精品解析：2026年河南省信阳市息县二模数学试题

2026年全县九年级中招模拟考试（二） 数 学 试 卷 注意事项: 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.请用 2B 铅笔和黑色钢笔(或黑色水笔)直接答在答题卡上，答在试卷上无效． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 如图，在数轴上被笑脸覆盖的数可能是（ ） A. B. C. D. 1.7 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴看出，被笑脸覆盖的数x满足如下条件：，且更接近，解答即可． 本题考查了数轴的意义，负数的大小比较，绝对值的应用，熟练掌握负数的比较，绝对值的应用是解题的关键． 【详解】解：设被笑脸覆盖的数为x，根据题意，得，且更接近， 则A，D不符合题意，又，，且， 故更接近， 故C不符合题意， 故选：B． 2. 在全球人工智能应用市场，DeepSeek的下载量以惊人的速度增长．截至2025年2月5日，DeepSeek的全球下载量约4000万．数据“4000万”用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值和的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答． 【详解】解：4000万． 故选：B． 3. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从正面看得到的图形是主视图是关键． 根据从正面看得到的图形是主视图，据此即可解答． 【详解】解：根据题意可知，立体图形的主视图为：第一层是三个小正方形，第二层右边是一个小正方形． 故选：D． 4. 已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（    ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判定 【答案】B 【解析】 【分析】根据点在第四象限得，可得，则方程的判别式，即可得． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∴， ∴方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【点睛】本题考查了点坐标的特征，根的判别式，解题的关键是掌握这些知识点． 5. 如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键． 根据得到，再由平角即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则和求解即可得出结论． 【详解】解： ， 故选：A． 【点睛】本题考查整式的运算，涉及到积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则和运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． 7. 如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求扇形面积，勾股定理与网格问题，连接，证明，进而根据三角形的面积公式和扇形面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵小正方形的边长为2， ∴ ∴， ∴图中阴影部分的面积是 故选：A． 8. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了树状图或列表法求概率，根据题意画出树状图，求和后利用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有6种不同情况，和是偶数的共有2种情况，故和是偶数的概率是 ， 故选：B 9. 如图1，正方形的边长为4，为边的中点．动点从点出发沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为，与的函数图象如图2所示，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明，，，则当P与A，B重合时，最长，此时，而运动路程为0或4，从而可得答案． 【详解】解：∵正方形的边长为4，为边的中点， ∴，，， 当P与A，B重合时，最长， 此时， 运动路程为0或4， 结合函数图象可得， 故选C 【点睛】本题考查的是从函数图象中获取信息，正方形的性质，勾股定理的应用，理解题意，确定函数图象上横纵坐标的含义是解本题的关键． 10. 赵爽是三国时期非常有名的数学家，他大约在年的时候深入研究了《周髀算经》，书中的一段余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献，这个注文也让赵爽对勾股定理产生新的证明方法．“赵爽弦图”被誉为中国数学界的图腾，年在北京召开的国际数学家大会上，就以此为会徽，足以见得它的完美．如图，若大正方形与小正方形的边长之比为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和相似三角形，三角函数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 设，，，可得：，，，在中，根据勾股定理可得，即可得，，在中，根据勾股定理可得，然后作，垂足为，证得，可求，然后即可求解； 【详解】解：设，，， ∴， ∴，， 在中，，即， ∵， ∴，且，， 化简得：， 解得：或（舍去）， ∴，， 即， ∴， 在中，， 作，垂足为，如图： ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 故选：A. 