9.1 用坐标描述平面内点的位置-【名师学案】2025-2026学年七年级下册数学分层进阶学习法（人教版·新教材）

第九章 平面直角坐标系 9.1用坐标描述平面内点的位置 9.1.1平面直角坐标系的概念 知识储备砂 4.如图，小手盖住的点的坐标可能为 1.在平面内画两条 A.(5,2) 的数轴，组成平面直角坐标系， 苏 B.(-6,3) 为x轴或 轴，习惯上取向 为正方 C.(-4,-6) 向； 称为y轴或 轴，取向 D.(3,-4) 方向为正方向；两坐标轴的交点称为平面 5.点(-3,0)在 直角坐标系的原点。 A.x轴正半轴上 B.x轴负半轴上 2.建立了平面直角坐标系后，坐标平面就被两条 C.y轴正半轴上 D.y轴负半轴上 坐标轴分成四个部分，每个部分称为 6.【新中考·结论开放】若点A(-2,a)在第三 坐标轴上的点不属于任何 象限内，则a的值可以是 3.坐标平面内的点与 是一一对应的. 7.(1)(答题模板)如图，AB1 x轴于B,AC⊥y轴于C,则 A基础练 点B所对的数是 B 必备知识梳理一 ,点 知识点一认识平面直角坐标系 C所对的数是 ,点A的 1.【概念辨析】下列说法错误的是 ( 坐标是 ,AB= ,AC= ,,点 A到x轴的距离是 A.平面内两条互相垂直的数轴就构成了平 ,点A到y轴的距离 是 面直角坐标系 (2)【针对练习】写出图中 B.平面直角坐标系中两条坐标轴是相互垂 A,B,C,D,E,F,O各点 直的 的坐标 C.坐标平面被两条坐标轴分成了四个部分， 210 23x D: 每个部分称为象限 21 3 D.坐标轴上的点不属于任何象限 2.如图，有4名同学分别画了一个平面直角坐 标系，其中画法正确的是 8.【教材P66练习T2 变式】在如图所示的 平面直角坐标系中， 把以下各组点描出 知识点二平面直角坐标系中点的坐标 来，并顺次连接 3.点A(一3,4)所在的象限是 ( 各点 A.第一象限 B.第二象限 (0,-4),(3,-5), C.第三象限 D.第四象限 (6,0),(0,-1),(-6,0),(-3,-5),(0,-4). 45 七年极数学·下册 9.已知点P(2m十4，m一1)，试分别根据下列条 件，求出点P的坐标 (1)点P在x轴上； (2)点P到y轴的距离为2，且在第四象限. C素养练 手学科走养培有一 16.【新中考·新定义型阅读理解题】在平面直 角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y 易错点○ 因考虑问题不全面而漏解 轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到 10.点A(2a一1，a十3)在坐标轴上，则a的值是 x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”. (1)点A(-1,3)的“长距”为 ； (2)若点B(4a-1,一3)是“完美点”，求a 【点拨】点A可能在x轴上，也可能在y轴上 的值； B综合练 套关键能力提升一 (3)若点C(一2,3b-2)的“长距”为4，且点 11.在平面直角坐标系中，若点A(m,n)在第四象 C在第二象限内，点D的坐标为(9一2b, 限，则点B(2十m,1一n)所在象限是 () 一5)，试说明：点D是“完美点”. A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 12.已知点M(一1,3)，点N为x轴上一动点，当 MN的长最小时，点N的坐标是 13.已知点P(x,y)在第二象限，且x,y满足x =5,y2=4,则点P的坐标为 14.【分类讨论思想】已知A(-3,m),B(n,4),若 AB∥x轴，且AB=8,则m= ,n= 15.(教材P70习题T9改编) 一材多题 中解题妙招 如图，已知点A(-2,3),B(4,3),C(一1，-3). 平面直角坐标系中三角形的面积问题 (1)点C到x轴的距离为 有一条边与坐标轴平行的三角形的面积的计 算，通常以与坐标轴平行的边作底，以另一顶点到 (2)三角形ABC的面积为 这边的距离作高.涉及到已知三角形的面积求点 (3)点P在y轴上，当三角形ABP的面积 的坐标时，有时需分类讨论.如T15(2),(3). 为6时，求点P的坐标 助学助教优质高数 46 方法技巧专题（二） 平面直角坐标系中图形的面积 【针对教材P70习题T9】 ●类型一已知点的坐标，求几何图形面积 (三) 不规则的四边形的面积—一利用分割法 (一)直接计算面积 求解（有时也考虑补形法） 解题技巧 分割法模型展示 当图形有一条边在坐标轴上或与坐标轴平行时， 可考虑直接将，点的坐标转化为线段的长，进而计算几 何图形的面积 1.如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的 顶点坐标分别为A(一3,0)，B(0,3),C(0, S因边形OAcB=S三角形AcD十 S四边形ABCD=S三角形ADE十 1),则三角形ABC的面积为 S形ODCB S三角形xF十S染形EFCD 6 4.在如图所示的平面直角坐标系中，四边形 OABC各顶点的坐标分别是O(0,0),A(一4， 10),B(一12,8)，C(一14,0)，则四边形 2 A OABC的面积是 2345 -10123456 类型二已知几何图形的面积，求点的坐标 解题技巧 第1题图 第2题图 解决此类题目，通常是先根据已知点的横（纵）坐标 2.如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A 求点到纵（横）轴的距离，再利用面积和已知条件求出另 (4,2),B(4,6),C(一1,3)，则三角形ABC的 一个点的坐标.有时要注意分类讨论思想的应用 面积为 5.如图，A(一1,0)，C(1,4),点B在x轴上，且 (二)三边均不与坐标轴平行的三角形的面 AB=4. 积一利用补形法求解 补形法模型展示 3 -4-3-2-1 0123453 -2 -3 S三角形AB=S长方形OADE -4 S三角形AB=S茶形OACD S三角形ACD S三角形CE (1)点B的坐标为 S三角形BCD一S三角形OAB S三角形0A5 (2)三角形ABC的面积为 (3)在y轴上是否存在点P,使以A,B,P三 3.如图，点A,B,C在平面直角坐标系中的位置 点为顶点的三角形的面积为10？若存在， 如图所示，则三角形ABC的面积是 请求出点P的坐标；若不存在，请说明 理由. 第3题图 第4题图 47 七年极数学·下册 素养拓展专题 平面直角坐标系中点的坐标规律的探究 解题技巧 【针对训练】 平面直角坐标系中点的坐标规律的探究是各地 1.如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭 考试命题的热点.解题时，应从点的位置特征入手，由 简单到复杂，由特殊到一般，逐步归纳出具有一般性 头所示方向运动，第一次从原点O运动到点 的结论.可分为两大类型： P1(1,1),第二次运动到点P2（2,0),第三次 (1)循环规律： 运动到点P3(3,一2)…按这样的运动规 从特殊的点入手，依次求出几个特殊点的坐标， 律，第2024次运动后，动点P224的坐标是() 直到发现循环规律为止，然后根据每一个循环周期中 对应位置的点的坐标的变化规律来确定任意的点的 3 2 坐标 (2)递进规律： P P 0..2.3.4.isx 从特殊的，点入手，依次求出几个特殊点的坐标， 2 找出递进规律，然后根据规律来确定任意点的坐标， 如T3. A.(2024,1) B.(2024,2) 【例】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中 C.(2024,-2) D.(2024,0) 箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1,1)， 2.(2024·绥化)如图，已知A1(1,一√3)，A2(3, 第2次接着运动到点(2,0)，第3次接着运动到 点(3,2)，…，按这样的运动规律，经过第2022 3),A3(4,0),A4(6,0),A5(7,3),A(9, 次运动后，动点P的坐标是 ( √5)，A,(10,0),A8(11,一√5)…，依此规律， (3,2) (7,2) (11,2) 则点A2o24的坐标为 (5,1) (9,1) 3 (2,0) (4,0) (6,0) (8,0)(10,0)(12,0) A.(2022,0) B.(2022,1) 91011121314151617x C.(2022,2) D.(2021,0) 【思路点拨】根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭 头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1,1)，第2 3如图，动点P从坐标原点 次接着运动到，点(2,0)，第3次接着运动到点(3,2)， O(0,0)出发，以每秒1个 ∴.第4次运动到点(4,0)，第5次接着运动到，点(5,1)，…， 单位长度的速度按图中 .横坐标为运动次数，经过第2022次运动后，动点P 箭头所示方向运动，第1可中 4 的横坐标是2022，纵坐标依次为1,0,2,0，每4次 秒运动到点(1,0)，第2秒运动到点(1,1)，第 一轮 3秒运动到点(0,1)，第4秒运动到点(0,2)， ∴.2022÷4=505余2. .经过第2022次运动后，动点P的纵坐标为四个数 …则第2068秒点P所在位置的坐标 中的第2个，是0. 是 ∴.经过第2022次运动后，动点P的坐标为(2022,0. 助学助教优质高数48 9.1.2用坐标描述简单几何图形 出知识储备出++++++ A.(0,2) 国 在用坐标描述简单几何图形时，只需用坐标 B.(-2,3) 炮 描述这些图形上 的位置.建立的坐标 C.(-3,0) 系不同，图形上点的坐标也 D.(-1,2) 4.【新情境·社会热点】2024年5月5日在四川 A基础练 必备知识梳理 成都举行的“尤伯杯”羽毛球团体决赛中，中国 知识点用坐标描述简单几何图形 队第16次夺得冠军.如图1是比赛场馆图，图2 1.(教材P67“探究”改编) 一材多题 是场馆某正方形座位示意图.小李、小亮、小东 如图，已知正方形ABCD的边长为4. 的座位如图所示（网格中，每个小正方形的边长 (1)如果以点C为坐标原点，分 D 都是1).若小亮的座位用（一1,0）表示，小李的 别以CB,CD所在的直线为 座位用(1,3)表示，则小东的座位可以表示为 x轴、y轴建立平面直角坐标 系，那么各个顶点的坐标分别为C(0,0),A ,B ,D (2)如果以BC所在的直线为x轴，以BC的 中点为坐标原点建立坐标系，那么各个顶点 的坐标分别为A ,B .小东 图1 图2 C ,D 5.【教材P70习题T5变式】五子连珠棋和象 2.【教材P67例2变式】在平面直角坐标系中， 棋、围棋一样，深受同学们喜爱，其规则是：在 正方形ABCD的顶点坐标分别是A(一4， 正方形棋盘中，由黑方先行，轮流弈子，在任 3),B(1,3),C(1,-2),D(-4,-2) 一方向上连成五子者为胜.如图所示，是两个 (1)画出正方形ABCD; 五子棋爱好者甲和乙对弈图（甲执黑子先行， (2)AB与x轴有什么关系？CD与x轴有什 乙执白子后行)，若白棋①的位置是（一1， 么关系？如果一些点在平行于x轴的直 2),白棋②的位置是(2,1). 线上，它们的纵坐标有什么关系？ (1)请在图中建立平面直角坐标系，并写出黑 棋M的位置是 (2)甲必须在何处落子，才不会让乙在短时间 4-3-2-1123 内获胜，直接写出对应的点的位置 ● 。●O… B综合练 ●●●⑦ 室关键能力提升·一 3.【新课标·传统文化】象棋在中国有着三千多 年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流 行极为广泛的益智游戏.如图，是中国象棋棋 盘的一部分，若“帅”位于点(1，一1)，“炮”位 于点(2,1)上，则“兵”位于点 () 49 七年级数学·下册第八章核心素养与跨学科融合专练 1.(1)14(2)土√52.解：由数轴，得c>0>a>b,a-b>0,a+b<0,b-c<0,∴. 原式=(a-b)+a十b-(c-b)-c=a-b+a+b-c十b-c=2a+b-2c.3.解：不同 意，因为正方形的面积为36cm,故边长为6cm.设长方形的宽为xcm,则长为2x cm,长方形面积=x·2x=2x=20,解x=√/10，∴.长是2√0.，3<√/10<4，∴.6 <2√0<8.即长方形的长大于正方形的边长，所以不能裁出符合要求的长方形纸 片.4.解：号R=2.56×10,号×3R=2.56×10,R=6400,R=40.直径约 为80nm.答：它的直径约为80nm. 第八章大单元整合与素养提升 5 1.C2.A3.C4.C5.26.17.±28.A9.D10.C11.√0-3 12.-号7.5，-.4,0.8080080008，(2)-0.27,0.321371. 0.5,而，(3)-号，-，13.C4C15.C16.-厅（答案不唯-） 17.<18.(1)解：原式=-2+3-√3+3十√=4；(2)解：原式=12+3-1-5=9. 19.C20.(1)228.4(2)0.000521721.±2222.A23.解：(1)W3⊕2=V3 -2|+1=2-√3+1=3一√3：(2)定义：a※b=一20(a-b)(答案不唯一).计算过程 为：w5※(W5+1)=-20×(√5-√3-1)=-20×(-1)=20.24.(1)4(2)√8 (3)1-√8 第九章平面直角坐标系 9.1用坐标描述平面内点的位置 9.1.1平面直角坐标系的概念 知识储备 1.互相垂直原点重合水平的数轴横右竖直的数轴纵上2.象限 象限3.有序数对 基础练 1.A2.B3.B4.A5.B6.-1(答案不唯一)7.(1)-21(-2,1) 1212(2)解：观察图，得A(2,3),B(3,2),C(-2,1),D(-1,-2),E(2.5,0), F(0,-2),O(0,0).8.解：图略.9.解：(1)点P在x轴上，∴.m-1=0.即m=1. ∴.P(6,0).(2)点P到y轴的距离是2，∴.|2m十4|=2.解得m=-1或-3.∴.P(2, 一2)或(-2，-4).P在第四象限P2,-2).10.或-311.A12.(-1,0) 13.(-5,2)14.45或-1115.解：(1)3(2)18(3)设点P的坐标为(0，y). A(-2,3,B(4,3)AB=6.S0w=6,7×6Xy-3到=6.1y-31=2,解 得y=1或y=5,.点P的坐标为(0,1)或(0,5).16.解：(1)3(2)：点B(4a-1,一 3)是“完美点”，.4a-1=-3.∴.4a-1=3或4a-1=-3.解得a=1或a= 之(3)”点C(-2,3b-2)的长距为4，且点C在第二象限内，∴3b-2=4,解得b=2. 1 .9-2b=5..点D的坐标为(5，-5).点D到x轴、y轴的距离都是5..点D是 “完美点” 方法技巧专题（二）平面直角坐标系中图形的面积 1.62.103.9.54.1005.解：(1)(3,0)或(-5,0)(2)8(3)设P(0,y),由题 意，得2AB.w=10.分×41w=10.p=士5.∴P(05)或0，-5. 素养拓展专题平面直角坐标系中点的坐标规律的探究 【例】A 【针对训练】 1.D2.(2891,-3)3.(45,43) 9.1.2用坐标描述简单几何图形 知识储备 关键点不同 基础练 1.(1)(4,4)(4,0)(0,4)(2)(2,4)(2,0)(-2,0)(-2,4)2.解：(1)图 略：(2)AB∥x轴，CD∥x轴，如果一些点在平行x轴的直线上，它们的纵坐标相等. 3.D4.(3,-1)5.解：(1)(6,1)黑棋M的位置略：(2)根据题意得，乙执的白棋 已有三点(0,3)，(1,2)，(2,1)在一条直线上，甲只有在此直线上距离（一1,4）(3,0)最 近的地方占取一点才能保证不会让乙在短时间内获胜，即为点（一1,4）或(3,0). —186