7 数学思想专题 与相交线、平行线有关的数学思想&数学活动 画平行线&综合与实践(1）探索潜望镜的工作原理-【名师学案】2025-2026学年七年级下册数学分层进阶学习法（人教版·新教材）

数学思想专题 与相交线 类型一分类讨论思想 思想精述 某些数学问题在求解时会有多种情况，需要对各 种情况分类讨论、逐类求解，这就是分类讨论思想。 1.在直线AB上任取一点O,过点O作射线 OC,OD,使OC⊥OD,当∠AOC=60°时， ∠BOD的度数为 2.若两个角的两边分别平行，这两个角的度数 分别是2x+30°和3x一10°，则x的值是 类型二类比思想 思想概述 类比是根据两个对象之间在某些方面的相同或 相似，从而推出它们在其他方面也可能相同或相似. :在解决某些问题时，可以借助类比思想，从而达到启 发思路的目的 3.【新中考·新定义型阅读理解题】如下是关于 同旁内角的定义。 图中∠4和∠5处于直线 l的同一侧，直线a,b的 中间，具有这种位置关系 的一对角叫作同旁内角. 【类比探究】 图① 图② 图③ (1)如图①，具有∠1与∠2这种位置关系的 两个角叫作同旁外角，请在图中再找出一 对同旁外角，分别用∠3，∠4在图中标记 出来； (2)如图②，已知∠1十∠2=180°时，试说明 直线a∥b,并用文字语言叙述你能得出的 结论； 23 七年级数学·下册 平行线有关的数学思想 (3)如图③，直线a∥b,当∠1=125时，直接 写出∠2的度数. 4.【新中考·新定义型阅读理解题】我们已学习 了平行线的判定与性质，涉及概念同位角、内 错角、同旁内角，学习该部分内容按“定 义—一判定一性质”三步进行.如图①，在 “三线八角”中，类比内错角，具有∠1与∠8 这样位置关系的角称为“外错角”，请你类比 有关知识，完成涉及“外错角”的探究， 图①D 图② (1)【探究定义】如图①，请你另找出一对“外 错角”： (2)【探究判定】请你用已学过的平行线的判 定方法，证明命题：外错角相等，两直线平 行.请你完善证明过程. 已知：如图②，∠1与∠2是直线a,b被直 线c截出的外错角，且∠1=∠2. 求证：a∥b. 证明： (3)【探究性质】请你用已学过的平行线的性 质，证明命题：两直线平行，外错角相等. 根据图②，写出已知、求证，并证明， 已知：如图②， 求证： 证明： 数学活动 【针对教材 素材一：数学课上，老师要求同学们利用三角板 画出两条平行线，老师展示了甲、乙两位同学的 画法如下： 甲的画法： ①将含30°角的三角尺的最长边与直线a重合， 另一块三角尺最长边与含30°角的三角尺的最 短边紧贴； ②将含30°角的三角尺沿贴合边平移一段距离， 画出最长边所在直线b,则b∥a. 乙的画法： ①将含30°角三角尺的最长边与直线a重合，用 虚线做出一条最短边所在直线； ②再次将含30°角三角尺的最短边与虚线重合， 画出最长边所在直线b,则b∥a. 请在甲和乙两位同学画平行线的方法中选出你 喜欢的一种，并写出这种画图的依据， 答：我喜欢 同学的画法，这两 位同学画图的依据是 素材二：在学习完平行线的画法后，欢欢想尝试 在如图所示的方格中画出平行线， (1)请你试试看在如图所示的网格中经过点P 画线段MN的平行线PQ(仅用直尺)；(2)若将 画平行线 32活动1】 方格纸换成白纸，你能利用以下哪些工具：①直 尺；②三角板；③量角器，画已知直线a的平行 线？能画多少条？ 素材三：学习平行线后，小宇同学想出了过已知 直线m外一点P画这条直线的平行线的新方 法，如图，他是通过折一张半透明的正方形纸得 到的，其步骤如下： ①沿过点P的直线折叠，得到折痕AB,使直线 m在折痕AB两侧的部分重叠； (3) ②展开纸张，沿过点P的直线折叠，得到折痕 CD,使折痕AB在折痕CD两侧的部分重叠； ③展开纸张，折痕CD所在直线平行于直线m. (1)直线m与折痕AB的位置关系为 折痕CD与折痕AB的位置关系为 (2)第③步的判断依据是 助学助教优质高敦24 综合与实践（一） 探索潜望镜的工作原理 背在学习“相交线与平行线”一章时，教材P21第14题是关于潜望镜的拓广探索题，老师倡议班上 景同学分组开展相关的实践活动， 小钰所在的小组上网查阅资料，制作了相关PPT介绍给同学们（图1、图2）；小敏所在的小组再 网上查阅了光的反射现象的相关知识（图3）；小宁所在的小组制作了如图所示的潜望镜模型并 且观察成功（图4）.大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理. 最早的潜望镜 世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公 元前二世纪我国的《准南方毕术》 书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬， 悬水盆于其下，则见四邻矣。 古代，在我国一些深山古庙的屋檐下，常 7☑ 常倾斜地挂着一 战壕潜望镜 第一次世界大战 素 简 的潜 镜， 外的羊肠小道及过 材 往行人。 图1 图2 如图3，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别 位于法线两侧；反射角等于入射角i.这就是光的反射定律. 法线 E ←--F 入射光线 反射光线 2 反射面 G 4-------H O光的反射定律 D C 图3 图4 图5 任 如图4，AB,CD是平行放置的两面平面镜，已知光线经过平面镜反射时，有∠2=∠1，∠4=∠3， 务 请问进入潜望镜的光线EF和离开潜望镜的光线GH是否平行，说明理由， 1 任把两个平面镜AB,BC按图5所示位置放置，∠ABC=α，光线经过两次反射后，∠2=∠1，∠4= 务 ∠3，反射光线GH与入射光线EF平行但方向相反，求α的度数.【注：三角形的三个角的和 2 是180】 25 七年级数学·下册①③→②：②③→①：(2)答案不唯一，如：选①②→③.：DE∥BC,∴∠1=∠B,∠2 =∠C.∠1=∠2，∠B=∠C.11.证明：，∠C=∠COA,∠D=∠BOD,∠AOC =∠BOD,∠C=∠D.∴AC∥DF..∠A=∠ABD.EF∥AB..∠F=∠ABD. .∠F=∠A.12.解：(1)115°(2)∠CDE=∠A+∠E,理由如下：过点D作DG∥ EF交AB于G,则∠GDE=∠E.:'AB∥CD,∴.∠BGD=∠CDG.AC∥EF,DG∥ EF,∴.AC∥GD..∠A=∠BGD,∴.∠A=∠CDG.:'∠CDE=∠CDG+∠EDG,∴. ∠CDE=∠A+∠E.(3)∠CDE=∠A-∠E. 7.4平移 知识储备 1.某一方向2.(1)形状大小(2)对应点平行相等 基础练 1.B2.A3.A4.解：(1)AE∥CF,AC∥DF,BC∥EF;(2)AD=CF=BE=2cm. (3)AE∥CF,∠ABC=65°，.∠BCF=∠ABC=65°.5.解：(1)图略.(2)BB', CC,DD'6.C7.30°8.110°9.21610.解：(1)图略.(2)图略.6 微专题二利用平移的性质求解复杂图形的周长和面积 1.C2.66m3.540m4.42 数学思想专题与相交线、平行线有关的数学思想 1.30°或150°2.40°或32°3.解：(1)图略；(2)证明略.结论：同旁外角互补，两直线 平行.(3)∠2=55°.4.(1)∠2与∠7(2)，∠1=∠3，∠1=∠2，.∠2=∠3..a ∥b.(3)∠1与∠2是直线a,b被直线c所截出的外错角，且a∥b∠1=∠2，a ∥b,∴.∠2=∠3.又：∠1=∠3，∴.∠1=∠2. 数学活动画平行线 素材一：甲（答案不唯一）甲：同位角相等，两直线平行乙：内错角相等，两直线平 行素材二：解：(1)图略；作法提示：把点M向右平移1个单位长度，再向上平移3 个单位长度得到点P,再把点N向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度到 点Q,作直线连接PQ即可.(2)选择①直尺和②三角板，利用推平行线法画已知直线 a的平行线，图略，可以画无数条（答案不唯一）.素材三：(1)垂直垂直(2)同一 平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 综合与实践（一）探索潜望镜的工作原理 解：任务1：光线EF和离开潜望镜的光线GH是平行的，理由如下：：AB∥CD,∴. ∠2=∠3.：∠1=∠2，∠3=∠4，∴.∠1=∠2=∠3=∠4.∴.180°-∠1-∠2=180 -∠3-∠4，即：∠EFG=∠FGH,∴.EF∥GH.任务2：过点B作BD∥EF,(D在B 点右边)则∠1=∠EBD.EF∥GH,EF∥BD,∴.BD∥GH,∠DBC=∠4.又·'∠1 =∠2，∠3=∠4，∴∠EBD=∠2，∠DBC=∠3..a=∠EBD+∠DBC=∠2+∠3. 又a+∠2+∠3=180，∴a=180×号=90. 第七章核心素养与跨学科融合专练 1.A2.(1)证明：，'∠BNM=∠AND,∠AOE=∠BNM,.∠AOE=∠AND.∴. OE∥DM;(2)解：AB与底座CD都平行于地面EF,.AB∥CD.∴.∠BOD= ∠ODC=30°.：∠AOF+∠BOD=180°，∴.∠AOF=150°.：OE平分∠AOF,∴ ∠EOF=∠A0F=75.·∠BOE=∠B0D+∠BOF=105.:OE∥DM. ∠ANM=∠BOE=105°.3.C 第七章大单元整合与素养提升 1.A2.垂线段最短3.∠4∠2∠34.解：(1)∠COF与∠EOD (2)∠DOF(3):∠BOF=90°，∴.AB⊥EF.∴.∠AOF=90°.：∠AOC=∠BOD= 60°，∴.∠FOC=∠AOF+∠AOC=150°.5.C6.90°7.∠ABD=∠EDB(答案不 唯一)8.证明：∠1=115°，.∠FCD=180°-∠1=180°-115°=65°.∠3=65°， ∴.∠FCD=∠3..AB∥CD.:∠2=50°，∴.∠NEF=180-∠2=180°-50°=130°. :EG为∠NEF的平分线，∠GEF=2∠NEF=65.六∠GEF=∠3.·EG∥ FH.9.D10.如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等真11.①② →④（答案不唯一）12.3013.①③14.10°或130°15.A16.解：(1)两直线平 行，内错角相等如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 (2)①过点E作EF∥AB,(F在E点左边)则∠ABE=∠BEF,:'AB∥EF,AB∥ CD,.EF∥CD,∴.∠FED=∠EDC.:BE,DE分别平分∠ABC和∠ADC,. ∠ABE=2∠ABC=30,∠EDC=合∠ADC=35.·.∠BEP=∠ABE=30, ∠FED=∠EDC=35.·∠BED=∠BEF+∠FED=65:@∠BED=180-3a+A -183