二、填空题(共5小题，满分15分，每小题3分) 11. 用一个的值说明“”是错误的，则的值可以是________ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据可知要说明“”是错误的，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴要说明“”是错误的，则， ∴的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 分式方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：，即 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为， 故答案为：． 13. 某校为全面了解学生周末作业外的时间安排，对该校2400名学生进行调研并将结果整理成如扇形统计图，其中把作业外时间用于“运动”的约有______人． 【答案】240 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，用2400乘以把作业外时间用于“运动”的人数占比即可得到答案． 【详解】解；人， ∴把作业外时间用于“运动”的约有240人， 故答案为：240． 14. 菱形的边长为3，，点是对角线上不与点，重合的一个动点，过点作交于，若以点，，为顶点的三角形恰为直角三角形，则长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 根据菱形的性质得出，求出线段和的长度，根据，证明，根据相似三角形对应线段成比例求解即可． 【详解】四边形是菱形， 平分，， ①如图，当时， 是的平分线，， ． 在中，，，， ． 为中点 ， ， ． ． ②如图，当时， ，，， 在中，． ， 即， 解得：， ， ， ， ， ， ， 故答案为或． 15. 如图，直线与坐标轴交于A，P两点，过点A作交y轴于点B，以为边在AB右侧作正方形，复制正方形并沿着直线向上平移，使得一边重合，得到正方形，继续复制正方形（，并沿着直线向上平移，使得一边重合，得到正方形，依此类推，复制平移2025次后，顶点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了与一次函数有关的规律探索，正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，先求出得到，则，进而得到，则是等腰直角三角形，则，，由正方形的性质可得，过点C作轴于D，则是等腰直角三角形，，可得，同理可得，，……，据此可得答案． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 由正方形的性质可得， ∴， 如图所示，过点C作轴于D，则是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 同理可得，，……， 以此类推可得，， 故答案为：． 三、解答题(共8个小题，共75分) 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂、负整数指数幂为正整数（，为正整数）、绝对值的化简、化简二次根式、分式的通分与约分等知识，熟练掌握各运算法则及公式，准确进行式子变形与运算，是解题的关键． （1）依次运用零指数幂、绝对值、负整数指数幂的性质，逐步化简计算； （2）先对括号内分式通分、因式分解，再将除法变乘法，通过约分完成化简． 【详解】解：（1） （2） 17. 随着春节成功列入世界非物质文化遗产名录，全球范围内对春节文化的关注度日益提升．某校为了评估学生对春节文化知识的掌握程度，举行春节文化知识竞赛，七、八年级根据初赛成绩各选出5名选手组成七年级代表队和八年级代表队参加学校决赛，根据这10人的决赛成绩，制作了统计图和数据分析表． 平均数 中位数 众数 方差 七年级 a 85 85 c 八年级 86 b 100 160 根据以上信息，解答下面的问题： （1）______，______，______． （2）分析以上数据，你认为该校七、八年级代表队中哪个年级学生掌握春节文化知识较好？请说明理由（写出一条即可）． 【答案】（1）85；80；70 （2）七年级学生掌握春节文化知识较好,理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数，中位数，方差，以及借助平均数，中位数，方差进行分析，解决此题的关键是正确理解相关概念． （1）根据平均数、中位数、方差的计算方法进行计算即可； （2）根据平均数、中位数、方差进行综合分析即可； 【小问1详解】 解：， 由图可知，， ， 故答案为：85；80；70． 【小问2详解】 解：七年级学生掌握春节文化知识较好． 理由：①七年级和八年级的平均数接近，但七年级的中位数大于八年级的中位数，所以七年级学生掌握春节文化知识较好． ②七年级的方差小于八年级的方差，所以七年级学生掌握春节文化知识较好． 18. 如图，AM∥BC，且AC平分∠BAM． （1）用尺规作∠ABC的平分线BD交AM于点D，连接CD．（只保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形ABCD是菱形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】(1)利用尺规作图的方式(本质为三角形全等)作出∠ABC的角平分线即可； (2)先证明AB＝BC，AB＝AD，则AD＝BC，则可判断四边形ABCD是平行四边形，然后加上邻边相等可判断四边形ABCD是菱形． 