求解样本中心，代入线性回归方程中可得，即可代入求解. 【解析】由表格中数据，得， 则，解得，因此， 由两边取对数，得，又， 所以，即. 故选：D 68.已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数的图像附近，令，则可通过变换得到的线性回归方程为 ． 【答案】 【分析】根据已知由对数的运算求出的表达式即可得． 【解析】由，得，即． 则线性回归方程为． 故答案为： 69.用模型去拟合与的关系，令，得到关于的回归直线方程为，则_________ 【答案】e 【分析】根据题目信息化简关于的回归直线方程，对比给出的方程得的取值. 【解析】，所以． 故答案为：e． 70.一组数据组的散点图趋向于落在中间下凸且递增的某条曲线附近，现用模型拟合数据组，其中，设，变换后的线性回归方程为，则 ， . 【答案】 【分析】两边同时取对数，求得，结合，求得，得到的值，再由，求得，结合，即可求解. 【解析】由，两边同时取对数，可得， 因为变换后的线性回归方程为，可得， 即，所以， 又因为，且， 所以， 因为，可得，所以. 故答案为：；. 71.台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得：，，，，，，.现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好? (2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少? 附：①相关系数，回归直线中公式分别为，； ②参考数据：，，， 【答案】(1)模型②的拟合程度更好； (2)13（百万辆） 【分析】（1）利用公式分别求出模型①和②的相关系数，结合相关系数的意义即可判断哪一个模型拟合程度更好； （2）先利用最小二乘法求出关于的回归方程，再令，即可得解.. 【解析】（1）设模型①和②的相关系数分别为， 由题意可得：， ， 所以，由相关系数的意义可得，模型②的拟合程度更好. （2）因为， 又由，， 得， 所以，即回归方程为， 当时，， 因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）. 72.有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁.高铁可以说是中国的一张行走的名片.截至2020年，中国高铁运营里程已经达到3.9万千米.2013年至2020年中国高铁每年的运营里程统计如下表，它反映了中国高铁的飞速发展. 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 运营里程y/万千米 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5 2.9 3.5 3.9 根据以上数据，回答下面的问题. (1)甲同学用曲线来拟合，并算出相关系数；乙同学用曲线来拟合，并算出转化为线性回归方程所对应的相关系数.请判断哪一个更适合作为y关于x的回归方程类型，并说明理由. (2)根据（1）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程.（系数精确到0.1） (3)请你利用得到的模型，预测2030年中国高铁的运营里程将达到多少万千米. 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数，公式为； 参考数据：，令，. 【答案】(1)乙同学的更适合作为y关于x的回归方程类型，理由见解析； (2)； (3)17.25 【分析】（1）比较已知的相关系数的大小； （2）由已知数据求出，结合回归方程变形为，求出d和，从而可求出回归方程； （3）利用非线性回归方程进行估计. 【解析】（1）因为，所以乙同学的更适合作为y关于x的回归方程类型. （2）， 由得，即. 则， ， 所以. （3）2030年对应的年份代码，代入（2）中的y关于x的回归方程， 得.故预测2030年中国高铁运营里程将达到17.25万千米. 题型十四：线性回归方程与其他章节的融合 73．随着中美关税战的不断升级，某企业大大加强科技研发投入的力度，为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如 30.5 15 15 46.5 表中，. (1)根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）； (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并估计年研发费用为27千万元时年销售量的值； (3)科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布.企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过50%，不予奖励；若超过50%，但不超过53%，每件产品奖励2元；若超过53%，每件产品奖励4元.记为每件产品获得的奖励，求（精确到0.01）. 附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. ②若随机变量，则，. ③. 【答案】(1)更适合; (2)，8.1千万件; (3) 【分析】（1）根据散点图可判断，更适合； （2）对两边取对数可得，再结合表中数据，即可求解； （3）由正态分布的概率公式代入计算，再由期望的计算公式即可得到结果. 【解析】（1）根据散点图可判断，更适合作为关于的回归方程模型. （2）由得：，即， 由表中数据得：， 所以， 所以，所以， 所以关于的回归方程为. 