期末复习(1) 相交线与平行线-【名师学案】2025-2026学年七年级下册数学分层进阶学习法（人教版·新教材）

跨单元整合 期末复习（一） 相交线与平行线 A考点突破 突破点一与相交线有关的角度的计算 3 【例1】如图，直线AB,CD,EF 相交于点O,OG⊥CD. A.∠1=∠3 (1)若∠BOD=42°，求∠AOG B.∠2=459 的度数； C.∠AOD与∠1互为补角 (2)若OC是∠AOE的平分线，求证：OG是 D.∠3的余角等于65301 ∠AOF的平分线. 突破点二平行线的判定与性质 【思路分析】(1)根据对顶角的性质求∠AOC,根 【例2】如图，CB平分∠ACD,∠2=∠3，若 据垂直的性质计算∠AOG; ∠4=60°，则∠5的度数是 ( (2)由∠COG=90°，根据平角可得∠EOC+ ∠GOF=90°，再结合OC是∠AOE的平分线可 得∠AOC=∠EOC,然后利用等角的余角相等 可得∠AOG=∠GOF. A.60° B.30° C.20° D.40° 【思路分析】先根据“同位角相等，两直线平行” 可得AB∥CD,再根据平行线的性质，可得 ∠2=∠5，∠4=∠ACD=60°，最后利用角平分 线的定义可求得∠2，即∠5的度数， 了反思归纳 解决此类题目，一般要结合图形综合应用平 行线的判定与性质，即由“形”推“角”或由“角”判 “形”，解决问题时要注意区分条件与结论，不要混 淆，性质是由“形”到“角”，判定是由“角”到“形” 对点训练 ⑦反思归纳 2.(2024·东营)已知，直线a∥b,把一块含有 关于相交线中角度的计算，要善于从图形中 30°角的直角三角板如图放置，∠1=30°，三角 挖掘隐含条件，如：对顶角及邻补角，然后再结合 板的斜边所在直线交b于点A,则∠2=() 所给出的角的和、差、倍、分等进行计算或证明. 对点训练① 1.如图，直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB于 点O,OF平分∠AOE,∠1=25°30'，则下列 结论中不正确的是 () A.50° B.60° C.70 D.80° 助学助教优质高致 110 3.如图，已知∠DAE+∠CBF=180°，CE平分 突破点四平移 ∠BCD,∠BCD=2∠E. 【例4】如图，一块边长为8m的正方形土地，在 (1)求证：AD∥BC; 上面修了三条道路，宽都是1m, (2)CD与EF平行吗？写出证明过程； 空白的部分种上各种花草， (1)请利用平移的知识求出种花 (3)若DF平分∠ADC,求证：∠CDF+ 草的面积是 ∠DCE=90°. (2)若空白的部分种植花草共花费了4620元， 则每平方米种植花草的费用是 ⑦反思归纳 对于较复杂的图形，可以利用平移将不规则 的图形转化为一个规则的图形计算面积. 对点训练① 6.如图，在三角形ABC 中，∠BAC=90°，AB =6 cm,AC=8 cm, 把三角形ABC沿着 直线BC向右平移5cm后得到三角形DEF, 连接AE,AD,有以下结论：①AC∥DF; ②∠ADE=∠DEF;③CF=5cm;④DE⊥AC 其中正确的结论有 .(填序号) B备考集训(60分钟，100分). 一、选择题（每小题4分，共32分） 1.如图，直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于 突破点三命题 点O,∠1与∠3的关系是 【例3】下列五个命题：①对顶角相等；②内错角 A.互余 相等；③含根号的数是无理数；④已知直线a,b, B.对顶角 0人3 c,若a∥b,b∥c,则a∥c;⑤过一点有且仅有一 C.互补 条直线与已知直线平行.其中真命题是 D.相等 (填序号) 2.如图，下列说法中，错误的是 ⑦反思归纳 A.∠1和∠4是内错角 要说明一个命题的正确性，可利用已有的知 B.∠4和∠5是同旁内角 识进行推理、论证，而判断一个命题是假命题，只 C.∠2和∠4是对顶角 需要举出一个反例即可. D.∠3和∠5是同位角 对点训练① 3.(2024·赤峰)将一副三角尺（厚度不计）按如 图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则 4.(2024·宿迁改编)命题“两直线平行，同位角 图中∠1的度数为 相等.”改写成“如果…那么…”的形式： 5.【新中考·条件开放】写一个c的值，可以说 明命题“若a>b,则ac>bc”是假命题，这个c 的值是 A.100 B.105° C.115° D.120° 111七年级数学·下册 4.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥ 10.数学课上，老师提出如下问题：如图1，在A AC于点D,DE⊥AB于点E,则点B到AC 地和公路1之间修地下管道.请你设计最节 的距离是 省材料的修建方案。 A.线段AB的长度 B.线段BC的长度 A· C.线段BD的长度 D.线段DE的长度 图1 图2 G M 小李同学的做法如下：过点A作AC⊥直线 l于点C.则线段AC即为所求，老师说小李 同学的方案是正确的.请回答：该方案最节 第4题图 第5题图 省材料的依据是 5.如图所示，使EG∥BH成立的条件是( 11.【新课标·跨物理学科】光线在不同介质中 A.∠1=∠5 B.∠1=∠2 的传播速度是不同的，因此光线从水中射向 C.∠3=∠4 D.∠4=∠5 空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以 6.将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形. 在水中平行的光线，在空气中也是平行的. 若∠CAB=30°，则∠ACB的度数是() 如图，若平行光线由水中射向空气时所形成 A.45 B.559 C.65° D.75 的∠1=50°，∠4=75°，则∠2十∠3 第6题图 第7题图 7.如图，若四个完全相同的小直角三角形按如 第11题图 第12题图 图方式全部放置在大直角三角形ABC的内 12.把一副三角尺放在同一水平桌面上，摆放成 部，这四个小三角形的斜边刚好相接在斜边 如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两 BC上，AB+AC=21,BC=15,则这四个小直角 条斜边平行，则∠1的度数是 三角形的直角边之和为 三、解答题（共52分） A.6 B.15 C.21 D.36 13.(8分)画图并填空：如图，方格纸中每个小 8.下列命题中的真命题是 (0 正方形的边长都为1.在方格纸内将三角形 A.同旁内角互补 ABC经过一次平移后得到三角形A'B'C', B.如果一个数有平方根，那么这个数的平方 图中标出了点B的对应点B'利用网格点 根一定有两个 和三角板画图或计算： C.实数与数轴上的点是一一对应的 (1)在给定方格纸中画出平移后的三角形 D.如果a>b,则ac2>bc2 A'B'C'; 二、填空题（每小题4分，共16分） (2)连接线段AA',BB',则线段AA'与BB 9.如果∠1的邻补角是32°，那么∠1的度数是 的关系是 (3)三角形A'B'C的面积是 助学助教优质高致 112 (2)由(1)中的结论我们可以得到一个命题： 如果两条直线 ,那么内错角的 平分线互相 (3)由此可以探究并得到：如果两条直线平行， 那么同旁内角的平分线互相 14.(14分)如图，直线AB,CD相交于点O,OD 平分∠BOE,∠DOE+∠FOE=90°. (1)求证：OF是∠AOE的平分线； (2)若∠AOC:∠AOD=1:5,求∠EOF的 度数 16.(16分)【探究】如图，∠AFH和∠CHF的 平分线交于点O,EG经过点O且平行于 FH,分别与AB,CD交于点E,G. (1)若∠AFH=60°，∠CHF=50°，则 ∠EOF=,∠FOH= (2)若∠AFH+∠CHF=100°，求∠FOH 的度数； (3)当∠FOH= 时，AB∥CD. 15.(14分)如图，直线AB,CD被直线EF所 截，∠1+∠2=180°，EM,FN分别平分 ∠BEF和∠CFE. (1)判断EM与FN之间的位置关系，并证 明你的结论； 113七年极数学·下册6.解：(1)3006(2)汇总表和图可得： 、报班 学生个数 人数 0 4及 以上 合计 类别 “双减”前 172 82 118 82 46 500 “双减”后 423 24 40 12 500 :“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比为品×100%=2.4%：（3)从“双 减”前后学生报班个数的变化情况说明：“双减”政策宣传落实到位，参加校外培训机 构的学生大幅度减少，“双减”取得了显著效果. 12.2.2直方图 知识储备 1.两个端点的距离个数2.(1)差(2)组距(3)分布表(4)直方图3.频数 基础练 1.A2.B3.34.55.1406.2807.(1)50(2)206(3)248.解：(1)正正 10正5(2)补图略：(3)由频数分布直方图知，中午气温在17℃一22℃的天数最 多，有10天.9.解：(1)501818补全直方图略；(2)200×30%=60（人），答：估 计该年级成绩为优的有60人；(3)因为优秀率偏低，所以建议平时加强汉字的听写. 10.(1)C(2)①B②100 12.2.3趋势图 知识储备 1.(直线或曲线)2.变化趋势 基础练 1.解：(1)描点略：(2)画直线略.2.解：(1)画图略：(2)由表格数据可知，香燃烧过程 中剩余长度(cm)随燃烧时间（分）的增加而减少.(3)83.C4.解：(1)画图略 (2)5.79(3)我国货物进出口总额逐年增加（答案不唯一）.5.解：(1)折线(2)70 758085(3)画图略(4)由以上几章的成绩和折线统计图知，每一章比前一章 的成长分值A都高5分 第十二章核心素养与跨学科融合专练 1.C2.30003.2.44.扇形统计图5.46.0.1 第十二章大单元整合与素养提升 1.D2.C3.D4.96005.D6.D7.①②③8.解：(1)810补全频数分布 直方图略.(2)2072°(3)1209.解：1)50(2)合格率为50-A-6×100% 50 80%<90%,优秀率为号×100%=18%<25%.因为合格率和优秀率均没达到赵老 师给同学们定下的目标，所以赵老师不满意.(3)完成了 期末复习（一）相交线与平行线 考点突破 【例1】解：(1)：∠BOD=42°，∴.∠AOC=42°.OG⊥CD,∴.∠GOC=90°.∴.∠AOG =∠GOC-∠AOC=90°-42°=48°：(2)：点E,O,F在一条直线上，∠GOC=90°，∴ ∠EOC+∠GOF=180°-90°=90°.OC是∠AOE的平分线，.∠AOC=∠EOC. ∠EOC+∠GOF=90°，∠GOC=∠AOC+∠AOG=90°，∴.∠GOF=∠AOG.即OG 是∠AOF的平分线.【例2】B【例3】①④【例4】(1)42m(2)110 【对点训练】 1.D2.B3.解：(1).∠DAE+∠CBF=180°，∠DAE+∠DAB=180°，.∠CBF =∠DAB..AD∥BC:(2)CD与EF平行，理由如下：.CE平分∠BCD,.∠BCD =2∠DCE.又.∠BCD=2∠E,.∠E=∠DCE..CD∥EF;(3)DF平分 ∠ADC.∠CDF=Z∠ADC.:∠BCD=2∠DCE.÷∠DCE=2∠DCB.:AD/ BC.∴∠ADC+∠DCB=180·∠CDF+∠DCE=(∠ADC+∠DCB)=90. 4.如果两直线平行，那么同位角相等5.一3（答案不唯一）6.①②③④ 备考集训 1.A2.A3.B4.C5.B6.D7.C8.C9.148°10.垂线段最短11.155° 12.75°13.解：(1)图略.(2)平行且相等(3)814.(1)证明：：∠DOE+∠EOF =90°，∴.∠FOA+∠BOD=∠AOB-(∠DOE+∠EOF)=180°-90°=90°.OD平 分∠BOE,∴.∠DOE=∠BOD.∴.∠AOF=∠EOF..OF是∠AOE的平分线：(2) -196 解：∠A0C:∠A0D=1:5,∠A0C+∠A0D=180,∠A0C=180°×G=30 ∠BOD=∠AOC=30°.