【详解】解：(1)如下图所示，DB、CD为所作； (2)证明：∵AC平分∠BAM， ∴∠BAC＝∠DAC， ∵AM∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA． ∴∠BAC＝∠BCA． ∴AB＝BC， 同理可证：AB＝AD． ∴AD＝BC． 又∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形． 【点睛】本题考查了尺规作图中角平分线的作法，其本质是利用三角形全等的知识来作图；另外本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形判定方法是解决此题的关键. 19. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，与轴交于A，B两点，与轴相切于点．连接，．已知是等边三角形，且． （1）求反比例函数的表达式； （2）若与反比例函数的图象交于点E，F，连接，．请直接写出的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点P作轴，垂足为M，连接，利用等边三角形的性质，勾股定理，圆的切线性质，待定系数法求解即可； （2）过点B作轴，交双曲线于点D，故点D的纵坐标为2，得到点的坐标为，证明点D在上，继而得到点D是与反比例函数图象的一个交点，证明点D与点F重合，得点F的坐标，利用圆的性质求解即可； 【小问1详解】 解：∵是等边三角形，且， ∴， 如图1，过点P作轴，垂足为M，连接， 由三线合一得， 即， ∴， 则， ∵与轴交于A，B两点，与轴相切于点． ∴轴， ∴P点的纵坐标为4， ∴点P的坐标为， ∵点P在反比例函数图象上， ∴把代入，得， 解得， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）得点P的坐标为，四边形是矩形， ∴， ∵由（1）得，且， ∴， ∴的坐标为，的坐标为， 过点B作轴，交双曲线于点D， 故点D的纵坐标为2， 根据题意，得， 解得， ∴点的坐标为， ∵点P的坐标为， ∴， ∴点D在上， ∴点D是与反比例函数图象的一个交点， ∵与反比例函数的图象交于点E，F， ∴点D与点F重合， ∴点的坐标为， ∵， 故点P是线段的中点， 即三点共线， 即为直径， 连接，如图所示： ∴． 故答案为：． 20. 某城市响应“长江大保护”国家战略，开展水域生态修复工程．施工队需购买甲、乙两种环保型清污设备，其中甲设备用于河道淤泥清理，乙设备用于水面垃圾打捞． （1）已知购买3台甲设备和2台乙设备共需44万元，购买2台甲设备和5台乙设备共需66万元．求甲、乙两种设备的单价； （2）根据工程需求，施工队计划购进这两种设备共100台，且购进甲设备的数量不少于乙设备数量的．为鼓励绿色技术应用，政府对每台甲设备提供2万元补贴，乙设备无补贴，若最大总支出为920万元，求的值． 【答案】（1）甲设备的单价为每台8万元，乙设备的单价为每台10万元 （2）的值为25 【解析】 【分析】（1）设甲设备的单价为每台万元，乙设备的单价为每台万元，根据题意列方程求解即可； （2）设购进甲设备台，则购进乙设备台，购进甲、乙这两种设备的总支出为万元，根据题意得到，，即当时，最大，计算即可. 【小问1详解】 解：设甲设备的单价为每台万元，乙设备的单价为每台万元． 根据题意，得， 解得， 答：甲设备的单价为每台8万元，乙设备的单价为每台10万元． 【小问2详解】 解：设购进甲设备台，则购进乙设备台，购进甲、乙这两种设备的总支出为万元． 根据题意，得． 解得． ∵政府对每台甲设备提供2万元补贴， ∴． ， 随的增大而减小． 当时，最大． ． 解得． 经检验，是该分式方程的解且符合题意． 的值为25． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，分式方程的应用，熟练掌握各知识点是解题的关键. 21. 某数学研究小组在老师的指导下，利用课余时间测量湖中亭子的边长．已知亭子的底座为矩形，在湖外取一点E，使得D、A、E在同一条直线上，过点E作，沿方向前进到点F，测得的长为8米，并用测角仪测得．（） （1）求线段的长； （2）求矩形的面积． 【答案】（1）线段的长度是14米，的长度是6米 （2）72平方米 【解析】 【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得，即可确定长度，再由得出米，即可求解； （2）过点B作于点M，则四边形是矩形，继续利用正切函数确定米，即可求解面积． 【小问1详解】 解：在中，， 在中，， ， ， 即线段的长度是14米，的长度是6米； 【小问2详解】 过点B作于点M，则四边形是矩形， ． 在中，， ， ， ， ∴矩形的面积为（平方米）． 22. 如图是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图，人从点 处沿水滑道下滑至点处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为轴，过腾空点与轴垂直的直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分，根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决： （1）如图，点 与地面的距离为米，水滑道最低点 与地面的距离为 米，点 到点的水平距离为米，求水滑道所在抛物线的解析式； （2）在（）的条件下，某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点成中心对称． ①直接写出腾空飞出后的最大高度为 ，抛物线所对应的二次函数函数表达式为 ； ②腾空点与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点与水池边缘的安全距离应不少于米．