当时，，即年研发费用为27千万元时年销售量为8.1千万件. （3）因为，， 所以 ， 所以， 所以（元）. 74.2025年渝超联赛正如火如荼地进行，联赛分两个阶段，第一阶段为各赛区比赛，第二阶段为总决赛.联赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.九龙坡区队属于中心城区赛区，该赛区共有11支球队进行单循环比赛(每支参赛队伍均与其他所有队伍恰好比赛一次).已知九龙坡区队在与赛区中任何一个对手比赛时，获胜的概率均为，平局的概率均为，失利的概率均为，且各场比赛结果相互独立. (1)九龙坡区队教练组为研究观众人数对球队成绩的影响，用模拟了该球队在5种不同观众人数(单位：千人)下的比赛表现(每场均模拟完整的小组赛).模拟数据如下： 场均观众人数 (千人) 8 12 6 15 9 小组赛积分 10 16 8 18 13 请计算场均观众人数 (千人)与小组赛积分的样本相关系数 (精确到0.01)，并说明两者之间的线性相关程度； (2)九龙坡区队在9月13日的揭幕赛中以失利于渝中区队，积0分.根据赛事规则推算，在中心城区赛区，球队至少需要获得23分才有晋级总决赛的可能.求九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得23分的概率. 附：相关系数， 【答案】(1)，具有很强的正线性相关关系； (2). 【分析】（1）借助相关系数的计算公式计算即可得； （2）分析所有可能情况并计算对应概率即可得. 【解析】（1），， 则， ，， 则， 因为，且接近于， 故说明场均观众人数与小组赛积分之间具有很强的正线性相关关系； （2）九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得23分， 则设剩余场比赛中九龙坡区队比赛情况有以下几种： 一：场比赛全胜，概率为：； 二：胜场，平或负场，概率为：； 三：胜场，平场，概率为：； 故九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得23分的概率为： . 75.经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度（单位：）和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量表. 360 54.5 1360 44 384 3 588 32 6430 表中，，. (1)根据散点图判断，，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程； (2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有5个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 【答案】(1)适宜作为与之间的回归方程模型，;(2)答案见解析，. 【分析】（1）根据散点图确定模型，代入数据计算即可； （2）确定随机变量取值，结合全概率公式计算概率，进而可求解； 【解析】（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，所以适宜作为与之间的回归方程模型. 令，则， ， ， 所以， 所以关于的回归方程为. （2）由题意设随机挑选一批，取出两个鱼卵，其中“死卵”个数为，则的可能取值为，，， 设“所取两鱼卵来自第批”， 所以， 设“所取两个鱼卵有个‘死卵’”， 由全概率公式得 ， ， ， 所以取出“死卵”个数的分布列为 0 1 2 所以， 所以取出“死卵”个数的数学期望为. 76.近年来某用户保持连续增长，李明收集了年的年份代码与该在线用户数y（单位：万）的数据，具体如下表所示： 年份代码x 1 2 3 4 5 在线用户数y（单位：万） 80 150 210 260 300 (1)求样本相关系数r（精确到小数点后第二位，采用四舍五入法），并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱； (2)从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据，记最小的数据为，求的分布列及数学期望． 注：样本相关系数．当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．其中，． 【答案】(1)，变量与之间有很强的线性正相关关系； (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用所给相关系数公式计算即可得； （2）得到的所有可能取值并计算对应概率后，结合分布列定义与期望定义计算即可得. 【解析】（1），， 则， 由， 同理， 则， 则， 由接近且为正，故变量与之间有很强的线性正相关关系； （2）的可能取值为、、， ， ， ， 故的分布列为： 则. 77.“爱国、敬业、诚信、友善”是社会主义核心价值观个人层面的价值准则.某学校为加强对学生的教育，倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量 （单位：箱） 7 6 6 5 6 收益 （单位：元） 165 142 148 125 150 (1)求收益y关于售出水量x的回归直线方程，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ (2)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级从第201名到500名的同学，获二等奖学金300元；考入年级501名及以后的特困生不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.