：OD平分∠BOE,OF平分∠AOE,∴.∠BOE=2∠BOD 60,∠B0F=2∠A0E.:∠A0E+∠B0E=180.∠A0E=120,∠E0F=60 15.解：(1)EM∥FN.证明：，∠1+∠2=180°，∠EFD+∠2=180°，∴∠1=∠EFD. ·AB/∥CD.∠BEF=∠CFE.:EM,FN分别平分∠BEF和∠CFE,·∠4=2 ∠BEF,∠3=∠CFE.∠4=∠3.∴EM∥FN.(2)平行平行(3)垂直 16.解：1)30°125°(2)：F0平分∠AFH,H0平分∠CHF,∠OFH=z 1 ∠AFH,ZOHF=3∠CHK.“∠AFH+∠CHF=100,·∠OFH+∠OHF=合 1 (∠AFH+∠CHF)=2×100=50.:EG/FH.∠EOF=∠OFH,∠GOH= ∠OHF.∴.∠EOF+∠GOH=∠OFH+∠OHF=50°..∠EOF+∠GOH+∠FOH =180°，.∠FOH=180°-（∠E0F+∠G0H)=180°-50°=130°.(3）90° 期末复习（二）实数与平面直角坐标系 考点突破 【例1D【例2】-3,0,5,1,0.3，号-1.732,5，，-受，3.131 131113,5,0.3,号，2瓜，，3.131131113，【例310【例4】D 【例5】解：原式=√3-1+23-(2-3)=√3-1+23-2+√3=43-3.【例6】C 【例7】C【例8】(1,6)【例9】8.5 【对点训练】 1.D2.C3.B4.45.D6.C7.D8.C9.B10.D11.2-32-3 12.解：原式=-8十√2-1-3×(-2).=-8+√2-1+6=√2-3.13.D14.1或3 15.(-2,-2)16.(-2,-3)17.(6,0)或(-2,0) 备考集训 1.C2.C3.D4.D5.D6.B7.A8.-0.59.-210.511.0,1 12.-6或413.114.(1)解：x+5=±3，x=-2或-8；(2)解：(x-3)=27,x=6. 15.(1)解：原式=(2-3+4)√5=3√5：(2)解：原式=3-√2-32-5=-2-4√2： （3)解：原式=号十4十号-1=5行16，解：1)汽车站1，消防站2，一2). (2)家→游乐场→公园→姥姥家→宠物店→邮局→家.17.解：(1)：点A,B表示的 数分别是2w5,∴.AB=√5-2，即x=√5-2.(2).x=√5-2，.(x-√5)2=(W5-2 一√5)2=4.4的平方根是士2，.(x一√5)的平方根是士2.18.解：(1)4(2)点 B(2a-6,a+3)是“龙沙点”，.2a-6=a十3.∴.2a-6=a+3或2a-6=-a-3. 解得a=9或a=1:(3)点C(一3,3b-2)的长距为4，且点C在第二象限内，则3b-2 =4.解得b=2.∴.4b+3=11..点D的坐标为(11，一11)，点D到x轴、y轴的距离 都是11，.D是“龙沙点”.19.解：(1)(-4,4)(0，-2)(2)三角形A'B'C‘是由 三角形ABC先向右平移4个单位，再向下平移6个单位得到的；(3)由题意，得 8-6=2n解得m=2 1m+4=2n m1、20.解：设长方形场地的长为5xm,宽为2xmx>0. 由题意，得5.x·2x=50,解得x=5,∴.长为55m,宽为25m.4<5<9,.2< √5<3，∴.2√5<6，且5√5>10，若长与墙平行，墙长只有10m,则不能围成满足此条 件的长方形场地；若宽与墙平行，则能围成满足此条件的长方形场地.故设计长方形 场地的宽平行于墙，宽为2√5m,长为5√5m.21.解：(1)-249(2)设点M 的坐标为(x,0,则AM=x一《-2=+21.又：Saw=号Sam心7AM0C =号×921z+2×3=3.x+21=2.即x+2=士2.解得2=0或-4.点M 的坐标为(0,0)或（一4,0）. 期未复习（三）二元一次方程组 考点突破 【例1解：原方程组变形，得7十)D+@,得6=30.解得=5.将=5代 人⑧·得y一12六原方程组的解是512。【例2】解：1)设每辆小客车能坐。 -197