那么人飞出后落地点是否在安全距离内?请说明理由． 【答案】（1） （2）①，；②在安全距离内，理由见解析 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）①由中心对称的性质求出抛物线的顶点坐标，即得腾空飞出后的最大高度，再利用待定系数法求出抛物线所对应的二次函数函数表达式即可；②求出的坐标，可得的长，再求出的长，进而即可判断； 本题考查了二次函数的实际应用，中心对称的性质，正确求出二次函数解析是解题的关键． 【小问1详解】 由题意得，，， ∵点是水滑道所在抛物线的解析式顶点， 设水滑道所在抛物线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴水滑道所在抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①∵某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点成中心对称， ∴抛物线的顶点与抛物线的顶点关于点成中心对称， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴腾空飞出后的最大高度为， 设抛物线的函数表达式为，把代入得， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 故答案为：，； ②在安全距离内，理由如下： 把代入，得， 解得或（不合，舍去）， ∴， ∴米， ∵米， ∴， ∴人飞出后落地点在安全距离内． 23. 在边长为12的等边三角形中，是边上的高，是边上一动点（不与、重合），连接，将绕点顺时针旋转得到，连接、． 某数学小组围绕上面的问题进行了如下的思考与探索： 【初步探索】（1）小组成员发现，点在上移动时，点会落在上，如图①，此时他们发现与存在一定的数量关系，请你猜想存在什么数量关系，并说明你的理由． 【深入交流】（2）小组成员进一步移动点，点位置也随之变化，他们猜测不论点在什么位置，与存在的数量关系仍然成立．当点落在线段下方时，若成立，请就图②所示的情形给出证明，若不成立，请说明理由． 【拓展应用】（3）请你借助上面探究的过程及结论，完成下面的应用：在点运动的过程中，当的面积为9时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）线段的长为或． 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形，利用三角形的外角性质求得，再利用等边对等角证得； （2）取的中点，证明是等边三角形，推出，得到，再证明，得到； （3）取的中点，则点在线段的垂直平分线上，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得和的长，利用三角形面积公式求得，分两种情况讨论，结合即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵是等边三角形边上的高， ∴， 由题意知，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）成立， 证明：如图，取的中点，连接，， 则，又， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴； （3）线段的长为或． 解：取的中点， 由（2）知，， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵是等边三角形边上的高， ∴直线与平行，设直线交于点，如图， ∵，， ∴，， ∵的面积为9， ∴， ∴， ∴当点落在线段下方时，； 当点落在线段上方时，， 由（2）知， ∴， ∴线段的长为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识点．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年全县九年级中招模拟考试（二） 数 学 试 卷 注意事项: 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.请用 2B 铅笔和黑色钢笔(或黑色水笔)直接答在答题卡上，答在试卷上无效． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 如图，在数轴上被笑脸覆盖的数可能是（ ） A. B. C. D. 1.7 2. 在全球人工智能应用市场，DeepSeek的下载量以惊人的速度增长．截至2025年2月5日，DeepSeek的全球下载量约4000万．数据“4000万”用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（    ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判定 5. 如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，正方形的边长为4，为边的中点．