如果已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望 附： 【答案】(1)，186； (2)分布列见解析，600 【分析】（1）求出、，从而求出回归方程，将代入求出即可； （2）计算对应的概率的值，求出其分布列和期望值即可． 【解析】（1）， ， ， 当时，（元）， 即某天售出8箱水的预计收益是186元. （2）X的取值可能为0，300，500，600，800，1000， ，， ，， ，， 即X的分布列为 X 0 300 500 600 800 1000 P X的数学期望（元） 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元线性回归模型14种常考题型 题型一：相关关系与函数关系的辨析 题型二：判断两个变量是否有相关关系 题型三：判断正、负相关 题型四：样本相关系数大小对变量相关性的影响 题型五：相关系数的计算及其应用 题型六：利用散点图研究近似回归直线 题型七：求回归直线方程 题型八：样本中心点及其应用 题型九：残差的计算及其应用 题型十：刻画回归效果的方式 题型十一：线性回归分析 题型十二：线性回归直线方程的实际应用 题型十三：非线性回归问题 题型十四：线性回归方程与其他章节的融合 题型一：相关关系与函数关系的辨析 1．下列说法正确的是（  ） A．中的x，y是具有相关关系的两个变量 B．正四面体的体积与棱长具有相关关系 C．电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系 D．传染病医院感染传染病的医务人员数与医院收治的传染病人数是具有相关关系的两个变量 2.下面变量之间是相关关系的是（  ） A．出租车费与行驶的里程 B．正方形面积与边长 C．人的身高与体重 D．铁的体积与质量 3.下列说法正确的是（  ） A．圆的面积与半径之间的关系是相关关系 B．粮食产量与施肥量之间的关系是函数关系 C．一定范围内，学生的成绩与学习时间成正相关关系 D．人的体重与视力成负相关关系 题型二：判断两个变量是否有相关关系 4．下图中的两个变量，具有相关关系的是（  ） A． B． C． D． 5.在下列各图中，两个变量具有相关关系的是（  ）． A．①② B．①③ C．② D．②③ 6.下列两个变量中能够具有相关关系的是（  ） A．人的身高与受教育的程度 B．人的体重与眼睛的近视程度 C．企业员工的工号与工资 D．儿子的身高与父亲的身高 7.下列各关系不属于相关关系的是（  ） A．产品的成本与生产数量 B．球的表面积与体积 C．家庭的支出与收入 D．人的年龄与体重 题型三：判断正、负相关 8．为制定某种产品的生产计划，某工厂统计得到生产线条数与该种产品产量的数据如下表： 生产线条数 1 2 3 4 5 产量 21 39 64 87 104 则下列说法正确的是（  ） A．与负相关 B．与正相关 C．与不相关 D．与成正比例关系 9.下图是两个分类变量x，y取值绘制成的散点图，则图中变量x，y具有负相关关系的是（  ） A． B． C． D． 10.下列散点图中，两个变量呈负相关的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 11.对变量，有观测数据，得散点图；对变量，有观测数据，得散点图2．由这两个散点图可以判断（  ） A．变量与正相关，与正相关 B．变量与正相关，与负相关 C．变量与负相关，与正相关 D．变量与负相关，与负相关 12.对变量、有观测数据，得散点图1；对变量、有观测数据，得散点图2.分别用、表示变量与、与之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（  ）.    A．变量与呈现正相关，且 B．变量与呈现负相关，且 C．变量与呈现正相关，且 D．变量与呈现负相关，且 13.（多选）下图是两个分类变量x，y取值绘制成的散点图，则图中变量x，y具有线性相关关系的是（  ） A． B． C． D． 题型四：样本相关系数大小对变量相关性的影响 14．对四组数据进行统计，获得以下散点图，将四组数据对应的相关系数进行比较，则（  ）    A． B． C． D． 15.下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数分别是，其中最大的是（  ） A． B． C． D． 16.对四组数据进行统计，获得如图散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（  ） A． B． C． D． 17.对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（  ） A． B． C． D． 18.对两个变量x，y进行线性相关性检验，得线性相关系数，对两个变量u，v进行线性相关性检验，得线性相关系数，则下列判断正确的是（　　） A．变量x与变量y正相关，变量u与变量v负相关，变量x与变量y的线性相关性更强 B．变量x与变量y负相关，变量u与变量v正相关，变量x与变量y的线性相关性更强 C．变量x与变量y负相关，变量u与变量v正相关，变量u与变量v的线性相关性更强 D．变量x与变量y正相关，变量u与变量v负相关，变量u与变量v的线性相关性更强 19.已知四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为，，则线性相关程度最强的是（　　） A．A组 B．B组 C．C组 D．D组 20.调研某工厂的生产投入（生产工时/天）对产量（件/天）和每件产品的平均能源消耗（千瓦时/件）的影响，得到如下数据： （生产工时/天） 10 20 30 40 50 60 （件/天） 50 101 149 202 248 301 （千瓦时/件） 19.8 19.1 15.2 14.5 13.0 9.2 现在对与，与分别进行相关性分析，得到相关系数分别为，，则下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 题型五：相关系数的计算及其应用 21．某景区对2017-2022年景区内农家乐接待人数（单位：万人）进行了统计，得到数据如下表： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 年份编号 1 2 3 4 5 6 接待人数万人 4.5 5.6 6.1 6.4 6.8 7.2 则接待人数与年份的相关系数约为（  ）（参考数据：） A．0.65 B．0.71 C．0.89 D．0.97 22.最近7年，我国生活垃圾无害处理量如下表： 年份序号 1 2 3 4 5 6 7 处理量 通过计算得，，，，则样本相关系数（  ） A．0.99 B．0.95 C．0.9 D．0.85 23.某景区对2017-2022年景区内农家乐接待人数（单位：万人）进行了统计，得到数据如下表： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 年份编号 1 2 3 4 5 6 接待人数万人 4.5 5.6 6.1 6.4 6.8 7.2 则接待人数与年份的相关系数约为（  ）（参考数据：） A．0.65 B．0.71 C．0.89 D．0.97 24.下列四组成对数据：①，，，，；②，，，，；③，，，，；④，，，，.其中样本相关系数最小的是（   ）（附：样本相关系数） A．① B．② C．③ D．④ 25.研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班50位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量．若的样本相关系数为，的样本相关系数为，则的样本相关系数的最大值为（    ） 附：样本相关系数 A． B． C． D．1 26.某景区试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示： 12 12.5 13 13.5 14 14 13 11 9 8 (1)求该纪念品定价的平均值和销量的平均值； (2)计算与的相关系数； (3)由（2）的计算结果，判断能否用线性回归模型拟合与的关系，并说明理由. 参考数据：. 参考公式：相关系数. 27.深圳欢乐谷试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示： 12 12.5 13 13.5 14 14 13 11 9 8 (1)求该纪念品定价的平均值和销量的平均值. (2)计算与的相关系数；判断能否用线性回归模型拟合与的关系，并说明理由. 参考数据：，. 参考公式：相关系数.若，则与的线性相关性很强. 题型六：利用散点图研究近似回归直线 28．若两个变量的散点图如图，可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是（  ）    A． B． C． D． 29.某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表： 身高（单位： 167 173 175 177 178 180 181 体重（单位： 90 54 59 64 67 72 76 由表格制作成如图所示的散点图：    由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，其相关系数为；经过残差分析，点对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为.则下列选项正确的是（  ） A． B． C． D． 30.变量x，y的散点图如图所示，根据散点图，下面四个回归方程类型中最适宜作为y和x的回归方程类型的是（  ） A． B． C． D． 31.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售量y（单位：吨）和年利润z（单位：万元）的影响.对近8年的年宣传费和年销售量数据进行初步处理后，得到下面的散点图及一些统计量的值. 有下列5个曲线类型：①；②；③；④；⑤，则较适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程的是（  ） A．①② B．②③ C．②④ D．③⑤ 32.（多选）以下四个散点图中，两个变量的关系适合用线性回归模型刻画的是（  ） A． B． C． D． 33.根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量（百千克）与某种液体肥料每亩的使用量（千克）之间的对应数据的散点图如图所示. (1)从散点图可以看出，可用线性回归方程拟合与的关系，请计算样本相关系数并判断它们的相关程度； (2)求关于的线性回归方程，并预测液体肥料每亩的使用量为12千克时西红柿亩产量的增加量. 附：，，. 题型七：求回归直线方程 34．