7.2.3 平行线的性质-【名师学案】2025-2026学年七年级下册数学分层进阶学习法（人教版·新教材）

∠DOF=90°.因为OE平分∠BOD,所以∠BOE=∠DOE.所以∠AOF=∠DOF.所 以OF是∠AOD的平分线：②因为∠A0F=号∠DOF,设∠DOF=3x,则∠AOF 5.x.因为OF平分∠AOE,所以∠AOF=∠EOF=5.x.所以∠DOE=2x.因为OE平 分∠BOD,所以∠BOD=4x,5x+3x+4x=180°，解得x=15°.所以∠BOD=4x= 60°.答：∠BOD的度数为60°. 7.1.3两条直线被第三条直线所截 知识储备 1.∠5∠2∠8∠32.∠5∠63.∠6∠5 基础练 1.D2.B3.C4.BC DE DC内错角5.D6.(1)ABCD同旁内(2) EFEG同旁内7.(1)AB,BC同旁内角(2)AB,BC同位角(3)AC,BC -a 内错角8.3229.C10.解：(1)画图如图所示 (2)162 D 54°11.解：答案不唯一.如图所示，线段DE即为所求. 微专题一同位角、内错角、同旁内角的常见模型 解：答案不唯一.如：∠1内错角，∠12同旁内角∠8. 7.2平行线 7.2.1平行线的概念 知识储备 1.相交或平行2.只有3.互相平行 基础练 1.D2.C3.②③4.解：(1)图略：(2)EF∥AB,MC⊥CD.5.A6.相交经 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行7.∥如果两条直线都与第三条 直线平行，那么这两条直线也互相平行8.解：(1)图略；(2)AB∥CD.理由：因为AB ∥EF,CD∥EF,所以AB∥CD.9.B10.A11.(1)∥⊥⊥∥(2)不是 同一平面12.解：因为AB∥EF,CD∥EF,所以AB∥CD,其根 B 据是：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互 E 相平行.13.解：【实践】①如图所示：②∠CPE=120°，∠EPD= 60°，∠DPF=120°，∠CPF=60°；【探究】相等或互补；【发现】如果 两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.【拓展应用】 34°或30 7.2.2平行线的判定 知识储备 1.相等2.相等3.同旁内角 基础练 1.AB∥CD同位角相等，两直线平行2.(1)∠ABE角平分线的∠DBE同位 角相等(2)解：∠3与∠1互余，∠3与∠2互余，∠1=∠2.∴.AB∥CD.3.① ④4.角平分线的定义∠D∠DBC内错角相等，两直线平行5.解：CF∥AB. 理由如下：由题意知∠DCE=90,∠BAC=45,:CP平分∠DCB.∠DCF=名 ∠DCE=45.∴∠DCF=∠BAC.∴.CF∥AB.6.D7.∠140°对顶角40° 180°b同旁内角互补8.解：∠2=∠3，.CD∥EF.:∠1+∠2=180°，.AB ∥CD..AB∥EF.9.C10.40°11.20°12.(1)1EN同位角相等180° CD两直线平行(2)解：①AB∥DC.AB⊥AC,∴.∠BAC=90.:∠1与∠D互 余，.∠1+∠D=90°..∠BAD+∠D=∠BAC+∠1+∠D=90°+90°=180°.. AB∥CD:②AD∥BC,理由如下：由①知∠BAD十∠D=180°，：∠B=∠D, ∠BAD+∠B=180°.∴.AD∥BC.13.解：c∥d.理由如下：：∠1+∠5=180°，∠4 +∠6=180°，∠1=∠4，∴.∠5=∠6.∠2=∠3，∴.∠2+∠5=∠3+∠6.∴.c∥d. 7.2.3平行线的性质 第1课时。平行线的性质 知识储备 1.相等2.相等3.互补 -181- 基础练 1.C2.B3.∠2同位角相等∠460°4.B5.C6.30°7.C8.132 9.解：AB∥CD,∴.∠ABD+∠CDB=180°.：BE平分∠ABD,DE平分∠CDB,. ∠1=7∠ABD,∠2=∠CDB.∠1+∠2=2（∠ABD+∠CDB)=g×180= 90°.10.D11.B12.55°13.互补的定义CD同旁内角互补∠APC内错 角相等等式的性质内错角相等内错角相等14.解：AB∥CD,∴.∠B= ∠BCD=60°.：CD∥EF,∴.∠CEF+∠ECD=180°.∴.∠ECD=180°-∠CEF= 180°-140°=40°..∠BCE=∠BCD-∠ECD=60°-40°=20°.15.证明：(1)∠1 +∠2=180°，∠1+∠FDE=180°，.∠FDE=∠2..DF∥AB..∠3=∠AEF. ∠3=∠B,∠B=∠AEF.∴EF∥CB.∠AFE=∠ACB;(2)解：：∠1=85， DF∥AB,∴∠AEC=85.:∠3=50°，∴∠AEF=∠3=50°.∴∠FEC=∠AEC ∠AEF=35°.：EF∥BC,∴∠BCE=∠FEC=35.CE平分∠ACB,∴∠ACB=2 ∠ECB=70°. 第2课时平行线的判定与性质的综合应用 基础练 1.D2.C3.B4.B5.已知BF平行于同一条直线的两条直线平行∠CBF 两直线平行，同旁内角互补90°∠ABF90°90°270°6.(1)AD与EC平行， 证明：∠1=∠BDC,.AB∥CD.∴∠2=∠ADC.:∠2+∠3=180°，∴.∠ADC+ ∠3=180°..AD∥CE;(2)解：∠1=∠BDC,∠1=76°，∴∠BDC=76°.：DA平分 ∠BDC,∴∠ADC=3∠BDC=38.∴∠2=∠ADC=38.又：DALFA.∠FAD =90°..∠FAB=∠FAD-∠2=90°-38°=52°. 基础过关专题（二）与平行线有关的角度计算 1.C2.B3.B4.B5.B6.B7.C8.C9.140°10.C11.25° 重点突破专题平行线中的“拐点”问题 1.B2.B3.解：过点E作EF∥CD,(F在E点左边)则∠CEF=∠ECD=44°. AE⊥CE,∴.∠AEC=90°..∠AEF=90°-∠CEF=90°-44°=46°.EF∥CD,CD ∥AB,∴.EF∥AB.∴.∠AEF=∠BAE=46°..∠1=180°-∠BAE=180°-46°= 134°.4.解：过点C作CG∥AB.(G在C点右边)AB∥DE,CG∥AB,.AB∥CG ∥DE.∴.∠BCG=∠ABC,∠GCE=∠CED.∴∠BCE=∠ABC+∠CED.同理，可 得∠BFE=∠ABF+∠DEF.:BF,EF分别平分∠ABC与∠CED,∠BCE=140°， ÷∠ABF=∠ABC,∠DEF=Z∠CED.·∠BFE=∠ABC+G∠CED=3 (∠ABC+∠CED)=2∠BCE=3×140=70.5.B6.1507.C8.36 9.解：(1)∠B=∠BED+∠D(2)∠CDE=∠B+∠E.理由如下：过点E作EF∥ AB,(F在E点左边)则∠B+∠BEF=180°，.∠DEF=∠BEF-∠BED=180° ∠B-∠BED.AB∥CD,AB∥EF,∴.CD∥EF.∴.∠CDE+∠DEF=180°，即 ∠CDE+180°-∠B-∠BED=180°..∠CDE=∠B+∠BED.(3)30°10.解： 过点E,F分别作EG∥AB,FH∥AB,(G在E点右边，H在F点左边)则∠B= ∠BEG=25°，EG∥FH.∴∠GEF=∠EFH.:AB∥CD,AB∥FH,∴.CD∥FH.∴ ∠C+∠CFH=180°.∴∠CFH=180°-∠C=30°.∴.∠EFH=∠EFC-∠CFH= 60°-30°=30°..∠GEF=∠EFH=30°..∠BEF=∠BEG+∠FEG=25°+30°= 55°.11.解：过点C作CM∥AB,过点D作DN∥EF,(M在点C右边，N在点D左 边)则AB∥CM∥DN∥EF.∴.∠BCM=∠B,∠NDE=∠E.∴∠MCD=90°- ∠BCM=∠CDN=∠CDE-∠NDE.∴.90°-∠B=∠CDE-∠E,∴.∠CDE+∠B -∠E=90°. 7.3定义、命题、定理 知识储备 1.错误陈述句题设结论2.真命题一定成立3.真命题定理4.推理 推理 基础练 1.A2.解：(1)如果一个数是负数，那么它小于零.题设：一个数是负数.结论：这个 数小于零.(2)如果两个角是同旁内角，那么它们互补.题设：两个角是同旁内角.结 论：这两个角互补.3.D4.a=3,b=一1（答案不唯一）5.解：(1)如果两个角是内 错角，那么它们相等，假命题.(2)如果一个角是钝角，那么这个角大于它的补角，真命 题.6.C7.两直线平行，同位角相等∠2∠E内错角相等，两直线平行 8.AB⊥EF于点B,CD⊥EF于点DAB∥CD证明：AB⊥EF,CD⊥EF, ∠ABD=∠CDF=90°，∴.AB∥CD.9.D10.解：(1)共组成3个命题：①②→③： -1827.2.3 平 第1课时 +++++$知识储备 平行线的性质： 1.两直线平行，同位角 2.两直线平行，内错角 3.两直线平行，同旁内角 A基础练 @必备知识梳理口 知识点一 两直线平行，同位角相等 1.如图，直线a,b被直线c所截，若a∥b,∠1= 70°，则∠2的度数是 ( A.50° B.60 C.70° D.110 D 第1题图 第2题图 2.(2024·重庆)如图，AB∥CD,∠1=65°，则 ∠2的度数是 () A.105 B.1159 C.125 D.135° 3.【新课标·补充解题过程及 依据】如图，直线a∥b,c∥ d,∠1=120°，求∠3的度 3公4 —b 数.请完成说理过程， 解：.'a∥b,c∥d(已知)， .∠1=∠2，∠4= （两直线平行， .∠1=∠4=120°（等量代换）. 又∠3+∠4=180°， .∠3=180° 知识点二两直线平行，内错角相等 4.(2024·内江改编)如图，直 线AB∥CD,直线EF分别 交AB,CD于点E,F,若C ∠EFD=64°，则∠AEF的大 小是 A.136° B.64° C.116° D.128° 13 七年级数学·下册 行线的性质 平行线的性质 5.如图，已知a∥b,点A在直线a上，点B,C在 直线b上，∠BAC=90°，∠1=30°，则∠2的度 数是 ( ) A.30° B.45% C.60° D.75 1 第5题图 第6题图 6.(2024·甘孜州)如图，AB∥CD,AD平分 ∠BAC,∠1=30°，则∠2 知识点三两直线平行，同旁内角互补 7.如图，一个弯曲管道AB∥CD,∠ABC= 110°，则∠BCD的度数是 ( A.120° B.309 C.70° D.150° DO- A0----------- 第7题图 第8题图 8.如图，AB∥CD,AB⊥AE,∠CAE=42°，则 ∠ACD的度数是 9.如图，AB∥CD,∠ABD的平分线与∠BDC 的平分线交于点E,求∠1十∠2的度数. E D 易错点○因误用平行线的性质致错 10.若∠1与∠2是同旁内角，∠1=60°，则∠2 的度数是 () A.60° B.120° C.60°或120° D.不能确定 B综合练 凳关健能力提升一 11.【新课标·跨物理学科】(2024·达州)当光 线从空气射入水中时，光线的传播方向发生 了改变，这就是光的折射现象（如图所示），图 中∠1=80°，∠2=40°，则∠3的度数为() A.30° B.40° C.50° D.70 12.【新情境·桁架桥】桁架桥指的是以桁架作 为上部结构主要承重构件的桥梁.如图①是 桁架桥，图②是桁架桥主桁架的一部分.已 知AB∥CD,AC∥BD,∠ABD=55°，则∠C 的度数为 D E 图① 图② 13.【新课标·补充解题过程及依据】如图，已知 ∠BAP与∠APD互补，∠1=∠2，说明∠E =∠F,请完成说理过程. 解：.'∠BAP与∠APD 互补， ∴.∠BAP+∠APD=180 ∴.AB∥ ,两直线 平行). ∴.∠BAP= (两直线平行， ) 又.∠1=∠2， ∴.∠BAP-∠1=∠APC-∠2( ),即∠3=∠4. ∴.AE∥PF( ,两直线平行) ∴.∠E=∠F(两直线平行， ). 14.如图，AB∥CD∥EF,∠B=60°，∠CEF= 140°，求∠BCE的度数. C素养练 净季科老茶路育 15.如图，已知∠1十∠2=180°，且∠3=∠B. (1)求证：∠AFE=∠ACB; (2)若CE平分∠ACB,且∠1=85°，∠3=50°， 求∠ACB的度数. B 解通妙招 与平行线有关的角度的计算 利用平行线的性质求角度时，先观察图形，判 断所求角与已知角之间的位置关系，若无明显的 同位角、内错角或同旁内角，可结合对顶角、邻补 角等知识建立关系，再利用平行线的性质解答，如 T15. 助学助觳优质高数 14 第2课时 平行线的 A基础练 源必各知识梳理。一 知识点平行线的判定与性质的综合应用 1.如图，在四边形ABCD中，连接AC,下列判 断正确的是 () A.若∠BAC=∠ACD,则AD∥BC B.若AB∥CD,则∠CAD=∠ACB C.若∠BAD+∠BCD=180°，则AD∥BC D.若∠BAD=∠DCB,∠B=∠D,则AB ∥CD B 第1题图 第2题图 2.如图，∠C=∠CAD,∠BAD=120°，则∠B 的度数为 () A.50° B.55° C.60° D.65° 3.如图，一个由4条线段a,b,c,d组成的“鱼” 形图案，若∠1=45°，∠2=45°，∠3=140°，则 ∠4的度数为 A.35° B.40° C.45° D.50° 第3题图 第4题图 4.(2024·呼和浩特)如图，直线11和l2被直线 13和14所截，∠1=∠2=130°，∠3=75°，则 ∠4的度数为 A.75° B.105° C.115° D.130 5.【新课标·补充解题过程及依据】生活中有 种常见的折叠拦道闸，可抽象为几何图形如 图所示，BA垂直于地面AE,CD平行于地面 AE,求∠ABC+∠BCD的度数，请完成解答 过程 解：如图，过点B作BF∥AE. 15 七年级数学·下册 判定与性质的综合应用 .CD∥AE( ∴.( )∥CD( .∠BCD+( )=180°( .AB⊥AE, ∴.∠EAB=( .BF∥AE, .( )+∠EAB=180°. ∴.∠ABF=180°-()=( ). ∴.∠ABC+∠BCD=∠ABF+∠CBF+ ∠BCD=( B综合练 雪关键能力提升一 6.如图，已知∠1=∠BDC,∠2+∠3=180°. (1)AD与EC平行吗？请说明理由； (2)若DA平分∠BDC,DA⊥FA于点A,∠1 =76°，求∠FAB的度数.