2026年内蒙古初三年级中考数学全真综合模拟测试（四）

**基本信息** 内蒙古初三数学学业水平监测卷，以原创题为主，融合榫卯文化、环保调查、无人机测量等真实情境，考查抽象能力、空间观念与模型意识，适配模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|实数比较、运算、三视图（榫卯）、概率、方程（孙子算经）、菱形、二次函数|结合文化传承与经典问题，考查几何直观与推理意识| |填空题|4/12|二次根式、平行四边形坐标、解直角三角形（无人机）、正方形旋转|联系科技实践，体现空间观念与应用意识| |解答题|6/64|统计（环保）、函数与不等式（健身器材）、几何证明、应用题（饮水机）、几何综合|设置分层任务，综合考查数据意识与创新意识，贴近真题命题趋势|

内蒙古2025-2026学年第二学期初三学业水平考试质量监测（四） 数 学 学 科 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（原创）在实数，，，这四个数中，最小的数是(     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解： ， 在实数，，，这四个数中，最小的数是． 故选：． 正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 2.（原创）下列运算正确的是(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：根据合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算法则逐项分析判断如下： A、 ，原选项错误，不符合题意； B、 ，计算正确，符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原选项错误，不符合题意； D、 ，原选项错误，不符合题意； 故选：． 根据合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算法则一一判断即可． 本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3.（原创）榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由图可知：该几何体的俯视图为 ． 4.在如图所示三个半径分别为、和的同心圆组成的图形中随机撒一把豆子，计算豆子落在，，为环形区域三个区域中的概率把“在图形中随机撒豆子”作为实验，把“豆子落在区域中”记作事件，估计事件的概率的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：总面积， 区域为外半径、内半径的环形，面积， 则， 故选D． 5.孙子算经中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每人同乘一车，最终剩余辆空车；若每人同乘一车，最终剩下人因无车可乘而步行问有多少辆车？为解决此问题，设共有辆车，可列方程为(     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：根据题意可得： ， 故选：． 本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是抓住总人数不变的等量关系，分别用两种乘车情况表示总人数，即可列出对应方程 本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意是关键． 6.如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接若，菱形的面积为，则的长为(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接由题意可得： ， ，， ， ， ， ． 故选：． 由菱形的面积可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 本题考查菱形的性质，正确进行计算是解题关键． 7.（原创）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过(     ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】【分析】 此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次、二次函数的图象与性质是解本题的关键．由抛物线的对称轴在轴左侧，得到与同号，根据抛物线开口向下得到，故，再利用抛物线与轴交点在轴正半轴，得到，利用一次函数的性质即可判断出一次函数不经过的象限． 【解答】 解：根据函数图象得：，， ， ， 故一次函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限． 故选：． 8.如图，将正方形沿折叠，使得点与对角线的交点重合，为折痕，则的值为(     ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：四边形是正方形， ，， 由折叠可得， ，，，，，， ，，， 四边形是正方形， ，， ， ， 故选：． 根据正方形的性质和折叠的性质即可得到结论． 本题考查了翻折变换，正方形的性质，证明四边形是正方形是本题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.（原创）请写出一个使在实数范围内有意义的的值：         ． 【答案】答案不唯一．  【解析】解：根据题意可知，，则， 实数范围内有意义的的值可以为． 故答案为：答案不唯一． 此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件即可求出的范围，然后在范围内取的值即可，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是关键． 10.（原创）如图，平行四边形的对角线交点在原点若，则点的坐标是         【答案】．  【解析】解：四边形是平行四边形， ， ，关于原点对称， ， ， 故答案为：． 根据平行四边形的性质，坐标与图形性质，得，关于原点对称，可得点的坐标． 本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 11.（原创）在综合与实践活动中，呼和浩特某中学初三数学学习小组用无人机测量校园西门与东门之间的距离如图，无人机从西门处垂直上升至处，在处测得东门的俯角为，然后沿方向飞行米到达处，在处测得西门的俯角为则校园西门与东门之间的距离为        米结果精确到米；参考数据：，，， 【答案】．  【解析】解：由题意得：，，米， ， 在处测得西门的俯角为， ，  在中，米，  在处测得东门的俯角为， ， ， ， 在中，米， 答：校园西门与东门之间的距离为米， 故答案为：． 根据题意可得，，，米，由俯角定义及平行线性质可得，，分别在和中利用锐角三角函数求解即可 本题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握其相关知识点是解题的关键． 12.如图，正方形边长为，是直线上一动点，将绕点顺时针旋转得到，连接当时，线段的长为          ． 【答案】或  【解析】分当点在上时和当点在的延长线上时两种情况求解，过点作于点，则，证明，由全等三角形的性质求出，，过点作于点，则四边形为矩形，最后由矩形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：当点在上时， 过点作于点，则， 是正方形， ， 由旋转的性质得出，， ， 在和中， ， ，， 过点作于点， 则四边形为矩形， ，， ， 在中， ． 当点在的延长线上时， 过点作于点，则， 同理可证得， ，， 过点作与点， 则四边形为矩形， ，， ， ， 综上：的长为或． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 计算：； 先化简，再求值：，其中． 解：原式..................................................................3分 ..................................................................5分 原式 ..................................................................3分 ，.................................................................4分 当时，原式．..................................................................5分 先进行乘方运算，再根据特殊角的三角函数值和绝对值的意义计算，然后合并即可； 先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，然后把的值代入计算即可． 本题考查了分式的化简求值：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．也考查了实数的运算． 14.本小题分 世界地球日月日是专为环境保护设立的全球性节日，旨在呼吁公众关注生态问题、践行绿色生活某校针对学生的“日常环保行为”抽取了一部分学生进行问卷调查，并设计了如下调查问卷： “日常环保行为”调查问卷 请在下列选项中选择您的日常环保行为，在其后“”内打“”，非常感谢您的合作可多选： A.垃圾分类节约用水用电 C.减少塑料使用绿色出行 所有问卷全部收回且有效，并将统计结果绘制成不完整的统计图表： “日常环保行为”调查统计表 类别 占调查总人数的百分比 请根据图表提供的信息，解答下列问题： 填空：参与本次问卷调查的总人数为______，统计表中的值为______． 请补全条形统计图． 根据上述调查结果，估计该校名学生中将“绿色出行”作为“日常环保行为”的学生人数． 学校要开展一次“绿色出行”主题活动，假如你是学校环保社团的成员，请你提出一项具体可行的活动方案． 【解析】解：由题意得，类的人数人，占比为， 故参与本次问卷调查的总人数为名...........................................1分 ， ..............................................2分 故答案为：， 类的人数为名..............................................3分 补全条形统计图如下： ..............................................4分 名，..............................................5分 开展“绿色出行打卡挑战”，学生每天记录出行方式，累计一周可获得“环保小卫士”称号或小奖品，鼓励大家少坐私家车，多步行或骑车．..............................................7分 利用统计图的信息计算即可； 先求出类的人数，再补全条形统计图即可； 利用样本估计总体的计算方法计算即可； 提出一项具体可行的活动方案即可． 本题考查条形统计图、扇形统计图、样本估计总体，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 15.本小题分 某健身俱乐部采购健身器材，需要购买三种健身器材已知某商场健身球的单价为元个，哑铃，单车的价格如表： 哑铃、单车、健身球各买一个的价格为元 购买个单车的价格比购买一个哑铃多花费元 购买个哑铃与购买个单车花费相同 请你从上述个条件中任选个作为条件，求出哑铃和单车的单价； 若该俱乐部要购买哑铃，单车共个，且单车的个数不超过哑铃个数的倍，请问购买多少个哑铃时花费最少，最少费用是多少？ 解：设哑铃的单价为元，单车的单价为元， 选择条件： 根据题意得：，..............................................3分 ，..............................................4分 答：哑铃的单价为元，单车的单价为元；..............................................5分 设该俱乐部购买哑铃个，则购买单车个， 根据题意得：，..............................................6分 ， 又， ，..............................................7分 设俱乐部要购买哑铃、单车的总费用为元， 根据题意得：，..............................................8分 ， 随的增大而增大，..............................................9分 且为正整数， 当时，最小，最小值为． 答：购买个哑铃时花费最少，最少费用是元．..............................................10分 依据题意，设哑铃的单价为元，单车的单价为元，选择条件，从而，进而计算可以得解； 依据题意，设该俱乐部购买哑铃个，则购买单车个，则且，从而，又设俱乐部要购买哑铃、单车的总费用为元，则，结合一次函数的性质即可计算得解． 本题主要考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 16.本小题分 如图，在中，是的中点，，若点为上一点，且，，三点均在上，连接，与相切于点，求证： 四边形是菱形； 是的切线； 若，求的半径． 【解析】证明：，， 四边形为平行四边形，..............................................2分 又，且为中点， ， 平行四边形为菱形．..............................................4分 证明：平行四边形为菱形， ， 连接，如图， ，， ≌，..............................................6分 ， 切于， ， ， 点在上， 与相切，..............................................8分 解：四边形为菱形， ， ， 又， ，..............................................9分 ， ， ， ；..............................................10分 设半径为， ， ， ，， ，..............................................11分 ， 解得：．..............................................12分 由，，得到四边形为平行四边形，再根据斜边中线等于斜边一半得到，即可证明平行四边形为菱形． 连接，证明≌，得到，由切线的性质得到，即可证明是的切线； 先求出，设半径为，则，再根据列方程求解即可． 本题主要考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，斜边中线等于斜边一半，全等三角形的判定与性质，切线的性质等，掌握其相关知识点是解题的关键． 17.本小题分 图是某学校饮水机，有开水、温水两个按钮，图为其信息图． 该校某数学小组想研究如何操作才能用容积为的水杯，接出最佳温度在包括与的温水，他们查阅资料得知，在不计热损失的情况下开水和温水混合时，开水放出的热量等于温水吸收的热量，即：开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度小组讨论后决定采用先接一定时间的温水，再接开水，直至接满水杯的方案进行研究设接温水时间为秒，请你帮助他们解决以下问题： 接到温水的体积是______，接到开水的体积是______；用含的代数式表示 经过试验，他们发现当接满水后，水温为时口感很好，请求出此时的值； 设水杯中水的温度为，求关于的函数解析式并直接写出使水杯中水的温度达到最佳水温时的取值范围． 解：温水水流速度为，接温水用时秒， 接到温水的体积是；..............................................1分 又共接水， 接到开水的体积是，..............................................2分 故答案为：，； 根据题意得：，..............................................3分 解得：， 答：的值为；..............................................4分 根据题意得：， 化简得，，..............................................7分 由题意可得： ，.............................................8分 解得：，..............................................10分 的取值范围是， 故答案为：．..............................................12分 利用接到温水的体积温水的水流速度接温水的时间，可用含的代数式表示出接到温水的体积；利用接到开水的体积整杯水的体积接到温水的体积，即可用含的代数式表示出接到开水的体积； 利用开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； 利用开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度，可找出关于的函数关系式，再结合饮水最佳温度是包括与，即可求出的取值范围． 本题考查了列代数式、一元一次方程的应用以及一次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 18.本小题分 如图，在矩形中，，点是边上一点，连接将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别是点，． 如图，若点是边的中点，且点恰好落在的延长线上，连接，求的度数； 如图，若点恰好落在的延长线上，连接，交于点． 求证：垂直平分； 当时，探究线段与线段的数量关系． 【解析】解：若点是边的中点，且点恰好落在的延长线上，如图所示： 四边形是矩形， ，， ， ，..............................................2分 是边的中点， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，..............................................3分 旋转得到， ， ， ；..............................................4分 如图所示： ， ， 将绕点顺时针旋转得到． ，， 点在线段的垂直平分线上．..............................................6分 在和， ， ≌，..............................................7分 ， 点在线段的垂直平分线上， 垂直平分..............................................8分 ．..............................................9分 理由如下： 垂直平分， ， ．..............................................10分 ， ， ． ， ∽，..............................................11分 ， ． 设， ， ， ， ，..............................................12分 旋转得到， ， ． 在中，． 设，则， ， ， 在中，， 当时，则与线段的数量关系．..............................................13分 由矩形性质得到相关边与角，再由等腰直角三角形的判定与性质得到，然后结合旋转性质得到，最后由等腰三角形的性质即可得到答案； 由角平分线定义、旋转性质得到点在线段的垂直平分线上，再由两个直角三角形全等的判定定理得到≌，结合垂直平分线的判定即可得证； 由垂直平分线性质，结合互余得到，从而由相似三角形的判定确定∽，由相似性质得到，根据条件，设，则有，，，由旋转性质，解直角三角形即可得到答案． 本题考查四边形综合题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古2025-2026学年第二学期初三学业水平考试质量监测（四） 数 学 学 科 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（原创）在实数，，，这四个数中，最小的数是(     ) A. B. C. D. 2.（原创）下列运算正确的是(     ) A. B. C. D. 3.（原创）榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是(     ) A. B. C. D. 4.在如图所示三个半径分别为、和的同心圆组成的图形中随机撒一把豆子，计算豆子落在，，为环形区域三个区域中的概率把“在图形中随机撒豆子”作为实验，把“豆子落在区域中”记作事件，估计事件的概率的值为(     ) A. B. C. D. 5.孙子算经中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每人同乘一车，最终剩余辆空车；若每人同乘一车，最终剩下人因无车可乘而步行问有多少辆车？为解决此问题，设共有辆车，可列方程为(     ) A. B. C. D. 6.如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接若，菱形的面积为，则的长为(     ) A. B. C. D. 7.（原创）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过(     ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8.如图，将正方形沿折叠，使得点与对角线的交点重合，为折痕，则的值为(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.（原创）请写出一个使在实数范围内有意义的的值：         ． 10.（原创）如图，平行四边形的对角线交点在原点若，则点的坐标是         11.（原创）在综合与实践活动中，呼和浩特某中学初三数学学习小组用无人机测量校园西门与东门之间的距离如图，无人机从西门处垂直上升至处，在处测得东门的俯角为，然后沿方向飞行米到达处，在处测得西门的俯角为则校园西门与东门之间的距离为         米结果精确到米；参考数据：，，， 12.如图，正方形边长为，是直线上一动点，将绕点顺时针旋转得到，连接当时，线段的长为           ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 计算：； 先化简，再求值：，其中． 14.本小题分 世界地球日月日是专为环境保护设立的全球性节日，旨在呼吁公众关注生态问题、践行绿色生活某校针对学生的“日常环保行为”抽取了一部分学生进行问卷调查，并设计了如下调查问卷： “日常环保行为”调查问卷 请在下列选项中选择您的日常环保行为，在其后“”内打“”，非常感谢您的合作可多选： A.垃圾分类节约用水用电 C.减少塑料使用绿色出行 所有问卷全部收回且有效，并将统计结果绘制成不完整的统计图表： “日常环保行为”调查统计表 类别 占调查总人数的百分比 请根据图表提供的信息，解答下列问题： 填空：参与本次问卷调查的总人数为______，统计表中的值为______． 请补全条形统计图． 根据上述调查结果，估计该校名学生中将“绿色出行”作为“日常环保行为”的学生人数． 学校要开展一次“绿色出行”主题活动，假如你是学校环保社团的成员，请你提出一项具体可行的活动方案． 15.本小题分 某健身俱乐部采购健身器材，需要购买三种健身器材已知某商场健身球的单价为元个，哑铃，单车的价格如表： 哑铃、单车、健身球各买一个的价格为元 购买个单车的价格比购买一个哑铃多花费元 购买个哑铃与购买个单车花费相同 请你从上述个条件中任选个作为条件，求出哑铃和单车的单价； 若该俱乐部要购买哑铃，单车共个，且单车的个数不超过哑铃个数的倍，请问购买多少个哑铃时花费最少，最少费用是多少？ 16.本小题分 如图，在中，是的中点，，若点为上一点，且，，三点均在上，连接，与相切于点，求证： 四边形是菱形； 是的切线； 若，求的半径． 17.本小题分 图是某学校饮水机，有开水、温水两个按钮，图为其信息图． 该校某数学小组想研究如何操作才能用容积为的水杯，接出最佳温度在包括与的温水，他们查阅资料得知，在不计热损失的情况下开水和温水混合时，开水放出的热量等于温水吸收的热量，即：开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度小组讨论后决定采用先接一定时间的温水，再接开水，直至接满水杯的方案进行研究设接温水时间为秒，请你帮助他们解决以下问题： 接到温水的体积是______，接到开水的体积是______；用含的代数式表示 经过试验，他们发现当接满水后，水温为时口感很好，请求出此时的值； 设水杯中水的温度为，求关于的函数解析式并直接写出使水杯中水的温度达到最佳水温时的取值范围． 18.本小题3分 如图，在矩形中，，点是边上一点，连接将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别是点，． 如图，若点是边的中点，且点恰好落在的延长线上，连接，求的度数； 如图，若点恰好落在的延长线上，连接，交于点． 求证：垂直平分； 当时，探究线段与线段的数量关系． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 2026年内蒙古初三年级中考数学全真综合模拟测试（四）双向细目表 题号 知识点 题型 分值 难度系数 1 实数大小比较、无理数估算 选择题 3 0.95 2 幂的运算、合并同类项 选择题 3 0.9 3 几何体俯视图识别 选择题 3 0.85 4 几何概率计算 选择题 3 0.8 5 一元一次方程实际应用 选择题 3 0.8 6 菱形性质、直角三角形斜边中线 选择题 3 0.75 7 二次函数与一次函数图像系数关系 选择题 3 0.7 8 正方形折叠、勾股定理综合 选择题 3 0.6 9 二次根式有意义的条件 填空题 3 0.95 10 平行四边形性质、平面直角坐标系坐标 填空题 3 0.9 11 解直角三角形实际俯角问题 填空题 3 0.7 12 正方形旋转、动点线段计算 填空题 3 0.55 13 实数混合运算、分式化简求值 解答题 10 0.88 14 统计图表分析、样本估计总体 解答题 7 0.85 15 二元一次方程组、一元一次不等式实际应用 解答题 10 0.75 16 菱形判定、圆切线判定、线段长度求解 解答题 12 0.68 17 代数式、一元一次方程、一次函数实际应用 解答题 12 0.7 18 矩形旋转、等腰三角形、相似三角形综合 解答题 13 0.58 Sheet2 Sheet3 $