为预测某种产品的回收率，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，若已知与之间存在线性相关关系，现取了8组观察值，计算知，，，，则关于的经验回归方程是（  ） A． B． C． D． 35.已知变量x和y的统计数据如下表： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 若x和y线性相关，则y关于x的线性回归方程为（  ） （附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 A． B． C． D． 36.假设变量与变量的对观测数据为，两个变量满足一元线性回归模型.要利用成对样本数据求参数的最小二乘估计，即求使取最小值时的的值，则（  ） A． B． C． D． 37.随机抽取5家超市，得到其广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下： 超市 A B C D E 广告支出x 1 2 4 6 7 销售额y 20 30 40 44 46 （参考公式：，，参考数据：样本相关系数），则下列判断正确的是（  ） A．y与x呈负相关关系 B．经验回归直线经过点 C．经验回归方程为 D．y与x的线性相关程度较强 题型八：样本中心点及其应用 38．某专营店统计了新产品A上市后第天到该专营店购物的人数y（单位：人）． x 1 2 3 4 5 y 15 20 35 80 150 根据表中数据，可知y与x的经验回归方程为，则（  ） A． B．22 C． D．39 39.已知某一家旗舰店近五年“五一”黄金周期间的成交额如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 5 成交额（万元） 50 60 70 80 100 若关于的线性回归方程为，则根据回归方程预测该店2025年“五一”黄金周的成交额是（  ） A．84万元 B．96万元 C．108万元 D．120万元 40.某饮料店某5天的日销售收入（单位：百元）与当天平均气温（单位：℃）之间的数据如下表： 0 1 2 5 4 2 2 1 若与之间是线性相关关系，且关于的经验回归方程是，则实数的值是（  ） A．3 B．2.8 C．2.6 D．2.4 41.稀土被誉为工业的维生素，具有无法取代的优异磁、光、电性能，对改善产品性能，增加产品品种，提高生产效率起到了巨大的作用.右表是2024年前5个月某国稀土出口均价（单位：万元吨）与月份的统计数据.若与的线性回归方程为，则的值为___________- 1 2 3 4 5 1.7 2.4 2.0 1.6 42.近年来，我国电动汽车产业发展迅猛，某品牌汽车市场也异常火爆，销售量逐年上升．现统计某汽车专卖店5月份前5天每天电动汽车的实际销量，结果如下表所示． 日期编号 1 2 3 4 5 销量/部 8 a 12 b 23 与有较强的线性相关关系，且线性回归方程为，则等于______ 题型九：残差的计算及其应用 43．已知变量和的成对样本数据的经验回归方程为，且，当增加1个样本数据后，重新得到的经验回归方程的斜率为，则在新的经验回归方程的估计下，样本数据所对应的残差为（  ） A． B． C．1 D．2 44.已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为.若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差的绝对值为（  ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 45.已知变量，线性相关，其一组样本数据满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为，若增加一个数据后，得到新的经验回归方程，则此时数据的残差为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 46.（多选）已知在一定范围内，水稻对氮元素的吸收量与它的根长度具有线性相关关系．某盆栽水稻实验中，在确保土壤肥力及灌溉条件相对稳定的情况下，统计了根长度（单位：cm）与氮元素吸收量（单位：mg/天）的相关数据，如下表所示： 9.9 12.1 14.8 18.2 19.9 21.8 25.1 27.7 30.4 32.1 0.30 0.34 0.42 0.50 0.55 0.60 0.71 0.74 0.78 0.86 根据表中数据可得及经验回归方程为，则（  ） A． B．变量和变量的样本相关系数 C．当时，残差为0 D．水稻根长度每增加1cm，一天的氮元素吸收量一定增加mg 47.已知回归方程，而试验得到一组数据是(2，4.9)，(3，7.1)，(4，9.1)，则残差平方和是 ． 48.人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，AI技术加持的电脑（以下简称AI电脑）也在全国各地逐渐热销起来.下表为市统计的2024年11月至2025年3月这5个月该市AI电脑的月销量，其中为月份代号，（单位：万台）为AI电脑的月销量. 月份 2024年11月 2024年12月 2025年1月 2025年2月 2025年3月 月份代号 1 2 3 4 5 月销量 0.5 0.9 1 1.2 1.4 经过分析，与线性相关，且其线性回归方程为，则2025年3月的残差为________（实际值与预计值之差） 49.对于数据组，如果由线性回归方程得到的对应于自变量的估计值是，那么将称为相应于点的残差．某工厂为研究某种产品产量（吨）与所需某种原材料吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据如下表所示： 3 4 5 6 2.5 3 4 根据表中数据，得出关于的线性回归方程为，据此计算出样本点（4，3）处的残差为－0.15，则表中的值为_______- 题型十：刻画回归效果的方式 50．在线性回归模型中，能说明模型的拟合效果越好的是（  ） A．残差图带状区域越宽 B．残差和越小 C．决定系数越大 D．相关系数r越大 51.下列说法中正确的有（  ） ①线性回归方程至少经过一个样本点； ②可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大则两个变量的相关程度越强； ③在回归分析中，决定系数的模型比的模型拟合效果要好； ④残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 52.某水文站为了研究所在河段降雨量（单位：）与水位增长量（单位：）之间的关系，记录了9次相关数据，绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合. 若将图中9个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（  ） A．决定系数变小 B．相关系数的值变小 C．残差平方和变小 D．解释变量与预报变量相关性变弱 53.（多选）以下说法正确的是（  ） A．用样本相关系数来刻画成对样本数据的相关程度时，若越大，则成对样本数据的线性相关程度越强 B．经验回归方程一定经过点 C．用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好 D．用决定系数来刻画模型的拟合效果时，若越小，则相应模型的拟合效果越好 54.（多选）某同学研究两个变量与的关系，收集了以下5组数据： 1 2 3 4 5 1 4 1 9 10 根据上表数据，求得相关系数为，经验回归方程为，决定系数为．后经检查发现当时记录的有误，实际值应为，修正数据后，求得新相关系数为，新回归方程为，新决定系数为，则以下结论正确的是（  ） 参考公式：相关系数，经验回归方程为，其中，，． A． B． C． D． 题型十一：线性回归分析 55．已知某一家旗舰店近五年“五一”黄金周期间的成交额如下表：若y关于t的线性回归方程为，则根据回归方程预测该店2025年“五一”黄金周的成交额是（  ） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号t 1 2 3 4 5 成交额y（万元） 50 60 70 80 100 A．84万元 B．96万元 C．108万元 D．120万元 56.某公司研发新产品投入金额（单位：万元）与该产品的收益（单位：万元）的5组统计数据如下表所示．由表中数据用最小二乘法求得投入金额与收益满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（   ） 5 7 8 9 11 16 22 24 27 31 A． B．时，残差为 C．与有正相关关系 D．当新产品投入金额为5万元时，该产品的收益大约为万元 57.（多选）关于线性回归方程的分析，下列哪些选项是正确的有（  ） A．相关系数与回归系数的符号相同 B．回归直线一定经过样本中心点 C．线性回归方程中的越大，则两组变量的相关性越强 D．若相关系数，则说明与的线性关系足够强，适合用该回归方程进行预测 58.研究变量x，y得到n组成对数据，，2，…，n，先进行一次线性回归分析，接着增加一组成对数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（  ） A．相关系数不变 B．变量x与y的相关性变强 C．线性回归方程不变 D．回归系数不变 59.（多选）下列说法正确的是（  ） A．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1 B．经验回归方程为时，变量x和y负相关 C．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高 D．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据，，，，其经验回归方程必过点，则 题型十二：线性回归直线方程的实际应用 60．根据统计数据和研究报告，2025年中国新能源汽车产销呈现强劲增长态势，渗透率（渗透率=新能源汽车销量÷当月汽车总销量）持续攀升，行业格局加速分化．2025年3月新能源汽车渗透率首次超过，2025年1月至6月，全国新能源汽车的渗透率统计如下： 2025年1月至6月新能源汽车渗透率统计表 月份 1 2 3 4 5 6 渗透率 41.4 49.4 51.1 51.5 53.0 53.3 (1)2025年6月全国汽车销量为208.4万辆，计算该月新能源汽车的销量（精确到0.1）． (2)根据以上数据，建立y关于月份x的经验回归方程，并预测2025年7月新能源汽车的渗透率． (3)实际7月新能源汽车的渗透率为，请： ①结合预测值分析误差原因； ②提出改进模型的建议. （参考数据及公式：，．） 61.新型抗生素是近年来针对耐药菌感染研发的抗菌药物.通过创新机制或结构改良，对抗传统抗生素难以治疗的超级细菌.实验人员用感染肺炎的小白鼠对一种新型抗生素进行实验，并对使用该种抗生素后，小白鼠血液中的肺炎链球菌值（单位：个/）进行检验，并统计得到了下表： 第15题表 第天 1 2 3 4 5 肺炎链球菌值（个/） 66 57 50 41 36 并计算得： (1)计算变量和变量的样本相关系数，并说明两变量线性的相关程度（结果保留两位小数）； (2)若小白鼠血液中的肺炎链球菌值在区间内，则说明肺炎已治愈，用最小二乘法求关于的经验回归方程，并预测该小白鼠至少需要服药多少天才能痊愈. 参考数据及公式：样本数据的相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为： 62.已知某产品近5年的市场销售单价（单位：元）如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份编号 1 2 3 4 5 市场销售单价 2.0 2.2 2.4 3.6 4.8 (1)已知和线性相关，用最小二乘法求出关于的经验回归方程； (2)试预测该产品2026年的市场销售单价． 附：经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，. 63.新型抗生素是近年来针对耐药菌感染研发的抗菌药物.通过创新机制或结构改良，对抗传统抗生素难以治疗的超级细菌.实验人员用感染肺炎的小白鼠对一种新型抗生素进行实验，并对使用该种抗生素后，小白鼠血液中的肺炎链球菌值（单位：个/）进行检验，并统计得到了下表： 第15题表 第天 1 2 3 4 5 肺炎链球菌值（个/） 66 57 50 41 36 并计算得： (1)计算变量和变量的样本相关系数，并说明两变量线性的相关程度（结果保留两位小数）； (2)若小白鼠血液中的肺炎链球菌值在区间内，则说明肺炎已治愈，用最小二乘法求关于的经验回归方程，并预测该小白鼠至少需要服药多少天才能痊愈. 参考数据及公式：样本数据的相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为： 64.为了促进锂电产业发展，市创新研究院课题组对企业研发经费的投入和企业当年的销售收入的关系进行了研究，他们收集了上一年不同企业销售收入y（单位：10万元）与一定范围内的研发经费x（单位：10万元）的数据，根据收集的13组观测数据，得到如下的散点图，分别利用或建立y关于x的回归方程，令，得到如下数据，且与的相关系数分别为，，且． 10.15 108.40 3.04 0.16 14.00 －2.10 11.67 0.21 21.22 (1)用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适； (2)根据（1）的结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； (3)已知企业的利润z满足，试根据回归方程求出企业利润的最大值． 参考数据和公式：，，，对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，相关系数． 题型十三：非线性回归问题 65．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度（单位：）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图： 由此散点图，在10℃至35℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（  ） A． B． C． D． 66.已知变量y与x的一组数据如表所示，根据数据得到y关于x的经验回归方程为． x 2 3 4 5 y 若，则（  ） A．6.8 B．7.8 C．8.8 D．9.8 67.某学校数学兴趣小组在探究姜撞奶随着时间变化的降温及凝固情况的数学建模活动中，将时间分钟与温度（摄氏度）的关系用模型（其中为自然对数的底数）拟合.设，变换后得到一组数据： 2 2.5 3 3.5 4 4.04 4.01 3.98 3.96 3.91 由上表可得线性回归方程，则等于（  ） A．-4 B． C．4.16 D． 68.已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数的图像附近，令，则可通过变换得到的线性回归方程为 ． 69.用模型去拟合与的关系，令，得到关于的回归直线方程为，则_________ 70.一组数据组的散点图趋向于落在中间下凸且递增的某条曲线附近，现用模型拟合数据组，其中，设，变换后的线性回归方程为，则 ， . 71.台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得：，，，，，，.现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好? (2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少? 附：①相关系数，回归直线中公式分别为，； ②参考数据：，，， 72.有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁.高铁可以说是中国的一张行走的名片.截至2020年，中国高铁运营里程已经达到3.9万千米.2013年至2020年中国高铁每年的运营里程统计如下表，它反映了中国高铁的飞速发展. 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 运营里程y/万千米 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5 2.9 3.5 3.9 根据以上数据，回答下面的问题. (1)甲同学用曲线来拟合，并算出相关系数；乙同学用曲线来拟合，并算出转化为线性回归方程所对应的相关系数.请判断哪一个更适合作为y关于x的回归方程类型，并说明理由. (2)根据（1）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程.（系数精确到0.1） (3)请你利用得到的模型，预测2030年中国高铁的运营里程将达到多少万千米. 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数，公式为； 参考数据：，令，. 题型十四：线性回归方程与其他章节的融合 73．随着中美关税战的不断升级，某企业大大加强科技研发投入的力度，为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如 30.5 15 15 46.5 表中，. (1)根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）； (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并估计年研发费用为27千万元时年销售量的值； (3)科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布.企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过50%，不予奖励；若超过50%，但不超过53%，每件产品奖励2元；若超过53%，每件产品奖励4元.记为每件产品获得的奖励，求（精确到0.01）. 附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. ②若随机变量，则，. ③. 74.2025年渝超联赛正如火如荼地进行，联赛分两个阶段，第一阶段为各赛区比赛，第二阶段为总决赛.联赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.九龙坡区队属于中心城区赛区，该赛区共有11支球队进行单循环比赛(每支参赛队伍均与其他所有队伍恰好比赛一次).已知九龙坡区队在与赛区中任何一个对手比赛时，获胜的概率均为，平局的概率均为，失利的概率均为，且各场比赛结果相互独立. (1)九龙坡区队教练组为研究观众人数对球队成绩的影响，用模拟了该球队在5种不同观众人数(单位：千人)下的比赛表现(每场均模拟完整的小组赛).模拟数据如下： 场均观众人数 (千人) 8 12 6 15 9 小组赛积分 10 16 8 18 13 请计算场均观众人数 (千人)与小组赛积分的样本相关系数 (精确到0.01)，并说明两者之间的线性相关程度； (2)九龙坡区队在9月13日的揭幕赛中以失利于渝中区队，积0分.根据赛事规则推算，在中心城区赛区，球队至少需要获得23分才有晋级总决赛的可能.求九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得23分的概率. 附：相关系数， 75.经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度（单位：）和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量表. 360 54.5 1360 44 384 3 588 32 6430 表中，，. (1)根据散点图判断，，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程； (2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有5个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 76.近年来某用户保持连续增长，李明收集了年的年份代码与该在线用户数y（单位：万）的数据，具体如下表所示： 年份代码x 1 2 3 4 5 在线用户数y（单位：万） 80 150 210 260 300 (1)求样本相关系数r（精确到小数点后第二位，采用四舍五入法），并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱； (2)从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据，记最小的数据为，求的分布列及数学期望． 注：样本相关系数．当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．其中，． 77.“爱国、敬业、诚信、友善”是社会主义核心价值观个人层面的价值准则.某学校为加强对学生的教育，倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量 （单位：箱） 7 6 6 5 6 收益 （单位：元） 165 142 148 125 150 (1)求收益y关于售出水量x的回归直线方程，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ (2)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级从第201名到500名的同学，获二等奖学金300元；考入年级501名及以后的特困生不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.如果已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望 附： 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $