第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系 课件——2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“空间点、直线、平面之间的位置关系”专题，依据课程标准梳理了基本事实与推论、线线/线面/面面位置关系、异面直线所成角等核心考点，通过分析高考评价体系明确各考点权重，归纳选择、证明、计算等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧指导，如结合2021年全国乙卷真题，通过平移法、补体法突破异面直线所成角计算，培养学生逻辑推理（数学思维）与空间观念（数学眼光）。总结共面共线共点证明方法，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

数 学 构建知识体系 形成关键能力 提高学科素养 精准高效备考 高考能力梯级集训 第2节　空间点、直线、平面之间的位置关系 返回目录 目录 1 2 3 基础满分练 课前 自检自测·夯基固本 能力高分练 课中 关键能力·可视思维 素养提升练 课中 高考定向·捕捉热点 第2节　空间点、直线、平面之间的位置关系 基础 满分练 课前 自检自测·夯基固本 四个高考关键点 关键点1 基本事实与推论 1.(人教A版必修第二册教材习题)下列说法正确的是(　　) [命题点❶❷] A.三点确定一个平面 B.一条直线和一个点确定一个平面 C.梯形可确定一个平面 D.圆心和圆上两点确定一个平面 C 返回目录 解析:对于A,三个不在同一条直线上的点确定一个平面,故A错误.对于B,直线和直线外一点,确定一个平面,故B错误.对于C,两条平行直线确定一个平面,梯形有一组对边平行,另一组对边不平行,故梯形可确定一个平面,故C正确.对于D,因为圆的一条直径不能确定一个平面,所以若圆心和圆上的两点在同一条直径上,则无法确定一个平面,故D错误. 返回目录 2.(人教A版必修第二册教材习题)下列说法正确的是(　　)[命题点❶] A.两个平面如果有公共点,那么一定相交 B.两个平面的公共点一定共线 C.两个平面有三个公共点一定重合 D.过空间任意三点,至少有一个平面 D 解析:如果两个平面重合,则排除A,B两选项;两个平面相交,则有一条交线,交线上任取三个点都是两个平面的公共点,故排除C选项;而D选项中的三点不论共线还是不共线,都至少能找到一个平面过这三个点. 返回目录 关键点2 线线位置关系 3.(人教A版必修第二册教材习题)设直线a,b分别是长方体相邻两个面的对角线所在的直线,则a与b(　　)[命题点❸] A.平行 B.相交 C.是异面直线 D.可能相交,也可能是异面直线 D 返回目录 解析:如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,当A'B所在的直线为a,BC'所在的直线为b时,a与b相交;当A'B所在的直线为a,B'C所在的直线为b时,a与b异面. 返回目录 4.(人教A版必修第二册教材习题)已知平面α∥平面β,直线a∥平面α,直线b∥平面β,则a与b的位置关系可能是(　　)[命题点❸] A.平行或相交　　　　　　B.相交或异面 C.平行或异面 D.平行、相交或异面 D 解析:当a与b共面,即a与b平行或相交时,如图所示,显然满足题目条件.在a与b相交的条件下,分别把a,b平行移动到平面β,平面α上,此时a与b异面,亦满足题目条件. 返回目录 关键点3 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 5.(人教A版必修第二册教材习题)下列说法正确的是(　　)[命题点❹] A.若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α B.若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都平行 C.如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行 D.若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点 D 返回目录 解析:对于A,当直线l与平面α相交时,直线l上也有无数个点不在平面α内,故A错误.对于B,l与平面α内的任意一条直线异面或平行,故B错误.对于C,另一条直线也可能在这个平面内,故C错误.对于D,因为l∥α,所以l与α没有公共点,所以l与α内任意一条直线都没有公共点,故D正确. 返回目录 6.(苏教版必修第二册教材习题改编)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则 (1)当AC,BD满足条件　　　　　时,四边形EFGH为菱形;  (2)当AC,BD满足条件　　 　 　　时,四边形EFGH为正方形. [命题点❹] AC=BD AC=BD且AC⊥BD 返回目录 关键点4 异面直线所成角 7.如图,已知长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=2,AD=2,AA'=2,则BC和A'C'所成角的大小是　　　　　　　,AA'和BC'所成角的大小是　　　　　. [命题点❺] 45° 60° 返回目录 解析:连接A'C'(图略). 因为BC∥B'C',所以异面直线BC和A'C'所成的角即为直线B'C'和A'C'所成的角,为∠A'C'B'. 在Rt△A'B'C'中,A'B'=AB=2,B'C'=AD=2, 所以tan∠A'C'B'=1,所以∠A'C'B'=45°, 即异面直线BC和A'C'所成的角为45°. 连接BC'(图略),因为AA'∥BB',所以异面直线AA'和BC'所成的角即为直线BB'和BC'所成的角,为∠B'BC'. 在Rt△BB'C'中,B'C'=AD=2,BB'=AA'=2,所以tan∠B'BC'=,所以∠B'BC'=60°,即异面直线AA'和BC'所成的角为60°. 返回目录 回归教材•考教衔接 1.与平面有关的三个基本事实[❶] 确定平面,解决多线共面、多点共面问题 基本事实1:过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面. 基本事实2:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内. 基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 返回目录 2.三个推论[❷] 推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. 3.空间中直线与直线的位置关系　　[❸] 共面与异面直线的判定　空间角求解的基础 返回目录 4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系[❹] 位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直线与平 面 相交 a∩α=A 1个 平行 a∥α 0个 在平 面内 a⊂α 无数个 返回目录 位置关系 图形语言 符号语言 公共点 平面与平 面 平行 α∥β 0个 相交 α∩β=l 无数个 返回目录 5.基本事实4与等角定理 基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行. 如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 6.异面直线所成的角　　[❺] 定位异面直线、平移转化,确定夹角,计算角度 (1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)范围:(0,]. 返回目录 能力 高分练 课中 关键能力•可视思维 考点1　基本事实的应用 命题视角:确定平面判定;线在平面内证明;点共线、线共点. 例1 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M,E为AB的中点,F为AA1的中点. 求证:(1)C1,O,M三点共线; (2)E,C,D1,F四点共面; (3)CE,D1F,DA三线共点. 返回目录 考点1 考点2 考点3 证明:(1)因为A1C∩平面BDC1=O,所以O∈A1C,O∈平面BDC1. 又因为A1C⊂平面ACC1A1,所以O∈平面ACC1A1. 因为AC,BD交于点M, 所以M∈AC,M∈BD. 又AC⊂平面ACC1A1,BD⊂平面BDC1, 所以M∈平面ACC1A1,M∈平面BDC1. 又C1∈平面ACC1A1,C1∈平面BDC1, 所以C1,O,M三点在平面ACC1A1与平面BDC1的交线上,所以C1,O,M三点共线. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)如图,连接BA1,EF,D1C,BC1,因为E为AB的中点,F为AA1的中点,所以EF∥BA1.又因为BC∥A1D1,BC=A1D1, 所以四边形BCD1A1是平行四边形, 所以BA1∥CD1,所以EF∥CD1, 所以E,C,D1,F四点共面. (3)因为平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,设CE与D1F交于一点P,则P∈CE,CE⊂平面ABCD,所以P∈平面ABCD, 同理,P∈平面ADD1A1, 又平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,所以P∈AD,所以直线CE,D1F,DA三线交于一点P,即三线共点. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练1 如图,已知空间四边形ABCD,E,F分别是AB,BC的中点,G,H分别在CD和AD上,且满足=2.求证: (1)E,F,G,H四点共面; (2)EH,FG,BD三线共点. 返回目录 考点1 考点2 考点3 证明:(1)因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC. 又因为,所以GH∥AC, 所以EF∥GH,所以E,F,G,H四点在同一平面内,即E,F,G,H四点共面. (2)因为E,F分别为AB,BC的中点, 所以EF∥AC,EF=AC. 由题意知=2,HG∥AC,HG=AC, 所以四边形EFGH为梯形,直线EH和FG必相交,设交点为M,即EH∩FG=M,因为EH⊂平面ABD,所以点M∈平面ABD,同理可得点M∈平面BCD.又因为平面ABD∩平面BCD=BD,所以点M∈直线BD,所以直线EH,FG,BD三线共点. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 方法导引 共面、共线、共点问题的证明方法 (1)证明共面的方法:①先确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;②证明两平面重合. (2)证明共线的方法:①先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;②直接证明这些点都在同一条特定直线上. (3)证明线共点的方法:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点. 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点2　空间两直线的位置关系 命题视角:位置关系判定;异面直线证明. 例2 (多选)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,下列说法正确的是(　　) A.直线AM与CC1是相交直线 B.直线AM与BN是平行直线 C.直线BN与MB1是异面直线 D.直线AM与DD1是异面直线 CD 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:因为点A在平面CDD1C1外,点M在平面CDD1C1内,直线CC1在平面CDD1C1内,CC1不过点M,所以直线AM与CC1是异面直线,故A错误;如图,取DD1的中点E,连接AE,则BN∥AE,但AE与AM相交,故B错误;因为点B1与直线BN都在平面BCC1B1内,点M在平面BCC1B1外,BN不过点B1,所以BN与MB1是异面直线,故C正确;同理D正确. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练2 (多选)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心,当点P在线段BC1上(不包含端点)运动时,下列直线中一定与直线OP异面的是( 　　) A.AB1 B.A1C C.A1A D.AD1 BCD 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:对于A,如图①,连接AB1,C1D,BD,当P为BC1的中点时,OP∥DC1∥AB1,故A不正确;对于B,如图②,连接A1C,A1C1,AC,因为A1C⊂平面AA1C1C,O∈平面AA1C1C,O∉A1C,P∉平面AA1C1C,所以直线A1C与直线OP一定是异面直线,故B正确;对于C,如图②,因为A1A⊂平面AA1C1C,O∈平面AA1C1C,O∉A1A,P∉平面AA1C1C,所以直线A1A与直线OP一定是异面直线,故C正确;对于D,如图③,连接AD1,D1C,AC,因为AD1⊂平面AD1C,O∈平面AD1C,O∉AD1,P∉平面AD1C,所以直线AD1与直线OP一定是异面直线,故D正确. 图① 图② 图③ 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 方法导引 异面直线不具有传递性.即若直线a与b异面,b与c异面,则a与c不一定是异面直线. 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点3　异面直线所成的角 命题视角:以正方体、长方体、正三棱锥等常见几何体为背景,直接求指定异面直线所成角或所成角的余弦值(正弦值). 例3 (一题多解)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　) A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. C 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析: (方法1　平移法)如图,连接BD1,交DB1于O,取AB的中点M,连接DM, OM,易知O为BD1的中点,所以AD1∥OM,则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成的角.因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,AD1==2, DM=, DB1=, 所以OM=AD1=1,OD=DB1=在△DMO中,由余弦定理得cos∠MOD=,即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为 返回目录 考点1 考点2 考点3 (方法2　补体法)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体A'B'BA-A1'B1'B1A1,连接B1B',DB'.由长方体的性质可知B1B'∥AD1,所以∠DB1B'为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角.由题意得DB'=, B'B1==2, DB1=在△DB'B1中,由余弦定理得DB'2=B'+D-2B'B1·DB1·cos∠DB1B',即5=4+5-2×2cos∠DB1B',所以cos∠DB1B'= 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练3 (2025·江苏镇江期末)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为矩形,点E为A1C的中点,AB=AA1=,且AD=2,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. D 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:连接AC1,C1D,则E也为AC1的中点, 如图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为矩形,因为AB=AA1=,且AD=2,则AC1==4,因为C1D==2,AD=2,所以AD2+C1D2=A,故AD⊥C1D,因为四边形ABCD为矩形,则BC∥AD,所以异面直线AE与BC所成角为∠C1AD或其补角,且cos∠C1AD=,因此,异面直线AE与BC所成角的余弦值为故选D. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 方法导引 求异面直线所成的角,关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交,或将两条直线同时平移到某个位置,使其相交形成三角形.平移直线的方法有:(1)直接平移;(2)中位线平移;(3)补形平移. 返回目录 考点1 考点2 考点3 素养 提升练 课中 高考定向•捕捉热点 命题趋势1:近年高考中空间点、线、面位置关系以基础为主,集中考查位置关系判定(平行、垂直、异面等),逐步加强与几何体(正方体、长方体等)及逻辑推理的综合考查. 1.(2021·全国乙,理5)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为(　　) A. B. C. D. D 返回目录 解析:如图,连接BC1,PC1.由正方体的性质可得AD1∥BC1,故∠PBC1为直线PB与AD1所成的角.设正方体的棱长为1,则BC1=,C1P=A1C1=而BP=,可得C1P2+BP2=B,故C1P⊥PB.则在Rt△BPC1中,有sin∠PBC1=,于是∠PBC1=,即直线PB与AD1所成的角等于 返回目录 命题趋势2:强化线面、面面位置关系的判定与性质应用,融合几何体中点、动点分析,创新空间想象与逻辑推理结合的问题. 2.(原创)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,如果动点P在线段AA1上,动点Q在正方形BCC1B1的四条边上,那么,对于任何一条直线PQ,在平面ABCD内,总存在相应的一条直线,使得该直线与直线PQ(　　) A.平行 B.异面 C.相交 D.垂直 D 返回目录 解析:动点P在线段AA1上,动点Q在正方形BCC1B1的四条边上,则直线PQ可能在平面ABCD内,可能与平面ABCD平行,可能与平面ABCD相交,若直线PQ在平面ABCD内,在平面ABCD内的直线不可能与PQ异面,在平面ABCD内总存在一条直线与直线PQ垂直.若直线PQ与平面ABCD平行,在平面ABCD内的直线不可能与PQ相交,在平面ABCD内,总存在一条直线与直线PQ垂直,若直线PQ与平面ABCD相交,在平面ABCD内的直线不可能与PQ平行,所以在平面ABCD上,总存在相应的一条直线,使得该直线与直线PQ垂直.故选D. 返回目录 3.(原创)设α,β表示两个平面,l表示直线,A,B,C表示三个不同的点,给出下列命题: ①若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l⊂α; ②α,β不重合,若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB; ③若l⊂α,A∈l,则A∉α; ④若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线,则α与β重合. 其中说法正确的序号是　　　　　.  ③ 返回目录 解析:对于①,根据基本事实2可知l⊂α,所以①正确;对于②,由题意得平面α,β有公共点,根据基本事实3可知α,β相交,且α∩β=AB,所以②正确;对于③,由于l⊂α,A∈l,可得A∈α,所以③不正确;对于④,由A,B,C三点不共线可得确定一个平面,所以α与β重合,所以④正确.综上可得①②④正确,故说法正确的序号是③. 返回目录 $