动点从点出发沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为，与的函数图象如图2所示，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 赵爽是三国时期非常有名的数学家，他大约在年的时候深入研究了《周髀算经》，书中的一段余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献，这个注文也让赵爽对勾股定理产生新的证明方法．“赵爽弦图”被誉为中国数学界的图腾，年在北京召开的国际数学家大会上，就以此为会徽，足以见得它的完美．如图，若大正方形与小正方形的边长之比为，则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题(共5小题，满分15分，每小题3分) 11. 用一个的值说明“”是错误的，则的值可以是________ 12. 分式方程的解为______． 13. 某校为全面了解学生周末作业外的时间安排，对该校2400名学生进行调研并将结果整理成如扇形统计图，其中把作业外时间用于“运动”的约有______人． 14. 菱形的边长为3，，点是对角线上不与点，重合的一个动点，过点作交于，若以点，，为顶点的三角形恰为直角三角形，则长为_____． 15. 如图，直线与坐标轴交于A，P两点，过点A作交y轴于点B，以为边在AB右侧作正方形，复制正方形并沿着直线向上平移，使得一边重合，得到正方形，继续复制正方形（，并沿着直线向上平移，使得一边重合，得到正方形，依此类推，复制平移2025次后，顶点的坐标为___________． 三、解答题(共8个小题，共75分) 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 随着春节成功列入世界非物质文化遗产名录，全球范围内对春节文化的关注度日益提升．某校为了评估学生对春节文化知识的掌握程度，举行春节文化知识竞赛，七、八年级根据初赛成绩各选出5名选手组成七年级代表队和八年级代表队参加学校决赛，根据这10人的决赛成绩，制作了统计图和数据分析表． 平均数 中位数 众数 方差 七年级 a 85 85 c 八年级 86 b 100 160 根据以上信息，解答下面的问题： （1）______，______，______． （2）分析以上数据，你认为该校七、八年级代表队中哪个年级学生掌握春节文化知识较好？请说明理由（写出一条即可）． 18. 如图，AM∥BC，且AC平分∠BAM． （1）用尺规作∠ABC的平分线BD交AM于点D，连接CD．（只保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形ABCD是菱形． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，与轴交于A，B两点，与轴相切于点．连接，．已知是等边三角形，且． （1）求反比例函数的表达式； （2）若与反比例函数的图象交于点E，F，连接，．请直接写出的度数． 20. 某城市响应“长江大保护”国家战略，开展水域生态修复工程．施工队需购买甲、乙两种环保型清污设备，其中甲设备用于河道淤泥清理，乙设备用于水面垃圾打捞． （1）已知购买3台甲设备和2台乙设备共需44万元，购买2台甲设备和5台乙设备共需66万元．求甲、乙两种设备的单价； （2）根据工程需求，施工队计划购进这两种设备共100台，且购进甲设备的数量不少于乙设备数量的．为鼓励绿色技术应用，政府对每台甲设备提供2万元补贴，乙设备无补贴，若最大总支出为920万元，求的值． 21. 某数学研究小组在老师的指导下，利用课余时间测量湖中亭子的边长．已知亭子的底座为矩形，在湖外取一点E，使得D、A、E在同一条直线上，过点E作，沿方向前进到点F，测得的长为8米，并用测角仪测得．（） （1）求线段的长； （2）求矩形的面积． 22. 如图是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图，人从点 处沿水滑道下滑至点处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为轴，过腾空点与轴垂直的直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分，根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决： （1）如图，点 与地面的距离为米，水滑道最低点 与地面的距离为 米，点 到点的水平距离为米，求水滑道所在抛物线的解析式； （2）在（）的条件下，某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点成中心对称． ①直接写出腾空飞出后的最大高度为 ，抛物线所对应的二次函数函数表达式为 ； ②腾空点与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点与水池边缘的安全距离应不少于米．那么人飞出后落地点是否在安全距离内?请说明理由． 23. 在边长为12的等边三角形中，是边上的高，是边上一动点（不与、重合），连接，将绕点顺时针旋转得到，连接、． 某数学小组围绕上面的问题进行了如下的思考与探索： 【初步探索】（1）小组成员发现，点在上移动时，点会落在上，如图①，此时他们发现与存在一定的数量关系，请你猜想存在什么数量关系，并说明你的理由． 【深入交流】（2）小组成员进一步移动点，点位置也随之变化，他们猜测不论点在什么位置，与存在的数量关系仍然成立．当点落在线段下方时，若成立，请就图②所示的情形给出证明，若不成立，请说明理由． 【拓展应用】（3）请你借助上面探究的过程及结论，完成下面的应用：在点运动的过程中，当的面积为9时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $